Apontamentos de hidraulica 1

Manuel Rijo Manuel Rijo

Análise Dimensional e Teoria da Semelhança v  EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Problema 3 Considere um reservatório de grandes dimensões, com um orifício de pequenas

dimensões numa das paredes laterais. Pretende-se determinar a velocidade média na secção contraída do jacto, sabendo que é função da carga no eixo do orifício (H), das características do líquido (ρ) e que o escoamento ocorre devido à ação das forças da gravidade. Deduza a expressão da velocidade na secção contraída aplicando o Teorema dos ππ.

Problema 4 A galeria de desvio do caudal do rio Guadiana, para construção da Barragem do

Alqueva, tem aproximadamente um comprimento de 450 m e 8 m de diâmetro. Pretende-se construir um modelo reduzido em laboratório. Sabendo que o diâmetro não deve ser superior a 0,5 m e inferior a 0,2 m e que o comprimento disponível é de 20 m, determine o caudal a utilizar no modelo para representar o caudal no rio de 50 m3/s.

Hidráulica I

Hidrocinemática

Aula nº 516/10/2012

Cap 3. Hidrocinemática3.1 Noções e parâmetros hidrocinemáticos3.2 Tipos de escoamentos3.3 Equação da continuidade

Exercícios

Hidráulica I

Hidrocinemática

Variáveis a considerar no estudo do fluido em movimento

Na maioria dos problemas práticos de Hidráulica os processos sãoconsiderados isotérmicos, ou seja em que a variação de temperatura édesprezável em termos de resultados obtidos e o fluido mais estudado é a águaque é considerada como incompressível. Assim o número de variáveis a estudarfica reduzido a quatro: a pressão e as três componentes da velocidadede escoamento em cada ponto do domínio fluido.

Hidráulica I

Hidrocinemática

Noções e parâmetros de carácter hidrocinemáticoRepresentação do vetor velocidade

Variáveis de Lagrange Estudo do comportamento de cada partícula ao longo do tempo. É registada a história de cada partícula.

Variáveis de Euler Estudadas as características das partículas quepassam numa dada posição do domínio fluido,ao longo do tempo

Hidráulica I

Hidrocinemática

Trajetória de uma partícula: o lugar geométrico da posição dessa partícula aolongo do tempo.

As trajetórias são definidas para as partículas e a sua representação é no tempo e noespaço

Hidráulica I

Hidrocinemática

Linhas de corrente definem-se no domínio fluido, para um dado instante. São ascurvas que têm em cada ponto, como tangente o vector velocidade de cada partículalocalizada nesse ponto em cada instante

Hidráulica I

Hidrocinemática

Trajectória de uma partícula e Linha de corrente num domínio fluidoPropriedades:1 - As linhas de corrente, para um dado instante, são tangentes às trajectórias daspartículas no ponto onde estão as partículas nesse instante.2 - No caso de escoamentos com velocidade constante no tempo, as trajectórias daspartículas coincidem com as linhas de corrente.

Linhas de filamento: lugar geométrico , num dado instante, das partículas que passaram ou virão a passar num dados ponto

Hidráulica I

Hidrocinemática

Tubo de fluxo: superfície geométrica definida pelas linhas de corrente apoiadas no contorno fechado chama-se tubo de fluxo

A propriedade principal do tubo de fluxo é que as suas paredes não são atravessadaspelo fluido, já que a velocidade de todas as partículas de fluido localizadas na paredesó têm componente tangencial.

Hidráulica I

Hidrocinemática

Caudal e Velocidade média de escoamento

Num tubo de fluxo:Caudal (Q): volume de fluido que, na unidade de tempo, atravessa uma dada secção transversal.

O volume do fluido que atravessa a área elementar dA com a velocidade v no intervalo de tempo dt, é:

O caudal elementar, através da área elementar dA, é:

Componente da velocidade normal a dA

Hidráulica I

Hidrocinemática

Caudal e Velocidade média de escoamentoO caudal através da superfície A é igual ao integral do caudal elementar, a toda a superfície:

Velocidade média: velocidade fictícia, constante na secção, que transporta o mesmo caudal num tubo com iguais características geométricas.

Q = U.A

Hidráulica I

Hidrocinemática

CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS

Classificação quanto à variação das grandezas no tempo

Classificação quanto à variação das grandezas no espaço

Permanentes: num ponto, a velocidade éconstante ao longo do tempo

Variáveis: num ponto, a velocidade varia com o tempo

Uniformes: a velocidade mantém-seconstante no espaço

Variados: a velocidade varia no espaço

Hidráulica I

Hidrocinemática

CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS Classificação quanto ao comportamento relativo das partículas

Laminar

Turbulento

Expe

riênc

ia d

e R

eyno

lds

Na passagem de regime laminar para regime turbulento define-se o regime de transição.

Número de Reynolds:

Hidráulica I

Hidrocinemática

Equação da ContinuidadeRepresenta o Princípio da Conservação da Massa aplicado a um dado volume do domínio fluido dentro de um tubo de fluxo e limitado por duas secções transversais.

Seja P1 o peso de líquido (=G1) que entra na secção 1 do trecho de um tubo de fluxo, no intervalo de tempo dt.

Seja P2 o peso de líquido (=G2) que sai na secção 2 no mesmo intervalo de tempo dt.

Então: e

Se o movimento for permanente: P1 = P2 e γ1.A1.U1 = γ2.A2.U2

γ1.A1.U1 γ2.A2.U2

P1P2

Hidráulica I

Hidrocinemática

Equação da Continuidade

Se o líquido for incompressível: γ1 =γ2

Então: A1.U1 = A2 .U2

sendo Q = U.A, logo Q1 = Q2

onde:Q - caudal;U - velocidade média na secção; A - área da secção transversal.UA = const

Exemplo: No escoamento permanente de um líquido incompressível,através de uma conduta com secção constante ou variada, é possívelrelacionar a velocidade média em duas secções dessa conduta, aplicando aequação da continuidade:

a) b)

P1P2

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Aula 730/10/2012

HidrodinâmicaTeorema de Bernoulli aplicado a líquidos perfeitos.Linha piezométrica e linha de energia. Tubo piezométricoe tubo de Pitot.Teorema de Bernoulli aplicado a líquidos reais.

Resolução de problemas.

Hidráulica I

Hidrodinâmica

TEOREMA DE BERNOULLIO Teorema de Bernoulli representa o Princípio da Conservação da Energia erelaciona as diferentes formas de energia mecânica ao longo de um escoamento: aenergia de posição, a energia de pressão e a energia cinética.

Dedução do Teorema de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente

Pressupostos:• o líquido perfeito, sem viscosidade• o movimento permanente• o líquido incompressível

Aplica-se a Equação Fundamental da Dinâmica a um dado volume de líquido, no instante t.

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Dedução do Teorema de BernoulliAs forças exteriores que actuam sobre um dado volume de fluido sujeito à acção da gravidade são:

- a força de massa ou volume (peso próprio, G) - as forças de contacto ou de superfície

• normal - Pressão, Π• tangencial, Ft

(Ft = 0 , porque se trata de um líquido perfeito)

As componentes no sentido do escoamento, ou seja, segundo a direcção da linha de corrente são:

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Dedução do Teorema de Bernoulli

Dividindo por (– dA ds), vem:

A componente segundo a linha de corrente do vector aceleração é dada por:

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Dedução do Teorema de Bernoulli

Tendo em conta que:cos – representa a variação da cota topográfica com a variação da distância segundo a direcção da linha de corrente: cos = z/s ;vs – componente da velocidade segundo a direcção da linha de corrente, coincidindo com o vector velocidade: vs = v ; e g – são constantes;

então:

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli – líquidos perfeitos

/s - variação ao longo da linha de corrente;z - cota relativamente a um dado plano horizontal de referência: energia potencial de posição por unidade de peso do fluido;p/ - altura piezométrica: energia potencial de pressão por unidade de peso do fluido;v2/2g - altura cinética: energia cinética por unidade de peso do fluido;z + p/ - cota piezométrica relativamente a um dado plano horizontal de referência;(z + p/ + v2/2g) - energia mecânica total por unidade de peso do fluido ou carga,relativamente a um dado plano horizontal de referência (= H);-1/g v/t - força de inércia local por unidade de peso do fluido: variação da quantidade de movimento por unidade de tempo.

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli – líquidos perfeitos + escoamento permanente

-1/g v/t = 0

“para líquidos perfeitos e movimentos permanentes a energiamecânica total por unidade de peso de liquido é constante aolongo de cada trajectória”.

Ou seja, “a carga total associada a uma partícula fluida é igualem qualquer ponto da sua trajectória”

H/s = 0

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Linha piezométrica e linha de energiaLinha piezométrica - representação da cota piezométrica;Linha de energia - representação da energia mecânica total por unidade de peso do fluido.

Exemplo para um escoamento permanente de um líquido perfeito, ao longo de uma linha de corrente:

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Linha piezométrica e linha de energiaSignificado físico da linha piezométrica e da linha de energia

A linha piezométrica pode serrepresentada fisicamente pela linha queune a superfície livre em tubospiezométricos instalados ao longo dalinha de corrente.

A linha de energia pode serrepresentada fisicamente pela linhaque une a superfície livre de tubos depitot instalados ao longo da linha decorrente.

Hidráulica I

Hidrodinâmica

A associação do Tubo Piezométrico com oTubo de Pitot, instalados na mesma posiçãoda linha de corrente, permite determinar aaltura cinética da partícula do escoamentolocalizada nessa posição. Conhecida a alturacinética é possível determinar a velocidadede escoamento da mesma partícula.

Linha piezométrica e linha de energiaSignificado físico da linha piezométrica e da linha de energia

Aplicação: Tubo de Pitot

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli – líquidos reaisOs líquidos reais comportam-se como perfeitos quando fortemente acelerados,tornando-se desprezáveis as tensões tangenciais.

A Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente aplicada a líquidosreais e escoamentos variáveis, toma a seguinte forma:

j - trabalho realizado pelas forças resistentes ao longo da linha de corrente, porunidade de peso do fluido e por unidade de comprimento, designado por perda decarga unitária.

Para o caso particular de escoamento permanente, a variação da velocidade como tempo anula-se e a Equação de Bernoulli aplicada a líquidos reais escreve-se:

Hidráulica I

Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli – líquidos reaisA integração entre dois pontos 1 (a montante) e 2 (a jusante) da linha de corrente,ou seja, de uma trajectória, permite obter:

é a perda de carga total entre os pontos 1 e 2 da linha de corrente.

1

1

1

2

2

2

12

Hidráulica

Hidrodinâmica

Aula nº 1020/11/2012

Cap 4. HidrodinâmicaAplicações do Teorema de Euler

Hidráulica

Hidrodinâmica

TEOREMA DE EULER OU DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica a um dado volumede fluido, vem:

Permite determinar as forças que actuam sobre um volume de fluido.

A força de inércia é representada por:

Aplicando a definição de aceleração e assumindo um sistema de eixoscartesianos oxyz, vem:

Hidráulica

Hidrodinâmica

Forças deinércia local Variação da quantidade de movimento, mv, no

volume de fluido em estudo, por unidade detempo

A equação transforma-se em:

que representa o Teorema da Quantidade de Movimento ou Teorema de Euler

Hidráulica

Hidrodinâmica

Teorema da Quantidade de Movimento ou Teorema de Euler:Para um dado volume no interior de um fluido é nula, em cadainstante, a resultante das seguintes forças:G - peso próprio do fluido;Fc - resultante das forças de contacto que actuam no fluido através da fronteira;I - a força de inércia local; Me - a quantidade de movimento entrada, por unidade de tempo;Ms - a quantidade de movimento saída, por unidade de tempo

No caso particular de escoamento permanente, I = 0, logo:

Hidráulica

Hidrodinâmica

Aplicação: Determinar a resultante das forças da água sobre a parede da curva

A resultante das forças da água sobre a parede da curva é simétrica à força de contacto exercida pelas paredes da curva sobre o líquido, e agrega as forças de impulsão e forças tangenciais das paredes laterais da curva, ou seja, , logo:

resultante das forças da água sobre a parede da curva

Hidráulica

Hidrodinâmica

Cálculo das forças

Peso: G = Vol

Forcas de contacto: Fc• componente normal : = p A• componente tangencial: ou se anula ou coincide

com a força simétrica à força incógnita. A quantidade de movimento por unidade de tempo

numa secção: M• Para uma secção elementar dA:

• Para a área A, admitindo = const:

Hidráulica

Hidrodinâmica

O integral na área A da velocidade ao quadrado ( )só será possível resolver se conhecido o diagrama de velocidades.Como este não é conhecido é definido um parâmetro designado porCoeficiente de Quantidade de Movimento (’):

que reflecte a relação entre a quantidade de movimento por unidadede tempo do escoamento real e a quantidade de movimento porunidade de tempo do escoamento fictício em que a velocidade éconstante e igual à velocidade média.

Relação com o coeficiente de Coriollis:

A quantidade de movimento na secção, vém:

Hidráulica

Hidrodinâmica

Campos de aplicação do teorema da quantidade de movimento• Determinação das forças que os líquidos (em movimento ou

repouso) exercem sobre as superfícies com que contactam• Acção exercida por uma jacto sobre uma superfície plana• Resultante das forças exercidas por um líquido numa curva de

uma conduta (maciço de amarração)

Hidráulica

Hidrodinâmica

Passos a seguir:1º Definir o volume a aplicar a equação (volume de controle)

2º Definir o sistema de eixos a considerar.

3º Verificar quais as forças da equação do T. Euler que estãopresentes e marcá-las no desenho do volume de controle.

4º Escrever a equação vectorial.

5º Resolver a equação através das componentes segundo oseixos coordenados.

Hidráulica

Hidrostática

A Hidrostática estuda os fluidos em repouso desde que a sua massavolúmica se possa considerar constante (aplicação fundamentalmenteaos líquidos)

Aplicando a lei fundamental da dinâmica a um dado volume de massafluida: Fe = m.a

No caso dos líquidos em repouso: Fe = 0

As forças exteriores que actuam sobre um dado volume de fluido em repouso e sujeito à acção da gravidade são:

- a força de massa ou volume (peso próprio, G), e- as forças de contacto ou de superfície (resultante da componente normal – Pressão, Impulsão), Π

A resultante da componente tangencial das forças de contacto ou de superfície não se manifesta porque o líquido está em repouso.

Hidráulica

Hidrostática

G + Π = 0

Se se considerar uma força F aplicada perpendicularmente a umasuperfície com área A, define-se o escalar pressão, p, aplicada pelaforça sobre a área, pela seguinte relação: p = F/A

Hidráulica

Hidrostática

Equação fundamental da hidrostática (princípio de Stevin)“a diferença de pressão em dois pontos no seio de um líquido emequilíbrio é igual ao produto da peso volúmico do líquido peladiferença entre as profundidades consideradas”.

pB - pA = γ h(pB – pA) = γ (hB – hA)(pB/γ + hB) = (pA/γ + hA)

Equação fundamental da hidrostática: (p/γ + h) = constante

h – a profundidade do ponto, ou seja, a altura relativamente ao plano de referência da superfície livre do líquido(p/γ + h) – designada por cota piezométrica em

relação a um plano horizontal de referênciap/γ – altura piezométrica

Hidráulica

Hidrostática

(1) a pressão a uma dada profundidade é igual ao produto do peso volúmico do fluído pela profundidade;(2) a pressão aumenta linearmente com a profundidade; pA = γ . hA , pB = γ . hB

(3) para os pontos situados à superfície livre do líquido, a pressão correspondente é igual à exercida pelo gás ou ar sobre ela existente; se a superfície livre estiver ao ar atmosférico, a pressão correspondente será a pressão atmosférica,

(p/γ + h) = constante

Aplicações:Relação entre as pressões do ar e de vários pontos no interior de umreservatório:

Diagrama de pressões na parede do reservatório.

Hidráulica

Hidrostática

Pressão absoluta e pressão relativa

pressão relativa = pressão absoluta – pressão atmosférica as pressões absolutas são sempre positivas as pressões relativas podem ser negativas, se prel < patm em termos

relativos, a pressão à superfície livre do líquido, será zero.

Altura representativa da pressão (alt. piezométrica): h = p/γ (mc.a.)

Hidráulica

Hidrostática

Princípio de Pascal“O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido, produzindo um aumento de pressão, então todos os pontos do líquido, sofrerão o mesmo acréscimo de pressão.

O ar comprimido, empurrando o óleo no tuboestreito, produz um acréscimo de pressão (p),que, pelo princípio de Pascal, se transmiteintegralmente para o tubo largo, êmbolo doelevador, onde se encontra o automóvel.Sendo p1 = p2 e lembrando que p = F/A:

Exemplo: o elevador de automóveis usado nas garagens.

F1/A1 = F2/A2como A2 > A1 , temos F2 > F1 , ou seja, aintensidade da força é directamenteproporcional à área do tubo.

Hidráulica

Hidrostática

Princípio de Arquimedes“Todo o corpo mergulhado num líquido sofre da parte deste, umaimpulsão vertical, de baixo para cima, igual ao peso do volume delíquido deslocado pelo corpo”.

Para calcular o valor da impulsão exercida sobre um corpo, bastacalcular o peso do volume de líquido deslocado pelo corpo.

Para saber o que ocorre com o corpo de peso G, basta estabelecer asua relação com a impulsão, ΠCaso 1: G > Π - o corpo afunda-se até atingir o fundo.Caso 2: G = Π - o corpo fica parado, onde for abandonado no seio do

líquido.Caso 3: G < Π - o corpo sobe no líquido, ficando a flutuar

Hidráulica

Hidrostática

Manómetros de líquidosA medição da pressão num ponto, relativamente à pressão atmosférica local é feita através da instalação de um manómetro simples.

O manómetro simples mais elementar é o tubo piezométrico, que permite medir a pressão no ponto onde foi instalado.

Medição da diferença de pressões entre dois pontos:pA’ = psup + γ hpB’ = psup + γ hB(pA’ – pB’) = γ (hA – hB)

Hidráulica

Hidrostática

Manómetros simplesMedição de pressões com valores baixos

pA = psup + γ h

Medição de pressões negativas

pA = psup - γ h

Medição de pressões com valores elevados

pA = psup + γ’(h1 + h2) - γ h2

Hidráulica

Hidrostática

Manómetros diferenciais

Pressões muito elevadas em A e B

pA’ = par + γ hpB’ = par + γ hB(pA’ – pB’) = γ (hA – hB)

Diferença de pressão muito elevada entre A e B

pA’ = p1 + γ 1 hApB’ = p2 + γ 1 hBp1 = p2 + γ 2 (hB – hA)(pA’ – pB’) = γ 2 (hB – hA) + γ 1 (hA – hB)pA’ – pB’ = (γ 2 – γ 1 )(hB – hA)

Hidráulica

Hidrostática

Impulsão hidrostática - Resultante das forças de pressão que actuam sobre uma superfície (“mergulhada” no fluido)

Aspectos a considerar: as forças distribuídas sobre a superfície têm uma resultante

Direcção Sentido Módulo Ponto de aplicação

quando a superfície é plana e horizontal, o contacto com o fluido em repouso dá origem à uma força resultante (ou impulsão) que corresponde ao produto da pressão (p) pela área da superfície (A):

FR = Π = pA = hA

Hidráulica

Hidrostática

Impulsão hidrostática sobre uma superfície inclinada

Direcção: perpendicular à superfície premida

Sentido: de compressão

Módulo: ???

Ponto de aplicação: ???

A pressão varia de ponto para ponto, sobre a superfície, função da profundidade.

Hidráulica

Hidrostática

Profundidade do centro de gravidade:Módulo

s

Módulo da resultante

Hidráulica

Hidrostática

Centro de impulsão, XciPonto de aplicação

sNo caso particular de uma superfície premida horizontal, em que aabcissa do centro de gravidade é infinita, anula a segunda parcela domembro direito e a abcissa do centro de impulsão coincide com aabcissa do centro de gravidade.

No caso geral de uma superfície plana não horizontal, o centro deimpulsão localiza-se sempre abaixo do centro de gravidade, já que osegundo termo do membro da direita é sempre positivo.

Hidráulica

Hidrostática

Posição do centro de gravidade (G), Momento de inércia (IGG’) e Áreade formas geométricas comuns.

Hidráulica

Hidrostática

Hidráulica

Hidrostática

Impulsão hidrostática sobre uma superfície curva

O sistema de forças de pressão elementares que actuam sobre umasuperfície curva qualquer normalmente não admitem resultante, comexcepção de formas regulares como superfícies cilíndricas ouesféricas.

Duas componentes: vertical, dFv horizontal, dFh

Hidráulica

Hidrostática

Módulo

s

A resultante da componente vertical das forças de pressão:

Componente vertical da impulsão:peso do volume do líquido limitadopela superfície, a superfície livre dolíquido e as projectantes verticais quepassam no contorno da superfície

Hidráulica

Hidrostática

Módulo

s

A resultante da componente horizontal das forças de pressão:

Componente horizontal daimpulsão: calculada do mesmo modoque a impulsão sobre uma superfícieplana sendo essa superfície plana aprojecção da superfície curva sobreum plano vertical.

Hidráulica

Hidrostática

Módulo:

s

Impulsão hidrostática sobre a superfície curva

Direcção:

Sentido: compressão da superfície

Ponto de aplicação: tal que a linha de acção da impulsão hidrostática passa no centro geométrico da superfície curva

Hidráulica I

Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão

Aula nº 12Leis de Resistência dos escoamentos permanentes uniformes

Conceitos fundamentais.Escoamentos laminares uniformes.

Tubos de secção circular (Fórmula de Hagen - Poiseuille)Escoamentos turbulentos uniformes.

Escoamento em tubos circulares comerciais.Equação de Colebrook-White.Ábaco de Moody.

Equações empíricas.

Hidráulica I


Perda de carga unitária, J

Diagramas de velocidades variam com o regime de escoamento, laminar outurbulento, dando origem a leis de resistência diferentes

O gradiente de velocidades na secção transversal dá origem à tensão tangencial dearrastamento que realiza trabalho → perda de carga unitária

Causa da ocorrência de J:- gradiente de velocidades (rugosidade da fronteira; viscosidade do líquido)

Hidráulica I


Escoamento em regime permanente uniformeCondutas de eixo retilíneo e

secção constante(suficientemente compridas)

Trajetórias rectilínease paralelas

A perda de carga unitária, J (mc.a/m), depende:- velocidade, U

(ou caudal, Q)- diâmetro, D- natureza do material, k

ComoQ ou U

Dk

constantesJ = constante

Hidráulica I


A linha de energia é rectilínea.

A linha piezométrica é paralela à linha de energia, pois

J = constante

Para regime uniforme, U e α = cte.

Escoamento em regime permanente uniforme

Hidráulica I


No caso de escoamentos permanentes euniformes em pressão, a perda de cargaunitária pode ser determinada instalando doistubos piezométricos em duas secções daconduta afastadas de um dado comprimento, L

Escoamento em regime permanente uniforme

Escoamento em regime laminar uniformeTubos de secção circular

Fórmula deHagen-Poiseuille

J é função da:- velocidade média,- do diâmetro da conduta,- das características físicas do fluido.

Não se manifesta a influência da natureza do material do tubo.

Hidráulica I


Escoamento em regime laminar uniformeTubos de secção circularA equação de Hagen-Poiseuille pode ser apresentada de um modoadimensional através da introdução do factor de resistência ou factor deDarcy- Weisbach, f,:

Forma adimensional de J

N.º de Reynolds

+ =Forma adimensionalda fórmula de Hagen-Poiseuille

Hidráulica I


Escoamento em regime laminar uniformeTubos de secção não circular

R – raio hidráulico

N = N(forma, R)

P – perímetro molhado

Secção circular N = 2

Hidráulica I


A maioria dos escoamentos de água em circuitos hidráulicos fazem-se em regime turbulento.

Escoamento turbulento em tubos circulares comerciais

Equação de Colebrook-White (válida para todo o domínio dos escoamentosturbulentos):

(Forma adimensional)

ou

k – rugosidade absoluta equivalente ao efeito conjunto das asperezas de vários tipose dimensões que se encontram na parede de um tubo comercial.

Necessário a aplicação de ummétodo numérico para a suaresolução (ex: Método dasSubstituições Sucessivas).

Hidráulica I


Equação de Colebrook-White

A rugosidade absoluta equivalentede diferentes materiais está tabelada(catálogo do fabricante; válida para os tubos comerciais):

PVC (policloreto de vinilo)PEAD (polietileno de alta densidade

Material k (mm) Rugosidade absoluta equivalente

Aço comercial novo 0,045

Aço laminado novo 0,04 a 0,10

Aço soldado novo 0,05 a 0,10

Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,20

Aço rebitado novo 1 a 3

Aço rebitado em uso 6

Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20

Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15

Ferro forjado 0,05

Ferro fundido novo 0,25 a 0,50

Ferro fundido velho 3 a 5

Ferro fundido centrifugado 0,05

Ferro fundido com revestimento asfáltico

0,12 a 0,20

Ferro fundido oxidado 1 a 1,5

Cimento amianto novo 0,025

Betão centrifugado novo 0,16

Betão armado liso, vários anos de uso 0,20 a 0,30

PVC, PEAD 0,0015 a 0,010

Hidráulica I


Tem os eixos graduados em escalalogarítmica e representa a variação dofactor de resistência ( f ) em função davariação do nº de Reynolds (Re) paratubos com diferente rugosidaderelativa.

A rugosidade relativa é a rugosidadeabsoluta equivalente (k)adimensionalizada com o diâmetrointerior do tubo (k/D).

Ábaco de MoodyÁbaco universal que possibilita o cálculo rápido de um valor aproximado daperda de carga unitária e a identificação das características dos diferentes tipos deescoamento que se verificam no transporte de um fluido através de um tubo.

Hidráulica I


- escoamento laminar

- escoamento turbulento liso: quanto a sua lei de resistência segue a lei dos tubos lisos, (k=0), ou seja f depende apenas de Re.

- escoamento turbulento rugoso: quando f depende unicamente da rugosidade relativa, k/D.

- escoamento turbulento de transição: quandof depende de k/D e Re.

Hidráulica I


Equação de Blasius – regime turbulento liso

Equação de Manning-Strickler – escoamentos turbulentos rugososA perda de carga unitária é diretamente proporcional à potência dois davelocidade média

Equações empíricasSó devem ser aplicadas para condições idênticas àquelas para que foram deduzidas.

R – raio hidráulico (R = A/P), no caso do tubocircular é R=D/4;Ks – coeficiente de Manning-Strickler, dependeda natureza do tubo e do diâmetro.

Hidráulica I


Equações empíricas

Equação de Chézy:

sendo o valor de C calculado por:

fórmula de Bazin :

fórmula de Kutter:

Equação de Hazen-Williams:Regimes turbulentos de transição

Hidráulica I


Equações empíricas

Equações de Scimemi (aplicadas a tubos de secção circular e escoamento deágua):

Compatibilidade entre as fórmulas empíricas e a fórmula de Colebrook-White

- Fórmula de Colebrook-White → J avaliada com rigor

- Fórmulas empíricas → J pode não ser avaliada com rigor

-Fórmulas empíricas → em rigor, as fórmulas de Chézy e de Manning-Strickler só são válidas para o regime turbulento rugoso

Hidráulica I


Conclusões- o escoamento da água dá-se em regime turbulento com excepção de algumassituações de início de escoamento, paragem ou escoamento variável;

- a avaliação rigorosa da perda de carga unitária em regime permanente e uniformedeve basear-se na aplicação da Equação de Colebrook-White;

- uma avaliação aproximada da perda de carga pode ser feita através da aplicaçãode equações empíricas escolhida de acordo com as suas condições de aplicação;

- em qualquer caso de dúvida na escolha da equação empírica a aplicar deve seraplicada a Equação de Colebrook-White;

- o Ábaco de Moddy pode permitir averiguar uma primeira aproximação do valordo factor de resistência num dado escoamento;

- o coeficiente de rugosidade equivalente, ou uma equação empírica para aplicaçãono cálculo de um dado tubo deve ser fornecido pelo fabricante do mesmo.

Hidráulica I


Hidráulica I


0,0178

Hidráulica I

Redes de condutas

Aula nº 14Escoamentos permanentes uniformes

Redes de condutasRedes ramificadasRedes malhadas

Método de Hardy-Cross

Hidráulica I

Redes de condutas

Tipo Descrição Distribuição de percurso

Regime permanente

Ramificada só com condutas em série

sem

com

uniforme

variado

Malhada só com malha sem

com

uniforme

variado

Mistacom condutas em série e em malha

sem

com

uniforme

variado

Nó – intersecção de 3 ou mais condutasMalha – circuito fechado de 3 ou mais condutas em sérieDistribuição de percurso – conduta com variação do caudal ao logo do seu percurso

Hidráulica I

Redes de condutas

Dimensionamento

Objetivos

i) atribuição de um diâmetro comercial em função de

- caudal máximo em cada conduta;

- critério económico (velocidade “económica”: intervalo dereferência com valores da velocidade que correspondem ao transporte decaudais elevados sem produzir desgaste precoce nas condutas).

ii) determinar os caudais de projeto no ano horizonte de projeto através daverificação das equações de movimento nas condutas.

iii) verificar se as pressões atingidas nos nós da rede, para os caudais deprojeto, estão conformes com o regulamentado/recomendado.

Hidráulica I

Redes de condutas

•Redes ramificadas

Geralmente têm distribuição de percurso – variação do caudal ao longo do percurso – regime permanente variado.

Dimensionamento (normalmente) de jusante (onde são conhecidos os caudais) para montante.

Caudal (consumo) unitário de percurso (q) – traduz a variação média do caudal ao longo da conduta (L/s m).

LqQQL

QQq jm

jm

Caudal de Percurso (P) – caudal a distribuir em casa trecho de conduta (L/s).

LqP

Hidráulica I

Redes de condutas

Perdas de carga em cada trecho – variação da velocidade ao longo do trajeto – variação (linear) do coeficiente de perda de carga – variação parabólica da linha de energia.

Caudal equivalente (Qe) – caudal fictício que, em movimento uniforme, para o mesmo diâmetro e tipo de material da conduta, conduza ao mesmo valor da perda de carga que a verificada, na realidade, em regime permanente variado, considerando os respetivos caudais (L/s).

PQLqQQ jje 55,055,0

Notas:- o caudal equivalente serve para a determinação das perdas de carga,mas não para atribuição do diâmetro da conduta;- o diâmetro da conduta é determinado pelo caudal de montante Qj;- em redes ramificadas mesmo que Qe < 1 L/s considera-se sempre aperda de carga para esse valor mínimo;

Hidráulica I

Redes de condutas

Redes malhadas

São normalmente conhecidos os seguintes parâmetros:- o comprimento das tubagens;- a cota topográfica em cada nó;- os caudais de saída e de entrada nas malhas;

O dimensionamento deve obedecer às leis de conservação da massa e da quantidade de movimento

01

n

iiQ

01

P

iiH

1ª) Lei da Continuidade (ou lei dos Nós): em cada nó os caudais afluentes (+)devem igualar os caudais efluentes (-) (n = nº de condutas ligadas no nó)

2ª) Lei de Energia (ou lei das Malhas): numa malha a soma algébrica dasperdas de carga em todas as condutas deve ser nula

Hidráulica I

Redes de condutas

Resolução de uma rede malhada - Método de Hardy-Cross

1º) Identificar e numerar todos os nós da rede;

2º) Arbitrar o sentido (positivo) de escoamento nas malhas;

3º) Arbitrar uma distribuição de caudais iniciais que satisfaça a Lei dos Nós, valida para a primeira iteração;

4º) Atribuir um diâmetro às condutas (através de um critério de velocidade “económica” ou limitação da velocidade máxima) tendo por base o caudal máximo (caudal de montante) em cada conduta;

Dint. (mm)

Uecon. (m/s

60

0,70

80

0,75

100

0,75

125

0,80

150

0,80

175

0,90

200

0,90

>200

1,00

Qmax. (l/s) 2,0 3,8 5,9 9,8 14 22 28 ---

Critério de velocidades económicas de condutas (exemplo)

Hidráulica I

Redes de condutas

5º) Calcular as perdas de carga continuas [J = f (D, Q)] considerando os sinais correspondestes ao sentido de circulação dos caudais;

6º) Verificar a lei das Malhas em cada malha;

7º) Caso a lei não se verifique (6), determinar a correção de Cross [Q] para cada malha:

i

i

i

QH

HQ

2

8º) Reinicia-se o processo na iteração seguinte com Q’i = Qi + Q , até que 11,005,00 lsQmHi

Notas:- nas condutas comuns a duas malhas a correção é feita somando algebricamentea correção da própria malha e subtraindo a correção da malha adjacente

- havendo distribuição de percurso nas condutas da malha deve ser seguidaa metodologia referida para as redes ramificadas

(ou outro critério de paragem)

Apontamentos de hidraulica 1

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