1SERVIOPBLICOFEDERALINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO TCNICA, TECNOLGICASUL-RIO-GRANDENSECOORDENADORIADE CINCIAS DA NATUREZA, MATEMTICAE SUAS TECNOLOGIASCLCULOIENGENHARIA ELTRICAPROF.: JAIR VIGNOLLE DA SILVAPROF.: ODAIRA.NOSKOSKI2 SERVIOPBLICOFEDERALINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO TCNICA, TECNOLGICAUNIDADE I: CONJUNTOSO estudo do clculo baseia-se em propriedades estruturais do conjunto dos nmerosreais(IR). Existe uma correspondncia biunvoca do conjunto dos nmeros reais e os pontosde uma reta real. Com isto, comeamos assim a visualizao do processo algbrico,consequentemente, vislumbrando o entendimento e a aplicabilidade do clculo. A reta construda de tal maneira que podemos localizar os pontos nela, portanto comeamoslocalizando sua origem(denotado pelo nmero zero) e definindo uma unidade. Da podemoslocalizar qualquer nmero real, como por exemplo:Uma unidade -3-2-10 12 34eixo real OrigemDo lado esquerdo se encontram os negativos e do lado direito os positivos.Dados a,b e IR, chamamos de tricotomia ao fato de que apenas uma das alternativaspode ocorrer: ou a=b, ou a>b, ou ab,entoa+c>b+ciii) sea>bec>0 (positivo),entoa.c > b.civ) sea>bec a } a + ] , b [{ xeIR /x < b }b ] , b ]{ xeIR /x s b }b ] , + [IR+INEQUAESResoluo de inequaes simples.Exemplo 1:Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequao0 4 x 2 > .Exemplo 2:D o conjunto verdade em IR da inequao composta4 x 10 6 x 3 x 3 < s .Exemplo 3:Reso1va em IR a inequao( )( ) 0 x 2 3 2 x s .Exerccios:Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequao:1)0 6 x 3 > R.:{ } 2 x / IR x V > e =2)0 4 x 2 > + R.:{ } 2 x / IR x V s e =3)4 x 10 6 x 3 x 3 < s R.: )`> e =49x / IR x V4)( )( ) 0 1 x 2 x < + R.:{ } 2 x 1 / IR x V < < e =5)2x 3x 5 >R.:{ } 0 x ou 1 x / IR x V > s e =6) ( )( )04 x 1 x5>+ +R.:{ } 1 x ou 4 x / IR x V > < e =7)3x 31 x 20 s< R.: )`s < e = 2 x21/ IR x V4MDULO OU VALOR ABSOLUTOO valor absolutoade um nmero reala definido por:< >=0 a se , a0 a se , aaEm outras palavras, se a a coordenada de um ponto A de uma reta, entoa aquantidade de unidades que esse ponto se encontra afastado da origem O.Exemplos:3 a =3 3 a = =5 a =( ) 5 5 5 a = = =Propriedades:i)IR a , a a e =ii)IR a , a a a e s s iii)IR a , , a , a , a a a a a an 2 1 n 2 1 n 2 1e + + + s + + + iv)IR b , a , b a b a b a e + s s v)IR a , , a , a , a a a a a an 2 1 n 2 1 n 2 1e = vi). 0 b com , IR b , a ,baba= e =Resoluo de equaes e inequaes com mdulo.Exemplo 1:Resolver a equao2 1 x x 2 x = + .Exemplo 2:Resolver a inequao7 3 x < .Exerccios:1)Resolver, em IR, as seguintes equaes:a)10 5 x = b)27 x 7 x x = c)0 1 x x = + d)0 10 x 3 x2= 2) Resolva as seguintes inequaes, sendoIR U = :a)0x1x < + b)6 x 2 x > + c)1 1 x 0 < e = c){ } { } 1 x e 2 x 0 / IR x 2 x 1 ou 1 x 0 / IR x V = < < e = < < < < e =5UNIDADE II: FUNESDefinio:Dados dois conjuntos A e B, dizemos que existe uma funo de A em B se para todoelemento xeA corresponda um nico yeB.Notao;f: A B A f Bxy = f(x)x y = f(x) xeAVarivel independente yeBVarivel dependenteDf = A (domnio) formado pelos possveis valores de x( Conjunto de partida).CDf = B ( Contra-domnio) (Conj.dechegada)Imf c B formado pelos valores de y eB.Classificao:1-Funo polinomial:Funo do 1o grau toda funo do tipob ax y xIR IR : f+ =, sendo a,b e IR.Se a=0, ento y=bFuno constanteSe b=0, ento y=axFuno linearSe a=1 e b=0, ento y=xFuno identidadeO grfico representado por uma reta. Y Se y=0a.x+b=0 a.x= bx= b/ab ( ) 0 , a / b Se x=0y=b ( ) b , 0 b/aXOBSERVAES:i)Coeficiente angular:Da equao y=ax+b que define a funo do 1o grau, isolando a temos:xb ya= ou de outra forma 1 21 2x xy ya= quando se conhece dois pontos da reta- a denominado coeficiente angular.Tambm podemos definir a como sendo a tangente do ngulo o que o grfico dareta da funo y=f(x) faz com o eixo xx. Ou seja: a=tan(o).ii)Coeficiente linear:De outro modo, daequao y=ax+b, isolando b temos:b=y-ax b denominado coeficiente linear.6Funo quadrtica ou do 2o grau toda funo do tipo c bx ax yIRxIR f+ + =2:, coma, b, c e IRea = 0.Observaes:O grfico representado por uma parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.A parbola ser voltada para baixo se a < 0. A parbola ser voltada para cima se a > 0.Funes polinomiais de grau n:Chama-se funo polinomial de grau n toda funo de IR em IR definida porf(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 , onde an e IR* e an-1 , ..., a1 , a0 e IR.2-Funo racional:Uma funo racional o quociente de duas funes polinomiais, ou seja:) () () (21x px px f = , onde) (1x pe) (2x pso funes polinomiais e) (2x p =0.Como) (2x p =0, da temos uma restrio para o domnio dessa funo.Exemplo:Determine o domnio e faa o grfico da funo 12=xy .3-Funo algbrica ou irracional:Funo algbrica toda funo que expressa em termos de somas, diferenas,produtos, quocientes ou potncias racionais de polinmios.Exemplo:2x 411 x x f + = ) (4-Funo e transcendental:As funes que no so algbricas, so transcendentais.Por exemplo: As que envolvam as funes trigonomtricas, as exponenciais oulogartmicas.5-Funo exponencial: toda funo do tipo xa yIRxIR f=+*:, com a>0 e a=1.Observaes:-achama-se base-xexpoente76-Funo logartmica: toda funo do tipo ax yIRxIRflog:*=+ ,com a>0 e a=1.Observaes:- a a base do logaritmo- xchama-se logaritmando-y o logaritmo de x na base a-Se a=10o logaritmo chama-se decimal. notao: y = log (x)-Sea = e ~ 2,718281o logaritmo chama-se neperiano ou logaritmo naturalnotao:y=ln (x)Condies de existncia:1o ) O logaritmando tem que ser positivo ( x > 0 )2o ) A base tem que ser positiva e diferente de 1 ( a > 0ea = 1 )Funes especiais:7-Funo definida por vrias sentenas:Uma funo f pode ser definida por uma lei formado por mais de uma sentena: numsubconjunto D1 do domnio, ela dada por uma certa lei; noutro subconjunto D2, ela dadapor outra lei, e assim por diante.Exemplo:A funo f : IR IR definida por:> + =s + =1 x se , 5 x ) x ( f1 x se , 2 x ) x ( f definida por duas sentenas. Indicamos tambm: > + s +=1 x se , 5 x1 x se , 2 x) x ( fConsiderando a funo acima, faa o grfico e determine o conjunto imagem.Funo modular toda funo do tipo x yIRxIR : f=+yDe outra forma > >= =0 x se , x0 x se , xx yGrfico:xFuno maior inteiro:Dado xeIR, definimos a operao [[x]]=n, onde n o maior inteiro tal que nsx.Exemplos:a)[[2,3]]=2b)[[0,6]]=0c)[[-7/2]]=-4 d) [[ 7 ]]=28Definio:Deste modo a funo maior inteiro f definido como f(x)=[[x]].Grfico da funo maior inteiro.Funo composta:Seja as funes f, de A em B, e g, de B em C. Funo composta de g e f ( notao:gof) a funo da A em C definida por :(gof)(x)=g(f(x))Exemplo:Dadas as funes f(x)=x+1 e g(x)=x21, de IR em IR. Determinar as sentenas que definemas funes fog e gof.EXERCCIOS1)Determine o conjunto domnio, o conjunto imagem e faa o grfico das seguintes funesno mesmo sistema cartesiano:a)f(x)=3x+2eg(x)=x+2b)f(x)=-2x+3eg(x)=-2x-12)Considere f(x)=-2x+5.a)Determine Df.b)Existe xeIR, tal que f(x)=0?c)Existe xeIR, tal que f(x)=21 ?d)Determine Imf.e)Faa o grfico.3)Considere a funo f(x)=-2x+2, f:AIR, sendo A={xeIR/0sxs2}.a)Determine Df e Imf. b)Calcule f(0).c)Determine xeIR tal que f(x)=0.d)Faa o grfico.e)A funo tem um valor mnimo absoluto? Qual esse valor?f)A funo tem um valor mximo absoluto? Qual esse ponto?4)Considere a funo f(x)=-x2+2x-3.a)Determine Df.b)Existe xeIR, tal que f(x)=0?c)Resolva:i)f(x)=-2 ii)f(x)=-1 d)Existe xeDf, tal que sua imagem 1?e)Determine Imf.5)Esboce o grfico e determine Imf das funes:a)f(x)=2x2-3x-5 b)f(x)=2x2+x-6c)f(x)=x2-20x+102d)f(x)=-x2+25e)f(x)=x2+4x96)Das seguintes funes, determine:a) os zeros; b) estudo do sinal;c) esboo do grficoi)y=x4-4x2-5 ii)y=x3-8 iii)y=x3-x2+3x iv)y=x5-x v)y=x4-x2-27)Determine o domnio e faa o grfico das seguintes funes:a)xx f1) ( = b)23) (=xx f8)Encontre o conjunto domnio de y=f(x) de modo que exista a funo:a) y = log (x+1) b) ) 2 () 2 ( log =xx yc) ) 1 (2) 9 ( log =xx y d)( ) 2 log22 = x x y9) Encontre o conjunto domnio e o conjunto imagem da f(x)=y de modo que exista afuno e esboce o grfico:a) y = log (x+1) b)( ) 2 log22 = x x y c)( ) x y 2 2 ln =d) 3 2 =xy e) xy|.|

\|=31 f)12 +=xy g)1 =xe y10)Faa o grfico e determine o domnio das funes:a)>s =1 x se , x1 x se , 1 x 2) x ( f2b) > s =1 x se , x1 x se , 1 x) x ( f2c) > < < s +=4 x se , 2 x4 x 0 se 20 x se , 2 x) x ( fd)> < s < =1 x se ,x11 x 0 se , x 30 x se , 2) x ( f11)Encontre as razes e esboce o grfico das seguintes funes:a) 4 2 = x yb) 42 =x y c) 3 22+ = x x yd) 4 42 + = x x y e) 22+ = x x y12)Obter as sentenas das funes fog, gof, gog e fof e o domnio de cada sentena, nosseguintes casos:a)f(x)=2xeg(x)=4 xb)f(x)=x2eg(x)=x-1 c)f(x)=x-1eg(x)=1 x1+1013)Esboce o grfico das seguintes funes e encontre o domnio e a imagem de cada uma.a) 1 ) (2+ = x x f b)> < < =1 , 21 0 , 1) (x se xx se xx f c) | | | | 2 ) ( + = x x fd)24) (2=xxx f e) x x f 4 ) ( =f) 5 ) (2 =x x fg)xxx f = ) (h) x x x f = ) (14)Resolva os problemas:a)Do dcimo sexto andar de um edifcio, a 50 metros do cho, caiu um vaso. Em cadamomento da queda, a distncia do vaso em relao ao solo dada pela frmula d=50-5t2, dem metros e t em segundos.Quantos segundos o vaso demora para atingir o solo?b)Um restaurante aumenta seus preos em 10% para cobrir despesas de servios. Chame dep os preos do cardpio e de y os preos com acrscimos.i)D a lei que permite calcular y em funo de p.ii)Represente graficamente essa funo para 5sps500.iii)Um cliente pagou R$ 120,00 de conta. Qual era o preo sem acrscimo?c)Uma grfica cobra R$ 0,10 para copiar cada pgina, caso o nmero de cpias seja inferiorou igual a 50. Se o nmero de pginas for superior a 50, o custo de cpias por pginaadicional passa a ser R$ 0,08. Esboce o grfico do custo total ( C ) para copiar x pginas.d)Mostre que f funo do 1o grau, mostre o grfico das duas funes( esta e asimplificada) e saliente a diferena, se houver.:i)( ) ( )( ) 12 3 6 ) (2 = x x x x fii) 3 32 2) (23++=xx xx fe)Seja a funo f, definida por f(x+2)=2x2-4x+3.i)Obtenha f(x).ii)Calcule f(-1) e f(1).15)Dadas as funes f(x)=x2-5x+6 e g(x)=2x+1, resolva: ( ) | | ) ( f) ( fg f) x ( g ) ( f0221=16)Sendo a funo f : IRIR definida por f(x)=x2 e g : IR IR a funo tal queh) x ( f ) h x ( f) x ( g += , ache g(x).17)Seja f : IN Z, a funo definida por: f(0)=2, f(1)=3ef(n+1)=2f(n)-f(n-1), calculef(5).11RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DE FUNO1)a)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR b)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR2)a)D(f)=IR b)x=25c)x=411d)Im(f)=IR3)a)D(f)=A e Im(f)=[-2,2]b)f(0)=2 c)x=1e)Sim, y=2f)Sim, y=24)a)D(f)=IR b) IR x e -/c-i)S={1} c-ii)S=d)No e)Im(f)=],2]5)a-b)Im(f)=[849 ,[c)Im(f)=[2,[d)Im(f)=],25]e)Im(f)=[4,[6)i)a)x= 5 b)xe], 5 [] 5 ,[y>0e xe] 5 , 5 [y0exe] 2 , 2 [y1} b)D(f)= c)D(f)={xeIR/11 x se 1 x 21 x se x2,, no x=1B)Calcule as derivadas das seguintes funes:1) y= x3 2)y= x-23) y= 2x-34)y= 2x5) y=x27Frmulas de derivao1)Derivada da funo constante:f(x)=kf (x)=0Dem.:f (x)=xx f x x f0 x A A + A) ( ) (lim = xk k0 x A Alim = 00 x Alim= 0Ex.:f(x)=5 f (x)=02)Derivada da funo afim:f(x)=ax+bf (x)=aDem.:f (x)=xx f x x f0 x A A + A) ( ) (lim =xb ax b x x a0 x A + A + A) (lim =xx a0 x AA Alim = a0 x Alim= aEx.:f(x)=2x-3 f (x)=23)Derivada da funo potncia:f(x)=xnf (x)=n.xn-1Ex.:f(x)=x3 f (x)=3x24)Derivada da funo:f(x)=a.xnf (x)=a.n.xn-1Ex.:f(x)= -2x5 f (x)=-10x45)Derivada da funo soma algbrica:f(x)=u(x)+v(x)-w(x)f (x)=u (x)+v (x)-w (x)Ex.:f(x)= x3-3x2+5x-4 f (x)= 3x2-6x+56)Derivada da funo produto:f(x)=u(x).v(x)f (x)=u (x).v(x)+u(x).v (x)Ex.:f(x)= (x+1).(2x3-4) f (x)=1.(2x3-4)+(x+1).(6x2)f (x)=2x3-4+6x3+6x2f (x)=8x3+6x2-47)Derivada da funo quociente:f(x)=) () (x vx uf (x)=( ) | |2x vx v x u x v x u ) ( ). ( ) ( ). ( ' '28Ex.:f(x)= 2 2x11 x2 x 4++ f (x)=( ) ( ) ( )( ) ( )222222xx 2 1 x 01 x2 x 4 x 2 1 x 4 . . . . ++ +f (x)= ( )4 222 2xx 21 xx 4 x 8 4 x 4 + +f (x)= ( )4 222xx 21 x4 x 4 x 4+++ f (x)= ( )3 222x21 x1 x x 4++ + ) .(Derivada da funo compostaSe y=f(u), u=g(x) e as duas derivadas dudy e dxdu existem, ento a funo compostadefinida por y=f(g(x)) tem derivada dada por:dxdududydxdy. = , ou:dxdg.dgdfdxdy= ,ou:( ) | |) ( ). ( x g u fdxx g f d' ' =Exemplos:a)Dada a funo 31 x 31 x 2y |.|

\|+= , calcular dxdy.Faamos y=f(z)=z3( funo potncia)ez=g(x)=1 x 31 x 2+( funo quociente)ento:y=f(g(x))=31 x 31 x 2|.|

\|+que a composta de g e f.Portanto: dxdzdzdydxdy. =y=z3221 x 31 x 23 z 3dzdy|.|

\|+= = .z=1 x 31 x 2+ ( ) ( )( )21 x 33 1 x 2 1 x 3 2dxdz+ =. .=( )21 33 6 2 6 xx x=( )21 35xDa, temos que:( )221 351 31 23|.|

\|+=xxxdxdy. .29b) Dada a funo( )322 31 x 5 x 4 x 2 y + + = , calcular dxdy.Continuao das frmulas de derivao8)Derivada da funo exponecial:f(x)=au(x) f (x)=au(x).lna.u(x)Ex.:x 32x2 x f+= ) (9)Caso particular da funo exponencial (base e)f(x)=eu(x)f `(x)=eu(x).u`(x)Ex.:f(x)=e2x-110)Derivada da funo logartmicaf(x)= ) ( log x ua aex ux ux f log .) () () ('= ' =a x ux uln ). () ( 'Ex.:f(x)=log(x2-2x+1)11) Caso particular da funo logartmica( baseeneperiano)f(x)= ) ( ln x u) () () (x ux ux f'= 'Ex.:||.|

\|+=x1 xx f2ln ) (12) Derivada da funo:f(x)=[u(x)]v(x)f `(x)=v(x).[u(x)]v(x)-1.u`(x)+[u(x)]v(x).ln[u(x)].v`(x)Ex.:f(x)=(2x-1)3xFunes trigonomtricas13) Derivada da funo seno:f(x)=sen[u(x)] f `(x)=cos[u(x)].u`(x)Ex.:f(x)=sen(2x+1)3014) Derivada da funo cosseno:f(x)=cos[u(x)]f `(x)=-sen[u(x)].u`(x)Ex.:f(x)=cosx.senx15) Derivada da funo tangente:f(x)=tan[u(x)]f `(x)=sec2[u(x)].u`(x)Ex.:f(x)= 1 x + tan16) Derivada da funo arcseno ou sen-1:f(x)=arcsen[u(x)] ) ( .)] ( [) ( x ux u 11x f2'= 'Ex.:f(x)=sen-1(3x-1)Exerccio 2:Determine a derivada das seguintes funes:1) 78x f= ) ( 2) 21x35x f + = ) (3) f(x)=x54) f(x)=32x 5) 3x1x f = ) (6) 3x3x f = ) (7) f(x)=x3-x2+x-4 8) f(x)=x-x7+5x6-19) 32x3x1x 2 x f + = ) (10) f(x)=(x+1).(2x2-4) 11) f(x)= 2x.(x2+4x).(3x4+2x3) 12) x1x f = ) (13) 2x11 xx 2x f += ) (14) xx1 x2 x 4x f2+++= ) (15)1 x 2 x f + = ) (16) f(x)=(4x+5)3.(3x2-x+1)217) f(x)=e2x18) f(x)=x1e19) f(x)=1 x x 2e+ 20) f(x)=x 52x3+ 21) f(x)=1 x12x10++22) f(x)= ( ) 1 x2+ ln 23) f(x)=||.|

\|2e ex xln24) f(x)= ( ) 1 x x2+ + log25) f(x)=x25 log26) f(x)=x 2xxe|.|

\| 27) f(x)=sen(5x2+3x+2)3128) f(x)=5 3x 4 sen 29) f(x)= ( ) | | 1 x2 3 4+ sen ln 30) f(x)=cos3(x2+2x)31) f(x)= |.|

\|tx2cos32) f(x)=tan2x33) f(x)=tan32x34) f(x)= x 2 tan ln 35) f(x)= ( ) x 2 cot ln36) f(x)=( )xxcotsen37) f(x)= x 3 x 22cot . csc38) f(x)=2xecsc 39) f(x)=arcsen(1+x)40) f(x)= |.|

\|x1arccos 41) f(x)=arccos(1-2x)42) f(x)=arctan5x43) f(x)=arccot4x2 44) f(x)=arcsecx2 45) f(x)=arccsc(lnx)Derivadas sucessivasSeja f(x)=2x4. Qual a 6a derivada desta f(x)?1a derivada:3x 8 ydxdy= ' =2a derivada:222x 24 ydxy d= ' ' =3a derivada: x 48 ydxy d33= ' ' ' =4a derivada: 48 ydxy div44= =5a derivada: 0 ydxy dv55= =6a derivada: 0 ydxy dvi66= =De uma forma geral:'||.|

\|=1 n1 nnndxy ddxy d( )'=1 n ny yDerivada da funo implcita F(x,y)=0Dada a funo implcita0 2 y y x x2 2 3= + + , determine xydxdy' = eyxdydx' = .32Exerccio 3:A) Calcular as derivadas sucessivas at a ordemnindicada:1)x 2 x 3 y4 = ; n=5 2)d cx bx ax x f y2 3+ + + = = ) ( ; n=33) 5 2x 4 x 2 3 y + = ; n=10 4) 2x 3 y = ; n=25) 1 x1y= ; n=4 6) 1 x 2e y+= ; n=37) xe1y = ; n=4 8)x 2 y ln = ; n=29)) sen(ax y = ; n=7 10) 2x2 y cos = ; n=5B) Dadas as funes implcitas, calcule as derivadas indicadas:1) x32 3 232y a y x ' = +2) xxyy a e x ' = +ln3) yxyxxy ' = arctan4)( )y2 2x y x21xy' + = ln arctan5) xx yy y x ' =6) xx32 3 232y a y x ' ' = +Exerccios complementares:A)Determine a derivada das seguintes funes:1) f(x)=3x 2)1 x 2 x f + = . ) ( 3) f(x)=x-24) 21x x f = ) (5) f(x)=5x36)x 2 x f = ) (7) 4x5x f = ) ( 8) f(x)= -10x 49) f(x)=4x3-5x2-7x+2 10) f(x)=(x+1).(x3+2x) 11) f(x)=x.(x2+1)12) f(x)=(3x2+4x-2).(-x3+4x2)13) f(x)=(x+1).(x2+2x).(x3+3x2+4)14) 2x3 x 2xx f += ) ( 15) x xx xx f+= ) (16) f(x)=(4x3-5x2+7x)317) f(x)=(x2+1).(2x+3)2.(-3x+2)3 18) ( )23 2 32 x 5x x 4x f++= ) (19) x 32xe x f+= ) (3320) x1e x f = ) ( 21) 3x 22xe1x f+= ) (22) f(x)=2x23) x21x f |.|

\|= ) (24)( )x2 x f = ) (25) x1x f ln ) ( = 26) 1 x1 xx f+= ln ) (27) xxe x f = ) (28) f(x)=logx29) 2 x 54 x 2x f31++= log ) ( 30)( ) 1 x x f22x+ = log ) (31) 3 2x 3 x f sen ) ( = 32) 2x3e x fsen) ( =33)x 5 x f cos ln ) ( =34)x 4 x 3 x f3 3cos . sen ) ( = 35) x 4x 3x fcossen) ( =36) x 4e x ftan) ( =37)x 3 x 4 x f tan . tan ) ( =38)( ) 3 x 2 x x f2 3+ + = cot ) ( 39) 3x 3 x f cot ) ( =40) ( )2x1x fcot ln) ( =41)( ) x 3 x 5 x f2+ = sec ) ( 42)x 2 x f3sec ) ( =43)( ) x 2 x f2sec ln ) ( = 44) x1e x fsec) ( =45) x xe x ftan . sec) ( =46) f(x)=csc5x3 47) f(x)=ln cscx248) 3xe x fcsc) (=49)( ) ( ) 1 x x x 2 1 x x f2 + = arcsen ) ( 50) 2x2 x f arcsen ) ( =51) f(x)=arccos(cos3x) 52) x1x f arctan ) ( = 53) 2xe x f arctan ) ( =54) f(x)= |.|

\| x1arccot 55) f(x)=tan(arccot2x)56)( ) | |2x arc x f sec sec ) ( =57) f(x)=arcsec(lnx) 58) f(x)=arcsec(sec5x) 59) f(x)=sec(arcsecx)60) f(x)=arccsc(ex)Aplicaes da derivada1)Taxa de variaoSeja y=f(x) um funo, ento a taxa instantnea de variao de y em relao a x em a dada por f (a).Uma das taxas instantnea de variao a velocidade instantnea.Exemplo:De um balo a 150m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se aresistncia de ar, a distncia s(t) do solo ao saco de areia em queda, aps t segundos, dadopor s(t)=-4,9t2+150. Determinar a velocidade do saco de areia.a)quando t=a segundos; Va=-9,8.a m/sb)quando t=2 segundos; V2=-19,6 m/sc)no instante em que ele toca o solo. Vf(5,53)=54,194 m/s342)Reta tangenteO coeficiente angular da reta tangente ao grfico de y=f(x) no ponto (a,f(a)) f (a).1a) Equao de uma reta que passa por dois pontos cujo coeficiente angular m.

( ))`pontos 1 y xangular e coeficient m0 0, ( )0 0x x m y y = .2a) Equao da reta tangente uma curva y=f(x) no ponto (x0,y0). )`' = o = = ) ( tan) (0 t0 t 0x f mx x m y y ( )0 0 0x x x f y y ' = ). (3a) Normal curva y=f(x) uma reta perpendicular reta tangente no ponto (x0,y0). )`'== = = ) (.) (0 tN t N0 t 0x f1m1m 1 m mx x m y y ( )000x xx f1y y '= .) (Exemplo:Qual a equao da tangente e da normal curva y=x2-4 no ponto:a) (3,5)b) onde x=0 c) (-2,0)Exerccio 4:1)Determinar o coeficiente angular da tangente ao grfico da equao no ponto P.Estabelecer a equao da tangente em P. Esboce o grfico da curva e da tangente em P.a)x y = em P(4,2) b) 3x y = em P(-8,-2)c) x1y =em P(2,21) d) 2x1y = em P(2,41)2) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente m. Esboce o grfico dacurva e da tangente.a) y=x2emm=6b) y=x3emm=93)Achar as equaes da reta tangente e normal curva.a) x4y =noponto x=2 b)x 4 9 y = noponto x=2c) 310 x y =noponto x=2d)xy 6 x 4 y4 4+ =noponto (1,2)4)Qual a equao da reta tangente curva1 3 x 4 y =que perpendicular retax+2y-11=0.35Mximos e mnimos e estudo do crescimento de uma funoSeja uma funo f definida em um intervalo I, e seja x1 e x2 quaisquer nmeros em I,tais que x1 < x2, ento:i)f crescente em I se f(x1)sf(x2)ii) f estritamente crescente em I sef(x1)f(x2)iv) f estritamente decrescente em I se f(x1)>f(x2)Y Yf(x1) f(x1) f(x2)f(x2)x1x2Xx1x2Xv) f constante em I se f(x1)=f(x2) Y f(x1)=f(x2)x1x2XSeja f(x) definida e contnua em um intervalo [a,b].Seja f(x) diferencivel em todos os pontos de (a,b).Se f (x)>0 ento f(x) estritamente crescente.Se f (x)0 ou se f (x)0em I.(ii)Cncava para baixo em I se f (x) = ln ) , (08) }+ = Caadu auuln09)ududy u y = = ln 09) }+ = C uuduln11)du u dy u y = = cos sen11) }+ = C u du u sen cos12)du u dy u y = = sen cos12) }+ = C u du u cos senEXEMPLOS:Calcule:a)}= + dx 5 x 3 x 24) (b)}= dx x 5 cosc)}= + dx x x 32) (52EXERCCIO 3:Calcule as integrais:01)}= + dx 3 x 4 ) (02)}= + dt 3 t 4 t 92) (03)}= dzz3z12 3) (04) = +}duu1u 3 ) ( 05) = + +}dv v 3 v 6 v 244145) ( 06)}= dx 1 x 32) (07)}= + dx 3 x 2 ) ( 08)}=dxx5 x 839) = =}) ( , 1 x dx1 x1 x310)}=+dtt3 t62 2) ( 11)}= du u43cos12) =}dxx7csc13)}= + dt t t ) cos (14)}= dtttcossec15)}= dv v v v ) sec cot (csc2 - Mudana de Variveis:Se F uma antiderivada de f, ento}+ = ' . )) ( ( ) ( )) ( ( C x g F dx x g x g fSe u = g(x) e du = g (x)dx, ento }+ = C u F du u f ) ( ) (EXEMPLOS:1) Calcular dx 7 x 5}+SOLUO:Faamos u=5x+7, da du=5dx , trocando de variveis temos:} } }+ + = + = + = = = + C 7 x 5152C u152C23u51du u51du u51dx 5 7 x 55123232321) (2) }=+ dx1 x 3 x1 x6 32) ( 3) }= dxxx cos 4) }= dx x 5 x 53sen cosEXERCCIO 4:Calcule os limites:01)}= + dx 3 x 2 x10 2) (02)}= + dx 7 x 3 x33 2 03)}=+dxxx 13) (04)}= dx x x3cos05) = }dx 2 x 3 06) = +}dt 5 t 8307)}= + dz 1 z 34) ( 08)}= dv 1 v v3 209)}= dx x 4 3sen10)}= dx 3 x 4 ) cos(11)}= dv v v2) sen( 12) =}dx x 3 x 33sen cos13)}= dx 4 x 32) ( sec 14)}= dx x 3 x 32tan sec 15)}= dx x x x2 2) csc( ) cot(533 - Integrao por Partes:Sejam u = f(x)ev = g(x) duas funes diferenciveis. Ento a diferencial do produto y = u. v = f(x) . g(x)e dy = ( u . v + v . u ) dxdy = u.vdx + v.udxcomo ==dx v dxdx u du'' podemos escrever:dy = udv+vdu, como dy = d(uv) temos d(uv) = udv+vdu que a diferencial do produtode duas funes.Agora, integrando os demais membros, temos:} }+ = ), ( ) ( vdu udv uv dpela propriedade de integral indefinida.} } }+ = vdu udv uv d ) (} }+ = vdu udv uv ,da:} } = vdu uv udv Frmula da integrao por partes.EXEMPLOS:Resolva as integrais indefinidas:01)} } = dx x x x dx x x cos cos sen = x x x sen cos + +C02)}= dx v xln03)}= dx e xx 204)}= dx x arctan05)}= dt t etsen06)} }= = dx x x dx x2sen sen senEXERCCIO 5:Usando a tcnica de integrao por partes, calcular as seguintes integrais indefinidas:01)}xdx xcos02)}dx x ln 03)}dx x xnln04)} dx x 1 ) ln(05)}dx2xxsen 06)}+21 xdx x) (ln07)}dx x x2sec08)}dx e xx09)}dx e xax10)}dx e xax 2 11)}dx e xx 2 12)}dx a xx13)}u uud e cos14)}dx x ex 2sen15)}dx bx eaxsen16)}dx x arcsen17)}u u u d arcsen18)}dxxx arcsen544 - Integrais de funes que contm trinmios do 2 grau:Inicialmente, revisamos a obteno de um quadrado perfeito.Transformamos o trinmio num quadrado perfeito :) (acxabx a c bx ax2 2+ + = + +Fazemos acB eabA = = , temos um trinmio sem o coeficiente de x2: B Ax x2+ + .O termo B sempre igual ao quadrado da metade de A.De um modo geral:2 22AAx x ) ( + + , um quadrado perfeito 2 2 22Ax2AAx x ) ( ) ( + = + + .Vejamos os exemplos a seguir:RESOLVER:01)}=+ + 9 4 xdx2) (02)}=+ +25x 2 x 2dx203)}= 2x x 3 9dx04) =+ +}13 x 3 x5 x 32EXRCCIO 6:Calcular as integrais pelo mtodo de completar trinmios quadrados perfeitos:01)}+ + 5 x 4 xdx202)} x 4 x 5dx203)}+ 1 x 2 xdx2 04)} 2x 2 x 1dx05)}2x xdx06)} +dxx 3 x 2 77 x 5207)}+ 5 x 2 xdx x2 08)} 2x x 6 3dx 7 x 2 ) (09)}+ ++1 x xdx 5 x 32) (10)} +2x 3 x 2 1dx555 - Integrais de funo racionais:Se o numerador e o denominador de uma funo so polinmios, a funo chamadaracional.Exemplos:a) f(x) = 1 x 2 x1 x 32 + + b) g(x) = 1 x1 x x2 +i)Se o grau do numerador for superior ao grau do denominador, efetuamos a diviso paraque a integrao seja possvel.Exemplo:=++ +}dx1 x3 x 3 x 22ii)Se o grau do numerador menor que o grau do denominador, procuramos decompor opolinmio do denominador em fatores do primeiro ou do segundo grau.Se f(x) e g(x) so polinmios e se o grau de f(x) inferior ao grau de g(x), ento possvelescrever qualquer expresso ) () (x gx f como uma soma de expresses racionais cujosdenominadores envolvem potncias de polinmios de grau no superior a 2, da seguinteforma:k 2 1F F Fx gx f+ + + = ...) () (onde cada Fk da soma tem uma das seguintes formas:( )nb axA+ ou( )2 2c bx axB Ax+ + +Os seguintes casos podem ocorrer:1 Caso:Os fatores dos denominadores so todos do primeiro grau e no repetidos.EXEMPLO:Resolver a integral:}+ + dxx 2 x 3 x1 x 6 x 72 32Obs:n020201n0x xAnx xAx xAx xx P) (...) () () () (+ ++=A expresso acima aplicada quando o fator (x-x0) tem grau de multiplicidade n.Se b2-4ac