Apostila de Concreto I (Virgínia UFRGS)

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UFRGS – Universidade federal do rio grande do sul Escola de engenharia DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ENG 01111 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof. Virgínia Maria Rosito d’Avila BIBLIOGRAFIA - NBR 6118/03 - Projeto de estruturas de concreto - Procedimento - NBR 7480/96 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado - Montoya, Meseguer e Morán : Hormigón Armado - Leonhardt e Mönning : Construções de Concreto vol. 1 a 6 - Interciências - Péricles B. Fusco : Estruturas de Concreto, solicitações normais - Péricles B. Fusco – Técnica de armar as estruturas de concreto

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UFRGS – Universidade federal do rio grande do sulEscola de engenharia

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ENG 01111

ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I

Prof. Virgínia Maria Rosito d’Avila

BIBLIOGRAFIA

- NBR 6118/03 - Projeto de estruturas de concreto - Procedimento- NBR 7480/96 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado- Montoya, Meseguer e Morán : Hormigón Armado- Leonhardt e Mönning : Construções de Concreto vol. 1 a 6 - Interciências- Péricles B. Fusco : Estruturas de Concreto, solicitações normais- Péricles B. Fusco – Técnica de armar as estruturas de concreto

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I- FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO

1- INTRODUÇÃO GERAL

1.1- Definição

O concreto armado é um material composto, constituído por concreto simples e barras de aço. Os dois materiaisconstituintes (concreto e aço) devem agir solidariamente para resistir aos esforços a que forem submetidos e devem serdispostos de maneira a utilizar econômica e racionalmente as resistências próprias de cada um deles.

O material concreto armado possui as seguintes propriedades:- Elevada resistência à compressão do concreto e elevada resistência à tração do aço.- Trabalho conjunto do concreto e do aço, assegurado pela aderência entre os dois materiais.- Coeficiente de dilatação térmica quase iguais � α = 10-5/°C. Praticamente não existem tensões internas entre o aço e oconcreto.

- O concreto protege a armadura de oxidação, garantindo a durabilidade da estrutura. Proteção física (cobrimen- to) e química (ambiente alcalino).

Já que o concreto possui alta resistência à compressão porém pequena resistência à tração, as barras da armadura devemabsorver os esforços de tração que surgem nas peças submetidas à flexão ou à tração. Portanto, nestas situações,armadura deve ser colocada na zona de tração das peças.

Devido à aderência entre o concreto e o aço, as deformações das barras de aço e a do concreto que as envolve devem seriguais. Tendo em vista que o concreto tracionado não pode acompanhar as grandes deformações do aço, o concretofissura-se na zona de tração; os esforços de tração são, então, absorvidos apenas pelo aço.

1.2- Composição do Concreto Armado

Para a composição do concreto armado, pode-se indicar esquematicamente:cimento + água = pasta → pasta + agregado miúdo = argamassa → argamassa + agregado graúdo = concreto → concreto + barras de aço = concreto armado

1.3- Histórico

O emprego de materiais com propriedades adesivas e coesivas, que apresentassem resistência às interpéries e pudessemser utilizados como material de construção é muito antigo: os antigos egípcios usavam gesso impuro calcinado; os gregos eromanos utilizavam uma mistura de cal, água, pedras e areia.

A seguir, encontram-se alguns fatos importantes relacionados com o concreto armado:♦ Império Romano - Cimento pozolânico de origem vulcânica. Cimento vem do termo latino coementum, que designava navelha Roma uma espécie de pedra natural de rochedos.

♦ 1824 - Aspdin - Inglaterra - Consegue calcinar uma parte de argila e três partes de pedra calcárea, moída até obter umpó fino - Cimento Portland.

♦ 1848 - Lambot - França - Constrói um barco com argamassa de cimento reforçada com ferro.♦ 1861 - Monier - França - Vaso de flores de concreto com armadura de arame♦ 1902 - Mörsch - Alemanha - Teoria científica sobre o dimensionamento de peças de concreto armado. Os conceitosdesenvolvidos por Mörsch são válidos ainda hoje.

1.4- Vantagens e desvantagens

Vantagens:- Economia - mais econômico que estruturas de aço- Moldabilidade - adaptação a qualquer tipo de forma e facilidade de execução- Estruturas monolíticas (sem ligações), hiperestáticas - segurança- Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos

Desvantagens:- Peso próprio alto - 2,5t/m3 = 25KN/m3

- Dificuldade de reformas e demolições- Transmissão de calor e som

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2- CONCRETO

2.1- Generalidades

O concreto é um aglomerado constituído de agregados e cimento como aglutinante; é, portanto, uma rocha artificial. Afabricação do concreto é feita pela mistura dos agregados com cimento e água, à qual, conforme a necessidade, sãoacrescidos aditivos que influenciam as características do concreto. As propriedades do concreto que interessam ao estudodo concreto armado são a resistência à ruptura e à deformabilidade, quer sob a ação de variações das condiçõesambientes, quer sob a ação de cargas externas.

2.2 - Características Mecânicas

a) RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO - fc

A resistência à compressão simples é a característica mecânica mais importante de um concreto. Geralmente suadeterminação se efetua mediante o ensaio de corpos de prova, executado segundo procedimentos operatóriosnormalizados.

A resistência do concreto não é uma grandeza determinística, mas está sujeita a dispersões cujas causas principais sãovariações aleatórias da composição, das condições de fabricação e da cura. Além destes fatores aleatórios, existemtambém influências sistemáticas como: influência atmosférica (verão/inverno), mudança da origem de fornecimento dasmatérias primas, turmas de trabalho ...

Representação das dispersões - DIAGRAMA DE FREQÜÊNCIAS

Grande número de ensaios → curva de distribuição normal ou curva de Gauss.

média aritmética → n

f f

n

1ci

cj

∑= ; desvio padrão →

1n

)f(f

S

n2

cjci

n1

−=∑

Problema prático → dado o diagrama de freqüências, determinar um valor que seja representativo da resistência doconcreto → média aritmética fcj → resistência média em 28 dias. A média aritmética apresenta o inconveniente de nãorepresentar a verdadeira resistência do concreto na obra, por não levar em conta a dispersão da série de valores.

Analisando dois concretos de mesma resistência média e diferente dispersão (1 e 2), não há dúvida que o mais seguro éaquele de menor dispersão (possui menos pontos com resistência menor que a média). Em conseqüência, o coeficiente desegurança a adotar no cálculo deve ser maior para o concreto 2.

Adotando-se a resistência média, ter-se-á coeficientes de segurança variáveis segundo a qualidade de execução doconcreto.

Adoção de um coeficiente de segurança único → RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA.

abcissa que medea resistência de maiorfreqüência

Sn Sn

fcj

freqüência

fci (MPa)

pto. de inflexão

fci

fcj1 = fcj2

freqüência

fck1fck2fck3 fcj3

1

2

3

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b) RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA - fcK

Define-se como resistência característica do concreto aquele valor que apresenta uma probabilidade de 95% de que seapresentem valores individuais de resistência de corpos de prova mais altos do que ele; ou seja, somente 5% de valoresmenores ou iguais.

É uma medida estatística que leva em consideração não só o valor da média fcj como também o coeficiente de variação δ. 2concretos: → mesmo fcj (1 e 2) → mais seguro o de menor δ (1) → mesmo fck (2 e 3) → mais econômico (menor fcj) o de menor δ (3)

Curva de Gauss � ncjck S 1,65 - f f = ou ) 1,65 -1( f f cjck δ= sendo δ = Sn/fcj

- fck ≥ 20 MPa em concreto armado

- fck ≥ 15 MPa em fundações e obras provisórias (norma item 8.2.1)

- resistência média � fcm = fck + 8 (MPa)

c) CARREGAMENTO DE LONGA DURAÇÃO

A resistência do concreto à compressão é, para cargas de longa duração, inferior àquela referente a carregamentosrápidos. Trabalhando-se com uma resistência do concreto retirada de ensaios de curta duração, precisa-se afetar o valorassim obtido para a resistência característica de um fator redutor. Segundo os ensaios de Rüsch, esta redução deve serde 15%.

d) MÓDULO DE DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL

Módulo de deformação longitudinal: por definição, é a derivada da curva tensão-deformação no ponto em consideração.Norma item 8.2.8 (módulo tangente na origem)

(MPa) f5600 E ck0 =

Es = 0,85 E0 → módulo secante – cálculo de deformação em peça fletida

e) COEFICIENTE DE POISSON (item 8.2.9):

Para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que fct � ν = 0,2.

f) DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO SIMPLIFICADO (item 8.2.10)

Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se, para as diferentes resistências à compressão comque se trabalha na prática, um diagrama ideal, matematicamente definido → DIAGRAMA PARÁBOLA RETÂNGULO.

fc

0,85fc

εr=3,5‰2‰ε

parábola 2o grauε = 3,5‰ → rupturaε = 2‰ → tensão máxima

trecho curvo � 0,002

-1 -1 f 0,85 2

ccc

ε=σ

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g) RESISTÊNCIA À TRAÇÃO - fct (item 8.2.5)

Na falta de ensaios, o valor de fct médio ou característico pode ser avaliado por

32

ck mct f 0,3 f =,

mct,infctk, f 0,7 f =

mct,sup,ctk f 1,3 f =

2.3 - Características Reológicas

REOLOGIA: é o ramo da mecânica que estuda a evolução de deformações de um material, produzidas por causas tencionaisao longo do tempo.

a) RETRAÇÃO/EXPANSÃO

A retração é uma deformação independente do carregamento e devida à variação de umidade do concreto, na tendência apermanecerem em equilíbrio a umidade do concreto e a umidade do meio exterior. No processo da retração, a água éinicialmente expulsa das fibras externas o que gera deformações diferenciais entre a periferia e o miolo, gerando tensõesinternas capazes de provocar fissuração do concreto.

b) FLUÊNCIA OU DEFORMAÇÃO LENTA (norma item 8.2.11)

A fluência é uma deformação que depende do carregamento; é plástica, apenas uma pequena parcela é recuperada.Constata-se, na prática, que a deformação de uma peça de concreto armado é maior em um tempo t que àquela observadainicialmente, mantendo-se o mesmo carregamento. Explicação: devido à deformação inicial, imediata, ocorre uma reduçãode volume da peça, provocando deslocamento de água existente no concreto para regiões onde sua evaporação já tenhaocorrido. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se o crescimento dadeformação inicial até um valor máximo no tempo infinito.

c) VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (item 8.2.3)

Supõe-se que as variações de temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo quando a desigualdade dessas variações,entre partes diferentes da estrutura, seja muito acentuada. O coeficiente de dilatação térmica do concreto armado éconsiderado igual a 10-5/°C.

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3- AÇO (norma item 8.3)

3.1- Tipos de aço

Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480 nas categorias CA-25,CA-50 e CA-60. A nomenclatura é função do valor característico da tensão de escoamento fyk � CA-50 → fyk = 50 kg/mm2

= 500 MPa

- BARRAS (CA-50 e CA-25): diâmetro maior que 5,0mm – obtidas por laminação a quente, sem necessidade de posteriordeformação a frio, com escoamento definido caracterizado por patamar no diagrama tensão-deformação. (tipo A)

- FIOS (CA-60): diâmetro inferior a 10,0mm - obtidos por deformação a frio, trefilação, sem patamar no diagramatensão-deformação. (tipo B)

3.2- Bitolas →→→→ φφφφ (mm) - NBR7480/96

FIOS 2,4 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,5 6,0 6,4 7,0 8,0 9,5 10,0

BARRAS 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,0 25,0 32,0 40,0

3.3- Tipo de superfície (norma item 8.3.2)

Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Estas nervuras ou saliências existem para melhoraras condições de aderência entre aço e concreto. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação superficial, aconfiguração e a geometria das saliências devem atender ao indicado na NBR 7480. A conformação superficial é medidapelo coeficiente η1 dado a seguir.

Tipo de barra Coeficiente de conformação superficial - ηηηη1

Lisa (CA-25) 1,0Entalhada (CA-60) 1,4

Alta aderência (CA-50) 2,25

3.2- Características Mecânicas - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO (simplificado) (item 8.3.6)

Para o cálculo nos estados limites de serviço e último NBR6118/03 permite que se utilize o diagrama simplificado dado aseguir tanto para os aços com patamar de escoamento (barras) ou sem patamar de escoamento (fios).

- material elasto-plástico perfeito- 10‰→ limitação para evitar deformação excessiva- 3,5‰→ funcionamento conjunto com o concreto

σ→≤ε≤ε

εσ→ε≤ε≤

f = %10

E = 0

ydsdsdyd

sdssdydsd

o

f

=f MPa 102,1 =E f

= E = tg s

ykyd

5cs

yd

ydcs γ

→×→ε

ϕ

ϕ

fyd

σs

εyd 10‰

patamar

εsεyd

fyd

3,5‰

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II - BASES DO DIMENSIONAMENTO

1- ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Estruturas são sistemas portantes constituídos por elementos estruturais que têm por finalidade suportar as cargasaplicadas e transmiti-las aos apoios externos. Os elementos estruturais podem ser classificadas como:- lineares retos: vigas, pilares, tirantes, pórticos.- lineares curvos: vigas curvas, arcos.- planos: lajes, paredes portantes, vigas parede.- outros: cascas, estruturas plissadas, estruturas maciças (blocos, barragens).

2- CARGAS - NBR 8681/84 - Ações e segurança nas estruturas

Classificação das ações segundo sua variabilidade no tempo:

a) AÇÕES PERMANENTES (g) - Diretas: peso próprio da estrutura; peso de elementos construtivos permanentes (paredes); peso de equipamentos fixos; empuxo de terra não removível. - Indiretas: protensão; recalques de apoios.

b) AÇÕES VARIÁVEIS (q): cargas acidentais; efeito do vento; variação da temperatura; forças de impacto; cargas móveis em pontes; pressão hidrostática.

c) AÇÕES EXCEPCIONAIS: explosões; terremotos; incêndios; enchentes.

3- ESTADOS LIMITES

Uma estrutura, ou parte dela, é considerada inadequada à sua finalidade quando ela atinge um estado particular, ditoestado limite, no qual ela não atende critérios condicionantes ao seu comportamento ou ao seu uso. O objetivo do cálculode uma estrutura em concreto armado é o de garantir, a um só tempo, estabilidade, conforto e durabilidade.

3.1- Estados Limites Últimos → segurança diante da ruptura

Correspondem ao máximo da capacidade portante, podendo originar-se de:- perda de estabilidade (incapacidade de absorver reações de apoio ou forças de ligação em vínculos internos)- ruptura de seções críticas- transformação da estrutura em mecanismos (ruptura após plastificação).

Capacidade portante: cargas majoradas e resistência dos materiais minoradas.

Considera-se que uma peça tenha atingido sua capacidade limite quando na fibra mais comprimida de concreto oencurtamento é igual ao valor último convencional (εc = 3,5%o ou 2%o) ou quando na armadura tracionada a barra de açomais deformada tem o alongamento igual ao valor último convencional(εs = 10%o).

3.2- Estados Limites de Utilização → utilização normal e durabilidade

Impossibilidade de utilização da estrutura visto que a mesma não mais apresenta condições necessárias de conforto edurabilidade. Origina-se de:- deformações excessivas- fissuração excessiva- danos indesejáveis (corrosão)- vibração

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4- SEGURANÇA

Existe a necessidade da utilização de coeficientes de segurança por fatores tais como: incerteza dos valores dasresistências dos materiais; erros na geometria da estrutura; incerteza da carga; simplificação dos métodos de cálculo...

COEFICIENTES DE SEGURANÇA PARCIAIS: permite atribuir a cada grandeza que influencia o comportamento dasestruturas um coeficiente de majoração ou minoração separado.

* CARGAS (item 11.7) → majora-se o valor das ações, obtendo-se a denominada ação ou solicitação de cálculo (d- design)Fd = γf Fk → Fd = 1,4 Fk

* RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS (item 12.4) → as resistências características dos materiais devem ser minoradaspelos respectivos coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último, obtendo-se a resistência decálculo:

concreto : 4,1

f = f ck

cd

aço : 15,1

f = f

ykyd

5- ESTÁDIOS DE FLEXÃO

Ensaiando-se uma peça de concreto armado à flexão, sob a ação de carga gradativamente crescente, observa-se que astensões passam por 3 fases distintas durante o aumento da carga, os denominados ESTÁDIOS DE FLEXÃO.

1- ESTÁDIO I

ESTÁDIO Ia : Corresponde ao início do ensaio, onde as solicitações são muito pequenas e o concreto se mantém intacto nazona fissurada. → regime elástico → reta → Lei de Hooke → sem fissuras → concreto resiste à tração

ESTÁDIO Ib: Aumentando a carga de ensaio, admite-se que antes de atingir o estádio II as tensões passam por umestágio onde é ultrapassada a fase elástica, sem ruptura do concreto → não-linearidade na zona tracionada → curva

O projeto no estádio I não é econômico, pois para não ser ultrapassada a tensão admissível do concreto à tração (que émuito pequena), deve-se ter dimensões muito grandes para a seção transversal. O dimensionamento é feito empregando-sediretamente as expressões da Resistência dos Materiais aplicadas à seção homogeneizada, sem desprezar a resistência doconcreto à tração.

2- ESTÁDIO II

Corresponde à fase em que a resistência à tração do concreto foi ultrapassada, mas estando o concreto ainda no regimeelástico linear na zona comprimida → carga aumenta → concreto fissurado na zona tracionada - σc > ftk → fissuraspequenas (capilares) → concreto não resiste mais à tração

3- ESTÁDIO III

Corresponde a fase onde o concreto comprimido não obedece mais a Lei de Hooke, apresentando comportamento plástico.Com o aumento da carga, chega-se a ruptura final da peça. → cargas consideráveis → fissuras aumentam → deformação daarmadura cresce de forma não linear em relação à solicitação → escoamento → não linearidade na zona comprimida

ESTÁDIO III →→→→ ESTADO LIMITE ÚLTIMO →→→→ DIMENSIONAMENTO

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6 - HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS A SOLICITAÇÕES NORMAIS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO - ESTÁDIO III ( norma item 17.2)

6.1- Notação

b = largura da seção transversalh = altura da seção transversalAs = armadura tracionadaAs’= armadura comprimidad = altura útil – distância entre a armadura tracionada e a

fibra mais comprimidad’= distância entre a armadura comprimida e a fibra mais

comprimida

6.2- Hipóteses

Uma seção de concreto armado, submetida à solicitações normais, alcança o Estado Limite Último por esmagamento doconcreto na zona comprimida ou por deformação plástica excessiva do aço. O alongamento último da armadura é limitadoem εs = 10‰ para prevenir deformação plástica excessiva.

Solicitações normais: esforços solicitantes que originam tensões normais sobre a seção transversal → momento fletor eforça normal.

O estudo de seções de concreto armado no Estado Limite Último de Resistência é feito com base nas seguintes hipóteses:- Manutenção da seção plana (hipótese de Bernoulli): as deformações normais específicas são, em cada ponto da seçãotransversal, proporcionais à sua distância à linha neutra.- Solidariedade perfeita entre os materiais: a deformação da armadura é igual a do concreto adjacente.- A resistência do concreto à tração é desconsiderada.

6.3- Relações Constitutivas

a) CONCRETO (item 17.2.2.f): substituição do diagrama parábola retângulo por um diagrama retangular.

fc = 0,85 fcd → se “b” não diminui 0,80 fcd → caso contrário (seções circulares, triangulares...)

b) AÇO - BARRAS (Norma item 17.2.2.f)

0 < ε s < ε y → f y = E s ε s

ε y < ε s → f y = f yd

Módulo de deformação longitudinal do aço possui o mesmovalor, Es = 210000MPa, para os aços das barras e dos fios.

εs

f y

10‰0 εy

y = 0,8 x0,85fcd 0,85fcd / 0,8 fcd

xd

ε1

εc

LN

As

b

hd

d’ As’

As

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6.4 - Domínios de deformação

O desenho abaixo mostra as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações específicas ao longo daseção transversal de uma peça de concreto armado sujeita à Solicitações Normais. Define-se domínios de deformaçãoconforme a natureza da ruptura da seção.

→ RUPTURA POR ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO DA ARMADURA DE TRAÇÃO

- Reta a: Tração uniforme

- DOMÍNIO 1: Tração não uniforme. O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰)

- DOMÍNIO 2: Flexão Simples ou Composta sem ruptura à compressão do concreto (εc ≤ 3,5‰). O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰) . A linha neutra corta a seção.

→ RUPTURA DO CONCRETO COMPRIMIDO (sem grandes deformações)

- DOMÍNIO 3: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto (εc = 3,5‰) e com escoamento do aço (εs ≥ εyd ). A linha neutra corta a seção.

- DOMÍNIO 4: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto (εc = 3,5‰) e sem escoamento do aço (εs < εyd ). A linha neutra corta a seção. A ruptura da peça ocorre de forma frágil, sem aviso, pois o concreto rompe antes que a armadura tracionada se deforme excessivamente.

- DOMÍNIO 4a: Flexão Composta com armaduras comprimidas e ruptura à compressão do concreto (εc=3,5‰). A linha neutra corta a seção na região de cobrimento da armadura menos comprimida.

- DOMÍNIO 5: Compressão não uniforme. A linha neutra não corta a seção. Neste domínio, a de formação última do concreto é variável, sendo igual a εc = 2‰ na compressão uniforme eεc = 3,5‰ na flexo-compressão (linha neutra tangente à seção).

- Reta b: Compressão uniforme

As peças projetadas no DOMÍNIO 3 são as que melhor aproveitam as resistências dos materiais; portanto, são as maiseconômicas.

3,5‰0

h d

d’

10‰

x23

xlim

εyd

3

4

2As’

As

(encurtamento)

(alongamento)

LN

LN: linha neutra

0

a

A

B

1

5εs

εs

2‰

b

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III- FLEXÃO SIMPLES

1- EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÃO

As deformações na flexão simples correspondem aos domínios 2, 3 e 4. Os valores de “x” que limitam estes domíniospodem ser obtidos facilmente das equações de compatibilidade de deformações.

* DOMÍNIO 2: peças subarmadas → estado limite último é atingido pela deformação plástica execessiva do aço, sem ruptura do concreto.

ε1 = 10%o = 0,010 e 0 < εc < 0,0035 � 0 < x < 0,259d

* DOMÍNIO 3: ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento do aço → aproveitamento integral dos 2 materiais → situação desejável → não há risco de ruptura brusca.

10%o > ε1 > εyd e εc = 0,0035 � 0,259d < x < xlim

f 101,36 +1

d =x

E

f

yd-3lim

s

ydyd ×

→=ε

NBR6118-2003 (item14.6.4.3) � limitação da relação x/d para poder melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões deapoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais.

a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa

b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa

* DOMÍNIO 4: peças superarmadas → concreto rompe sem que o aço escoe → sem fissuração → deve-se evitar→ não é econômico (mal aproveitamento do aço) e rompe sem aviso. εyd > ε1 εc = 0,0035

xlim < x ≤ d

2- ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS (item 17.3.5)

2.1- ARMADURA MÍNIMA (item 17.3.5.2.1)

O valor da armadura mínima visa prevenir uma situação que pode ocorrer quando as dimensões da seção transversal (sejapor motivos construtivos ou arquitetônicos) é muito maior àquela que seria necessária pelo dimensionamento devido àsolicitação. Estas peças, quando submetidas às cargas de serviço, funcionam no Estádio I; ou seja, a tensão máxima naregião tracionada não atinge o valor característico da resistência à tração. Um excesso de carga pode fazê-las passar doEstádio I para o Estádio II. Para evitar a possibilidade de uma ruptura brusca do bordo tracionado quando da passagem doEstádio I para o II, deve-se colocar junto ao bordo tracionado uma armadura mínima capaz de assegurar à peça umaresistência à flexão no Estádio II igual àquela que possuia no Estádio I.

A armadura mínima de tração deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pelaexpressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,150 %:

Md,mín = 0,8W0 fctk,sup

onde W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada.

εc

xd Md

ε1

linha neutra

d-xAs

x - d

=xc 1εε

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O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura databela a seguir (tabela 17.3 da norma).

Tabela 173 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigasValores de ρρρρmin*=(As,min/Ac)%

Forma da seção ωωωωmín \ fck 20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288T (mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejamdiferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ρmín dado.Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

2.2- ARMADURA MÁXIMA (item 17.3.5.2.4)

Decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios quederam origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.

As máx � As + As' = 4% bw h

3- DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR (Domínios 2 e 3)

Dados conhecidos:

- dimensões da seção transversal (b, h, d)- resistências dos materiais (fck , fyk)- solicitação (Md)

Calcula-se

- Armadura simples (As) → x < xlim , Md < Md lim

- Armadura dupla (As e A’s) → x > xlim , Md > Md lim

3.1- ARMADURA SIMPLES

Equações de equilíbrio → f A- f y b 0,85 = 0 0 F ydscd→=∑

y) 0,5 - (d f y b 0,85 = M 0 M cddAs →=∑

f b 0,425

Md-d y 0 M

cd

d2As −=→=∑

Caso y ≤ ylim = 0,8 xlim � Domínios 2 e 3 � armadura simples → yd

cds f

byf850A

,=

dMd

0,85 fcd

0,85 b y fcd Fcc

y = 0,8 x

As fyd

Fst

x

linha neutra

As

linha neutra

bw

h

0,8xd’As’

As

d

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Caso y > ylim , o momento de cálculo atuante é maior que o momento limite; ou seja

Md > Mdlim → )y 0,5 - (d f y b 0,85 = M limcdlimdlim

indicando que a seção situa-se no domínio 4. Neste caso não convém o dimensionamento com armadura simples, deve-seprojetar armadura dupla.

3.2- ARMADURA DUPLA

Quando y > ylim ou Md > Mdlim fixa-se a posição da linha neutra em xlim e se introduz uma armadura localizada na zonacomprimida, As’, o mais afastada possível da linha neutra.

Esta armadura de compressão e uma armadura adicional de tração ∆As constituem, quando suas áreas são multiplicadas porsuas resistências, as forças de compressão e tração que formam o binário capaz de absorver a diferença de monentos∆Md. A armadura tracionada, As, resulta: As= As1+ ∆As .

x > xlim ou Md > Mdlim → A’s

y = ylim = 0,8 xlim → Mdlim → ∆Md = Md - Mdlim

Equações de equilíbrio → f A- ' A+ f y b 0,85 = 0 0 F yds2scdlim σ∑ →=

)d' - (d As'+M = M 0 M 2dlimdAs σ∑ →=

A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama tensão-deformação do aço empregado,

tendo-se calculado antes a deformação ε2 a apartir da compatibilidade de deformações:

y

0,8d' - y 0,0035

lim

lim2 =ε → diagrama tensão-deformação do aço → σ2

)'('

dd

MMA

2

limdds −

= σ−

f

'sAfy b 0,85 = A

yd

2cdlim + s

σ

d’

dMdlim

0,85bylim fcd

As1 fyd

d - 0,5ylim

As’d’

d ∆Md

As’σ2

∆As fyd

d - d’

As’

AsAs

+

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( ) f A- h b -b f 0,85 + f y b 0,85 = 0 ydsfwfcdcdw

( ) ( ) 0,5h - d h b -b f 0,85 + y) 0,5 - (d f y b 0,85 = M ffwfcdcdwd

4- DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO T

O dimensionamento segue o mesmo procedimento adotado para a seção retangular, adaptando-se apenas a forma da seçãonas equações de equilíbrio.

Existem 3 situações possíveis, conforme a posição da linha neutra:

4.1- Zona comprimida está dentro da mesa →→→→ 0,8x < hf →→→→ Armadura Simples

O dimensionamento é feito como se tivesse uma viga de seção retangular de largura bf e altura útil d, com as seguintesequações de equilíbrio:

4.2- A altura da zona comprimida está entre hf e 0,8xlim →→→→ hf < 0,8x ≤≤≤≤ 0,8xlim →→→→ Armadura Simples

O dimensionamento é feito adaptando-se as equações de equilíbrio para a seção T, o que resulta:

4.3- A altura da zona comprimida é maior que 0,8xlim →→→→ 0,8x > 0,8 xlim →→→→ Armadura Dupla

O procedimento é análogo ao da seção retangular com armadura dupla. Faz-se, então, o cálculo do momentocorrespondente a seção T quando 0,8x = 0,8xlim , Mdmáx :

( ) ( ) 0,5h - d h b -b f 0,85 + )y 0,5 - (d f y b 0,85 = M ffwfcdlimcdlimwdmáx

A diferença de momentos ∆Md = Md - Mdmáx será absorvida por uma armadura de compressão, A’s, e uma armaduratracionada ∆As. As equações de equilíbrio são, então, dadas por:

[ ] f A- ' A+ y b h )b-(b f 0,85 = 0 0 F yds2slimwfwfcd σ∑ +→=

)d' - (d As'+M = M 0 M 2dmaxdAsσ∑ →=

A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama tensão-deformação do aço empregado,tendo-se calculado antes a deformação εs2 a apartir da compatibilidade de deformações:

y

0,8d' - y 0,0035

lim

lim2s =ε → diagrama tensão-defrmação do aço → σ2

hhf

bw

bf

y b → bf

f A- f y b 0,85 = 0 ydscdf

( ) 0,5y - d f y b 0,85 = M cdfd

y

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5- VERIFICAÇÃO DE SEÇÃO RETANGULAR

Nos problemas de verificação, são conhecidas todas as dimensões geométricas da seção, suas armaduras, as resistênciasdos materiais e deve ser calculado o momento fletor último, Mu, que pode solicitá-la.

5.1- ARMADURA SIMPLES

A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento está no fato de não se saber se a

armadura tracionada atingiu a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são:

A- f y b 0,85 = 0 )1( 1scd σ→

y) 0,5 - (d f y b 0,85 = M )( cdu→2

Este sistema não pode ser resolvido, pois existem três incógnitas - y, σ1, e Mu - e duas equações. O problema deverá serresolvido arbitrando-se, arbitra-se, na equação (1), σ1= fyd e obtendo-se o valor de y. Podem ocorrer duas situações:

1) Se o valor encontrado para y for y ≤ ylim - domínio 2 ou 3

- σ1 realmente atingiu a tensão de cálculo fyd

- o valor de y calculado está correto e determina-se o valor de Mu substituindo-se y na equação (2)

2) se o valor encontrado para y for y > ylim – domínio 4

- valor de y NÃO ESTÁ CORRETO, pois para y > ylim → σ1< fyd

- σ1 está na parte da reta de Hooke do diagrama tensão-deformação; a deformação na armadura tracionada é

sE

11

σ=ε

A tensão σ1 é determinada substituindo-se o valor acima na equação de compatibilidade das deformações:

y

y) - (0,8dE 0,0035 s1 =σ

Esta equação, junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

5.2- ARMADURA DUPLA - uma armadura tracionada e a outra comprimida

Como não se sabe se as armaduras atingiram a tensão de cálculo fyd, as equações de equilíbrio, neste caso, são:

A- ' A+ f y b 0,85 = 0 1)( 1s2scd σσ→

)d' - (d ' A+0,5y) - (d f y b 0,85 = M )2( 2scdu σ→

Este sistema não pode ser resolvido, pois existem mais incógnitas do que equações. O problema deverá ser resolvidoarbitrando-se, na equação (1), σ1= σ2= fyd e obtendo-se o valor de y. Podem ocorrer três situações:

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1) Se y ≤ 0,207d (domínio 2) → σ1= fyd e σ2 ≤ fyd . A determinação de σ2 é feita através de:

yd8,0

)d0,8 - (y 0,012 −

′=ε

Se ε2 ≥ εyd → σ2 = fyd e da equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.

Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

yd8,0

)d0,8 - (y E 0,01 s2 −

′=σ

2) Se 0,207d < y ≤ ylim (domínio 3) → σ1= fyd e σ2 ≤ fyd . A determinação de σ2 é feita através de:

y

)d0,8 - (y 0,00352

′=ε

Se ε2 ≥ εyd → σ2 = fyd e da equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.

Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

y

)d0,8 - (y E 0,0035 s2

′=σ

3) Se y > ylim (domínio 4) → σ1< fyd e, geralmente, σ2 = fyd . A equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) tornao sistema determinado.

y

y)- (0,8d E 0,0035 s1 =σ

Tomou-se σ2 = fyd porque, no domínio 4, somente excepcionalmente σ2 deixa de atingir a tensão de cálculo fyd. Isto ocorreem peças armadas com aço de alta resistência, de pequena altura útil e recobrimento da armadura de compressão grande.Nestes casos, ε2 < εyd e atensão σ2 deve ser determinada por

y

)d0,8 - (y E 0,0035 s2

′=σ

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IV - CISALHAMENTO

1 - ESTADO DE TENSÃO

1.1 – GENERALIDADES

Nos capítulos anteriores, se analisou o comportamento de vigas de concreto armado submetida a solicitações normais. Astensões internas provenientes da flexão foram calculadas imaginando-se que o momento fletor agisse isoladamente naseção. Isto pôde ser feito porque a existência de força cortante na seção não altera os valores, nem a distribuição, dastensões normais. A metodologia empregada na análise resultava bastante simples: aplicava-se as equações de equilíbrio(isoladamente ou em conjunto com as equações de compatibilidade de deformações) sobre as solicitações, internas eexternas, atuantes em uma determinada seção (normalmente a seção mais solicitada).

Já o comportamento de peças de concreto armado quando atuam esforços transversais (esforço cortante e momentotorçor) é bastante complexo.

No cisalhamento, quando o esforço cortante atua isoladamente na seção, as tensões de cisalhamento que aparecem paraequilibrar a solicitação externa têm distribuição uniforme; atuando também a solicitação momento fletor na seção, astensões de cisalhamento distribuir-se-ão de forma totalmente diferente, apesar de sua resultante continuar sendo amesma. Por este motivo, para o estudo do cisalhamento, não se pode considerar o esforço cortante agindo isoladamente,mas sim simultaneamente com o momento fletor.

Além disto, existem outros fatores que influem sobre a capacidade resistente à força cortante de uma viga: forma daseção transversal; variação da seção transversal ao longo da peça; esbeltez; disposição das armaduras; aderênciaaço/concreto; tipo de cargas e apoios ...

Portanto, na análise de vigas de concreto armado submetidas a esforços cortantes, se faz necessário tratar a peça comoum todo, já que os mecanismos resistentes que se formam são geralmente tridimensionais. Formular uma teoria simples eprática, que leve em consideração todos estes fatores, e que dê resultados exatos é uma tarefa bastante difícil.

1.2 - ESTÁDIO I

No estádio Ia (concreto intacto, sem fissuras), o comportamento das peças de concreto armado é elástico linear (obedecea Lei de Hooke) e as tensões tangenciais podem ser calculadas através das equações da resistência dos materiais.Se está agindo somente o esforço cortante, a distribuição das tensões internas é uniforme, e pode ser determinada pelaexpressão:

→ AV

=τ → distribuição uniforme

Se, na mesma seção, estão agindo o esforço cortante e o momento fletor simultaneamente, a distribuição de tensõesinternas não é mais uniforme, mas varia de forma parabólica com a distância à linha neutra, e pode ser determinada pelaexpressão:

→ I bS V

=τ → distribuição parabólica

onde τ: tensão tangencial; V: esforço cortante; A: área da seção transversal; I: momento de inércia da seção transversalem relação à linha neutra - constante para a seção; e, S: momento estático em relação à linha neutra - varia com adistância à LN

O valor máximo da tensão tangencial de cisalhamento é obtido no ponto onde o momento estático é máximo, isto é, na linhaneutra.

τmax → z b

V =oτ

sendo: S/I = 1/z e z: distância entre os centros de gravidade das zonas comprimida e tracionada

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1.3 - ESTÁDIOS II E III

Nos estádios II e III, o concreto está fissurado na zona tracionada, mas na zona comprimida ainda está intacto. Assim, nazona comprimida, intacta, a distribuição de tensões continua igual ao estádio I. Já na zona tracionada, fissurada, oconcreto não resiste mais e as tensões tangenciais são provenientes da força transmitida pela armadura ao concreto poraderência, na zona entre fissuras. Desta forma, a tensão se mantém constante (o momento estático não varia pois não seconsidera a resistência do concreto) até encontrar a armadura, quando cai bruscamente à zero.

A distribuição de tensões tangenciais ao longo da altura da viga no estádio II e III é dada pela figura a seguir, sendo seuvalor máximo igual ao valor da tensão na linha neutra no estádio I:

z b

V =τ = τo (estádio I)

área comprimida (resistente)

LN τ0 : valor máximo

área tracionada (desprezada) constante pois S não varia

cai à zero quando encontra As

1.4 - TENSÕES PRINCIPAIS

O princípio básico de funcionamento do material concreto armado é o de posicionar a armadura de tal forma que ela sejacapaz de absorver integralmente os esforços de tração que aparecem na estrutura. Em uma viga, quando solicitada poresforço cortante, surgem tensões internas de cisalhamento (tensões tangenciais), para equilibrar a carga externa. Apergunta que se faz neste instante é: onde se deve colocar as armaduras? Para responder esta pergunta, se faznecessário determinar a direção dos esforços de tração e compressão correspondentes à tensão de cisalhamento. Comeste intuito, calcula-se as tensões e as direções principais, que, para o estado plano de tensões, são obtidas pelasexpressões:

→ 22

2,142

τ+σ±σ=σ

Linha neutra → σ = 0 → σ1 = -σ2 = τ → α = 450

Bordas → τ = 0 → σ1 = 0 , σ2 = -σ (comp.)

σ1 = σ , σ2 = 0 (tração)

P σ σ τ

τ

LN

LN

LN

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2 - ANALOGIA DA TRELIÇA

RITTER (1899) e MÖRSCH (1903) idealizaram, como aspecto estrutural de uma viga de concreto armado, uma treliçafictícia capaz de resistir simultaneamente aos esforços de flexão e de cisalhamento no estádio ΙΙΙ.

2.1 Treliça clássicaConsiderando a viga da figura,Mörsch admitiu, após a fissuração, seu funcionamento segundo uma treliça com banzosuperior comprimido constituído pelo concreto (ou concreto + armadura comprimida); o banzo tracionado pela armadurainferior; as diagonais tracionadas por armaduras colocados com inclinação α (450 a 900); e, as diagonais comprimidas à 450,constituídas pelo concreto (tendo sido adotada como inclinação àquela da trajetótia das tensões principais, ao nível dalinha neutra).

Quando os montantes forem constituídos por estribos verticais (utilizado na prática), a geometria da treliça resulta:

Os esforços que surgem nos banzos tracionado e comprimido na treliça são equivalentes aos esforços obtidos quando daaplicação das equações de equilíbrio no dimensionamento à flexão pura. Ou seja, o fato de existir o esforço cortantepraticamente não altera o dimensionamento da flexão. Assim, o dimensionamento dos banzos comprimido e tracionado nãoprecisa ser refeito.

Resta analisar os esforços que surgem nas bielas (diagonais comprimidas) e nos montantes (diagonais tracionadas), ou seja,os esforços oriundos do cisalhamento e que agem na alma da viga.

Os valores dos esforços normais que surgem nas bielas (compressão - Ncc) e nos montantes (tração - Nst) são obtidos pelaresolução da treliça. Chega-se aos seguintes valores:

- força de compressão na biela de concreto → Ncc = V √2- força de tração no montante (estribo) → Nst = V

banzo comprimidoconcreto

z

y: zonacomprimida

h d

a = z

45o

banzo tracionadoAs

montantes : diagonais tracionadasestribos

bielas : diagonais comprimidasconcreto

z

V

a = z

45o

¬

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Até agora, imaginou-se a viga formada apenas por uma treliça, cujas barras resistiriam às forças mencionadas. Na

realidade, temos na alma da viga um conjunto de treliças separadas por uma distância "s", que é o espaçamento entre as

armaduras transversais (estribos). Assim, a resultante das forças no trecho “s”, entre duas treliças consecutivas, é dada

por:

Fc = Ncc s/a - bielas comprimidas

Ft = Nst s/a - estribos

As forças na alma da viga produzem, respectivamente:

- Tensão de compressão na biela de concreto → σcc = Fc/Acw = 2 τo

- Tensão de tração na armadura transversal (estribos) → σ τρst

o

w

= F

A=t

sw

Acw = b s sen45 → área do segmento plano compreendido entre duas bielas consecutivas e perpendicular a elas

Asw → soma das áreas das barras de uma armadura transversal que cortam o plano neutro

Atw = b s → área do segmento do plano compreendido entre dois estribos consecutivos e perpendicular a elas

ρwsw

t w

A

A=

→ taxa de armadura transversal

Uma longa série de ensaios experimentais mostrou que, nas vigas armadas seguindo rigorosamente a teoria da treliça deMörsch, verifica-se que as tensões nos estribos são inferiores e nas bielas superiores àquelas calculadas pela treliçafictícia. A explicação para tal constatação é dada pela possibilidade das diagonais comprimidas funcionarem cominclinações menores que 450 com o eixo horizontal.

2.2 Treliça generalizada

A conciliação dos resultados experimentais, com as hipóteses básicas de Mörsch e com os aspectos práticos conduziu aomodelo da "Treliça generalizada de Mörsch", que difere do modelo clássico apenas no ângulo de inclinação das bielascomprimidas, θ, não mais definido como 45º.

Analogamente à treliça classica, chega-se aos seguintes valores para os esforços normais que surgem nas bielas(compressão - Ncc) e nos montantes (tração - Nst):

- força de compressão na biela de concreto → Ncc = V / sen θ- força de tração no montante (estribo) → Nst = V

Estas forças produzem, respectivamente:

- Tensão de compressão na biela de concreto → σcc = Ncc/Acw = 1,15 τwd /(cosθ senθ)

- Tensão de tração na armadura transversal (estribos) → θρ

τσctg

=AN

=w

o

sw

stst

Acw = b s sen θ → área do segmento plano compreendido entre duas bielas consecutivas e perpendicular a elas

z

V a = z ctgθ

θ

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3 - NBR 6118:2003

A norma brasileira admite dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo de treliça associado amecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzido por umacomponente adicional Vc.

O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45º em relação ao eixo longitudinal (treliça clássica) e que aparcela complementar Vc tenha valor constante.

O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de 30º ≤ θ ≤ 45º em relação ao eixo longitudinal (treliçageneralizada) e que a parcela complementar Vc tenha valor variável.

Como já foi salientado anteriormente, os esforços que surgem nos banzos tracionado e comprimido na treliça sãoequivalentes aos esforços obtidos quando da aplicação das equações de equilíbrio no dimensionamento à flexão pura.Assim, o dimensionamento dos banzos comprimido e tracionado não precisa ser refeito.

A seguir, encontram-se as prescrições da NBR 6118:2003 para o dimensionamento de elementos lineares sujeitos à forçacortante no estado limite último.

O dimensionamento ao esforço cortante envolverá duas etapas:

a) verificação do não esmagamento do concreto, para as diagonais comprimidas da treliça que se formam em seu interior;

b) determinação das áreas de aço (estribos) necessárias para absorver as trações que surgem na referida treliça,oriundas do esforço cortante.

3.1 Cálculo da resistência ���� Item 17.4.2.1

A resistência da peça, em uma determinada seção transversal, é satisfatória quando verificadas, simultaneamente, asseguintes condições:

2RdSd VV <

swcRdSd VVVV +=< 3

onde: SdV é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

2RdV é a força resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto;

3RdV = Vc + Vsw é a força resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;

Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça;

Vsw é a parcela de força cortante resistida pela armadura transversal (estribos).

Na região dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas respectivas faces, levando em contaas reduções possíveis.

3.2 Cargas próximas aos apoios ���� item 17.4.1.2.1

Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em facesopostas do elemento estrutural, comprimindo-a), valem as seguintes prescrições:

- a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distânciad/2 da face de apoio, constante e igual à desta seção;

- a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio pode, nessetrecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/(2d). Todavia, esta redução não se aplica às forçascortantes provenientes dos cabos inclinados de protensão.

As reduções indicadas neste item não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto. No casode apoios indiretos, essas reduções também não são permitidas.

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3.3 MODELO DE CÁLCULO I ���� item 17.4.2.2

O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ=45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e

admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto

VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d

αv2 = (1 - fck / 250) e fck em megapascal

b) cálculo da armadura transversal

3RdV = Vc + Vsw

sendo: Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (sen α + cos α)

Vc = Vc0 = 0,6 fctd bw d

fctd = fctk,inf/γc

s � espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal da peça;

fywd � tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de

barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;

α � ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da peça (45° ≤ α ≤ 90°).

3.4 MODELO DE CÁLCULO II ���� 17.4.2.3

O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com θvariável livremente entre 30° e 45°. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto

VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2 θ (cotg α + cotg θ)

αv2 = (1- fck/250) e fck em megapascal.

b) cálculo da armadura transversal

3RdV = Vc + Vsw

sendo: Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α

Vc = Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0

Vc = Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 , interpolando-se linearmente para valores intermediários.

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3.5- Valores máximos/mínimos

a) Item 17.4.1.1.1 - Armadura transversal mínima � estribos verticais

100 x bff

0,06 100 x bff

0,2 s

Aw

ywk

2/3ck

wywk

ctmmin sw ==

b) Item 18.3.3.2 - Diâmetros mínimo/máximo

b 101

5mm

w

≤≥

φ

c) Item 18.3.3.2 - Espaçamento máximo entre estribos

Vd ≤ 0,67 VRd2 � smax = 0,6 d ou 30 cm

Vd > 0,67 VRd2 � smax = 0,3 d ou 20 cm

3.6- Redução do esforço cortante nos apoios →→→→ V’

Pode-se fazer a redução do esforço cortante junto aos apoios diretos quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas

em faces opostas da peça.

V' = V - redução da carga distribuída - redução da carga concentrada

� CARGA DISTRIBUÍDA: p 2

h+c redução

=

� CARGA CONCENTRADA → a ≤ 2h: P redução

=

2ha

- 1

3.7- Determinação de Asw

100 )cotg( f d 0,9

VV=

sA

ywd

csdsw

θ− sendo fyd ≤ 435 MPa

3.8- Determinação do comprimento onde vai Asw

Asw min Asw A Asw B

P p

VA VB

VA V’A

VB

Vmin V’Bp

V - Vx min=

x

c: largura do apoiop: carga distribuída da viga

P: carga concentradaa: distância da carga ao centro do apoioh: altura da viga

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3.9- ROTEIRO DE CÁLCULO DE ESTRIBOS VERTICAIS

a) αv2 = (1- fck/250) � MPa

Vc0 = 0,009 (fck)2/3 bw d � MPa

b) Vsd < VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2 θ cotg θ

c) Redução do cortante � V' = V - redução da carga distribuída - redução da carga concentrada

� CARGA DISTRIBUÍDA: p 2

h+c redução

====

� CARGA CONCENTRADA → a ≤ 2h: P redução

=

2ha

- 1

d) cálculo da armadura transversal

100 )cotg( f d 0,9

VV=

sA

ywd

csdsw

θθθθ−−−−

� fywd = fyd ≤ 43,5 kN/cm2

Modelo I � Vc = Vc0

Modelo II � c0Rd2

sdRd2c0c VV

VVVV

−−−−−−−−====

e) estribo mínimo

100 b f

f0,06=

sA

ywk

2/3ckminsw � MPa

f) esforço cortante mínimo � Vs min = Vsd min / 1,4

cotg θ f d 0,9 100

sA

V ywd

minsw

minsw ==== � fywd = fyd ≤ 43,5 kN/cm2

Modelo I � Vsd min = Vsw min + Vc0

Modelo II � Vsd min = Vsw min + Vc0 - Vsw min Vc0 / VRd2

e) comprimento onde vai Asw

p

V- Vx minapoio====

Vd ≤≤≤≤ 0,67 VRd2 ���� smax = 0,6 d ou 30 cmVd > 0,67 VRd2 ���� smax = 0,3 d ou 20 cm

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V - TORÇÃO

1- INTRODUÇÃO

O estudo de peças de concreto armado solicitadas por momento torçor é bastante complicado. Isto acontece porque,normalmente, a torção vem acompanhada de flexão, esforço cortante e de um esforço normal (proveniente do impedimentoao empenamento). Infelizmente, as pesquisas existentes sobre a resistência na ruptura de elementos estruturaissubmetidos a solicitações combinadas ainda não determinaram um método de cálculo confiável e simples para ser aplicadona prática. A metodologia empregada é a de calcular as solicitações por separado e, após, somar os resultados.

Além disto, a rigidez à torção de vigas de concreto armado após a fissuração diminui drasticamente. Para que uma vigafissurada tenha rigidez suficiente para resistir a um momento torçor ela deverá ter uma rigidez muito grande antes defissurar, ou seja, deverá ter dimensões bem maiores do que àquelas necessárias para resistir à flexão e ao cisalhamento.

Felizmente, a verificação da resistência à torção não é indispensável em todos os casos que acontecem na prática. A normabrasileira permite que se verifique à torção somente as peças nas quais o momento torçor é realmente necessário aoequilíbrio da peça, ou seja:

- vigas com laje em balanço, sem laje do outro lado (marquise)

- vigas curvas, vigas balcão, grelhas, etc.

Nas situações em que se pode conseguir uma configuração de equilíbrio sem a consideração da torção, pode-se dispensar ocálculo da torção e colocar apenas uma armadura construtiva. Este é o caso de momentos torçores resultantes deesforços hiperestáticos provenientes de rotações impedidas (torção em vigas devido ao engastamento parcial das lajes �torção de compatibilidade).

2- TENSÕES TANGENCIAIS DEVIDAS À TORÇÃO

2.1- Concreto não fissurado ���� Estádio I

Mesmo para o caso onde o concreto não está fissurado, o estudo da torção é complicado.

Quando uma peça prismática é solicitada à torção pura (Torção de Saint-Venant) aparecem somente tensões tangenciais.Isto acontece em barras cujas seções extremas podem empenar livremente na direção do eixo longitudinal e cujo ângulorelativo de torção é constante ao longo da barra. A solução exata do problema só pode ser dada em alguns casos simples(seção transversal circular ou tubular). A analogia da membrana permite resolver o problema de forma aproximada para aseção retangular.

As vigas de concreto armado, muitas vezes, são vigas contínuas, onde há o impedimento ao empenamento das seçõesextremas, o que ocasiona o aparecimento de tensões normais de empenamento. Estas tensões de empenamento podem serdesprezadas em seções transversais cheias ou vazadas, mas são importante em seções abertas.

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2.2- Concreto Fissurado

Segundo a norma brasileira, a torção deve ser considerada na ruptura, quando os elementos já estão fissurados.

Na ausência de uma teoria consistente e suficientemente respaldada por ensaios para o tratamento conjunto da torção,cisalhamento e flexão, os métodos existentes estudam os efeitos destas solicitações por separado e depois somam osvalores obtidos.

A analogia da treliça desenvolvida para o estudo das tensões tangenciais devidas à força cortante também será empregadano dimensionamento da armadura de torção. Salienta-se que esta analogia é uma solução aproximada, que satisfaz bem ascondições de equilíbrio mas moderadamente às condições de compatibilidade. Assim, de forma semelhante ao que já foifeito para o cisalhamento, os esforços determinados à partir da analogia da treliça são limitados por valores prescritos naNBR6118.

Ensaios realizados em peças de concreto armado de seção retangular cheia constatam que, após a fissuração do concretodevido à torção, a colaboração do concreto do núcleo é muito reduzida. Assim, no dimensionamento de uma seçãoretangular à torção, nem toda a seção transversal, mas só uma faixa à partir da borda externa, colabora na resistência àtorção → a SEÇÃO CHEIA é tratada como SEÇÃO VAZADA.

Para o cálculo, se utiliza um modelo de treliça espacial, composta de 4 treliças planas sobre as faces da seção vazada daviga.

Nas paredes da seção vazada se cria um fluxo de tensões tangenciais constante e igual a τ t .Multiplicando-se este fluxo de tensões tangenciais pelo comprimento da parede, determina-se as forças que agem nas

paredes horizontais e verticais (Fh=τ t bs e Fv=τ t hs). Estas forças devem ser absorvida pelas treliças planas de cadaparede.

Na resolução da treliça, as arestas comuns às treliças planas resultam submetidas à tração, o que leva a necessidade de sedispor não só armaduras transversais (estribos), mas também armaduras longitudinais de tração. Estas armaduras detorção longitudinais devem ser concentradas nos ângulos das seções, sobre a linha média, para formar as nervurastracionadas da treliça espacial.

3- NBR6118:2003 ���� item 17.5 Elementos lineares sujeitos à torção - ELU

As condições fixadas pela Norma pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir deum elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As diagonais de compressãodessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo30° ≤ θ ≤ 45°.

3.1- Resistência do elemento estrutural - Torção pura ���� item 17.5.1.2

Considera-se que a resistência à torção de uma determinada seção transversal é adequada quando as seguintes condiçõessão verificadas simultaneamente:

TSd ≤ ≤ ≤ ≤ TRd,2 e TSd ≤ ≤ ≤ ≤ TRd,3 e TSd ≤ ≤ ≤ ≤ TRd,4

TRd � momento torçor de cálculo

TRd,2 � limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto

TRd,3 � limite definido pela parcela resistida pelos estribos

TRd,4 � limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais

Fv

Fh

Fv

Fh

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3.2- Geometria da seção resistente ���� item 17.5.1.3

a) SEÇÃO CHEIA

A seção vazada equivalente é definida a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente, he, dada por:

he ≤ ≤ ≤ ≤ A/µ µ µ µ

he ≥ ≥ ≥ ≥ 2c1

A � área da seção cheia

µ � perímetro da seção cheia

c1� distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural

b) SEÇÃO VAZADA

A espessura da parede a considerar é o menor valor entre:- a espessura real da parede- a espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da seção vazada

3.3- Verificação da compressão diagonal do concreto ���� item 17.5.1.4

TSd ≤ ≤ ≤ ≤ TRd,2

TRd2 = 0,50 ααααv2 fcd Ae he sen 2 θθθθ

ααααv2 = 1 - fck / 250 MPa

θ � ângulo de inclinação das diagonais de concreto � 30° ≤ θ ≤ 45°

Ae � área limitada pela linha média da parede da seção vazada

he � espessura equivalente da parede da seção vazada

3.4- Cálculo das armaduras ���� item 17.5.1.5

a) Estribos � A90/s

Tsd = TRd3 = (A90 / s) fywd 2Ae cotg θ θ θ θ

sendo fywd � fyd ≤ 435 MPa

A90 � área de aço correspondente a um ramo de estribo situado dentro da espessura he

b) Armadura longitudinal

Tsd = TRd4 = (Asllll/ u) 2Ae fywd tg θθθθ

Asl � soma das áreas das seções das barras longitudinais

fywd � fyd ≤ 435 MPa

u � perímetro de Ae

A armadura longitudinal de torção, de área total Asl pode ter um arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-seobrigatoriamente a relação ∆Asr /∆u = constante. Em cada vértice dos estribos de torção deve ser colocada pelo menosuma barra da armadura longitudinal. O espaçamento máximo entre barras é de 35cm.

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3.5- Solicitações combinadas ���� item17.7

a) Flexão e torção ���� item 17.7.1

Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadasseparadamente para a torção e para as solicitações normais.

Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção DEVE SER ACRESCENTADA à armadura necessária parasolicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente.

No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços decompressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barrasconsideradas.

b) Torção e força cortante ���� item 17.7.2

Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto����coincidentes para os dois esforços.

A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão:

sendo VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção

A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd .

3.6- Armadura mínima ���� 17.5.1.1

Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aosesforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo doelemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, e com taxa geométricamínima dada pela expressão:

Os diâmetros e espaçamentos máximos/mínimos são os mesmos do cisalhamento.

12

≤≤≤≤++++Rd

Sd

Rd

Sd

TT

VV

ywk

ctm

w

swsws f

f2,0

sb

A≥=ρ=ρ l

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3.7- ROTEIRO DE CÁLCULO

a) Espessura da parede fictícia

he ≤ A/µ e he ≥ 2c1

Ae = (bw-he)( (h-he) µe = 2[(bw-he)+( (h-he)]

b) Verificação do não esmagamento das bielas comprimidas

TRd2 = 0,50 αv2 fcd Ae he sen 2 θ

VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2 θ cotg θ

αv2 = 1 - fck / 250 ���� MPa

c) Armaduras

� Estribos

200x θ ctg x x A2 x f

Ts

A

eywd

sd90 = fywd � fyd ≤ 43,5 kN/cm2

� Armadura longitudinal

θ ctg x x A2 x f T

Aeywd

esdsl

µ= fywd � fyd ≤ 43,5 kN/cm2

d) Armaduras mínimas

A90/s min = ρ90 x he x 200

Asl min = ρsl (he µe)

122

≤≤≤≤++++Rd

Sd

Rd

Sd

TT

VV

ywk

2/3ck

f

f 0,06

ywkfctmf

0,290ρsρ ===l

� MPa

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VI – ADERÊNCIA E ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL TRACIONADA DE PEÇAS FLETIDAS

1- ADERÊNCIA

Concreto armado → solidariedade entre concreto e aço → aderência

a) Aderência por adesão: ligação físico-química na interface aço/concreto durante a pega

b) Aderência por atrito: é função da rugosidade superficial da barra

c) Aderência mecânica: as saliências da barra mobilizam tensões de compressão no concreto

ENSAIO DE ARRANCAMENTO

- τbu : tensão de aderência → combate o deslizamento relativo entre concreto e aço

- lb1 : comprimento de ancoragem → comprimento mínimo necessário para que a barra transmita ao concreto a força Zd

4

=l l = 4

l u = Abu

sb1 bub1 s

2

bub1 ss τστστσ φ→φππφ→

onde:- φ : diâmetro da barra (cm)- u : perímetro da barra- As : área da seção transversal da barra- σS : tensão na barra de aço

τbu

lb1

Zd

φ

concreto

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2 – ANCORAGEM

Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejamintegralmente transmitidos ao concreto.

a) COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO (item 9.4.2.4)

f

4

lbd

ydb f

φ= → φ :diâmetro da barra

fbd : resistência de aderência

b) RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA (item 9.3.2)

fbd = η1 η2 η3 fctd

fctd = 0,15 fck2/3 (MPa) � resistência à tração

η1 = 1,0 barras lisas - CA-25 = 1,4 barras entalhadas - CA-60 � Tabela 8.2 = 2,25 barras nervuradas - CA-50

η2 = 1,0 boa aderência = 0,7 má aderência

η3 = 1,0 φ < 32mm = (132 - φ) / 100 φ > 32mm

c) COMPRIMENTO DE ANCORAGEM NECESSÁRIO (item 9.4.2.5)

cm

l 0,3

A

Al l

b

efs

calsb nec,b

φ≥α=10

101

GANCHO → Diminui o comprimento de ancoragem porque mobiliza, além das tensões tangenciais, tensões normais notrecho curvo.

com gancho sem gancho

3 - ANCORAGEM NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS

Para ancorar as barras longitudinais nos apoios intermediários basta levar pelo menos 1/3 da armadura até o apoio eancorar em um comprimento de 10φ.

h<<<<60cm

boa

30cm

h>60cm

boa

30cm

10φ

levar pelo menos: 1/3 de As vão se |Mapoio| ≤ 0,5 M vão 1/4 de As vão se |Mapoio| > 0,5 M vão

lb,neclb,nec

� α1 = 1,0 sem gancho = 0,7 com gancho

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4 - ANCORAGEM NOS APOIOS DE EXTREMIDADE (item 4.1.6.2.A)

Para ancorar as barras longitudinais tracionadas nos apoios de extremidade deve-se verificar se a largura do apoio ésuficiente para transmitir o esforço de tração das barras na face do apoio, calculado a partir do diagrama de momentosdeslocados, para o concreto.

Roteiro de cálculo:

a) Esforço de tração na armadura na face do apoio → V0,5 d a

V=R dl

dst ≥

Vd → valor de cálculo, não reduzido, da força cortante

al → deslocamento do diagrama

b) Armadura necessária para ancorar Rst → yd

stcal s f

R A =

c) Comprimento de ancoragem necessário: �

cm

l 0,3

A

Al l

b

efs

calsb nec,b

φ≥α=10

101

As ef → armadura existente no apoio

d) Ancoragem no apoio extremo �

6cm

5,5 r

l

lnec,b

ext b,

φ+≥

r = raio mínimo de dobramento do gancho → evita o fendilhamento

e) O comprimento de ancoragem necessário deve ser menor ou igual ao espaço disponível para ancorar a armadura, ou seja:

se lb < ap – cobrimento (3cm) → ancoragem possível

se lb > ap - cobrimento (3cm) → diminuir o diâmetro ou usar ancoragem especial

lb

ap

Rst

lbRst

ap

� α1 = 1,0 sem gancho = 0,7 com gancho

� Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao plano dogancho, de pelo menos 7cm, e as cargas acidentais não ocorrerem com grande freqüência com seuvalor máximo, o primeiro dos três valores pode ser desconsiderado.

� � CA-50

� CA-60

� φ < 20 � 2,5φ � 3φ� φ ≥ 20 � 4φ �

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5 - ANCORAGEM/ESCALONAMENTO DAS ARMADURAS DOS MOMENTOS NEGATIVOS

O comprimento de ancoragem de barras escalonadas é igual a lb medido a partir do ponto teórico A, no qual a tensão σs dabarra em consideração começa a diminuir – o esforço de tração começa a ser transferido para o concreto – e deveprolongar-se de pelo menos 10φ além do ponto teórico de tensão nula, B. O ponto de início de ancoragem deve ser marcadono diagrama de momentos fletores deslocado de al.

1

A1

B1 2 A2

B2

O

No caso de duas barras com mesmo diâmetro e comprimentos diferentes:

No caso de duas barras de mesmo diâmetro e mesmo comprimento:

l = x0/4 + al + lb ≥ x0 + al + 10φ

No caso de três barras com mesmo diâmetro e comprimentos diferentes:

φ≥+

φ≥+

φ≥+

10 +a + x l a + 3

2x = l )3

10 +a +3

2x l a +

3x

= l )2

10 +a +3x

l a = l )1

l 0b l 0a

l 0

b l 0a

l 0

b l a

No caso de três barras de mesmo diâmetro e mesmo comprimento:

l = x0/3 + al + lb ≥ x0 + al + 10φ

al x0

10 +a + x l a + 2x

= l )2

10 +a +2x

l a = l )1

l 0b l 0a

l 0

b l a

φ≥+

φ≥+

10 OB

l OA l b

φ++

lb

A10φ

B

O

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6 - DESLOCAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS (item 17.4.2.c)

Para se determinar os esforços de tração das barras longitudinais (Rst) deve-se utilizar um diagrama de momentos obtidopelo deslocamento do diagrama original, paralelamente ao eixo da peça e no sentido mais desfavorável, de valor al dadopor:

al = 0,5 d cotgθ ≥ 0,5 d

ou pela decalagem do diagrama de forças do banzo tracionado:

d 0,5 d )V2(V

V =a

cmaxsd,

max sd,l ≥

−(estribos verticais)

TEORIA DE VIGAS

ANALOGIA DA TRELIÇA

INTERPRETAÇÃO FÍSICA

1 2

alP

P

c

M2= P (c + al) = Rst1 z

1

2

alP

c

Fcc2

Rst1

zNst

M1= P c = Rst1 z - Ncc dv

1

Pc

Fcc1

Rst1

zNcc

M1= P c = Rst1 z

M2= P (c + al) = Rst2 z

al

1 2

P P

PP

c

Fcc

Rst

z

Q

M

tgγ = dM/dx = V = P

∆M = al tgγ = al V = al P

Rst 1 real > M1/z

Rst = M1/z + ∆M/z

Rst = M2/z

2 1γ

al

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VII - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS DAS ARMADURAS

1- ARMADURA DE PELE (item 18.3.5 e 17.3.5.2.3)

Quando a altura útil da viga ultrapassar 60cm, deve dispor-se longitudinalmente e próxima a cada face lateral da viga umaarmadura de pele composta por barras de alta aderência. Esta armadura, deve ter, em cada face, seção transversal igual a0,10% de bw h. O afastamento entre as barras não deve ultrapassar d/3 e 20cm.

As pele = 0,0010bh → em cada face

2 – AMADURA DE SUSPENSÃO - item 18.3.6

NORMA → Nas proximidades das cargas concentradas transmitidas à peça em estudo por vigas que nelas se apoiem lateralmente ou fiquem nelas penduradas, deverá ser colocada uma armadura de suspensão.

No caso de apoios indiretos, para haver o equilíbrio de esforços internos da viga suporte, deve-se colocar no cruzamentodas duas vigas uma armadura de suspensão, que funciona como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela vigasuportada na parte inferior da viga suporte até a parte superior da mesma. A armadura de suspensão deve envolver aarmadura longitudinal da viga suporte.

ydsusp s f

R 1,4 A = R: reação da viga suportada

Pode-se reduzir o valor da reação quando as faces superiores das duas vigas estiverem no mesmo nível.

A suspensão pode ser feita através do prolongamento da armadura longitudinal da viga suportada ou por estriboscomplementares colocados preferencialmente no cruzamento das duas vigas. Estes estribos complementares devemenvolver as armaduras longitudinais (superiores e inferiores) das duas vigas.

Armadura longitudinal Estribos complementares

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3 - ARMADURA DE MONTAGEM (AMARRAÇÃO)

Quando não houver armaduras necessárias ao equilíbrio, deve-se colocar barras longitudinais adicionais nas arestas dosestribos para permitir a amarração dos mesmos. O diâmetro destas barras deve ser maior ou igual ao diâmetro do estribo.

montagem

4 -AFASTAMENTOS MÍNIMOS DAS BARRAS - item 18.3.2.2

Tendo em vista a necessidade de que o concreto envolva completamente a armadura e que não se apresentem falhas deconcretagem, é preciso que haja pelo menos um espaçamento mínimo entre as barras da armadura dado por:

d 1,2

cm 2 a

ag

h

φ≥

d 0,5

cm 2 a

ag

v

φ≥

dag → diâmetro do agregado: 1,25/1,9/2,5/3,0 cm

Para permitir a passagem do vibrador, deve-se ter uma largura livre de: a = dvibrador + 1cm

dvibrador → diâmetro do vibrador: 35/50/75/100 mm

As (M)

As (Mapoio)

As (M) As (M)

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5 - PROTEÇÃO DAS ARMADURAS - COBRIMENTO →→→→ C (item 7.4.7)

A camada de cobrimento deve proteger TODAS as barras da armadura, inclusive as de estribos, barras de armadurassecundárias e mesmo de armaduras construtivas.

Tabela 7.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

Classe de agressividade ambientalI II III IV3)Tipo de estrutura Componente ou

elementoCobrimento nominal (mm)

Laje2) 20 25 35 45Concreto armadoViga/Pilar 25 30 40 50

2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentosfinais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevadodesempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídaspelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm.

3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos deesgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deveter cobrimento nominal ≥ 45mm.

Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa doestribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser:

cnom ≥ φ barra

A Classe de agressividade ambiental é determinada pela Tabela6.1 do item 6.4.2 da NBR6118.

Tabela 6.1 - Classes de agressividade ambiental

Classe de agressividadeambiental (CAA)

Agressividade Classificação geral do tipo deambiente para efeito de

projeto

Risco de deterioração daestrutura

I fraca ruralsubmersa

insignificante

II moderada urbana 1) , 2) pequeno

III forte marinha 1)

industrial 1) , 2)grande

IV muito forte industrial 1) , 3)

respingos de maréelevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientesinternos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais econjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco,com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientespredominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias decelulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

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6 - DOBRAMENTOS

Na confecção das armaduras, muitas vezes se faz necessário a realização de diferentes tipos de dobramento dasbarras de aço. Tais dobramentos devem ser feitos com raios de curvatura que respeitem as características do açoempregado; isto é, sem que ocorra fissuração do aço do lado tracionado da barra. Também, devem evitar o fendilhamentodo concreto no plano de dobramento da armdura, já que as curvaturas das barras de aço introduzem tensões radiais decompressão no concreto.

GANCHOS, ESTRIBOS E DOBRAS → Diâmetro interno de curvaturaTIPO BITOLA CA-50 CA-60

estribos φ ≤ 6,3 3φ 3φganchos, dobras

e estribosφ < 20φ ≥ 20

5φ8φ

6φ-

BARRAS TRACIONADAS - Diâmetro interno de dobramentoCA-50 CA-6015φ 20φ

7 - COMPRIMENTOS DAS BARRAS DOBRADAS

(l2 - l1) →→→→ acréscimo de comprimento para 2 ganchos∆l90 →→→→ comprimento do dobramento a 900

Bitola (l2 - l1) cm ∆l90 (cm)5 10 66,3 12 88 15 1010 19 1212,5 23 1516 30 1920 45 2622,2 50 2925 56 33

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VIII – VIGAS – DISPOSIÇÕES GERAIS

1- TIPOS

a) Vigas bi-apoioadas: M → momento positivo

b) Vigas contínuas: M → momento positivo X → momento negativo

M → momento positivo → traciona fibras inferiores → armadura tracionada (As) na parte inferior armadura comprimida (As’) na parte superior

X → momento negativo → traciona fibras superiores → armadura tracionada (As) na parte superior armadura comprimida (As’) na parte inferior

2- SOLICITAÇÕES

Esforço Cortante → Cisalhamento → Estribos

Momento Fletor → Flexão → Armadura longitudinal

Momento Torçor → Torção → Estribos + Armadura longitudinal

M

X

M

As (M)

As (X)

As (M) As (M)

M

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3- SEÇÃO TRANSVERSAL

Nas mesas de vigas T deve haver armadura perpendicular à nervura, que se estenda por toda sua largura útil, com seçãotransversal de no mínimo 1,5cm2/m.As vigas de seção retangular, as nervuras das vigas de seção T e as paredes das vigas de seção caixão não devem terlargura menor que 10cm → b ou bw > 10cm.

Retangular Seção T

4- NBR 6118 - ITEM 14.6

I) SEÇÃO T – ITEM 14.6.2.2

b1 ≤ 0,10 a b3 ≤ 0,10 a 0,5 b2

a → a = l se apoiada - apoiadaa = 3/4 l se contínua - apoiadaa = 3/5 l se contínua - contínuaa = 2 l se engastada - livre

II) VÃO TEÓRICO → l - item 14.6.2.4

l : distância entre centros de apoios

� apoio muito largo → vão livre + a1 + a2 a1, a2 � menor valor entre: largura do apoio/2 e 0,3h

vão livre

l: vão teórico

b

h

d’As’

As

d

bw

hhf

bf

≥≥≥≥ 1,5 cm2/m

As’

As

bw

b3 b1 b1

b2

hf

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III) VIGAS CONTÍNUAS EM EDIFÍCIOS – ITEM 14.6.4

a) Permite-se calcular as vigas contínuas em edifícios por processo simplificado, em regime elasto-plástico, unicamentealterando-se a posição da linha de fecho determinada no regime elástico de modo a reduzir os momentos sobre os apoiosno máximo de 25%.

NBR6118-2003 (item14.6.4.3) � limitação da relação x/d para poder melhorar a ductilidade das estruturas nas regiõesde apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais.

a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa

Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para rM, em uma determinada seçãotransversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição da linha neutra nessa seção x/d, para o momentoreduzido δM, devem ser dada por:

a) δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa; oub) δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa.

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:

a) δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis;b) δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso.

b) Não serão considerados momentos positivos, nos vãos intermediários, menores que os que se obteriam se houvesseengastamento perfeito da viga nas extremidades dos referidos vãos, ou, nos vãos extremos, menores que os obtidos comengastamento perfeito no apoio interno

Momento positivo → M → Pior situação utilizando X= 0,85Xe (momento negativo reduzido) ou MEP (momento de engastamento perfeiro)

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5- CARGAS

→ Cargas distribuídas → KN/mpeso próprio (b × h × γcom= 25kN/m3)reação das lajesalvenaria (paredes) (halv × balv × γalv= 13 a 18kN/m3)

→ Cargas concentradas → KN → Reação de outra viga

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TABELA 1 - ÁREA DA SEÇÃO DE ARMADURA AS (cm2)

BITOLAS PADRONIZADAS (NBR7480/96)

BITOLA φ(mm) Número de fios ou barras

FIOS BARRAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102,4 0,05 0,09 0,14 0,18 0,23 0,27 0,32 0,36 0,41 0,453,4 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,64 0,73 0,82 0,913,8 0,11 0,23 0,34 0,45 0,57 0,68 0,79 0,91 1,02 1,134,2 0,14 0,28 0,42 0,55 0,69 0,83 0,97 1,11 1,25 1,394,6 0,17 0,33 0,50 0,66 0,83 1,00 1,16 1,33 1,50 1,665,0 5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,965,5 0,24 0,48 0,71 0,95 1,19 1,43 1,66 1,90 2,14 2,386,0 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83

6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,126,4 0,32 0,64 0,97 1,29 1,61 1,93 2,25 2,57 2,90 3,227,0 0,38 0,77 1,15 1,54 1,92 2,31 2,69 3,08 3,46 3,858,0 8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,039,5 0,71 1,42 2,13 2,84 3,54 4,25 4,96 5,67 6,38 7,0910,0 10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85

12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,2716,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,1120,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,4222,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,0125,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,0932,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,4240,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66

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TABELA 2 - ÁREA DA SEÇÃO DE ESTRIBO POR METRO ASW /s (cm2/m) - Estribos de dois tramos

BITOLAS PADRONIZADAS (NBR7480/96)

BITOLA φ(mm)ESPAÇAMENTO (cm)

5 6.3 8 10 12.57 5.61 8.91 14.36 22.43 35.068 4.91 7.79 12.57 19.63 30.689 4.36 6.93 11.17 17.45 27.2710 3.93 6.23 10.05 15.71 24.5411 3.57 5.67 9.14 14.28 22.3112 3.27 5.20 8.38 13.09 20.4513 3.02 4.80 7.73 12.08 18.8814 2.80 4.45 7.18 11.22 17.5315 2.62 4.16 6.70 10.47 16.3616 2.45 3.90 6.28 9.82 15.3417 2.31 3.67 5.91 9.24 14.4418 2.18 3.46 5.59 8.73 13.6419 2.07 3.28 5.29 8.27 12.9220 1.96 3.12 5.03 7.85 12.2721 1.87 2.97 4.79 7.48 11.6922 1.78 2.83 4.57 7.14 11.1623 1.71 2.71 4.37 6.83 10.6724 1.64 2.60 4.19 6.54 10.2325 1.57 2.49 4.02 6.28 9.8226 1.51 2.40 3.87 6.04 9.4427 1.45 2.31 3.72 5.82 9.0928 1.40 2.23 3.59 5.61 8.7729 1.35 2.15 3.47 5.42 8.4630 1.31 2.08 3.35 5.24 8.18

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EXERCÍCIOS 1ª ÁREA

1) Determinar o mínimo valor de "bf" para que uma viga de seção transversal T não necessite de armadura de compressãopara resistir a um momento fletor de 300kNm. Os materiais utilizados são concreto fck= 28MPa e aço CA-50. Dadosgeométricos da seção transversal: h=50cm, bw=20cm, hf=8cm e d=46cm.

2) Determinar o valor do momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção retangular, com dimensõesb=12cm, h=50cm, d=46cm, d’=3cm, duplamente armada com aço CA-25, sendo As=6,5cm2 e As’=4,0cm2. O concreto temfck=16MPa.

3) Determinar a armadura necessária para uma viga de seção retangular com dimensões b=15cm, h=45cm, d=40cm ed'=4cm, resistir a um momento fletor de 100kNm. Os materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-50.

4) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado de um edifício residencial,devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck=25MPa e açoCA50:a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, no meio de um vão, de valor 185kNm;b) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio intermediário, de valor 200kNm.

d = 41 cm d’= 3 cm

5) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção retangular, com dimensões b=15cm,d=51cm, armada com aço CA-50, sendo a área de aço tracionada igual 7cm2. O concreto tem fck= 30MPa.

6) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção retangular, com dimensões b=21cm,d=42cm e d'=3cm, duplamente armada com aço CA-50, sendo a área de aço tracionada igual a 15cm2 e a área de açocomprimida igual a 3cm2. O concreto tem fck=25MPa.

7) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado de um edifício residencial,devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck=25MPa e açoCA50:a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, em um vão, de valor 290kNmb) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio intermediário, de valor 270kNm

d = 51 cm d’= 3 cm

bf=90cm

bw=25cm

h=45cm

hf=8cm

70cm

17cm

55cm

7cm

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8) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção retangular, com dimensões b=20cm,d=45cm e d'=5cm, duplamente armada com aço CA-40(A), sendo a área de aço tracionada 10,0cm2 e a comprimida 7,0cm2.Dado: fck=13,5MPa.

9) Determinar a armadura necessária para uma viga de seção retangular com dimensões b=15cm, h=50cm, d=45cm ed'=5cm, resistir a um momento fletor de 230kNm. Os materiais utilizados são concreto fck= 30MPa e aço CA-50.

10) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado de um edifício residencial,devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-50:

a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, no meio de um vão, de valor 300kNmb) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio intermediário, de valor 280kNm

d = 46cm d’= 3cm

11) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado de um edifício residencial,devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-50:a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, em um vão, de valor 300kNmb) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio intermediário, de valor 320kNm

d = 36cm d’= 3cm

80cm

50cm

30cm

6cm

110cm

100cm

40cm

10cm

15cm

10cm

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EXERCÍCIOS 2ª ÁREA

1) Para a viga abaixo, considerando fck=30MPa, CA-60, b=15cm, h=40cm, d=36cm:a) dimensionar os estribos (Fazer redução do cortante sempre que possível)b) escolher o diâmetro e o espaçamento do estribo a ser usado em cada situaçãofazer croqui da distribuição dos estribos ao longo da viga com quantidade de estribos e comprimento de cada trecho

15 kN/m 80kN

A B 50cm 20cm A 4m 0,8m B

2) Para a viga abaixo, considerando fck=25MPa, CA-60, b=15cm, h=40cm, d=36cm:a) dimensionar os estribos (Fazer redução do cortante sempre que possível)b) escolher o diâmetro e o espaçamento do estribo a ser usado em cada situaçãoc) calcular a quantidade total de estribos da viga (fazer croqui da distribuição dos estribos ao longo da viga com

quantidades e comprimentos parciais)

15kN/m 70kN

A B 40cm 20cm A 3m 1m B

3) Determinar as armaduras necessárias para a seção transversal de dimensões b=38cm, h=70cm, d=66cm de uma viga deconcreto armado solicitada por um momento torçor de 50kNm e um esforço cortante de 50kN. Características dosmateriais: aço CA-50 e concreto fck=30MPa. Cobrimento da armadura 3cm. Fazer um croqui das armaduras na seçãotransversal.

4) Determinar as armaduras necessárias para uma seção transversal de dimensões b=25cm, h=50cm de uma viga deconcreto armado solicitada por um momento torçor de 30kNm. Características dos materiais: aço CA-50 e concretofck=25MPa. Considerar d=46cm e c1=4cm.

5) Para a viga abaixo, considerando fck=25MPa, CA-60, b=15cm, h=40cm, d=36cm:d) dimensionar os estribos (Fazer a redução do esforço cortante sempre que possível)e) escolher o diâmetro e o espaçamento do estribo a ser usado em cada situaçãof) fazer croqui da distribuição dos estribos ao longo da viga com quantidades e comprimentos parciais 50kN 60kN/m 40 kN/m

A B 30cm 20cm A 2m 2m B

6) Determinar as armaduras necessárias para a seção transversal de dimensões b=30cm, h=70cm, d=65cm da viga deconcreto armado da figura (Desconsiderar o momento fletor). Características dos materiais: aço CA-50 e concretofck=25MPa. Dado: c1=5cm. Fazer um croqui das armaduras na seção transversal.

10 kN/m

25kNm/m

A B 5m

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EXERCÍCIOS 3ª ÁREA

1) Para a viga da figura, considerando cobrimento de 2,5cm, diâmetro dos estribos 5mm, e, que nos apoios A e C existecobrimento lateral maior que 7cm, pede-se:

CA-50fck=25MPa A l=3,8m B l=4,5m Cb=15cm 1,2 Xe apoio → As= 6,32cm2 - momento elásticoh=40cm 0,75Xe apoio → As =5,16cm2 - momento reduzidod=35cm x0=85cm x0=92cm

Largura dos apoios: Mvão → As=2,23cm2 Mvão → As=3,14cm2

A=15cm Mvão MEP → As=2,19cm2 Mvão MEP → As=3,95cm2

B=20cmC=18cm V 41,27kN -88kN 79kN 55kN

A) ARMADURA LONGITUDINAL: momento negativo sobre o apoioescolher o diâmetro e a quantidade de barras considerando o fato que as barras devem estar, necessariamente, em DUAScamadas (fazer croqui com o valor do espaçamento entre as barras); calcular o comprimento das barras (as barras demesmo diâmetro devem ter comprimentos iguais)

B) ARMADURA LONGITUDINAL - momento positivo - VÃO BCescolher o diâmetro e a quantidade de barras considerando o fato que TODAS as barras devem estar, necessariamente,em SOMENTE UMA camada (fazer croqui com o valor do espaçamento entre as barras); analisar a ancoragem no apoio deextremidade - apoio C ; fazer um croqui com o detalhamento (bitolas, comprimentos e quantidade) da armaduralongitudinal para o momento positivo do vão BC

3) A armadura necessária para equilibrar o momento negativo sobre um apoio intermediário de uma viga contínua deconcreto armado é de 2φ12.5+1φ10. Calcular os comprimentos das barras de φ12.5 (as duas barras com o mesmocomprimento) e da barra de φ10. As barras φ12.5 deverão ter comprimento necessariamente maior do que a de φ10.

DADOS:fck=30MPa A l=4,5m B l=4,5m Cb=20cm X → 2φ12.5+1φ10h=50cmd=46cm x0=105cm x0=97cmCA-50 V 79kN 117kN 200kN 55kN

3) Para a viga de concreto armado da figura, considerando cobrimento=2,5cm:a) escolher o diâmetro e a quantidade de barras longitudinais considerando o fato que se deve colocar TODAS as barras,

necessariamente, em UMA CAMADA e que o diâmetro dos estribos é φ8 (fazer croqui com o valor do espaçamentoentre as barras)

b) analisar a ancoragem nos apoios de extremidade (entrar TODAS as barras nos apoios)c) fazer um croqui com o detalhamento (bitolas, quantidade e comprimentos) de TODAS armaduras longitudinais

utilizadas para construir a vigaDADOS:b=12cmh=45cm A l = 422,5cm Bd=41cm Mvão → As = 4,0cm2

fck= 30MPaCA-50 V 55kN 110kN

Apoio A - largura= 25cm (sem cobrimento lateral de 7cm)Apoio B - largura= 16cm (com cobrimento lateral de 7cm)