Aplicação do Procedimento Recursivo do Método dos Elementos de

Contorno em Problemas de Poisson

Carlos Friedrich Loeffler, Marcus Vinicius de Matos

PPGEM - Universidade Federal do Espírito Santo

Av. Fernando Ferrari 514–Goiabeiras – Vitória – ES – Brazil – CEP 29075 910

E-mail: carlosloeffler@bol.com.br,marcusvmatos@gmail.com

Palavras-Chave:Elementos de Contorno; Procedimento Recursivo, Dupla Reciprocidade

Resumo: Este trabalho apresenta resultados iniciais referentes ao emprego do esquema recursivo do

Método dos Elementos de Contorno com Dupla Reciprocidade emproblemas governados pela

Equação de Poisson. O propósito consiste em verificar se é possível melhorar a exatidão dos

resultados numéricos do método para esta classe de problemas, tal como foi constatado na solução de

problemas expressos por equações diferenciais parciais homogêneas, como a Equação de Laplace.

1 Introdução

Utilizando-se o Método dos Elementos de Contorno (MEC) o cálculo dos valores das variáveis básicas em pontos internos ao domínio é determinado através da aplicação recursiva da equação integral, após todos os valores nodais no contorno terem sido calculados. Pode-se constatar que a precisão dos valores assim determinados é superior a dos valores de contorno para os casos governados pela Equação de Laplace [Loeffler, 2011]. Com base neste fato, percebeu-se que a mesma idéia poderia ser usada para melhorar a exatidão dos resultados no contorno. Ealgumas experiências numéricas ratificaram esta expectativa. Assim, podem-se posicionar novos pontos fonte sobre o contorno, com coordenadas diferentes dos pontos nodais, e recalcularem-se os valores da variável básica e também das suas derivadas espaciais.

A fundamentação para este procedimento é baseado na equivalência matemática entre o uso recursivo da equação integral de contorno e uma nova aplicação da sentença de resíduos ponderados associada à equação de governo. Com a eleição de novos pontos fonte, a reutilizaçãoda sentença integral pode ser interpretada como um novo processo de minimização de resíduos, com o qual se almeja uma melhor precisão numérica. O procedimento pode ser eficiente desde que o modelo numérico não tenha chegado ao seu limite de precisão.

Neste trabalho, o procedimento recursivo é testado junto à Equação de Poisson. Ao contrário das experiências anteriores, realizadas junto às Equações de Laplace e Navier [Loeffler e Valoto, 2012] existe um termo relacionado a uma ação de domínio que precisa ser modelado por uma técnica auxiliar, que neste caso é a Dupla Reciprocidade [Partridge et al, 1992]. Esta técnica tem se mostrado ser a mais flexível e efetiva no trato de problemas que possuem termos de domínio no contexto do MEC, não obstante as aproximações introduzidas no modelo matemático, pois a Dupla Reciprocidade utiliza uma interpolação composta de funções de base radial plena, que pode alterar negativamente o processo de minimização de resíduos. As diferentes classes de funções radiais comumente interferem na precisão dos resultados. É exatamente a avaliação desta interferência que compõe o escopo desta pesquisa. Neste trabalho, um problema típico governado pela Equação de Poisson é resolvido recursivamente, e a precisão dos resultados é comparada com os resultados obtidos diretamente, tendo como medida de aferição os valores analíticos disponíveis.

2 Formulação

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Considerando um domínio finito Ω(X) no espaço bidimensional, no qual é definida uma variável escalar u(X), a forma integral inversa associada à equação de Poisson é dada por:

c(ξ)u(ξ) − q(X)u∗(ξ; X)dГГ(�)

+ u(X)q∗(ξ; X)dГГ(�)

= − p(X)u∗(ξ; X)dΩ�(�)

(1) Na equação anterior foram utilizadas uma função auxiliar u∗(ξ; X) , denominada solução

fundamental [4], e sua derivada normal q∗(ξ; X), ambas relacionadas ao ponto campo X e ao ponto campo � . O coeficiente c(ξ) está associado à posição do ponto fonte, que pode se localizar internamente, externamente ou precisamente sobre o contorno.

Utilizando a formulação com Dupla Reciprocidade, o termo referente ao lado direito da equação (1) se expressa por:

p(X)u∗(ξ; X)dΩ�(�)

= α� � η��X�; X�u∗(ξ; X)dГГ(�)

− ψ��X�; X�q∗(ξ; X)dГГ(�)

− c(ξ)ψ�(X�; ξ)� (2) De acordo com o procedimento padrão de discretização do MEC [Brebbia et al, 1984] e

utilizando técnicas de integração numérica, as integrais podem ser transformadas em matrizes na forma:

!"# − $!%# = & ' − $()!*# = & ' − $()+,-!.# (3) Na expressão anterior, ( e' são matrizes construídas por funções primitivas da função de

interpolação F� radial utilizada, que se associa facilmente aos valores nodais da ação de domínio, conhecidas em cada ponto nodal da discretização.

A forma recursiva da equação (2), considerando os valores de contorno previamente calculados e alocando novos pontos fonte �1situados no contorno, é dada simplesmente por:

c�ξ2�u�ξ2� = 3 Q56 7 ϕ5u∗(ξ; X)dГeГ6

:6;< − 3 U56 7 ϕ5q∗(ξ; X)dГe

Г6:

6;<− >c�ξ2�ψ��ξ2� + 3(ψ�)56 7 ϕ5u∗(ξ; X)dГe

Г6:

6;< − 3(η�)56 7 ϕ5q∗(ξ; X)dГeГ6

:6;< ? α� (4)

Na equação (4), AB(C) são as funções de forma e DBEe FBEsão os valores nodais na fronteira, já calculados na solução do sistema original. A posição dos novos pontos fonte não deve coincidir com a dos pontos nodais, porque estes já foram objeto de minimização de resíduos; nem devem ser posicionados onde os valores já são prescritos. A utilização recursiva da equação integral é mais eficaz quando os novos pontos se situam aproximadamente meia distância de dois pontos nodais adjacentes.

Não somente os valores do potencial no contorno podem ser recalculados pelo procedimento recursivo; também os valores das derivadas espaciais do potencial podem ser obtidos pelo mesmo processo. A fundamentação matemática para determinação das derivadas espaciais segue os mesmos passos da formulação hipersingular do MEC [Brebbia e Dominguez, 1992].

Considere-se, inicialmente, um ponto fonte interno �. Tomando a derivadanormal da equação (1) considerando o ponto fonte no interiore usando a regra de Leibniz, segue-se que: q(ξ) − qG∗(ξ; X)q(X)dГ +

Г(�) p∗(ξ; X)u(X)dГ

Г(�)= α� �− η��X�; X�qG∗(ξ; X)dГ

Г(�)+ ψ��X�; X�p∗(ξ; X)dГ

Г(�)+ η��X�; ξ�� (5)

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Posicionando o ponto fonte novamente no contorno, tem-se, para contornos suaves [Mansur et al, 1997 e Telles e Prado, 1993]:

−0.5q(ξ) + CPV � qG∗(ξ; X)q(X)dГ −Г(�)

&u(X) − u(ξ))p∗(ξ; X)dГГ(�)

� = = α� >12 η��X�; ξ1� − η��X�; XE�qG∗�ξ1; XE�dГe

Г6+ ψ��X�; XE�p∗�ξ1; XE�dГe

Г6+? (6)

Utilizando o procedimento de dupla reciprocidade discretização, o sistema matricial a seguir é gerado, no qual matrizes W e D, relacionadas aos novos núcleos hipersingulares, são utilizadas:

O!"# − P!%# = &O!ψ# − P!η#)+,-!.# (7)

3 Aplicação

O problema a ser resolvido é o de uma barra submetida ao seu peso próprio, conforme mostrado na ilustração esquerda da Figura 1.

Figura 1: Barra submetida ao peso próprio e malha básica de elementos de contorno.

As malhas utilizadas na discretização possuem 12, 20, 36 e 72 elementos de contorno lineares. Foram usados nove pontos no interior, localizados conforme ilustração à direita na Figura 1. Os pontos fonte recursivos foram tomados centralizados em cada elemento. As funções radiais empregadas nesta análise foram as radiais simples, que apresentaram melhor desempenho. Na legenda dos gráficos da Figura 1 PR significa pontos recursivos no contorno, PI pontos internos e PC pontos nodais originais.

Figura 2: Gráficos de erro médio percentual cometido no potencial (figura à esquerda) e na derivada normal do potencial (figura à direita) para as quatro malhas utilizadas.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

12 20 36 72

Err

o x

10

0%

Média dos erros percentuais

de u(x)

Média Pc

Média Pi

Média PR0

0,04

0,08

0,12

12 20 36 72

Err

o x

10

0%

Média dos erros percentuais

de q(x)

Média Pc

Média PR

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Com relação aos resultados, inicialmente percebe-se que para o potencial u(x) os valores recursivos tomados no interior tiveram uma precisão bem inferior ao dos valores de contorno para as malhas menos refinadas, embora convirjam para os valores analíticos. Os valores diretos e recursivos no contorno tiveram uma precisão similar, com pequena superioridade na precisão para os valores recursivos, mas inferior a expectativa gerada pela solução de outras classes de problemas. No caso da derivada do potencial, os valores recursivos no contorno são de precisão inferior aos valores diretos, embora igualmente convirjam para valores próximos aos analíticos.

4 Conclusões Parciais

Com relação ao potencial, estes resultados demonstram que a interpolação do termo de domínio introduz uma imprecisão adicional e não se ajusta exatamente à sentença de resíduos original. Ocorre um desempenho ainda inferior no cálculo dos valores da derivada normal;entretanto, esse comportamento já era esperado, pois, para esses,a equação integral hipersingular faz uso de funções auxiliares de mais alta ordem, as quais, à luz do Método dos Resíduos Ponderados,compõem bases distintas para ortogonalização dos resíduos. Este é um fator importante para justificar a diferença de precisão do procedimento recursivo no cálculo do potencial com relação ao efetuado pela Dupla Reciprocidade interfere negativamente nos resultados recursivos, pois nos problemas governados pela Equação de Laplace houve uma efetiva redução nos erros, particularmente nas malhas menos refinadas. Isto pode ser explicado pelo fato de que no caso aqui analisado, a Dupla Reciprocidade cálculo das suas derivadas espaciais. É algo similar ao que ocorre no desempenho dos resultados entre a formulação singular e a hipersingular do MEC.

Ressalta-se que a classe de funções radiais utilizada tem nítida influência na precisão dos resultados como um todo, ou seja, tanto nos valores diretos quanto nos recursivos. Testes realizados com outras funções não puderam ser apresentados por questão de espaço.

Por fim, novos exemplos teste devem ser resolvidos para que as conclusões chegadas até o momento se ratifiquem definitivamente.

Referências [1] C. A. Brebbia, J. Dominguez. “Boundary Elements – An Introductory Course”, Computational Mechanics Publication, 1992.

[2] C. A. Brebbia, J.C. Telles, and L.C Wrobel, “Boundary Element Techniques”, first ed., Springer Verlag 1984.

[3] C. F. Loeffler, A Recursive Application of the Integral Equation in the Boundary Element Method. Eng. Analysis with Boundary Elements, 35-1, (2011) 77-84.

[4] C. F. Loeffler, L.Valoto, Aplicação Recursiva da Equação Integral do Método dos Elementos de Contorno em Problemas de Elasticidade, Anais do 10º SIMMEC, UFMG, Belo Horizonte, 2012.

[5] W. J. Mansur, P. Fleury Jr., J.P.S. Azevedo, A Vector Approach to the Hyper-singular BEM Formulation for Laplace´s Equation in 2D, Int. Journal of BEM Comm. 8 (1997), 239-250.

[6] P.W. Partridge, C.A. Brebbia, L.C. Wrobel, “The Dual Reciprocity Boundary Element Method”, first ed., Computational Mechanics Pub., 1992.

[7] J.C.F. Telles, A. A. Prado, Hyper-singular Formulation for 2-D Potential Problems, in Advanced Formulations in Boundary Element Method, Chap. 6, Elsevier, London (1993).

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