Apostila Completa Hp12c Santos

PROFESSOR HÉLIO BOARETTO JÚNIOR

OUTUBRO/2004

INTRODUÇÃO ................................................................................................................1

Iniciando.......................................................................................................................2

Bateria ......................................................................................................................2

Memória Constante ..................................................................................................2

Reset ........................................................................................................................2

Sistema numérico.....................................................................................................2

Casas Decimais .......................................................................................................2

Testes ..........................................................................................................................3

1º Teste ....................................................................................................................3

2º Teste ....................................................................................................................3

3º Teste ....................................................................................................................3

Teclado.....................................................................................................................3

Cálculos .......................................................................................................................4

Funções Matemáticas ..................................................................................................6

Inverso de um Número [1/x] ....................................................................................6

Fatorial [ f ] [3 ] ........................................................................................................6

Parte Inteira de um Número [ g ] [%] ........................................................................6

Parte Fracionária de um Número [ ] [Δ%]................................................................6

Potenciação [yx].......................................................................................................6

Regras de Potenciação:........................................................................................7

Exemplos: .............................................................................................................7

Radiciação [1/x] [yx]..................................................................................................7

Regras de Radiciação:.................................................................................................8

Exemplos:.................................................................................................................8

Logaritmos [ f ] [%T] ................................................................................................8

Porcentagem................................................................................................................9

Usando a regra de 3: ...................................................................................................9

Acréscimos e Decréscimos Percentuais ......................................................................9

Diferença Percentual [Δ%] .........................................................................................10

Percentual de um Total [%T].....................................................................................10

Porcentagem sobre Porcentagem..........................................................................10

Calendário..................................................................................................................11

Introduzindo Data.......................................................................................................11

Cálculos com datas ................................................................................................11

Cálculo entre Datas ...................................................................................................11

Descobrindo datas .................................................................................................12

Número de dias comerciais........................................................................................12

Estatística ..................................................................................................................12

Pilha Operacional.......................................................................................................14

Memórias ...................................................................................................................16

Cálculo com as Memórias..........................................................................................17

Funções de Limpeza..................................................................................................17

Limpando o visor CLx.............................................................................................18

Limpando Memórias Estatísticas e Pilha Operacional Σ .......................................18

Limpando Memórias Financeiras FIN.....................................................................18

Limpando Toda a Memória REG............................................................................18

Limpando a programação PRGM...........................................................................18

Limpando a tecla [f] ou [g] PREFIX ........................................................................18

Exercícios ...........................................................................................................18

Matemática Financeira...............................................................................................24

Juros Simples ou Capitalização Linear ......................................................................26

Juros Simples ............................................................................................................27

Exemplos................................................................................................................28

Taxas Proporcionais ..................................................................................................30

Desconto Bancário.....................................................................................................32

Juros Compostos .......................................................................................................35

Exemplos ...................................................................................................................36

Sabendo o conteúdo das memórias financeiras ........................................................37

Fator de Juros............................................................................................................38

Exemplos:...............................................................................................................38

Taxas Equivalentes....................................................................................................39

Usando Fórmula ........................................................................................................40

Usando as Funções Financeiras................................................................................41

Exercícios ..................................................................................................................41

PROGRAMA PARA CÁLCULO DE TAXA EQUIVALENTE .......................................44

OPERAÇÃO: ..........................................................................................................44

Períodos Quebrados..................................................................................................45

Juros Misto.................................................................................................................46

Comparando Juros Simples e Composto...................................................................47

Anuidades ..................................................................................................................48

Sistema Price.............................................................................................................49

Amortização ...............................................................................................................59

Exemplos................................................................................................................59

Análise de Fluxo de Caixa (série variável) .................................................................63

IRR – Taxa Interna de Retorno ..................................................................................63

NPV – Valor Presente Líquido................................................................................63

Exemplos: ..................................................................................................................64

DEPRECIAÇÃO.........................................................................................................69

Roteiro de Cálculo..................................................................................................69

Exemplos ............................................................................................................70

Terminando................................................................................................................70

Títulos.....................................................................................................................71

Programação..........................................................................................................71

Funções Matemáticas ................................................................................................71

Funções Financeiras..................................................................................................72

Funções com Data.....................................................................................................72

Funções com Depreciação ........................................................................................72

Funções com Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido .............................72

Funções Estatísticas ..................................................................................................73

Funções para Programação.......................................................................................73

Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Hélio Boaretto Júnior

1

INTRODUÇÃO

Utilização da calculadora HP 12C como uma ferramenta de análise financeira.

Hélio Boaretto Júnior

Esta apostila foi elaborada com o objetivo de complementar o conhecimento da

calculadora financeira HP-12C, fornecendo um gama de aplicações relacionadas,

principalmente com o Mercado Financeiro Brasileiro.

Nosso propósito é mostrar uma gama de exemplos para os diversos setores

empresariais abrangendo na sua totalidade os assuntos relacionados a finanças, e

esperamos que sempre exista um que te sirva de modelo para as suas necessidades.

Aos Senhores das áreas de finanças, contabilidade, factoring e estudantes de áreas

sócio econômicas, os exemplos e exercícios aqui apresentados lhe servirão de

modelos para o dia a dia de suas operações, assim como também lhes servirão para

sua própria Qualificação e Requalificação no mercado profissional.

Nos exemplos ligados às áreas comerciais não mencionaremos o repasse dos

impostos e custos ao custo financeiro, pois isto tornará difícil assimilação para pessoas

de áreas não financeiras, portanto gostaríamos de esclarecer aos senhores, que este

manual não se trata de um formador de preços de Venda e sim um complemento para

entender melhor a atuação do mercado financeiro e ganhar praticidade no uso destes

instrumentos.


2

Iniciando

Ligar – pressione a tecla [on]

Desligar – pressione novamente a tecla [on]

Bateria

Se ao ligar a calculadora aparecer um asterisco (*) piscando à esquerda e no canto inferior do visor, significa que há pouca bateria. Providencie a troca conforme manual que acompanha a calculadora.

Obs.: se a calculadora ficar ligada sem uso por 7 minutos, ela desligará automaticamente.

A HP 12C usa 3 baterias alcalinas (80 h) ou 3 baterias de óxido de prata (180 h). esse número de horas é de uso contínuo.

Memória Constante

A HP possui memória constante ( C ), onde todas as informações (dados) não são perdidos mesmo que desligada.

Quando efetuar a troca de baterias, faça a troca rapidamente para que a memória contínua não se apague.

Reset

Para limpar a calculadora totalmente, ou seja, como se ela ainda não tivesse sido usada (como vem de fábrica), pressione as teclas [on] [-] simultaneamente.

Sistema numérico

Para modificar o formato americano para o nosso, ou seja, usar vírgula para separar a parte inteira d parte fracionária do número e ponto para separar a milhar, faça:

Desligar a calculadora

Manter pressionada a tecla [•]

E ligá-la novamente

Casas Decimais

Para definir o número de casas decimais use a tecla [ f ] seguida do número de casas decimais desejado.

Assim, caso queria 5 casas decimais, pressione [ f ] [ 5]

Para 2 casas decimais pressione [ f ] [ 2 ]


3

Testes

A HP possui 3 testes para confirmar que seu funcionamento está OK.

1º Teste Com a calculadora desligada, pressione [on] [ x ] simultaneamente. Solte a tecla [on] e em seguida a tecla [ x ]. Aparecerá no visor a palavra ”running” e alguns segundos depois o visor mostrará:

2º Teste Com a calculadora desligada, pressione [on] [+] simultaneamente. Solte a tecla [on] e em seguida a tecla [+]. Aparecerá no visor a palavra “running” por tempo indeterminado, pressione qualquer tecla, exceto [on] e após alguns instantes o visor mostrará:

3º Teste Com a calculadora desligada, pressione [on] [÷] Daí pressione todas as teclas da esquerda para a direita e de cima para baixo inclusive [on]. A tecla [enter] deverá pressionada duas vezes, porém, obedecendo a seqüência. Concluído, o número 12 deverá aparecer no visor, indicando que o teclado está OK. Obs.: “running” indica que a HP está efetuando cálculos.

Teclado O teclado é disposto de 4 linhas e 10 colunas, totalizando 39 teclas. As teclas são representadas pela combinação da linha e da coluna em que está localizada, exceto as teclas de números. Exemplo: Tecla [+] → 40

Tecla [Clx] → 35

Tecla [1/x] → 12

Tecla [7] → 07

Estas numerações para as teclas são muito importantes na programação da calculadora.

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM


4

O teclado possui teclas com mais de uma função.

Um exemplo é a tecla

Outro exemplo é a tecla [3] com 2 funções.

As teclas [STO] [RCL] [ ÷ ] [ x ] [ - ] [+ ] possuem apenas uma função. Para acessar as outras funções de uma tecla, temos que usar as teclas [ f ] [ g ], sendo a tecla f para as funções que estão em amarelo acima da tecla desejada e a tecla g para as funções que estão em azul abaixo da tecla desejada.

Caso seja apertada a tecla f ou g erroneamente, use [ f ] [enter] para limpar; caso não tenha importância perder o valor que está no visor, tecle [CLx]. Cálculos Toda operação aritmética envolve 2 números e uma operação que pode ser adição (+), subtração (-), multiplicação (x) e divisão (÷). Os 2 números devem ser introduzidos na calculadora, na mesma ordem, caso o cálculo fosse feito com lápis e papel, ou seja, da esquerda para a direita. Introduza o primeiro número, pressione [enter], o que faz a separação do 1º e do 2º número. Introduza o 2º número, e finalmente pressione a tecla da operação. Exemplo: [5] [enter] [2] [x] para ter no visor = 10. No sistema da HP 12C não existe sinal de igual (=) Outro exemplo: 20 + 10 + 50 = 40

2

[2] [0] [enter] [1] [0] [+] [50] [+] [2] [÷] A calculadora trabalha com o sistema RPN (Notação Polonesa Reversa = Reverse Polish Notation), ou seja, não possui a tecla igual (=) e sim a tecla [enter]. Para o cálculo de 10 x 7 tem-se:

Máquina comum 10 x 7 =

HP 10 enter 7 x

SOYD [Δ%] FRAC

SOYD [Δ%] FRAC

Teclar [ f [ [ Δ% ] Teclar [ Δ% ] diretamenteTeclar [ g ] FRAC


5

A Notação Polonesa Reversa também não usa parênteses ( ) e sim cálculos em cadeia, usando-se a pilha operacional, assunto que veremos mais adiante. A Notação Algébrica posiciona os operadores ( + - x ÷) entre os números, enquanto a RPN depois dos números. Assim sendo, é chamada de reversa ou inversa. Arredondando um número Seja o número 3,46875, o qual desejamos arredondar para 2 casas decimais. O número ficará 3,47.

[f] [5] 3,46875 [enter] [f] [2] [f] [5] [f] [2] [f] [PMT] [f] [5]

Trocando o sinal

A tecla [CHS] abreviação de Change Sign faz a mudança de sinal de um número. Exemplo:

77 [CHS] [enter] → -77,00

Introduzindo Números Grandes (Notação Científica) Como o visor não comporta números com mais de 10 dígitos, os números maiores necessitam ser introduzido em notação científica, ou potência de 10. Números que são gerados pela calculadora, (resultados) maiores que 10 dígitos são convertidos em potência de 10 automaticamente. EEX – enter exponent. 3.77 x 1015 ou 3.77 [EEX] 15

3.770.000.000.000.000,00

Convertendo um número em notação científica e vice-versa

Para converter um Nº que já esteja no visor para notação científica, pressione [ f ] [ • ] Para retornar à representação normal, pressione [ f ] [nº] (desde que o número que esteja no visor tenha no máximo 10 dígitos). Exemplo: [ f ] [4] [ f ] [ • ] [ f ] [4]

0,0357 0,0357 3,570000 – 02 (3,57 x 10 –2)

Valor a ser digitado

Arredonda no visor

Volta a ser 3,46875

Arredonda realmente o Nº digitado

Valor efetivamente arredondado 3,4700


6

Funções Matemáticas

Inverso de um Número [1/x]

1 ÷ 20 = 1 / 20 = 0,05 20 1 / x → 0,05

Fatorial [ f ] [3 ]

5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Esta função é muito usada para cálculos de análise combinatória 5 g n! → 120

Parte Inteira de um Número [ g ] [%] 771.85 g INTG → 771.00

Parte Fracionária de um Número [ ] [Δ%] 771.85 g FRAC → 0,85

Teclas [g] [n] [g] [i] 120 g 12 ÷ → 10 g 12 x → 120

Potenciação [yx]

Potenciação é a operação de multiplicação, onde todos os fatores são iguais. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243 3 ENTER 5 yx → 243

Úteis para multiplicar e dividir por 12 sem ter que digitar o número 12 e a tecla ÷


7

Regras de Potenciação:

Exemplos: 1,2330 = 497,91 1.23 enter 30 yx → 497,91 5020 = 9,54 x 1033 50 enter 20 yx → 9,54 33 Radiciação [1/x] [yx] Radiciação é a operação inversa da potenciação. A raiz quadrada é obtida diretamente. Já a raiz que tenha índice diferente de 2, precisa ser calculada usando 2 teclas, a de inverso e a de potência. Exemplos:

5,0025 = 25 g √x → 5,00

065,137,15 = 1,37 enter 5 1/x yx → 1,065

n

n

n

nnn

nmnm

nmn

m

nmnm

ba

ba

axbxba

aa

aaa

axaa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

=

=

=

−

+

)(

)( .

(expoente par) (expoente ímpar) 33

22

1

0

1

1

aa

aa

aa

aa

a

nn

−=−

=−

=

=

=

−


8

Regras de Radiciação:

nmm n

nn

n

n mmn

nm

n m

aa

ba

ba

aa

aa

.

)(

=

=

=

=

Exemplos:

0069,123,123,1 301

30 == 1.23 enter 30 1/x yx → 1,0069

1480,123,123,1)23,1( 3020

30 202030 === 1.23 enter 30 1/x yx 20 Yx → 1,1480 Ou 1.23 enter 20 enter 30 ÷ yx → 1,1480

Logaritmos [ f ] [%T] Desde o século XVII os empréstimos a juros compostos já eram bem usados. Daí, a impulsão do desenvolvimento dos logaritmos. Na Matemática Financeira usa-se o logaritmo natural ou neperiano (ln). Os logaritmos neperianos são de base e, onde e é o Número de Euler, cujo valor vale 2,718281828...São chamados de naturais pelo fato de que, no estudo dos fenômenos naturais como desintegração do átomo, reprodução de bactérias etc., aparece uma lei exponencial de base e. Também é conhecido como logaritmo neperiano, devido ao matemático escocês John Napier. loge x = ln x Exemplo: LN 5 = 1,6094 5 Enter g LN → 1,6094


9

Porcentagem Porcentagem ou Percentagem é a fração centesimal de um número.

100% ii =

Percentual de um valor [%] 20 % de 2.000,00? Usando a regra de 3: 100 % ------- 2000 20 % ------- x

400100

20.2000==x

Ou ainda:

40020002.02.010020

=×→=

Usando a HP tem-se : 2000 Enter 20 % → 400 Acréscimos e Decréscimos Percentuais São cálculos em que um valor é aumentado ou diminuído de uma porcentagem. Qual o valor creditado, de uma aplicação de $500,00, cujo rendimento foi de 2%? 500 Enter 2 % + → 510,00 Ou 500 Enter 1.02 x → 510,00 1 ---------- 100% → 1 + 0,02 = 1,02 2 % → Valor x 1,02 As ações da Empresa ABC foram compradas a $2,00 e foram vendidas com um prejuízo de 40%. Qual o valor de venda? 2 Enter 40 % - → 1,20 Ou 2 enter .6 x → 1,20 1 ---------- 100% → 1 – 0,4 = 0,6 60% → Valor x 0,6

A regra de 3 aplica a propriedade das proporções, onde se tem 3 termos e se quer achar 1. daí o nome, Regra de Três.


10

Diferença Percentual [Δ%] Neste caso determina-se quantos por cento um número é maior ou menor que outro. Quantos % $1.200,00 tem em relação a $1.000,00 ? 1000 enter 1200 Δ% → 20 Ou 1200 enter 1000 Δ% → 16,67 Percentual de um Total [%T] Para determinar quantos % um valor representa em um valor total. Uma empresa gasta $700,00 de energia, sendo suas despesas totais $3.000,00. Determinar quantos % a energia representa. 3000 enter 700 T% → 23,33

Porcentagem sobre Porcentagem Este é o caso onde um valor é cumulativamente aumentado ou diminuído. Uma aplicação de $2.000,00 rende 12% e o rendimento é tributado em 2%. Calcule o valor final a ser resgatado.

2000 enter 12 % 2 % - + → 2.235,20 Caso você não sinta segurança em realizar o cálculo em “cadeia” como foi feito acima, faça: 2000 STO 0 12 % STO 1 2 % RCL 1 - CHS RCL 0 + → 2.235,20 Neste caso, foi usado o conceito de memória e no anterior o de pilha operacional, assuntos que serão abordados em detalhes mais adiante.

Você NUNCA deve anotar cálculos pendentes no papel !!

Rendimento Bruto = 240.00

Tributação = 4,80

Rendimento líquido = 235.20

Valor resgatado


11

Calendário A HP 12C permite saber: Que data será a n dias Que data foi a n dias atrás Quantos dias separam 2 datas Que dia da semana foi ou será uma data A calculadora trabalha com datas entre 15 de Outubro de 1582 e 25 de Novembro de 4046. A HP sai de fábrica no formato americano de datas, ou seja, mês/dia/ano. Para que fique em nosso formato (EUROPEU), tecle [g] [4], que é D.MY (dia/mês/ano). Observe que no visor aparece D.MY. quando não há essa mensagem no visor é porque a calculadora está no formato M.DY (mês/dia/ano). Obs: mantenha o indicador D.MY sempre no visor. Introduzindo Data Para introduzir uma data na calculadora devemos indicar o dia, seguido de ponto, o mês com dois dígitos e quatro dígitos para o ano. Exemplo: 10 de Julho de 1997 → 10 . 071997 3 de Novembro de 1950 → 3.111950

Cálculos com datas Para sabermos qual data foi ou será a n dias, usamos as teclas [g] [CHS] 10.071997 enter 15 g DATE → 25.07.1997 5 O número 5 indica o dia da semana. Como 25/07/97 é uma Sexta-feira, o número 5 indica Sexta-feira. Segunda = 1 Terça = 2 Quarta = 3 Quinta = 4 Sexta = 5 Sábado = 6 Domingo = 7 Para efetuar cálculo com um número n de dias atrás, troca-se o sinal do número de dias com a tecla [CHS] 15.071997 enter 15 CHS g DATE → 30.06.1997 1 Cálculo entre Datas Para sabermos quantos dias separam duas datas, usamos as teclas [g] [EEX] Exemplos:


12

15.071991 enter 30.061991 g ΔDYS → - 15 4.081997 enter 1.121997 g ΔDYS → 119

Descobrindo datas Caso queiramos saber em que dia da semana nós nascemos, ou em que dia da semana ocorreu a Independência do Brasil, ou ainda, em que dia da semana uma aplicação vai ser resgatada, digitamos a data e calculamos zero dias com a tecla [DATE] 7.091822 enter 0 g DATE → 7.09.1822 6 Portanto, foi em um sábado a Independência do Brasil. Número de dias comerciais Para calcular o número de dias entre 2 datas, usamos [ΔDYS] que fornece o número real de dias. Com a tecla [x><y] obtemos o número de dias comerciais. 1.021997 enter 1.031997 g ΔDYS → 28 x><y → 30 Estatística A introdução de dados estatísticos é feita pela tecla [E+] Toda vez que essa tecla é pressionada, a HP efetua cálculos estatísticos e armazena os resultados nas memórias de 1 a 6. Memória 1 → número de dados ou pares de dados Memória 2 → soma dos valores de x

∑ +++=x nxxx ...21

Memória 3 → soma dos quadrados dos valores de x

222

21 ...2 nx

xxx +++=∑ Memória 4 → soma dos valores de y


13

∑ +++=y nyyy ...21

Memória 5 → soma dos quadrados dos valores de y

222

21 ...2 ny

yyy +++=∑

Memória 6 → soma dos produtos de x e y

nnxyyxyxyx +++=∑ ...2211

Obs.: quando estiver efetuando cálculos estatísticos não use as memórias de 1 a 6, caso precise de operações intermediárias. Entre um cálculo estatístico e outro, devemos zerar as memórias de 1 a 6. Para isso use a tecla [ ] [SST] Média Aritmética [ ] [0]

50,134

1215207=

+++

f Σ 7 Σ+ 20 Σ+ 15 Σ+ 12 Σ+ g x → 13,50 Caso um dado seja inserido errado, digite o dado novamente, pressione [g] [Σ-], introduza o dado correto e pressione [Σ+]. No exemplo anterior vamos trocar o valor 20 por 5:

75,94

1215574

1215207=

+++⇒⇒

+++

20 g Σ- 5 Σ+ g x → 9,75 Média Ponderada [g] [6]

90,510

352473

)75()38(=

+=

+×+×

f Σ 8 enter 3 Σ+ 5 enter 7 Σ+ g x w → 5,90

1º par de dados 2º par de dados

O visor vai mostrando a seqüência dos

dados


14

Outros cálculos estatísticos como Desvio Padrão, Variância, Regressão Linear etc., não são objetivos deste curso. As duas medidas estatísticas mais comuns, média aritmética e ponderada, foram apresentadas. Pilha Operacional Para fazer as operações a HP utiliza-se de um processo de armazenagem de dados que denominamos “Pilha Operacional”. Esta pilha possui 4 endereços de armazenamentos: X, Y, Z, e T onde o endereço X é o visor. Vamos mostrar como a Pilha Operacional trabalha com o seguinte exemplo: ( 2 + 3 ) : ( 4 - 2 ) Endereço T Endereço Z 5 5 Endereço Y 2 2 5 4 4 5 Endereço X (visor) 2 2 3 5 4 4 2 2 2,5 Tecle 2 3 + 4 2 - : Se você teclou: [ 2 ] [ENTER] [ 3 ] [ + ] [ 4 ] [ENTER] [ 2 ] [ - ] [ : ] Internamente a pilha operacional utilizou os endereços acima apresentado. OBS.: 1 - Toda operação é realizada do endereço Y para o endereço X. 2 - A tecla [x y] troca de lugar o x pelo y.


15

Exemplo: (5x10) + (2 x 7) = 50 + 14 = 64

5 enter 10 x 2 enter 7 x + → 64,00 A calculadora HP armazena até 3 resultados parciais. Isto por que ao introduzir um 4º valor (registrador X), perde-se o 1º (registrador T). Vejamos o exemplo:

44

1631

16)25(1

16

51051

16==

+=

−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Observe que o valor calculado abaixo está errado, pois pode-se usar no máximo 3 [enter] consecutivos

16 enter 1 enter 5 enter 10 enter 5 ÷ - + ÷ → 0,25

Para resolver esse exemplo, calcula-se primeiro o denominador, e depois faz-se a

divisão do numerador pelo denominador.

1 enter 5 enter 10 enter 5 ÷ - + 16 x><y ÷ → 4,00 Outra forma de fazer, depois que o denominador foi calculado é:

1 enter 5 enter 10 enter 5 ÷ - + 1/x 16 x → 4,00 Caso você não sinta segurança, deve-se usar memórias extras, ou seja, as memórias que não são da pilha operacional. Este é o assunto a seguir.

Resultado do denominador

Entra o Numerador

Efetua a divisão

Inverte a pilha XeY 16 / visor

Resultado do denominador 161

×Visor


16

Memórias Memórias são locais de armazenamento de dados. Como a HP possui memória constante (C) os dados são preservados mesmo com a calculadora desligada. A HP 12C possui 30 memórias, assim distribuídas: • 4 memórias da pilha operacional • 1 memória que armazena o último valor do registrador X, depois que o visor já

alterou-se • 5 memórias financeiras • 20 memórias de dados As 5 memórias financeiras estudaremos mais adiante. A memória do último registro de X é obtida pela tecla [ENTER] LSTx é abreviação de Last x (último valor de X) As 20 memórias de dados são numeradas de 0 a 9 e .0 a .9. as memórias de 0 a 4 realizam operações especiais. As de 1 a 6 realizam cálculos estatísticos. As memórias de 7 a 9 e de .0 a .9 servem apenas para guardar dados de cálculos pendentes. Para armazenar dados nestas 20 memórias de dados, usamos a tecla [STO], (STORE = armazenar) seguido do número correspondente. Exemplo: 500 STO 0

10 enter 2 x STO . 5

Para obter um valor armazenado em uma memória usamos a tecla [RCL] (RECALL = recuperar) seguido do número correspondente. Exemplo:

CLx RCL . 5 → 20

RCL 0 → 500 O uso das memórias é importantíssimo nos cálculos pendentes, pois assim não se perde a precisão dos números. ATENÇÃO : Nunca anote valores pendentes no papel !! No exemplo abaixo, reutilizaremos a mesma memória, no caso a memória zero.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

151051 20,11

2535

151051

16=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+


17

5 enter 10 enter 15 ÷ - 1 + STO 0 16 enter RCL 0 ÷ STO 0

5 enter 3 enter 5 ÷ + 2 ÷

RCL 0 X → 11,20

Cálculo com as Memórias As memórias 0, 1, 2, 3 e 4 possibilitam realizar operações aritméticas além de armazenar dados. Para que a calculadora possa distinguir entre uma operação com armazenamento e um simples armazenamento, devemos pressionar um dos sinais de operação após pressionar a tecla STO. Exemplo: queremos somar os valores 10, 7, 15, 12, 2 e 8, armazenando a soma na memória zero. 10 STO 0 7 STO + 0 15 STO + 0 12 STO + 0 2 STO + 0 8 STO + 0 RCL 0 → 54

5 STO - 0 RCL 0 → 49

20 STO 0 RCL 0 → 20

Funções de Limpeza Para limpar os dados da HP, não basta desliga-la e liga-la novamente, pois sua memória é constante.

Clear [SST] [R↓] [x><y] [CLx] [enter]

memória16

2535 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

visor x memória

Resultado da Soma

Subtrai 5 da memória

Substituiu o valor na memória !


18

Limpando o visor CLx Memória X da pilha operacional (visor).

Limpando Memórias Estatísticas e Pilha Operacional Σ Limpa as memórias de 1 a 6 e a pilha.

Limpando Memórias Financeiras FIN Limpa as 5 memórias financeiras.

Limpando Toda a Memória REG Limpa a pilha, as memórias de 0 a 9 e de .0 a .9, e as memórias financeiras.

Limpando a programação PRGM Estando no modo de programação, limpa todas as linhas de programas.

Limpando a tecla [f] ou [g] PREFIX Anula a tecla f ou g digitada erroneamente. Pode-se usar CLx caso não tenha importância perder o conteúdo do visor. Exercícios Procure resolver os exercícios abaixo sem olhar a solução que vem logo em seguida. 1. Calcular: 4+3 x 2 4 Enter 3 enter 2 x ÷ → 10

2. Calcular: 1384

++

4 Enter 8 ÷ 3 enter 1 + ÷ → 3

3. Calcular: 3

1475⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+


19

5 Enter 7 + 4 enter 1 - ÷ 3 yx → 64

4. Calcular: 32

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2 1/x 2 yx 3 yx → 0,02

5. Calcular: 21

53⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3 enter 5 ÷ 2 1/x yx → 0,77

6. Calcular: 3

45

364 −

4 enter 5 yx 6 enter 4 yx - 3 enter 3 yx ÷ → -10,07 7. Calcular: 5 32 32 enter 5 1/x yx → 2

8. Calcular: 30100501 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1 enter 50 enter 100 ÷ + 30 1/x yx → 1,0136

9. Calcular: 360

30100201

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1 enter 20 enter 100 ÷ + 30 1/x yx 360 yx → 8,9161 10. Calcular: ( )4 305,305,2 + 2.05 enter 3.05 + 3 yx 4 1/x yx → 3,39

11. Calcular: 3

36021

30

10

51

21

5211

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

30

10

211 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

360

21

5

3

51

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Memória 0

Memória 1

Memória 2


20

2 1/x 1 + 10 yx 30 1/x yx STO 0 → 1,1447 5 Enter 2 1/x yx 360 1/x yx STO 1 → 1,0022 2 1/x 5 1/x + 3 yx STO 2 → 0,3430 CLx RCL 0 RCL 1 x → 1,1473 RCL 2 ÷ → 3,3448 12. Calcular ln 2

2 g LN → 0,6931 13. Calcular o ln (1+i), sendo i = 2%

2 enter 100 ÷ 1 + g LN → 0,0198 14. Calcular a parte inteira e a parte fracionária do número 7,5957, digitando-se o

número uma única vez.

7.5957 STO 0 g INTG → 7

RCL 0 g FRAC → 0,5957

15. Calcular !4!5

!9×

9 g n! 5 g n! ÷ 4 g n! ÷ → 126,00 2 pilhas Ou 9 g n! 5 g n! 4 g n! x ÷ → 126,00 3 pilhas 16. O Centro Acadêmico arrecada $2.000,00 por mês. Desse valor, 40% é destinado ao

churrasco mensal. Quanto é esse valor?

2000 enter 40 % → 800,00


21

17. Uma pessoa aplicou $5.000,00 em um título de renda fixa, com rendimento de 5%. Qual o valor do rendimento?

5000 enter 5 % → 250,00

18. A tarifa do ônibus era de $0,80. sabendo-se que ela foi aumentada em 10%, qual o

valor atual?

.8 enter 10 % + → 0,88 19. A cotação do dólar ontem era de $1,20. hoje é 0,7% menor. Quanto vale o dólar

hoje?

1.2 enter .7 % - → 1,19 20. Suponha que o condomínio do edifício que você mora subiu de $200 para $250.

Qual a porcentagem de reajuste ocorrida?

200 enter 250 Δ% → 25 21. Quanto por cento desvalorizou o ouro, supondo que a cotação caiu de $12,00 para

$11,00?

12 enter 11 Δ% → -8,33 22. O gasto com alimentação de uma família, que tem uma renda de $2000, é de $500.

Qual o percentual da alimentação no total da receita?

2000 enter 500 %T → 25 23. Em que dia da semana cairá a data de resgate de uma aplicação feita em 2/7/97 por

60 dias?

2.071997 enter 60 g DATE → 31.08.1997 7 → Domingo 24. Quantos dias há entre 1/9/97 e 4/7/97 ?

4.071997 enter 0 g DATE → 25.12.1997 4 → Quinta 25. Que dia da semana será a data 25/12/97 ?

25.121997 enter 0 g DATE → 25.12.1997 4 → Quinta


22

26. Quantos dias você já viveu?

Data de Nascimento enter Data de hoje g ΔDYS → x

10.071997 enter 20.061957 ΔDYS → 14.630 → 14.630 27. Qual a média aritmética das notas dos alunos de um curso X ? Notas: 5,0; 5,5; 7,0;

6,0; 6,5; 9,0; 2,0; 3,5. f Σ 5 Σ+ 5,5 Σ+ 7 Σ+ 6 Σ+ 6,5 Σ+ 9 Σ+ 2 Σ+ 3,5 Σ+ g x → 5,58 28. Sendo a nota de um trabalho 7,0 com peso 2 e a nota de uma prova 5,0 com peso

8, qual a média? f Σ 7 enter 2 Σ+ 5 enter 8 Σ+ g x w → 5,40 29. Uma CIA com 3 filiais, vendeu em um determinado mês $500.000,00 distribuídos

assim: Filial A = $200.000, Filial B = $60.000 e Filial C = $240.000. Qual a participação de cada filial no total das vendas?

500000 enter 200000 %T → 40 →Filial A = 40%

500000 enter 60000 %T → 12 →Filial B = 12%

500000 enter 240000 %T → 48 →Filial C = 48% Total = 100%

Há duas formas mais práticas de fazer o cálculo, com o conceito de pilha operacional ou com memória. 500000 STO 0 200000 %T → 40 RCL 0 60000 %T → 12 RCL 0 240000 %T → 48 500000 enter 200000 %T → 40 x<>y 60000 %T → 12 x<>y 240000 %T → 48

Memória

Pilha Operacional


23

30. Exemplo de saldo médio ponderado: Calcular os juros de um cheque especial devido no final do mês, sendo a taxa de 9% a.m., conforme extrato abaixo:

Data Saldo

Devedor Data Dias

15.07 50,00 15.07 22-15=7 22.07 150,00 22.07 23-22=1 23.07 650,00 23.07 28-23=5 28.07 200,00 28.07 31-28=3 Total 31.07 270,00 31.07 1 17 dias

f Σ 50 enter 7 Σ+ 150 enter 1 Σ+ 650 enter 5 Σ+ 200 enter 3 Σ+

270 enter 1 Σ+ g x w → 271,78

Saldo Médio no Período

271,76 x 0,09 ----- 30 d Juros ---------- 17 d Juros = $13,86


24

Matemática Financeira A matemática financeira visa estudar a evolução do dinheiro através do tempo. Por exemplo, um investimento realizado no presente terá seu valor aumentado no futuro. Inversamente, valores disponíveis no futuro, se avaliados no presente, terão seus valores reduzidos. Portanto, o valor do dinheiro no tempo. Unidade de tempo é o prazo que as operações financeiras podem ser efetuadas. Por exemplo: Mês Comercial = 30 dias Ano Comercial = 360dias Capital é qualquer valor em moeda. Juro é a remuneração atribuída ao capital, ou ainda, aluguel pago pelo uso do dinheiro. Regime de capitalização é o processo de formação dos juros. O regime pode ser simples, composto e misto. Taxa de juros é a relação entre os juros produzidos e o capital aplicado ou empregado, em uma unidade de tempo. Normalmente é representada em porcentagem e indicando a unidade de tempo a que se refere. Exemplo: i = 4,8% am Fator de Juros é uma forma prática de usar a taxa de juros em um cálculo. Fator = (1 + i)

Exemplo: 10% ⇒ 1 + 10010 = 1 + 0,1 = 1,1

10 ENTER 100 ÷ 1 + → 1,10

Taxa de Juros Fator de Juros 10% 1,1 20% 1,2 5% 1,05 2,9% 1,029


25

Outro exemplo: Suponha que na Loja Maluf um produto foi comprado a $5,80 aplicado 70% em cima e obtido o preço de venda de $9,86. Depois de um tempo a administração da loja esqueceu por quanto havia comprado a mercadoria, mas sabia que havia aplicado 70% de margem. Como descobrir o preço de compra?

5,80 x 1,7 = 9,86 → ∴ → 7,186,9 = 5,80

Juros Simples incidem somente sobre o capital inicial. Montante corresponde ao capital inicial, acrescido de juros referentes ao período da operação, aplicação ou empréstimo. Taxas Proporcionais são aplicadas a juros simples. Desconto Bancário é a diferença entre o valor do título e o valor pago no ato. Os títulos que mais sofrem operações de desconto são as duplicatas. Exemplo: Valor da duplicata $ 1.000,00Valor pago pelo Banco $ 900,00Desconto $ 100,00

Juros Compostos, a taxa de juros incide sobre o capital, acrescido de juros acumulados até o período anterior. Taxas Equivalentes são aplicadas a juros compostos. Fluxo de Caixa é um conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) distribuídos ao longo do tempo. “Cash Flow”. O diagrama do fluxo de caixa é a sua representação gráfica, sendo as entradas de dinheiro indicadas por setas para cima e, as saídas por setas para baixo. Exemplos de fluxo de caixa:

0

1 entrada e 1 saída

Entrada

Saída Saída


26

0

0

0

0 Juros Simples ou Capitalização Linear

1 entrada e várias saídas com valores

e tempos iguais

1 entrada e várias saídas com valores diferentes e tempos

iguais

várias entradas e várias saídas com valores e tempos diferentes

1 entrada e várias saídas com valores e tempos diferentes

Taxa Proporcional ( 1 + i.n )

$

t


27

Juros Compostos ou Capitalização Exponencial • quando o prazo do negócio for menor que o prazo da taxa, juros simples é maior • juros compostos é maior, quando o prazo do negócio for maior que o prazo da taxa Exemplo: para operações com taxa mensal, prazos menores que 30 dias é melhor juros simples (para quem recebe), prazo igual a 30 dias juros simples e compostos são iguais. E para prazos maiores que 30 dias é melhor juros compostos. Há ainda o sistema misto que é o efeito conjunto dos juros simples e compostos. Ocorre quando o prazo do negócio for menor que o prazo da taxa. Este caso é onde o juros simples é maior. Porém usa-se uma taxa proporcional ao prazo do negócio e depois aplica-se juros compostos. Exemplo: Tem-se uma taxa de 15%am e se quer a taxa para 12 dias. Dividindo-se 15 por 30 tem-se 0,2%ad (taxa proporcional – juros simples). Daí aplica-se os 0,2% sobre os 12 dias com capitalização composta. Neste caso resulta o maior rendimento possível. Obs: para que esta apostila possa ser usada independentemente da moeda, adotaremos apenas $ Os cálculos com juros simples serão feitos por fórmulas, por serem mais fáceis e rápidas. Já para os cálculos com juros compostos usaremos as funções financeiras da HP 12C. Juros Simples São os juros que incidem somente sobre o capital inicial e são diretamente proporcionais a esse capital e ao tempo em que é aplicado. Capitalização Linear. Alguns exemplos que envolvam juros simples:

Taxa Equivalente

( 1 + i ) n

$

t

FV

PV

1 t


28

• Cheque Especial • Operações de Desconto • Juros de Mora Nas operações financeiras, costuma-se usar o mês comercial de 30 dias e o ano comercial de 360 dias. As fórmulas que usaremos para os cálculos no regime de juros simples são: FV = PV x (1 + i.n)

PV = i.n) (1+

FV

J = PV.i.n J = FV – PV

i = PV.n

J

n = PV.i

J

O cálculo de juros simples é pouco usado e não é prático com as funções da HP. Portanto, é mais fácil e rápido usar fórmulas. Das fórmulas acima citadas, apenas memorize duas:

Exemplos 1. Um capital de $7.000 aplicado por 2 anos a uma taxa de 12%aa, quanto gera de

juros? J = PV.i.n J = 7000 x 0,12 x 2 J = 1.680,00 7000 ENTER 12 ENTER 100 ÷ x 2 x → 1.680,00 2. Uma aplicação de $8.000 por 3 meses, gerou $1.520 de juros. Pergunta-se, qual a

taxa mensal de juros? J = PV.i.n

onde: FV - Valor Futuro ou Montante

PV – Valor Presente ou Capital

i – Taxa de Juros em um período

n – nº de períodos

J – Juros

FV = PV x (1 + i.n) J = PV.i.n

PV = 7000 i = 12% aa n = 2 J = ?

PV = 8000 i = ? n = 3 J = 1520


29

i = PV.n

J

i = 38000

1520×

= 0,0633

i = 6,33% am 1520 ENTER 8000 ENTER 3 x ÷ → 0,0633 100 x → 6,33 3. Quanto tempo é necessário para um capital de $2.000 render $800 à taxa de juros

de 0,2299% ao dia? J = PV.i.n

n = PV.i

J

n =

1002299,02000

800

× = 174 dias

2299 ENTER 100 ÷ 2000 × 1/x 800 × → 174 ou: 800 ENTER 2000 ÷ 2299 ENTER 100 ÷ ÷ → 174 ou: 2000 ENTER 2299 % 800 X < > Y ÷ → 174 ou: 2299 ENTER 100 ÷ 2000 × STO 0 800 ENTER RCL 0 ÷ → 174 4. Qual o capital que deve ser aplicado a uma taxa de 5%am para se obter um

rendimento de $500,00 durante 2 meses?

PV = 2000 i = 0,2299% n = ? J = 800


30

J = PV . i .n

PV = niJ.

PV = 2

1005500

× = 5.000,00

500 ENTER 5 ENTER 100 ÷ 2 × ÷ → 5.000,00 5. Qual o capital que deve ser aplicado a uma taxa de 5%am para se obter um

montante de $8.000,00 durante 2 meses? FV = PV.(1 + i.n)

PV = ).1( ni

FV+

PV = 2

10051

8000

×+= 7.272,73

8000 ENTER 1 ENTER 5 ENTER 100 ÷ 2 × + ÷ → 7.272,73 Taxas Proporcionais No regime de juros simples, duas taxas são proporcionais se aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, gerarem o mesmo montante (FV). • 1 ano = 12 meses = 360 dias • 1 mês = 30 dias = 1/12 ano • 1 bimestre = 2 meses = 1/6 ano • 1 trimestre = 3 meses = 1/4 ano • 1 semestre = 6 meses = 1/2 ano Exemplos: 1. Uma taxa anual de 18%, qual é a sua proporcional ao mês? 18 ENTER G 12 ÷ → 1,5 Portanto, 18%aa é proporcional a 1,5%am. 2. Usando as taxas do exemplo anterior, qual o FV para um capital de $3.000 durante

6 meses? FV = PV.(1 + i.n)

PV = ? i = 5% am n = 2 J = 500

PV = ? i = 5% am n = 2 FV = 8000

PV = 3000 i = 1,5% am n = 6 meses FV = ?


31

FV = 3000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+ 6

1005.11 = 3.270,00

ou:

FV = 3000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+ 5.0

100181 = 3.270,00

3000 ENTER 1 ENTER 1.5 ENTER 100 ÷ 6 × + × → 3.270,00 3. Quais as taxas proporcionais a 30%aa, diária, mensal, semestral e por 185 dias?

diária⇒36030 = 0,0833%ad semestral⇒

230 = 15% as

mensal⇒1230 = 2,5% am 185 dias⇒0,0833 ×185 = 15,42%

30 ENTER 360 ÷ → 0,0833 0,0833 ENTER 185 × → 15,41 Observe que, caso você utilize cálculos pendentes, digitando o valor novamente na calculadora o resultado perde precisão. O resultado correto para 185 dias é 15,42%. O exemplo que estamos resolvendo é fácil cometer este erro, porque você pode ter calculado a taxa ao dia, depois ao mês, ao semestre, e daí calcular para 185 dias, utilizando a taxa diária que já estava calculada. Você deve, caso calcule as taxas na ordem citada acima, preservar a taxa diária em uma memória. Ou ainda, calcule a taxa diária e logo em seguida a taxa para 185 dias. 30 ENTER 360 ÷ → 0,0833 185 × → 15,42 4. Qual a taxa mensal aplicada sobre um título vencido de $5.000, pago com 5 dias de

atraso, sabendo-se que o valor dos juros de mora foi de $50,00? J = PV. i .n

i = nPV

J.

PV = 3000 i = 18% aa n = 0,5 ano FV = ?

PV = 5000 i = ? n = 5 J = 50


32

i = 55000

50×

= 0,002 ⇒0,2% ad

i = 0,2× 30 = 6% am 50 ENTER 5000 ENTER 5 × ÷ → 0,002 30 × → 6,00 5. Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00, à uma taxa de 7%am, durante 5

dias? FV = PV.(1 + i.n)

FV = 50.000⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×+ 5100307

1 = 50.583,33

50000 ENTER 1 ENTER 7 ENTER 30 ÷ 100 ÷ 5 × + × → 50.583,33 Desconto Bancário Desconto Bancário é o juros que o Banco cobra do cliente pela antecipação do capital. Pode ser uma duplicata, promissória, cheque pré-datado, etc. No desconto é aplicado juros simples. Desconto = Valor Título – Valor resgate Desconto = Valor Título – ni×× onde: i : taxa (desconto) n: prazo (até) vencimento Exemplos: 1. Qual o valor do desconto de uma duplicata de $750 descontada 45 dias antes do

vencimento, à taxa de desconto de 5% am? Desconto = Valor Título ni××

PV = 50000 i = 7% am n = 5 dias J = ?

n

Desconto

Valor de resgate


33

Desconto = 45100305

750 ×× = 56,25

750 ENTER 5 ENTER 30 ÷ 100 ÷ 45 × × → 56,25 2. Uma Empresa descontou um cheque pré-datado de $200, 28 dias antes de seu

vencimento, recebendo um valor de $190. Qual a taxa mensal da operação?

Desconto = Valor Título – Valor resgate i = 28200

10×

= 0,0018 ⇒×100 ad%1786,0⇒

Desconto = 200 – 190 = 10,00 i = 0,1786×30 = 5,36%am Desconto = Valor Título ni××

i = noValorTítul

Desconto×

200 ENTER 190 - 200 ÷ 28 ÷ → 0,0018 3. Um título foi descontado à taxa de 3,516%am. Sabendo-se que o valor do título era

de $800, e o desconto de %60, qual o prazo da antecipação? Desconto = Valor Título ni××

n = ioValorTítul

Desconto×

=

10030516,3

800

60

×

= 64 dias

60 ENTER 800 ENTER 3,516 ENTER 30 ÷ 100 ÷ × ÷ → 64 4. Uma empresa precisa de $12.000,00 hoje. O Banco Rico S.A. cobra uma taxa de

4,7% am, e o vencimento deve ser para 14 dias. Qual o valor do título que ela precisa?

Desconto = Valor Título – Valor resgate Valor Título – 12000 = Valor Título×0,0219 Desconto = Valor Título – 12000 0,0219. Valor Título - Valor Título = -12000

Passe a taxa de mês para dia dividindo-a por 30


34

Desconto = Valor Título ni×× -0,9781. Valor Título = -12000→ (x-1)

Valor Título – 12000 = Valor Título ni×× Valor Título = 10,269.129781,0

12000=

Valor Título – 12000 = Valor Título 1410030

7,4

××

4.7 ENTER 30 ÷ 100 ÷ 14 × → 0,0219 1 - → -0,9781 CHS 1/x 12000 × → 12.269,10 ou: 12000 X < > Y ÷ → 12.269,10 Até o momento, os cálculos foram feitos para apenas um título ou vários títulos com o mesmo prazo. Caso, tenhamos um borderô com diversas duplicatas de valores e prazos diferentes, precisamos trabalhar com média ponderada. 5. Qual o valor de desconto de um borderô com 5 duplicatas abaixo relacionadas,

sabendo-se que a taxa do Banco Rico S.A. é de 3,7% am?

Duplicatas Valor Prazo 1 500,00 28 d 2 700,00 21 d 3 200,00 60 d 4 300,00 30 d 5 300,00 10 d

n = ∑

∑ ×

valoresvaloresprazo

n = dias35,26300300200700500

)30010()30030()20060()70021()50028(=

++++×+×+×+×+×

Desconto = Valor Título ni××

Desconto = 00,6535,2610030

7,3

2000 =××

Sempre mantenha os cálculos pendentes na

calculadora!

n: prazo médio

ponderado


35

f ∑ 28 ENTER 500 ∑+ 21 ENTER 700 ∑+ 60 ENTER 200 ∑+ 30 ENTER 300 ∑+ 10 ENTER 300 ∑+

RCL → 2.000,00 3,7 ENTER 30 ÷ 100 ÷ × G wx → 26,35 × → 65,00 Juros Compostos Juros Compostos são os juros que incidem sobre o capital, acrescidos dos juros acumulados do período anterior. Capitalização exponencial. Alguns exemplos que envolvem juros compostos: • Leasing • CDB • FINAME • Poupança • Crédito Imobiliário e Rural As fórmulas que usaremos para os cálculos no regime de juros compostos são:

niPVFV )1( +×=

niFVPV

)1( +=

1−= nPVFVi

)1ln(

ln

iPVFV

n+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Estas fórmulas só serão usadas, caso você esteja com uma calculadora financeira. Por exemplo, uma calculadora científica. Uma calculadora de 4 operações já não é possível, pois precisamos de função exponencial, radiciação e logaritmos. Como o curso é voltado para HP 12C só calcularemos 2 exemplos por fórmulas para efeito de visualização das fórmulas. Juros compostos não são como juros simples que é mais fácil calcular por fórmulas. Nos juros compostos usaremos as 5 funções financeiras da HP.

AMORT INT NPV RND IRR [n] [i] [PV] [PMT] [FV] 12x 12+ CFo CFj Nj

onde: n: nº de períodos

A memória 2 armazena a soma dos valores

onde: FV – Valor Futuro ou Montante

PV – Valor Presente ou Capital

i – Taxa de juros em um período

n – nº de períodos

ln – Logaritmo Natural


36

i: taxa de juros em % PV: Valor Presente (Capital) PMT: séries de pagamentos ou prestações (esta tecla veremos seu uso mais adiante) FV: Valor Futuro (Montante) Exemplos 1. Uma pessoa aplica em uma poupança $2.000 por 3 meses. Sabendo-se que a taxa

de remuneração é de 1,4%am, qual o valor do resgate? O fluxo de caixa fica:

niPVFV )1( +×=

18,085.2100

4,112003

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×=FV

2000 ENTER 1 ENTER 1.4 ENTER 100 ÷ + 3 xy x → 2.085,18 ou: 1.4 ENTER 100 ÷ 1 + 3 xy 2000 x → 2.085,18 Agora veremos a resolução pelas funções financeiras da HP. Com exceção da tecla PMT as outras 4 teclas serão usadas. As teclas da calculadora trabalham com fluxos de caixa, ou seja, com entradas e saídas de dinheiro. Portanto, quando PV é positivo, FV é negativo e, vice-versa. Lembre-se que , um dos valores PV ou FV tem que ser negativo. O valor de i na fórmula é em decimal, ou seja, i/100. Nas funções financeiras entra-se com o valor em %. f FIN 3 n 1.4 i 2000 PV FV → -2.085,18 ou: f FIN 3 n 1.4 i 2000 CHS PV FV → 2.085,18

Após limpar as memórias financeiras, o armazenamento dos dados pode ser em qualquer ordem

Após a tecla FV, no exemplo, a palavra “running” aparece no visor → significa que está processando os cálculos

Muda o sinal

FV = ? 0 1 2 3

1=1,4% am n = 3 meses

2.000 (PV) 1 entrada e 1

saída

PV = 2000

i = 1,4%am

n = 3

FV =?


37

2. Quanto tempo uma aplicação de $1.500,00 à uma taxa de 2% am, precisa ficar aplicada para gerar um montante de $1.656,12?

O fluxo de caixa fica:

)1ln(

ln

iPVFV

n+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= meses5

10021ln

150012,1656ln

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

1656,12 ENTER 1500 ÷ g LN 2 ENTER 100 ÷ 1 + g LN ÷ → 5,0 Agora veremos a resolução pelas funções financeiras da HP. f FIN 1650 FV 1500 CHS PV 2 i n → 5,0 De agora em diante só resolveremos os exemplos, usando as funções financeiras. Portanto, não usaremos mais fórmulas. Sabendo o conteúdo das memórias financeiras Para sabermos o conteúdo das memórias financeiras, use a tecla RCL e a tecla financeira desejada. RCL n RCL i RCL PV RCL PMT RCL PV Para o exemplo anterior, tem-se: RCL n → 5 RCL i → 2 RCL PV → 1500 RCL PMT → 0 RCL FV → 1656,12

Após limpar as memórias financeiras, o

armazenamento dos dados pode ser em

qualquer ordem

Obs.: caso você tecle a tecla financeira sem a tecla RCL, a HP tenta calcular e não mostrar o conteúdo

PV = 1500

i = 2% am

n = ?

FV = 1656,12

Fv = 1656,12

I = 2% am N = ?

1.500 = PV 1 entrada e 1 saída


38

Fator de Juros A taxa de juros pode ser percentual ou unitária. Adicionando-se o número 1 à taxa de juros unitária encontra-se um FATOR, que é representado por (1+i), sendo i na forma unitária.

Exemplos: 1. 8,5% de $1.000,00

total

principal

iação

→=×

→=×

→=×

00,1085085,11000

00,100011000

var00,85085,01000

2. 20% de $5.000,00 ( )

00,100020,15000

20,1100201

1

=×

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ i

3. Transformar as taxas em fatores: • 7% am • 20% aa • 127% aa • 0,2% ad a) b) c) d)

07,1100

71 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 20,1

100201 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 27,2

1001271 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 002,1

1002,01 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4. Transformar os fatores em taxas percentuais: • 1,0068 am • 1,27 aa • 2,12 aa • 1,097 am

O valor de 1,085 é o fator de juros, que multiplicado pelo principal gera o

( )

085,1100

5,81

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ i

Esse número 1 representa a base de cálculo, ou seja, qualquer valor, pois qualquer valor multiplicado por 1 é ele mesmo.

Observe que, para transformar fator em % é

o processo inverso.


39

• am%68,010010068,1 =×− • aa%27100127,1 =×− • aa%112100112,2 =×− • am%7,91001097,1 =×− Taxas Equivalentes No regime de juros compostos, duas taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, gerarem o mesmo montante composto ou valor futuro. • 1 ano = 12 meses = 360 dias • 1 mês = 30 dias = 1/12 ano • 1 bimestre = 2 meses = 1/6 ano • 1 trimestre = 3 meses = ¼ ano • 1 semestre = 6 meses = ½ ano Existem fórmulas para essas equivalências. Porém, considero mais fácil usar potenciação, radiciação e fator de juros. Exemplos: 1. Qual a taxa anual equivalente a 0,2% ad? ( )[ ]

aa

i

%30,1051001100

2,01

10011

360

360

=×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×−+

Não é simplesmente fazer 0,2× 360 porque no regime de juros compostos tem-se uma equivalência exponencial, enquanto em juros simples tem-se uma proporção linear.


40

1 ENTER 2 ENTER 100 ÷ + 360 xy 1 - 100 × → 105,30

Ou: 2 ENTER 100 ÷ 1 + 360 xy 1 - 100 × → 105,30 O cálculo nada mais é que: • Transformar a taxa em fator • Eleva-se a 360 o fator (dia para ano) • Transforma-se o fator elevado, à taxa percentual, multiplicado por 100 2. Qual a taxa mensal equivalente a 120% aa?

( )( ) 1001130

360 ×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ i

am%79,610011001201

30

360 =×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

120 ENTER 100 ÷ 1 + 360 x1 xy 30 xy 1 - 100 × → 6,79 3. Qual a taxa diária equivalente a 8 % am?

( )( )

ad

i

%2569,01001100

81

10011

30

30

=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×−+

8 ENTER 100 ÷ 1 + 30 x1 xy 1 - 100 × → 0,2569

Usando Fórmula Caso você prefira o uso de fórmula, tem-se:

( ) 10011 ×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= t

q

tq ii

sendo: qi - taxa que queremos

ti - taxa que temos q - prazo que queremos t - prazo que temos

Em juros simples tem-se uma proporção linear.

am%1012120

=

q - queremos

t - temos

Memorização: o que queremos geralmente está acima do que temos.


41

Vamos resolver os 3 exemplos anteriores novamente pela fórmula:

0,2% ad → anual ( ) 10011 ×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= t

q

tq ii

aaiq %30,1051001100

2,01

1360

=×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

120% aa→ mensal ( ) 10011 ×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= t

q

tq ii

amiq %79,610011001201

36030

=×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

8% am → diária ( ) 10011 ×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= t

q

tq ii

adiq %2569,01001100

81301

=×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Usando as Funções Financeiras Vamos resolver os 3 exemplos anteriores novamente pelas funções financeiras: 1. f FIN 1 CHS PV 1.002 FV 360 x1 n i → 105,30 2. f FIN 1 CHS PV 2.2 FV 12 n i → 6,79 f FIN 1 CHS PV 1.08 FV 30 n i → 0,2569 Exercícios Procure resolvê-los sem olhar a solução que está logo em seguida de cada exercício. 1. Tendo-se um capital de $18.000, aplicado à 80% aa, durante 45 dias, qual o

montante? O fluxo de caixa fica:

ad →

ma →

(1/x) do menor para o maior Fator

Fator

Fator

ma →

PV = 18000

i = 80% aa

n = 45 di’as

FV = ?

I=80%aa1800=PV

FV=?N=45 dias


42

adidias %23,01001100

7130 =×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

adidias %16,01001100801360 =×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Calculando-se a taxa equivalente anual para dia, já se pode entrar com os dados nas memórias financeiras: 80 ENTER 100 ÷ 1 + 360 1/x xy 1 - 100 × → 0,16 f FIN i 45 n 18000 CHS PV FV → 19.372,32 2. Uma pessoa obtém um empréstimo de $2.000 à taxa de 7% am, para saldá-lo em

70 dias. Qual será o valor a pagar? O fluxo de caixa fica:

Calculando-se a taxa equivalente anual para dia, já se pode entrar com os dados nas memórias financeiras: 7 ENTER 100 ÷ 1 + 30 1/x xy 1 - 100 × f FIN i 70 n 2000 CHS PV FV → 2.342,03 3. Qual a taxa mensal de juros que remunera um capital de $3.500,00, sendo que

após 3 meses, obteve-se um montante de $4.200,00? f FIN i 3500 CHS PV 4200 FV 3 n i → 6,27

PV = 3500 i = ? % am n = 3 FV = 4200

O número que está no visor é o valor de i , que acabou de ser calculado.

PV = 2000 i = 7% am n = 70 dias FV = ?

I=7%am N=70dias 2.000=PV

FV=?0


43

6,27% am

4. Qual o tempo necessário para um investimento de $20.000 à taxa de 120% aa, obter no final $24.897?

adidias %22,010011001201360 =×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Calculando-se a taxa equivalente anual para dia, já se pode entrar com os dados nas memórias financeiras e obter o resultado do tempo em dias: 120 ENTER 100 ÷ 1 + 360 1/x xy 1 - 100 × f FIN i 20000 CHS PV 24897 FV n → 100 5. Qual a taxa anual de juros para um capital de $8.000 que gerou um montante de

$9.500 após 35 dias? Calcula-se a taxa em dias e depois a transforma em anual. f FIN 8000 CHS PV 9500 FV 35 n i → 0,49

aaidias %68,4851001100

49,01360

=×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100 ÷ 1 + 360 xy 1 - 100 × → 485,68 6. Para uma aplicação de $1.500,00 que gerou $1.800,00 após 40 dias, qual a taxa de

rentabilidade efetiva (ou taxa no período)? Calcula-se a taxa em dias e depois a transforma em 40 dias. f FIN 1500 CHS PV 1800 FV 40 n i → 0,46 100 ÷ 1 + 40 xy 1 - 100 × → 20,00 Outra forma de fazer já que temos PV e FV, é usar a tecla %Δ : 1500 ENTER 1800 %Δ → 20,00

PV = 20000 i = 120 % aa n = ? FV = 24897

100 dias

PV = 8000 i = ? % aa n = 35 dias FV = 9500

O valor de i está no visor

PV = 1500 i = ? % (40 dias) n = 40 dias FV = 1800

O valor de i está no visor


44

PROGRAMA PARA CÁLCULO DE TAXA EQUIVALENTE Entrada das funções Visor f P/R 00 - f PRGM 00 - RCL n 01 - 45 11 : (divisão) 02 - 10 RCL i 03 - 45 12 EEX 04 - 26 2 05 - 2 : (divisão) 06 - 10 1 07 - 1 + 08 - 40 X Y 09 - 34 YX 10 - 21 1 11 - 1 - (subtração) 12 - 30 EEX 13 - 26 2 14 - 2 x (multiplicação) 15 - 20 R/S 16 - 31 G GTO 01 17 - 43,33 01 f P/R 0,00 (volta ao modo operação)

OPERAÇÃO: Taxa [i] Período correspondente a taxa informada, em dias [n] Período que nos interessa em dias [R/S] Vamos resolver o quadro abaixo utilizando o programa da HP 12C

Ano Semestre Trimestre Bimestre Mês 43%

26% 14% 8% 1,25%


45

Períodos Quebrados A remuneração de juros compostos por períodos quebrados é realizada de forma diferente nos EUA e no Brasil. Nos EUA, usa-se a convenção linear: • Juros compostos para a parte inteira do período • Juros simples para a parte fracionária do período Por exemplo, para 35 dias, tem-se:

1 mês (30 dias) a juros compostos

35÷ 30 = 1,17 0,17 de mês (5 dias) a juros simples

No Brasil usa-se a convenção exponencial, remunerando-se o capital com juros compostos para o período inteiro. A HP 12C na sua forma padrão, ou seja, como saiu de fábrica, está no padrão americano. Para que a calculadora fique no nosso padrão é necessário mudá-la de tal forma que apareça a letra C (próximo do D.MY) no visor. Esta letra C é de composto. Para tal tecle: [STO] [EEX] Os cálculos que fizemos até o momento, só trabalhamos com períodos inteiros. Obs: sempre deixe a letra C e D.MY no visor, ficando assim a HP em nossos padrões. Exemplo

anon 0556,036020

==

Sem o C no visor: 20 ENTER 360 ÷ → 0,0556 f FIN n 40 i 10000 FV PV → -9.782,61 Com o C no visor: STO EEX 20 ENTER 360 ÷ → 0,0556 f FIN n 40 i 10000 FV PV → -9.814,81

PV = ? i = 40% aa n = 20 dias FV = 10.000,00

n não inteiro

n não inteiro


46

Caso você transforme 40%aa em taxa equivalente ao dia, tanto faz o visor estar com ou sem C. Isto porque o valor de n, neste caso, será inteiro. 40% aa → 0,0935% ad 40 ENTER 100 ÷ 1 + 360 1/x xy 1 - 100 × → 0,0935 f FIN i 20 n 10000 FV PV → -9.814,81 Experimente fazer o cálculo acima sem o C e com o C no visor. Os resultados serão iguais. O cálculo é feito todo no regime de capitalização composta quando n é inteiro. Só faz diferença o C no visor – caso n não seja inteiro! Caso você faça os cálculos e se esqueça do C no visor, não há necessidade de inserir novamente os dados. Sejam os dados a, b, e c, tem-se: f FIN a CHS PV b i c n FV → X Precisamos limpar a memória FV, armazenando zero e, colocar C no visor. 0 FV STO EEX Aproveitando os dados nas outras memórias PV, i e n, tecle novamente FV. O resultado será mostrado corretamente. 0 FV STO EEX FV → X Esse é um recurso que pode ser usado para re-cálculo, em qualquer ocasião. Juros Misto O cruzamento entre juros simples e compostos é chamado de regime MISTO. Exemplo:

ad%80,03024

=

%80,111001100

80,0114

=×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n inteiro

Taxa = 24% am Prazo = 14 dias Simples

Divide-se por 30 – juros simples – taxa proporcional

Juros compostos – taxa equivalente


47

10,56% - juros compostos 11,20% - juros simples 11,80% - juros misto Comparando Juros Simples e Composto

f FIN 1000 CHS PV 10 i 0,5 n FV → 1.048,81 1 n 0 FV FV → 1.100,00 2 n 0 FV FV → 1.210,00 6 n 0 FV FV → 1.771,56

Prazo Montante Simples ($)

Montante Composto ($)

0 1.000,00 1.000,000,5 (15 dias) 1.050,00 1.048,81

1 1.100,00 1.100,002 1.200,00 1.210,003 1.300,00 1.331,004 1.400,00 1.464,105 1.500,00 1.610,516

Capital $1000,00

i = 10% am

1.600,00 1.771,56

Juros misto é o maior – SEMPRE!!! Juros simples foi maior que juros composto, porque a taxa é mensal e o prazo é de 14 dias.

Para calcular juros simples use a fórmula FV=PV(1 + in) e para composto use as funções financeiras.

ad%80,03024

= Simples

0,80x14= 11,20%

Compostoad%7196,01001

100241 =×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

%56,1010011007196,01

14

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + x

Atenção!


48

Anuidades Anuidades são todas as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados. As anuidades podem ser classificadas como: Das 5 funções financeiras da HP, uma ainda nós não usamos. Trata-se da tecla PMT (Payment). Esta tecla é parcela ou prestação, indicando um valor a ser pago ou recebido em determinados momentos, definindo uma série.

Quanto ao Período

Não Periódicas

Periódicas

Quanto ao Valor Constantes

Variáveis

Quanto à 1ª Parcela

Com Carência

Imediatas

Antecipadas

Postecipadas

Especiais Prestação Balão

Período Singular

Prestações iguais Postecipadas, ou seja,

Sem entrada

PV

PMT 0

PMT PMT PMT PMT

Prestações iguais Antecipadas, ou seja,

Com entrada

PV

PMT

0

PMT PMT PMT PMT


49

Sistema Price Ao se comprar bens e serviços, pode-se pagar à vista ou em prestações. Para pagarem prestações, utilizamos planos de financiamento ou sistema de amortização.Os planos mais usados são o Price e o SAC. O sistema Price é um sistema também conhecido como sistema Francês, ou ainda,Tabela Price. Price foi um inglês que desenvolveu o sistema na França.O sistema SAC, ou Sistema de Amortização Constante. O Price é mais usado no mercado consistindo em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas. O valor de cada prestação é composto por uma parte de juros e outra de capital (amortização). As prestações quando pagas no início de cada período são chamadas de antecipadas. E quando no final de cada período, são chamadas de postecipadas ou vencidas.

Todos os exemplos acima podem ser para recebimentos também!!

Prestações iguais com Carência

PMT PMT PMT 0

PV

Prestações com Valores diferentes Com Períodos

Iguais PMT PMT

PMT

PMT

PMT PMT

PV

Prestações com Valores diferentes Com Períodos

Diferentes

PMT PMT

PMT PMT PMT

PV

Prestações e recebimentos Fluxo de

Caixa

0


50

A calculadora HP 12 C usa a palavra BEGIN no visor para identificar se as prestações são antecipadas. Caso as prestações sejam postecipadas, nenhuma palavra aparece no visor. Para alternar entre as duas situações use as teclas: [g] [7] ___Antecipadas BEG [g] [8]___Postecipadas END Exemplos 1. Uma calculadora está sendo vendida em 4 prestações mensais iguais de $40,00. A

primeira prestação será paga 30 dias após a compra. A taxa de juros cobrada pela Loja é de 4% ao mês. O valor à vista é de $136,00. Qual opção é a melhor das duas?

f FIN 40 PMT 4 n 4 i PV → -145,20 Portanto, comprar à vista é melhor, pois $136,00 é menor que $145,20. Caso a 1ª fosse no ato, o valor seria de $151,00. O que seria pior ainda. Para obter esse valor ponha o BEGIN no visor, ponha zero na tecla PV e calcule novamente PV. g BEG 0 PV PV → -151,00 Não há necessidade de entrar novamente com os valores de PMT, n e i. 2. Uma mesa está sendo vendida em 6 prestações mensais iguais de $35,00. A

primeira prestação será paga no ato da compra. A taxa de juros cobrada é de 4% ao mês. O valor à vista é de $200,00. Qual opção é a melhor?

f FIN 35 PMT 6 n 4 i PV → -190,81 Portanto, comprar a prazo é melhor pois $190,81 é menor que $200,00. 3. Lojas ABC tem uma promoção de uma TV em 24 prestações de $30,00, sendo que

o 1º pagamento ocorrerá após 120 dias da data da compra. A taxa de juros de mercado é de 2,5%am. Por quanto está saindo o preço à vista da TV?

BEG → BEGIN → Início

END → Fim

Visor sem o BEGIN PV = ? i = 4% am n = 4 PMT = 40 FV = ____

Visor com o BEGIN PV = ? i = 4% am n = 6 PMT = 35 FV = ____


51

0 1 2 3 4 5 6 7 ... 27 0 0 0 0 30 30 30 30 ... 30 f FIN 30 PMT 24 n 2.5 i PV → -549,96 f FIN FV 4 n 2.5 i PV → 498,24 4. Uma pessoa vai aplicar $100,00 todo mês durante 10 meses. A taxa será de 2%

am. Qual o montante a ser resgatado? 0 1 2 ... 9 10 100 100 100 ... 100 FV f FIN 10 n 2 i 100 CHS PMT FV → 1.116,87 5. Um empréstimo de 420.000,00 deve ser amortizado com 12 prestações mensais

iguais. O juros é de 4% am. Qual o valor das prestações, sendo a 1º no ato? f FIN 20000 CHS PV 4 i 12 n PMT → -2.049,08 6. A que taxa deve-se depositar $100 no início de cada mês, para possuir $1.500 em 1

ano? f FIN 1500 FV 100 CHS PMT 12 n i → 3,39

Depois descapitaliza o PV até o momento

zero Calcula-se o valor atual

(PV) no 4º mês

Visor com o BEGIN

PV = ? i = 2,5% am n = 4 PMT = ___ FV = 549,96

Visor com o BEGINPV = 20000 i = 4% am n = 12 PMT = ? FV = ___

Visor com o BEGIN PV = ___ i = ?% am n = 12 PMT = 100 FV = 1500

3,39% am

Os valores FV e PMT têm que necessariamente estarem com os valores trocados quanto ao sinal. Caso contrário ocorrerá erro: ERROR 5

Sempre que o cálculo tiver PV FV ou PV PMT ou FV PMT terão que ser de sinais trocados

PV = ? i = 2,5% am n = 24 PMT = 30 FV = ____

PV está no visor e passa a ser FV

PV = ___ i = 2% am n = 10 PMT = 100 FV = ?

Visor com o BEGIN


52

7. Uma pessoa depositou em uma poupança, no início de cada mês, a importância de $300,00, durante 4 anos. No final deste tempo resgatou $20.000,00. Qual foi a taxa média mensal de juros?

f FIN 20000 FV 300 CHS PMT 48 n i → 1,29 8. Calcular o valor da prestação de um empréstimo de $2.500,00 à taxa de 5% am em

10 prestações mensais, iguais e consecutivas? f FIN 2500 PV 5 i 10 n PMT → -323,76 Portanto, tem-se 10 prestações de $323,76,30 dias, 60, 90 e assim por diante até a 10ª prestação. 9. Uma empresa financiou um equipamento industrial no valor de $120.000,00 com

uma carência de 6 meses. Depois deste período o valor será pago em 12 parcelas iguais, mensais e consecutivas. A taxa de juros é de 2,8% am. Qual o valor da prestação mensal?

0 1 2 3 4 5 6 7 ... 18 0 0 0 0 0 0 PMT PMT ... PMT f FIN 120000 PV 6 n 2,8 i FV → -141.625,00 f FIN PV 12 n 2,8 i PMT → 13.675,69

Visor com o BEGIN

PV = ___ i = ?% am n = 4x12= 48 mesesPMT = 1300 FV = 20000

1,29% am

Visor sem o BEGIN PV = 2500 i = 5% am n = 10 PMT = ? FV = ___

Não falou que a 1ª é no ato

Capitaliza o PV até o 6º mês Calcula-se o valor da Prestação

Visor com o BEGIN Este FV passa a ser o PV do próximo cálculo.

PV=120000→ (6 meses) i = 2,8% am n = 12 PMT = ? FV = ____


53

10. Uma Construtora cobra uma entrada de $5.000 e 36 parcelas iguais, mensais e consecutivas por um flat. As parcelas são de $600. A taxa de juros cobrada é de 2,3% am. Por quanto sairá este flat?

0 1 2 3 4 5 6 ... 36 5000 600 600 600 600 600 600 ... 600 11. Calcular o valor da prestação, sendo a 1ª com uma prazo de 10 dias e as 2 demais

de 30 em 30 dias. O valor do bem é de $500. A taxa de juros é de 5% am? 0 1 2 3 10dias 30dias 30 dias Agora vamos resolver usando período fracionário, direto pelas funções financeiras. Em primeiro lugar observe se o C está no visor. Caso não esteja use as teclas STO e EEX.

3333,03010sin_ ==gularperíodo

3333,333333,0 =+=n

10 ENTER 30 ÷ 3 + f FIN n 5 i 500 CHS PV PMT → 177,73 12. Uma mercadoria é vendida à vista por $800, mas pode ser adquirida em prestações

mensais de $128,83, sem entrada, e com juros de 6%am. Quantas prestações serão pagas?

f FIN 800 CHS PV 128,83 PMT 6 i n → 8

PV = 500 i = 5% am n = 1+2 PMT = ? FV = ___

1ª PMT PMT

Capitaliza $500 por 10 dias

Visor sem o BEGIN PV = 800 i = 6% am n = ? PMT = 128,83 FV = ___

PV = 5000 i = 2,3% am n = 36 PMT = 600 FV = ?

PMT Visor sem o BEGINPV


54

13. Uma mercadoria é vendida em 5 prestações mensais iguais de $50, sendo a 1ª no ato. A taxa de juros é de 5% am. Qual é o valor da mercadoria à vista?

f FIN 5 i 5 n 50 PMT PV → -227,30 14. Um equipamento à vista vale $7.000 e será vendido por 10 prestações mensais de

$1.314,14 com uma carência. A taxa é de 8% am. Calcular o tempo de carência. Em primeiro lugar devemos calcular o valor atual das prestações, não levando em conta o valor à vista fornecido.

f Fin 8 i 10 N 1314,14 PMT PV -8817,99 Agora calculamos a carência. O PV calculado passa a ser o FV, e o PV é o valor à vista fornecido. 0 1 2 3 … 10 7000 1314 1314 1314 … 1314 f Fin FV 8 i 7000 PV n 3

Visor com o BEGIN PV = ? i = 5% am n = 5 PMT = 50 FV = ___

PV = 7000 i = 8% am n = 10 PMT = 1314,14 Carência = ?

PV = ? I= 8% am N = 10 PMT = 1314

PV

FV

Carência PV = 7000 I= 8% am n = ? PMT = ----- FV = 8817,99

Visor sem o BEGIN

3 meses de carência

Visor sem o BEGIN


55

15. Uma Empresa fez um leasing pára 12 meses, sem entrada, pagando mensalmente $1300 e mais uma parcela complementar de $800, junto coma 12ª prestações. A taxa foi de 3% am. Calcular o valor atual do contrato.

0 1 2 3 ... 12 PV=? 1300 1300 1300 ... 1300 800 Primeiro determina-se o valor atual do resíduo

f FIN 3 i 12 n 800 FV PV - 561,10 Depois, determina-se o Valor atual das prestações

f FIN 3 i 12 n 1300 PMT PV - 12940,21 Logo o valor do contrato é a soma dos dois valores Ou ainda: f FIN 3 i 12 n 1300 PMV 800 FV PV - 13501,31

Obs: neste caso os valores de PMT e PV estão com o mesmo sinal , pois os dois significam duas saídas; portanto, aqui atualizamos nosso conceito. FV e PMT SEMPRE com sinais trocados PV e PMT DEPENDE da situação FV e PMT DEPENDE da situação 16. Um equipamento industrial no valor de $50.000,00 está sendo distribuído por

Leasing à taxa de 4% am, em 12 prestações mensais, sendo a 1ª paga 30 dias após o contrato. Com a última, será pago com resíduo de 1% sobre o preço do equipamento. Quanto será a prestação mensal?

f FIN 50000 CHS PV CHS 1 % FV 4 i 12 n PMT 5294,33

PV = ? i = 3% am n = 12 PMT = 1300 FV = 800 (resíduo)

Visor sem o BEGIN

561,10 + 12940,21 = 13501,31

PV = 50000 i=4%am n=12 PMT=? FV=1% de 50000=500

Visor sem o BEGIN


56

17. Uma pessoa financiou um automóvel no valor de $20.000 para pagar em prestações

mensais de 1590, sendo que a 1ª será pago um mês após o financiamento. A taxa é de 7% am. Quantas prestações serão pagas?

f FIN 20000 CHS PV 7 i 1590 PMT n 32

A HP não apresenta n fracionário. Por este motivo, se o valor de n é inteiro, pressione a tecla FV. Se o resultado não for zero, significa que temos uma parcela complementar com valor diferentes das demais. FV - 941,45

Caso efetuarmos 32 pagamentos, estamos pagando $941,45 a mais. Para resolver o problema, façamos o calculo novamente com o valor de n = 31. Assim , teremos a complementar que é o FV juntamente com a última prestação (31ª). 31 n FV 606,12

0 1 2 3 ... 31

1590 1590 1590 ... 1590

606,12 (complementar ou resíduo) Prova dos 9: f FIN 20000 CHS PV 7 i 31 n 606,12 FV PMT 1590

PV = 20000 i = 7 % am n = ? PMT = 1590 FV = -----

Visor sem o BEGIN

Com C no visor


57

Ou ainda, podemos calcular um novo valor para as prestações sem o valor residual. Para sabermos o valor exato de n , usaremos a fórmula seguinte:

( ) 4,310677,01245,2

10071ln

1590100

7200001ln

1ln

1=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−

−=i

PMTiPV

n

f FIN 20000 CHS PV 7 i 31,4 n PMT 1639,72

f -0,00003

18. Seja um leasing de 6 meses, com uma parcela de $1500, sendo a 1ª no ato. No final

das parcelas, 30 dias após, paga-se um resíduo de $900. a taxa de juros é de 7% am. Calcular o valor do contrato.

0 1 2 3 4 5

1500 1500 1500 1500 1500 1500 PV=? 900 f FIN 7 i 6 n 1500 PMT 900 FV PV - 8250

19. uma pessoa depositou $1000 e, a partir do mês seguinte fez 5 depósitos mensais

de $1500. a taxa de juros pago é de 1,5% am. Qual será o saldo no ato do 5º depósito?

0 1 2 3 4 5 1000 1500 1500 1500 1500 1500FV = ? F FIN 1000 CHS PMT PMT 1,5 i 5 n FV - 8805,68

Aprox. zero, ou seja, não há resíduo

PV = ? i = 7% am n = 6 PMT = 1500 FV = 900 (resíduo)

Visor com o BEGIN

PV=1000 i=1,5% am n=5 PMT=1500 FV=?

Visor sem o BEGIN


58

20. Calcule o saldo um mês após o último depósito para o exemplo anterior. 0 1 2 3 4 5 6 1000 1500 1500 1500 1500 1500 1500 FV = ? f FIN CHS PV 1,5 i 1 n FV - 8937,77

Ou ainda, calcula-se para 6 depósitos e depois tira-se o valor de um depósito (o do 6º mês). f FIN 1000 CHS PV 1500 CHS PMT 1,5 i 6 n FV 10437,77

1500 - 8937,77

21. Um anúncio de TV nos mostra que uma agência de automóveis fará uma promoção

no próximo final de semana. Um carro A 1.0 estará por 48 prestações mensais iguais de $399 sem entrada. O valor à vista do carro é $11500. Por quanto está saindo a taxa de juros?

0 1 2 3 ... 48 11550 399 399 399 ... 399

22. Para o exemplo anterior, se colocarmos $399 em uma poupança com uma taxa

média de 1,2% am por 48 meses, quanto teremos no final? 0 1 2 3 ... 48

399 399 399 399 399 f FIN 399 CHS PMT 48 n 1,2 i FV 25696,26

f FIN 11500 CHS PV 399 PMT 48 n i 2,31

Aproveita-se o valor 8805,68 do visor

Visor sem o BEGIN

Visor sem o BEGIN

PV = ----- i = 12 % am n = 48 PMT = 399 FV = ____?

2,31% am

PV = 11500 i = ? % am n = 48 PMT = 399 FV = ____?


59

23. Tendo-se um capital de $2000 aplicado durante 60 dias, sendo que no 1º mês a taxa foi de 1,2% am e no 2º mês 1,4% am, calcular o montante composto a ser resgatado.

0 1 2% 1 1 4% 2

2000 FV f FIN 2000 CHS PV 1 n 1,2 i FV 2024 CHS PV 1,4 i FV 2052,34 Amortização

Exemplos 1.Um empréstimo de $50000 deve ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo a 1ª após 30 dias. A taxa é de 5% am. Calcular: • valor das prestações • valor das parcelas de amortização • valor das parcelas de juros • saldo devedor após cada pagamento f FIN 50000 CHS PV 4 n 5 i PMT 14100,59

1 f AMORT 2500

x<>y 11600,59

RCL PV 38399,41

Este exemplo, é só para verificar se a mente não está bitolada no assunto que estamos vendo no momento!

[f] AMORT [n] Juros [x<>y] Amortização [RCL] [PV] Saldo Devedor

Visor sem o BEGIN PV = 50000 i = 5 % am n = 4 PMT = ?

Valor das prestações

Parcela de Juros

Parcela de Amortização

Saldo Devedor

1ª Parcela

O valor de cada prestação é composto por juros + capital amortizado (amortização).

FV

PV FV


60

Calcula-se mais 3 vezes o cálculo acima, para as outras parcelas. Juntamente monta-se uma tabela para uma melhor visualização.

1 f AMORT 1919,97

x<>y 12180,62

RCL PV 26218,79

1 f AMORT 1310,94

x<>y 12789,65

RCL PV 13429,14

1 f AMORT 671,46

x<>y 13429,13

RCL PV - 0,0002

Parcela de Juros 2ª Parcela

Saldo Devedor




Saldo Devedor



Saldo Devedor


61

Nº de Prestações

Valor das Prestações Juros Amortização Saldo

Devedor 0 --- --- --- 50000,001 14100,59 2500,00 11600,59 38399,412 14100,59 1919,97 12180,62 26218,793 14100,59 1310,94 13789,65 13429,144 14100,59 671,46 13429,13 - 0,0002

2. Um financiamento no valor de $3000 para a compra de um computador a ser pago em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas, tem-se uma taxa de2,8% am. A 1ª prestação vence 30 dias após o contrato. Calcular o valor das prestações e o saldo devedor após as 6 primeiras prestações pagas.

f FIN 3000 CHS PV 18 n 2,8 i PMT 214,45

6 f AMORT RCL PV 2160,39 Calcular agora, o saldo devedor na 15ª prestação paga. Como já temos na 6ª, para a 15ª faltam 9.

9 f AMORT RCL PV 608,95 Tirando a prova dos 9. Faltam apenas 3 prestações para acabar o financiamento. Portanto, faça:

3 f AMORT RCL PV - 0,0006 Isso mesmo, o saldo foi zerado. 3. Uma mercadoria que custa $700 à vista, será vendida em 5 prestações mensais iguais, à taxa de 4,5% am. Fazer a planilha de amortização da dívida. A 1ª será paga postecipada.

14100,59 = 2500 + 11600,59 Parcela = Juros + Amortização

Prestações iguais

38399,41 = 50000 - 11600,59 Saldo Devedor = Saldo Anterior - Amortização

Visor sem o BEGIN PV = 3000 i = 2,8 % am n = 18

Saldo Devedor

Saldo Devedor

Saldo Devedor

Visor sem o BEGIN PV = 700 i = 4,5 % am n = 5



62

f FIN 700 CHS PV 5 n 4,5 i PMT 159,45

1 f AMORT 31,50

x<>y 127,95

RCL PV 572,05 E assim sucessivamente até a 5ª parcela. Vá anotando os valores na tabela a medida que calcula.

Nº de Prestações

Valor das Prestações Juros Amortização Saldo

Devedor 0 --- --- --- 700,001 159,45 31,50 127,95 572,052 159,45 25,74 133,71 438,333 159,45 19,73 139,73 298,604 159,45 13,44 146,02 152,595 159,45 6,87 152,59 - 0,0003

Parcela de Juros


Saldo Devedor

1ª Parcela


Obs: Pode-se usar Ou para calcular a amortização

x<>y

R


63

Análise de Fluxo de Caixa (série variável) As teclas da HP 12C para esse fim são: CF0 – Cash Flow inicial (valor no momento zero) CFj – Cash Flow jésimo (valor no momento 1, 2, 3, 4, 5, 6, … , j) Nj – número de fluxos de caixa iguais consecutivos relativo a um CF (nº de repetições de 1 valor). NPV – Net Present Value ou Valor Presente Líquido. IRR – Internal Rate of Return ou Taxa Interna de Retorno Observações: 1. Se Nj não é usado, a calculadora assume Nj = 1 2. Caso não haja valor inicial, CF0 = 0 3. Usar as teclas CHS para direcionar as entradas e as saídas 4. O fluxo de caixa precisa ser composto de períodos de capitalização iguais 5. A calculadora suporta no máximo 20 fluxos, além do inicial CF0 6. O limite de Nj é 99 para cada CF 7. O investimento inicial é armazenado na memória zero; os fluxos seguintes são

armazenados na ordem das memórias, ou seja, CF1 na memória 1, CF2 na memória 2 e assim por diante até CF19 na memória 9; o fluxo CF20 fica na FV

8. Para corrigir valores no fluxo de caixa, é só alterar a memória correspondente, usando a tecla STO

9. Para fluxo de caixa extenso, às vezes é necessário limpar as linhas de programação para liberar memória

10. O IRR é armazenado em i 11. O nº de valores do fluxo é armazenado em n (menos o inicial) 12. Para saber se o IRR calculado está correto, o NPV deverá ser igual a zero 13. Para revisar o fluxo introduzido, use RCL g CFj repetidamente (ordem inversa) ou

RCL e o nº da memória (RCL 0, RCL 1, RCL j) IRR – Taxa Interna de Retorno A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de 1 ou mais pagamentos (saídas de caixa) valor atual de 1 ou mais recebimentos (entradas de caixa).

NPV – Valor Presente Líquido O valor presente líquido consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial que pode ser um empréstimo, financiamento ou investimento.

PV FVPMT

CFo CFj Nj


64

Exemplos: 1. Calcular o valor atual do fluxo de caixa abaixo, sendo i = 10% am.

530 g CFj 420 g CFj 380 G CFj 10 i f NPV 1772,25 2. Uma mercadoria pode ser adquirida a taxa de 5% am, como segue:

$35 30 Dias $35 60 Dias $50 90 Dias $40 150 Dias

Calcular o preço à vista da mercadoria 50 G CFj 0 g CFj 40 g CFj 5 i f REG 0 g CF0 35 g CFj 35 g CFj

Ou:

f NPV 139,61

f REG 0 g CF0 500 g CFj 480 g CFj

f NPV 139,61

f REG 0 g CF0 35 g CFj 2 g Nj

50 G CFj 0 g CFj 40 g CFj 5 i

0 1 2 3 4 5 500 480 530 420 380 ?

0 1 2 3 4 5 35 35 50 ... 40 ?

Observe que não compensa em termos

de economia de pressionar teclas.

Somente quando são mais de 2 é compensa!


65

3. Calcular a taxa de retorno do investimento representado pelo fluxo de caixa abaixo:

f REG 1000 CHS g CF 0 250 g CF j 310 g CF j

220 g CF j

270 g CF j

210 g CF j f IRR → 8,52 Prova dos 9:

f NPV → 0 4. O valor de $3.000 será pago em prestações mensais de $1.500, $1.000 e $1.200,

respectivamente. Calcular a taxa de juros.

f REG 3000 CHS g CF 0 1500 g CF j 1000 g CF j

1200 g CF j

f IRR → 11,81 Prova dos 9:

f NPV → 0 Obs: ao valores recebidos e os valores pagos devem sempre ser com sinais trocados.

8,52% am

11,81% am

0 1 2 3

1500 1000 1200 1500

0 1 2 3 4 5

250 310 320 270 210 1000


66

5. Um equipamento no valor de $70 mil é integralmente financiado, em 7 parcelas

mensais, sendo as 3 primeiras de $10 mil, as 2 seguintes de $15 mil, a próxima de $20 mil e a última de $30 mil. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação.

f REG 70 CHS g CF 0 10 g CF j 3 g N J

15 g CF j 2 g N J 20 g CF j 30 g CF j

f IRR → 10,40

Prova dos 9:

f NPV → 0 Obs: quando o valor de 1 fluxo não se repete, não há necessidade de introduzir 1 g N J 6. Uma impressora laser colorida da HP é vendida pelo crediário para pagamento em

6 vezes de $700. O valor à vista da impressora é de $2.999,00. Haverá uma carência de 150 dias. Determinar a taxa de juros cobrada.

f REG 2999 CHS g CF 0

0 g CF j 4 g N J

700 g CF j 6 g N J f IRR → 4,63

Prova dos 9: f NPV → 0

0 1 2 3 4 5 ... 10

700 700 700 2999

0 1 2 3 4 5 6 7

10 10 10 15 15 20 30 70

10,40% am

4,63% am


67

1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

100 120 90 150 200 70 110 120 180 150 170

7. Um automóvel é financiado em 18 meses de $325,00 e mais 3 prestações semestrais de reforço (ou balão) de $775,00, $875,00, e $975,00. Calcular o valor financiado, sendo que a taxa de juros é de 2,9% am já incluso IOF.

f REG 0 g CF 0

325 g CF j 5 g N J

1100 g CF 0

325 g CF j 5 g N J

1200 g CF 0

325 g CF j 5 g N J

1300 g CF 0

2,9 i f NPV → 6.364,48 Calcule a taxa de retorno para o fluxo abaixo: f REG 1000 CHS g CF 0

10 g CF j 120 g CF j

90 g CF j 150 g CF j ... ... ... 170 g CF j

F IRR → 6,41 Prova dos 9: f NPV → 0 Agora verifique os valores do fluxo, analisando os valores armazenados nas memórias. RCL 0 1.000,00 RCL 1 100,00 RCL 2 120,00 RCL 3 90,00 RCL 4 150,00 RCL 5 200,00 RCL 6 70,00

6,41% am

325

0

775325 325

875 975

6 12 18

=1100 =1200 =1300 ?


68

RCL 7 110,00 RCL 8 120,00 RCL 9 180,00 RCL .0 150,00 RCL .1 170,00 Admitindo-se que o valor $200 do fluxo no 5º período esteja errado e o valor correto

seja $250, calcular a taxa correta. 250 STO 5 f IRR → 7,08 Para verificar quantos valores tem no fluxo (menos o inicial CF 0

) tecle RCL n. Para o exemplo tem-se:

RCL n → 11 Calcular o valor atual do fluxo de caixa abaixo: f REG 0 g CF 0

100 g CF j 100 CHS g CF j 100 g CF j 100 g CF j 400 CHS g CF j 10 i f NPV → -96,67

200 500

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

i=10% am

7,08% am


69

DEPRECIAÇÃO

O administrador pode lançar mão de várias formas para apurar o desgaste físico de um bem. A mais usual é o método linear, por sua facilidade de cálculo e por ser permitido pela legislação fiscal. Porém, em situações em que o desgaste do bem ocorre mais rapidamente nos primeiros meses de sua vida útil, é recomendado usar métodos mais próximos da realidade, como por exemplo, o método da soma dos dígitos decrescentes. A HP 12C permite calcular cada parcela de depreciação, a depreciação acumulada e o saldo a depreciar pelos métodos: • Linear ou de quotas constantes SL (Stright Line) • Soma dos Dígitos Periódicos SOYD (Sum of Years Digits) • Declínio de Balanço DB (Declining Balance)

Roteiro de Cálculo

1. [f] REG

2. valor do bem em PV

3. valor residual (se houver) em FV (se não houver FV =0)

4. vida útil em anos na tecla n

5. se usado método de declínio de balanço, coloque o fator de declínio em i

6. para obter a depreciação anual, introduza o nº do ano para o qual a depreciação será calculada e f SL ou f SOYD ou f DB

7. para o obter o saldo a depreciar use x<>y

8. para obter a depreciação acumulada use RCL PV x<>y - RCL FV -

É a mesma para todos os anos de vida útil do bem

Varia de ano para ano diminuindo

progressivamente

PARCELA DE DEPRECIAÇÃO

SL

SOYD DB

DEPRECIATION SOYD[Δ%]

FRAC

SL[%T] LN

DB[%]

INTG


70

Exemplos

1. Uma máquina comprada por $1 mil será depreciada em 5 anos e seu valor de resgate é estimado em $50. Calcule a depreciação e o valor depreciável resultante, para os 5 anos de vida útil da máquina, usando o método do declínio do balanço, com um fator de declínio de 200%.

f REG 1000 PV 50 FV 5 N 200 i

1 f DB → 400,00 x<>y → 550,00

2 f DB → 240,00 x<>y → 310,00 3 f DB → 144,00 x<>y → 166,00 4 f DB → 86,40 x<>y → 79,60

5 f DB → 79,60 x<>y → 0,00

2. Um equipamento foi adquirido por $1.500. A vida útil é de 10 anos e o valor residual de $45. Calcular pelo método linear, o valor da 6º parcela anual de depreciação, o saldo a depreciar e a depreciação acumulada até a 6º parcela.

F REG 1500 PV 45 FV 10 n

6 f SL → 145,50 X<>y → 582,00 RCL PV x<>y - RCL FV - → 873,00 Terminando

Os assuntos abaixo serão tratados em outro curso:

• Títulos

• Análise de investimentos

• Programação da HP 12C

2º ano

3º ano

4º ano

6ª parcela de depreciação

Saldo a depreciar após a 6ª parcela

Depreciação Acumulada até

a 6ª parcela

5º ano

Valor depreciável resultante após o 1º ano

Depreciação no 1º ano


71

As únicas teclas que ainda não foram estudadas da HP foram as relacionadas com Títulos e Programação.

Títulos

BOND – Título

PRICE – Preço do Título

YTM – Yield to Maturity (rendimento até o vencimento)

Programação

P/R PRGM

(R/S) (SST) ( ) ( ) ( ) PSE BST GTO x≤y x=0

• P/R – entra no modo programado • R/S – Run / Stop (roda e pára o programa) • PSE – Pause ( Pausa para ler resultados intermediários sem precisar usar a tecla

R/S novamente) • SST – Single Step (percorre as linhas do programa passo a passo para frente) • BST – Back Step (percorre as linhas do programa passo a passo para trás) • PRGM – limpa as linhas de programa • GTO – Go To (vai para a linha x do programa – desvio) • x≤y – testes de valores na programação • x = 0 - testes de valores na programação

Anexo Segue abaixo resumo das funções: Funções Matemáticas

Potenciação xy

1. Inverso de um número 1/x

2. Percentagem %

1. Diferença Percentual Δ %

BOND PRICE YTM X1XY

X xe


72

2. Percentagem do Total %T

3. Raiz Quadrada x

4. Logarítimo LN

5. Anti-Logarítimo e x

6. Fatorial n!

7. Número na base 10 EEX (Enter Exponent)

8. Parte inteira do número INTG

9. Parte Fracionária do número FRAC

10. Arredonda um número RND

Funções Financeiras

3. n

4. i

5. PV

6. PMT

7. FV

Funções com Data

1. M.DY

2. D.MY

3. Δ DYS

4. DATE

Funções com Depreciação

1. SL

2. SOYD

3. DB

Funções com Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido

1. CF 0

2. CF j

3. N j

4. NPV

5. IRR


73

Funções Estatísticas

1. ∑+

2. ∑−

3. x

4. xw

5. xr

6. yr

7. s

Funções para Programação

1. MEM

2. R/S

3. PSE

4. SST

5. BST

6. GTO

7. x≤y

8. x = 0

Apostila Completa Hp12c Santos

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