UMA INTRODUÇÃO ÀUMA INTRODUÇÃO À GEOMETRIAGEOMETRIA

São Luís-MA2012

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MATERIAL ELABORADO POR:Cleison Gomes de Sá

Luís Fernando Carvalho GomesGeovan Carlos Mendonça Campos

Rodrigo MatosJohanathan Silva Cutrim

William Gonçalves Martins

“Esta obra vem com o intuito de facilitar a aprendizagem de você leitor, foi pensada de forma a ter uma leitura prazerosa e de fácil entendimento. Boa leitura e bons estudos a todos!”

Os autores.

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SUMÁRIO:

1. FIGURAS PLANAS E SUAS ÁREAS................4

INTRODUÇÃO........................................................5 QUADRADO...........................................................6 RETÂNGULO..........................................................6 TRIÂNGULO...........................................................8 PARALELOGRAMO..............................................12 LOSANGO...............................................................13 TRAPÉZIO...............................................................13 ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR...............14 ÁREA DE REGIÕES CIRCULARES....................15

2. PRISMA..................................................................18

INTRODUÇÃO........................................................19 ELEMENTOS............................................................20 CLASSIFICAÇÃO...................................................20 AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL.............................21 VOLUME...................................................................21 PARALELEPÍPEDO.................................................22 CUBO.........................................................................22

3. PIRÂMIDE...............................................................25

INTRODUÇÃO.........................................................26 ELEMENTOS.............................................................26 CLASSIFICAÇÃO.....................................................27 AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL.............................27 VOLUME....................................................................27

4. CILINDRO.................................................................29

INTRODUÇÃO...........................................................30 ELEMENTOS..............................................................30 CLASSIFICAÇÃO......................................................30 AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL...............................31 VOLUME.....................................................................31

5. CONE..........................................................................33

INTRODUÇÃO...........................................................34 ELEMENTOS..............................................................34 CLASSIFICAÇÃO......................................................34 AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL...............................35 VOLUME.....................................................................36

6. ESFERA......................................................................38

INTRODUÇÃO............................................................39 AREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA.........................40 VOLUME......................................................................40

7. EXERCÍCIOS..............................................................42

8. REFERÊNCIAS..........................................................43

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1 - FIGURAS PLANAS E1 - FIGURAS PLANAS E SUAS ÁREASSUAS ÁREAS

INTRODUÇÃO4

A necessidade de determinar a medida da superfície (área) de uma figura plana vem dos tempos mais remotos. No Egito, por exemplo, os agricultores das margens do Rio Nilo pagavam ao faraó um imposto pelo uso da terra, imposto esse proporcional à superfície da terra cultivada.

Hoje, pagamos um imposto territorial urbano ou rural proporcional à área do terreno. Necessitamos calcular aréa de uma figura geométrica em algumas situações. Por exemplo:

Quando compramos um terreno e precisamos conhecer a área do terreno e o preço por metro quadrado.

Quando queremos pintar as paredes de uma casa, pois o preço é dado em função da área das paredes da casa a serem pintadas.

Quando queremos construir uma casa, pois o orçamento é feito em razão da área a ser construída. Quando queremos coloca o piso de uma casa, em que é necessário calcular a área das superfícies a

serem revestidas porque os pisos são vendidos por metro quadrado.

Em que outras situações, precisamos em nosso dia-a-dia calcular a área de uma figura geométrica?QUADRADO

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Observe a figura abaixo:

O quadrado é a figura geométrica formada por quatro linhas retas de mesmo comprimento, denominados lados, que formam ângulos perfeitamente retos nos pontos de união entre elas (ângulos de 90º).

RETÂNGULO

A figura derivada do quadrado por modificação de seus lados é o retângulo, pois neste os lados não necessariamente precisam ser todos de comprimentos iguais.

Observe a figura abaixo:

ÁREA DO QUADRADO E DO RETÂNGULO

Joelma mora em uma casa que possui uma enorme área coberta. O pai de Joelma resolveu colocar cerâmica na área. O pedreiro contratado para realizar a obra mediu a área e disse que ela tem a forma retangular com as seguintes dimensões: 9 metros de largura e 12 metros de comprimento, totalizando uma área de 108 metros quadrados (m²). Veja a ilustração da área:

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Se o pai de Joelma resolver comprar blocos de piso no formato quadrado, de 1 metro de largura e 1 metro de comprimento, ele precisará de pelo menos 108 blocos, pois cada um deles tem 1 metro quadrado (m²) de área e a superfície total da área coberta é de 108 metros quadrados (m²).

A área do quadrado e do retângulo é calculada multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura. Todas as medidas devem estar na mesma unidade de comprimento. Veja a superfície da área com os blocos de cerâmica enumerados com dimensões de 1 metro de comprimento e 1 metro de largura.

Foram utilizados 108 blocos de cerâmica para cobrir toda a superfície da área. Importante: O metro quadrado (m²) equivale à superfície ocupada por 1 quadrado de 1 metro de lado. Após cobrir toda a superfície da área, o pai de Joelma pretende trocar todo o piso da sala de vídeo da casa. As dimensões da sala são 6 metros de comprimento e 4 metros de largura.

Agora é a sua vez!

A partir dessas dimensões, qual a área da sala da casa de Joelma?

TRIÂNGULO

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Chama-se triângulo todo polígono de três lados.

Dentre os estudos da Geometria, o triângulo consiste na figura plana mais simples. Além de ser a mais simples, é a mais importante de todas, pois possui várias aplicações perante as situações ligadas ao cotidiano. Em meio às várias aplicações do triângulo podemos citar a sua utilização em estruturas de sustentação. Observe a presença de triângulos na estrutura dos objetos a seguir:

FIGURA 1 FIGURA 2

As imagens demonstradas utilizam o formato triangular na sua composição. A figura 1 representa uma coluna de sustentação, e a figura 2 a armação do telhado de um galpão. Procurem em sua sala de aula outras formas triangulares, e veja o quanto essa figura geometria está presente por todos os lados. Em virtude de sua importância estudaremos o cálculo de sua área, mas primeiro vamos conhecer um triângulo detalhadamente.

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

Observe o triângulo abaixo:

Podemos destacar os seguintes elementos: Vértices: A, B e C.

Lados: AB, BC e AC.

Ângulos internos: Â , B eC.

Ângulos externos: α, β e γ .

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CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS

ESCALENO

Um triângulo é dito escaleno quando seus três lados têm medidas diferentes.

AB ≠ ACAB ≠ BCBC ≠ AC

ISÓSCELES

Um triângulo é dito isósceles quando possui dois lados congruentes.

EQUILÁTERO

Um triângulo é dito equilátero quando seus três lados são congruentes.Obs.: os três ângulos internos também são iguais.

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CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS ÂNGULOS

ACUTÂNGULO

Um triângulo é dito Acutângulo se seus ângulos internos são agudos, ou seja, menores do que 90º.

RETÂNGULO

Um triângulo é dito retângulo se um de seus ângulos internos é reto (isto é, igual a 90º). O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa (AC). Os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos (AB e BC).

OBTUSÂNGULO

Um triângulo é chamado obtusângulo quando um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior do que 90º.

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ÁREA DO TRIÂNGULO

Para calcularmos a área do triângulo utilizaremos o cálculo da área do quadrado. Sabemos que, para calcular a área do quadrado temos que multiplicar a largura pelo comprimento.

Área do quadrado: 4 m x 4 m = 16 m²

Se nesse quadrado traçarmos uma reta unindo dois vértices, construiremos dois triângulos. Veja:

 

O quadrado de área igual a 16 m² fora repartido em dois triângulos iguais, os quais podemos dizer que possuem área igual a 8 m² cada um. Dessa forma, temos que a área do triângulo é a metade da área de um quadrado. Veja como seria o cálculo da área do triângulo, independente da existência do quadrado:

Observe os seguintes triângulos:

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Agora é a sua vez!

Vamos calcular as áreas dos dois triângulos:

PARALELOGRAMO

O paralelogramo é um polígono que possui quatro lados, assim como no retângulo e no quadrado, os seus lados são paralelos, mas os ângulos internos não precisam ser de 90º (retos). Como todo quadrilátero, a soma dos ângulos internos é de 360º. Uma característica do paralelogramo é que os ângulos opostos possuem medidas iguais e os adjacentes somam 180º. Como por exemplo, a figura abaixo:

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Para calcular a área basta transformar o paralelogramo em um retângulo, cuja área já sabemos calcular:

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Observe que a área do paralelogramo ABCD é igual à área do retângulo ABEH formado, ou seja, é o produto entre a medida da base e a medida da altura.

LOSANGO

Um losango é todo paralelogramo que possui os seus quatro lados congruentes entre si, ou seja, os lados têm medidas iguais. Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o losango se encaixam perfeitamente na composição do retângulo.O critério de construção das peças é:

No losango, temos nas diagonais segmentos perpendiculares e que se cruzam (característica de todo e qualquer losango). Essas diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes que rearranjados formam um retângulo, com a mesma área do losango.

ÁREA DO LOSANGO

A partir da imagem abordada acima podemos perceber que a área do losango é igual ao produto entre a diagonal maior e a metade da diagonal menor do losango, logo:

A=D . d2

TRAPÉZIO

O trapézio é um quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos, onde estes são chamados de base maior e base menor.

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ÁREA DO TRAPÉZIO

Se dividirmos o trapézio em dois triângulos usando uma de suas diagonais, podemos facilmente calcular a sua área, assim como mostra a figura:

A área do trapézio é a soma das áreas dos dois triângulos formados, logo:

At=B .h

2+ b .h

2=B . h+b . h

2=

h(B+b)2

Ou seja, a área do trapézio é igual ao produto entre a soma da base maior coma a base menor e a sua altura, dividido por dois.

ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR

Observe alguns exemplos de polígonos regulares:

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Triângulo Equilátero Quadrado Pentágono regular Hexágono regular (Polígono regular de (polígono regular (polígono regular de (polígono regular de três lados) de quatro lados) cinco lados) seis lados)

Pode-se perceber que, se o polígono regular tem n lados, a região limitada Poe ele pode ser decomposta em nregiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l) e a altura é o apótema (a¿ do polígono regular.A área da região limitada por um polígono regular de nlados pode então ser escrita assim:

A=n ∙l ∙ a2 ou A=nl

2∙ a ou A=p ∙ a

Em que:l: ladoa: apóteman l: perímetro (2p)p: semiperímetro

ÁREA DE REGIÕES CIRCULARES

Observe a sequência de regiões poligonais regulares inscritas na circunferência:

Á medida que o número de lados (n) aumenta, o polígono regular tende a confundir-se com a circunferência.

Assim, o perímetro tende a se aproximar-se cada vez mais do comprimento da circunferência, que é 2 πR, e o apótema tende a se aproximar cada vez mais do raio R da circunferência.

Então, a região poligonal tende a se confundir com o círculo e sua área tende a se confundir com a área do círculo.

Como a área da região limitada por um polígono regular é dada pelo produto do semiperímetro pelo apótema (A= pa), então a área do círculo é:

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A=12

(2 πR ) R → A=πR ²

EXERCÍCIOS1) Determine a área do terreno plano abaixo usando as medidas dadas.

12m 5m

6m

4m

3m

8m

2) Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura abaixo. Nessas condições, qual é a área do terreno?

40m 30m

40m

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36m 3) Quantos pisos retangulares de 20 cm por 35 cm são necessários para cobrir uma sala, também regular, de 5,6

por 8m?

4) As raízes da equação x² - 15x + 26 = 0 são as medidas dos lados de um retângulo. Determine a área desse retângulo.

5) Calcule quantas telhas francesas são necessárias para cobrir as duas partes do telhado de uma casa, sabendo que as dimensões, em cada parte desse telhado, são 13,5m e 5m e que para cada 1,5m² de telhado são usadas 30 telhas.

6) Uma folha de papelão tem a forma e as dimensões indicadas na figura. Qual é a área dessa folha de papelão?

60 cm

43cm

7) Você quer fazer uma pipa em forma de losango, de tal forma que as varetas meçam 75 cm e 50 cm. Nessas condições, quantos centímetros quadrados de papel você irá utilizar para fazer essa pipa?

8) Em um losango, cada lado mede 30 cm. Se a diagonal maior desse losango mede 48 cm, determine a área desse losango.

9) Sabendo que as medidas das diagonais de um losango correspondem ás raízes da equação x² -13x + 40 = 0, determine a área desse losango.

10) Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se colocou pedras?

11) De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual é a área dessa região que foi recortada?

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12) Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 18 cm. Nessas condições, determine:

a) A medida do lado desse hexágono

b) O semiperímetro do hexágono

c) A medida do apótema do hexágono

d) A área desse hexágono

13) Qual é a área do círculo cujo raio mede 6√2cm?

14) Um disco de cobre tem 80 cm de diâmetro. Determine a área desse disco.

15) Um quadrado que tem 5√ 2 cm de lado está inscrito numa circunferência. Determine a área da região circular limitada por essa circunferência.

16) Qual é a área da região circular limitada por uma circunferência onde está inscrito um hexágono regular que tem 60 cm de perímetro?

17) Um piso de cerâmica tem forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual é a área desse piso?

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2 – PRISMA2 – PRISMA

INTRODUÇÃO

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Uma caixa de fósforos, um tijolo, algumas caixas de medicamentos, um livro, uma pedra de dominó são objetos com os quais lidamos diariamente e cuja forma se associa a um sólido geométrico a que chamamos prisma, ou seja, prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases iguais situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos).

Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos da base, isto é, é igual ao número de arestas da base.

A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim:

Se as bases são triângulos, o prisma chama-se triangular; Se forem quadrados, o prisma chama-se quadrangular; Se forem pentágonos, o prisma chama-se pentagonal; E assim por diante.

ELEMENTOS DO PRISMA

Observe na Figura abaixo:

Nesta podemos destacar:

Bases: ABC e A'B'C';

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Faces (paralelogramos): AB A'B', BC C'B' e AC A'C' Arestas das bases (lados das bases): AB, AC, BC, A'B', A'C' e B'C'; Arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases): AA', BB', CC'; Vértices (pontos de encontro das arestas): A, B, C, A', B', C'; Altura: distância entre os planos que contêm as bases.

CLASSIFICAÇÃO

Um prisma pode ser:

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja:

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

ÁREA DA SUPERFÍCIE

Para calcular a área da superfície de um prisma, calcularemos a área das bases (faces) e a área das laterais (para calcular a área das laterais, calcularemos a área de todos os polígonos laterais e somaremos a área de todos eles), e somaremos a duas, formando a área total (At).

Num prisma, temos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

Área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

Área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

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Área total (AT): soma da área lateral com a área das bases

AT = AL + 2AB

VOLUME

Para calcular o volume, usaremos a seguinte fórmula:

V = B.h (área da base x altura, em que B é a área da base e h é a altura do prisma, que corresponde a aresta lateral do prisma)

PARALELEPÍPEDO

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:

Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

DIAGONAIS DA BASE E DO PARALELEPÍPEDO

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CUBO

O cubo é um prisma regular limitado por 6 quadrado iguais (congruentes).

ÁREA LATERAL

A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

ÁREA TOTAL

A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

A=6 a ²

VOLUME

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V=a .a . a=a ³

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EXERCÍCIOS

1) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?

2) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo é igual ao prisma, a aresta da base do prisma mede?

3) Qual o volume de um prisma triangular regular de aresta da base igual a 6 cm a qual sua altura é igual a metade do volume de um cubo de aresta 6 cm?

4) Um depósito em forma de paralelepípedo retangular tem as seguintes dimensões internas: 14m, 22m, 6m. Pretende-se encher totalmente esse deposito com caixas cúbicas de mesmo volume de dimensão internas. O numero mínimo de caixas desse tipo que enchem totalmente o deposito é?

5) (UEMG) O volume, em litros de um cubo de 5 cm de aresta é de?

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6) (UFRS) Uma caixa tem 1m de comprimento 2m de largura, 3 m de altura. Uma segunda caixa de mesmo volume tem comprimento X metros maior do que a anterior, largura X metros maior do que a da anterior e altura X metro menor do que da anterior, o valor de X é?

7) A medida da aresta de um cubo de 27 m3 de volume é?

8) Calcule o volume de um prisma de base pentagonal regular em que a medida da aresta da base é 3cm e a altura é 5cm.

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3 - PIRÂMIDE3 - PIRÂMIDE

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INTRODUÇÃO

A pirâmide é talvez o sólido mais famoso que se conhece a exemplo das famosas pirâmides do Egito, pois quando se fala de pirâmide nos lembramos de logo que era construída como túmulos para o faraó e a sua família.

Pirâmide é um sólido geométrico que ao contrario do prisma, tem uma única base. O lado oposto à base na verdade é um ponto chamado de vértice: veja:

ELEMENTOS

Vértice: V; Faces (triângulos): VAB, VBC, VDE, VEA; Arestas da base (lados da base):AB, BC, CD, DE, EA; Arestas laterais (lados das faces que não pertencem à base): VA, VB, VC, VD, VE; Altura (h): distância entre o vértice V e o plano que contém a base ABCDE.

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CLASSIFICAÇÃO

Tal como acontece com os prismas, também as pirâmides se classificam de acordo com o polígono da base. Assim, teremos:

Pirâmide triangular (três faces; base é um triângulo); Pirâmide quadrangular (quatro faces); Pirâmide pentagonal (cinco faces); Pirâmide hexagonal (seis faces); Etc.

Base triangular base quadrangular Base pentagonal base hexagonal

Quando a pirâmide é formada por quatro triângulos equiláteros geometricamente iguais, tem o nome especial de tetraedro, que é um poliedro regular porque as suas faces são polígonos regulares sobreponíveis e é idêntico em todas as faces, isto é, neste poliedro não há vértices nem bases especiais. Em geral, uma pirâmide regular não é um poliedro regular.

ÁREA DA SUPERFÍCIE

Assim como os prismas, temos em uma pirâmide que a superfície lateral corresponde à reunião de todas as suas faces laterais, sendo a área dessa superfície a área lateral da pirâmide. A área da base corresponde à área do polígono que constitui a base da pirâmide, logo a superfície total é igual a soma da superfície lateral e a base.

Ap=A l+ Ab

VOLUME

Observe que um prisma triangular pode se decompor em três pirâmides triangulares de mesmo volume. Portanto, o volume de cada uma dessas pirâmides é igual a terça parte do volume do prisma triangular.

O volume da pirâmide corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura:

V=13

A b .h

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EXERCÍCIOS

1) Determinar o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 5 cm, e cuja altura mede 3 cm.

2) Determinar a área total de uma pirâmide quadrangular regular cuja base tem 64 cm2 de área e cuja altura mede 3 cm.

3) Numa pirâmide quadrangular, a aresta mede 18 cm e a altura é equivalente a 12 cm. Calcule o volume, a apótema e a área total dessa pirâmide.

4) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é quanto?

5) Um tetraedro regular tem todas as arestas de medidas iguais a 6 cm e altura h= l √63

. Calcular:

a) A área da superfície da baseb) A área da superfície totalc) O volume

6) (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de diagonal 6√6 cm e cuja altura é igual a 23

do lado

da base. Qual a área total dessa pirâmide?

7) Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base a = 3 cm e altura h = 5 cm. Determine o volume e a área da base.

8) (Fuvest-SP) Qual é a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as 8 arestas iguais a √2?

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4 - CILINDRO4 - CILINDRO

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INTRODUÇÃO

No dia a dia nos deparamos com diversos objetos cuja forma lembra a do cilindro, sendo necessário em certos casos conhecer algumas características, como a quantidade de material necessário para sua construção ou sua capacidade de armazenamento.

ELEMENTOS

Em um cilindro, podemos destacar os seguintes elementos: As bases são os círculos paralelos de raio r e centros O e O’.

As geratrizes são os seguimentos paralelos a OO’ com extremidade nas circunferências das bases.

O eixo é a reta OO’.

A altura h é a distancia entre os planos das bases.

A superfície lateral é a reunião de todas as grandezas.

CLASSIFICAÇÃO

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Cilindro reto Cilindro oblíquo

Quando as geratrizes do cilindro são oblíquas às bases, classificamo-lo como cilindro oblíquo. Já quando as geratrizes são perpendiculares às bases, classificamo-lo como cilindro reto.

O cilindro reto também pode ser chamado de cilindro de revolução, visto que pode ser gerado pela rotação de uma região retangular em torno do eixo, em um giro completo.

AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL

Observe um cilindro reto e sua respectiva planificação.

Note que as bases do cilindro são círculos congruentes de raio r e a superfície lateral corresponde a um retângulo de dimensões h e 2πr (comprimento da circunferência da base). A partir dessas informações, podemos calcular a área da superfície do cilindro.

Área da base: Ab=π . r2

Área lateral: Al=2. π . r .h

Área total da superfície: At=2. Ab+ Al=2.π . r2+2.π . r . h→ At=2. π . r .(r+h).

VOLUME

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No cálculo da quantidade de água que pode ser armazenada em um reservatório cilíndrico podemos utilizar conhecimentos acerca do volume do cilindro.

Para estudarmos o volume do cilindro utilizaremos as noções do Princípio de Cavaliere, que diz que qualquer plano B, paralelo a A, que secciona os sólidos determina regiões de mesma área.

Partindo desse princípio o volume do cilindro e o volume do prisma são iguais. Como o volume do prisma é dado por V p=Ab .h, temos que o volume do cilindro é dado por

V c=Ab. h → V c=π .r2 . h

EXERCÍCIOS

1) Num cilindro reto, o raio da base mede 4 cm e a altura, 10 cm. Calcular:

a) Área da base

b) Área lateral

c) Área total

d) Volume

2) (UFMG) Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm.

a)1800cm² b)18200cm² c)1884cm² d)1880cm² e)1886cm²

3) As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares são, respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual o volume do cilindro?

a)250 b)230 c)240 d)210 e)260

4) Um retângulo girando em torno de cada um dos seus lados gera dois sólidos, cujos volumes medem 360π m³ e 600π m³. Calcular a medida dos lados do retângulo.

a) a=10,b=6 b)a=8,b=6 c) a=6 ,b=10 d) a=10, b=8 e) a=6, b=8

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5) O raio da base de um cilindro equilátero mede 6 cm. Determine:

a) Altura

b) Área total

c) Volume

6) (Mack-SP) O raio de um cilindro circular reto é aumentado em 25%; para que o volume permaneça o mesmo, a altura do cilindro deve ser diminuída em quantos por centos?

7) Para projetar um reservatório cilíndrico de volume 81πm³, dispõe-se de uma área circular de 6 m de diâmetro. Qual deve ser a altura, considerando π=3,14?

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5 - CONE5 - CONE

INTRODUÇÃO

As figuras acima lembram um cone. Para determinarmos a quantidade de material necessário para a sua fabricação ou a capacidade que ele pode comportar, é necessário que estudemos os elementos que compõe o cone, assim como a área de sua superfície e seu volume.

ELEMENTOS

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Em um cone, podemos destacar os seguintes elementos: A base é o círculo de raio r e centro O.

O vértice é o ponto V.

As geratrizes são os segmentos com uma extremidade no vértice e outra na circunferência da base. Nesse cone, VM é um exemplo de geratriz.

O eixo é a reta OV.

A altura h é a distancia entre os planos paralelos que compõe a base e o vértice V.

A superfície lateral é a reunião de todas as geratrizes.

CLASSIFICAÇÃO

Quando o eixo de um cone é oblíquo à base, classificamo-lo como cone oblíquo. Já quando o eixo é perpendicular à base, classificamo-lo como cone reto.

Assim como o cilindro reto, o cone reto também é considerado um sólido de revolução, pois pode ser obtido ao rotacionarmos uma região triangular, cujo contorno é um triângulo retângulo, uma volta completa em torno do eixo. Dessa maneira, o cone reto também é denominado de cone de revolução.

AREA DA SUPERFÍCIE TOTAL

Observe um cone reto e sua respectiva planificação.

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De acordo com a planificação, é possível notar que a base do cone reto é um círculo de raio r e a superfície lateral corresponde a um setor circular de raio g e comprimento 2pir. A partir dessas informações, podemos calcular a área da superfície do cone.

Área da base: Ab=π . r2

Área lateral:

Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do respectivo arco, podemos determinar a área lateral por meio de uma regra de três.

Comprimento do arco Área do setor2π g π g2

2π r A,

Agora é a sua vez!

Encontre a área lateral do cone, resolvendo a regra de três acima.

Área total da superfície: At=Ab+ Al=π r (r+g)

VOLUME

O cone é formado através da revolução de um triângulo retângulo sobre um eixo. Observe:

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Como vimos, a base de um cone é uma região de formato circular com o raio de medidar. A distância do vértice ao centro da base formando um ângulo de 90º recebe o nome de altura (h) do cone. O comprimento da face lateral é denominado geratriz (g) do cone.  Para calcularmos o volume do cone multiplicamos a área da base pela medida da altura e dividimos o resultado por três. Observe:

V= Ab∙ h3 V= π ∙r ² ∙ h

3

Exemplo: 

Um copo será fabricado no formato de um cone com as seguintes medidas: 4 cm de raio e 12 cm de altura. Qual será a capacidade do copo?

V= π ∙r ² ∙ h3

V=3,14 ∙ 4² ∙ 123

V=3,14 ∙ 16 ∙123

V=200,96 cm²

Agora é a sua vez!

Exemplo:

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Uma casquinha de sorvete possui o formato de um cone reto com altura de 10 cm e raio da base medindo 5 cm. Determine o volume da casquinha.

 

EXERCÍCIOS

1) Para um cone reto que tem geratriz g com 5 cm e raio r da base com 3 cm, calcular:a) Área lateralb) Área da basec) Área totald) Alturae) Volume

2) Calcule a área total e o volume de um cone reto cujo raio da base mede 8 cm e que tem 10 m de geratriz.

3) Determine a área total e o volume de um cone reto que possui raio da base com 3 cm e altura de 4 cm.

4) Calcule a medida da geratriz do coe equilátero cuja área lateral é 8π dm ².

5) Determine o volume e a área total de um cone que tem 8 cm de altura e 6 m de raio da base

6) (Fatec) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é quanto?

7) (Fuvest-SP) O diâmetro da base de um cone é igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral do cone é:

a) 32

b¿ 23

c ¿ 12

d¿ 34

e ¿ √23

8) (PUC-RS) Num cone de revolução, a área da base é 36π m² e a área total é 96πm². Qual a altura do cone?

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6 - ESFERA6 - ESFERA

INTRODUÇÃO

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As esferas do dragão, uma laranja, uma bola, o planeta terra. Quem nunca ouviu falar em uma esfera? Este é um dos sólidos geométricos mais presentes em nosso cotidiano, e sempre estamos nos deparamos com uma esfera. Chegou a vez de estudá-las.

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido. 

Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos: 

Polos   Equador  Paralelo   Meridiano

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA 

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Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 

V=4 ∙ π ∙ r ²

VOLUME 

Por ser considerado um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação: 

V= 4π ∙ r ³3

EXERCÍCIOS

1) Qual o volume de uma esfera cujo raio mede 3√3cm?

2) Qual a área da superfície esférica cujo raio mede √3cm?

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3) (Mack-SP) Seja 36π o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a qual a razão entre o volume da

esfera e o volume do cubo?

4) São fundidas 300 esferas com 20 mm de diâmetro para fabricar cilindros com 20 mm de diâmetro e 200 mm

de altura. O número de cilindros resultantes é?

5) O Volume de uma esfera é 108 cm³. Determine a área da superfície esférica, considerando π ≈ 3.

6) Calcule o volume da esfera cuja área da superfície esférica é 48 cm². Considere π ≈ 3.

7) Considere uma laranja como uma esfera composta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8 cm de diâmetro, qual é o volume aproximado de cada gomo?

8) A indústria de bolas de borracha Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura. A quantidade total de material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm2 será de?

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77 - EXERCÍCIOS- EXERCÍCIOS

1) Calcule o volume de um prisma de aresta hexagonal em que a aresta da base mede 6 cm e a altura mede o dobro dessa aresta.

2) O volume de um paralelepípedo mede 162m3 e suas dimensões medem x, 2x, 3x. Qual o valor de x2 – 2x?

3) Sabendo que o volume de um paralelepípedo de lados 2, 3, x2 é igual ao volume de outro paralelepípedo de dimensões 20, 10 e 30. Qual o valor de x é?

4) Calcule o volume de um prisma de base retangular a qual um dos lados tem 3 cm e a diagonal da base tem 5cm. (Sugestão: use o teorema de Pitágoras).

5) Um prisma tem por base um triangulo equilátero cujo lado mede a e a altura desse prisma é igual ao dobro da altura do triangulo da base. Determine o seu volume.

6) Um tanque cúbico com face horizontal tem de volume 1cm3 e contem água ate sua metade. Após mergulhar uma pedra de granito, o nível d’água subiu 8 cm. O volume da pedra é:

a) 80 b) 800c) 8.000d) 800.000 e) 8000

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8 - REFERÊNCIAS8 - REFERÊNCIAS

BARRETO FILHO, Benigno; XAVIER S., Cláudio – Matemática aula por aula 2ª Série – São Paulo: FTD, 2003.

GIOVANNI, José Ruy – GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy – CASTRUCCI, Benedito; A Conquista da Matemática-Nova: 9º Ano – São Paulo: FTD, 1998.

SOUZA, Joamir Roberto de, Novo Olhar Matemática Volume 3 – São Paulo: FTD, 2011.

DANTE, Luiz Roberto – Geometria Plana Euclidiana – São Paulo: Editora Ática, 2005.

NETO, Raimundo Martins Reis – Introdução á Geometria Plana e Espacial – Notas de Aula

http://www.escolakids.com/ , Acesso em 11 de Setembro de 2012.

http://www.criarweb.com/ artigos/ , Acesso em 11 de Setembro de 2012.

http://www.somatematica.com.br/ , Acesso em 11 de Setembro de 2012.

http://www.educ.fc.ul.pt/ , Acesso em 11 de Setembro de 2012.

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