Apostila de LgiaProf. Mrio Benevides

marioos.ufrj.brAgosto de 2011UFRJ

Motivao Prtia lgebra de Boole Programao em lgia (PROLOG) Sistemas espeialistas Espeiao de programas Veriao de programas Bano de dados:BD's dedutivosHiptese de mundo fehadoDefault / prioridadesOntologias Sistemas distribudos:TempoConheimento e rena Lei (Lgia dentia) Linguagens de programao

Livros Lgia para a Computao - Thomson Learning - Flvio Soares Corra daSilva, Marelo Finger e Ana Cristina Vieira de Melo Lgia para a Cinia da Computao - Ed. Campus - Joo Nunes de Souza A Mathematial Introdution to Logi - Enderton Introdution to Mathematial Logi - Mendelson Introduo Lgia Modal Apliada a Computao - Maros Mota Costa Programao em Lgia e a Linguagem PROLOG - Casanova Lgia - John Nolt e Linnes Rohatyn

ii

Sumrio1 Introduo 12 Lgia Clssia Proposiional 52.1 Linguagem da Lgia Clssia Proposiional . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Sistemas Dedutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.1 Deduo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26rvores de Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2 Mtodo de Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.3 Mtodo de Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.4 Provador de Dov Gabbay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.5 Sistema Axiomtio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.6 Relaes entre Sintaxe e Semntia . . . . . . . . . . . . . . . 553 Logia Clssia de Primeira Ordem 613.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 623.2 Sistemas Dedutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67iii

SUMRIO iv3.3 Deduo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 Mtodo Axiomtio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5 Semntia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6 Relao entre Sintaxe e Semntia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Captulo 1IntroduoLGICA o estudo do raionio dedutivo.

2Histrio Aristteles leis do disurso; Idade Mdia lgia losa; Boole (1815-1864) lgebra booleana; Peano (.1865) axiomatizao da aritmtia; Frege (1874)

investigar fundamentos da matemtia lgia moderna;

Russel-Whitehead (1910) Prinpia Matemtia lgia moderna;

Hilbert (1925) formalizao da noo de prova meanizao da matemtia;

Gentzen (1935) teoria da prova; Godel (1931-1935)

ompletude da lgia inompletude da aritmtia;

Investigar Fundamentos da Computao.

3O que lgia? o estudo do raionio dedutivo. (informalmente); um sistema formal (formalmente)Lgia: LINGUAGEM+REGRAS DE DEDUO / INFERNCIA+SEMNTICALinguagem usada para desrever o onheimento que se deseja representar.Regras de DeduoServem para tirar onluses a partir do onheimento representado na lin-guagem.SemntiaServe para dar signiado aos objetos desritos na linguagem.

4Tipos mais omuns de lgia: Lgia Clssia Proposiional Lgia Clssia de 1a Ordem Lgias Modais: tempo, onheimento, aes, pogramas e et. Lgias Paraonsistente; Lgias Relevantes; Lgias Difusas; Lgias Probabilistas.Hipteses da Lgia Clssia: proposies atmias; proposies mais omplexas podem ser (onstrudas deompostas) de (em)proposies atmias; proposies atmias so verdadeiras ou falsas (2 valores); o valor verdade de uma proposio mais omplexa somente depende dos valoresdas proposies atmias que a ompe.Ex1: Joo ama Maria. (V ou F)Ex2: Joo estudante e Joo alto.o valor verdade s depende de sabermos se:Joo estudante. (V ou F?)Joo alto. (V ou F?)

Captulo 2Lgia Clssia Proposiional

Neste aptulo ns apresentaremos a Lgia Clssia Proposiional. Na seo 2.1ns denimos a linguagem. Na seo 2.2 ns apresentamos a semntia e denimosa importante noo de onsegunia lgia. Na seo 2.3 apresentamos algoritmospara veriar onsegunia lgia e satisfabilidade e disutimos a omplexidadesdestes problenas. Na seo 2.4 so apresentados alguns sistemas dedutivos. Final-mente, na seo ??, enuniamos e provamos os teoremas de Correo e Completudeda Lgia Clssia Proposiional.

2.1 Linguagem da Lgia Clssia Proposiional 62.1 Linguagem da Lgia Clssia ProposiionalA linguagem proposiional uma linguagem formal ujo objetivo representartrehos de disurso de uma maneira preisa e sem ambigidades. Os seguintes oper-adores sero usados para formar proposies mais omplexas a partir de proposiesmais simples: e ou se ento no Para representar proposies atmias usaremos letras maisulas, por exem-plo: A, B, C,...Exemplos A B,A B,A B,ASrates um homem.Se Srates um homem ento Srates mortal.

ASrates um homem.BSrates mortal.A

A B

2.1 Linguagem da Lgia Clssia Proposiional 7DenioUm alfabeto proposiional omposto por trs onjuntos de smbolos: Conetivos/operadores lgios: ,,, Smbolos auxiliares: ( e ) Smbolos proposiionais: qualquer letra maisula um smbolo proposi-ional (ex: A, B,..., Z).Podemos aresentar um subsrito numrio a letras maisulas (A1, A2, ...).Denotamos este onjunto por P.Apresentaremos a seguir uma gramtia para denirmos quais so as frmulasbem formadas da linguagem:Denio A noo de frmula bem formada, ou simplesmente frmula, denida,indutivamente, pelas seguintes ondies: Qualquer smbolo proposiional uma frmula. Se e so frmulas ento ( ), ( ),, ( ) tambm o so; Nada mais frmulaDe uma forma alternativa podemos denir a linguagem proposiional por meiode uma notao BNF. ::= P | (1 2) | (1 2) | (1 2) | onde P um smbolo proposiional.Algumas vezes utilizamos o onetivo se e somente se que denido omo:( ) (( ) ( ))Exemplo e frmulas bem formadas:

2.1 Linguagem da Lgia Clssia Proposiional 8 A B (no frmula) (A) (B) (no frmula) (A B) (B C) D (no frmula) ((A (B A)) (A B)) ( frmula) (A (B C)) ( frmula)Exerios:Questo 1. Represente as seguintes proposies utilizando a linguagem da lgialssia proposiional. Utilize os smbolos proposiionais C (est hovendo) e N (estnevando).(a) Est hovendo, mas no est nevando.(b) No o aso que est hovendo ou nevando.() Se no est hovendo, ento est nevando.(d) No o aso que se est hovendo ento est nevando.(e) Est hovendo se e somente se est nevando.(f) Se est nevando e hovendo, ento est nevando.(g) Se no est hovendo, ento no o aso que est nevando e hovendo.Nos exerios seguintes, represente o texto na linguagem da lgia proposiional,espeiando signiado dos smbolos proposiionais utilizados.Questo 2. Ela no est em asa ou no est atendendo ao telefone. Mas se elano est em asa, ento ela foi seqestrada. E se ela no est atendendo ao telefone,ela est orrendo algum outro perigo. Ou ela foi seqestrada ou ela est orrendoum outro perigo.Questo 3. Hoje m-de-semana se e somente se hoje sbado ou domingo. Hojeno sbado. Hoje no domingo. Portanto, hoje no um m-de-semana.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 9Questo 4. A proposta de auxlio est no orreio. Se os juzes a reeberem atsexta-feira, eles a analisaro. Portanto, eles a analisaro porque se a proposta estiverno orreio, eles a reebero at sexta-feira.Observao: Convenes sobre omisso de parnteses: > > >

Parnteses mais externos podem ser omitidos:A (B C) (A (B C))2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional

A semntia da lgia lssia proposiional onsiste na atribuio de signi-ado s frmulas da linguagem. Isto feito atravs da atribuio de valor verdade. Para ada frmula atribudo um valor verdadeiro ou falso.valores-verdade:V - verdadeiroF - falso O valor verdade de uma frmula depende uniamente dos valores verdadeatribudos aos seus smbolos proposiionais.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 10Tabela VerdadeConjuno:A B A BV V VV F FF V FF F FHoje tem aula e hoje quinta-feira.Disjuno (no-exlusiva):A B A BV V VV F VF V VF F FHoje tem aula ou hoje quinta-feira.Negao:

A AV FF VHoje no tem aula.Impliao:Exemplo: onsidere o annio abaixo:Para pagamento vista, ns damos 25% de desonto na ompra de qualquer TV.Re-esrevendo:Se pagamento vista ento 25% de desonto.Suponha agora que D. Maria deseja veriar se este annio honesto ou no.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 11Possibilidade Pagamento vista 25% de desonto Annio1 V V V2 V F F3 F V V4 F F ?A B A BV V VV F FF V VF F V(?)Existem lgias que disordam da linha 4 Ex: 3-valores, intuiionista, relevante...Exerio:Construa a tabela verdade de: (A B) CA B C A (A B) (A B) CV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 12Funo de Atribuio de Valor VerdadeA ada smbolo proposiional ns queremos atribuir um valor verdadeiro ou falso.Isto feito atravs de uma funo v de atribuio de valor verdade. v:P 7 {V, F},onde P onjunto dos smbolos proposiionaisExemplos:v(A) = F , v(B) = V , v(C) = VUma vez atribudo valor verdade a ada smbolo proposiional em P, queremosestender esta atribuio para o onjunto de todas as frmulas da linguagem proposi-ional, que denotaremos por W . Na denio a seguir e denotam frmulas e Adenota um smbolo proposiional, isto , , W e A P.Denimos uma funo v de atribuio de valor verdade a frmulas da linguagemomo uma extenso da funo v tal que:v : W 7 {V, F}, onde v deve satisfazer as seguintes ondies:1. v(A) =v(A), seA P2. v() =

V se v() = FF se v() = V3. v( ) =

V se v() = v() = VF aso ontrrio4. v( ) =

F se v() = v() = FV aso ontrrio5. v( ) =

F se v() = V e v() = FV se aso ontrrio

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 13Exemplo: Ahe o valor verdade da seguinte frmula para a valoraov(A) = V, v(B) = F, v(C) = F :

v(A (B C)) = V

uukkkk

kkkk

kkkk

kk

**UUU

UUUU

UUUU

UUUU

U

v(A) = V

v((B C)) = V

ttiiiii

iiii

iiii

iiii

))RRR

RRRR

RRRR

RR

v(A) = V v(B) = F

v(C) = V

v(B) = F v(C) = F

v(C) = FExemplo: Ahe o valor verdade da seguinte frmula para a valoraov(A) = F, v(B) = F,v(C) = V, v(D) = V :

v((A D) (C B)) = V

rreeeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeee

++VVVV

VVVV

VVVV

VVVV

VVV

v((A D)) = F

))RRR

RRRR

RRRR

RR

v((C B)) = F

sshhhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hh

v(A) = F

v(D) = F

v(C) = F

v(B) = F

v(A) = F v(D) = V

v(C) = V

v(B) = F

v(D) = V v(C) = V

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 14Algoritmo para Construir Tabela VerdadeQuantas linhas possui uma tabela verdade para (A D) (C B) ?Cada linha orresponde a uma possvel atribuio de valores verdade aos sm-bolos proposiionais que ompe a frmula. Como esta frmula possui 4 smbolosproposiionais (A,B,C e D), sua tabela verdade deve ter 24 = 16 linhas.Tabela Verdade omputa o valor verdade de uma frmula para todas as possveisatribuies v a seus smbolos proposiionais.Logo, o problema de se saber todos os valores verdades de uma frmula na lgialssia proposiional, para todas as atribuies v a seus smbolos proposiionais, deidvel; o algoritmo o seguinte:passo 1: onte o nmero de smbolos proposiionais;passo2: monte uma tabela om 2n linhas e om quantas olunas for o nmero desubfrmulas da fmula;passo 3: preenha as olunas dos smbolos proposiionais om V ou F alternandode ima para baixo VFVF para a 1a oluna, VVFF... para a 2a, VVVVFFFF paraa 3a e assim por diante, nas potnias de 2.passo 4: ompute o valor verdade das outras olunas usando as tabelas bsiasforneidas.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 15Exemplo: (A B) C23 = 8 A B C A (A B) (A B) CV V V F V VV V F F V VV F V F V VV F F F V VF V V V V VF V F V V VF F V V F VF F F V F FTautologias, Contradies, Frmula EquivalentesExistem frmulas onde todas as linhas da Tabela Verdade do verdade. Elas soverdadeiras no importando os valores verdade que atribumos aos seus smbolosproposiionais. Estas frmulas so hamadas tautologias. Da mesma forma, ex-istem frmulas que so sempre falsas, independente dos valores verdade atribudosaos seus smbolos proposiionais. Estas so hamadas ontradies. Alm disso,existem frmulas que, embora diferentes, tm tabelas verdade que oinidem linhaa linha. Tais frmulas so ditas equivalentes.Exemplos: A A AV VF VA A uma tautologia.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 16A B B A A (B A)V V V VV F V VF V F VF F V VA B (B A) (A B) A (A B)V V V F FV F V F FF V V F FF F F V FA (A B) uma ontradio.A B B A (A B)V V V FV F F VF V F VF F F VA B A B A BV V F F FV F F V VF V V F VF F V V V(A B) equivalente a A B.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 17Denio 1 Tautologia e Contradio: Uma frmula uma tautologia se e somente se, para toda atribuio v,v() = V .

Uma frmula uma ontradio se e somente se, para toda atribuio v,v() = F .Exemplos de tautologias famosas:

A A

A A

(A ((A B) B)

A B A

A B B

A A

A A B

B A B

((A B) B) AExemplos de ontradies: A A

(A A)

A (A B) BExerioVeriar se estas frmulas so realmente tautologias e ontradies.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 18Denio 1 Equivalnia entre Frmulas:Duas frmulas e so ditas equivalentes, , se e somente se, para todaatribuio v, v() = v().Intuitivamente, duas frmulas so equivalentes se, linha a linha, elas tem a mesmatabela verdade.Exemplos de equivalnias:A A

(A B) A BExerio: Veriar se as seguintes frmulas so equivalentes:1. (A B) A B2. (P Q) (P Q)3. P (Q R) (P Q) (P R)4. P Q Q P5. P (Q R) (P Q) (P R)Observao:Utilizando a noo de equivalnia, possvel denir alguns dos onetivos a par-tir de outros. Por exemplo, utilizando a negao () e mais um onetivo qualquer( , ou ) podemos denir todos os outros. Assim:Denimos e usando e P Q P Q

P Q (P Q)Denimos e usando e P Q (P Q)

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 19P Q (P Q)Denimos e usando e P Q (P Q)

P Q P QExerio: Veriar as equivalnias aima.Na verdade todos os onetivos podem ser denido a partir de um nio novoonetivo hamado. Isto o que vamos ver no exerio seguinte.Exerio: (Sheer Stroke P/Q)Suponha P/Q uma frmula om a seguinte Tabela VerdadeP Q P/QV V FV F FF V FF F VDena ,,, usando / Dia: P (P/P)P P P/PV F FF V V

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 20Dada uma tabela verdade, omo saber a frmula orrespondente?P Q R S V V V V VF V V V VV F V V VF F V V FV V F V FF V F V FV F F V FF F F V FV V V F FF V V F FV F V F FF F V F FV V F F FF V F F FV F F F FF F F F FLinhas em que verdadeira:P Q R S V V V V VF V V V VV F V V VLogo: P Q R S

P Q R S

P Q R S

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 21(P Q R S) (P Q R S) (P Q R S)Formalizando: Para ahar a frmula orrespondente a uma tabela verdade, pro-edemos da seguinte maneira:1. Para ada linha da tabela verdade em que a frmula verdadeira, esrevemosuma frmula orrespondendo onjuno ( E ) dos smbolos proposiionaisque forem verdadeiros e das negaes daqueles que forem falsos na linha on-siderada.2. A frmula a disjuno ( OU ) das frmulas esritas no passo 1.Denio 1 tomo e Literal

Uma frmula atmia ou tomo qualquer smbolo proposiional. Ex: A, eC.

Um literal um tomo ou sua negao. Ex: A,A,B,C.Forma Normal Disjuntiva(FND):Uma frmula est na forma normal disjuntiva se e somente se tem a seguinteforma: = C1 C2 ... Cnonde ada Ci = (Q1 Q2 ... Qm), 1 i n, e Qj , 1 j m, so literais,isto , ada Ci uma onjuno de literais. E um disjuno de onjunes deliterais.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 22Forma Normal Conjuntiva(FNC):Uma frmula est na forma normal onjuntiva se e somente se tem a seguinteforma: = D1 D2 ... Dnonde ada Di = (Q1 Q2 ... Qm), 1 i n e Qj, 1 j m, so literais,isto , ada Di uma onjuno de literais. E um onjuno de disjunes deliterais.Algoritmo: Converter frmulas para a FNC:passo1: elimine o onetivo usando: ( )

( ) ( )passo 2: mova a negao () para o interior da frmula, usando as seguintes regras:

( ) ( )

( ) ( )passo3 : mova as onjunes para o exterior da frmula usando: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Exemplo:(A B) C passo1 (A B) C passo2

(A B) C passo3 (A C) (B C) FNCExerio:Fazer um algoritmo para onverter frmulas para a forma normal disjuntiva.

2.2 Semntia da Lgia Clssia Proposiional 23Denio:Seja uma frmula e um onjunto de frmulas:1. Uma atribuio de valor verdade v:P 7 {V, F} satisfaz se e somente sev() = V . E v satisfaz se e somente se v satisfaz ada membro de .2. satisfatvel se e somente se existe uma atribuio v que satisfaz . Casoontrrio, insatisfatvel.Denio:Uma frmula dita uma onsequnia logia de um onjunto de frmulas

= {1, 2, ..., n}, ou uma impliao logia de , 1, 2, ..., n |= , sesomente se para toda valorao v se v(1 2 ... n) = V , ento v() = V .Teorema:Uma frmula dita uma onsequnia logia de um onjunto de frmulas = {1, 2, ..., n}, ou seja, 1, 2, ..., n |= se somente se (12 ...n) uma tautologia.Exemplo:

(C T ) T C tautologia (C T ) T |= C

2.3 Complexidade 242.3 ComplexidadeNesta seo gostariamos de investigar dois problemas distintos:Problema 1: Dada uma frmula om omprimento n e uma valorao v paraos smbolos proposiionais. Qual a omplexidade de se alular o valor de v() paraa atribuio v? Calular (,v).Onde o omprimento de uma frmula o nmero de smbolos da frmula, i.e.,numero de smbolos proposiionais + nmero de onetivos lgios.A seguir espeiamos uma funo (,v) que implementa a funo v() para aatribuio v.Funo (,v): boolaso = P onde P um smbolo proposiional, retorna v(P );= 1, retornar NOT (1,v);= 1 2, retornar (1,v) AND (2,v);= 1 2, retornar (1,v) OR (2,v);= 1 2, retornar NOT (1,v) OR (2,v);Complexidade da funo (,v) O(n), pois a funo hamada uma vez paraada smbolo proposiional e uma vez para ada onetivo lgio.

2.3 Complexidade 25Problema 2: Dada uma frmula om omprimento n e m smbolos proposi-ionais. Veriar se existe alguma valorao que satisfaz .Funo SAT(): boolpara ada valorao v faase (,v) ento retorna verdadeiroretorna falsoComplexidade da funo SAT()Complexidade da funo SAT nmero de valoraes diferentes omplexidadede (,v)Complexidade da funo SAT O(2m)O(n) O(2m.n)Obs.:1) problema 1 polinomial (linear) no omprimento da frmula;2) problema 2 NP ompleto.

2.4 Sistemas Dedutivos 262.4 Sistemas DedutivosNas sees anteriores apresentamos a linguagem e a semntia da Lgia ClssiaProposiional. Voltaremos agora a problema entral deste urso. Dado Um banode dados (onjunto de frmulas), BD = {1, , n}, e uma pergunta (frmula), om saber se o bano de dados implia logiamente na pergunta.Ns j temos um algoritmo para responder BD |= montando a tabela verdadepara 1 2 ... n . Se for uma tautologia responde SIM, seno respondeNO.A omplexidade deste algoritmo da ordem de 2n, onde n o nmero de smbolosproposiionais em 1 2 ... n .2.4.1 Deduo Natural Jakowski(1924) e Gentzen(1935) Somente regras de infernia Para ada onetivo lgio temos 2 regras:1. Regra de Introduo2. Regra de Eliminao3. Regra de Introduo: omo uma frmula ontendo o onetivo pode ser inferida4. Regra de Eliminao: que onsequnias podemos tirar de uma frmula on-tendo o onetivo

2.4 Sistemas Dedutivos 27Queremos esrever regras de infernia que sejam vlidas, isto , que as premissasimpliquem logiamente nas onluses.Regras de infernia:P 1, P 2, ..., P n

CSe todas as premissas P 1, P 2, ..., P n forem verdadeiras, ento a onluso C verdadeira.P 1, P 2, ..., P n C

uma regra vlida? No, pois no implia logiamente , Pois, sempre falso (ontradio).Regras de Infernia:Primeiro apresentaremos as regras que no utilizam o oneito de suposio paraem seguida introdizir este oneito e apresentar as regras restantes.Conjuno -I

Se BD e BD , ento responda sim para . Isto BD .-I vlida? Sim, pois se v() = v() = V ento v( ) = V-E

-E vlida? Sim, pois se v( ) = V ento v() = v() = V

2.4 Sistemas Dedutivos 28Disjuno -I

vlida? Sim, pois se v() = V ento v( ) = V -E Esta regra envolve o oneito de suposio que veremos a seguir. Iremosapresent-la e seguir.Impliao E

,

Se v() = V e v( ) = V ento v() = VExemplo: quinta-feirase quinta-feira ento aula de lgiaaula de lgiaExemplo 1:1. A B2.A C3.C DBD D4. A E(1)5. C E(2,4)

2.4 Sistemas Dedutivos 296. D E(3,5) I Esta regra envolve o oneito de suposio que veremos a seguir. Iremosapresent-la em seguida.Negao: I

E1

Reduo ao Absurdo: Esta regra envolve o oneito de suposio que veremosa seguir. Iremos apresent-la em seguida.Exemplo:BD = {A B} BD A B ?1. A B2. A E1(1)3. A B I(2)Vamos introduzir agora o impotante oneito de suposio. Informalmente,uma suposio uma frmula que supomos ser verdadeira para onluirmos algoque depende desta suposio. Representamos suposies omo frmulas entre [...],por exemplo, [A B].Vamos omear om dois exemplos.No meu bano de dados eu tenho uma axiomatizao das leis da Meania Cls-sia e que eu gostaria de estabeleer a seguinta proposio ondiional:

2.4 Sistemas Dedutivos 30Se orpo solto no ar ento orpo aiBD = leis da Meania ClssiaSuponho que o orpo est solto no ar.Provo, usando esta suposio e as leis do BD queo orpo aiSe orpo solto no ar ento orpo aiPorm, a suposio que o orpo est solto no ar deve ser desartada (desar-regada) aps a proposio ondiional ter sido estabeleida.Um segundo exemplo seria:No meu bano de dados eu tenho uma axiomatizao da Aritmtia e eu gostariade estabeleer a seguinta proposio ondiional:Se n impar ento suessor de n parBD = axiomatizao da AritmtiaSuponho que n impar.Provo, usando esta suposio e as leis do BD quesuesor de n 'e parSe n impar ento suessor de n parDe novo, temos que desarrgar a suposio que n impar aps a proposioondiional ter sido estabeleida.Introduo da I

[]i...

iOnde [] uma suposio

2.4 Sistemas Dedutivos 31Exemplo:BD = {A C, C D}Pergunta: A DBD A D1. A C BD2. C D BD3. [A]1 Suposio3.1 C E(3,1)3.2 D E(3.1,2)4. A D1 I(3,3.2)Eliminaao da -E

[]i...

[]j...

ijExemplo: Hoje tera-feira Hoje quinta-feira.Se Hoje tera-feira ento aula de lgia.Se Hoje quinta-feira ento aula de lgia.aula de lgiaExemplo:BD = {A B, A C, B C}Pergunta: C

2.4 Sistemas Dedutivos 32BD C1. A B BD2. A C BD3. B C BD4. [A]1 Suposio4.1 C E(4,2)5. [B]2 Suposio5.1 C E(5,3)6. C1,2 E(1,4.1,5.1)Reduo ao Absurdo:A seguir apresentamos as duas ltimas regras de Deduo Natural. A regra ABSintroduz o absurdo a patir de uma ontradio qualquer . A regra de Ruduoao Absudo, RAA, uma regra fundamental de Deduo Natural, sua intuio quese supusermos a negao do que queremos provar e hegarmos a um absurdo entopodemos onluir nossa prova dizendo sim para a pergunta.-RAA -ABS

[]...

Exemplo:BD = {A C}Pergunta: (A C)BD (A C)

2.4 Sistemas Dedutivos 331. A C BD2. [(A C)]1 Suposio2.1 (A C) E(2)2.2 A E(2.1)2.3 C E(2.1)2.4 C E(2.2,1)2.5 C C I(2.3,2.4)2.6 ABS(2.5)3. (A C)1 RAA I(2,2.6)A seguir apresentamos todas as regras de deduo Natural.Deduo Natural para a Lgia Proposiional Clssia-I -E

-I -E

[]i...

[]j...

ij

-I -E[]i...

i

-I -E

-RAA -ABS[]i...i

2.4 Sistemas Dedutivos 34Denio:1. Uma prova em deduo natural de uma formula a partir de um onjunto defrmulas BD={1, 2, ..., k} uma sequnia de frmulas rotuladas da seguinteforma:i. as frmulas do BD formam o prexo da sequnia e so rotuladas 1: 1, 2:2, ..., k: k;ii. se a ltima frmula da sequnia .r: i (onde pode ser a sequnia vazia),ento a prxima frmula rotulada ser:ii.1 .r.1: j se i uma suposio;ii.2 .r+1: j se j foi obtida pela apliao de regras do grupo I a frmulas noesopo igual superior a , onde = .r;ii.3 .s+1: j se j foi obtida pela apliao das regras do grupo II e = .s;iv. n: a ltima frmula da sequnia.2. A frmula dita um teorema do onjunto de frmulas BD, BD .3.A frmula dita um teorema lgio se BD vazio.OBS: Uma prova pode ser hamada algumas vezes de derivao.Denio:1. Um onjunto de frmulas = {1, 2, ..., n} inonsistente se somentese para alguma frmula .2. Um onjunto de frmulas = {1, 2, ..., n} onsistente se somente seele no inonsistente.

2.4 Sistemas Dedutivos 35Notao:Ns abreviaremos: por , por

2.4 Sistemas Dedutivos 36Um teorema muito importante da lgia proposiional o hamado teorema dadeduo.(META) Teorema da Deduo:Seja um onjunto de frmulas e e , frmulas. Ento:Se , ento .Prova do (Meta)Teorema da Deduo:Suponha = {1, 2, ..., n}.

Figura 2.1:Se (onjunto de frmulas) e (frmula) pertenem ao um bano de dados(BD) e a partir desse BD temos uma prova e hegamos a apliando as regrasdo Clulo Dedutivo. Ento se dado um BD = , onsegue-se provar que a partirde , implia em . Para esta prova, basta supor A e apliar as mesmas regrasde deduo da prova anterior (Prova ). Dessa forma hega-se em , e fehamos asuposio feita fazendo .Meta Teorema 2:Se A B ento , A B.

2.4 Sistemas Dedutivos 37

Figura 2.2:Se a partir de um BD formado por um onjunto de frmulas hegamos em atravs de uma prova , siginia que se supormos dentro desse BD,podemos hegar at atravs do Clulo Dedutivo.Portanto, se pertener ao BD e usarmos o Clulo Dedutivo, onse-guimoshegar at .

2.4 Sistemas Dedutivos 38Exerios:Prove por deduo natural as seguintes armaes:1. BD = {A B C,A B,C D } ; BD A D ?2. (P Q) (Q P ) ?3. Q P Q ?4. P Q R (P Q) (P R) ?5. P (Q R) (P Q) R ?6. P Q (P Q) ?7. P Q R P (Q R) ?8. B,R S A,R S,A R C,B S C C ?9. (P Q) (Q R) P R ?10. P R,Q S P Q R S ?11. A B, (A B) (R S), (P Q) R,A P Q S ?12. P Q,Q P ?13. (P Q) Q,Q P P ?14. (P Q) P Q ?rvores de ProvaA forma mais usual de se representar provas em Deduo Natural usando-servores de prova. Informalmente, uma rvore de prova uma rvore nita na qualna raiz temos a frmula que queremos provar e nas folhas temos as suposies efrmulas do bano . Cada suposio tem um nmero, e se este nmero aparee

2.4 Sistemas Dedutivos 39na apliao de uma regra de infernia signia que a suposio foi desarregada.Cada n intermedirio obtido, omo onluso, pela apliao de uma regra deinfernia aos seus lhos, que so as premissas da regra1.Ns dizemos que uma frmula segue de um bano de dados (onjunto defrmulas) , , se existe uma rvore de prova om na raiz e todas as frmulasde so exatamente a nias siposies que no foram desarregadas.Exemplo 2.4.1 : (A (B C)) (A B).[(A (B C))]1 [A]2

(B C)

B(A B)2

((A (B C)) (A B))1Exemplo 2.4.2 (A B) (A B).[(A B)]3

A BB

[A B]2

[(A B)]1

A BA

BB B

(A B)1,3Exerios: Faa todos os exerios do nal da seo anterior oloando asprovas em forma de rvores de prova.1 importante observar que a rvore de prova desenhada om a raiz embaixo e as folhas estoem ima. Isto no usual em Computao

2.4 Sistemas Dedutivos 402.4.2 Mtodo de TableauxAs dedues so feitas por refutao, i.e., se queremos deduzir a partir de umbano de frmulas BD, BD , partimos da negao de e tentamos hegar noabsurdo. As dedues tm forma de rvore.A seguir apresentamos todas as regras de de Tableaux.Tableaux para a Lgia Proposiional ClssiaR1 R2

R3 R4

R5 R6( )

( )

R7( )

2.4 Sistemas Dedutivos 41

Figura 2.3:

2.4 Sistemas Dedutivos 42MotivaoSe apliarmos as regras a uma frmula, vamos gerar uma rvore, onde ada ramoorresponde a uma ou mais valoraes que satisfazem a frmula, por isso hamadoTableau Semntio.Lembrando do nosso mtodo semntio para veriar onsequnia lgia, i.e.,dado um BD = {1, , n} e uma pergunta , temos que BD |= se e somente se(1 n) uma tautologia. Mas veriar se esta frmula uma tautologia equivalente a veriar se sua negao uma ontradio. A intuio do mtodode Tableaux apliar as regras para mostrar que ((1 n) ) no possuinenhuma valorao que a faa verdadeira, i.e., ela uma ontradio. E portanto,(1 n) uma tautologia.Denio: Um ramo de um tableaux dito fehado se ele ontiver e para qualquer frmula .Denio: Um tableaux dito fehado se ada um dos seus ramos for fehado.E aberto aso ontrrio.Mtodo1. O ramo iniial deve onter todas as frmulas do BD seguidas da negao dapergunta;2. aplique as regras as frmulas no mesmo ramo no mximo uma vez;3. se o tableaux fehar responda SIM;4. se , em todos os ramos, todas as frmulas j foram usadas uma vez e mesmoassim o tableaux no fehou responda NO.Exemplo: A B (A B)

2.4 Sistemas Dedutivos 43

Figura 2.4:Este tableaux fehado, pois todas as valoraes so ontraditrias, logo A Be (A B) no satisfatvel.Teorema (Completude): se BD |= ento existe tableaux fehado para BD, .Teorema (Completude): se existe um tableaux fehado para BD, ., ento BD|= .O mtodo de Tableaux refutaionalmente ompleto.Exerios:1. A B,(A B) (C A)2. (P Q),(P Q) P3. Guga inteligente. Guga determinado. Se Guga determinado e atletaento ele no um perdedor. Guga atleta se ele amante do tnis. Guga amante do tnis se inteligente. Guga no um perdedor?

2.4 Sistemas Dedutivos 444. (P (R Q)), (P R) (P Q)5. A B,(B C), C D A D2.4.3 Mtodo de ResoluoPasso 1: Passar o BD para FNC e quebrar os omjunes em Clusulas;Passo 2: Negar a pergunta, pass-la para FNC e quebrar os omjunes em Clusu-las;Passo 3: Juntas as lusulas obtidas nos passos 1 e 2 e apliar as regras at obtera lusula vazia 2 (ontradio).Regras de ResoluoL1, , Li, , Li+1, , Ln M1, Mj ,,Mj+1, ,Mk

L1, Ln,M1, ,Mk

L1, , Li, , Li+1, , Lj , Lj+1, , LnL1, , Li, , Li+1, , Lj , Lj+1, , LnExemplo 1:BD = {A B, A C, B C}Pergunta: CBD CNegando a pergunta e transformando a pergunta negada e o BD em lusulastemos:

2.4 Sistemas Dedutivos 451. A B BD2. A C BD3. B C BD4. C Negao da pergunta5. B (3,4)6. A (2,4)7. A (5,1)8. 2 (6,7)Exemplo 2:BD = {A B, A B, B A}Pergunta: A BBD A BNegando a pergunta e transformando a pergunta negada e o BD em lusulastemos:1. A B BD2. A B BD3. B A BD4. A B Negao da pergunta5. B B (3,4)6. B (5)7. A (6,1)8. A (6,2)9. 2 (7,8)O mtodo de Resoluo refutaionalmente orreto e ompleto. Dado um banode dados BD e uma pergunta . Seja o onjunto de lusulas resultante datransformao do BD e de .Correo: se Res 2 ento BD |= Completude: se BD |= ento Res 2

2.4 Sistemas Dedutivos 462.4.4 Provador de Dov GabbayUm provador automtio de teoremas dirigido pelo objetivo. Isto , parte danegao da pergunta. Objetivo: Dado um bano de dados e uma pergunta (objetivo) , ns quere-mos responder SIM ou NO para o aso da pergunta seguir ou no do banode dados. 2 Mtodos at o momento: Tabela Verdade BD |= (semantiamente); Regras de Deduo Natural BD (sintatiamente).Tabela Verdade menio mas pouo eiente.Deduo Natural requer riatividade. Nosso objetivo: Responder BD automatiamente.Provador Automtio de Teoremas Dirijido pelo Objetivo(pergunta) : Linguagem:Linguagem a linguagem da lgia lssia proposiional om , e o smbolo

(absurdo). Ns esreveremos a .Ns hamamos de lusulas as formulas que podem oorrer no bano de dados eobjetivo as frmulas que resultam da pergunta.

2.4 Sistemas Dedutivos 47Denio: Clusula, Objetivo e Bano de Dados.(i) Qualquer tomo (smbolo proposiional) , inluindo , uma lusula etambm um objetivo.(ii) Se um objetivo e q um tomo, ento q uma lusula e tambmum objetivo.(iii) Se 1 e 2 so objetivos, ento 1 2 tambm um objetivo.(vi) Um bano de dados BD um onjunto de lusulas.(v) Nenhuma frmula uma lusula a no ser as denidas em (i),(ii),(iii) e (vi).Resumindo:Clusula Objetivoq ou (tomos) q ou (tomos) q q- 1 2Transformao de frmulas em Clusulas e Objetivos:1. ()2. () 3. ( ) ( ) 4. ( ) ( ) ( )5. Se na transformao do BD obtenho 12...n , ns oloamos 1, 2, ..., nno BD.Exemplo:

2.4 Sistemas Dedutivos 48A B B C

(A) B B C (Regra 1)(A) ) B B C (Regra 2)(((A) ) B B) (((A) ) B C) (Regra 4)Toda frmula da lgia proposiional equivalente (pode ser traduzida) a umaonjuno de lusulas.Problema Original: BD0 0?Problema Transformado: BD ?Regras de Computao:1. Provar BD , prove BD e BD .2. Provar BD , prove BD, . Se for uma onjuno =

1 2 ... n, adiione a BD 1, 2,..., n.3. Provar BD q, onde q um tomo, temos 4 asos:3.1. q BD, responda SIM.3.2. BD, responda SIM.3.3. q BD, pergunte BD .3.4. BD, pergunte BD .4. Regra do Reinio (restart)Nosso problema iniial era mostrar BD . No meio da omputao, ns es-tamos perguntando BD . Se no onseguimos prosseguir deste ponto, podemosperguntar qualquer pergunta j feita no mesmo ramo, por exemplo , ao banode dados atual, isto , BD e ontinuar a prova.

2.4 Sistemas Dedutivos 495. Cheagem de LOOP: Nuna pergunte BD pela 2a vez para ao mesmoBD e mesmo .Exemplos:(1) (A B,B C), A C (A B), (B C), A B Regra (3.3) (A B), (B C), A A Regra (3.3) SIM ! Regra (3.1)

Figura 2.5:

2.4 Sistemas Dedutivos 50

Figura 2.6:

2.4 Sistemas Dedutivos 51

Figura 2.7:Exeios:(1) (A B) B (B A) A(2) (A B) B A B(3) (A A) A(4) (A B) (C A) (C B)(5) A A B(6) A B,B A(7) A (A B)(8) (A B) C A (B C)2.4.5 Sistema Axiomtio Outro sistema dedutivo.

2.4 Sistemas Dedutivos 52 Mais antigo e mais utilizado para ns terios. Vrios axiomas e uma nia regra de infernia.Sejam , e frmulas quaisquer da linguagem proposiional.Axiomas Lgios:Impliao:(1) ( )(2)( ( )) (( ) ))Conjuno:(3) ( ) (4) ( ) (5) ( ( ))Disjuno:(6) (7) (8) (( ) )) (( ) )Negao:(9) (10) (11) ( ) (( ) )Regra de Infernia:

2.4 Sistemas Dedutivos 53Modus Pones (M.P.)

Nosso lulo dedutivo possui um onjunto innito de axiomas lgios. Paraada frmula , e , ns temos axiomas diferentes. (1),...,(11) so hamadas de axiomas esquema. A nia regra a Modus Pones (M.P.).Denio:Uma frmula dita um teorema de um onjunto de frmulas ( ) se esomente se existe uma seqnia de frmulas 1, ..., n tal que n = e ada i :(i) uma instnia de um axioma esquema;(ii) ou for obtida por M.P. apliada a l e k e l, k < i.(iii) ou um membro de .A seqnia de frmulas 1, ..., n hamada de uma prova de a partir de .Exemplos:(1) = {A B,A C} C D ?1. A B A axioma 32. A B 3. A M.P.(1,2)4. A C 5. C M.P.(3,4)6. C (C D) axioma 6

2.4 Sistemas Dedutivos 547. C D M.P.(5,6)(2) A A1. A ((A A) A) axioma 12. (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) axioma 23. (A (A A)) (A A) M.P.(1,2)4. A (A A) axioma 15. A A M.P.(4,3)Exerios:Provar usando o Mtodo Axiomtio:1) A B,B C A C2) (A B) C A (B C)3) A (B C) (A B) (A C)Observao: importante notar ( e possvel provar ) que os todos mtodos dedu-tivos estudados para a lgia lssia proposiional so equivalentes, ou seja, umafrmula que pode ser provada utilizando um deles, sempre poder ser provada uti-lizando qualquer dos outros. Isso importante, na medida em que nos permiteprovar uma determinada propriedade dos sistemas dedutivos em geral, provando-aapenas para o mtodo axiomtio, que embora difil de ser usado na prtia paraprovar um teorema, bastante simples no que diz respeito sua onstruo, o quefailita a demonstrao de propriedades terias, omo a ompletude e a orretude,que veremos na prxima seo.

2.4 Sistemas Dedutivos 552.4.6 Relaes entre Sintaxe e SemntiaUma das aspetos mais importantes da lgia proposiional a maneira omo asintaxe se relaiona om a semntia.SEMNTICA SINTAXEValor verdade prova/deduovalida teoremaimplia logiamente |= tabela verdade lulo dedutivoNs queremos relaionar o fato de uma frmula ser um teorema de um onjuntode frmulas ( ) om a propriedade de impliar logiamente em ( |= ).Teorema da CorretudeTudo que o lulo dedutivo prova semantiamente vlido.Se ento |= Se uma frmula provada a partir de um onjunto de frmulas ento ela logiamente impliada por este onjunto de frmulas.Este teorema nos assegura que tudo que provamos no sistema dedutivo orretoem relao semntia. Isto , nosso sistema dedutivo s prova teoremas quesemantiamente esto orretos.Como se prova:1) Prova-se que os axiomas do lulo dedutivo so semntiamente vlidos, isto, so tautologias;2) Prova-se que as regras de infernia sempre derivam onluses verdadeiras apartir de premissas verdadeiras.

2.4 Sistemas Dedutivos 56Teorema da CompletudeTudo que semntiamente vlido provado pelo lulo dedutivo.Se |= ento Se implia logiamente em ento existe uma prova de a partir de nosistema dedutivo.O sistema dedutivo ompleto em relao semntia pois para toda frmula que logiamente impliada por existe uma prova a partir de no sistemadedutivo.Tudo que semantiamente obtido pode ser tambm obtido no sistema dedutivo.

|= onseqnia lgia de Toda atribuio de valores verdade que satisfaz tambm satisfaz .Sendo = { 1, ..., n }Quero provar que se |= (1 ... n) ento (1 ... n) Como se prova:1a soluo : Basta provar que o nosso sistema dedutivo apaz de provar todasas tautologias.Problema: O nmero de tautologias innito.2a soluo: Modelo CannioSe |= ento

Se {} onsistente ento { } satisfatvel

2.4 Sistemas Dedutivos 57Prova do Modelo Cannio:1. Suponha que se |= ento .2. Suponha que onsistente.3. Suponha, por ontradio, que insatisfatvel.4. Se insatisfatvel, ento, por denio, no existe nenhuma atribuio devalores verdade que seja tal que , () = V . Sendo assim, podemos dizer que |= e |= .5. Mas isso nos permite esrever, pela suposio em (1) que e 6. A partir de (5) podemos esrever que 7. Ora, (6) ontradiz o fato, que havamos suposto verdadeiro, de que onsistente.Assim, por ontradio, podemos armar que:Se |= ento

Se {} onsistente ento {} satisfatvelVamos agora provar a impliao ontrria:1. Suponha que se onsistente ento satisfatvel.2. Suponha |= 3. Suponha, por ontradio, que ( )4. Ento { } onsistente (j que ( ), no poder )5. Ento, pela suposio (1), { } satisfatvel.6. Logo, existe uma valorao que satisfaz {}.

2.4 Sistemas Dedutivos 587. Mas isto uma ontradio, pois por (2) satisfaz tambm.Observaes: Um onjunto de frmulas onsistente se e somente se ( ) Uma valorao s um modelo para = {1, ..., n } se e somente se s(i) = Vpara todo i . Pelo modelo annio, para provar a ompletude basta mostrar que todo on-junto onsistente de frmulas satisfatvel.Prova do Teorema da Completude:Dado um onjunto de frmulas onsistente , ns preisamos onstruir umavalorao s' e mostrar que s' satisfaz .1o passo: Estender o onjunto onsistente para um onjunto satisfazendoas seguintes ondies:a) b) maximal e onsistente, isto , para toda frmula da linguagem, ou

ou .2o passo: Seja L a linguagem proposiional e o onjunto dos smbolos proposi-ionais.Vamos onstruir uma valorao modelo que satisfaz a partir de .s : {V,F} para todo smbolo proposiional A .s(A) = V se A s(A) = F se A 6

2.4 Sistemas Dedutivos 59Ns podemos estender s para um s' que valorize frmulas,s': L {V,F}.( Como denido em aulas anteriores)Lema da VerdadeSeja um onjunto de frmulas e uma frmula. s'() = V Prova do Lema da Verdade:Por induo, sobre o omprimento da frmula, isto , no nmero de smboloslgios nela ontidos (,, et).a) Caso base:||=0 (Frmula Atmia) , = As'(A) = s(A) = V A (pela denio de s)b) Hiptese de Induo: o lema vale para frmula de tamanho | | n.) Queremos mostrar que vale para | |= n+1Considere | |= n+1Temos ento vrios asos:i) = s'() = V sse s'( ) = F (denio de s')sse 6 (pela hiptese de induo)Logo, (pois maximal)Logo V sse .ii) =

2.4 Sistemas Dedutivos 60s'( ) = V sse s'()= F s'()= Vsse 6 sse sse sse , pois ( ) ( )sse ( ) , pois onsistente.Observao: os asos iii e iv so similares e am omo exerio.iii) = iv) = Vamos agora, a partir do lema demonstrado, provar o Teorema da Completude:1. Suponha onsistente.2. Estenda para maximal e onsistente.3. Construir s e s'4. Seja = {1, ..., n }. Como , i s'(i) = V, para todo i (pelolema da verdade).5. Logo, s' satisfaz e portanto satisfatvel.

Captulo 3Logia Clssia de Primeira Ordem

x,EmpUFRJ(x) FunPub(x)xy, Su(y, x)

Lgia Clssia Proposiional+Variveis+Cosntantes+Funes+Tabelas (Prediados)

3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem 62 Formaliza o raionio dedutivo Lgia Proposiional um modelo muito restrito:No podemos desrever propriedades sobre os elementos do universo de dis-urso: todos os elementos do domnio tm propriedade P; existem elementos dodomnio que tm a propriedade P; no podemos representar relaes e funes.Ex: Teoria dos Nmeros < 0, su, 3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Or-demLinguagem: alfabeto + regras gramatiaisDenio 1 Um alfabeto de 1a ordem onsiste dos seguintes onjuntos de smbolos:Smbolos Lgios:1. Conetivos lgios: , , , , , , .2. Smbolos auxiliares: ( e ).3. Conjunto enumervel de variveis: V = {v1, v2, ...}Smbolos no Lgios:4. Conjunto enumervel de onstantes: C = {c1, c2...}5. Conjunto enumervel de smbolos de funo: F = {f1, f2, ...} A adasmbolo funional est assoiado um nmero inteiro n > 0, hamado de ari-dade.6. Conjunto enumervel de smbolos prediativos (Prediados): P ={P1, P2, ...}A ada smbolo prediativo est assoiado um nmero inteiro n > 0, hamado ari-dade.

3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem 63 Variveis: representam elementos quaisquer do domnio. Constantes: do nome a elementos partiulares do domnio. Funes: representam operaes sobre elementos do domnio. Prediados: representam propriedades ou relaes entre elementos do domnio. Quantiador universal: para todo elemento do domnio. Quantiador existenial: existe ao menos um indivduo.Exemplo: x(y ANCESTRAL(y, x) ANCESTRAL(Joo,Jos))Denio 1 Os termos da linguagem de 1a ordem so denidos reursivamenteomo:(i) toda varivel e onstante um termo;(ii) se t1, t2, ..., tn so termos e f um smbolo funional de aridade n, f(t1, t2, ..., tn) um termo;(iii) nada mais termo.Denio 1 As frmulas da lgia de 1a ordem so denidas reursivamenteomo:(i) Se P um prediado de aridade n e t1, t2, ..., tn so termos, ento P (t1, t2, ..., tn) uma frmula hamada frmula atmia;(ii) Se e so frmulas, ento (), ( ), ( ), ( ) tambm sofrmulas;(iii) Se alpha uma frmula e x uma varivel, ento x e x tambm sofrmulas;(iv) Nada mais frmula

3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem 64De uma forma alternativa podemos denir a linguagem de primeira ordem pormeio de uma notao BNF.Termos:t ::= x | c | f(t1, ..., tn)Frmulas: ::= P (t1, ..., tn) | (1 2) | (1 2) | (1 2) | | x(x) | x(x)onde P um smbolo prediativo n-rio e t1, ..., tn so termos.Observaes:1. ( ) ( )2. Convenes:(i) x, y, z, ... Variveis;(ii) a, b, , ... Constantes;(iii) f, g, h, ... Funes;(iv) A, B, C, P, U, ... Prediados;3. x GOSTA(x, ollor) xGOSTA(x,ollor)Exerios: Nos exerios seguintes, represente ada proposio na linguagemda lgia de primeira ordem, espeiando em ada aso o signiado dos smbolosno lgios utilizados.1. Todo ahorro um animal. Todo animal morre. Rex um ahorro.2. Qualquer pessoa passando nos exames de histria e ganhando na loteria feliz. Porm qualquer pessoa que estuda ou tem sorte pode passar em todosos exames. Joo no estudou, mas ele tem sorte. Qualquer pessoa que temsorte ganha na loteria. Joo feliz?

3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem 653. Toda pessoa que no pobre e esperta feliz. Pessoas que lem no soburras. Joo sabe ler e rio. Pessoas felizes tm vidas exitantes. Existealgum que tem vida exitante?4. Ningum onquistou o mundo. Portanto, todo mundo livre.5. Todo eltron tem arga negativa. Nenhum psitron tem arga negativa. Por-tanto, nenhum psitron um eltron.6. Se Jane est doente, ela no vir trabalhar. Se ela no vier trabalhar, nenhumde ns ter nada para fazer. Assim, se Jane est doente, nenhum de ns ternada para fazer.Exemplo: Conselheiro Finaneiro:1. Funo: ajuda a deidir se devemos investir em investimentos tipo poupanaou no merado de aes.2. O investimento reomendado depende do ganho mensal da pessoa e quanto elatem em poupana.3. Pessoas om valor inadequado de poupana devem sempre aumentar o valorda poupana omo 1a prioridade, independente do seu ganho.4. Pessoas om valor adequado de poupana e um ganho adequado devem on-siderar um investimento mais arrisado, porm mais lurativo no merado deaes.5. Pessoas om ganho inadequado e om poupana adequada podem onsiderarem dividir o valor a ser investido entre poupana e merado de aes. Istoaumenta a poupana e tenta aumentar o ganho.6. Poupana adequada se valor poupado maior do que 5.000 x no de dependentes.7. Ganho adequado se valor ganho maior do que 15.000 + (4.000 x no de de-pendentes) e estvel. Um ganho instvel, mesmo que grande, sempreinadequado.

3.1 Linguagem da Lgia Clssia de Primeira Ordem 66 TOTALPOUP(x): x total na poupana. DEPEND(y): nmero de dependente minpoup(y): funo que retorna o valor da poupana mnima (5.000) vezes onmero de dependentes TOTALGANHO(x, estvel): ganho total x e este estvel. minganho(y): funo que retorna o valor do ganho mnimo mais o arsimopor dependente. MAIOR(x,y): x > y POUP(status): status uma varivel que india a situao (adequada/inadequada)da poupana. GANHO(status): aqui, status india a situao (adequada/inadequada) doganho. INVEST(tipo): tipo uma varivel que guarda o tipo de investimento re-omendado (poupana/ombinado/aes)Espeiao:1. POUP(inadequado) to INVEST(poupana)2. POUP(adequado) GANHO(inadequado) INVEST(ombinado)3. POUP(adequado) GANHO(adequado) INVEST(aes)4. x TOTALPOUP(x) y (DEPEND(y) MAIOR(x, minpoup(y))) POUP(adequado)onde minpoup(x) = 5.000x5. x TOTALPOUP(x) y (DEPEND(y) MAIOR(x, minpoup(y)) POUP(inadequado)6. x TOTALGANHO(x, estvel) y (DEPEND(y) MAIOR(x, minganho(y)))to GANHO(adequado)

3.2 Sistemas Dedutivos 677. x TOTALGANHO(x, estvel) y (DEPEND(y) MAIOR(x, minganho(y))) GANHO(inadequado)8. x TOTALGANHO(x, instvel) GANHO(inadequado)Entrada:9. TOTALPOUP(22.000)10. TOTALGANHO(25.000, estvel)11. DEPEND(3)Exerio: Qual a sada produzida pela espeiao aima para a entradadada?3.2 Sistemas DedutivosSistemas dedutivos para lgia de primeira ordem.Denio 1 Dizemos que uma varivel x oorre livre em uma frmula se somentese:(i) uma frmula atmia e x oorre em ;(ii) uma frmula da forma , , e x oorre livre em ou ;(iii) uma frmula da forma e x oorre livre em ;(iv) uma frmula da forma y ou y e x oorre livre em e x 6= y.Exemplos: x oorre livre?1. P(x,y) SIM2. y( P(x,y) Q(y,x) R(y) ) SIM

3.2 Sistemas Dedutivos 683. y( x(P(x) Q(y)) R(x) ) SIM4. y z ( (xP(x,y) Q(z)) (Q(x) R(x,y)) ) SIM5. P(z,y) NO6. y x ( P(x,y) Q(y) ) NODenio 1 Uma frmula uma sentena (ou uma frmula fehada) se somentese no tem nenhuma varivel oorrendo livre.Denio 1 Seja uma frmula, x uma varivel e t um termo. Pela substituiode x por t em ((x/t)) entendemos a expresso resultante da troa de todas asoorrnias livres de x por t.Exemplos:1. y(P(x, y,f(x, y))) Q(g(x), h(g(x)) x/h(a) y(P(h(a), y, f(h(a), y)) Q(g(h(a), h(g(h(a))))2. y( x(Q(x, y, g(z)) P(f(x), y))) R(y(g(x))) x/f(z) y( x(Q(x, y, g(z)) P(f(x), y))) R(y(g(f(z))))3. [ y(P(x, y, f(x,y))) Q(y,z) x/g(z) z/ay (P(g(z), y, f(g(z), y)) Q(y, z) z/ay (P(g(a), y, f(g(a), y)) Q(y, a)

3.2 Sistemas Dedutivos 69Denio:Denotaremos por: (x 1 , x 2 , ..., x n ) (x 1 /t 1 , x 2 /t 2 , ..., x n /t n )a substituio simultnea (paralelo) de todas as oorrnias livres de x 1 , ..., xn por t 1 , ..., t n respetivamente.OBS: (x 1 /t 1 ) ... (x n /t n ) em srie da esquerda para direita.

(x 1 /t 1 , x 2 /t 2 , ..., x n /t n ) em paralelo.Exemplos:1. P(x, f(y), g(x,y)) (x/a, y/b)P(a, f(b), g(a,b))2.(yxP (x, y)) Q(g(x)) R(h(y)) (x/f(a), y/z)(yxP (x, y)) Q(g(f(a))) R(h(z))3. P(x,y,f(x,z)) (x/g(z), z/y, y/a)P(g(z), a, f(g(z),y)4. P(x,y,f(x,z)) (x/g(z)) (z/y) (y/a)P(g(z),y,f(g(z),z)) (z/y) (y/a)P(g(y),y,f(g(y),y)) (y/a)P(g(a),a,f(g(a),a))Denio:Uma varivel x substituvel em uma frmula por um termo t se, para adavarivel y oorrendo em t, no existe nenhuma subfrmula de da forma y ou

y onde x oorre livre em .

3.3 Deduo Natural 70O que queremos evitar om esta ondio que o quantiador y ou y apturealguma varivel de t.Exemplo:( y CHEFE(x,y) GERENTE(x)) x/y( y CHEFE(y,y) GERENTE(y))3.3 Deduo Natural

Regras para , , , , ABS e RA so as mesmas do aso proposiional. Regras do Quantiador Universal :-I

(a)

x(a/x)

Condio: Condio:a no oorre emnenhuma frmula do BD e nem em nen-huma suposio em aberto.-E

x

(x/t)Condio: x substituvel em por tRegras para o Quantiador Existenial:

-I(a)

x(a/x)

-E Condio: a no oorremem , nem no BD e nem emqualquer suposio na qual depende, a no ser (x/a).

3.3 Deduo Natural 71x(x)

[(a)]i...

iExemplo 1: xyP (x, y) yxP (x, y)1. [xyP (x, y)]1 Suposio1.1 yP (a, y) -E (1)1.2 P (a, b) -E(1.1)1.3 xP (x, b) -I (1.2)1.4 yxP (x, y) -I (1.3)2. xyP (x, y) yxP (x, y)1 E(1,1.4)Exemplo 2: x(Q(y) P (x)) (Q(y) xP (x))1. [x(Q(y) P (x))]1 Suposio1.1 Q(y) P (a) -E (1)1.2 [Q(y)]2 Suposio1.2.1 P (a) -E (1.1,1.2)1.2.2 xP (x) -I (1.2.1)1.3 (Q(y) xP (x)2 -I (1.2,1.2.2)2. x(Q(y) P (x)) (Q(y) xP (x)) -I (1,1.3)

3.4 Mtodo Axiomtio 72Exemplo 3:1. xyP (x, y)2. xy(P (x, y) Q(x) R(y)) Pergunta: xT(x)?3. xR(x) xQ(x) x(S(x) T (x))4. yP (a, y) -E5, P (a, b) -E(4)6. y(P (a, y) Q(a) R(y)) -E(2)7. P (a, b) Q(a) R(b) -E(6)8. Q(a) R(b) -E(5,7)9. Q(a) -E(8)10. xQ(x) -I(9)11. R(b) -E(8)12. xR(x) -I(11)13. xR(x) xQ(x) -I(10,12)14. x(S(x) T (x)) -E(13,3)15. [S(a) T (a)]1 Suposio15.1 T (a) -E(15)15.2 xT (x) -I(15.1)16. xT (x)1 -E(14,15,15.2)3.4 Mtodo Axiomtio Os onetivos , , , so denidos pelos mesmos axiomas esquema daLgia Proposiional.Axiomas Lgios:Impliao:(1) ( )(2) ( )) (( ) ))

3.4 Mtodo Axiomtio 73Conjuno:(3) ( ) (4) ( ) (5) ( ( ))Disjuno:(6) (7) (8) (( ) ( )) (( ) )Negao:(9) (10) (11) ( ) (( ) ) Quantiador Universal:(12) x (x/t),onde x substituvel por t em ; ( -elim)(13)( ) ( x ), onde x no oorre livre em ; ( -introd)(14) x(x) x(x) por denioExemplo 1:1. xP (x)2. x((P (x) Q(x)) R(x)) yR(y) ?3. xQ(x)

3.4 Mtodo Axiomtio 744. xP (x) P (y) axioma 12 x/y5. P(y) MP(1,4)6. xQ(x) Q(y) axioma 12 x/y7. Q(y) MP(3,6)8. P (y) (Q(y) (P (y) Q(y))) axioma 59. Q(y) (P (y) Q(y)) MP(5,8)10. P(y) Q(y) MP(7,9)11. x((P (x) Q(x)) R(x)) ((P (y) Q(y)) R(y)) axioma12 x/y12. (P (y) Q(y)) R(y) MP(2,11)13. R(y) MP(10,12)14. R(y) (xP (x) R(y)) axioma115. xP (x) R(y) MP(13,14)16. (xP (x) R(y)) (xP (x) yR(y)) axioma1317. xP (x) yR(y) MP(15,16)18. yR(y) MP(1,17)OBS: As noes de prova, teorema e a relao de derivabilidade soanlogas s da Lgia Proposiional.

3.5 Semntia 753.5 SemntiaNesta seo apresentaremos a semntia da Lgia Clssia de Primeira Ordemsomeente para sentenas, isto , frmulas sem oorrnia de varveis livres. Reviso da Semntia da Lgia Proposiional:Maria foi ao inema. Se ela foi ao inema ento ela omprou pipoa e assistiu aolme. Se ela omprou pipoa ento ela tem dinheiro ou ela pegou emprestado omJoo. Se ela pegou emprestado om Joo ento Joo tem dinheiro.C: Maria foi ao inema.P: Maria omprou pipoa.F: Maria assistiu ao lme.D: Maria tem dinheiro.E: Maria pegou dinheiro emprestado om Joo.J: Joo tem dinheiro.C

C P F

P D E

E J

v(C) = F

v(P ) = V

v(D) = v(E) = F

v(J) = V

3.5 Semntia 76No um modelo para o onjunto de frmulas, pois no satisfaz todas as frmu-las.v(C) = V

v(P ) = V

v(F ) = V

v(D) = F

v(E) = V

v(J) = V um modelo.v(C) = V

v(P ) = V

v(F ) = V

v(D) = V

v(E) = F

v(J) = F um modelo.A semntia da lgia de primeira ordem tem omo objetivo atribuir signiadoss frmulas da linguagem. Uma frmula s tem signiado quando uma interpretao dada a seus sm-bolos no lgios. x(Q(x) P (x)) verdadeira ou falsa?

3.5 Semntia 77Ns s podemos dizer se esta frmula V ou F se interpretarmos seus smbolosno-lgios.Primeiro, preisamos saber qual o universo em que as variveis esto quanti-ando. Por exemplo: nmeros inteiros, nmeros reais, pessoas...Depois, preisamos interpretar os prediados, funes e onstantes.Exemplo: x(Q(x) P (x))Interpretao:universo:pessoasprediados: Q: funionrio da UFRJ. P: funionrio pblio.

Figura 3.1:x(Q(x) P (x)) verdadeira na interpretao aima.Exemplo 2:U={Joo, Jos, Pedro}QI = {< Joao >,< Jose >}

3.5 Semntia 78P I = {< Jose >,< Pedro >}

x(Q(x) P (x)) falsa nesta interpretao.Exemplo 3: x(Q(x) P (x))U = Z (inteiros)QI = {< 0 >,< 1 >, ...}(naturais)P I = {... < 2 >,< 1 >,< 0 >,< 1 >,< 2 >, ...} (inteiros)x(Q(x) P (x)) verdadeira nesta interpretao.Exemplo 4: x(P (x) Q(x, c))U = R (reais)QI = x > c

P I = x raionalcI = 0Existe algum nmero real que tambm raional e maior do que zero.Exemplo 5: x(P (x) Q(x) R(x, f(c)))U = Z (inteiros)cI = 0

f I = x+ 1

QI = {< 2 >,< 4 >,< 6 >, ...}

P I = {< 1 >,< 2 >,< 3 >, ...}

RI = x > yTodo nmero inteiro positivo e par maior do que 1. (verdadeiro)

3.5 Semntia 79Exemplo 6: x(P (x) Q(x) R(x, f(c)))U = Z (inteiros)cI = 4

f I = x+ 1

QI = {< 2 >,< 4 >,< 6 >, ...}

P I = {< 1 >,< 2 >,< 3 >, ...}

RI = x > yTodo nmero inteiro positivo e par maior do que 4. (falso)Exemplo 7: (yC(x, y)) G(x)U = {Jos,Joo,Pedro,Paulo}C : x hefe de yG : x gerenteCIJoo JosJoo PauloJoo PedroJoo JooPaulo JooPaulo PauloPaulo PedroPaulo JosPaulo JosGIJooPedro

3.5 Semntia 80x = Joo Vx = Jos Vx = Pedro Vx = Paulo FEm geral, para sabermos se uma frmula verdadeira ou falsa, ns preisamossaber o universo e interpretar ada smbolo no-lgio neste universo.(1) Interpretar variveis livres e onstantes em elementos do domnio.(2) Interpretar prediados em relaes entre elementos do domnio.(3) Interpretar funes em funes sobre o domnio.Denio: Denimos uma interpretao omo sendo um par ordenado onde D um onjunto no-vazio de indivduos hamado domnio. E V uma funo hamada de funo de interpretao, denida omo:1. I assoia a ada varivel livre x um elemento do domnio dI D.

I(x) = dI2. I assoia a ada onstante , um elemento do domnio cI D.I(c) = cI3. I assoia a ada smbolo funional n-rio f uma funo n-ria f I : Dn D talque I(f(t1,...,tn)) = f I(I(t1),...,I(tn)), onde t1,...,tn so termos.4. I assoia a ada smbolo prediativo n-rio P uma relao n-ria sobre D.I(P ) = P I , P I Dn, ie, P I D D, , ,D, n vezes.

3.5 Semntia 81Denio:Seja L uma linguagem de primeira ordem e e , frmulas de L, t1, ..., tn termos,P um smbolo prediativo n-rio e < D, I > uma interpretao. Denimos a funode avaliao de frmulas de L omo:VI : W {V, F}, onde W o onjunto de frmulas, tal que:(1) VI(P (t1, ..., tn)) = V se somente se < I(t1), ..., I(tn) > P I . F aso ontrrio.(2) VI() = V se VI() = F . F aso ontrrio.(3) VI( ) = V se VI() = V e VI() = V . F aso ontrrio.(4) VI( ) = F se VI() = F e VI() = F . V aso ontrrio.(5) VI( ) = F se VI() = V e VI() = F . V aso ontrrio.(6) VI(x) = V se somente se para todo d D, se I(x) = d ento VI() = V .F aso ontrrio.(7) VI(x) = V se para algum d D, I(x) = d e VI() = V . F aso ontrrio.Denio:Seja L uma linguagem de 1a ordem. I uma interpretao para L, um onjuntode frmulas de L e uma frmula.1. I satisfaz (|=I ) se somente se VI() = V ;2. I satisfaz se somente se satisfaz ada membro de ;3. satisfatvel se somente se existe uma interpretao I que satisfaa ;4. vlida (|= ) se somente se para toda interpretao I, |=I , i.e., VI() = Vpara todo I; (*vlida equivalente a tautologia*)

3.5 Semntia 825. implia logiamente em ( |= ) se somente se para toda interpretaoI, se I satisfaz , ento I satisfaz ;6. insatisfatvel se somente se no satisfatvel, i.e., no existe umainterpretao I que satisfaz ;7. Uma interpretao I que satisfaz dita modelo para .Exemplo1: x(P (x) E(x,s(x))Esta frmula satisfatvel?Interpretao: D = { Joo, Jos, Pedro, 0,100, 200}P : pessoasE : empregados : salrio PessoasJooJosEmpregadoJoo 100Jos 200Pedro 0SalrioJos 100Joo 200... ...

3.5 Semntia 83OBS: As funes tm que ser totais,i.e., devem retornar algum valor pertenenteao domnio a ada elemento do domnio.VI(x(P (x) E(x, s(x))) = ?Para todo d D:d = JooVI(P(Joo))= V VI (E(Joo,200)) = F VI(x(P (x) E(x,s(x))) = F

3.5 Semntia 84Troando os valores na tabela de salrio:SalrioJos 200Joo 100... ...Para todo d D:d = JooVI (P(Joo))= V VI (E(Joo,100))= V VI(x(P (x) E(x,s(x))) = Vd = JosVI (P(Jos))= V VI (E(Jos,200))= V VI(x(P (x) E(x,s(x))) = Vd = PedroVI (P(Pedro))= F VI (E(Pedro,...))= ? VI(x(P (x) E(x,s(x))) = Vd = 0VI (P(0))= F VI (E(0,...))= ? VI(x(P (x) E(x,s(x))) = Vd = 100VI (P(100))= F VI (E(100,...))= F VI(x(P (x) E(x,s(x))) = Vd = 200VI (P(200))= F VI (E(200,...))= F VI(x(P (x) E(x,s(x))) = VExemplo 2: x(P (x) yQ(x, y))No Satisfaz Satisfaz

D = {0, 1} D = {0, 1}

P I = {< 0 >} P I = {< 0 >,< 1 >}

QI = {< 0, 1 >} QI = {< 0, 1 >,< 1, 0 >}Exemplo 3: x(P (x, y) Q(x) R(c))

3.6 Relao entre Sintaxe e Semntia 85No Satisfaz SatisfazD = {0, 1} D = {0, 1}

yI = 0 yI = 0

cI = 0 cI = 0

P I = {< 1, 1 >} P I = {< 0, 0 >,< 1, 0 >}

QI = {< 1 >} QI =

RI = {< 0 >} RI = {< 1 >}3.6 Relao entre Sintaxe e SemntiaTEOREMA DA CORRETUDE:Se ento |= ..TEOREMA DA COMPLETUDE:Se |= ento .