Apostila de Logica by Erica 2

CONTEDO PROGRAMTICO: CRONOGRAMA SEMANAS: 1 Sistemas interruptor. CONTEDO dicotmicos: introduo, SEMANAS: 11 CONTEDO Argumento vlido. Regras de inferncia. Exerccios. Tcnicas dedutivas: prova direta, condicional e prova bi-condicional. prova

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Sistemas dicotmicos. Proposies: princpios fundamentais da lgica e tabelaverdade. Operaes lgicas sobre proposies: negao, conjuno, disjuno inclusiva, disjuno exclusiva, condicional e bicondicional. Operaes lgicas sobre proposies: construo de tabelas-verdade. Operaes lgicas sobre proposies: construo de tabelas-verdade. Exerccios. Relaes de implicao e equivalncia. Equivalncias notveis. Relaes de implicao e equivalncia. Equivalncias notveis. Propriedades. Exerccios. Argumento vlido: definio. Regras de inferncia. Argumento vlido. Regras de inferncia. Argumento vlido. Regras de inferncia.

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Tcnicas dedutivas: prova direta, prova condicional e prova bi-condicional. Exerccios.

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Tcnicas dedutivas: prova indireta ou por reduo ao absurdo e prova indireta da forma condicional. Tcnicas dedutivas: prova indireta ou por reduo ao absurdo e prova indireta da forma condicional. Exerccios. lgebra de Boole: conceitos iniciais. lgebra de Boole: sistemas algbricos.

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lgebra de Boole: principais teoremas. lgebra de Boole: principais teoremas. lgebra de Boole. Exerccios.

Os Gemetras GregosOs grandes gemetras gregos, como Tales, Pitgoras, Euclides, Hipcrates e Pappus, apesar de estarem interessados em aplicar os prprios talentos para a resoluo prtica dos problemas que eram enfrentados pela civilizao grega, tambm possuam a genialidade grega para o desenvolvimento das abstraes tericas (KLINE, 1953). Esses gemetras foram os primeiros a utilizar os dois na matemtica e da geometria, a abstrao e a demonstrao ou prova. A combinao destes dois processos ficou conhecida como mtodo dos gemetras ou o mtodo axiomtico-dedutivo, que consistia em admitir, como verdadeiras, certas proposies, ditas axiomas ou evidncias e, a partir delas, por meio de um encadeamento lgico, chegar a proposies mais gerais. Dessa forma, os gemetras gregos desenvolveram um mtodo lgico para demonstrar as formulaes por eles elaboradas, no qual eles partiam de verdades simples e irrefutveis e, com elas, desenvolviam raciocnios mais elaborados e complexos. Um dos primeiros filsofos gregos a utilizar o mtodo dos gemetras foi Aristteles (384-322 a.C.), que, apesar de no pertencer tradio dos grandes gemetras gregos, possua conhecimento de geometria, pois era discpulo de Plato, que desempenhou um papel crucial no incio da geometria grega (HEATH, 1981). Aristteles tratou sistematicamente os princpios do raciocnio lgico ao desenvolver uma teoria de deduo denominada silogismo. De acordo com Smith (1958), a sistematizao da lgica proposta por Aristteles contribuiu indiretamente para o trabalho desenvolvido por Euclides (323 283 a.C.) em Os Elementos. Um exemplo clssico do silogismo de Aristteles dado por: Todos os homens so mortais. Se Scrates um homem, ento, Scrates mortal. O silogismo foi uma forma de argumentao lgica que dominou o estudo da lgica por cerca de 2000 anos.

Uninove - Lgica Computacional Prof.(a) rika Andersen

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1. Interruptores

( 1 aula )

Definio: Um interruptor um dispositivo ligado a um circuito eltrico que pode assumir dois estados: aberto ou fechado. Quando aberto no permite a passagem de corrente eltrica, enquanto fechado a corrente passa livremente pelo ponto. a aberto

a fechado

Para simplificar denotaremos um interruptor por uma letra minscula do nosso alfabeto. Quando o interruptor estiver aberto, diremos que a = 0, enquanto fechado, diremos que a = 1. Dois interruptores a e b podem estar conectados atravs de dois tipos de ligaes: paralela ou serial. Denotaremos a ligao de dois interruptores a e b em paralelo por a + b. J a ligao em serial ser denotada por a b.

a a b ligao paralela (a + b) ligao serial (a b) b

Observe que em uma ligao paralela somente haver passagem de corrente eltrica se pelo menos um dos interruptores estiver fechado (1). Por outro lado, na ligao serial necessrio que ambos os interruptores estejam fechados para que a corrente possa passar.

Exemplos: 1) Determinar a expresso algbrica correspondente aos circuitos desenhados: a) b c) c

a

a c

b d

Soluo: a + b c

Soluo: a b + c d

b) a

b c Soluo: a (b + c)

d)

a b

c d

Soluo: (a + b) (c + d)

2)

Desenhar os circuitos cujas ligaes so dadas pelas expresses abaixo:

a) a (b + c) d b Soluo: a c d

c) a (b + c d) b Soluo: a c d


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b) (a b + c d) + p q a Soluo: c b

d) a + b c d a Soluo: d b c d

p

q

Exerccios: 1) Dar as expresses algbricas dos circuitos desenhados:

z a) x y t y b) x z y c) x z x d) t w j) z e) x y t a d b f) c w u p x y w i) q a p t w h)

a c x y

b d z s r s b y q v c z r w b e q t i l c f r u j m t

e f r t

a d p

x x t g) a

y y

z

k) s h

w k b

2)

Desenhar os circuitos cujas ligaes so dadas pelas expresses: a. b. c. d. e. f. g. h. i. p (q +r) m + (p q r) m+n+p+q (x y) + (u v) (p + q) (r + s) (p + q) (r + s + t) (a + b c) (d e + f) + g h i p (q (s + r) + t u) + (a + b) (c d + e) a (p (q + r s) + (t + u) (v + w x))


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2. Proposies

( 2 aula )

Definio: Uma proposio uma sentena declarativa, afirmativa que exprime um pensamento de sentido completo. Toda proposio pode ser escrita na forma simblica ou na linguagem usual.

Exemplos: 1) 2) 3) 4) O Brasil fica na Amrica do Sul. 2 + 3 = 5. 5 < 2. A Alemanha fica na sia.

Observe que nos exemplos acima as proposies 2) e 3) esto escrita na forma simblica, e as proposies 1) e 4) na linguagem usual.

1.

Valor lgico de uma proposio

Dizemos que o valor lgico de uma proposio a verdade (1) se a proposio for verdadeira e a falsidade (0) se a proposio for falsa. Ainda utilizando os exemplos acima, temos que o valor lgico das proposies 1) e 2) a verdade (1), pois ambas as proposies so verdadeiras. J o valor lgico das proposies 3) e 4) a falsidade (0), uma vez que tais proposies so falsas.

2.

Proposies simples e compostas

Definio: Uma proposio dita simples quando no contm nenhuma outra proposio como parte integrante de si mesma. Representaremos estas proposies pelas letras minsculas do nosso alfabeto (p, q, r, s etc).

Exemplos: 1) 2) 3) p: Carlos paulista. q: Est chovendo. r: Hoje domingo.

Definio: Uma proposio dita composta quando formada por duas ou mais proposies relacionadas pelos conectivos adequados (e, ou, se...ento, se e somente se). Indicaremos as proposies compostas pelas letras maisculas do nosso alfabeto (P, Q, R, S etc).

Exemplos: 2) 3) 4) Hoje domingo e est chovendo. Carlos paulista ou Joo carioca. Se Carlos paulista ento Maria gacha.

3.

Tabela-verdade

Utilizaremos a tabela-verdade para determinar o valor lgico das proposies compostas, lembrando sempre que toda proposio pode assumir somente um dos dois valores lgicos possveis (verdadeiro, falso), no existindo nenhuma outra possibilidade. O nmero de linha da tabela-verdade determinado pela frmula: 2n, onde n o nmero de proposies. Uninove - Lgica Computacional Prof.(a) rika Andersen 4 de 17

Exemplos: 1) Apenas uma proposio p: 21 = 2 linhas p 1 2 0 1 p 1

0

2)

Duas proposies p e q: 22 = 4 linhas 0 0 p 0 1 q 1 q 1

p 1 2 3 4 0 0 1 1

q 0 1 0 1

3)

Trs proposies p, q e r: 23 = 8 linhas 0 p 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q 0 1 r 1 0 p 0 r 1 q 0 1 r 1 0 r 1


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3. Operaes Lgicas sobre Proposies

4.

Negao ( ) = no

Exemplos: 1) p: Est chovendo. p: No est chovendo.

2)

q: Hoje domingo. q: Hoje no domingo.

Quando uma proposio p acrescida do operador lgico da negao - ( ) = no - a proposio resultante, ou seja, p, ser verdadeira se p for falsa; ser falsa se p for verdadeira.

Na tabela-verdade temos: p 0 1 p' 1 0

5.

Conjuno ( ) = e

Exemplo: p: Maria estudante. q: Joo mecnico p q: Maria estudante e Joo mecnico.

Quando duas proposies p e q so relacionadas pelo operador lgico da conjuno - ( ) = e - a proposio resultante, ou seja, p q, ser verdadeira somente se ambas as proposies forem verdadeiras. Ser falsa nos demais casos.

Na tabela-verdade temos: p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1


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6.

Disjuno ( + ) = ou

Exemplo: p: Daniela carioca. q: Mrio paulista. p + q: Daniela carioca ou Mrio paulista.

Quando duas proposies p e q so relacionadas pelo operador lgico da disjuno - ( + ) = ou - a proposio resultante, ou seja, p + q, ser falsa somente se ambas as proposies forem falsas. Ser verdadeira nos demais casos.

Na tabela-verdade temos: p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p+q 0 1 1 1

7.

Condicional ( ) = se...ento

Exemplo: p: Paulo marceneiro. q: Danilo estudante. p q: Se Paulo marceneiro ento Danilo estudante.

Quando duas proposies p e q so relacionadas pelo operador lgico do condicional - ( ) = se...ento - a proposio resultante, ou seja, p q, ser falsa somente se a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa. Ser verdadeira nos demais casos.



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8.

Bicondicional ( ) = se e somente se

Exemplo: p: Renato mora em So Paulo. q: Mariana mora em Campinas. p q: Renato mora em So Paulo se e somente se Mariana mora em Campinas.

Quando duas proposies p e q so relacionadas pelo operador lgico do bicondicional - ( ) = se e somente se - a proposio resultante, ou seja, p q, ser verdadeira somente se o valor lgico de ambas as proposies forem iguais. Ser falsa nos demais casos.


Ordem dos operadores: 1) 2) 3) 4) Negao ( ) Conjuno ( ) e disjuno ( + ) Condicional ( ) Bicondicional ( )

Exerccios:

3)

Sejam as proposies p: Joo joga basquete e q: Mrio joga vlei. Escreva na linguagem usual as seguintes proposies: a. b. c. d. e. f. pq p + q p q p q q p qp

4)

Dadas as proposies p: Faz calor e q: Est chovendo. Escreva na linguagem simblica as seguintes proposies: g. h. i. j. k. l. Faz calor e no est chovendo. Se faz calor ento est chovendo. Est chovendo se e somente se no faz calor. Se no est chovendo ento faz calor. No faz calor ou no est chovendo. No est chovendo nem faz calor.

m. Est chovendo, mas faz calor.


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5)

Sabendo que V(p) = 0 e V(q) = 1, determine o valor lgico de cada uma das proposies abaixo: n. o. p. q. r. s. t. p q p + q (p + q) p q p p q p p + q q p p p (q p) p + q (p q)

6)

Se V(p) = V(q) = 1 e V(r) = V(s) = 0, determine o valor lgico de cada uma das proposies abaixo: u. v. w. x. y. z. p + r r + (p s) p + (r s) q p s (p q) + (q p) (p q) (r s)

aa. p + (q r s) bb. (p + r) (q s) cc. p + (q s) r s dd. (q (r + s) p) r

7)

Classifique as proposies compostas abaixo, como conjuno, disjuno, condicional, bicondicional ou negao: ee. p + q r ff. p + (q r)

gg. p q r hh. p + (q r) p ii. jj. (p + q) (p q) r

4. Construo da Tabela-verdadePara se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, procede-se da seguinte maneira: a) b) Determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer construir; Observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema; c) Aplicam-se as definies das operaes lgicas que o problema exigir.

Exemplos: Construir a tabela-verdade das proposies abaixo: 1) p q + p p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p' 1 1 0 0 q' 1 0 1 0 p q 0 0 1 0 p q + p 1 1 1 0

P(00, 01, 10, 11) = 1110


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2)

p q + p p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p' 1 1 0 0 q + p 1 1 0 1 p q + p 1 1 0 1

P(00, 01, 10, 11) = 1101

3)

(p q) + (q p) p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1 (p q) 1 1 1 0 qp 1 0 0 1 (q p) 0 1 1 0 (p q) + (q p) 1 1 1 0

P(00, 01, 10, 11) = 1110

4)

p + r q r p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q' 1 1 0 0 1 1 0 0 r' 1 0 1 0 1 0 1 0 q r 0 1 0 0 0 1 0 0 p + r 1 0 1 0 1 1 1 1 p + r q r 0 1 0 1 0 1 0 0

P(000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) = 01010100 5) (q p) r (p + q) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 r' 1 0 1 0 1 0 1 0 qp 1 1 0 0 1 1 1 1 p+q 0 0 1 1 1 1 1 1 (p + q) 1 1 0 0 0 0 0 0 (q p) r 1 0 0 0 1 0 1 0 (q p) r (p + q) 1 0 1 1 0 1 0 1

P(000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) = 10110101


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6)

(p + q) (r p q) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q' 1 1 0 0 1 1 0 0 p + q 1 1 0 0 1 1 1 1 (p + q) 0 0 1 1 0 0 0 0 pq 1 1 1 1 0 0 1 1 rpq 0 1 0 1 1 0 0 1 (p + q) (r p q) 0 0 0 1 0 0 0 0

P(000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) = 00010000

5. Tautologia, Contradio e ContingnciaDefinio: De acordo com a ltima coluna da tabela-verdade de uma proposio composta, podemos classific-la em: Tautologia quando o valor lgico da proposio for sempre a verdade (1), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes; Contradio - quando o valor lgico da proposio for sempre a falsidade (0), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes; Contingncia quando ocorrem os dois valores lgicos 0 e 1 na tabela-verdade.

Exemplos: 1) p q p p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p' 1 1 0 0 q' 1 0 1 0 p q 0 0 1 0 p q p 1 1 0 1

P(00, 01, 10, 11) = 1101 Logo, uma contingncia.

2)

(p q) p + q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p' 1 1 0 0 q' 1 0 1 0 pq 0 0 0 1 (p q) 1 1 1 0 p + q 1 1 1 0 (p q) p + q 1 1 1 1

P(00, 01, 10, 11) = 1111 Logo, uma tautologia.


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3)

p + q p q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p' 1 1 0 0 q' 1 0 1 0 p' q 0 1 0 0 p + q 1 0 1 1 p + q p q 0 0 0 0

P(00, 01, 10, 11) = 0000 Logo, uma contradio.

6. Relaes de Implicao e Equivalncia

Definio: Dizemos que uma proposio p implica uma proposio q se toda vez que p for verdadeira, q tambm o for. Em outras palavras, em suas tabelas-verdade, no ocorre 10 (nessa ordem!). Notao:

q (p implica q) p q (p no implica q)p

Definio: Dizemos que uma proposio p equivalente a uma proposio q se os seus valores lgicos forem sempre iguais. Em outras palavras, suas tabelas-verdade so iguais. Notao:

q (p equivalente a q) p q (p no equivalente a q)p

Observao: no confundir os smbolos e origem a uma nova proposio,

, pois, enquanto representa uma operao lgica entre proposies, dando

O mesmo vale para os smbolos e

indica apenas uma relao entre duas proposies. .

Exemplos: 1) P: p q Q: (p q) P p 0 0 1 1 P q 0 1 0 1 pq 1 0 0 1 q' 1 0 1 0 p q 0 0 1 0 Q (p q) 1 1 0 1

Q (P implica Q) P (Q no implica P) P Q (P no equivalente a Q)Q


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2)

P: q Q: (p q) P p 0 0 1 1 P q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1 Q (p q) 1 1 1 0

Q (P no implica Q) Q P (Q no implica P) P Q (P no equivalente a Q)3) P: p q Q: (p q) (q p) P p 0 0 1 1 P q 0 1 0 1 pq 1 0 0 1 pq 1 1 0 1 qp 1 0 1 1 Q (p q) (q p) 1 0 0 1

Q (P implica Q) Q P (Q implica P) P Q (P equivalente a Q)

Exerccios:

8)

Construa a tabela-verdade das seguintes proposies: kk. p q p + q ll. p (q p) q q p

mm.

nn. (p q) p q oo. p r q + r pp. p r q + r qq. p (p r) q + r rr. (p q r + q) + (p q r p)

9)

Determine quais das seguintes proposies so tautologias, contradies ou contingncias: ss. p (p q) tt. p + q (p q)

uu. p (q (q p)) vv. ((p q) q) p ww. p + q (p q) xx. p + q (p q) yy. p (p + q) +r zz. p q (p q + r) aaa. (q p) (p q)


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10) Dadas as proposies P e Q abaixo, verifique se P Q (P implica Q), Q P (Q implica P) e P Q equivalente a Q): bbb.P: q p ccc. P: p ddd.P: p q q eee. P: q fff. P: p r q + r ggg.P: p q r hhh. iii. P: p + r r p r Q: q + p Q: p q Q: p q p q + p Q: p q p (q + p) Q: p r q + r Q: (p q) (p r) Q: (p q + r) q r Q: p q + r Q: (p + r) (p + (q r))

(P

P: (p q) + (p r)

jjj. P: q r p r

7. Argumento VlidoDefinio: Dizemos que um argumento, composto pela seqncia de proposies p1, p2, p3,..., pn, pn+1, vlido se sempre que as premissas p1, p2, p3,..., pn forem verdadeiras a concluso pn+1 tambm verdadeira e tal que a conjuno das n primeiras implica a ltima, ou seja, p1 p2 p3 ... pn

pn+1.

Sendo assim, para testar a validade de um argumento procede-se da seguinte maneira: d) e) f) Constri-se a tabela-verdade de p1 p2 p3 ... pn; Constri-se a tabela-verdade de pn+1; Comparam-se as colunas p1 p2 p3 ... pn e pn+1 para verificar se p1 p2 p3 ... pn p2 p3 ... pn implica pn+1. Se valer a implicao, ento o argumento vlido. Caso contrrio, o argumento falho.

pn+1, ou seja, se p1

Exemplos: Testar a validade dos argumentos abaixo: 4) p q, q, p De acordo com a definio, devemos verificar se: (p q) q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 1 0 1 (p q) q 0 1 0 1

p.

Como (p q) q

p, ento o argumento falho.

5)

p + q, p, q De acordo com a definio, devemos verificar se: (p + q) p p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0 p+q 0 1 1 1

q.

(p + q) p 0 1 0 0

Como (p + q) p

q, ento o argumento vlido.


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6)

p + q r, p q, q + p De acordo com a definio, devemos verificar se: (p + q r) (p q) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q 1 1 0 0 1 1 0 0 qr 0 0 0 1 0 0 0 1 p+qr 0 0 0 1 1 1 1 1 pq 1 1 1 1 0 0 1 1

q + p.q + p 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

(p + q r) (p q)

Como (p + q r) (p q)

q + p, ento o argumento falho.

7)

p q, p, q r + p, q + r De acordo com a definio, devemos verificar se: (p q) p (q r + p) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p' 1 1 1 1 0 0 0 0 q' 1 1 0 0 1 1 0 0 pq 1 1 0 0 0 0 1 1 q r 0 1 0 0 0 1 0 0 q r + p 0 1 0 0 1 1 1 1 (p q) p 1 1 0 0 0 0 0 0

q + r. q+r 0 1 1 1 0 1 1 1

(p q) p (q r + p) 0 1 0 0 0 0 0 0

Como (p q) p (q r + p)

q + r, ento o argumento vlido.

8. Portas LgicasDefinio: So as bases dos circuitos lgicos e tm por finalidade realizar determinada funo. Cada porta pode ter vrias linhas de entrada, mas somente uma linha de sada.

Porta lgica E ( ):

Porta lgica OU ( + ):

Porta lgica NO ( ' )

x=ab a b x

x=a+b a b x

x = a' + b' a b x

Exemplos: 1) Dar as funes correspondentes aos circuitos lgicos abaixo: a) a b x a c x = (a' + b) (a + c)


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b)

a b c y y = a b' c

c)

a b z a c z = (a b') + (a' c)

d)

a b w b c d w = (a + b) (b c d')

e) b c

a

a b b c a c

s

s = (a' + (b c))' ((a b') + (b c)' + (a c))

2)

Dar os circuitos lgicos correspondentes s funes abaixo: a) x = a + b' + c a b c x

b)

y = (a b) + c' a b c y

z = (a + b) (b + c) Uninove - Lgica Computacional Prof.(a) rika Andersen 16 de 17

a b x b c

c)

v = (a + b' + c' + d) c' (e + f) a b c d c e f v

d)

u = ((a + b) c) + ((a b) + (a c)) + (a (b + d)) a b c

a b u a c a

b d

Exerccios:

11) Teste a validade dos argumentos abaixo: kkk. p q, q p, p q lll. p q, p + q, q, p p q, p + q, p q r p, (p + q), q

mmm. nnn.

ooo. q p, (p q), q q p, p + q ppp.(p q) + (q r), (p q), q r qqq.r + t, s t, t r, t s rrr. q p, p + r, p q r, r q p

12) Dar os circuitos lgicos correspondentes s funes abaixo: sss. x = (a b) + (b' + (c d)) ttt. y = ((a + b') (c + d) b) + (a + b + c)' + ((a' b) + (b c)) uuu. z = ab + ac + bc

vvv. x = abc + (ac + bd)' + ac'd www. y = (((a + b') c) + (d e))' (a' + (b c) + d' + (a b c)) 17 de 17


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