Apoio Dec Isao
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PREPARAR O EXAME NACIONAL MACS 10. e 11. ANOS
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Propostas de resoluo Mtodos de apoio deciso
Teoria matemtica das eleies
PG. 21
1.
1.1. Consideremos o nmero de primeiras preferncias para cada candidato:
P1 P2 P3 P4 P5
9520 7345 3250 4876 1080
Verificamos que o candidato P1 tem o maior nmero de votos e portanto ser eleito por Maioria Simples com 36,52% dos votos (9520 votos em 26 071).
1.2. No existe nenhum candidato com pelo menos 50% dos votos. Assim, ser necessria uma
segunda volta com os dois candidatos mais votados, P1 e P2.
2.
2.1. Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, consideremos que:
1. preferncia = 5 pontos 2. preferncia = 4 pontos 3. preferncia = 3 pontos 4. preferncia = 2 pontos 5. preferncia = 1 ponto
Logo,
Clculo da pontuao Pontuao
P1 9520 5 + 7345 4 + 4876 3 + 1080 2 + 3250 1 97 018
P2 7345 5 + 9520 4 + (3250 + 4876) 2 + 1080 1 92 137
P3 3250 5 + 9520 3 + 1080 3 + 7345 2 + 4876 1 67 616
P4 4876 5 + 3250 4 + 1080 4 + 9520 2 + 7345 1 68 085
P5 1080 5 + 4876 4 + 7345 3 + 3250 3 + 9520 1 66 209
Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, P1 o vencedor da eleio.
2.2. Para existir um vencedor de Condorcet, um candidato ter de vencer todos os outros em
confrontos directos. Temos:
P1 vs. P2 P1: 9520 + 4876 + 1080 P3: 7345 + 3250 Ganha P1
P1 vs. P3 P1: 9520 + 7345 + 4876 P3: 3250 + 1080 Ganha P1
P1 vs. P4 P1: 9520 + 7345 P4: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P1
P1 vs. P5 P1: 9520 + 7345 P5: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P1
P2 vs. P3 P2: 9520 + 7345 + 4876 P3: 3250 + 1080 Ganha P2
P2 vs. P4 P2: 9520 + 7345 P4: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P2
P2 vs. P5 P2: 9520 + 7345 P5: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P2
P3 vs. P4 P3: 9520 + 7345 + 3250 P4: 4876 + 1080 Ganha P3
P3 vs. P5 P3: 9520 + 3250 P5: 7345 + 4876 + 1080 Ganha P5
P4 vs. P5 P4: 9520 + 3250 + 4876 P5: 7345 + 1080 Ganha P4
O vencedor o candidato P1, pois venceu todos os confrontos directos, temos, portanto, um vencedor de Condorcet.
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2.3. As condies no-ditadura e soberania individual so verificadas pois a preferncia de um no
sobreposta dos restantes votantes e cada votante ordena as suas preferncias.
3.
3.1. Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, temos:
1. preferncia = 4 pontos 2. preferncia = 3 pontos 3. preferncia = 2 pontos 4. preferncia = 1 ponto
Pontuao Totais
Banda desenhada 8 2 + 15 4 + 12 3 + 10 3 142
Quatro estaes 8 1 + 15 3 + 12 4 + 10 2 121
Comunicao Social 8 4 + 15 1 + 12 1 + 10 1 69
Profisses 8 3 + 15 2 + 12 2 + 10 4 118
Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, Banda Desenhada o vencedor da eleio.
3.2. Consideremos o nmero de primeiras preferncias de cada tema:
Comunicao Social 8 Banda desenhada 15 Quatro estaes 12 Profisses 10 Temos um total de 45 votos, logo a percentagem obtida por cada tema :
Comunicao Social: 8
100 17,78%45
Banda desenhada: 15
100 33,33%45
Quatro estaes: 12
100 26,67%45
Profisses: 10
100 22,22%45
Como nenhum tema obteve Maioria Absoluta, isto , pelo menos 50% dos votos, necessrio uma segunda volta com os dois temas mais votados, em que o tema vencedor ter de obter 23 + 1 votos. Os dois possveis vencedores sero Banda desenhada e Quatro estaes que sero os temas que iro segunda volta. O facto do tema Banda desenhada ter ganho por Maioria Simples no implica que ganhe na segunda volta pois os que votaram em Comunicao Social e em Profisses, podem ter como segundo tema preferido Quatro estaes.
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4.
4.1. Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas.
eliminada a msica Clssica.
eliminada a msica Hip Pop.
Vence a msica Popular.
4.2. Consideremos que h permuta da preferncia de Clssica com Popular 110 habitantes.
Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas:
eliminada a msica Clssica.
Hip Pop Rock Popular Clssica
125 230 328 110
Hip Pop Rock Popular
125 230 328 + 110 = 438
Rock Popular
125 + 230 = 385 328 + 110 = 438
Hip Pop Rock Popular Clssica
125 230 328 + 110 = 438 0
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eliminada a msica Hip Pop.
Vence a msica Popular. satisfeito o critrio de monotonia pois ao alterar-se a ordem de preferncia a favor de msica Popular, esta ganha novamente a eleio.
4.3. Aplicando o Mtodo de Contagem de Borda, consideremos:
1. preferncia = 4 pontos 2. preferncia = 3 pontos 3. preferncia = 2 pontos 4. preferncia = 1 ponto
Nome Clculo da pontuao Pontuao
Hip Pop 125 4 + 230 3 + 328 1 + 110 2 1738
Rock 125 3 + 230 4 + 328 3 + 110 1 2389
Popular 125 2 + 230 1 + 328 4 + 110 3 2122
Clssica 125 1 + 230 2 + 328 2 + 110 4 1681
A msica escolhida ao aplicar o Mtodo de Contagem de Borda Msica Rock. Ao aplicar o Mtodo das Eliminaes Sucessivas, verificamos que Msica Popular vence a Msica Rock, contudo aplicando o Mtodo de Contagem de Borda, Msica Rock vence a Msica Popular. Temos, portanto, dois resultados diferentes ao aplicar mtodos distintos ao mesmo conjunto de preferncias.
Hip Pop Rock Popular
125 230 438
Rock Popular
385 438
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5.
5.1. O nome vencedor relativo primeira preferncia o Pedro com 5 + 7 = 12 votos (Andr obteve
10 votos e Diogo obteve 8 votos).
5.2.
a) Apliquemos o Mtodo de Contagem de Borda.
1. preferncia = 3 pontos 2. preferncia = 2 pontos 3. preferncia = 1 ponto
Nome Clculo da pontuao Pontuao
Pedro 5 3 + 7 3 +10 2 + 8 1 64
Andr 5 2 + 7 1 + 10 3 + 8 2 63
Diogo 5 1 + 7 2 + 10 1 + 8 3 53
O nome vencedor o de Pedro com 64 pontos.
b) Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas:
eliminada o nome Diogo.
Vence o Andr.
c) Apliquemos o Mtodo dos Confrontos Sucessivos.
Pedro vs. Andr
Vence o Andr.
Pedro Andr Diogo
5 + 7 = 12 10 8
Pedro Andr
12 18
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Pedro vs. Diogo
Vence o Pedro. Andr vs. Diogo
O Andr e o Diogo empatam.
5.3.Nenhum dos mtodos conclusivo em relao escolha do nome, o Mtodo de Contagem de
Borda d preferncia ao nome de Pedro, contudo o nome de Andr vence no Mtodo das Eliminaes Sucessivas. Em relao, ao Mtodo dos Confrontos Sucessivos dois a dois, deparamo-nos com o Paradoxo de Condorcet pois se o Andr vence ao Pedro que vence ao Diogo, ento o Andr deveria vencer o Diogo. Contudo tal no se verifica, portanto, a Ana Maria e o marido devem propor outro mtodo de aplicao.
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Teoria da partilha equilibrada
PG. 40
1.
1.1. Considerando o Mtodo de Hamilton, o quociente eleitoral determinado fazendo o quociente
entre o nmero de votos validamente expressos e o nmero de mandatos, assim:
11076 308 144 10 6241180,(44)
9 9QE
1.2. Consideremos 10 624 votos validamente expressos, a quota padro determinada fazendo:
Quota padro do partido A = 4544
9 3,8510 624
Quota padro do partido B = 3276
9 2,7810 624
Quota padro do partido C = 2767
9 2,3410 624
Quota padro do partido D = 399
9 0,3410 624
Quota padro do partido E = 238
9 0,2010 624
1.3.
a) Mtodo de Hamilton
Partido N. de votos
Quota padro
Quota inferior
Parte decimal
Total mandatos
A 4544 3,85 3 0,85 3 + 1 = 4
B 3276 2,78 2 0,78 2 + 1 = 3
C 2767 2,34 2 0,34 2
D 399 0,34 0 0,34 0
E 238 0,20 0 0,20 0
Total 7 9
Partido A 4 mandatos
Partido B 3 mandatos
Partido C 2 mandatos
Partido D 0 mandatos
Partido E 0 mandatos
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b) Mtodo de Jefferson
1180,(44)QE
Partido N. de votos
Quota padro
Quota inferior
A 4544 3,85 3
B 3276 2,78 2
C 2767 2,34 2
D 399 0,34 0
E 238 0,20 0
Total 7
Na aplicao do mtodo de Jefferson, temos de determinar o quociente eleitoral modificado, de tal modo que, quando as quotas modificadas so arredondadas s unidades por defeito, quota inferior, a adio dessas quotas d exactamente o nmero de lugares a distribuir.
Consideremos 1000QM
Partido N. de votos
Quota modificada
Quota inferior
A 4544 4,544 4
B 3276 3,276 3
C 2767 2,767 2
D 399 3,99 0
E 238 2,38 0
Total 9
Partido A 4 mandatos
Partido B 3 mandatos
Partido C 2 mandatos
Partido D 0 mandatos
Partido E 0 mandatos
c) Mtodo de Adams
O mtodo de Adams muito semelhante ao de Jefferson. No entanto, o arrendamento da quota modificada feito por excesso e no por defeito.
1180,(44)QE
Partido N. de votos
Quota padro
Quota superior
A 4544 3,85 4
B 3276 2,78 3
C 2767 2,34 3
D 399 0,34 1
E 238 0,20 1
Total 12
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Consideremos 1700QM
Partido N. de votos
Quota modificada
Quota superior
A 4544 2,67 3
B 3276 1,93 2
C 2767 1,63 2
D 399 0,23 1
E 238 0,14 1
Total 9
Partido A 3 mandatos
Partido B 2 mandatos
Partido C 2 mandatos
Partido D 1 mandato
Partido E 1 mandato
2.
2.1. Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:
Ms N. de
pessoas
Quota padro
(QP) 1H L L Quota
inferior Quota
superior Total
mandatos
Janeiro 4102 4702
240 54,7917 968
54 54 1 54,50 54 55 55
(QP > H)
Fevereiro 3528 3528
240 47,1217 968
47 47 1 47,50 47 48 47
(QP < H)
Maro 5435 5435
240 72,6017 968
72 72 1 72,50 72 73 73
(QP > H)
Abril 4903 4903
240 65,4917 968
65 65 1 65,50 65 66 65
(QP < H)
Total 238 242 240
Janeiro 55 pessoas
Fevereiro 47 pessoas
Maro 73 pessoas
Abril 65
2.2. Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:
Ms N. de
pessoas Quota padro Quota inferior Parte decimal
Total mandatos
Janeiro 4102 54,79 54 0,79 55
Fevereiro 3528 47,12 47 0,12 47
Maro 5435 72,60 72 0,60 73
Abril 4903 65,49 65 0,49 65
Total 238 240
Sim, o nmero de pessoas seleccionadas por cada ms mantm-se.
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3.
3.1. O nmero de mandatos a atribuir dado por:
4,091 + 2,820 + 1,262 + 0,787 + 1,041 = 10 Temos, portanto, 10 mandatos.
3.2. Sabemos que, das 25 175 das pessoas que votaram, apenas 60% foram considerados votos
vlidos. Logo, temos 15 105 votos validamente expressos.
151051510,5
10QE
O quociente eleitoral 1510,5.
3.3. Observamos que:
..
n votos partidoQP n votos partido QP QE
QE
Assim,
N. votos do partido A 4,091 1510,5 = 6179
N. votos do partido B 2,820 1510,5 = 4259
N. votos do partido C 1,262 1510,5 = 1906
N. votos do partido D 0,787 1510,5 = 1189
N. votos do partido E 1,041 1510,5 = 1572 Temos um total de 10 105 votos.
3.4.
a) Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:
Partido N. de votos
Quota padro
(QP) 1H L L Quota
inferior Quota
superior Total
mandatos
A 6179 4,091 4 4 1 4,47 4 5 4
(QP < H)
B 4259 2,820 2 2 1 2,45 2 3 3
(QP > H)
C 1906 1,262 1 1 1 1,41 1 2 1
(QP < H)
D 1189 0,787 0 0 1 0 0 1 1
(QP > H)
E 1572 1,041 1 1 1 1,41 1 2 1
(QP < H)
Total 8 13 10
Partido A 4 mandatos
Partido B 3 mandatos
Partido C 1 mandato
Partido D 1 mandato
Partido E 1 mandato
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b) Considerando o Mtodo de Adams, temos:
1510,5QE
Partido N. de votos
Quota padro
Quota superior
A 6179 4,091 5
B 4259 2,820 3
C 1906 1,262 2
D 1189 0,787 1
E 1572 1,041 2
Total 13
Consideremos o seguinte quociente eleitoral modificado 2000QM :
Partido N. de votos
Quota modificada
Quota superior
A 6179 3,090 4
B 4259 2,130 3
C 1906 0,953 1
D 1189 0,595 1
E 1572 0,786 1
Total 10
Partido A 4 mandatos
Partido B 3 mandatos
Partido C 1 mandato
Partido D 1 mandato
Partido E 1 mandato
c) O mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.
1510,5QE
Partido N. de votos
Quota padro
Mandatos
A 6179 4,091 4
B 4259 2,820 3
C 1906 1,262 1
D 1189 0,787 1
E 1572 1,041 1
Total 10
Partido A 4 mandatos
Partido B 3 mandatos
Partido C 1 mandato
Partido D 1 mandato
Partido E 1 mandato
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4.
4.1.O partido vencedor foi o partido A com 270 775 votos, vencendo com maioria simples pois
conseguiu somente 39,46% dos votos. De facto, para o partido A:
270 775 10039,46%
686189
4.2.
a) Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:
686189 10 6242744,756
250 9QE
Partido N. de
votos Quota padro Quota inferior Parte decimal
Total mandatos
A 270 775 98,65 98 0,65 99
B 235 435 85,78 85 0,78 86
C 90 226 32,87 32 0,87 33
D 75 145 27,38 27 0,38 27
E 14 620 5,33 5 0,33 5
Total 247 250
Partido A 99 mandatos
Partido B 86 mandatos
Partido C 33 mandatos
Partido D 27 mandatos
Partido E 5 mandatos
b) Consideremos o Mtodo de Jefferson.
2744,756QE
Partido N. de votos
Quota padro Quota inferior
A 270 775 98,65 98
B 235 435 85,78 85
C 90 226 32,87 32
D 75 145 27,38 27
E 14 620 5,33 5
Total 247
Na aplicao do mtodo de Jefferson, temos de determinar o quociente eleitoral modificado, de tal modo que, quando as quotas modificadas so arredondadas s unidades por defeito, quota inferior, a adio dessas quotas d exactamente o nmero de lugares a distribuir.
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Consideremos 2720QM
Partido N. de votos
Quota modificada
Quota inferior
A 270 775 99,55 99
B 235 435 86,56 86
C 90 226 33,17 33
D 75 145 27,63 27
E 14 620 5,38 5
Total 250
Partido A 99 mandatos
Partido B 86 mandatos
Partido C 33 mandatos
Partido D 27 mandatos
Partido E 5 mandatos
c) Considerando o Mtodo de Adams, temos:
2744,756QE
Partido N. de votos
Quota padro Quota superior
A 270 775 98,65 99
B 235 435 85,78 86
C 90 226 32,87 33
D 75 145 27,38 28
E 14 620 5,33 6
Total 252
Consideremos o seguinte divisor modificado 2780QM :
Partido N. de votos
Quota modificada
Quota superior
A 270 775 97,40 98
B 235 435 84,69 85
C 90 226 32,46 33
D 75 145 27,03 28
E 14 620 5,26 6
Total 250
Partido A 98 mandatos
Partido B 85 mandatos
Partido C 33 mandatos
Partido D 28 mandatos
Partido E 6 mandatos
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d) O Mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.
2744,756QE
Partido N. de votos
Quota padro Mandatos
A 270 775 98,65 99
B 235 435 85,78 86
C 90 226 32,87 33
D 75 145 27,38 27
E 14 620 5,33 5
Total 250
Partido A 99 mandatos
Partido B 86 mandatos
Partido C 33 mandatos
Partido D 27 mandatos
Partido E 5 mandatos
e) Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:
Partido N. de votos
Quota padro
(QP) 1H L L Quota
inferior Quota
superior Total
mandatos
A 270 775 98,65 98 98 1 98,50 98 99 99
(QP > H)
B 235 435 85,78 85 85 1 85,50 85 86 86
(QP > H)
C 90 226 32,87 32 32 1 32,50 32 33 33
(QP > H)
D 75 145 27,38 27 27 1 17,50 27 28 27
(QP < H)
E 14 620 5,33 5 5 1 5,48 5 6 5
(QP < H)
Total 247 252 250
Partido A 99 mandatos
Partido B 86 mandatos
Partido C 33 mandato
Partido D 27 mandato
Partido E 5 mandato
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5.
Para aplicarmos cada um dos mtodos, comecemos por determinar os votos obtidos por cada um dos partidos tendo em conta a percentagem:
Lista Votos (%) Nmero de votos
A 35,15 0,3515 35 430 12 454
B 30,04 0,3004 35 430 10 643
C 20,18 0,2018 35 430 7150
D 9,47 0,0947 35 430 3355
Votos validamente expressos: 12 454 10 643 7150 3355 33602
5.1. Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:
33 6026720,40
5QE
Lista N. de votos
Quota padro Quota inferior Parte decimal Total
mandatos
A 12 454 1,853 1 0,85 2
B 10 643 1,584 1 0,58 2
C 7150 1,064 1 0,06 1
D 3355 0,499 0 0,50 0
Total 3 5
Lista A 2 alunos
Lista B 2 alunos
Lista C 1 aluno
Lista D 0 alunos
5.2. Considerando o Mtodo de Hondt, temos:
LISTA
A B C D
Divisores 12 454 10 643 7150 3355
1 12 454 10 643 7150 3355
2 6227 5321,5 3575 1677,5
3 2075,67 1773,83 1191,67 559,17
4 518,92 443,46 297,92 139,79
5 103,78 88,69 59,58 27,96
Lista A 2 alunos
Lista B 2 alunos
Lista C 1 aluno
Lista D 0 alunos
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5.3. Considerando o Mtodo de Adams, temos:
6720,40QE
Lista N. de votos
Quota padro Quota superior
A 12 454 1,853 2
B 10 643 1,584 2
C 7150 1,064 2
D 3355 0,499 1
Total 7
Consideremos o seguinte quociente eleitoral modificado 11000QM :
Lista N. de votos
Quota modificada
Quota superior
A 12 454 1,132 2
B 10 643 0,968 1
C 7150 0,65 1
D 3355 0,305 1
Total 5
Lista A 2 alunos
Lista B 1 aluno
Lista C 1 aluno
Lista D 1 aluno
5.4. Consideremos o Mtodo de Jefferson.
6720,40QE
Lista N. de votos
Quota padro Quota inferior
A 12 454 1,853 1
B 10 643 1,584 1
C 7150 1,064 1
D 3355 0,499 0
Total 3
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Consideremos o quociente eleitoral modificado 5000QM :
Lista N. de votos
Quota modificada
Quota inferior
A 12 454 2,491 2
B 10 643 2,129 2
C 7150 1,43 1
D 3355 0,671 0
Total 5
Lista A 2 alunos
Lista B 2 alunos
Lista C 1 aluno
Lista D 0 alunos
5.5. O Mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.
6720,40QE
Lista N. de votos
Quota padro Alunos
A 12 454 1,853 2
B 10 643 1,584 2
C 7150 1,064 1
D 3355 0,499 0
Total 5
Lista A 2 alunos
Lista B 2 alunos
Lista C 1 aluno
Lista D 0 alunos
6.
6.1.
a) Como foi o Pedro a dividir a piza, a Maria e a Carla vo escolher as fatias.
Sabemos que a Carla escolheu F1 e F2. Se a Maria escolher F2, ento a Carla ficar com F1 e o Pedro com a restante. Se a Carla escolher F1, ento a Carla ficar com F2 e o Pedro com a restante. Por ltimo, se a Maria escolher F3, a Carla escolher F1 ou F2 e o Pedro ficar com a restante.
b) Como foi o Pedro que dividiu a piza, para ele todas as fatias tm o mesmo valor, logo no poder
ficar insatisfeito. Como a Carla escolheu F1 e F2, poder sempre ficar com uma delas, que para ela tm igual valor, logo no poder ficar insatisfeita. Finalmente, a Maria poder ficar com qualquer uma das trs fatias, logo tambm no poder ficar insatisfeita.
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6.2. Procedimento:
1) Selecciona-se quem ser o que escolhe, suponhamos que a Maria. 2) Sorteia-se quem vai ser o primeiro a cortar, suponhamos que o Pedro. 3) O Pedro corta a piza em duas partes que pensa que tm o mesmo valor. 4) A Carla escolhe uma das partes e a outra fica para o Pedro. 5) A Carla e o Pedro cortam cada uma dos seus pedaos em trs partes que consideram ser iguais. 6) A Maria escolhe uma das trs partes da Carla e uma das trs partes do Pedro. As restantes partes ficam para quem j os possui.
6.3. Com o procedimento descrito, ningum ficar insatisfeito pois depois do passo 4, a Carla e o
Pedro consideram que tm partes que valem pelo menos 1
2da piza. No final do passo 6 cada um ter
partes que considera que valem, pelo menos, 1
3 do bolo.
7. O Pedro divide o terreno em 4 partes que considera iguais. Os outros trs netos vo seleccionar as
partes que consideram aceitveis, isto , que consideram que valem, pelo menos, 1
4 do terreno. A
Sara foi a nica que seleccionou T3, logo a Sara ficar com esta parte. A Maria escolheu T1 e T2 e o Filipe T1 e T4. Podemos considerar, por exemplo, que a Maria ficaria com T1 e, portanto, o Filipe ficaria com T4, deixando T2 para o Pedro (poderamos considerar que a Maria ficaria com T2 e o Filipe com T1 ou T4, deixando T4 ou T2 para o Pedro).
8.
8.1. Para a diviso do bolo, consideremos o Algoritmo do nico a Dividir.
O Pedro foi seleccionado para fazer a diviso do bolo e, como no sabe a parte que lhe caber, procede diviso em partes que considera justas, atribuindo a cada parte do bolo o valor de
100%25%
4 . Cada um dos outros netos atribui secretamente percentagens de preferncia a cada
uma das fatias (de forma que a soma de todas elas seja 100%). Exemplo 1:
F1 F2 F3 F4
Filipe 15% 20% 25% 40%
Sara 30% 35% 15% 20%
Pedro 25% 25% 25% 25%
Maria 25% 20% 30% 25%
O Filipe fica com F4, a Sara fica com F2, a Maria com F3 e o Pedro com a fatia sobrante F1. Exemplo 2:
F1 F2 F3 F4
Filipe 15% 20% 25% 40%
Sara 30% 35% 15% 20%
Pedro 25% 25% 25% 25%
Maria 25% 30% 20% 25%
O Filipe prefere F4, logo fica com F4. A Sara e a Maria preferem ambas a mesma fatia, logo o Pedro fica com F3, pois ambas no a preferem. Para fazer a diviso entre a Sara e a Maria pode, se possvel, juntar-se ambas as fatias e proceder a nova diviso e escolha entre as duas. Caso no haja entendimento faz-se sorteio com as duas fatias sobrantes.
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8.2. Os netos poderiam dividir o bolo de outra forma. Escolheriam um elemento para o cortar que
moveria a faca at outro neto dizer STOP, essa fatia ficaria para esse elemento (que mandou parar). Depois repetiria o processo com a restante poro do bolo para os outros elementos. Desta forma todos os intervenientes ficariam, do seu ponto de vista, com um quarto do bolo, pois somente dizem STOP quando acham que a faca atingiu um quarto do bolo.
9. Consideremos o algoritmo das licitaes secretas.
Cada herdeiro atribui um valor a cada item:
Carro de coleco Barco Elefante de marfim
Sofia 25 000 100 000 7500
Raquel 22 000 105 000 7000
Fernando 20 500 110 000 7250
De acordo com os valores atribudos, a Sofia ficar com o carro de coleco e com o elefante de marfim, o Fernando ficar com o barco e a Raquel no ficar com nenhum item. Vejamos, agora, o valor que cada um considera justo receber:
Valor da herana Parte justa
Sofia 132 500
(25 000 + 100 000 + 7500 )
132 50044166,67
3
Raquel 134 000
(22 000 + 105 000 + 7000 )
134 00044 666,67
3
Fernando 137 750
(20 500 + 110 000 + 7250 )
137 75045 916,67
3
necessrio, agora, calcular a diferena entre aquilo que cada um considera justo receber e o valor dos itens que recebeu. Se esta diferena for negativa, o herdeiro ter de pagar herana o valor indicado.
Parte justa Itens recebidos Valor a receber/pagar
Sofia 44 166,67 Carro de coleco
Elefante de marfim
11 666,67 a receber
[44 166,67 - (25 000 + 7500 )]
Raquel 44 666,67 _____________
44 666,67 a receber
Fernando 45 916,67 Barco 64 083,33 a pagar
(45 916,67 - 110 000 )
Depois de cada herdeiro pagar e receber o que deve da herana, vejamos o dinheiro de sobra para cada um:
64 083,33 44 666,67 11666,67 7749,992583,33
3 3
Assim, sobra ainda 2583,33 para cada herdeiro.
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Consideremos, ento, o seguinte quadro resumo:
Sofia Raquel Fernando
Valor total da herana 132 500 134 000 137 750
Parte justa 44 166,67 44 666,67 45 916,67
Itens recebidos Carro de coleco
Elefante de marfim _____________ Barco
Valor dos itens recebidos
25 000 + 7500 _____________ 110 000
Quantia a receber/pagar 11 666,67 a receber 44 666,67 a receber 64 083,33 a pagar
Parte do que resta 2583,33 2583,33 2583,33
Valor recebido 46 750 47 250 48 500
Assim, nenhum herdeiro ficou insatisfeito pois recebeu a parte que considerava justa mais 2583,33 (do dinheiro sobrante).