MATEMÁTICA – CURSINHO

CONJUNTO NUMERICO

Alguns tipos de conjuntos, por serem de grande aplicação na teoria que vamos

expor, Merecem uma citação à parte.

Conjunto vazio

O conjunto vazio é representado, geralmente, por { }, ∅ ou por uma propriedade falsa,

caracterizando um evento impossível

Conjunto unitário

Formalmente, dizemos que conjunto unitário é todo conjunto formado por um único

elemento, caracterizando um evento elementar.

Continência

Formalmente, dizemos que um conjunto A está contido em outro conjunto B, quando

todos os elementos de A pertencem também a B.

Indicamos que A está contido em B pela sentença A ⊂ B, que significa, também, que A

é subconjunto de B, ou, ainda, que A é parte de B .Do exposto, decorrem as

implicações.

Operações com conjuntos

É possível estabelecermos relações entre os elementos de dois ou mais conjuntos por meio de operações específicas.

Intersecção

Formalmente, o conjunto intersecção (A ∩ B) entre dois conjuntos A e B e definido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertençam a ambos os conjuntos, ou seja, que possuam simultaneamente as características dosdois. Em símbolos, escrevemos:

União

É definido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um ou ao outro.

Diferença

Assim, o conjunto diferença (A – B), entre os conjuntos A e B, é formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

EXERCÍCIOS

1-Escreva (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas:a) A soma de dois números irracionais é irracional ( ).b) A soma de dois números irracionais pode ser racional ( ).c) O produto de um número irracional por um racional é irracional ( ).d) O produto de dois números irracionais é irracional ( ).e) Dividindo-se um número irracional por um número racional não nulo, obtém-se um número irracional ( ).f) Dividindo-se um número racional por um número irracional, obtém-se um númeroirracional ( ).g) Dividindo-se um número racional por um número irracional, pode-se obter umnúmero racional ( ).

2-Sejam os conjuntos A, B e C, tais que:A = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 8 ou x > 15 }B = {x ∈ | – 4 ≤ x < 10 ou 12 ≤ x ≤ 18} eC = {x ∈ | x ∈ A ∩ B}.Quantos são os subconjuntos de C?

3-De um total de R$ 250,00 vendidos numa loja, num determinado dia, R$ 150,00 foram pagos à vista. Qual é a taxa percentual das vendas à vista naquele dia?

4-O tanque de combustível de um determinado veículo Flex (bicombustível) tem capacidade para 50 litros. O fabricante aconselha que 40% do combustível seja gasolina (pura), e o restante , álcool.

Suponha que esse carro seja produzido e vendido num certo país cuja gasolina (nospostos autorizados) apresenta 20% de álcool em sua composição .Para seguir o conselho do fabricante, quantos litros, de cada combustível (álcool e gasolina dos postos), um proprietário deve colocar no tanque inicialmente vazio?

5-Após serem consultados sobre os horários disponíveis para participarem de umareunião, os professores Abélio(A) e Daniel(D)responderam:• (A) Tenho horário disponível entre 8h e 12h ou, então, 14h e 17h.• (D) Tenho horário disponível das 11h às 13h ou, então, das 15h às 18h.Nessas condições, pede-se:a) Represente cada resposta, sob a forma de intervalos numéricos, na reta real.b) Indique quais horários em que ambos podem estar presentes na reunião.c) Indique os horários em que a reunião não poderá ser feita, se ambos devem estarpresentes.

FUNÇÕES

De modo geral, uma grandeza y é função de uma grandeza x, quando, para cada valor de x, existe um único valor correspondente y .Nesses termos, dizemos que x é uma variável independente, e y é uma variável dependente (pois depende do valor de x).

1-Considere a função cuja lei de formação éf(x) = x + 1/x – 2. Para essa função, determine:a) os valores de f(0) e f(1)b) o(s) zero(s) de f(x);c) o(s) valor(es) de x que não fazem parte do domínio de f(x).

2-Considere as funções f(x) e g(x) cujas leis de formação são f(x) = 2x – 6/x – 1 e g(x) = x– 2/x .a) Quais os zeros dessas funções?b) Quais o valores de f(1) e g(0)?c) Qual é o domínio de cada uma dessasfunções?

3-Devido à crise econômica mundial, que passou a ser acompanhada pela mídia internacional, a partir do 2o semestre de 2008, muitos países passaram a conviver com os "fantasmas" do desemprego e da queda de produção .Os gráficos que se seguem representam, aproximadamente, a quantidade de empregados e o nível de produção desses empregados, no setor da indústria siderúrgica de um certo país, de 2007 a 2009.

Com base nas informações desse gráficos, analise as afirmativas a seguir e indique a soma dos números associados às corretas.1) Ao longo de 2007, a quantidade de empregados caiu, mas a produção manteve-seaproximadamente constante.2) Por volta de agosto de 2008, a quantidade de empregados começa a cair drasticamente, bem como a produção.4) A partir do 2o semestre de 2009, ocorre uma recuperação da quantidade de empregos, mas o mesmo não ocorre com a produção.8) Ao final de 2009, a quantidade de empregados volta aos níveis de meados de 2008.16) Do inicio do ano de 2008 ao início do ano de 2009, ocorre uma queda próxima de 50% na produção.

4-O gráfico a seguir indica como mudou a temperatura (em graus célsius) de dois líquidos, A e B, ao longo do tempo, em horas.

Analise esse gráfico e responda:a) Qual dos líquidos poderia estar dentro de um forno ligado?b) Qual dos líquidos poderia estar dentro de um refrigerador ligado?c) O que significa, fisicamente, o ponto L(t, T) em destaque?

5-Determine a função cujo gráfico é a reta que passa pelo ponto (3, 5) e tem coeficienteangular igual a 2.

6-Na produção de certo tipo de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 200,00 maisuma despesa variável de R$ 0,50 por unidade produzida, incluindo impostos etransporte. Sendo x o número de unidades produzidas, responda:a) Qual é a lei da função que fornece o custo total de x peças?b) Qual é o custo de 100 peças?c) Qual é a taxa de crescimento da função?d) Quantas peças devem ser vendidas, a R$ 3,00 a unidade, para que o lucro total sejade R$ 800,00?

7-Qual é o domínio da função f(x) = √ X+43 X+6

8-Sabe-se, da Física, que a pressão exercida pela camada de ar da atmosfera ao nível domar é de uma atmosfera (1 atm).Sabe-se, também, que qualquer objeto ao se afundar nas águas do mar passa a sofrer um aumento de pressão próximo a 1 atm a cada 10 m. Por isso, os mergulhadores se valem da seguinte relação para estimar a pressão p que podem estar sofrendo a uma profundidade de h metros: p = 1 +h/10 , (em atm).Suponha que um determinado aparelho eletrônico, usado para pesquisas feitas no mar,suporte, no máximo, uma pressão de 126 atm. Até qual profundidade esse aparelho poderá penetrar na água?

9-Um restaurante self-service cobra, no almoço, R$ 12,00 por pessoa. Após às 15h, essevalor cai para R$ 9,00. Estima-se que o custo total de um almoço seja R$ 7,00 por pessoa. Em um certo dia, 100 clientes almoçaram nesse restaurante, sendo que apenas x deles compareceram até as 15h. Nas condições citadas, indique:a) Qual a expressão que defi ne o lucro L, obtido nesse dia, em função de x?b) Qual o intervalo da variação de x para que o lucro seja superior a R$ 600,00 sem atingir R$ 750,00, num dia que 150 pessoas almoçarem nesse restaurante?

10-Sendo f(x) = 5x e g(x) = x3, calcular:a) fog (x)  b) gof (x)

11-Considerando as funções f(x) = x2 – 5 e g(x) = x + 1, calcule fog (2).

12-Dadas as funções f(x) = 5x e f o g (x) = 10x – 5, obtenha a função g(x).

13-Sejam as funções g(x) = 3x e f o g(x) = 3x2 – 1. Obtenha a Lei de f(x).

14Sabese, da física, que a distância x de um objetoà superfície de um espelho é igual à distância y da imagem I daquele objeto até essa superfície

Verifique se a relação entre as distâncias éuma função. Em caso afirmativo, forneça seu domínio, sua imagem e classifique-a quanto a essa imagem.

15-A relação que associa o nome de um estado brasileiro a sua respectiva capital é uma função? Em caso afirmativo, classifique-a quanto a sua imagem, justificando-se.

16-Calcule o valor de cada expressão a seguir:E= √2 . 3√2

TRIGONOMETRIA

1-Um engenheiro, cuja estatura é de 1,8 m, quer medir a altura (h) de um prédio. A distância entre o engenheiro e o prédio é de 35 m, e o ângulo de visão com que ele observa o topo do prédio é de 53º em relação à horizontal, conforme esta figura:

Qual é, aproximadamente, a medida obtida?

Sen 53°= 0,7986 COS 53º =0,6018 Tag 53º =1,3270

2-A figura a seguir mostra uma secção de uma sala, cujos teto e piso são horizontais. Mostra também uma pessoa sentada em uma cadeira, com os olhos situados a 1,2 m do solo, observando um ponto T no teto em relação à horizontal, sob um ângulo de 30o.

Qual é a medida do pé direito (distância entre o teto e o piso) dessa sala?

3-A Figura 1 a seguir mostra uma árvore antes de um vendaval, e a Figura 2 mostra a mesma árvore depois desse fenômeno:

4-Seja um ângulo agudo de medida α, tal que sen α = m + ½ e cos α = m. Calcule, independentemente de m, o valor de tg α.

5-Por meio do desenho, o topógrafo (profissional da topografia) representa, na planta topográfica, a forma, o relevo e as dimensões de uma porção da superfície terrestre.Para isso, o topógrafo mede, basicamente, distâncias e ângulos. As distâncias são medidas com trena, que é um tipo de fita métrica (Figura 1).Para medir ângulos, ele dispõe de um aparelho chamado teodolito (Figura 2).

Quando ele mira, por exemplo, o topo de uma torre, o teodolito fornece os ângulos α ou β,v contidos num plano vertical (Figura 3).

LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS

6-Um triângulo ABC é tal que A = 30 o e B = 45o. Se AC = 20 cm, calcule a medida de BC.

7-Calcule a medida do lado AB, do triângulo ABC e a medida do ângulo ED^F do triângulo DEF.

8-Calcule a área de um triângulo de lados medindo 5 cm e 8 cm, formando um ângulo de medida α, nos casos a seguir:a) α = 30º b) α = 120º

9-Uma praça será construída, envolvida pelas ruas que se cruzam nos pontos A, B, C e D, conforme esta figura: Seu formato é de um paralelogramo de lados 120 m e 60 m, formando entre si um ângulo de medida α, tal que cos α = 3/5.

10- O tecido usado na confecção de uma certa asa delta (Figura 1) tem o formato de umquadrilátero côncavo (Figura 2).

Considerando o cos x = 4/5a quantidade de tecido (em metros quadrados) necessária para confeccionar essa asa delta, desprezando as costuras e as dobras existentes .Para confeccionar determinado tipo de enfeite de festa, que aparenta ter um formato de “triângulo curvilíneo” (Figura 1), tomam-se triângulos retilíneos, confeccionados em tecido elástico. O triângulo confeccionado com esse tecido é mantido tracionado por fios amarrados em seus vértices (Figura 2).