UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIPCURSO SUPERIOR DE MATEMÁTICA

SEMINARIO SOBRE A HISTORIA DA MATEMÁTICA/ APOLÔNIO

São Paulo / SP2013

UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIPCURSO SUPERIOR DE MATEMÁTICA

SEMINARIO SOBRE A HISTORIA DA MATEMÁTICA/ APOLÔNIO

Nome: José Aurenir Mota de Matos RA: B80AGA-5João Paulo da Silva Filho RA: B84AHG-3

Orientador Profº : Emilio

São Paulo / SP2013

Sumário

Introdução..................................................................................................................................... Pág 04

1- Apolônio de Perga ....................................................................................................................Pág 05

2- Obras ....................................................................................................................................... Pág 07

2.1- Cônicas ................................................................................................................................. Pág 08

2.1.1- Resumo das Cônicas..........................................................................................................Pág 09

2.2- Dividir Segundo uma Razão ..................................................................................................Pág 14

3- Obras Perdidas ........................................................................................................................Pág 15

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Introdução

Trabalho sobre a vida de Apolônio, importante matemático e astrônomo, quase não temos dados

sobre a sua vida e a maioria de seus trabalhos acabou se perdendo, porém daremos ênfase a um

trabalho muito importante seu a cônicas.

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1- Apolônio de Perga

Apolônio de Perga

Aproximadamente durante o primeiro século da Idade Helenística, três matemáticos se

destacaram com relação aos demais da época, assim como da maior parte de seus predecessores

e sucessores.

Esses homens foram Euclides, Arquimedes e Apolônio. É por causa deles que o período

de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da matemática grega. Não se podem

conhecer as datas precisas de sua vida, mas diz-se que viveu durante os reinos de Ptolomeu

Euergetes e de Ptolomeu Filopater. Alguns relatos afirmam que ele foi o tesoureiro-geral de

Ptolomeu Filadelfo e dizem ainda que era vinte e cinco a quarenta anos mais jovem que

Arquimedes.

O matemático Apolônio nasceu em Perga, Pamphylia, que hoje é conhecida como

Murtina ou Murtana, Turquia. Na época de Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de

devoção da deusa Artemis, ainda jovem, deixou Perga em direção a Alexandria cujo

o Museu e Biblioteca eram o centro do saber ocidental, lá ele estudou com os seguidores

de Euclides tendo mais tarde ensinado na Universidade de Alexandria, apesar disto, parece

estranho que não haja referencia nos livros de sua grande obra "As Cônicas" a nenhum dos reis de

Alexandria. Sabe-se ainda que visitou Pergamum (uma cidade grega) hoje conhecida como

Bergama (na Turquia), onde haviam sido construídas uma Universidade e uma Biblioteca

semelhantes às existentes em Alexandria.

Conhecido como "O Grande Geômetra" e considerado como um dos mais originais

matemáticos gregos no campo da geometria pura.

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Dos três grandes matemáticos do helenismo, ele é o menos conhecido, seus trabalhos

tiveram uma influência muito grande no desenvolvimento da Matemática, porem os dados da vida

de Apolônio são escassos e quase todos de notas que aparecem nas introduções dos

diferentes livros de cônicas.  Além destes aspectos da vida privada de Apolônio, apenas se sabe o

que consta nos prefácios dos seus livros. Num destes, encontra-se a referência ao seu filho,

também chamado Apolônio, que terá transportado a 2ª edição do livro 2 de cônicas para

Pergamum.

A sua metodologia inovadora e a sua terminologia, especialmente no domínio das

cônicas, influenciou vários matemáticos posteriores à ele como Ptolomeu, Kepler, Isaac Newton e

René Descartes. Mais tarde, Gaspard Monge e Girard Desargues utilizaram a importância do

raciocínio projetivo para aplicar ao conjunto da Geometria.

Apolônio foi também um astrônomo célebre. Nessa área Apolônio destacou-se como o

autor de um modelo matemático muito aceito na antiguidade para a representação do movimento

dos planetas. Eudoxo de Cnido havia usado esferas concêntricas mas Apolônio propôs dois

sistemas alternativos baseados em movimentos epicíclicos e movimentos excêntricos. No primeiro

caso assumia-se que um planeta   se move uniformemente ao longo de um epiciclo cujo

centro   por sua vez se move uniformemente ao longo de um círculo maior com centro na terra,

em  . No esquema excêntrico o planeta   se move ao longo de um círculo grande, cujo

centro   por sua vez se move em um círculo pequeno de centro em  . Se  , os

dois esquemas serão equivalentes. Enquanto o sistema das esferas homocêntricas, graças

a Aristóteles, era o favorito, os esquemas que utilizavam ciclos e epiciclos, graças

a Ptolomeu eram adotados por astrônomos que buscavam um refinamento maior nos detalhes e

nas previsões.

Esquema de movimento epicíclico

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2- Obras

Felizmente no que respeita à obra de Apolônio temos mais informação do que da sua vida

pessoal, apesar de se terem perdido vários livros da sua vasta obra.

Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada Resultado Rápido que parece ter

tratado de processos rápidos de calcular. Temos os títulos de muitas obras perdidas, entre eles:

Como dividir uma razão; Cortar uma área; Sobre secção determinada; Tangências (ou Contatos);

Inclinações e Lugares Planos. Seis das obras de Apolônio estavam incluídas junto com dois dos

tratados mais avançados (hoje perdidos) de Euclides, numa coleção chamada “Tesouro da

análise”. O “Tesouro” consistiu em grande parte de obras de Apolônio, consequentemente deve ter

incluído muito do que hoje chamamos geometria analítica.

Da sua vasta obra científica somente dois dos seus trabalhos chegaram aos nossos dias,

“As Cônicas” e “Dividir Segundo uma Razão”. Foi Apolônio que deu nome as curvas (a elipse, a

parábola, e a hipérbole) da maneira que estamos familiarizados atualmente.

Dentre seus estudos estão:

Resultado rápido, onde mostra métodos para efetuar cálculos rapidamente

e também uma aproximação do número   mais precisa do que aquela conhecida

, estabelecida por Arquimedes.

Em sua obra Espelho Ardente, ele discutiu as propriedades focais de um

espelho parabólico e demonstrou, como já havia sido imaginado, que raios de luz paralelos

convergem para um foco.

Apolônio também fez várias aplicações de seu vasto conhecimento sobre

cônicas; entre elas o hemicyclium - uma espécie de relógio de sol onde há retas

desenhadas na superfície de uma seção cônica, dando maior precisão.

Dividir em uma razão (perdida), vários casos sobre o problema: dadas

duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta que corte

sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada;

Cortar uma área;

Sobre seção determinada, geometria analítica ;

Tangências, onde consta o conhecida «problema de Apolônio;

Inclinações, sobre problemas planos utilizando régua e compasso;

Lugares planos;

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Desenvolveu um esquema de “tetradas” para exprimir grandes números, usando

equivalentes de expoentes da miríade.

 Ao passo que Arquimedes usava a dupla miríade como base.

Como em muitas outras biografias antigas, Pappus de Alexandria foi o responsável pela

maior parte dessas informações. Segundo ele, seis das obras de Apolônio estavam em dois dos

tratados mais avançados de Euclides, numa coleção que chamavam Tesouro da análise. Era uma

coleção especialmente destinada aos que queriam estudar problemas que envolvessem curvas e

seu conteúdo era na maior parte sobre o que chamamos hoje de geometria analítica, de autoria de

Apolônio. Talvez esse tenha sido a razão pelo título "Grande Geômetra" que recebeu de seus

contemporâneos. Apolônio de Perga escreveu sobre o parafuso ou a hélice cilíndrica. Também

escreveu uma obra chamada Tratado universal, onde Apolônio examinava de maneira crítica os

fundamentos da matemática. Desta obra conservaram-se fragmentos.

2.1 Cônicas

No que se refere a Cônicas, é um Tratado composto de oito livros dos quais sobreviveram

sete - A seção da relação , A seção do espaço, A seção determinada, As inclinações, Os lugares

planos, Os contatos e Okytokion ( onde se determina um sistema de numeração mais prático do

que o de Arquimedes) - As cônicas são a obra principal de Apolônio.

Os Estóicos das Cônicas, com o seu título original em grego, que era um tratado em oito

livros, Os quatro primeiros livros que chegaram até aos nossos dias estão escritos em grego, com

os comentários de Etocius. Os livros de cinco à sete estão traduzidos em árabe por Thâbit-ibn-

Qurra, e revista por Nâsir-ad-Dinet e o oitavo livro desapareceu. O conjunto desta obra, com uma

restituição do oitavo livro, foi publicado (texto em grego e tradução latina), por Edmund Halley

em 1710. Este já tinha traduzido, em 1706, duas outras obras de Apolônio. Em primeiro lugar,

importa referir que, para Apolônio, cônicas eram as curvas obtidas quando um plano intersecta a

superfície de um cone. No prefácio do livro, Apolônio explica as razões que o levaram a

escrever Cônicas:

"...eu levei a cabo a investigação deste tema a pedido de Naucrates "o Geómetra", quando

ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando eu o tinha discutido em oito livros, dei-lhos de

imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi portanto possível revê-los, de fato

eu escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."

(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, página 129).

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Devido ao fato de não ter sido possível rever os livros, estes começaram a circular na sua

primeira forma, havendo algumas evidências de que certas traduções (dos livros 1 e 2), que

chegaram aos nossos dias, provêm desses livros não revistos.

Cônicas era composto por oito livros. Os quatro primeiros eram introduções bastante

elementares às propriedades básicas das cônicas. As maiorias dos resultados apresentados

nestes livros eram já conhecidas de Euclides, Aristaeus e outros, mas alguns eram, nas palavras

do próprio Apolônio:

"...trabalhados mais profundamente e de uma forma mais geral do que na escrita de

outros."

No livro 1, Apolônio estudou as relações entre os diâmetros e as tangentes das cônicas.

No livro 2, estudou as relações das hipérboles com as suas assímptotas e também como desenhar

tangentes a cônicas dadas.

Os livros 5 a 7 são bastante originais, nos quais Apolônio discute normais às cônicas e,

mostra quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Deu proposições que determinavam

o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana.

Pappus dá algumas indicações dos conteúdos de outros seis trabalhos de Apolônio, dos

quais apenas um sobreviveu até aos nossos dias,  Cutting of a ratio. Os outros cinco são:  Cutting

an area, On determinate section, Tangencies, Plane loci e On Verging Constructions.

2.1.1- Resumo das Cônicas

Livro I

Apolônio começa por mostrar que, de um único cone, podem ser obtidas as três espécies

de secções cônicas bastando para tal fazer variar a inclinação do plano. Como se pode ver na

figura:

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A parábola é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com

um plano paralelo a sua geratriz.

 

 

A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um

plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.

A hipérbole é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com

um plano paralelo as duas geratrizes.

 

Apolônio vai utilizar pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar

estas curvas. Nomes que foram adotados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado

quando um retângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o

termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando

não havia excesso nem falta.

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Curvas Equação Propriedade

Parábola

Para qualquer ponto sobre ela o

quadrado sobre a ordenada é igual ao

rectângulo sobre a abcissa x e o parâmetro

l.

Elipse

Hipérboleou

Apolônio mostrou que o cone não precisa ser reto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um

cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um

conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou

ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou

hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos

diâmetros conjugados, Apolônio mostrou que, se uma reta é traçada por uma extremidade de um

diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais

nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, isto é, a reta é tangente à cônica.

Segundo Boyer, no livro I, Apolônio "analisou as propriedades fundamentais das curvas

mais completamente e com mais generalidade que os escritos de outros autores". (Carl Boyer, A

History of Mathematics, página 165).

Livro II

Apolônio contínua o estudo dos diâmetros conjugados e tangentes. Por exemplo, no caso

da hipérbole, se P for qualquer ponto sobre qualquer hipérbole, com centro C, a tangente em P

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cortará as assíntotas nos pontos L e L` que são equidistantes de P. E toda a corda QQ` paralela a

CP encontrará as assíntotas nos pontos K e K` tais que QK=QK` e QK.QK`=CP².

 

 

Apolônio também mostra como traçar tangentes a uma cônica usando a teoria da divisão

harmônica. Por exemplo, no caso da elipse, se Q é um ponto da curva, Apolônio traçava uma

perpendicular QN de Q ao eixo AA` e achava o conjugado harmônico T de N em relação a A e A`.

Então, a reta que passa por T e Q é a tangente à elipse.

 

 

Livro III

Como se pode ler no prefácio geral da obra, Apolônio tinha grande admiração por livro III:

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"O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de lugares sólidos e

determinações de limites; a maior parte e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os

descobri, observei que Euclides não tinha efetuado a síntese do lugar com relação a três ou quatro

retas, mas só uma parte causal dela e não bem-sucedida; pois a síntese não poderia ser

completada sem minhas descobertas adicionais" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página

103).

Apolônio mostra aqui, por métodos sintéticos, teoremas que lhe permitem determinar o

seguinte problema: Dadas três ou quatro retas de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se

move de modo que o quadrado da distância de P a uma das retas seja proporcional ao produto das

distâncias das outras duas.

Como mostra Boyer, "poucos problemas tiveram papel tão importante na história da

matemática quanto o do "lugar a três ou quatro retas" (in, Elza Gomide, História da Matemática,

página 103).

Livro IV

Neste livro, Apolônio estudou o número de pontos em que uma seção de um cone pode

intersectar uma curva. Vai dedicar-se, sobretudo à interseção com os ramos de uma hipérbole. Por

exemplo, mostrou que se um ramo de uma hipérbole encontra os dois ramos de outra hipérbole o

ramo oposto a primeira hipérbole não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos,

ou se uma hipérbole é tangente a um dos ramos  de uma segunda hipérbole não encontrará o

ramo oposto da segunda.

Os teoremas deste livro são todos originais e é sobre eles que Apolônio diz:

"Eles merecem aceitação pelas suas próprias demonstrações, assim como aceitamos

muitas coisas na matemática por esta razão e nenhuma outra."(in, Elza Gomide, História da

Matemática, página 104).

Livro V

Apolônio faz o estudo de tangentes e normais de uma curva  e mostra, por procedimentos

sintéticos, como se consegue obter as evolutas das cônicas. Para tal, determina o número de

normais distintas de cada ponto, cujas equações são:

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Apolônio diz que efetuou este estudo porque "o assunto é um daqueles que parecem

dignos de estudo por si mesmo". (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).

Livro VI

Este livro trata fundamentalmente da igualdade  e semelhança de cônicas. Apolônio

considera duas cônicas semelhantes quando as ordenadas traçadas à distância proporcional ao

vértice forem proporcionais às abscissas correspondentes. Demonstra ainda que todas as

parábolas são semelhantes e que uma parábola não pode ser semelhante a uma elipse ou

hipérbole, nem uma elipse a uma hipérbole.

Livro VII

Apolônio retoma o estudo dos diâmetros conjugados, apresentando muitas proposições

novas.

Livro VIII

Julga-se que este livro tivesse problemas semelhantes aos do livro VII, porque no prefácio

do livro VII, Apolônio escreveu que "os teoremas do livro VII eram usados no livro VIII para resolver

certos problemas sobre cônicas, de modo que o ultimo livro  é uma espécie de apêndice" (in, Elza

Gomide, História da Matemática, página 106).

2.2- Dividir Segundo uma Razão

Todas as versões gregas de Dividir Segundo uma Razão se perderam. Porém, foi feita

uma tradução árabe que está na base da tradução latina efetuada, em 1706, por Edmund Halley.

A obra é constituída por dois livros onde, fundamentalmente,   Apolônio resolve o seguinte

problema: Dadas duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta

que corte sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada. 

Este problema equivale a resolver uma equação quadrática do tipo  .

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3- Obras Perdidas

 

Título Assunto provável

Cortar uma Área

   Tratava o seguinte problema: Dadas duas retas e um

ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta

que corte sobre as retas dadas segmentos que contenham um

retângulo.

Tangências

  Tratava o seguinte problema conhecido hoje

como Problema de Apolônio: Dadas três coisas, cada uma das

quais pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um

círculo que é tangente a cada uma das três coisas.

Inclinações  Tratava os problemas das inclinações que podiam ser

resolvidos usando régua e compasso.

Lugares Planos  Estudava condições que conduzem a retas e círculos

como lugares geométricos.

Seção Determinada

   Tratava o seguinte problema: Dados quatro pontos A, B,

C e D sobre uma reta, determinar um quinto ponto P sobre ela, tal

que o retângulo sobre AP e CP esteja numa razão dada com o

retângulo sobre BP e DP.

Cálculo Rápido  Tratava processos rápidos de calcular e continha um

valor aproximado do .

Comparação entre o

Dodecaedro e o Icosaedro

  Demonstrava o seguinte teorema: As faces pentagonais

planas de um dodecaedro estão à mesma distância do centro da

esfera circunscrita que as faces triangulares de um icosaedro

inscrito na mesma esfera.

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