APOSTILA CÁLCULO 1 - UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

EAD 2009

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QUÍM

ICA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

LICENCIATURA EM QUÍMICA

CALCULO I

Salvador2009


EAD 2009QU

ÍMIC

AEAD 2009

ELABORAÇÃO

Érica Nogueira Macêdo

DIAGRAMAÇÃO

Nilton Rezende

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte

BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB

MACÊDO, Érica Nogueira.M141 Calculo I – Licenciatura em química. / Érica Nogueira Macêdo. Salvador: UNEB/ EAD, 2009. (Educação e Tecnologias da Informação e Comunicação). 94p.

1.Educação a distância. 2. Calculo 3. Química I. Título II. Curso em licenciatura em química III. Universidade Aberta do Brasil IV. UNEB /NEAD

CDD: 515.15

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PRESIDENTE DA REPÚBLICALuis Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAHélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILDIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES

Celso Costa

COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPESNara Maria Pimentel

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIAGOVERNADORJaques Wagner

VICE-GOVERNADOREdmundo Pereira Santos

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃOOsvaldo Barreto Filho

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEBREITOR

Lourisvaldo Valentim da Silva

VICE-REITORAAmélia Tereza Maraux

PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃOMônica Moreira Torres

COORDENADOR UAB/UNEBSilvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque

DIRETOR DO DEDC – I Antônio Amorim

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEADCOORDENADOR

Arnaud Soares de Lima Junior

VICE-COORDENADOR Silvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR ADMINISTRATIVOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque

COORDENADORA PEDAGÓGICASônia Maria da Conceição Pinto

COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICOKathia Marise Borges Sales

COORDENADOR DE TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃOMarcus Túlio Freitas Pinheiro

COORDENAÇÃO DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICAEmanuel do Rosário Santos Nonato

COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM QUÍMICAMarta Valeria Santana de Andrade

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Prezado estudante,

Este módulo é parte do material didático que dá suporte as suas atividades de auto-estudo e auto-formação no curso de Licenciatura em Química na modalidade à distância.

Cada componente curricular dispõe de um material impresso correspondente, especialmente preparado para este curso, por docentes - pesquisadores, selecionados por sua inserção e produção na área de conteúdo específica.

Além deste módulo, você também dispõe de material em mídia e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).

Procure conhecer e explorar o máximo possível todo o material disponibilizado para o seu curso.

É importante ter consciência que este é um material básico, especialmente preparado para lhe oferecer uma visão essencial ao estudo do conteúdo de cada componente curricular. Portanto, ele não tem o objetivo de ser o único material para pesquisa e estudo. Pelo contrário, durante o decorrer do texto, o próprio módulo sugerirá outras leituras, apontando onde você pode encontrar fontes para aprofundar, verticalizar ou trazer outros olhares sobre a temática abordada.

Observe que, no decorrer deste módulo, os autores abrem caixas de diálogo para que você construa como interlocutor ativo, a sua leitura do texto. Elas aparecem com os ícones e objetivos listados a seguir:

Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;

Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;

Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;

Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.

Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta-ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.

Bom estudo!

Coordenação de Material DidáticoNúcleo de Educação a Distância - NEAD

?? VOCÊ SABIA?

??? ??? SAIBA MAIS

INDICAÇÃO DE LEITURA

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

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APRESENTAÇÃO DO MóDULO

Caros Estudantes!

O cálculo foi desenvolvido a partir de dois ramos importantes da Matemática: a Álgebra e a Geometria. Esse se dedica ao estudo de taxas de variação das grandezas e a acumulação de quantidades. Assim, tem sido utilizado em várias áreas das ciências exatas, como por exemplo, na Física.

Desenvolvido por Isaac Newton(1643-1727) e Gottfried Leibniz(1646-1716), em trabalhos independentes, o Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Houve uma divergência sobre qual dos dois matemáticos teria realmente inventado o Cálculo. Esta controvérsia se deu, pois Leibniz publicou primeiro os seus resultados, despertando assim em Newton a desconfiança de que ele teria roubado seus escritos não publicados. Hoje Leibniz é considerado inventor do Cál-culo junto com Newton, pois Leibniz iniciou seus estudos através do Cálculo Integral e Newton através do Cálculo Diferencial. Foi também Leibniz quem deu o nome Cálculo à nova disciplina criada, nome este utilizado até os dias de hoje; Newton inicialmente a chamara de “A ciência dos fluxos”. Posteriormente o Cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass.

Neste sentido, este módulo apresenta a vocês um estudo sobre o Cálculo Diferencial, destacando seus princi-pais elementos e teorias. Assim, apresentamos inicialmente o conceito de limites. Estes descrevem o valor de uma função em certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Deste ponto de vista, o Cálculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites, que podem ser empregados em fundações rigorosas e, por este motivo, são a abordagem padrão para o cálculo. Em seguida apresentamos o conceito da derivada que nos leva ao estudo do Cálculo Diferencial. O conceito da derivada nos permite, através do processo da “diferenciação”, en-contrar uma nova função a partir de uma função original dada. Este processo surgiu do problema da tangente, ou seja, encontrar retas tangentes a determinadas curvas em certos pontos. Assim surgem as diversas aplicações do Cálculo Diferencial: determinações de retas tangentes, estudo de variação de funções, cálculos de taxas de variação como aceleração e velocidade, otimização de espaços e formas.

O estudante de Cálculo deve ter certo conhecimento em algumas áreas da matemática, como funções, geome-tria e trigonometria, pois são a base de todo seu estudo. Logo, é necessária uma revisão em conceitos estudados anteriormente.

Assim, este material dará subsídios para que vocês aprofundem seus estudos sobre Cálculo Diferencial e, tenho certeza, que conseguirão grandes sucessos. Espero que se dediquem ao estudo deste componente curricular, com empenho e disciplina, buscando autonomia e organizando seu tempo para que consigam superar todos os desafios que esta nova modalidade de ensino lhe proporcionará.

Bons estudos!!!!Érica N. Macêdo

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SUMÁRIO

1. Limites e continuidade 13

1.1 Noção intuitiva 13

1.2 Limites laterais 19

1.3 Propriedades dos limites 22

1.4 Continuidade 25

1.5 Cálculo de limites 28

1.5.1 Fatoração de expressões 29

1.5.2 Racionalização de expressões 31

1.6 Limites no infinito 33

1.7 Limites infinitos 36

1.8 Limites fundamentais 39

1.8.1 Limite trigonométrico fundamental 40

1.8.2 Limite exponencial fundamental 41

2. Derivada 45

2.1 A reta tangente 45

2.2 A derivada de uma função 48

2.3 Continuidade de funções deriváveis 49

2.4 Derivadas laterais 50

2.5 Regras de derivação 51

2.6 Derivada da função composta (Regra da cadeia) 54

2.7 Derivada da função inversa 56

2.8 Derivada das funções elementares 57

2.8.1 Funções Trigonométricas 57

2.8.2 Função exponencial 60

2.8.3 Função logarítmica 61

2.8.4 Funções trigonométricas inversas 62

2.9 Derivadas sucessivas 62

3. Aplicações da Derivada 66

3.1 O diferencial 66

3.2 Velocidade e aceleração 67

3.2.1 Velocidade 67

3.2.2 Aceleração 69

3.3 Taxa de Variação 69

3.4 Regras de L´Hospital 71

3.5 Máximos e mínimos 75

3.6 Funções crescentes e decrescentes 78

3.7 Critérios para determinar os extremos de uma função 80

3.8 Problemas de otimização 83

4. Análise do comportamento de funções 86

4.1 Concavidade e inflexão 86

4.2 Assíntotas 89

4.3 Construção de gráficos 96

REFERÊNCIAS 96

QUÍMICA

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Estamos iniciando mais uma disciplina neste curso de Licenciatura em

Química: O Cálculo Diferencial. Aqui estudaremos sobre o comportamento de

funções em situações bem definidas. Para iniciar nosso estudo,

apresentaremos conceitos intuitivos, que visam melhorar nossa compreensão.

Em seguida, serão fornecidos conceitos formais, para que possamos dar um

caráter científico para este estudo.

Tenho certeza de que a palavra “limite” lhe representa algo. Em nossa

vida cotidiana é comum encontrarmos coisas que façam referências a limites,

como por exemplo:

• O limite de velocidade nesta via é de 80Km/h.

• Você ultrapassou todos os limites!

• Não aguento mais comer: cheguei ao meu limite!

Observe que nas frases descritas acima, a noção de limite refere-se a

uma barreira, uma fronteira em que, às vezes, não podemos ultrapassar. Aqui

estudaremos esta noção levando em consideração aspectos matemáticos.

Para isto, observemos então algumas sequências numéricas.

a) 1 - 1,9 - 1,99 - 1,999 - 1,9999 - 1,99999 - ...

b) ½, 2/3 , ¾ , 4/5 , 5/6 , 7/8 , 8/9, ...

c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

Veja que nas sequências acima temos uma quantidade de termos que

nos permite saber quais são os próximos elementos desta sequência, devido a

uma regularidade na lista dos elementos e, através desta regularidade,

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podemos “prever” quais seriam os números que estariam em posições bem

elevadas desta sequência, ou de quem estes números se aproximam.

Veja que na sequência (a), à medida que temos mais elementos, estes

se aproximam muito do número 2, embora nenhum dos números desta

sequência seja exatamente igual a 2; na sequência (b), temos frações que se

aproximam cada vez mais de 1, embora novamente nenhuma fração desta

sequência seja igual a 1, pois nunca teremos numerador e denominador iguais;

na sequência (c) vemos que os número crescem indefinidamente, não se pode

dizer que estes números vão se aproximar de um determinado valor, pois

crescem indefinidamente à medida que se tem posições mais elevadas; neste

último caso, dizemos que esta sequência tende para o infinito (). Assim,

podemos perceber uma noção intuitiva de limite para estas sequências.

Dizemos que em (a) o limite da sequência é 2; em (b) o limite da sequência é1

e em (c) não temos um valor limite, pois os números crescem indefinidamente.

VOCÊ SABIA?

Muitos matemáticos afirmavam que o “infinito real” é algo que não existe,

havendo apenas um “infinito potencial”, ou seja, a possibilidade de se fazer

com que certas quantidades sejam tão grandes quanto desejarmos. Em

1831, Gauss escreveu: “O infinito é apenas uma figura de linguagem:

uma forma abreviada para a afirmação de que existem limites dos quais

certas relações podem se aproximar tanto quanto nós desejarmos,

desde que permitamos que outras magnitudes cresçam sem qualquer

restrição”. O símbolo foi proposto em 1655 por Wallis.


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Agora que já vimos uma noção de limites de sequências, expandiremos

este conceito para o caso das funções reais. Inicialmente observaremos o

comportamento de uma dada função em alguns pontos do seu domínio.

Seja . Como vocês podem perceber, esta é uma função

polinomial de primeiro grau, cujo domínio é . Vejamos a imagem de alguns

elementos deste domínio:

Veja que nos valores apresentados, quanto mais nos aproximamos de 2

em , os valores de se aproximam de 4. Observe também que neste

caso, a imagem se aproxima de 4 cada vez mais que o domínio se aproxima de

2, independentemente se os valores são maiores ou menores que 2. Veja o

gráfico desta função.

−2 2 4

−2

2

4

x

y


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Podemos dizer então que, quando aproximamos o valor de de 2, o

valor da função se aproxima de 4, mesmo que o valor de não seja

necessariamente igual a 2;assim, quando “ tende a 2”, o valor de “ tende

a 4”. Intuitivamente podemos dizer também que o limite da função , quando

tende a 2 é 4. Veja que não queremos saber o que acontece com a função no

ponto específico , mas sim nos pontos muito próximos de 2.

Definição: Escrevemos e dizemos “ o limite de , quando

tende a , é igual a L” se pudermos tomar os valores de arbitrariamente

próximos de L, tomando suficientemente próximo de (por ambos os lados

de ) mas não igual a .

Assim, no caso acima, podemos escrever:

Esta é uma definição de limite menos formal. Veja agora a definição de

maneira mais formal, tal qual é estudada em Cálculo e Análise Matemática:

Definição: Seja definida num intervalo aberto I, contendo , exceto

possivelmente, no próprio . Dizemos que o limite de quando aproxima-

se de é L e escrevemos se, para todo >0, existe um >0, tal

que sempre que .

x

y

L

a

f


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Vejamos mais alguns exemplos de limites de funções.

Exemplo:

Exemplo:

Espero que você já tenha compreendido a noção de limites quando

temos funções. Acredito que percebeu como é mais fácil verificar o limite de

uma função num determinado ponto, se conhecemos o seu gráfico.

Para reafirmar, o quer vimos até agora, lembre-se sempre que:

−1 1

1

2

x

y

−1 1 2 3 4

−1

1

2

3

x

yNo gráfico ao lado, vemos uma função definida por duas sentenças. Note que a função não está definida no ponto . Isto não impede que calculemos , que neste caso,

vê-se facilmente ser igual a 3, ou seja,

VOCÊ SABIA?

Você pode construir o gráfico de diversas funções usando o software

Winplot. Ele é de fácil manipulação, gratuito e encontra-se disponível em

math.exeter.edu/rparris/winplot.html

Neste caso, temos ,

mas observe que .


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• A definição de limite não exige que o ponto pertença ao domínio de .

Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto não

pertence ao domínio da função.

• Mesmo que , a definição não faz referência ao valor de ; o

limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que

tendem a .

Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você

percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número

real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num

determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um

pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma

função num ponto, este existindo, se torna único.

Proposição: Se e , então .

Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto,

ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter

dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal

de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de

cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade.

Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de

uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos

próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores

que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o

comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que

chamamos de limites laterais.


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• A definição de limite não exige que o ponto pertença ao domínio de .

Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto não

pertence ao domínio da função.

• Mesmo que , a definição não faz referência ao valor de ; o

limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que

tendem a .

Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você

percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número

real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num

determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um

pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma

função num ponto, este existindo, se torna único.

Proposição: Se e , então .

Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto,

ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter

dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal

de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de

cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade.

Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de

uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos

próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores

que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o

comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que

chamamos de limites laterais.

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Definição: Escrevemos e dizemos que o limite esquerdo de

quando x tende a é igual a L se pudermos tornar os valores de próximos

de L, tomando-se suficientemente próximo de , porém menor que .

Analogamente, escrevemos e dizemos que o limite direito de

quando tende a é igual a L se pudermos tornar os valores de próximos

de L, tomando-se suficientemente próximo de , e maior que .

Veja que nos casos anteriores, ao verificarmos o limite de uma função

num determinado ponto , avaliando ambos os lados de , o que estamos

fazendo é apenas calcular os limites laterais. Veja mais um exemplo.

Exemplo:

Exemplo:

−1 1 2 3

−1

1

2

x

y

Veja que, quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, ou seja, quando os valores da função se aproximam de 1; e que, quando nos aproximamos de 1 pela direita, ou seja, quando os valores da função também se aproximam de 1. Logo podemos escrever os limites:

•

•

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

x

yQuando nos aproximamos de 2 pela esquerda, ou seja, quando os valores da função se aproximam de 4; e ao nos aproximamos de 2 pela direita, ou seja, quando os valores da função agora se aproximam de 1. Logo podemos escrever os limites:

•

•


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Neste último exemplo, aconteceu algo bem interessante… Você

percebeu que os limites laterais aqui não coincidiram? O que você pode

concluir sobre isto? Vamos pensar um pouco?

Na definição apresentada, foi chamado à atenção sobre o fato do limite

de uma função num determinado ponto , ser calculado levando em

consideração ambos os lados de ; que agora sabemos são os limites laterais.

Assim, podemos concluir que o limite de uma dada função num ponto só

existe quando os limites laterais coincidem. Caso contrário, ou seja, caso os

limites laterais não coincidam, dizemos que o limite não existe.

Teorema: Se é definida em um intervalo aberto contendo , exceto

possivelmente no ponto , então existe e é igual a L se, e somente se,

ambos os limites laterais e , existirem e forem iguais a L.

Levando em consideração este teorema, podemos agora verificar se o

limite de uma função existe ou não num determinado ponto.

VOCÊ SABIA?

Os teoremas são de grande importância no estudo da matemática. Em

resumo, são afirmações que podem ser provadas, usando para isto,

diversas técnicas como indução finita, redução ao absurdo entre outras.

Uma das principais atividades de um matemático é demonstrar teoremas.


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Observe mais alguns exemplos.

Exemplo: •

•

•

Concluímos dessa forma que existe e temos que .

Veja também que , e que esta informação não influencia na existência

do limite.

Exemplo: •

•

•

Aqui o limite não existe, pois os limites laterais não coincidem.

Exemplo: •

•

−2 −1 1 2−1

1

2

x

y

−1 1 2 3

−1

1

2

3

4

5

x

y

−1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

x

y


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Logo podemos concluir que existe e temos que .

Veja também que , e neste caso o valor da função em coincide

com o valor do limite no mesmo ponto. Isto será de muita utilidade em estudos

posteriores.

Para calcular limite de funções em determinados pontos, basta que se

observe o gráfico da mesma, porém existem algumas funções que possuem

gráficos ou leis muito complicadas. Assim, precisamos estabelecer critérios de

se calcular limite, sem o uso da ferramenta gráfica. Vamos então conhecer as

propriedades dos limites?

A seguir apresentaremos uma série de propriedades que facilitará o

cálculo do limite de funções, principalmente considerando as que não são de

fácil esboço gráfico.

Proposição: Se , e são números reais quaisquer, então

Veja que com esta proposição podemos agora calcular o limite de

qualquer função de 1º grau, num determinado ponto .

Exemplos:

•

•

INDICAÇÃO DE LEITURA:

A demonstração das propriedades a seguir pode ser vista em

http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html


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• •

Viu como é simples calcular limites de uma função de 1º grau? Observe

que esta proposição serve para todo e qualquer tipo de função de primeiro

grau, mesmo as que têm termo independente nulo. E como fica a função

constante? Pense um pouco: qual o valor de ? Veja que aqui podemos

usar a proposição enunciada; estamos diante de um limite que pode ser escrito

da forma , em que temos . Assim podemos concluir que

Proposição: Se e existem, e c é um número real qualquer,

então:

•

•

•

•

, desde que

Estas novas propriedades favorecem o cálculo de limite de diversas

funções reais. Vamos ver a aplicação desta proposição em diversos exemplos?

Tenho certeza de que você vai se divertir resolvendo os mais diversos limites.

Exemplos:

•

•

•


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Com o cálculo destes últimos dois limites podemos enunciar mais uma

proposição, que leva em consideração a potência de funções. Lembre-se que a

potência é uma multiplicação de fatores iguais.

Proposição: Se e é um inteiro positivo, então

Exemplos:

•

•

•

Vejamos mais algumas proposições. Lembre-se que estas proposições

facilitam o cálculo do limite de uma função num determinado ponto, sem a

necessidade da sua representação gráfica, que algumas vezes pode ser bem

trabalhosa.

Proposição: Se e é um inteiro positivo, então:

•

• • •

Exemplos:

•

•


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Percebeu como é simples o cálculo de limite de uma função usando as

proposições acima citadas? Espero que tenha compreendido bem cada uma

delas e que não tenha receio de usá-las para resolver mais e mais limites. Para

isto, deixaremos aqui alguns exemplos que você, com certeza, terá condição

de responder.

Exercícios Propostos: (a) (b)

(c)

Quando definimos , chamamos a atenção de que este resultado

analisa o que acontece com a imagem por , dos pontos próximos de , tanto

pela direita quanto pela esquerda, e que não leva em consideração o valor que

assume em , e nem sequer questiona se está definida ou não em .

Embora não seja necessário o comportamento de no ponto , para se

calcular , podemos fazer um estudo sobre , levando em consideração

este comportamento.

Quando diremos, de acordo com a definição a seguir

que é contínua em .

Definição: Dizemos que uma função é contínua no ponto se as seguintes

condições forem satisfeitas:

• é definida no ponto ;

• existe;

• .


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Veja a seguir, gráfico de funções que não são contínuas em a. Isto

acontece devido a falta de qualquer uma das condições acima. Será que você

consegue identificar nos gráficos abaixo, qual das condições não foi satisfeita?

(a) (b)

(c) (d)

Veja que em (a) a função não está definida em ; em (b) temos

que ; em (c) não existe e em (d) a função não está

definida em . Tenho certeza que com estas representações gráficas, você

conseguiu visualizar o que acontece quando uma das condições acima não é

satisfeita. Nestes casos dizemos que a função é descontínua em .

x

y

a x

y

a

x

y

a x

y

a


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E então, como será que fica o gráfico de uma função real contínua em

todos os pontos do seu domínio? Vamos conhecer graficamente algumas

destas funções?

Veja que estas funções são contínuas, pois para qualquer ponto temos sempre .

Obs.: Quando uma função é contínua em todos os pontos, dizemos

apenas que é contínua. Intuitivamente, dizemos que o gráfico de uma função

contínua pode ser traçado sem levantar o lápis do papel.

Proposição: Se as funções e são contínuas em um ponto , então são

contínuas também em :

•

•

•

• ; desde que Observe que estas propriedades são de fácil verificação; basta aplicar as

propriedades operatórias vistas anteriormente. Veja como fica, por exemplo, a

prova do primeiro item:

Se e são contínuas em , então temos e

; logo

,

x

y

x

y


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que nos mostra a continuidade da função no ponto .

Algumas funções reais elementares que nós conhecemos são contínuas

para todos os números reais. São elas: funções polinomiais, exponenciais e as

funções trigonométricas seno e cosseno.

Exemplo: Investigue a continuidade da função no ponto

Note que aqui temos uma função definida por sentenças, cujos limites laterais

em são definidos por leis distintas. Temos que verificar se . Vejamos:

VOCÊ SABIA?

O volume de uma árvore é estimado indiretamente através do ajustamento

de uma função contínua que descreva a sua forma, solucionada em função

das variáveis diâmetro e altura, e eventualmente por mais uma ou duas

variáveis auxiliares.


Use as propriedades operatórias dos limites estudadas até agora e prove

que se e são funções contínuas, então os demais itens também o são:

•

•

• ; desde que


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21

•

•

Com isto concluímos que o limite existe, pois os limites laterais

coincidem. Resta verificar se coincide com o valor de ; temos então

Assim, a função é contínua em , pois .

Viu como é simples investigar a continuidade em um dado ponto?

Continue aplicando os seus conhecimentos sobre continuidade nos exercícios

a seguir.

Já conhecemos diversas propriedades operatórias de limites e, com

elas, podemos calcular o limite de diversos exemplos de funções em

determinados pontos. Mas há alguns casos que ainda não solucionamos por

completo. Para dar início a este estudo, observe bastante o limite a seguir.


Investigue a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados.

(a) , no ponto .

(b) , no ponto .


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Veja que estamos diante do que chamamos de indeterminação. Não

temos um único valor real que satisfaça à sentença 0/0. Qualquer número real,

vezes zero dá zero. Então? Como resolver tal problema?

Lembre-se que ao calcular o limite de uma função quando tende

para , estamos avaliando o que acontece com a imagem de para pontos

muito próximos de , mas não necessariamente iguais a . Sendo assim,

nestes casos, podemos fazer simplificações, que representem a mesma

função, e que nos dê uma solução para a indeterminação apresentada. No

caso da indeterminação do tipo 0/0, temos duas formas de efetuar

simplificações. São elas a fatoração dos termos, no caso de funções racionais,

e a racionalização de termos, tratando-se das funções irracionais.

Uma função racional, é uma função do tipo , em que e

são polinômios. Quando o limite de uma função racional, num

determinado ponto , recai na indeterminação do tipo 0/0, podemos efetuar a

fatoração do polinômio do numerador e denominador, usando os casos

clássicos, para proceder com simplificações.

Agora que já sabemos o que é fatorar polinômios, vamos resolver alguns

limites usando este processo. Acompanhe:

VOCÊ SABIA?

A fatoração de um polinômio é o processo usado para escrevê-lo como um

produto de polinômios de grau menor. Veja alguns exemplos:

•

•

•


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•

•

•

Bom, acredito que talvez não seja rápido relembrar todos os casos de

fatoração já estudados por você durante sua vida escolar. Para melhorar um

pouco este processo de cálculo de limites por fatoração, podemos usar alguns

resultados válidos para polinômios que nos ajudam com esta fatoração. Como

fatorar é reescrever o polinômio usando um produto de fatores, podemos

então, fatorar polinômios se conhecermos por quem eles podem ser divididos.

Um importante teorema nos ajudará com esta tarefa.

Teorema de D’Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a quando a é

raiz de f(x).

Com o resultado do teorema enunciado, podemos efetuar as fatorações

dos casos em que não lembramos as regras práticas. Veja por exemplo este

limite: . É uma indeterminação do tipo 0/0, e precisamos fatorar o

numerador, que não é um trinômio quadrado perfeito. Como -5 é raiz deste

polinômio, podemos efetuar a sua divisão por (x+5). Veja:

, ou seja,

Logo,

Viu como é simples fatorar os polinômios quando usamos a divisão de

polinômios?


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24

Vejamos mais alguns limites.

•

•

•

Certas vezes a indeterminação 0/0 pode estar em limites de funções

irracionais. Uma função é irracional se é definida por uma expressão literal

irracional.

Neste caso, usaremos a racionalização dos termos; numerador ou

denominador a fim de proceder as simplificações. Racionalizar um termo

consiste em multiplicá-lo por outro termo irracional para que possamos

transformar a expressão em uma sem radicais. Veja um limite com

indeterminação do tipo 0/0, envolvendo função irracional.

SAIBA MAIS:

Para efetuar divisão de polinômios, podemos usar o processo de Briot-

Ruffini. Veja todo o processo em:

http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm

Você Sabia? Uma expressão literal é irracional se alguma variável desta

expressão possui expoente na forma de uma fração própria.


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25

Observe que para racionalizar a expressão que se encontra no

numerador multiplicamos numerador e denominador por . Este fator é

denominado conjugado de ; os conjugados são utilizados para a

racionalização dos termos. Ao multiplicarmos o numerador e denominador de

uma fração por um mesmo termo, estamos encontrando uma fração

equivalente à primeira, ou seja, temos outra fração que representa exatamente

a mesma coisa, mas que foi escrita de maneira diferente.

Exemplos:

•

•

•

Procure agora resolver mais limites com indeterminação do tipo 0/0.

Exercícios: Resolva os limites a seguir.

(a) (b) (c)

(d)


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Quando queremos analisar o comportamento de uma função quando

os valores de crescem, ou decrescem ilimitadamente, estamos querendo

estudar o limite de no infinito. Antes de citarmos os teoremas que norteiam

estes cálculos, observe o gráfico de da função definida por .

Definição: Seja uma função definida em todos os pontos de um intervalo

aberto . Dizemos que se à medida que aumenta

ilimitadamente, os valores de se aproximam de . Dizemos que

se à medida que diminui ilimitadamente, os valores de se

aproximam de .

Sendo assim, baseado no exemplo acima, afirmamos que e

que .

Podemos então saber o que acontece com as funções quando os

valores crescem ou decrescem ilimitadamente. Para tanto, enunciaremos o

próximo teorema.

Teorema: Se é um número inteiro positivo, então:

(i)

x

y Observe que à medida que cresce indefinidamente, ou seja, que a função assume valores cada vez mais próximos de 0; de mesma maneira, quando decresce indefinidamente, ou seja, quando a função assume valores também próximos de 0.


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27

(ii)

Exemplos:

•

•

Agora está na hora de pensar um pouco. O que acontece com o

seguinte limite: ? Veja que ele não está escrito nos moldes do teorema

enunciado. Precisaremos então de alguns artifícios matemáticos para poder

efetuar o cálculo deste limite. Vejamos então a solução deste problema;

Você percebeu que através de artifícios matemáticos pudemos aplicar o

teorema e resolver o limite dado? Tenho certeza que sim. Mas para ficar bem

claro, veja outro exemplo que envolve o limite no infinito.

Agora tenho certeza de que você entendeu bem como usar o artifício do

fator comum para resolver os limites no infinito. Lembre-se que, nestes casos,

usamos o fator que possui o maior expoente, para poder simplificar melhor as

expressões.

Podemos fazer algumas operações envolvendo o infinito, e dentre estas

operações, algumas são consideradas indeterminações. Veja como efetuar tais

operações:

•

•


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•

•

• (indeterminação)

•

•

•

• • (indeterminação)


Agora podemos calcular mais limites no infinito. Veja só como são

rápidos e fáceis de fazer:

•

•


Neste último caso, podemos novamente usar a técnica do fator comum em

evidência. Veja como solucionar esta indeterminação:

Enunciaremos agora uma propriedade bastante importante para o

cálculo de limites no infinito, quando trabalhamos com funções racionais.

Propriedade: Se e , então

.

Com esta propriedade podemos calcular limites no infinito de funções

racionais de maneira mais rápida e prática. Vamos ver?

•

•


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29

•

Para começar a estudar os limites infinitos, vamos investigar o

comportamento da função dada pela seguinte expressão: . Veja

a seguir sua representação gráfica, e alguns valores para quando temos

.

Note que ao analisarmos o comportamento de quando tanto

pela direita quanto pela esquerda, as imagens da função crescem

ilimitadamente. Neste caso dizemos que a função vai para o infinito ()

quando . De maneira geral podemos escrever . Da mesma

maneira que feito anteriormente, vamos estabelecer normas para se determinar

limites infinitos, sem a necessidade da visualização gráfica, e também sem a

necessidade de se atribuir valores para ter uma visão empírica do que

acontece.

Teorema: Se é um inteiro positivo qualquer, então:

(i)

(ii)

Usando o teorema acima podemos calcular os seguintes limites:

x

y

2

→

→


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•

•

•

•

Que tal você utilizar o software Winplot para visualizar o gráfico das

funções aqui apresentadas? Tenho certeza que você entenderá melhor estes

limites.

Veja que com estes exemplos, apenas as funções que tem expoente par

no denominador possuem limite, pois nesta situação os laterais coincidem. Já

quando o expoente é ímpar, os limites laterais não coincidem. Perceba também

que este limite nos leva a uma operação do tipo , em que é um número real

não nulo. Esta operação é impossível de ser feita, pois não há número real que

vezes zero dê .

Nos casos em que há esta impossibilidade de resposta, usaremos os

limites infinitos; mas às vezes não conseguimos arrumar a expressão de

maneira fácil, para aplicar o teorema citado. Assim, para resolver este tipo de

limite, estudaremos o sinal da função e avaliaremos a vizinhança (á direita e à

esquerda) do ponto em questão.

Exemplo: Calcular .

Veja que este limite nos leva a seguinte operação: . Estamos diante

então, de um limite do tipo . Vamos estudar o sinal da função. Veja que

é uma função quociente. Podemos então estudar o sinal de cada um

dos seus membros e em seguida proceder com a divisão de sinais.

f: 2x

g: x-1

f/g

- + +

+

+ +

- -

-

0

1

10

Note que ao estudar o sinal da função

, na vizinhança de 1, temos

sinal negativo à esquerda e sinal positivo à direita. Com isto concluímos

que , e

daí temos que não existe. Veja

abaixo o seu gráfico completo.


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Exemplo: Determinar

Note que estamos diante de uma impossibilidade de contas; temos

. Vamos então estudar o sinal da função.

Iniciaremos agora um estudo mais específico sobre indeterminações. É

um estudo que envolverá limites específicos, denominados limites

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−9

−6

−3

3

6

9

x

y

Analisando o quadro de sinais,

percebemos que . Portanto o limite

existe e é Veja abaixo o gráfico completo da função.

y

5

f

g

f/g

-5

-5

-5

5

5

5

-

-

+ +

+ + +

+ +


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fundamentais. São indeterminações do tipo e , envolvendo funções

trigonométricas e exponenciais.

Os limites fundamentais desempenham um papel importante no Cálculo.

São utilizados para resolver indeterminações, as quais manipulações

aritméticas não são suficientes para sua solução. Antes de enunciar tais limites,

vamos conhecer uma proposição que nos ajuda com a demonstração prova de

um deles.

Proposição (Teorema do confronto): Se para todo em um

intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em , e se

então, .

Esta proposição nos mostra que ao confrontarmos uma função, com

duas outras, que na vizinhança de um determinado , possuam o mesmo

limite , então a função confrontada também terá limite , quando . Veja

um exemplo.

Exemplo: Determinar . Da trigonometria sabemos que ; podemos multiplicar todos os

termos desta inequação por teremos , ou seja,

. Aplicando o limite em todos os termos teremos:


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Assim, .

Para iniciar, considere o ciclo trigonométrico abaixo. Tomaremos como

medida em radianos do arco AOM, com contido no intervalo

Em trigonometria, sabemos que . Dividindo esta

expressão por e lembrando que , teremos ;

calculando o inverso desta desigualdade, teremos Aplicando o

limite em todos os termos da desigualdade temos que ,

; e como , chegamos a . Finalmente, através

do teorema do confronto temos o seguinte resultado:

Este é o limite trigonométrico fundamental. Podemos agora usar este resultado

para resolver diversos limites, com indeterminações e que envolvam funções

trigonométricas.

Exemplos:

•

0 M' A

M T


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34

•

•

Este limite trigonométrico resolve muitos problemas não é? Espero que

tenha percebido quantas identidades trigonométricas foram usadas aqui. Não

se esqueça de revisar sobre as funções trigonométricas.

Considere a função definida em , e avalie o que

acontece quando Para isto veja a tabela de valores abaixo.

SAIBA MAIS:

As funções trigonométricas desempenham um papel importante no estudo

do cálculo diferencial e integral. É importante que você tenha conhecimento

sobre suas propriedades, além de saber como elas se relacionam entre si.

Para rever quais são as principais identidades trigonométricas visite

http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html .


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Observe que à medida que aumentamos o valor de , as imagens

da função se aproximam cada vez mais de um número que está entre 2 e 3.

Esse número é irracional e foi chamado de número , em homenagem ao

matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).

Temos então o segundo limite fundamental:

Veja o gráfico desta função:

Usando o resultado do segundo limite fundamental, podemos resolver

outros limites interessantes. O limite também resulta em , e pode

x

y

e


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ser encontrado através de uma mudança de variável no segundo limite

fundamental. Vamos ver como isto ocorreu?

Em , podemos usar a seguinte igualdade ; sendo assim,

teremos e quando , teremos Assim .

As mudanças de variáveis são muito úteis na solução deste tipo de

limite. Vejamos alguns casos. Tente verificar qual a substituição que foi usada.

•

• •

Proposição:

Esta proposição nos mostra o terceiro limite fundamental. É útil também

nos cálculos de limite. Em particular, se temos , o limite fica da seguinte

forma: .

Veja como aplicar este limite fundamental em alguns exemplos:

VOCÊ SABIA?

O número foi encontrado a partir de uma série numérica. Uma série

numérica é uma soma infinita de termos. No caso, temos a seguinte

igualdade:


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•

•

Neste capítulo, estudamos sobre os limites e suas indeterminações.

Agora avançaremos mais no estudo do Cálculo. Conheceremos um limite

especial, chamado derivada, e suas propriedades e aplicações. Vamos

continuar nesta viagem?


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Iniciaremos agora um estudo relacionado a um limite mais específico.

Definiremos situações e estudaremos propriedades que desencadearão em

aplicações relacionadas com diversas áreas do conhecimento: matemática,

física, química, etc.

Conheça agora uma aplicação de limite num contexto geométrico: a reta

tangente.

As ideias que serão apresentadas aqui foram inicialmente usadas no

século XVIII por Newton e Leibniz. Consideraremos uma curva dada por

, definida num intervalo , e por dois pontos distintos P e Q desta

curva, traçaremos uma reta secante s.

A reta s , que passa por P e Q é secante à curva, e considerando o triângulo

PQM, na figura acima, a inclinação da reta s é dada por:

x

y

M

P

Q


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Se mantivermos o ponto P fixo e deslocarmos o ponto Q, sobre a curva, em

direção a P, a inclinação da reta secante variará. À medida que Q vai se

aproximando de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo a

um valor limite constante. Este limite é chamado de inclinação da reta tangente

à curva no ponto P.

Definição: Dada uma curva , seja um ponto sobre ela. A

inclinação da reta tangente à curva no ponto é dada por :

Quando o limite existe.

Fazendo podemos reescrever o limite na forma

Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos

encontrar a equação da reta tangente à curva em P.

Equação da reta tangente: Se a função é contínua em , então a reta tangente

à curva em é:

x

y

PQ


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(i) A reta que passa pelo ponto P tendo a inclinação se este limite existe. Neste caso,

temos a equação (ii) A reta se

for infinito.

Exemplo: Encontre a inclinação da reta tangente à curva no

ponto Se , então, ; e

Veja que a inclinação m é dada por:

Podemos encontrar então a equação da reta tangente a esta curva no ponto

dado. Temos que .

−2 −1 1 2 3 4

−2

2

4

6

8

x

y


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Definição: A derivada de uma função no ponto , denotada por , é

definida pelo limite , quando este limite existe.

Lembre-se que vimos anteriormente que este limite nos dá a inclinação

da reta tangente à curva no ponto P de abcissa .

Definição: A derivada de uma função , é a função denotada por ,

tal que seu valor em qualquer é dada por

, quando este limite existe.

Quando existe a derivada em todos os pontos do domínio da função ,

dizemos apenas que é uma função derivável. Veja alguns exemplos de função

derivada.

Exemplos: Encontre a função derivada em cada um dois casos a seguir.

(a)

VOCÊ SABIA?

O problema de como se determinar uma reta tangente foi uma a questão matemática dominante no início do século XVII, e é difícil estimar quanto os cientistas da época desejavam saber a resposta. Em ótica, a tangente determinava o ângulo no qual o raio de luz penetraria numa lente curva. Em mecânica, a tangente determinava a direção do movimento de um corpo em qualquer ponto ao longo de seu percurso. Em geometria, as retas tangentes a duas curvas num ponto de intersecção determinam o ângulo em que as curvas se cortam. René Descartes chegou a dizer que o problema de achar a tangente a uma curva era “o problema mais útil e mais geral não somente que eu conheço, mas também que eu desejo saber”.


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(b)

Espero que tenha compreendido como calcular a função derivada de

uma função dada. Os exemplos apresentados foram calculados usando a

definição de derivada. Posteriormente serão apresentadas ferramentas que

facilitam o cálculo desta derivada. Por agora, vejamos alguns aspectos

importantes decorrente das definições aqui estudadas.

De acordo com o que se foi estudado, podemos afirmar que a existência

do limite de uma função num determinado ponto , não depende de a função

estar definida em nem tampouco da função ser contínua em . A

continuidade de uma função em um determinado , também não garante a


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existência de . Mas, por outro lado, se existe , podemos garantir

que a função é contínua em Veja o teorema a seguir.

Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua nesse ponto.

Como a derivada é um limite, é necessário se verificar as condições

necessárias para a existência de tal limite. A noção de derivadas laterais é bem

pertinente na medida em que definimos limites laterais para o estudo dos

limites.

Definição: Se a função está definida em , então a derivada à direita

de em , denotada por é definida por:

Caso este limite exista.

Definição: Se a função está definida em , então a derivada à

esquerda de em , denotada por é definida por:

SUGESTÃO DE LEITURA

Você pode ver a demonstração deste teorema em livros de Cálculo que

estão disponíveis na biblioteca de sua universidade. Como sugestão indico

o livro:

FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.


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Caso este limite exista.

Uma função é derivável em , quando as derivadas à direita e à

esquerda existem e são iguais.

Conheceremos agora várias regras de derivação. Estas regras nos

permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição. Tenho

certeza que está ansioso para aplicar tais regras, e por consequência, ver os

seus cálculos facilitados.

Proposição (Derivada da constante): Se é uma constante e para

todo , então Prova: Seja . Então,

Viu como foi simples? Usamos a definição para a demonstração e agora

já sabemos que a derivada da função constante é igual a zero. Podemos usar

este resultado, e não há necessidade de usar a definição quando quisermos

derivar a função constante. Vejamos outras propriedades que continuarão

ajudando no cálculo das derivadas.

Proposição (Regra da potência): Se é um número inteiro e positivo e , então .

SUGESTÃO DE ATIVIDADE:

Tente demonstrar a proposição acima usando a definição de derivada. Você

precisará da expressão conhecida como binômio de Newton. Bom trabalho.


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Esta regra da potência é realmente muito útil. Veja alguns exemplos e

note como fica simples calcular as derivadas.

Exemplos

• Se , então .

• Se , então .

• Se , então .

Obs.: Esta proposição é verdadeira se é um número real qualquer. Assim,

estendemos mais ainda a aplicabilidade desta proposição.

Exemplos

• Se , então

• Se , então

Proposição: Se e duas funções deriváveis, e c uma constante. Então são

deriváveis e, além disto:

(i)

(ii)

(iii)

(iv) , desde

Tenho certeza de que agora, com estas regras, o processo de derivar

funções ficará muito mais prático. Poderemos então, derivar as mais diversas

funções. Veja só.

Exemplos: Encontre a função derivada das funções reais abaixo:

a.


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b.

c.

d.

Você percebeu quantas operações fomos capazes de fazer? Estas

propriedades operatórias da derivação são muito úteis e facilitam o cálculo das

derivadas de diversas funções. Posteriormente, estudaremos as derivadas das


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funções elementares, como as funções trigonométricas, exponenciais,

logarítmicas entre outras.

Para finalizar as regras de derivação, conheça uma das ferramentas

mais importantes no cálculo de derivadas: a derivação de funções compostas,

também conhecida como regra da cadeia.

Considere duas funções deriváveis e , em que e .

Para todo tal que está no domínio de , podemos escrever , isto é, podemos considerar a função composta .

Veja como se construir algumas funções compostas.

Exemplos:

• Sejam e ; temos então

• Sejam e ; temos então Para encontrar a derivada de tais funções compostas, utilizaremos a

regra que se chama regra da cadeia. Ela nos dá a derivada da função em termos das derivadas de e .

Proposição (Regra da cadeia): Se e e as derivadas e existem, então a função composta tem derivada e é igual a:

Para encontrar a derivada de uma função composta, através da regra da

cadeia, basta conhecer as derivadas das funções que formam a composição.

Vamos então ver como aplicar tal proposição?


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Exemplos: Encontre a função derivada das seguintes funções compostas.

a.

Veja que esta função é a composição de com . Assim,

pela regra da cadeia temos a seguinte derivada:

Percebeu que aqui é mais prático aplicar a regra da cadeia? Se fossemos

desenvolver a potência , encontraríamos o mesmo resultado, porém

teríamos muitos mais cálculos a fazer e a possibilidade de cometer erros de

conta seria bem maior.

b.

Aqui temos a composição de e de .

Logo, pela regra da cadeia, sua derivada é:

Espero que tenha compreendido bem esta última proposição estudada.

Trabalharemos muito com funções compostas, e por isto, a regra da cadeia é

uma ferramenta muito importante. Estude bastante, para que não haja dúvidas

de como proceder com os cálculos. Para isto, deixaremos aqui algumas

atividades propostas, com o objetivo de lhe oferecer mais material para estudo.


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057UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 49

A função inversa de uma função , é uma função , de tal forma

que o domínio de é a imagem de e a imagem de é o domínio de . Nem

todas as funções possuem função inversa. Quando uma função possui

inversa, podemos determinar sua derivada através do teorema a seguir.

Teorema: Seja uma função definida em um intervalo aberto .

Suponhamos que admita uma função inversa contínua. Se

existe e é diferente de zero para qualquer , então é derivável

e vale:

Exemplos:


Encontre a função derivada das funções abaixo. (use as regras de

derivação convenientes).

a.

b.

c.

d.

e.


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• Seja . A sua inversa é dada por .

Podemos ver que as derivadas, e são inversas uma

da outra.

• Seja . Sua inversa é . Como e é maior que

zero para todo , temos,

.

Agora que já conhecemos diversas regras de derivação, podemos

começar a conhecer as derivadas das funções elementares, tais como as

trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc. Para tanto, será necessário

que você tenha conhecimento de algumas características destas funções. Na

medida do possível, estaremos lhe relembrando algumas destas

características.

• Se , então .

Veja que

INDICAÇÃO DE SITE

A base do cálculo diferencial e integral é o estudo das funções. Algumas

funções são consideradas elementares. Para rever tais funções visite:

http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.ppt


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• Se , então .

Veja que

• Se , então .

Veja que ; podemos então usar a derivada do quociente de

duas funções, já que conhecemos a derivada da função seno e da função

cosseno. Acompanhe:


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• Se , então .

Temos que ; usaremos também, portanto, a regra da

derivada do quociente de duas funções. Veja que:

• Se , então Neste caso temos ; aqui usaremos a regra da

cadeia, para poder encontrar a derivada da função secante. Observe:

• Se , então Neste caso temos ; aqui também usaremos a

regra da cadeia, para poder encontrar a derivada da função cossecante.

Observe novamente:

Nossa! Encontramos todas as derivadas das funções trigonométricas!

Veja que usamos a definição apenas para as funções seno e cosseno. Todas

as demais funções trigonométricas se escrevem em função de seno e cosseno,


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e assim foi possível utilizar as regras de derivação já citadas anteriormente.

Veja agora a derivada de algumas funções que envolvem funções

trigonométricas.

Exemplos: Calcular a derivada das funções abaixo.

•

Temos

•

Temos

•

Temos

• Se , então , onde e .

Note que

.


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Caso Particular: Se , então

Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo:

• Temos .

•

Temos

• Se , então , onde e .

Aqui, precisamos relembrar que a função logarítmica é a função inversa

da função exponencial. Assim, podemos encontrar a sua derivada usando a

derivada da função inversa. Vejamos como fica esta derivada!

Temos: e, portanto, pela definição de logaritmo. Usando a

derivada da função inversa temos:

Caso particular: Se então .

Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo:

•

Temos:

•


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Temos:

.

As funções trigonométricas inversas desempenham um papel importante

no cálculo diferencial e integral. Aqui apresentaremos suas derivadas, através

da derivada da função inversa.

• Se , então .

Veja que se , então Logo,

Desta mesma maneira, podemos ter todas as derivadas das demais

funções trigonométricas inversas. Veja a seguir:

SAIBA MAIS

As funções trigonométricas inversas são muito utilizadas na geometria, nas

transformações de coordenadas, etc. Como toda função inversa, estas

foram obtidas através das funções trigonométricas, onde houve a inversão

do domínio e imagem. Para conhecer melhor as funções trigonométricas

inversas visite:

http://www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf


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• Se , então .

• Se , então .

Exemplos: Encontre a derivada das funções abaixo:

•

Temos

•

Temos

Enfim, conhecemos as derivadas de diversas funções reais. Agora

chegou a sua vez de praticar, e calcular a derivada de muitas funções reais,

usando as derivadas já conhecidas e as regras de derivação estudadas.

Consulte seu tutor e peça sugestões de atividades.

Se é uma função derivável, a sua derivada é também uma função,

definida no mesmo intervalo que . Podemos portanto pensar na derivada da

função . Definição: Seja uma função derivável. Se também for derivável, então sua

derivada é chamada derivada segunda de e é representada por .

Exemplos:

• Se , então


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• Se , então

Se é uma função derivável, sua derivada, representada por , é

chamada derivada terceira de .

A derivada de ordem ou -ésima derivada de , representada por

, é obtida derivando-se a derivada de ordem de .

Exemplo:

• Se então

Bom, chegamos ao fim de mais uma etapa do nosso estudo. Neste

capítulo estudamos sobre um limite especial: a derivada. Aprendemos como

calcular a derivada de funções reais, usando a definição de derivada e as

regras de derivação, que facilitaram bastante o nosso trabalho. Em seguida,

verificaremos para que serve tantas derivadas; estudaremos então suas

aplicações. Continue conosco nesta viagem do cálculo diferencial e integral.


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Introduziremos agora um estudo sobre as aplicações da derivada. Aqui

veremos que diversas áreas do conhecimento têm problemas que podem ser

resolvidos utilizando a derivada como uma taxa de variação. Em química,

podemos encontrar a derivada nos cálculos de como avaliar quando a

concentração de um remédio na corrente sanguínea é máxima, por exemplo.

Veremos agora como avaliar variações de uma função. Em outras

palavras, qual a variação que uma função tem se variarmos os valores de ?

Para isto, definiremos a seguir, acréscimo de e diferencial de .

Definição: Seja uma função. Podemos sempre considerar uma

variação da variável independente . Se varia de a , definimos o

acréscimo de , denotado por , como Esta variação de gera uma correspondente variação de , denotada

por , dada por , ou de maneira equivalente, .


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Definição: Sejam uma função derivável e um acréscimo de .

Definimos:

(i) a diferencial da variável independente , denotada por , como

(ii) a diferencial da variável dependente , denotada por , como

Veja que podemos reescrever a igualdade como

, o que nos leva a entender a derivada como um quociente entre

duas diferenciais.

Atenção: Não confunda com . Em temos a variação da função

gerada pelo acréscimo de ; já em temos o diferencial de , que é dado por

. Para acréscimos de muito pequenos, estes dois valores se

confundem, mas em princípios são diferentes.

Exemplos:

• Se , calcule o acréscimo para e .

Usando a definição temos que ; assim:

• Se , calcule e para e .

Lembre-se que temos sempre . Note neste exemplo que , ou seja, e possuem valores próximos, mas distintos. Caso

usássemos um menor, esta diferença seria ainda menor.


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Velocidade e aceleração são conceitos conhecidos par todos nós há

bastante tempo. Quando dirigimos um carro, podemos avaliar qual a distância

percorrida num certo tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a

velocidade. Se pisarmos no freio ou acelerador, percebemos que a velocidade

muda. Neste caso estamos percebendo a aceleração do veículo. Podemos

calcular velocidade e aceleração através das derivadas.

Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que

represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante . Então, no intervalo

entre e , o corpo sofre um deslocamento . Neste caso,

a velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é dada por , isto

é, a velocidade média é a razão entre o espaço percorrido, e o tempo gasto

VOCÊ SABIA?

A equação do Primeiro Princípio da Termodinâmica na forma integrada é:

U = Q – W onde se mostra claramente que U, a energia interna do sistema é

uma propriedade termodinâmica de estado (função de ponto), enquanto que

Q e W, respectivamente, o calor e o trabalho, são propriedades da

transformação (funções de linha). Para os processos em que W = 0, tem-se:

U = Q e, nestes casos, o calor assume características de função de ponto,

pois se identifica com a variação de uma função de ponto. Interpretação

análoga pode ser dada para o caso das transformações adiabáticas (Q = 0),

para as quais se tem: U = - W e, nestas condições, é o trabalho que

assume características de função de ponto.


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para isto. Agora estamos querendo saber, qual a velocidade instantânea do

corpo no exato momento t. Faremos então este intervalo de tempo se

aproximar de zero. Assim teremos a seguinte expressão:

Portanto para calcular a velocidade de um corpo, basta conhecer a

derivada da função que representa a sua posição em relação ao tempo.

Exemplo: No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua

posição no instante é dada por . Determine a velocidade do

corpo no instante Aqui, basta calcularmos a derivada da função no instante . Vejamos:

;

Logo, o corpo possui unidades de velocidade, no instante .

O conceito de aceleração é construído de maneira bem semelhante ao

de velocidade. Entendemos por aceleração, a variação da velocidade de um

corpo, num determinado espaço de tempo. Assim, a aceleração média para um

corpo com equação de velocidade , no intervalo de tempo de até é :

Para saber a aceleração instantânea do corpo, no exato instante , basta

fazer este intervalo de tempo se aproximar de zero. Assim, a aceleração

instantânea, no tempo é:

Portanto para calcular a aceleração de um corpo, basta conhecer a

derivada da função que representa a sua velocidade em relação ao tempo.


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Veja que a aceleração é a segunda derivada da função que representa a

posição do corpo. Com a primeira derivada encontramos a velocidade, e com a

segunda a aceleração.

Exemplo: No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua

posição no instante é dada por . Determine a aceleração do

corpo no instante Aqui, basta calcularmos a segunda derivada da função no instante . Vejamos:

; .

Logo, o corpo possui unidades de aceleração, no instante .

Nas secções anteriores vimos que, quando um corpo se move em linha

reta, de acordo com a equação do movimento , podemos determinar

sua velocidade e aceleração instantânea através das derivadas. Veja que a

velocidade é a variação do espaço em função do tempo, e que a aceleração é

a variação da velocidade em função do tempo. Neste caso, estamos então

calculando variações através de derivadas. Toda derivada pode ser

interpretada como uma taxa de variação.

VOCÊ SABIA?

A maneira mais usual de se medir a velocidade de uma reação química é a

relação entre a concentração de um dos reagentes do meio reacional e o

tempo, ou seja, . A velocidade de reação normalmente é

representada pela letra r (do inglês rate), e assim a forma realmente usual

será então a seguinte:


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63

Dada uma função , quando a variável independente , varia de

a , a variável dependente tem uma variação correspondente igual a

. A derivada representa a

taxa instantânea de variação, ou simplesmente taxa de variação de em

relação a .

A interpretação da derivada como uma taxa de variação tem aplicação

nas diversas áreas do conhecimento. Vejamos algumas destas aplicações.

Exemplos:

(a) Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante . Após

horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

, .

Qual a velocidade da redução da sua temperatura após 2 horas?

Solução: Veja que precisamos aqui, calcular a velocidade da baixa de

temperatura no instante . Para tanto, basta calcular quem é . Assim,

Logo, a velocidade de redução de temperatura após duas horas é de

.

(b) A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão em

e volume em estão relacionados pela igualdade ,

em que é constante. Ache a razão do volume em relação à pressão

quando esta vale .

Solução: veja que podemos escrever a equação no formato , e

temos o volume em função da pressão. Como queremos a razão do volume

quando , então vamos calcular . Teremos então , e portanto, Logo, a razão de variação do

volume é de , constante.


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(c) Um tanque contém inicialmente litros de água. Abre-se uma torneira

e esta despeja litros de água por minuto dentro deste tanque. Qual o

volume de água no tanque após minutos? Qual a taxa de variação do

volume V em relação ao tempo ?

Solução: Veja que aqui, podemos escrever uma equação para representar o

volume do tanque após ter se passado minutos. Se a cada minuto ele ganha

5 litros, então seu volume total ao passar do tempo será . Logo,

seu volume após minutos será . A taxa

de variação do volume será .

(d) Um líquido goteja em um recipiente. Após horas, há litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em , quando ?

Solução: Veja que o volume de líquido no recipiente é de . A taxa

de gotejamento será de ; em horas teremos . Logo, a taxa de

gotejamento de líquido quando horas é de .

Viu quantas aplicações práticas fizemos com o uso da derivada como

taxa de variação? Tenho certeza que ao longo do seu curso de Licenciatura em

Química, você verá aplicações como estas, e saberá a importância do estudo

do Cálculo Diferencial e Integral.

Conheceremos agora, um método para solucionar limites que

apresentam indeterminações do tipo e

. Este método é chamado de regra de

L’Hospital, e é muito utilizado no cálculo de limites com tais indeterminações.


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ICA


Proposição (Regra de L’Hospital): Sejam e funções deriváveis num

intervalo aberto , exceto, possivelmente, em um ponto . Suponhamos que

para todo em .

(i) Se e , então

.

(ii) Se e , então

.

Veja que agora temos mais uma forma de resolver limites com

indeterminações do tipo e

. Esta nova regra facilitará bastante os nossos

cálculos. Acompanhe os exemplos a seguir, que serão resolvidos com a ajuda

da regra de L’Hospital.

Exemplos: Calcular os limites a seguir.

(a)

Veja que aqui temos uma indeterminação, pois Neste

caso, podemos aplicar a regra de L’Hospital, e teremos:

VOCÊ SABIA?

O marquês G.F.A. de L’Hospital era um matemático amador, e publicou esta

regra em sua obra Analyse des infiniment petits (paris, 1696), após ter

contratado os serviços de Johann Bernoulli como seu tutor. Anos depois de

sua morte Johann Bernoulli reivindicou a autoria de boa parte do livro

publicado, mas ficou claro que fora estabelecido um trato entre o marquês e

o antigo tutor, no qual L’Hospital oferecia uma pensão de 300 libras pelo

silêncio e pela dedicação aos escritos enviados.


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.

Viu como ficou bem mais simples resolver este limite? Tenho certeza que você

fará uso desta regra com frequência.

(b)

Temos neste caso, ; aplicando a regra de

L’Hospital, encontraremos

(c)

Olha quem veio nos visitar aqui… o limite trigonométrico fundamental. Neste

limite temos uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital

temos

. Veja que aqui conseguimos calcular

o limite sem a necessidade das propriedades da trigonometria usadas

anteriormente.

(d)

Novamente uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital

temos

.

(e)

Temos aqui uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital

temos

. Recaímos num limite que continua

com indeterminação do tipo assim, podemos aplicar novamente a regra de

L’Hospital. Portanto,


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(f)

Aqui, temos indeterminação do tipo infinito sobre infinito. Podemos então

aplicar a regra de L’Hospital e então teremos:

As regras de L’Hospital são realmente muito úteis no cálculo de limites

com indeterminação do tipo ou

. Veja que em alguns casos, precisamos

aplicá-la mais de uma vez. Chegou a hora de você testar um pouco os seus

conhecimentos sobre o assunto.


Resolva os limites a seguir usando a regra de L’Hospital

(a)

(b)

(c)


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Observe o gráfico a seguir:

Veja que destacamos os pontos de abscissas e ; nestas

abscissas, temos imagens que localmente assumem valores mais elevados e

imagens que localmente assumem valores mais baixos. No gráfico

apresentado, a imagem de possui um valor mais elevado, localmente, e as

imagens de e , possuem valores mais baixos. Estes pontos são

chamados de pontos extremos de uma função. Os valores das imagens são

chamados de máximos ou mínimos relativos. No gráfico apresentado, é

um máximo relativo e , e são mínimos relativos. Podemos

então formalizar estas definições.

Definição: Uma função tem um máximo relativo em , se existir um intervalo

aberto , contendo , tal que para todo .

Definição: Uma função tem um mínimo relativo em , se existir um intervalo

aberto , contendo , tal que para todo .

x

y

x1 x2 x3 x4


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Veja a seguir um exemplo em que fica clara esta noção de máximo e

mínimo relativo. Para isto analisaremos, através de uma ferramenta gráfica, o

gráfico da função em questão. Mais adiante veremos como encontrar estes

máximos e mínimos relativos usando derivadas.

Exemplo: Analise o gráfico da função

Esta função tem um máximo relativo em , pois para todo

. Também possui mínimos relativos em e , pois

existe o intervalo em que e para

todo neste intervalo.

Os pontos onde ocorrem valores máximos ou mínimos de uma função

são chamados de pontos extremos. Até então, usamos apenas o gráfico das

funções para avaliar a existência de pontos extremos, o que de fato, é uma

ferramenta muito importante. Mas para encontrar de maneira mais precisa os

pontos extremos de uma função, usaremos a seguinte proposição:

Proposição: Suponhamos que existe para todos os valores de e

que tem um extremo relativo em , onde . Se existe, então

.

−2 −1 1 2

−3

−2

−1

1

2

x

y

A B

C


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De acordo com a proposição, veja que no exemplo anterior, temos

, e que , onde e

Esta proposição garante que, se o extremo existe, então a derivada da

função neste ponto é zero; mas não garante que, quando a derivada num ponto

é zero, que este ponto seja um extremo. Veja um exemplo em que a derivada

da função num determinado ponto é zero, mas o ponto não representa nem

um máximo, nem um mínimo relativo.

Exemplo:

Definição: O ponto tal que ou não existe, é chamado

ponto crítico de .

Neste caso, temos uma condição necessária para que tenhamos um

extremo relativo em um ponto ; este ponto precisa ser um ponto crítico. Para

encontrar um ponto crítico, basta verificar em que ponto a derivada da função é

zero ou não exista.

Lembre-se: a derivada de uma função não existe num determinado ponto,

quando as derivadas laterais não coincidem.

É interessante também perceber que uma função, num determinado

intervalo, pode assumir vários valores extremos relativos. O maior valor da

−1 1 2

−2

−1

1

2

x

yVeja que em temos ; mas este ponto não representa um máximo nem um mínimo relativo.


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função num intervalo é chamado máximo absoluto da função nesse intervalo.

Analogamente, o menor valor é chamado mínimo absoluto.

Veja por exemplo a função ; esta função possui um valor mínimo

absoluto em . Neste caso é o menor valor que assume em todo o

seu domínio.

Definição: Dizemos que é o máximo absoluto da função , se e para todos os valores de no domínio de .

Definição: Dizemos que é o mínimo absoluto da função , se e para todos os valores de no domínio de .

Definição: Dizemos que uma função , definida num intervalo , é crescente

neste intervalo se para quaisquer , , temos .

−2 −1 1 2

−3

−2

−1

1x

y

x

y


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Definição: Dizemos que uma função , definida num intervalo , é decrescente

neste intervalo se para quaisquer , , temos .

Podemos verificar quais intervalos uma função derivável é crescente ou

decrescente. Para tanto, basta estudar o sinal da função que representa a sua

primeira derivada. A proposição seguinte formalizará este processo.

Proposição: Seja uma função contínua num intervalo e derivável no

intervalo .

(i) Se para todo , então é crescente em . (ii) Se para todo , então é decrescente em .

Exemplos: Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das

funções abaixo:

(a)

Para determinar os intervalos onde esta função cresce ou decresce, vamos

estudar o sinal da função que representa sua primeira derivada. Neste caso

como temos uma função do 2º grau, sua derivada é uma função de 1º grau, e

por se tratar de uma função elementar, conseguiremos estudar seu sinal.

Acompanhe: temos , e .

O seu esboço gráfico é:

x

y

- +

5/2


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Assim, podemos concluir que a função é crescente para os

valores em que e decrescente para os valores em que .

(b)

Neste caso temos , o que nos leva a .

Estudando o sinal da primeira derivada temos:

Assim, podemos concluir que a função é totalmente crescente, ou seja, é

crescente para todos os valores do seu domínio.

Através destes intervalos de crescimento e decrescimento, podemos

encontrar os extremos de uma função. Já sabemos como encontrar os pontos

críticos, e através do estudo destes intervalos de crescimento e decrescimento,

podemos classificá-los em pontos de máximo ou mínimo.

Os teoremas que serão aqui apresentados têm por objetivo estabelecer

critérios para determinar os extremos de uma função.

Teorema (critério da primeira derivada): Seja uma função contínua num

intervalo fechado que possui derivada em todo ponto do intervalo

exceto, possivelmente, num ponto .

(i) Se para todo e para todo , então

tem um máximo relativo em .

+ +

0


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(ii) Se para todo e para todo , então

tem um mínimo relativo em .

Prova: (i) Se para todo e para todo , então

temos que é crescente para e decrescente para . Portanto

para todo em e assim, tem um máximo relativo em .

(ii) Se para todo e para todo , então temos que

é decrescente para e crescente para . Portanto para

todo em e assim, tem um mínimo relativo em .

Podemos então agora, encontrar os extremos de uma função dada. Veja

alguns exemplos.

Exemplos: Encontrar os extremos da função .

Primeiro é necessário determinar os pontos críticos da função, em seguida

fazer o estudo do sinal da primeira derivada, e verificar se os pontos críticos se

encaixam, segundo o teorema, como máximos ou mínimos.

Vejamos! Temos ; fazendo teremos o

que nos leva a e . Então os pontos críticos são e .

Estudando o sinal da primeira derivada temos que para e a função

é crescente, e que para , a função é decrescente. Veja o esboço

gráfico da função primeira derivada:

Pelo critério da primeira derivada, a função possui um máximo

relativo em e possui um mínimo relativo em . Veja o gráfico da

função e compare com os resultados obtidos através do

teorema.

+ +

0 2

-


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Teorema (critério da segunda derivada): Sejam uma função derivável num

intervalo e um ponto crítico de neste intervalo. Se admite a derivada

em , temos:

(i) Se , tem um valor máximo relativo em .

(ii) Se , tem um valor mínimo relativo em .

Usando este critério, podemos encontrar os pontos extremos de uma

função, sem a necessidade de estudar o sinal da função que representa a

primeira derivada.

Exemplo: Encontrar os extremos da função , usando o critério

da segunda derivada.

Como já vimos no exemplo anterior, a função tem derivada

primeira e pontos críticos e . A segunda derivada

é Assim, para temos , e como

a segunda derivada é negativa, a função admite um máximo relativo em ;

para temos , e como a segunda derivada é

positiva, a função admite um mínimo relativo em . Você já conhece o

gráfico da função em questão, que foi apresentado no exemplo anterior, e pode

verificar que, usando tanto o critério da primeira, como da segunda derivada,

chegamos ao mesmo resultado.

−2 −1 1 2 3

−4

−2

2

x

y


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Nem sempre um ponto crítico representa um ponto em que ocorrerá um

valor máximo ou mínimo. Isto pode ser notado de maneira clara no exemplo a

seguir.

Exemplo: A função possui ponto crítico, mas não possui pontos

extremos.

Vejamos: a função possui ponto crítico em , pois e temos

que , nos leva a . Aplicando o critério da segunda derivada, temos

e . Assim, como a segunda derivada não assume valor

positivo, nem negativo, o ponto crítico em não é um ponto extremo.

Os valores de máximo e mínimo de uma função são muito úteis no

estudo da otimização. Otimizar significa deixar uma situação de maneira mais

favorável, ou seja, quando queremos otimizar o tempo de estudo, queremos

em menos tempo, aprender mais coisas. Assim, estamos maximizando o

conhecimento e minimizando o tempo. A seguir, veremos como resolver

situações semelhante a esta.

Em matemática, o termo otimização, ou programação matemática,

refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar

uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou

inteiras dentro de um conjunto viável.

Nós vimos que para maximizar ou minimizar os valores de uma função,

basta encontrar os seus pontos críticos e em seguida, usando o critério da


Esboce o gráfico da função e veja que realmente não há ponto

extremo em . Você pode usar o software livre Winplot.


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primeira ou segunda derivada, classificá-los em pontos de máximo ou mínimo.

Vejamos agora alguns exemplos para ilustrar esta importante aplicação.

Exemplo: O custo e a receita total com a produção e comercialização de um

produto são dados por e , sendo

. Encontre a quantidade que maximiza o lucro com a venda

desse produto.

Veja que neste caso, ainda não temos a expressão que representa o lucro,

mas podemos consegui - lá lembrando que o lucro é a receita menos o custo.

Assim, a função que representa o lucro é .

Os pontos críticos para são os zeros da primeira derivada, logo, , nos dá . Para verificar se é um ponto de

máximo, usaremos a segunda derivada. Temos então para

todo no intervalo estabelecido. Assim, é a quantidade que maximiza

o lucro da venda desse produto.

Exemplo: O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa,

constatou que num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a

velocidade do tráfego é de aproximadamente

quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio

dia. A que horas do intervalo de 2 as 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que

horas flui mais lentamente, e com que velocidade?

Aqui, precisamos encontrar o ponto máximo e o ponto mínimo desta

velocidade. Derivando temos ; e igualando a

zero temos e . Calculando a segunda derivada de temos que

e, portanto e . Logo a hora

em que o tráfego flui mais rapidamente é às e a velocidade máxima atingida

é de ; a hora em que o tráfego flui mais lentamente é às e a

velocidade mínima atingida é de .

Viu como podemos aplicar os pontos extremos de uma função? Usando

estes teoremas, podemos saber quando o nível de concentração de um

remédio na corrente sanguínea é máxima; como o conteúdo de um lago fica


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afetado por detritos orgânicos, entre outras aplicações. Estes resultados são

importantes para a tomada de decisões. Tenho certeza que você encontrará

vários exemplos envolvendo aspectos da química.


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Ao estudarmos os pontos extremos de uma função, analisamos itens do

comportamento das funções. Estes itens servem também para verificar como

se apresenta o gráfico destas funções. Para tanto, será necessário o estudo de

mais itens para compor uma análise geral, e permitir um estudo mais

abrangente. Nosso objetivo agora, é estudar os elementos de uma função, para

poder, ao fim, esboçar seu gráfico.

O conceito de concavidade é muito útil no esboço gráfico de uma curva.

De maneira geométrica podemos avaliar a concavidade de uma curva, num

intervalo, através da posição das retas tangentes à curva neste intervalo.

Geometricamente, dizemos que a curva tem a concavidade voltada para

cima, no intervalo , se dado um ponto qualquer entre e , o gráfico de

está acima da tangente à curva no ponto . Veja uma ilustração

deste fato:

Analogamente, dizemos que a curva tem a concavidade voltada para

baixo, no intervalo , se dado um ponto qualquer entre e , o gráfico de

está abaixo da tangente à curva no ponto . Veja novamente uma

ilustração deste fato:

x

y

a bc

P


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Podemos formalizar estes conceitos. Acompanhe as definições a seguir.

Definição: Uma função é dita côncava para cima no intervalo , se

é crescente neste intervalo.

Definição: Uma função é dita côncava para baixo no intervalo , se

é decrescente neste intervalo.

Veja que para avaliar a concavidade de uma curva , basta analisar se

sua primeira derivada é crescente ou decrescente. Assim, pelas proposições

estudadas até agora, basta estudar então o sinal da segunda derivada.

Proposição: Seja uma função contínua no intervalo e derivável até 2ª

ordem no intervalo .

(i) Se para todo , então é côncava para cima em .

(ii) Se para todo , então é côncava para baixo em .

Exemplos: Observe as funções quadráticas a seguir:

(a)

Neste caso temos e Como a segunda derivada é

sempre positiva, independente do valor de , a função assume concavidade

para cima em todo seu domínio. De fato, veja o seu gráfico:

x

y

a bc

P

1 2 3 4

−1

1

2

x

y


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(b)

Agora temos e Como a segunda derivada é

sempre negativa, independente do valor de , a função assume concavidade

para baixo em todo seu domínio. De fato, veja o seu gráfico:

Às vezes num mesmo gráfico, podem existir pontos em que a

concavidade muda de sentido. Estes pontos são chamados de pontos de

inflexão.

Definição: Um ponto do gráfico de uma função contínua é chamado

ponto de inflexão, se existe um intervalo contendo , tal que uma das

seguintes situações ocorra:

(i) é côncava para cima em e côncava para baixo em .

(ii) é côncava para baixo em e côncava para cima em .

Exemplo: Estude a concavidade da função .

Para verificar a concavidade da função acima, vamos encontrar a sua

derivada segunda. Temos e . Quando , ou seja, quando , temos concavidade voltada para cima; Quando

, ou seja, quando , temos concavidade voltada para

baixo. Assim, o ponto é um ponto de inflexão, pois a concavidade da

curva muda exatamente neste ponto; tem concavidade voltada para cima em

e concavidade voltada para baixo em . Veja o seu gráfico.

−1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

x

y


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82

Alguns gráficos de função possuem uma característica bem interessante: aproximam-se de uma reta, mas sem interceptá-la. Observe gráficos de algumas funções e identifique este comportamento.

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

x

y

x

y

x

y


EAD 2009 EAD 2009

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83

Estas retas das quais o gráfico da função se aproxima, mas sem

interceptar, são chamadas assíntotas. Particularmente, daremos mais ênfase

às assíntotas horizontais e verticais. Você verá que para encontrar a assíntota

de um gráfico de uma função, quando ela existe, basta calcular alguns limites

já conhecidos. Vejamos então a definição formal de tais assíntotas.

Definição: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de , se pelo

menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Exemplo: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de .

De fato temos que e que

.

Sugiro que você tente visualizar o gráfico desta situação usando o Winplot.

Definição: A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de , se

pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

(i)

(ii)

Exemplo: A reta é assíntota horizontal do gráfico de .

Veja que temos

e

.


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84

A assíntota do gráfico de uma função, quando existe, é uma

característica de grande importância para seu esboço. Em seguida, uniremos

todas as características estudadas até aqui, com o objetivo de apresentar um

roteiro, que sirva para o esboço do gráfico de uma função, que não seja

elementar. É claro que você pode sempre contar com as ferramentas gráficas

disponíveis, mas é importante saber, que podemos, através do estudo do

cálculo diferencial, ter noção de como as funções são representadas

graficamente.

Estamos dando início à reta final de nosso curso; tenho certeza você já

deve ter percebido quanto o cálculo diferencial é importante em vários ramos

da ciência. Finalizaremos o nosso estudo apresentado um resumo que servirá

para analisar o comportamento das funções, e fazer sua representação gráfica,

através dos estudos algébricos de suas características. Acompanhe o roteiro a

seguir.

Etapas para estudo do comportamento de uma função :

1. Encontrar o domínio de .

2. Calcular os pontos de intersecção com os eixos ( e ); se não for

muito trabalhoso.

3. Encontrar os pontos críticos.

4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de .

5. Encontrar os máximos e mínimos relativos.

6. Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de .

7. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

8. Esboçar o gráfico.

Veja que este roteiro foi construído a partir de todos os elementos

estudados anteriormente. Tenho certeza que você conseguirá fazer o esboço


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QUÍM

ICA


85

gráfico de funções. Apresentaremos aqui alguns exemplos para você visualizar

todo o processo.

Exemplo: Esboçar o gráfico da função .

Seguindo o roteiro proposto temos:

1-

2- Intersecção com o eixo do

3- Pontos críticos

Temos e fazendo encontramos e

, que são os pontos críticos.

4- Intervalos de crescimento e decrescimento

Resolvendo temos que , o que nos leva a

. Assim, afirmamos que é crescente quando .

Resolvendo temos que , o que nos leva a

. Assim, afirmamos que é crescente quando .

5- Máximos e mínimos relativos

Temos . Como , então em temos

um mínimo relativo, e como , este é o valor mínimo relativo de .

Como , nada podemos afirmar.

6- Concavidade e ponto de inflexão

Fazendo , temos que quando e ;

então é côncava para cima em .Analogamente, fazendo

, temos que quando ; então é

côncava para baixo em . Os ponto de abscissa e são pontos de

inflexão.


EAD 2009QU

ÍMIC

AEAD 2009


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7- Assíntotas

Este gráfico não admite assíntotas verticais nem horizontais.

8. Esboço gráfico

Viu como seguir o roteiro apresentado torna o processo de esboço

gráfico mais prático? Espero que você não tenha mais problemas, quando

quiser saber como se comporta uma função real. Acompanhe mais um

exemplo para finalizar o estudo.

Exemplo: Esboçar o gráfico da função .

Seguindo o roteiro proposto temos:

1- 2- Intersecção com os eixos

• Eixo dos :

• Eixo dos :

3- Pontos críticos

−2 2

2

4

6

x

y

1/3 1


EAD 2009 EAD 2009

QUÍM

ICA


87

Temos e não há valor de para que . Assim, não há

pontos críticos.

4- Intervalos de crescimento e decrescimento

Neste caso, para todo pertencente ao seu domínio. Assim

afirmamos que a função é crescente para todo .

5- Máximos e mínimos relativos

Como não há pontos críticos, não há pontos de máximo nem de mínimo.

6- Concavidade e ponto de inflexão

Fazendo , temos que quando ; então é côncava

para cima em . Analogamente, fazendo , temos que

quando ; então é côncava para baixo em . Os ponto de

abscissa não é ponto de inflexão, pois a função não está definida aí.

7- Assíntotas

Determinando os limites e

, concluímos que

é uma assíntota vertical.

Determinando os limites e

, concluímos que é

uma assíntota horizontal.

8. Esboço gráfico

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y


EAD 2009QU

ÍMIC

AEAD 2009


88

Chegamos ao fim de mais um componente curricular do curso. Espero

que vocês tenham estudado e aproveitado bastante mais esta oportunidade de

aprender. Na verdade, estamos sempre em processo de aprendizagem, e certa

disto, desejo a vocês um longo caminho no mundo do conhecimento. Espero

ter contribuído de alguma forma para o crescimento profissional e pessoal de

vocês. Bons estudos e sigam em frente.


EAD 2009 EAD 2009

QUÍM

ICA


89

Referências

1. ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. Vol. 1. 7ª edição. Rio

de Janeiro: Editora LTC, 2003.

2. BOYER, C.B. Tópicos de história da matemática para uso em sala de

aula. São Paulo, Atual,1992.

3. FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.

4. GARBI. G.G. A rainha das ciências. São Paulo: Editora Livraria da

Física, 2006.

5. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo:

Atual , 1998.

6. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. . 5ª edição. São Paulo: Thomson, 2006.

7. Disponível: http://www.hottopos.com/regeq7/cardos2.htm

8. Disponível: www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QG/.../Cinetica-Thais.ppt

9. Disponível: math.exeter.edu/rparris/winplot.html

10. Disponível: http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html

11. Disponível: http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm

12. Disponível: http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html

13. Disponível:

http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.p

pt

14. Disponível:


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Referências

1. ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. Vol. 1. 7ª edição. Rio

de Janeiro: Editora LTC, 2003.

2. BOYER, C.B. Tópicos de história da matemática para uso em sala de

aula. São Paulo, Atual,1992.

3. FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.

4. GARBI. G.G. A rainha das ciências. São Paulo: Editora Livraria da

Física, 2006.

5. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo:

Atual , 1998.

6. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. . 5ª edição. São Paulo: Thomson, 2006.

7. Disponível: http://www.hottopos.com/regeq7/cardos2.htm

8. Disponível: www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QG/.../Cinetica-Thais.ppt

9. Disponível: math.exeter.edu/rparris/winplot.html

10. Disponível: http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html

11. Disponível: http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm

12. Disponível: http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html

13. Disponível:

http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.p

pt

14. Disponível:


APOSTILA CÁLCULO 1 - UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

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