Apostila 3 - Lógica Matemática

7/22/2019 Apostila 3 - Lgica Matemtica

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Notas de AulaMatemtica DiscretaFatec TatuapProf. Fbio Secches Bueno e Prof. Flvio Luiz de Moraes Barboza 1

CAPTULO 3NOES DE LGICA MATEMTICA

3.1 - PROPOSIES e CONECTIVOS

Definio:Umaproposio todo conjunto de palavras ou smbolos que tem sentido completo.

importante observar que quando se trata de uma orao, ela deve ter um sujeito e um predicado, ou deve serdeclarativa.

Definio: Chama-se valor lgico de uma proposio de verdade, denotado por V, se a proposio verdadeira; e este valor ser uma falsidade, denotado por F, se a proposio em questo for falsa.

Exemplos de proposies:

a) O Brasil um pas latino americano.b) O Sol gira em torno da Terra.c) 7 d) IN3

Os itens a) e c) so verdadeiros, enquanto b) e d) so falsos.

A Lgica Matemtica tem dois axiomas como regras. So eles:

I) Princpio da no contradio:uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.II) Princpio do terceiro excludo: uma proposio ou verdadeira ou falsa, no existindo uma

terceira opo.

De acordo com estes dois axiomas, pode-se afirmar que toda proposio admite um e somente um dos valoreslgicos V ou F.

As proposies podem ser classificadas como simples e compostas.

Definio:Uma proposio dita simplesse no h outra proposio na sua formao, isto , no existe outraproposio como parte integrante de si mesma. Ela ser denotada por letras minsculas:p, q, r,...

Exemplos:

p: Andr usa culos.

q: Maria estudante.r: O nmero 27 um cubo perfeito.

Definio:Uma proposio dita compostaquando ela formada pela combinao de mais de uma proposiosimples. Ela denotada por letras maisculas:P, Q, R,...

Exemplos:

P: Andr usa culos e Maria estudante.Q: O nmero 27 um cubo perfeito ou Andr usa culos.

OBS:As proposies compostas tambm podem ser denotadas por P(p,q,r,...), isto ocorre quando queremosdizer por quais proposies simples a proposio composta formada.


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O valor lgico de uma proposio simplespser indicado por V(p). Logo, sepfor verdade, ento V(p) = V, ese for uma falsidade, V(p) = F.

Por exemplo:p: 154 q: 62.4

Neste caso, considerando-se as proposies anteriorespe q, tem-se:

V(p) = V e V(q) = F.

OBS: Se o caso considerado for uma proposio compostaP, ser denotado por V(P).

Definio: Conectivos so palavras utilizadas na construo de novas proposies (compostas) a partir deoutras proposies (simples) j existentes.

Os conectivos mais usuais so: e, ou, no, se...ento(implica) e se e somente se.

A seguir tm-se alguns exemplos:

P: A lua amarela eo sol verde.Q: 954 ou 54 .

R: Noest nublado.S: Se 01x , ento 1x .T: Um retngulo ABCD um quadrado se e somente setem todos os lados iguais.

3.2 - TABELAS-VERDADESToda proposio simples p tem apenas dois valores lgicos: ou verdadeira (V(p) = V) ou falsa

(V(p) = F), isto segundo o Princpio do Terceiro Excludo. Ou seja,

p

VF

Para encontrar o valor lgico de uma proposio composta deve-se notar que esta proposio dependeunicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por eles univocamentedeterminado. Para aplicar este princpio na prtica utiliza-se um princpio denominado tabela-verdade, no qualse encontram todos os possveis valores lgicos da proposio composta em questo. Na construo destastabelas, utilizaremos o diagrama da rvore.

Nas tabelas-verdade, o nmero linhas da proposio composta determinado pela quantidade de proposiessimples componentes. Por exemplo:


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a)P(p,q)

p q

1 V V2 V F3 F V4 F F

b) Q(p,q,r)

p q r

1 V V V2 V V F3 V F V4 V F F

5 F V V6 F V F7 F F V8 F F F

Deste modo pode-se enunciar o seguinte teorema.

Teorema: O nmero de linhas de uma tabela-verdade dado por n2 , onde n o nmero deproposies simples componentes.

Neste caso, por exemplo, se uma proposio composta formada por trs proposies simples, entoela ter 823 linhas.

3.3 - OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES

3.3.1NEGAO

Definio: A negao de uma proposio p, chamada de no p e denotada por ~p (ou p) tem

sempre o valor lgico oposto ao da proposio original, isto , se V(p) = F, ento V(~p) = V e se V(p)= V, ento V(~p) = F.A tabela-verdade da negao dada por:

p ~p

V FF V

OBS: Alm de da palavra no, pode-se utilizar tambm: falso que ou no verdade que paraexpressar uma negao.

Exemplos:1) p: O cu verde.

~p:

Neste caso, temos V(p) = F e V(~p) = V.

2) q: Braslia capital do Peru.~q:

Neste caso, temos V(q) = F e V(~q) = V.

3) r: Joo estudante.~r:


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3.3.2CONJUNO

Definio:Conjunode duas proposies p e q , chamada p e q , e denotada por qp (ou qp. ) uma proposio composta cujo valor lgico a verdade (V) se p verdade e q tambm verdade,e a falsidade (F) nos demais casos.

A tabela-verdade da negao dada por:

P q qp V V VV F FF V FF F F

Exemplos:

1) p: 12 . (V)

q: 53 . (V)qp :

2) p: O sol azul. (F)q: 22 2)2( . (V)qp :

3.3.3DISJUNO INCLUSIVA

Definio:Disjuno inclusivade duas proposies pe q, chamada pou q, e denotada por qp

(ou qp ) uma proposio composta cujo valor lgico a verdade (V) se p verdade ou q verdade, e a falsidade (F) nos demais casos, ou seja, s verdadeira se pelo menos uma das

proposies for verdadeira.

A tabela-verdade da disjuno inclusiva dada por:

p q qp

V V VV F VF V V

F F F

Exemplos:

1) p: 21 . (V)q: 33 . (F)qp :

2) p: O sol azul. (F)q: Paris a capital da Inglaterra. (F)qp :


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3.3.4DISJUNO EXCLUSIVA

Definio:Disjuno exclusivade duas proposies pe q, chamada tambm de pou q, e denotadapor qp (ou qp ) uma proposio composta cujo valor lgico a verdade (V) sep verdade ou q verdade, mas no quando ambas p e q so verdadeiras ao mesmo tempo, e a falsidade (F) quandoambas so verdadeiras ou ambas so falsas.

Por exemplo, uma proposio exclusiva quando temos:

p: Carlos paulista. (V)q: Carlos carioca. (V)

qp :

Neste caso vemos que duas proposies no podem ser verdadeiras, pois resultam em uma proposiofalsa.

A tabela-verdade da disjuno exclusiva dada por:

p q qp V V FV F VF V VF F F

3.3.5CONDICIONAL

Definio:Proposio condicionalou simplesmente condicionalde duas proposiespe q, chamada

sepento q, e denotada por qp uma proposio composta cujo valor lgico a falsidade (F)somente quandop verdade (V) e q uma falsidade (F), nos demais casos, temos sempre verdade (V).

A tabela-verdade da condicional dada por:

p q qp V V VV F FF V VF F V

Exemplos:

1) p: um nmero irracional. (V)q: 03 . (V)qp :

2) p: O cu azul. (V)q: Paris a capital da Inglaterra. (F)qp :


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3.3.6BICONDICIONAL

Definio:Proposio bicondicional ou simplesmente bicondicional de duas proposies p e q,chamada pse e somente se q, e denotada por qp uma proposio composta cujo valor lgico a falsidade (F) quando p verdade (V) e q uma falsidade (F), ou vice-versa, e uma verdade (V)quando ambos os valores lgicos so iguais, isto , quandop verdadeira e q verdadeira ou quandop uma falsidade e q uma falsidade.

A tabela-verdade da bicondicional dada por:

p q qp V V VV F FF V FF F V

Exemplos:1) p: um nmero irracional. (V)

q: 3 . (F)qp :

2) p: O cu verde. (F)q: Paris a capital da Inglaterra. (F)qp :

OBS:Uma bicondicional ( qp ) tambm pode ser lida da seguinte forma:

i) p condio necessria e suficiente para qii) q condio necessria e suficiente parap

3.3.7USO DE PARNTESES

O uso de parntese na simbologia das proposies compostas necessrio para que no haja

ambigidade.Como exemplo, tem-se a proposio: rqp . Com o uso de parnteses, tm-se duas outras

proposies diferentes:

(i) rqp )( e (ii) )( rqp

que no tm o mesmo significado, pois em (i), o conectivo principal (disjuno), e na (ii), o

conectivo principal (conjuno).

Por outro lado, em muitos casos, os parnteses podem ser suprimidos, a fim de simplificar as

proposies simbolizadas, desde que, no se tenha ambigidades.


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Para suprimir os parnteses faz-se necessrio ter-se em mente algumas convenes:

I) A ordem de procedncia para os conectivos :

(1) ~ (2) ou (3) (4)

II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parnteses,

fazendo-se associaes da esquerda para a direita.

EXERCCIOS(1) Sejam as proposies p: Est frio e q: Est chovendo. Traduzir para a linguagem correntea) p~ b) qp c) qp d) pq e) qp ~ f) qp ~ g) qp ~~ h) qp ~ i) pqp ~

(2) Sejam as proposies p: Jorge rico e q: Carlos feliz. Traduzir para a linguagem corrente:a) pq b) qp ~ c) pq ~ d) qp~ e) p~~ f) pqp~

(3) Sejam as proposies p: Marcos alto e q: Marcos elegante. Traduzir para a linguagem simblicaas seguintes proposies:a) Marcos alto e elegante.

b) Marcos alto, mas no elegante.c) No verdade que Marcos baixo ou elegante.d) Marcos no nem alto e nem elegante.e) Marcos alto ou baixo e elegante.f) falso que Marcos baixo ou que no elegante.

(4) Sejam as proposies p: Suely rica e q: Suely feliz. Traduzir para a linguagem simblica asseguintes proposies:

a) Suely pobre, mas feliz.b) Suely rica ou infeliz.c) Suely pobre e infeliz.d) Suely pobre ou rica, mas infeliz.

(5) Determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies.a) 835 e 1037

b) 10 e 7 irracional

c) 05 ou Londres a capital da Esccia

d) 24 ou 130sen

e) Se 23 , ento 2|4| f) Se 325 , ento Paris a capital da Franag) 222 543 se e somente se racional

h) i1 se e somente se 4


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3.4CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE

3.4.1TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, faz-se o seguinte:

I) Determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer construir;II) Determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema;III) Aplicam-se as definies das operaes lgicas que o problema exige.

Exemplo 1:Construir a tabela-verdade da proposio)~(~),( qpqpP .

Exemplo 2:Construir a tabela-verdade da proposio)(~)(~),( pqqpqpP .

Exemplo 3:Construir a tabela-verdade da proposiorqrprqpP ~~),,( .

Exemplo 4:Construir a tabela-verdade da proposio).()()(),,( rprqqprqpP


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Exemplo 5:Construir a tabela-verdade da proposio))~((~))(~(),,( rpqrqprqpP .

Exemplo 6:Construir a tabela-verdade da proposio)(~)(),( qpqpqpP .

3.4.2VALOR LGICO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Dada uma proposio composta P(p,q,r,...),pode-se sempre determinar o seu valor lgico (V ou F)quando so dados ou conhecidos os valores lgicos das respectivas proposies compostasp, q, r,...

Exemplo 7: Sabendo-se que os valores lgicos das proposies p e q so respectivamente V e F,determinar o valor lgico da proposio.

qpqpqpP ~~)(~),(

Soluo:VFFVFVFVFVPV ~~~)(~)(

3.4.3TAUTOLOGIA, CONTRADIO e CONTINGNCIA

Definio: Chama-se Tautologiatoda proposio composta cuja ltima coluna de sua tabela-verdadefor composta somente por verdades (V).

O exemplo 4, visto anteriormente, um caso de tautologia.

Definio:Chama-se Contradio toda proposio composta cuja ltima coluna de sua tabela-verdade composta apenas por falsidades (F).

O exemplo 6, visto anteriormente, um caso de contradio.

Definio: Chama-se Contingncia toda proposio composta cuja ltima coluna de sua tabela-verdade composta por verdades (V) e falsidades (F), contendo ao menos uma de cada.


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Os exemplos 1, 2, 3 e 5, vistos anteriormente, so exemplos de contingncia.

EXERCCIOS

(1) Construir as tabelas-verdade das proposies abaixo e classific-las em Tautologias, contradiesou contingncias.

a) )~(~),( qpqpR b) )~(~),( qpqpS c) qpqpqpT ),( d) qpqpqpU ~)~(),( e) rqrprqpP ~~),,( f) rqrprqpQ ~),,(

(2) Construir as tabelas-verdade das proposies abaixo e classific-las em Tautologias, contradiesou contingncias.a) )()(~),( qpqpqpP b) )()(),,( rqrpqprqpQ c) pqqpqpR ))((),( d) )~(~),( qpqpqpS e) )~(~),( qppqpT f) )(),,( rqpqprqpU

(3) Sabendo-se que os valores lgicos das proposies p, q e r so respectivamente V, F e F, determineo valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies:a) )()(),,( rpqpprqpP

b) ))(()~(),,( qrpqprqpQ c) ))(()(),,( rqprqprqpS

3.5IMPLICAO LGICA

Definio:Uma proposio ,...),( qpP implica logicamente uma proposio ,...),( qpQ , se ,...),( qpQ verdadeira (V) todas as vezes que ,...),( qpP verdadeira (V).

Notao: ,...),( qpP ,...),( qpQ

OBS:Toda proposio implica uma tautologia e somente uma contradio implica uma contradio.

Propriedades:

(1) Reflexiva: ,...),( qpQ ,...),( qpQ

(2) Transitiva: Se ,...),( qpP ,...),( qpQ e ,...),( qpQ ,...),( qpR , ento ,...),( qpP ,...),( qpR

Exemplo (1)As tabelas-verdade das proposies qp , qp e qp so:

p q qp qp qp V VV FF VF F


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A proposio qp verdadeira somente na primeira linha e, nesta linha, as proposies qp e

qp tambm so verdadeiras. Logo,

qpqp e qpqp

Esta tabelas-verdades tambm mostra as regras de inferncia:

(i) qpp e qpq (Adio)(ii) pqp e qqp (Simplificao)

Exemplo (2)As tabelas-verdade das proposies qp , qp e pq so:

p q qp qp pq

V V

V FF VF F

A proposio qp verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposies qp e

pq tambm so verdadeiras. Logo,

qpqp e pqqp

Exemplo (3) Mostrar a Regra do Silogismo disjuntivo, isto , mostrar que a proposio

pqp ~)( implica logicamente a proposio q.

A tabela-verdade da proposio pqp ~)( dada por:

p q qp p~ pqp ~)( V VV FF VF F

E como a proposio pqp ~)( verdadeira na linha 3 e, neta linha a proposio q tambm verdadeira, prova-se o resultado, isto :

qpqp ~)(

Tem-se ainda outra regra de inferncia desta forma dada por:

pqqp ~)(

Teorema: ,...),( qpP ,...),( qpQ se e somente se a condicional ,...),( qpP ,...),( qpQ uma

tautologia.


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OBS:Os smbolos e so diferentes, pois o primeiro de umaoperao lgica enquanto osegundo de relao.

Exemplo (4) A condicional )()()( rprqqp uma tautologia, como vimos. Nestecaso, tem-se a implicao lgica:

)()()( rprqqp

Que denominada Regra do Silogismo hipottico.

Exemplo (5) Mostrar a implicao lgica qpqp )( denominada Regra de Modus ponens,utilizando o Teorema.

Exemplo (6)Mostrar a implicao lgica pqqp ~~)( denominada Regra de Modus tollens,utilizando o Teorema.

Exemplo (7)Mostrar que pqp )( implica logicamente q, utilizando o Teorema.

EXERCCIOS

(1) Mostrar que a proposiop implica a proposio qem cada um dos seguintes casos:a) 3:p ; 145: tgq

b) 130: senp ; 32:q c) ABCDp : um losango; ABCDq : um paralelogramod) ABCp: um tringulo; :q A soma dos ngulos internos A, B e C igual a 180 graus.

(2) Mostrar:

a) qpq b) pqpq

(3) Mostrar que qp ~ no implica qp

(4) Mostrar que:a)pno implica qp

b) qp no implicap.

(5) Mostrar:

a) yxxxyx 4)4( .b) 0)0( xyxyxx .


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3.6EQUIVALNCIA LGICA

Definio:Uma proposio ,...),( qpP logicamente equivalente a uma proposio ,...),( qpQ , se astabelas-verdade de ,...),( qpP e ,...),( qpQ so iguais.

Notao: ,...),( qpP ,...),( qpQ

OBS:Se as proposies ,...),( qpP e ,...),( qpQ so ambas tautologias ou contradies, ento elas soequivalentes.

Propriedades:

(1) Reflexiva: ,...),( qpP ,...),( qpP

(2) Simtrica: Se ,...),( qpP ,...),( qpQ , ento ,...),( qpQ ,...),( qpP

(3) Transitiva: Se ,...),( qpP ,...),( qpQ e ,...),( qpQ ,...),( qpR , ento ,...),( qpP ,...),( qpR

Exemplo (1)As proposies p~~ e p so equivalentes, isto , pp~~ . Esta equivalncia denominada Regra da Dupla Negao, e podemos verificar tal fato na tabela-verdade a seguir:

p p~ p~~ VF

A primeira e a ltima coluna so iguais, por isso podemos afirmar que se trata de uma equivalncia

lgica.

Exemplo (2) As proposies pp~ e p so equivalentes, isto , ppp~ . Estaequivalncia denominada Regra de CLAVIUS, e podemos notar tal fato na tabela-verdade a seguir:

p p~ pp~

VF

A primeira e a ltima coluna so iguais, por isso podemos afirmar que se trata de uma equivalncialgica.

Exemplo (3)As proposies qpp e qp so equivalentes, isto , qpqpp ,isto, pois suas tabelas-verdades so iguais. a chamada Regra de Absoro.

p q qp qpp qp

V VV FF V

F F


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Exemplo (4)A condicional qp e a disjuno qp~ tem tabelas-verdade iguais, logo temosuma equivalncia lgica, isto , qpqp ~ . Veja as tabelas:

p q qp p~ qp~

V VV F

F VF F

Exemplo (5) A bicondicional qp e a disjuno )~(~)( qpqp tem tabelas-verdadeiguais, logo temos uma equivalncia lgica, isto , )~(~~)( qpqpqp . Veja as tabelas:

p q qp qp p~ q~ qp ~~ )~(~)( qpqp

V V V V F F F VV F F F F V F FF V F F V F F FF F V F V V V V

Teorema: ,...),( qpP ,...),( qpQ se e somente se a bicondicional ,...),( qpP ,...),( qpQ umatautologia.

OBS:Os smbolos e so diferentes, pois o primeiro de uma operao lgica enquanto osegundo de relao.

Exemplo (6)A bicondicional ))(()( rqprqp uma tautologia. Portanto, podemosdizer que as condicionais rqp e )( rqp so equivalentes, isto ,

)( rqprqp Esta equivalncia lgica denominada Regra de Exportao-ImportaoVeja a tabela-verdade:

Exemplo (7) As proposies 31 xx e )13(~ xx no so equivalentes, pois abicondicional

)13(~31 xxxx no uma tautologia, como podemos ver na tabela-verdade a seguir:


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3.6.1PROPOSIES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL

Definio: Dada uma condicional qp , chamam-se proposies associadas a qp as trsseguintes proposies condicionais:

i) Proposio recproca de qp : pq ii) Proposio contrria de qp : qp ~~ iii) Proposio contra-positiva de

qp:

pq ~~

As tabelas-verdade destas quarto proposies so:

p q qp pq qp ~~ pq ~~

V VV FF VF F

Das tabelas-verdade podemos tirar duas importantes equivalncias lgicas. Como as tabelas-vedadedas proposies qp e pq ~~ so iguais, elas so equivalentes, isto ,

pqqp ~~

Temos tambm que as tabelas-vedade das proposies pq e qp ~~ so iguais, elas soequivalentes, isto ,

qppq ~~

Exemplo (8)Considere a proposio condicional relativa a um tringulo:

:qp Se T eqiltero, ento T issceles.

Sua recproca :pq :

A proposio qp verdadeira (V), no entanto, a proposio pq falsa (F).

Exemplo (9)Considere a proposio condicional:

:qp Se Carlos professor, ento pobre.

A contra-positiva :pq ~~ :

Exemplo (10)Determinar a contra-positiva da condicional: Se x menor que zero, ento x no positivo.Soluo:Seja p : x menor que zero e q : x positivo. Assim, a condicional dada por: qp ~ . Portanto, suacontra-positiva


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Logo, em linguagem corrente, temos: Se x positivo, ento x no menor que zero.

Exemplo (11)Demonstrar a proposio condicional,

:qp Se 2x impar, ento x impar.

Soluo:

O que mostra que 2x par. Portanto, sua contra-positiva verdadeira e concluindo que a condicionalqp tambm verdadeira.

EXERCCIOS1) Mostrar que as proposies p eq so equivalentes em cada um dos seguintes casos:

a) 10:senp e 00cos:q

b) 12: 0p e 4:q

c) p: O tringulo ABC retngulo e 222: cbaq d) xp : par e 1:xq mpar, ( Zx )

e) 431:p e 16)31(: 2q

2) Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalncias:a) qrprqp ~~)(

b) pqpp )( c) qpqpq d) rqprpqp )()(

3) Demonstrar que o conectivo "" (ou exclusivo) uma equivalncia lgica do seguinte modo:

)(~)( qpqpqp

4) Exprimir a bi-condicional em funo dos trs conectivos, isto , mostrar se as equivalncias lgicasabaixo so verdadeiras:a) )()( pqqpqp

b) qpqp ~ c) pqqp ~

5) Determinara) A contra-positiva da contra-positiva de qp

b) A contra-positiva da recproca de qp c) A contra-positiva da contrria de qp


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6) Determinara) A contra-positiva de qp ~

b) A contra-positiva de qp~ c) A contra-positiva da recproca de qp ~ d) A recproca da contra-positiva de qp ~~

BIBLIOGRAFIA

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[2] IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemtica Elementar, volume 1,2 e 3 So

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[4] MELLO, JOS LUIZ PASTORE (coordenao tcnica). Matemtica, volume nico: construo

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[5] BOULOS, P.Clculo diferencial e integral, volume 1So Paulo: Makron Books, 1999.

[6] IEZZI, G...[ET AL.] Matemtica: cincia e aplicaes, 2 srie: ensino mdio, matemtica, 2

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