Apostila de Estatística 01 - 2014 - IFAM.pdf

IIFFAAMM IInnssttiittuuttoo FFeeddeerraall ddee EEdduuccaaoo,, CCiinncciiaa ee TTeeccnnoollooggiiaa ddoo AAmmaazzoonnaass CCaammppuuss MMaannaauuss CCeennttrroo

PPrrooffeessssoorr JJuuddiimmaarr CCaarrvvaallhhoo BBootteellhhoo

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TODOS OS DIREITOS RESERVADOS pro-ibida a reproduo total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio, sem expressa au-torizao do autor. A violao dos direitos do autor (Lei n. 9.610/98) crime estabelecido pe-lo artigo 184 do Cdigo Penal.



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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLGIA DO AMAZONAS IFAM

ESTATSTICA NO TRABALHO COM COMPETNCIA PROGRAMA:

1. Conceitos preliminares

1.1. O que Estatstica?

1.2. Populao e amostra

2. Tabelas e Grficos

3. Distribuio de Freqncias.

3.1. Varivel discreta

3.2. Varivel continua

4. Medida de Posio

4.1. Medida Aritmtica

4.2. Mediana

4.3. Moda.

5. Medidas de Disperso

5.1. Amplitude total

5.2. Desvio mdio

5.3. Varincia

5.4. Desvio padro

5.5. Coeficiente de variao.

Bibliografia:

NAZARETH, Helenalda. Curso Bsico de Estatstica. Ed. tica, 1995.

CRESPO, Antnio Arnot. Estatstica Fcil. Ed. Saraiva, 1996.

BONJORNO, Jos Roberto. Noes de Estatstica. Ed. F.T.D.

MARCONDES, Gentil e Srgio. Estatstica. Ed. tica.



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1.1. O QUE ESTATSTICA ?

Etmologicamente (status = Estado em latim): significou por muito tempo os negcios do Estado.

Modernamente pode-se dizer que a Estatstica trabalha com MTODOS CIENTFICOS para coletar, organizar, resumir e apresentar os resultados, tambm para a obteno de conclu-ses e tomada de decises.

ORIGEM 3000 a.C. os Babilnios, Egpcios e Chineses j faziam a contagem de seus habitantes

(CENSO derivado do Latim, CENSERE = Taxar). Em 1085, a palavra Estatstica foi utilizada.

Graas aos filsofos Karl Pearson e Francis Galton a Estatstica progrediu como cincia. DEFINIO 1. um conjunto de mtodos que se destina a possibilitar a tomada de decises a-

certadas, face s incertezas. 2. Trata do conjunto de mtodos utilizados para a obteno de dados, sua organiza-

o em tabelas e grficos e a anlise desses dados. ETAPAS DA ESTATSTICA Mecanismo de coleta de dados, amostragem e planejamento do experimento; Como organizar os dados coletados? Grficos, tabelas... Baseado nos dados coletados, tomar algumas decises. DIVISO DA ESTATSTICA Estatstica descritiva: consiste em um conjunto de tcnicas que objetivam descrever e

analisar os resultados. Estatstica indutiva: a parte da estatstica que baseada nos dados coletados, faz-se

uma extrapolao para casos gerais; em outras palavras, baseado na amostra extrapola-se os resultados para a populao.

1.2. POPULAO X AMOSTRA

Populao: o conjunto constitudo de indivduos ou objetos que apresentam uma ca-racterstica comum, cujo comportamento interessa analisar. Pode ser finita ou infinita.

Ex.: Populao Finita: alunos da turma A de comunicao sem fio. Populao Infinita: o lanamento de uma moeda.

Amostra: o conjunto dos elementos da populao escolhidos para realizao do es-

tudo. Obs.: Populao no implica necessariamente em gente, pessoas. O que importa a varivel estudada (Ex: estatura, sexo, peso, cores de olhos).



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TIPOS DE VARIVEIS Contnua: a que pode assumir teoricamente qualquer valor entre dois nmero. Ex.:

altura, idade, peso, Discreta: No existem valores intermedirios entre dois nmeros consecutivos. Ex.:

Nmero de carros, Nmero de livros, FONTE DE DADOS Fonte primria: a coleta dos dados pelo pesquisador diretamente na fonte. Fonte secundria: a coleta dos dados atravs de revistas, jornais

Obs.: A depender da procedncia das fontes pode-se fazer concluses elevadas.

TIPOS DE SRIE Cronolgica: quando se estuda um determinado fenmeno levando-se em conta o

tempo. Ex.: evoluo da populao de um Estado durante o perodo de 1980 a 1996. No espao ou geogrfica ou temporal: o fenmeno estudado em mais de uma regio.

Ex.: populao dos estados na Regio Norte em 1996. Em categorias: o tempo e o espao so fixos; a categoria varia. Ex.: oferta de trabalho

na grande So Paulo em 1996. A Estatstica DESCRITIVA pode ser resumida da seguinte forma:

Coleta de dados Crtica dos dados Apresentao dos dados Tabelas e Grficos

Analises.

FASES DO MTODO ESTATSTICO 1. Coleta de dados: consiste na busca ou compilao dos dados das variveis; com-

ponentes do fenmeno a ser estudado. 2. Crtica dos dados: eliminar os erros capazes de provocar futuros enganos de apre-

sentao e anlises. 3. Apresentao dos dados: a organizao dos dados de maneira pratica e racio-

nal, para o melhor entendimento do fenmeno que se est estudando. Sua apre-sentao pode ocorrer por meio de tabelas e grficos.

2. TABELAS E GRFICOS

Aps a coleta e organizao dos dados estes devem ser apresentados na forma de Tabelas e Grficos.

ESTRUTURAO Uma tabela e mesmo um grfico deve apresentar o cabealho; o corpo e o rodap: a) Cabealho O cabealho deve responder as seguintes perguntas.



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O qu ? (referente ao fato) Onde ?(relativo ao lugar) Quando ? (correspondente ao tempo, a poca) Ex.: Incidncia de madeira em Manaus no ano 1997. b) Corpo O corpo de uma tabela representado por uma srie de colunas e subcolunas, dentro

das quais so colocados os dados apurados. De acordo com o corpo, as tabelas podem ser de Entrada simples de Dupla entrada e

de Mltipla entrada. Exemplo: Entrada Simples

TABELA 1. Previso da populao para a cidade de Boa Vista entre os anos de l998 a 2001

ANOS POPULAO

1998 150.000

1999 151.000

2000 152.000

2001 154.000

Exemplo: Dupla Entrada

TABELA 2. Caractersticas dos funcionrios da empresa Martins no ano de 1997

MASCULINO FEMININO TOTAL

Maior de 18 anos 600 400 1.000

Menor de 18 anos 100 50 150

Total 700 450 1.150

Exemplo: Entrada Mltipla

TABELA 3. Concentrao de nutrientes no perodo e na folha do tomateiro e do pimento Cultivados em Manaus em 1997

PARTE DA PLANTA TOMATE

N.P.K (dag / Kg) PIMENTO

N.P.K (dag/ Kg)

Perodo 5,0 1,1 3,5 6,0 1,6 3,0

Folha 4,0 0,8 2,0 3,0 1,0 2,0

c) Rodap

No rodap devemos colocar a legenda e todas as observaes que venha a esclarecer

a tabela. Tambm, podem ser colocadas as fontes de dados, embora as mesmas possam ser colocadas tambm no cabealho.

Exemplo:

SEXO IDADE



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Produo de milho da Fazenda Y dos meses de Janeiro Junho.

MESES PRODUO POR TONELADA

Janeiro 12.500

Fevereiro 13.000

Maro 4.000

Abril 18.000

Maio 20.000

Junho 22.000 Fonte: Fazenda Y

AMOSTRAGEM Amostragem Aleatria Simples: Devemos ter certeza de que o elemento a ser amos-

trado ter a mesma chance de ser sorteado. necessrio colher pelo menos 10% da popula-o.

Exemplo: Queremos sabe a opinio dos professores do colgio A sobre o Diretor. SOLUO:

1. Populao: 2. Amostra: 3. Como fazer?

Amostragem Sistemtica: a populao separada em grupo, onde o sorteio ocorreria

dentro de cada grupo. Exemplo: Amostra

1. Como fazer?

Amostragem Estratificada Proporcional: recomendada quando existe uma diviso na-tural da populao em grupos com nmeros de elementos diversos. A amostra formada com elementos proporcionais a cada grupo existente.

Exemplo: deseja-se saber a opinio das crianas na faixa etria de 7 anos sobre de-terminado desenho animado Pesquisa feita em um colgio qualquer.

SOLUO: 1. Populao: 10% dos alunos de 120 alunos 12 alunos 2. Amostra: 10% dos alunos.

CLASSE POPULAO FREQNCIA

RELATIVA TOTAL DE ALUNOS

A 20

B 15

C 35

D 30

E 20

TOTAL 120

Obs.: Uma amostra precisa ser representativa e imparcial para uma perfeita anlise dos resulta-dos. A Imparcialidade obtida mediante o uso de critrios: sorteio, tbua de nmeros aleatrios, A Representatividade pode ser obtida atravs da Distribuio de Freqncia.



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GRFICOS LINEARES OU DE CURVA So grficos em duas dimenses, baseados na representao cartesiana dos pontos

no plano. Servem para representar sries cronolgicas, sendo que o tempo colocado no eixo das abcissas e os valores observados no eixo das ordenadas.

Exemplo: Censo demogrfico do Brasil de 1890 1980

ANOS POPULAO (Milhes)

1890 14

1900 17

1920 30

1940 41

1950 52

1960 70

1970 93

1980 119

GRFICOS EM COLUNAS OU BARRAS So representados por retngulos de base comum e altura proporcional magnitude

dos lados. Quando dispostos em posio vertical so denominados colunas; quando dispostos na posio horizontal, so denominados Barras.

a) Colunas Justapostas: os retngulos so dispostos um ao lado do outro. Exemplo: Produo agrcola de Manaus em 1997.

PRODUTOS TONELADAS (Milhes)

SOJA 349

TRIGO 98

FUMO 107

ARROZ 49

b) Colunas contrapostas ou opostas: aquele em que os retngulos so dispostos de

maneira oposta entre si, cada um representando um fato diferente. Exemplo: Distribuio etria do vale do Jari em 1997

IDADE HOMENS MULHERES

0 10 28.000 33.000

10 20 26.000 30.000

20 30 16.000 19.000

30 40 14.000 13.000

40 50 9.000 10.000

50 60 7.000 9.000

60 6.000 8.000

c) Colunas superpostas: aquela em que os retngulos so dispostas uma sobre a

outra, evidenciando suas diferencias. Exemplo: Situao patrimonial da empresa Martins Ltda (R$).



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ANOS RECEITA DESPESA

84 8.000 6.000

85 12.000 11.000

86 9.000 10.000

87 11.000 9.500

d) Colunas compostas: aquele em que um retngulo construdo de forma repre-

sentar as partes em que se divide o fato. Exemplo: Alunos do grupo Escolar D. Pedro I em 1997

1 Srie 400 + 2 Srie 300 + 3 Srie 200 + 4 Srie 100 = 1.000. Procedimentos: Construir um retngulo de altura qualquer para representar o fato e fa-

zer uma regra de trs para indicar cada uma das parcelas que o compe. (Faa no caderno).

GRFICOS DE SETORES So representados por meio de setores em um crculo. Exemplo: Funcionrios da empresa Sousa Ltda em 1997

IDADE NMERO

0 20 25

20 30 25

30 * 50

TOTAL 100

3. DISTRIBUIO POR FREQUNCIA Exemplo: a partir das idades dos alunos de uma escola faa a distribuio de freqncia.

Dados Brutos (idades):

8 8 7 6 9 9 7 8 10 10 12 15 9 7 13 12 11 11 8 6 5 10 6 9 8 6 7 11 9. Colocando esses dados em ordem crescente ou decrescente, denominada rol

5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 13 15 Calcular a Amplitude do Rol:

Valor Mximo Valor Mnimo h = 15 5 = 10 Colocar os nmeros em classes:

Nmero de classes (n) dado por Sturges Nn log3,31 onde,

N = nmeros de observaes.



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CLASSES FREQ.SIMPLES

(fi) FREQ.RELATIVA

(Fi) FREQ.ACUMUL.

(Fac) PONTO MDIO

DA CLASSE (Pi)

5 7

7 9

9 11

11 13

13 15

ATENO:

1. O nmero de vezes que determinado valor se repete, chama-se freqncia desse valor.

2. Distribuio de freqncias com intervalos de classe. Temos cinco intervalos de classe ( 5 7, fechado em 5 e aberto em 7, que no do intervalo), e assim su-cessivamente.

3. Os extremos de cada classe so chamados de limites superiores ou inferiores. As-sim 5, 7, 9, 11, 13 so limites inferiores, e 7, 9, 11, 13, 15 so limites superiores.

4. O ponto mdio de cada intervalo de classe obtido pela mdia aritmtica dos limi-tes inferiores e superiores das classes. So pontos mdios os valores 6,8, 10, 12 e 14.

5. Freqncia relativa ou percentual (Fr), se associa freqncia de cada classe o percentual que ela representa em relao freqncia total.

6. Freqncia acumulada (Fac), dada pela soma das freqncias de todas as clas-ses, desde a primeira at a classe considerada.

7. Amplitude de classe, a diferena entre os limites superior e inferior h = Ls Li

GRFICOS ESPECIAIS PARA DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS Apresentao grfica da distribuio de freqncia de uma varivel discreta Exemplo: Nmero de bactrias por recipiente observados em um microscpio.

RECIPIENTE N. BACTRIAS

1 500

2 400

3 300

4 200

5 100

6 50

Representao grfica da distribuio de freqncia de uma varivel continua

a) Histograma: a representao grfica atravs de retngulos adjacentes onde a

base colocada no eixo das abcissas corresponde aos intervalos das classes, e a altura dada pela freqncia absoluta das classes.

Exemplo:



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NOTAS FREQ SIMPLES FREQ.ACUMULADA

0 2 3 3

2 4 5 8

4 6 10 18

6 8 6 24

8 10 1 25

b) Polgono de Freqncias: a representao grfica de uma distribuio de fre-qncia por meio de um polgono, onde os pontos so obtidos por perpendiculares traadas a partir dos pontos mdios das classes, e de altura proporcional fre-qncia de cada classe. No caso de freqncia acumulada, os segmentos perpen-diculares so traadas a partir dos limites superiores da classe. (Faa no caderno)

4. MEDIDAS DE POSIO

As medidas de posio ou medidas de tendncia central representam os fenmenos

pelos seus valores mdios, em torno das quais tendem a se concentrar os dados.

4.1 MDIA ARITMTICA Quociente da soma dos dados pelo seu total. 1. Dados no agrupados

n

xX

Exemplo: 1. Calcular a mdia aritmtica de 2, 5, 8, 13. 14, 20, 30, 46 e 47. 2. Calcular a mdia aritmtica de 22, 23, 22, 27, 25 e 13 de livros vendidos durante

uma semana numa livraria. 3. Determine a mdia aritmtica das seguintes sries:

a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 b) 7, 8, 8, 10, 12 c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75 d) 70, 75, 76, 80, 82. 83, 90

2. Dados agrupados

n

fipiX , onde pi = ponto mdio e fi = freqncia simples



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Exemplos: 1. Determinar a renda mdia da distribuio populacional, com intervalos de classe.

RENDA FAMILIAR N. DE FAMILIA ( fi ) pi (ponto mdio) fi . pi

2 4 5

4 6 10

6 8 14

8 10 8

10 12 3

40

2. Determine mdia aritmtica da situao abaixo.

NOTAS FREQ. ( fi ) pi (ponto mdio) fi . pi

0 2 3

2 4 5

4 6 18

6 8 14

8 10 10

50

3.Determine mdia da seguinte situao.

NOTAS FREQ. ( fi )

3 3

4 5

5 6

6 7

7 6

4. A classificao final para um determinado curso e a mdia ponderada das provas

de capacidade geral, com peso 3 e as provas de capacidade especifica, com peso2. Nessas condies, qual a classificao de um aluno que obteve 162 pontos na prova de capacidade geral e 147 pontos na prova de capacidade?

4.2 MEDIANA Valor que ocupa a posio central da distribuio. 1. Dados no agrupados Srie Par:

2

nP e 1

2

nP



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Srie mpar:

2

1nP

Exemplo:

1. Calcular a mediana de 9, 26, 15, 2, 5, 50, 31, 44 e 21. 2. Calcule a mediana dos seguintes dados: 7, 4, 3, 7, 7, 6, 3, 3, 2, 8 e 2. 3. Calcular a mediana dos dados 10, 12, 17, 10, 10, 12, 13, 15, 17 e 20. 4. Consideremos, agora, que os dados se apresentam na forma de um quadro de distribuio

de freqncias: Qual ser a mediana dos dados neste ano?

Xi Fi

7 6

10 12

15 15

20 24

23 9

2. Dados agrupados

hfi

FacN

liMd 2 , onde:

li = limite inferior da classe que contm a mediana

N = nmero de termos da srie ( N = fi ) N/2 = ser a posio P da mediana Fac = freqncia acumulada anterior da classe mediana fi = freqncia absoluta da classe mediana h = amplitude da classe mediana

Exemplo : 1

X (cm ) Fi Fa

140 145 3

145 150 5

150 155 2

155 160 7

160 165 14

165 170 6

170 175 0

175 180 1

180 185 2

40



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1 passo: calcular a freqncia acumulada 2 passo: encontrar o lugar mediano ( Lmd ), ou seja, a classe onde a mediana deve-

r situar-se para isso calculamos o valor de N/2 que neste caso vale 40/2 = 20 3 passo: percorrer a coluna da freqncia acumulada ( Fac ) de cima para baixo e

verificar onde cabe o valor 20. O valor 20 cabe no Fac = 3l, ento o lugar mediano a 5 classe, ou seja, 160 165.

4 Passo: entrar na formula da Md, sendo: li = Fac = fi = h = 5 passo: Aplicar a formula

Exemplo: 2

Altura x (cm) fi Fa

160 165 8

165 170 15

170 175 10

175 180 40

180 185 90

185 190 20

190 195 15

195 200 2

200

Calcule.

4.3. MODA Valor (ou valores) de maior freqncia na distribuio 1. Dados no agrupados Chamaremos moda ao valor que aparece num maior nmero de vezes. a) Amodal quando no existe moda. EX.: 2, 2, 6, 6, 9, 9, 4, 4, 3, 3,5, 5, 10, 10 b) Unimodal quando existe uma nica moda.EX.:3,3,4,5,5,5,6,6,7,8. Mo = 5. c) Bimodal - quando existe duas modas.EX.:2,3,3,3,4,5,6,6,6,6,7,8,8,8,8,9.

Mo = 6 e Mo = 8 d) Plurimodal ou Multimodal - quando existem mais de duas modas. EX.:1, 1, 2,

2, 2, 4. 4. 4. 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8. Mo = 2 , Mo = 4 e Mo = 7

2. Dados agrupados. ( frmula de Czuber )

hliMo21

1, onde:

li = limite inferior da classe modal.

1 = diferena entre a maior freqncia pela freqncia anterior.

2 = diferena entre a maior freqncia pela freqncia posterior. h = amplitude de classe modal.



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Exemplo: 1 Determinar a moda para a seguinte distribuio.

CLASSE fi

0 1 3

1 2 10

2 3 17

3 4 8

4 5 5

TOTAL 43

1 Passo: identificar a classe Modal ou seja, aquela que possui maior freqncia. 2 Passo Aplicar a frmula. Exemplo: 2 Calcule a moda para a distribuio de freqncias que apresenta o tempo

gasto por jogadores de um clube para percorrer determinada distncia.

TEMPO ( s) fi

10 12 3

12 14 4

14 16 7

16 18 12

18 20 6

Exemplo: 3.:

ESTATURAS (cm) fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Exemplo: 4.:

CUSTOS Fi

450 550 8

550 650 10

650 750 11

750 850 16

850 950 13

950 1050 5

1050 1150 1

64



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5. MEDIDAS DE DISPERSO

5.1. Amplitude total: diferena entre o maior e menor dado de um conjunto (srie). Exemplo:

- calcule a amplitude total da srie 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38. - calcule a amplitude total da srie 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70. - calcule a amplitude total dos conjuntos de dados:

a) 1, 3, 5, 9. b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20. c) 17,9 ; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 d) -10, -6, 2, 3, 7, 9, 10.

5.2. Desvio mdio: mdia aritmtica dos valores absolutos dos desvios.

n

fidDm

Exemplo: 1. Clculo do desvio mdio

- primeiro precisamos do valor da mdia

Xi Fi Xi fi

5 2 10

7 3 21

8 5 40

9 4 36

11 2 22

16 129

5.3. Desvio padro: Raiz quadrada da mdia aritmtica dos quadrados dos desvios.

Dados no agrupados: 22

n

xi

n

xis

Exemplo: 1.: o conjunto de valores da varivel x:

- formar uma tabela com duas colunas: uma para xi e outra para xi2.

Xi Xi2

40 1.600

45 2.025

48 2.304

52 2.704

54 2.916

62 3.844

70 4.900

= 371 = 20.293



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Dados agrupados: sem intervalos de classe

22

n

xifi

n

xifis

Exemplo : 1 O modo mais prtico para se obter o desvio patro abrir, na tabela dada,

uma coluna para os produtos fi . xi e outra para fi . xi2 , basta multiplicar:

xi fi fi . xi fi . xi2

0 2

1 6

2 12

3 7

4 3

= 30 = =

Com intervalos de classe:

Exemplo: 1.: Comeamos por abrir as colunas para pi (ponto mdio), para fi . xi e para fi-xi2 .

i ESTATURA fi Pi fi . pi fi . pi2

1 150; 154 4

2 154; 158 9

3 158; 162 11

4 162; 166 8

5 166; 170 5

6 170; 174 3

= 40 = =

5.4. Varincia: Quadrado do desvio patro: s2

Classe Fi pi Pixi Xi - x ( xi x)2

0; 4 2

4; 8 6

8; 12 8

12; 16 3

16; 20 1

20



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5.5. Coeficiente de variao: relao entre o desvio padro (S) e a mdia aritmtica (Ma), multiplicada por 100.

100Ma

SCV

Exemplos: a) Suponhamos uma distribuio da estatura de 40 estudantes em que obtivemos: S =

6, 009 cm e Ma = 160,25 cm . Calcule CV. b) Para o mesmo grupo de estudantes do exemplo 1, fizemos o estudo do peso e en-

contramos: S = 4,002 kg e Ma = 59,85 kg .Calcule CV. c) Para uma distribuio , onde Ma = 161 cm e S = 5,57 cm d) Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo gru-

po de indivduos:

Ma S

ESTATURAS 175 cm 5, 0 cm

PESOS 68 kg 2, 0 kg

CHEGAMOS NO FINAL DE MAIS UMA ETAPA, PROCURE PESQUISAR MAIS O ASSUNTO, VOC S TEM GANHAR. SEU PROFESSOR.

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