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Apontamentos de matemática – 5.º ano - Múltiplos e divisores

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Múltiplos e divisores (revisão do 1.º ciclo)

Os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse número pela

sequência dos números inteiros.

Exemplos:

Alguns múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, …

Alguns múltiplos de 10 são: 0, 10, 20, 30, …

Notas:

0 (zero) é múltiplo de todos os números inteiros.

Qualquer número inteiro é múltiplo de si próprio.

O zero é o único múltiplo de si próprio.

O número de múltiplos de um número natural é infinito.

Exercício proposto

1. Determine:

a) Três múltiplos de 5 menores que 30 formados por dois algarismos.

b) Todos os múltiplos de 10 menores que 50.

c) Os cinco menores múltiplos de 7.

d) Os múltiplos de 8 maiores que 20 e menores que 40.

e) Um número menor que 10 e que seja múltiplo de 2 e de 3.

Resolução:



Os divisores de um número inteiros são os números naturais pelos quais se pode

dividir esse número de forma exata (resto zero).

Exemplos

- Os divisores de 4 são 1, 2 e 4

Pois 4:1 4 , 4: 2 2 e 4: 4 1 (em todas estas divisões o resto é zero).

Se dividirmos 4 por qualquer outro número o resto não será zero.

- Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10

- Os divisores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10 e 20

- Os divisores de 29 são 1 e 29

Notas:

1 é divisor de todos os números.

Qualquer número natural é divisor de si próprio.

O menor divisor de um número natural é 1 e o maior é ele próprio.

Para determinarmos os divisores de um número tentamos dividir esse número pela

sequência dos números naturais, como a seguir se exemplifica.

Determinar os divisores de 30

1 e 30 são divisores de 30 (a unidade e ele próprio)

30:2=15, então 2 e 15 são divisores de 30


30:4 não dá resto zero


30:6=5 (como 5<6, podemos parar)

Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 15 e 30

Este procedimento deve efetuar-se, sempre que possível, mentalmente.



Exercícios propostos

2. Determine os divisores de: a) 7 b) 40 c) 50 d) 25 e) 24

3. Indique os divisores de 20 que são múltiplos de 5.

4. Qual é a soma de todos os divisores de 10?

5. Quantos divisores tem o número 8?

Números primos e compostos

Exercício resolvido

Determine os divisores de:

a) 6 b) 7 c) 15 d) 18 e) 19

Respostas

a) 1, 2, 3, 6 b) 1, 7 c) 1, 2, 3, 5, 15 d) 1, 2, 3, 6, 9 18 e) 1, 19

Do exercício anterior podemos reparar que alguns números (7 e 19) têm apenas dois

divisores.

Números primos são os que têm (só) dois divisores.

(Esses divisores são a unidade e o próprio número)

Exemplos de números primos: 2, 7, 19, 23.

Sugestão: Procure os seus divisores e verifique que são dois (a unidade e o próprio

número).



Números compostos têm mais de dois divisores.

Por exemplo, os números 6, 15 e 18 são compostos.

(verifique, no exercício anterior, que têm mais de dois divisores).

O número 1 não é primo nem composto.

Os números compostos podem ser escritos como um produto de números primos, isto

é, como o resultado da multiplicação de números primos.

Exemplos: 12 2 2 2 3 , 15 3 5 , 34 2 17

12 é composto e 2 e 3 são primos



Nota: Nas multiplicações verifica-se o seguinte:

2 5 10 ; 2 e 5 são divisores de 10; 10 é múltiplo de 2 e de 5

2 5 4 40 ; 2, 5 e 4 são divisores de 40; 40 é múltiplo de 2, de 4 e de 5.

Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade.

Nota: Esses dois números não têm que ser obrigatoriamente primos.

Exercício resolvido

Quais, dos pares de números seguintes, são primos entre si?

a) 3 e 10 b) 10 e 15 c) 5 e 11 d) 4 e 27

Resolução

a) Os divisores de 3 são 1 e 3. Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10.

O 3 e o 10 têm um divisor comum, o 1, logo são primos entre si.

b) Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

O 10 e o 15 têm dois divisores em comum, o 1 e o 5, então não são primos entre si.

c) Os divisores de 5 são 1 e 5. Os divisores de 11 são 1 e 11.

O 5 e o 11 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si.

d) Os divisores de 4 são 1, 2 e 4. Os divisores de 27 são 1, 3, 9 e 27.

O 4 e o 27 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si.



Notas

Não confunda números primos com números primos entre si.

Um número diz-se primo se tem (apenas) dois divisores.

Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade.

Dois números primos são sempre primos entre si, pois os divisores de cada um são a

unidade e eles próprios, (que são diferentes) logo o único divisor comum é a unidade.

Dois números primos entre si podem não ser primos. Veja no exercício anterior:

a) 3 é primo e 10 não é, mas são primos entre si.

d) 4 e 27 não são primos, mas são primos entre si.

Exercícios propostos.

6. Considere os números: 5, 9, 10, 11 e 16.

a) Determine os divisores de cada um deles.

b) Quais são números primos e quais são números compostos.

Justifique a sua resposta.

c) Assinale com uma cruz os pares de números que são primos entre si:

5 e 10 9 e 10 11 e 16 10 e 16

Resolução



Soluções dos exercícios propostos

1. a) Deve indicar três dos seguintes números: 10, 15, 20, 25

b) 0, 10, 20, 30, 40 c) 0, 7, 14, 21, 28 d) 24 e 32 e) 6

2. a) 1,7 b) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

c) 1, 2, 5, 10, 25, 50 d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

3. 5, 10, 20 4. 18 (1+2+5+10=18) 5. 4 (são 1, 2, 4 e 8)

6) a) Divisores de 5: 1 e 5; divisores de 9: 1, 3 e 9; divisores de 10: 1, 2, 5 e 10

Divisores de 11: 1 e 11; divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16

b) Primos: 5 e 11 (têm dois divisores); compostos: 9, 10 e 16 (têm mais de dois divisores).

c) 9 e10; 11 e 16

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