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Universidade Federal do Piauí

Campus Universitário Profa. Cinobelina Elvas – Bom Jesus, PI

Profa. Gisele

IV - PROBABILIDADE

1. INTRODUÇÃO

Os estatísticos ao modelarem dados experimentais ou amostrais, estão sempre a considerar a

variabilidade apresentada por esses dados. A descrição por meio da distribuição de freqüências é

um mecanismo usado para avaliar a variabilidade dos dados. O fenômeno sob estudo não necessita,

na maioria dos casos, ser observado diretamente. Existem inúmeros modelos teóricos que são

apropriados para reproduzir a distribuição de freqüência que seria obtida da observação direta do

fenômeno.

A teoria das probabilidades nos dá o instrumental para a construção e análise de modelos

matemáticos relativos a fenômenos aleatórios. Ao estudarmos um fenômeno aleatório temos diante

de nós um experimento cujo resultado não pode ser previsto. Daí a utilização de probabilidades

indica que existe um elemento do acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento.

Em outras palavras, a teoria das probabilidades estuda os fenômenos aleatórios com vários

resultados possíveis, quantificando as suas probabilidades de ocorrência. Com base na teoria das

probabilidades, jamais será possível afirmar por antecipação o que vai ocorrer num experimento

aleatório, pois isso dependerá sempre do acaso, no entanto, ela permite prever o que pode ocorrer e

ainda dimensiona a chance de ocorrência de cada uma das possibilidades. Entende-se por “chance”

a medida da ocorrência das circunstâncias favoráveis.

A obtenção de valores numéricos de probabilidades não é o principal objetivo da teoria das

probabilidades, mas sim a descoberta de leis gerais e a construção de modelos teóricos satisfatórios,

importantes em muitas situações que envolvam tomadas de decisão. Com o advento dessa teoria,

todos os processos inferenciais são aplicações de distribuições de probabilidade. Assim, o

conhecimento dos conceitos da teoria das probabilidades é de fundamental importância para a

utilização das técnicas estatísticas.

2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

2.1. EXPERIMENTO

É o fato ou fenômeno que se está estudando.

2

Ex:

* o lançamento de uma moeda;

* extração de uma carta de um baralho; a análise do clima; o estudo da economia, etc.

2.2.1. Experimento determinístico ou não aleatório

Aquele que quando repetido sob as mesmas condições conduzem sempre ao mesmo resultado.

Ex1:

* Ebulição da água em 10 latas de mesma capacidade.

* Considerando a equação tvte o+−= 29,4 , que representa a distância vertical percorrida por um

objeto acima do solo, sendo vo a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. Portanto, conhecidos

os valores de vo e t, o valor de e fica implicitamente determinado. Nota-se que existe uma relação

definida entre t e e, que determina univocamente a quantidade no primeiro membro da equação, se

aquelas do segundo membro forem fornecidas.

2.1.2. Experimento probabilístico ou aleatório ou não determinístico

É aquele cujos resultados podem não ser os mesmos, ainda que sejam repetidos sob condições

essencialmente idênticas.

Ex:

* lançar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras obtidas;

* selecionar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu “naipe”;

* jogar um dado ao ar e observar a sua face superior.

2.2. MODELO

Todas as vezes que empregamos a matemática a fim de estudar alguns fenômenos de

observação, devemos essencialmente começar pro construir um modelo matemático (probabilístico

ou determinístico) para esses fenômenos. O modelo deve simplificar a avaliação do fenômeno e

certos pormenores devem ser desprezados.

2.2.1. Modelo determinístico

É aquele que, a partir das condições em que o experimento é realizado, pode-se determinar seu

resultado.

2.2.2. Modelo probabilístico

É aquele em que as condições de execução de um experimento não determinam o resultado

final, mas sim o comportamento probabilístico do resultado observável.

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2.3. ESPAÇO AMOSTRAL (S)

Chama-se espaço amostral o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório ou, em outras palavras, é o conjunto universo relativo aos resultados de um experimento.

Pode ser discreto (enumeração finita ou infinita) ou contínuo.

Assim, pode-se dizer que, a cada experimento aleatório ou probabilístico sempre estará

associado um conjunto de resultados possíveis ou espaço amostral S.

Ex: Experimento aleatório: lançamento de três moedas consecutivas.

Espaço amostral:

S = {CaCaCa; CaCaCo; CaCoCa; CaCoCo; CoCaCa; CoCaCo; CoCoCa; CoCoCo}

Em que, n = 8 (n = número de eventos que ocorrem no espaço amostral S)

2.3.1. Espaço amostral finito

Seja S um espaço amostral finito: S = {a1, a2, a3, ... , an}

Um espaço de probabilidade finito é obtido associando-se a cada ponto ai ∈ S, um número

real Pi, chamado de probabilidade de ai, satisfazendo às seguintes condições:

(i) Pi ≥ 0, para i = 1, 2, ..., n

(ii) Pi + Pi + ... + Pi = ∑=

n

i

iP1

=1

Ex: Número de caras em três lançamentos consecutivos de uma moeda.

S = {0, 1, 2, 3}

P (0) = 1/8; P(1) = 3/8; P(2) = 3/8 e P (3) = 1/8

∑=

8

1i

iP = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1

2.3.2. Espaço amostral finito equiprovável

Seja S um espaço de probabilidade finito. Se cada ponto de S tem a mesma probabilidade de

ocorrer, então o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular se S contém n

pontos, então a probabilidade de cada ponto será n

1 ou

S de elementes de número

1

Se um evento A tem r pontos, então n

rAP =)(

Este método de avaliar P (A) é frequentemente enunciado da seguinte maneira:

P (A) = S

A

de elementes de número

de elementos de número

Ex: lançamento de um dado

4

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P (1) = P (2) = P ( 3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6

EVENTO A – jogando o dado cair 2, 3 ou 4

A = {2, 3, 4}

P (A) = P (2) + P (3) + P (4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Ex.: Número de caras em três lançamentos consecutivos de uma moeda.

S = {0, 1, 2, 3}

EVENTO A - no máximo uma cara

A = {0, 1}

P (A) = P (0) + P (1) = 1/8 + 3/8 = 4/8

2.4. EVENTO

É todo conjunto particular de resultados de S ou ainda, todo subconjunto de S.

Os eventos são classificados em:

2.4.1. Evento simples

Formado por um único elemento do espaço amostra S.

Ex: ocorrência da face 3 no lançamento de um dado.

2.4.2. Evento composto

Formado por mais de um elemento do espaço amostral S.

Ex: ocorrência de face par no lançamento de um dado.

2.4.3. Evento certo

É aquele que ocorre em qualquer realização do experimento. É o espaço todo S, então

P(S) = 1.

Ex: no lançamento de um dado fatalmente sairá a face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

2.4.4. Evento impossível

É aquele que não ocorre em qualquer realização do experimento. É o conjunto vazio ∅, então

P (∅) = 0

Ex: no lançamento de um dado sair a face 7

5

2.4.5. Evento complementar

Para um evento A qualquer, o complementar de A, denotado por A é dado por A = S – A, ou

seja, é um conjunto formado pelos elementos que pertencem a S e não pertencem a A. O resultado

da reunião de A e A é exatamente o espaço amostral.

Ex: Coroa é complementar de cara (e vice-versa); o conjunto de cartas de paus, ouros e copas são

complementares do conjunto de espadas.

2.4.6. Eventos mutuamente exclusivos

Caracteriza-se quando dois ou mais eventos não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, a

ocorrência de um exclui a possibilidade de ocorrência do outro evento. Correspondentemente,

caracterizam-se, na teoria dos conjuntos, por dois conjuntos disjuntos, isto é, que não possuem

nenhum ponto em comum (Ex: A ∩ B = ∅). Em outras palavras, dois eventos A e B são

mutuamente exclusivos se o seu conjunto interseção for vazio, ou seja, A ∩ B = ∅ ⇔ A e B são

disjuntos.

Ex:

* se a carta é de copas, então ela não é de ouro;

* se o tempo está nublado, então não há sol;

* ocorrência de face menor que 2 ou maior que 5 no lançamento de um dado.

P (face menor que 2) = 1/6 = 0,167 ou 16,7%

P (face menor que 5) = 1/6 = 0,167 ou 16,7%

Nota-se que os eventos “face menor que 2 ou face maior que 5” são mutuamente excludentes,

pois a ocorrência de um, impossibilita a ocorrência do outro. Porém, não são complementares, pois

não esgotam todos os resultados possíveis do experimento. Eventualmente, poderão esgotar todos

os resultados possíveis, nesse caso serão chamados de mutuamente excludentes e exaustivos.

2.4.7. Eventos independentes

Diz-se que dois ou mais eventos são independentes quando não exercem ações recíprocas,

comportando-se cada um de maneira que lhe é própria sem influenciar os demais. Caracteriza-se,

portanto, quando a ocorrência de um evento não for afetada pela ocorrência do outro, sendo a

recíproca verdadeira.

Ex: considerando o lançamento de duas moedas

Tem-se que S = {CaCa; CaCo; CoCo; CoCa}, os resultados dos eventos são independentes de uma

moeda para outra.

6

2.4.8. Evento condicionado

Quando associados dois ou mais eventos a um experimento aleatório qualquer dizemos que

eles são condicionados a outro evento B do mesmo experimento. Caracteriza-se quando a

ocorrência de um evento A qualquer dependa da ocorrência de outro evento B.

Ex:

* retirada, sem reposição, de duas cartas vermelhas de um baralho completo.

* uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Pretendo sortear a bola 5 e a bola 8. Tiro uma

bola e verifico que é a bola 8.

3. AXIOMAS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

AXIOMA é uma proposição evidente por si mesma e que não carece de

demonstração e sobre a qual se funda uma ciência.

Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a S. A cada evento A de S

associaremos um número real P (A), denominado probabilidade de ocorrência do evento A, se

forem satisfeitas as seguintes condições ou axiomas:

(i) P (S) = 1

(ii) 0 ≥ P (A) ≤ 1, para qualquer evento A em S.

(iii) Se A e B são dois eventos de S e são mutuamente exclusivos, então P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Este último axioma pode ser generalizado para o caso de um número finito de eventos

mutuamente exclusivos, ou seja,

)()(...)()()...(1

2121 ∑=

=+++=∪∪∪n

i

inn APAPAPAPAAAP

4. TEOREMAS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Além dos axiomas, o cálculo das probabilidades possui teoremas ou propriedades.

TEOREMA é uma proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente,

necessita de demonstração.

Esses teoremas são ilustrados e mais facilmente compreendidos com o uso da teoria dos

conjuntos. O Diagrama de Venn consiste numa das formas mais simples e simples de se apresentar

e tornar compreensível os conceitos e propriedades ,apresentadas.

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Como (A ∩ B) ≠ 0, então A e B não são mutuamente exclusivos. O Diagrama de Venn mostra que

os eventos A e B ou A e C são mutuamente exclusivos, pois se A ocorrer, C não ocorre e vice-versa. Para

essas situações:

(A ∪ C) = P (A) + P (C)

(B ∪ C) = P (B) + P (C)

4.1. Teorema da soma das probabilidades – P (A ou B)

Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

Para eventos NÃO mutuamente exclusivos:

P (A ou B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Para eventos mutuamente exclusivos:

P (A ou B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

OBS1: Para três eventos quaisquer:

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A ∩ B) – P (A ∩ C) – P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

OBS: Regra intuitiva da adição: Para achar P (A ou B), somamos o número de ocorrências

possíveis de A e o número de ocorrências possíveis de B, adicionando esses números de tal modo

que cada resultado seja contado apenas uma vez. P (A ou B) é igual a essa soma dividida pelo

número total de resultados possíveis.

P (pelo menos um) = P (ao menos um) = P (um ou mais) = 1 – P (não obter nenhum item daquele

tipo)

Ex: Numa urna são misturadas cinco bolas numeradas de 1 a 5. Uma bola é retirada. Qual a

probabilidade de sair par?

P (2 ou 4) = P (2) + P (4) = 5/25

1

5

1=+

S B C

A ∩ B A

8

4.2. Teorema do produto das probabilidades – P (A e B)

4.2.2. Independência estocástica ou probabilística (eventos independentes)

Se dois eventos A e B são independentes, então P (A/B) = P (A). A ocorrência de B não afeta

a probabilidade de A ocorrer. Então, se A for independente de B tem-se a definição de

independência.

P (A e B) = P (A ∩ B) = P (A) . P (B)

É fácil observar que se A é independente de B, então, B é independente de A.

Ex: Retiram-se, com reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas. Qual a

probabilidade de que ambas sejam defeituosas?

Sejam os eventos A = {a 1ª peça ser defeituosa}

B = {a 2ª peça ser defeituosa}

P(AI B) = P(B) ×P(A) = 6/10×6/10 = 0,36 ou 36%

4.2.2. Probabilidade condicional (eventos condicionados)

É a probabilidade de um evento A ocorrer dado que um evento B já tenha ocorrido e vice-versa.

(B) P

B) (A P (A/B) P

∩= ∴ (A/B) (B).P P B) (A P =∩

(A) P

B) (A P (B/A) P

∩= ∴ (B/A) (A).P P B) (A P =∩

Ex: Suponha o seguinte experimento aleatório: o lançamento de um dado.

Queremos obter a probabilidade de num lançamento sair o número 3 e ser ímpar. Os eventos são,

portanto: A → de sair o número 3; B → de ser ímpar.

Ou seja, P (A) = {3} = 1/3

P (B) = {1, 3, 5} = 3/6 = 1/2

Dada a informação da ocorrência de um evento B, teremos a redução do espaço amostral ao

avaliar a ocorrência do evento A; no exemplo o espaço S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* =

{1, 3, 5}, e é nesse espaço reduzido que se avalia a probabilidade do evento A dado a ocorrência de

B. Ou seja, P (A/B) = 1/3. Em outras palavras, pode-se dizer que P (A/B) significa dizer a

probabilidade de ocorrer o evento A dentro do espaço amostral de B. Ou ainda, P (A/B) significa

dizer a probabilidade de ocorrer o evento A dentro do espaço amostral de B.

Utilizando uma fórmula, temos que:

(A/B) (B).P P B) (A P =∩ = 3

1.

6

3 =

6

1

9

Outro Ex: Numa urna são misturadas cinco bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são

retiradas (a, b) sem reposição. Qual a probabilidade de:

a) a + b = 5

P (1 e 4) ou P (2 e 3) ou P (3 e 2) ou P (4 e 1) =

P (1) . P (4) + P (2) . P( 3) + P (3) . P(2) + P (4) . P (1) =

5/14

1.

5

1.4

4

1.

5

1

4

1.

5

1

4

1.

5

1

4

1.

5

1==+++

b) ambas as bolas serem pares

P (2 e 4) ou P (4 e 2) = P (2). P (4) + P (4) . P (2) = 10/14

1.

5

1.2

4

1.

5

1

4

1.

5

1==+

Outro Ex: Retiram-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas.

Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas?

Sejam os eventos A = {a 1ª peça ser defeituosa}

B = {a 2ª peça ser defeituosa}

P(AI B) = P(B) ×P(A/B) = 6/10×5/9=1/3 0,333 ou 33,3%

4.2.2.1. Teorema da Probabilidade total:

Se os eventos B1, B2, ..., Bn são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos e constituem

uma partição de um espaço amostral S. Então, para um evento arbitrário A,

(B) P.)(A/B P (A) Pn

1ii∑

=

=

É claro, que podemos escrever A como sendo a união dos eventos mutuamente exclusivos, isto é:

)(...)()( 21 nBABABAA ∩∪∪∩∪∩=

10

Logo, )(...)()()( 21 nBABABAAP ∩++∩+∩=

O teorema da probabilidade total deve atender as seguintes condições:

(i) se B1, B2, ..., Bn é um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, quaisquer dois

eventos Bi e Bj não podem ocorrer ao mesmo tempo e um deles deve ocorrer. Ou seja, =∩ ji BB ∅,

com i ≠ j.

(ii) SBBB n =∪∪∪ ...21

(iii) P (Bi) > 0

Exemplo:

Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos de plantas: P1, P2, P3 e P4. Plantados

canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de todas as sementes P1 germinarem é de 40%,

30% para P2, 25% para P3 e 50% para P4. Escolhido um canteiro ao acaso, qual a probabilidade

que todas as sementes tenham germinado?

Sabendo-se que:

P (G/P1) = 0,40; P (G/P2) = 0,30;

P (G/P3) = 0,25 e P (G/P4) = 0,50

S = {P1, P2, P3, P4} = P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = 1/4

Então, utilizando-se o teorema da probabilidade total, tem-se:

Logo, escolhido um canteiro ao acaso, a probabilidade de que todas as sementes tenham

germinado é 36,2%.

4.2.2.2. Teorema de Bayes

Com base na definição de probabilidade condicional pode-se estabelecer um resultado

bastante útil, conhecido como Teorema de Bayes ou também denominado fórmula da probabilidade

das “causas” ou dos “antecedentes”.

∑=

=n

i

ii BPBAPAP1

)()./()(

%6,23ou 362,0)(

25,0.50,025,0.25,025,0.30,025,0.40,0)(

=

+++=

AP

AP

11

Este teorema é baseado na partição de um espaço amostral S, num evento associado a esta

partição e na probabilidade de qualquer evento Bi ocorrer dado que o evento A já tenha ocorrido. Ou

seja, a expressão do teorema de Bayes dá a probabilidade de um particular Bi (causa), dado que o

evento A tenha ocorrido.

Sejam A e B dois eventos arbitrários com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então,

)(

)()./()/(

AP

BPBAPBAP =

Combinando este resultado com o teorema da probabilidade total, temos como conseqüência:

∑=

=n

ji

jj

j

BPBAP

BPBAPABP

1

)()./(

)()./()/(

i

Para qualquer j onde os Bi representam um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e

exaustivos.

A utilidade deste teorema consiste em permitir-nos calcular a probabilidade “a posteriori”

P (B/A) em termos das informações “a priori” P (B) e P (A).

Bayes e o raciocínio bayesiano:

Thomas Bayes foi um reverendo presbiteriano que viveu no início do século XVIII na

Inglaterra. Em 1731 apareceu na Inglaterra um livro anônimo – hoje creditado a Bayes – chamado

Benevolência divina. Em 1736, publicou seu primeiro e único livro de matemática, chamado The

doctrine of fluxions. O nome fluxion foi dado pelo matemático e físico Isaac Newton para a

derivativa de uma função contínua (que Newton chamava de fluent).

O RACIOCÍNIO BAYESIANO:

O raciocínio bayesiano pode ser explicado com um exemplo médico, relacionado com a

chance de uma mulher ter câncer de mama, usando dados de um artigo do norte-americano Eliezer

Yudkowsky, pesquisador da inteligência artificial. Recomenda-se que, a partir dos 40 anos, as

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mulheres façam mamografias anuais. Nessa idade, 1% das mulheres é portadora de um tumor

assintomático de mama. Sabe-se que a mamografia apresenta resultado positivo em 80% das

mulheres com câncer de mama, mas esse mesmo resultado ocorre também com 9,6% das mulheres

sem o câncer. Imagine agora que você chega em casa e encontra sua tia aos prantos, desesperada,

porque fez uma mamografia de rotina e o resultado foi positivo! Qual a probabilidade de ela ter um

câncer de mama?

Vamos montar o problema de uma maneira bayesiana. Em primeiro lugar, sua tia tem o

câncer de mama (CA) ou não (não-CA). Essas alternativas, mutuamente excludentes, podem ser

colocadas em uma tabela, como abaixo. Podemos iniciar o raciocínio pela probabilidade de cada

alternativa ‘antes de fazer qualquer teste’. É a chamada probabilidade a priori – ter câncer ou

não ter. Como em média 1% das mulheres de 40 anos tem um tumor de mama, a probabilidade a

priori de sua tia ter um câncer é de 1% (0,01) e de não ter é de 99% (0,99).

Agora vamos incorporar o resultado da mamografia. Se o câncer de mama está presente, a

probabilidade condicional de a mamografia ser positiva é 0,80 (80%), e se não está presente é de

0,096 (9,6%).

Observe que a soma das probabilidades a priori é 1, mas isso não acontece com as

probabilidades conjuntas.

Para fazer com que a soma das probabilidades conjuntas seja igual a 1, é preciso usar uma

normalização, dividindo cada probabilidade conjunta pela soma das duas. Chegamos assim à

chamada probabilidade a posteriori.

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Portanto, o raciocínio bayesiano nos levou de modo muito simples a concluir que a

probabilidade a posteriori (ou seja, após o teste) de sua tia não ter um câncer de mama é de 0,54

(54%) e você pode tranqüilizá-la de que a situação não é inevitável.

Exemplo:

Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos de plantas: P1, P2, P3 e P4. Plantados

canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de todas as sementes P1 germinarem é de 40%,

30% para P2, 25% para P3 e 50% para P4. Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que todas

as sementes haviam germinado, qual a probabilidade que sejam P4?

Sabendo-se que:

P (G/P1) = 0,40; P (G/P2) = 0,30;

P (G/P3) = 0,25 e P (G/P4) = 0,50

S = {P1, P2, P3, P4} = P (1) = … = P (4) = 0,25

Então, utilizando-se o teorema da probabilidade total, tem-se:

Logo, escolhido um canteiro ao acaso, em que todas as sementes tenham germinado, a

probabilidade que sejam P4 é 29%.

Outros teoremas:

4.3. Se φφφφ é um conjunto vazio, então P (φφφφ) = 0.

A = A ∪ ∅

P (A) = P (A ∪ ∅)

Se A e ∅ são mutuamente exclusivos.

Logo, P (A) = P (A) + P(∅)

P (∅) = P (A) – P (A)

P (∅) = 0

==

∑=

n

i

ii

ii

BPBAP

BPBAPAP

1

)()./(

)()./()(

%35ou 35,025,0.50,0...25,0.40,0

25,0.50,0)(

)4().4/(...)1().1/(

)4().4/()(

=++

=

++=

AP

PPPGPPPPGP

PPPGPAP

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4.4. P (A ∩∩∩∩ ∅∅∅∅) = P (∅∅∅∅) = 0

P(A) . P (∅) = P (A) . 0 = 0

4.5. P (A ∩∩∩∩ S) = P (A)

P (A) . P (S) = P (A) . 1 = P (A)

4.6. P (A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅) = P (A)

P (A) + P (∅∅∅∅) = P (A)

4.7. P (A ∪∪∪∪ S) = P (S)

P (A) + P (S) = 1 = P (S)

4.8. P (φ ) = P (S) = 1

4.9. P ( S ) = P (∅∅∅∅) = 0

4.10. Se A é o complementar de A, então P (A) = 1 – P ( A ).

A e A são eventos mutuamente exclusivos (A ∩ A = ∅) e complementares (A ∪ A = 1)

P (A ∩ A ) = P (∅)

P (A ∪ A ) = P (S)

P (A) + P( A ) = 1

P ( A ) = 1 = P (A)

O mesmo raciocínio vale para B, ou seja: P ( B ) = 1 = P (B)

4.11. P [ )(1)]( BAPBA ∩−=∪

4.12. P [ )(1)]( BAPBA ∪−=∩

4.13. Se A e B são dois eventos quaisquer e B é o complementar de B, então:

P (A ∩ B ) = P (A) – P (A ∩B)

P ( A ∩ A) = P (B) – P (A ∩B)

4.14. Se A ⊂⊂⊂⊂ B (lê-se se A está contido em B), então P (A) ≤≤≤≤ P (B)

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5. LITERATURA CONSULTADA

ARA, A. B.; MUSETTI, A. V.; SHNEIDERMAN, B. Introdução à estatística. São Paulo: Egard

Blucher: Instituto Mauá de Tecnologia, 2003.152p.

CARVALHO, S. Estatística básica. Rio de Janeiro: Campus-Elsevier, 2006. 464p.

FERREIRA, D. F. Estatística básica. Lavras: UFLA, 2005. 664p.

TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 656p.

Este conteúdo é resultado de pesquisas em vários livros e apostilas de estatística básica e aplicada,, portanto, ainda

deve ser revisado. Qualquer erro de digitação (ou outro qualquer), sugestões, críticas, etc., por favor, me comuniquem.

Obrigada.

Profa. Gisele

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI Lista de exercícios: Probabilidade 1. Dê o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos:

a) Lançamento simultâneo de duas moedas. b) Lançamento de dois dados, um após o outro. c) Lançamento simultâneo de três moedas. d) Distribuição de sexo de uma ninhada de três filhotes de coelhos.

2. Considere uma ninhada de três filhotes de coelho. Ache a probabilidade de obter:

a) Três fêmeas b) Duas fêmeas e um macho c) Uma fêmea somente d) Pelo menos um macho e) Nenhuma fêmea

3. A freqüência esperada de pessoas RH+ em uma população é estimada em 90%. Qual a freqüência esperada, nessa população, de casais: a) RH+ x RH+ → b) RH- x RH- → c) RH+ x RH- → d) marido RH+ x mulher RH- → e) marido RH- x mulher RH+ →

4. Uma mostra é retirada de um rebanho bovino e enumerada de 1, 2, 3,...,30, dentre esta amostra um número é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de o número escolhido ser:

a) Divisível por 5 ou 8? b) Divisível por 6 ou 8?

5. Considerando o espaço amostral de um experimento constituído do lançamento de dois dados perfeitamente simétricos, pede-se: a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face 2 e o segundo a face 3? b) Qual a probabilidade de que ambos os dados mostrem a mesma face? c) Qual a probabilidade de que o segundo dado mostre um número par? 6. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes e observado o número de caras. Qual a probabilidade de ocorrer? a) Pelo menos uma cara? b) Só uma cara ou só uma coroa? c) Exatamente uma cara? 7. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de: a) Ambas terem olhos azuis? b) Nenhuma ter olhos azuis? c) Pelo menos uma ter olhos azuis? 8. Em um certo colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15%$ em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Pede-se: a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em matemática?

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b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em química? c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática ou química? 9. Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo número é proporcional aos eu valor. Pede-se: a) Qual a probabilidade de sair o 3, sabendo-se que saiu é ímpar? b) Qual a probabilidade de sair um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3? 10. Um grupo de 15 mudas de bananeira contaminadas e não-contaminadas com determinada praga, apresenta a seguinte composição:

Pacovan Nanica Contaminada 5 3 Não contaminada 5 2

Uma muda é escolhida ao acaso. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de ser Pacovan? b) Qual a probabilidade de ser não contaminada? c) Qual a probabilidade de ser contaminada dado que é nanica? d) Qual a probabilidade de ser não contaminada dado que é Pacovan?

Duas mudas são escolhidas ao acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ambas serem Pacovan, se a escolha é feita com reposição? b) Mesmo problema anterior sem reposição?

11. Num exame de múltipla escolha há três alternativas para cada questão e apenas uma delas é

correta. Portanto, para cada questão, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta correta se ele está assinalando aleatoriamente e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele assinalou corretamente uma das questões, qual é a probabilidade de que ele tenha assinalado ao acaso?

12. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada, aleatoriamente, dessa

urna e não é reposta. Em seguida, duas bolas de cor diferente da bola extraída anteriormente (branca ou vermelha) são colocadas na urna. Se uma segunda bola é extraída aleatoriamente, qual a probabilidade de:

a) A segunda bola ser vermelha? b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira? 13. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5. Calcular a

probabilidade de: a) Apenas o homem estar vivo; b) Somente a mulher estar viva; c) Pelo menos um estar vivo; d) Ambos estarem vivos. 14. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é 3/4, da B é 1/6 e da C é 1/20.

A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é 1/10; de B comprar um carro da marca D é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?

15. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80m de altura. Por

outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,8m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?

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16. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma

fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?

17. Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm

tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?

18. Suponha que 75% das pessoas tenham olhos castanhos, 20% tenham olhos azuis e 5% tenham

olhos verdes. Suponha ainda que 70% das pessoas com olhos castanhos, 20% das pessoas com olhos verdes e 5% das pessoas com olhos azuis tenham cabelos castanhos. Qual é a probabilidade de uma pessoa de cabelos castanhos, escolhido ao acaso, ter olhos verdes?

19. Numa cidade 40% da população possui cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15% olhos

castanhos e cabelos castanhos. Uma pessoa é selecionada aleatoriamente. a) Se ela tiver olhos castanhos, qual a probabilidade de também ter cabelos castanhos? b) Se ela tiver cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter olhos castanhos?

20. Temos duas caixas: na primeira há 3 bolas brancas e 7 pretas, e na segunda há 1 branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida aleatoriamente, selecionou-se uma bola e verificou-se que é preta. Qual a probabilidade de que tenha saído da primeira caixa?

21. Em torno de 30% dos gêmeos humanos são idênticos e o restante são fraternos. Gêmeos

idênticos têm necessariamente o mesmo sexo - metade são homens e metade são mulheres. Um quarto dos gêmeos fraternos são ambos homens, um quarto são ambas mulheres e metade são mistos: um homem e uma mulher. Você acaba de ser comunicado de que terá gêmeos e que ambas são meninas. Com esta informação, qual é a probabilidade de que elas sejam gêmeas idênticas?

Respostas: 2. a) 1/8 b) 3/8 c) 3/8 d) 7/8 e) 1/8 3. a) 81% b)1% c)9% d) 50% e)50% 4. a) 9/30 b)8/30 5. a) 1/6 b) 1/6 c) 3/6 6). a) 7/8 b) 6/8 c) 3/8 7. a) 1/15 b) 7/15 c) 8/15

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8. a) 67% b) 40% c) 30% 9. a) 3/9 b) 10/15 10. a) 10/15 b) 7/15 c) 3/5 d) 5/10 a) 100/225 b) 90/210 11. a) 43,75% 12. a) 41/72 b)13/36 13. a) 15% b) 30% c)90% d) 45% 14. 0,53 ou 53% 15. 0,21 ou 21% 16. 0,64 ou 64% 17. 0,23 ou 23% 18. 0,018 ou 1,8% 19. a) 0,6 ou 60% b) 0,375 ou 37,5% 20. 0,46 ou 46% 21. 0,4615 ou 46,15%