APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO...
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APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO AOS SISTEMAS DE
EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS CINEMÁTICO COM ENRIQUECIMENTO
DIFERENCIADO NOS GRAUS DE LIBERDADE
Raphael da Silva Corrêa
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Civil.
Orientadores: Webe João Mansur
Eduardo Gomes Dutra do Carmo
Rio de Janeiro
Junho de 2011
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO AOS SISTEMAS DE
EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS CINEMÁTICO COM ENRIQUECIMENTO
DIFERENCIADO NOS GRAUS DE LIBERDADE
Raphael da Silva Corrêa
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
P
r
o
f
.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JUNHO DE 2011
iii
Corrêa, Raphael da Silva
Aplicação do método de Galerkin descontínuo aos
sistemas de equações de traçado de raios cinemático com
enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade/Raphael
da Silva Corrêa. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
X, 90 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Webe João Mansur
Eduardo Gomes Dutra do Carmo
Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 72-75.
1. Teoria do Raio. 2. Sistema de Equações de Traçado de
Raios Cinemático 3. Método de Galerkin Descontínuo. I.
Mansur, Webe João et al. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.
iv
Aos meus pais,
José Luiz Lemos Corrêa e
Marisa Maria da Silva Corrêa.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por guiar sempre meus passos aonde quer que eu vá.
Aos meus orientadores, prof. Webe João Mansur e, sobretudo, ao prof. Eduardo
Gomes Dutra do Carmo, pelos ensinamentos que vou carregar por toda minha vida.
Aos meus mestres, desde minha professora de classe de alfabetização até os pro-
fessores de pós-graduação. Em especial, os professores que contribuíram muito para
minha formação com seus ensinamentos e conselhos: Carlos Andrés Reyna
Vera-Tudela, José Antonio Fontes Santiago, Maria Teresa Carneiro Cunha, Roberto
Fernandes de Oliveira e Rosane Ferreira de Oliveira.
Ao pesquisador Luiz Alberto Santos por ter apresentado o problema de traçado
de raios, tema desenvolvido neste trabalho, e por dispor seu tempo para incontáveis
explicações sobre a Teoria do Raio. Obrigado Luiz Alberto!
Aos meus amigos presentes em todos os momentos. Especialmente a Alex
Moreira, Edilmo Gabriel, Aline Tavares, Gilmar Teixeira e Wilson Duarte, sem o apoio
de vocês dificilmente conseguiria chegar até aqui.
Aos Amigos do LAMEC, pelo prazer da companhia. Em especial: Rodrigo Dias,
Viviane Ferreira, Jorge Rebelo, Wilian Santos, Edivaldo Júnior, Marlucio Barbosa,
Elias Conceição, Israel Nunes, Marco Túlio, Wellington Pereira, Álvaro Vieira, Pablo
Higuera, Franciane Peters, Cid Monteiro, Cleberson Dors e Edmundo Guimarães.
Agradeço a Ivone, que me tratou como um filho durante os dois últimos anos,
fazendo sempre o possível e muita das vezes o impossível para que eu concluísse este
trabalho. Não existem palavras para expressar o quanto sou grato por tudo que você fez
e faz por mim.
Agradeço toda minha família. Em especial: minha madrinha Marinete da Silva
por todo carinho e amor, e também minha tia Marli Cipriano que pagou minha inscrição
no vestibular da UFRRJ quando meus pais estavam desempregados.
Agradeço meu irmão, Jeferson Corrêa, por todas as discussões, brigas, mas, so-
bretudo, pelo incentivo em todos os momentos da minha vida.
Agradeço meus pais, José Luiz Lemos Corrêa e Marisa Maria da Silva Corrêa,
que fizeram o possível e lutaram pelo impossível para que eu chegasse até aqui. Eu amo
vocês!
Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO AOS SISTEMAS DE
EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS CINEMÁTICO COM ENRIQUECIMENTO
DIFERENCIADO NOS GRAUS DE LIBERDADE
Raphael da Silva Corrêa
Junho/2011
Orientadores: Webe João Mansur
Eduardo Gomes Dutra do Carmo
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho introduz uma nova metodologia de resolução dos sistemas de
equações de traçado de raios cinemático, baseada no método de elementos finitos de
Galerkin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade, isto é,
aproximações com polinômios de graus diferentes em cada variável do sistema. O foco
do trabalho é a obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito a partir da solução
destes sistemas oriundos da equação eiconal, parte cinemática da equação da onda, que
possuem um amplo campo de aplicação na sismologia e prospecção sísmica, de extrema
importância para indústria do petróleo. A metodologia é aplicada em modelos bidimen-
sionais isotrópicos e heterogêneos regidos por distribuições de velocidade contínua ou
descontínua.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
APPLICATION OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD TO SYSTEMS OF
KINEMATIC RAY TRACING EQUATIONS WITH DIFFERENTIATED
ENRICHMENT IN DEGREES OF FREEDOM
Raphael da Silva Corrêa
June/2011
Advisors: Webe João Mansur
Eduardo Gomes Dutra do Carmo
Department: Civil Engineering
This work introduces a new methodology for solving systems of kinematic ray
tracing equations, based on the Discontinuous Galerkin Finite Element Method with
differentiated enrichment in degrees of freedom, i.e., approximations with polynomials
of different degrees in each variable of the system. The focus of the work is to obtain
the rays and their traveltimes from the solution of these systems which have a wide
range of applications in seismology and seismic prospecting, extremely important for
petroleum industry. The methodology is applied on two-dimensional isotropic and hete-
rogeneous models governed by continuous or discontinuous distributions of velocity.
viii
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 1
1.1 Considerações Preliminares ............................................................................... 1
1.2 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 3
1.3 Objetivo e Estrutura da Dissertação ................................................................... 5
2 - TEORIA DO RAIO: OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE
RAIOS CINEMÁTICO .................................................................................................. 7
2.1 Teoria do Raio: Noções Gerais .......................................................................... 8
2.2 A Equação Eiconal ............................................................................................. 9
2.3 Sistemas de Equações de Traçado de Raios Cinemático ................................. 13
2.4 Condições Iniciais para um Raio ..................................................................... 18
3 - MODELOS DE VELOCIDADE PARA TRAÇAMENTO DE RAIOS ............. 20
3.1 Geração de Modelos ........................................................................................ 21
3.1.1 Modelo Contínuo ...................................................................................... 22
3.1.2 Modelo Descontínuo ................................................................................ 24
3.1.3 Modelo Analítico ...................................................................................... 26
3.1.3.1 Modelos Homogêneos ........................................................................... 26
3.1.3.2 Modelos Heterogêneos ......................................................................... 27
ix
4 - FORMULAÇÃO GALERKIN DESCONTÍNUO PARA SISTEMAS
LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM .. 30
4.1 Espaços Matemáticos ....................................................................................... 31
4.1.1 Produto interno e Norma do Espaço Euclidiano ................................ 31
4.1.2 Os Espaços de Hilbert e ..................................................... 31
4.2 O Sistema de Equações de Traçado de Raios Cinemático Linearizado........... 32
4.3 Características do Método de Elementos Finitos de Galerkin Descontínuo .... 33
4.4 Formulação Variacional Descontínua para o Sistema Linear de EDO de 1ª
Ordem ......................................................................................................................... 34
4.5 Formulação Aproximada pelo Método de Elementos Finitos Galerkin
Descontínuo ................................................................................................................ 38
5 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ............................................................. 46
5.1 Traçando Raios em Modelos Analíticos .......................................................... 47
5.1.1 Modelo Homogêneo ................................................................................. 47
5.1.2 Modelo Heterogêneo ................................................................................ 50
5.1.3 Modelo com Interfaces Planas .................................................................. 60
5.2 Traçando Raios em Modelos Não-Analíticos .................................................. 64
6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 68
6.1 Conclusões ....................................................................................................... 68
6.2 Trabalhos Futuros ............................................................................................ 70
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 72
APÊNDICE A - LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DE
TRAÇADO DE RAIO CINEMÁTICO ...................................................................... 76
A.1 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função do Comprimento de
Arco ......................................................................................................................... 76
A.1.1 Distribuição de Velocidade dependendo linearmente de e ................. 78
A.1.2 Distribuição de Velocidade Analítica ....................................................... 79
x
A.2 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função do Tempo de
Trânsito .................................................................................................................... 80
APÊNDICE B - PRINCÍPIO DE FERMAT E LEI DE SNELL .............................. 82
B.1 Princípio de Fermat .......................................................................................... 82
B.2 Lei de Snell ...................................................................................................... 83
APÊNDICE C - SOLUÇÕES DE REFERÊNCIA .................................................... 88
C.1 Simulador Traçado de Raios CREWES ........................................................... 88
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Preliminares
A teoria do raio desempenha um papel fundamental em diversos ramos da física,
por esta razão, é comum encontrar diferentes abordagens na literatura para defini-la. Na
geofísica, a teoria do raio é baseada na aproximação de soluções da equação da onda
acústica, eletromagnética ou elástica através da inserção de uma expansão assintótica
em alta frequência (solução aproximada) na mesma. Embora a teoria do raio utilize uma
solução aproximada em alta frequência, sua precisão é suficiente para resolver diversos
problemas de propagação de ondas de grande interesse prático na sismologia e explora-
ção sísmica, que são extremamente difíceis quando tratados de outra maneira.
A teoria do raio na sísmica consiste na decomposição do campo de onda em con-
tribuições independentes que se propagam ao longo do raio. De modo geral, a teoria do
raio sísmico se resume nos equacionamentos cinemático e dinâmico da equação da on-
da. A parte cinemática da equação da onda, representada pela equação eiconal, trata do
cálculo dos tempos de trânsito, enquanto a parte dinâmica, regida pela equação do
transporte, aborda a obtenção das amplitudes (ČERVENÝ, 1985).
A equação eiconal é resolvida basicamente através de duas abordagens clássicas
identificadas na literatura. A primeira utiliza a solução numérica, por exemplo, pelo
método das diferenças finitas, da própria equação eiconal, fornecendo assim apenas os
tempos de trânsito dos primeiros eventos, ou seja, ao longo das frentes de ondas
(VIDALE, 1988). A segunda abordagem resolve a equação eiconal por meio dos raios
(ČERVENÝ, 1987; BLEISTEIN, 1984), que são determinados pela solução do sistema
2
de equações de traçados de raios cinemático (um sistema de equações diferenciais ordi-
nárias de 1ª ordem), chamado também de sistema de traçado de raios de valor inicial.
Neste sistema, o tempo de trânsito é calculado ao longo dos raios, e os raios por sua vez,
são obtidos a partir de uma dada posição e de vários ângulos de saída, e considera-se a
trajetória que mais se aproxima do receptor desejado (ponto de chegada do raio),
caracterizando um problema de valor inicial.
O cálculo do tempo de trânsito e da trajetória do raio ao longo do meio em es-
tudo são importantíssimos para a indústria do petróleo, necessários em diversos
processos sísmicos, como na migração reversa no tempo (BAYSAL et al., 1983;
SILVA, 2002), para que seja possível melhor imagear o campo de velocidades sísmicas,
e nos métodos de migração e modelagem sísmica do tipo Kirchhoff, que necessitam do
cálculo do tempo do trajeto entre as posições de registro na superfície e os pontos em
profundidade do modelo de velocidade para o cálculo da função de Green utilizada nes-
tes métodos.
Para a obtenção da trajetória do raio e o tempo de trânsito ao longo do mesmo
em modelos com distribuição de velocidade arbitrária, descontínua e discreta, é empre-
gada tradicionalmente a abordagem de resolver o sistema de equações traçado de raios
cinemático oriundo da equação eiconal por meio de algum método numérico, como por
exemplo, Runge-Kutta (PRESS, 2002), apresentado por MARGRAVE (2003) e utili-
zado no simulador de traçado de raios CREWES (2011). Este sistema de equações
diferenciais representa a forma diferencial da lei de Snell, portanto aplicáveis somente
em meios onde a variação de velocidade é suave (SCHNEIDER et al, 1992). Assim, em
cada descontinuidade da velocidade entre as interfaces estruturais do meio (camadas do
modelo), deve-se completar a definição do sistema de traçado de raios com a lei de
Snell, para que novas condições iniciais apropriadas sejam impostas.
Este trabalho utiliza somente a parte cinemática da equação da onda, ou seja, as
equações cinemáticas. O foco é a obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito
a partir do sistema de equações de traçado de raios cinemático (solução da equação ei-
conal) via uma nova metodologia de resolução, baseada no método de elementos finitos
de Galerkin descontínuo. A metodologia desenvolvida neste presente trabalho será apli-
cada em modelos bidimensionais isotrópicos e heterogêneos regidos por distribuições
de velocidade contínua ou descontínua (modelos com interfaces planas, em que cada
camada gerada é regida por distribuição de velocidade).
3
A implementação computacional é via C++ (DEITEL, 2006), que segue a fi-
losofia de orientação a objetos (RUMBAUGH, 1991), possuindo, portanto, vantagens
importantes em relação à programação procedural1, tais como: o gerenciamento do có-
digo e à sua reutilização, tornando o trabalho de implementação consideravelmente
reduzido.
A seguir, faz-se uma breve revisão bibliográfica destacando algumas dificulda-
des encontradas na obtenção do tempo de trânsito e do próprio traçamento do raio, e
também uma revisão sobre a aplicação do método de elementos finitos de Galerkin des-
contínuo em sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem.
1.2 Revisão Bibliográfica
Em sua pesquisa SCHNEIDER et al. (1992) afirmam que em modelos de velo-
cidade complicados, as trajetórias dos raios que conectam o ponto fonte ao receptor são
dificilmente determinadas mesmo que muitos raios sejam lançados, o que muitas das
vezes é inviável devido ao elevado custo computacional. Além disso, segundo
PESTANA e PIMENTEL (1996), quando o método de traçado de raios é aplicado em
modelos de velocidade complicados, isto é, com muitas interfaces estruturais com forte
variação de velocidade entre elas, o caminho do raio pode se tornar complicado gerando
regiões onde os raios se cruzam (caminhos múltiplos - multipath) e/ou não penetram
(zonas de sombra - shadow zones). Vale ressaltar que através da técnica feixes gaussia-
nos (Gaussian Beams) introduzida por POPOV (2002), já é possível resolver problemas
envolvendo caminhos múltiplos.
Na tentativa de obter melhores resultados, vários autores, entre eles RESHEF e
KOSLOFF (1986), VIDALE (1988), VAN TRIER e SYMES (1991), PODVIN e
LECOMTE (1991) e SCHNEIDER et al. (1992), têm introduzido métodos para cal-
cular os tempos de trânsito diretamente sobre uma malha regular (geralmente
calculando apenas o tempo de chegada dos primeiros eventos a partir da solução da
equação eiconal por diferenças finitas), evitando deste modo o processo de interpolação
gerado pelo métodos numéricos tradicionais quando aplicados ao sistema de equações
de traçado de raios cinemático. No entanto, resultados obtidos em experimentos mos-
1 Programação procedural comum em linguagens científicas como PASCAL, C e FORTRAN.
4
tram que algoritmos baseados nessa abordagem também apresentam algumas dificulda-
des de estabilidade, quando aplicados a modelos de velocidade com grandes
descontinuidades. De acordo com ČERVENÝ (2001), uma das justificativas para o sur-
gimento dessas dificuldades é dada pelas próprias restrições impostas pela teoria do
raio, como a aproximação de alta freqüência e a premissa de que as variações de veloci-
dade não sejam bruscas em relação ao comprimento de onda da fonte.
Sabendo das dificuldades existentes, surgiu a proposta de aplicar um método
mais robusto que os atuais, o método de elementos finitos de Galerkin descontínuo
(MEFGD) para resolver o sistema de equações de traçado de raios cinemático.
São várias as vantagens do método de Galerkin descontínuo, entre elas
COCKBURN (2003) ressalta: ser método localmente conservativo, estável, paralelizá-
vel; apresenta uma alta ordem de precisão; adapta-se facilmente a geometrias complexas
e malhas irregulares, sendo possível refinar ou desrefinar as malhas; suportam aproxi-
mações com polinômios de diferentes graus em diferentes elementos construídos.
O MEFGD é uma variante do método de elementos finitos, em que as funções de
aproximação são descontínuas entre dois elementos, logo o grau de liberdade em cada
elemento é independente do elemento adjacente. A continuidade da solução deve ser
imposta de maneira fraca na formulação variacional, por meio de termos integrais sobre
a fronteira dos elementos. O cálculo necessário para cada elemento é realizado da mes-
ma forma que no método de elementos finitos contínuo. Além disso, semelhantemente
ao caso contínuo, a formulação Galerkin descontínuo é obtida quando as funções de
interpolação utilizadas são as mesmas tanto para solução aproximada quanto para as
funções de ponderação.
A introdução do MEFGD surgiu com a finalidade de resolver numericamente
problemas da mecânica dos fluidos, onde as soluções apresentam gradientes muito ele-
vados ou descontinuidades. Este método foi inserido pela primeira vez por REED e
HILL (1973) para resolver a equação de transporte de nêutrons. Desde então, uma varie-
dade de métodos de Galerkin descontínuo foram propostos, principalmente para
resolução de problemas hiperbólicos e quase-hiperbólicos. Em especial, COCKBURN
et al. (2000) apresentam em sua pesquisa uma revisão histórica e uma extensa lista de
referências sobre os métodos de Galerkin descontínuo.
Para problemas envolvendo sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO),
o MEFGD foi analisado pela primeira vez por LESAINT e RAVIART (1974), que mos-
traram que o método é fortemente estável para esse tipo de problema e que possui uma
5
ordem de aproximação de nos pontos da malha quando polinômios de grau
são usados. É importante destacar que HULME (1972a e 1972b) estudou um método
para sistema de EDO que usava a mesma formulação fraca empregada no método de
Galerkin descontínuo, no entanto a solução aproximada utilizada era contínua.
DELFOUR et al. (1981), apresentaram um trabalho muito interessante sobre mé-
todos de Galerkin descontínuo para sistemas de EDOs, onde introduziram uma nova
classe de métodos Galerkin descontínuos capazes de dar uma ordem de precisão de até
nos pontos da malha quando são utilizados polinômios de grau .
JOHNSON (1988) realizou uma análise de controle de erro para o método de
Galerkin descontínuo em sistemas de EDOs do tipo“Stiff” (duras). Alguns anos depois,
ESTEP e FRENCH (1994) apresentaram um estudo de controle de erro global para mé-
todo de Galerkin descontínuo em sistemas de EDOs. Um ano depois, ESTEP (1995)
estendeu sua análise de controle de erro para um sistema geral de EDOs não-autônomo.
Uma nova técnica de controle adaptativa de erro para sistemas de EDO foi intro-
duzida através do método de Galerkin descontínuo por BOTTCHER e RANNACHER
(1996). Mais recentemente, SCHOTZAU e SCHWAB (2000 e 2001) apresentaram uma
análise definitiva das versões -adaptativas dos métodos de Galerkin descontínuos.
1.3 Objetivo e Estrutura da Dissertação
O objetivo desta dissertação é o desenvolvimento de uma formulação Galerkin
descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade para resolver nu-
mericamente o sistema de equações de traçado de raios cinemático oriundo da solução
da equação eiconal, com finalidade de obter os tempos de trânsito e o próprio traça-
mento do raio tão importantes em diversos processos sísmicos utilizados pela indústria
do petróleo.
O texto está estruturado da seguinte maneira:
No capítulo , é realizada uma breve introdução sobre os fundamentos teóricos da
teoria do raio de ordem zero, com enfoque à parte cinemática da equação da onda. Neste
capítulo serão apresentados os sistemas de traçado de raios cinemático, utilizados para
obtenção dos tempos de trânsito e a trajetória do raio.
6
No capítulo , são descritos alguns modelos de velocidades bidimensionais contí-
nuos e descontínuos, onde serão aplicados os sistemas de equações de traçado de raios
definidos no capítulo .
No capítulo , é desenvolvida a formulação de elementos finitos de Galerkin des-
contínuo para resolver numericamente os sistemas de equações de traçado de raios
cinemático definidos no capítulo , aplicados em modelos de velocidade contínuos
apresentados no capítulo .
No capítulo , serão apresentados os resultados e as respectivas análises do mé-
todo de Galerkin descontínuo, desenvolvido no capítulo , aplicado nos sistemas de
traçado de raios cinemático definidos no capítulo , em alguns modelos de velocidade
expostos no capítulo . Inicialmente, serão realizadas comparações com soluções analí-
ticas, com intuito de analisar a influência de alguns parâmetros do método. Em seguida,
serão feitas comparações com os resultados obtidos pelo simulador de traçado de raios
do consórcio CREWES (2011) que utiliza o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
No capítulo , são apresentadas as considerações finais do trabalho, as conclusões
e alguns comentários, e também sugestões de trabalhos futuros, envolvendo a metodo-
logia desenvolvida neste presente trabalho.
Ao final deste trabalho, são apresentados três apêndices: no apêndice , é descrita
a técnica de linearização de alguns sistemas não lineares de equações de traçado de raios
cinemático; no apêndice , é apresentado o princípio de Fermat e a Lei de Snell, impor-
tantes para compreender alguns conceitos desenvolvidos no capítulo ; no apêndice , é
apresentado o simulador de traçado de raios do consórcio CREWES, utilizado com in-
tuito de comparar com os resultados obtidos pela aplicação do método de Galerkin des-
contínuo ao sistema de traçado de raios.
7
CAPÍTULO 2
TEORIA DO RAIO: OS SISTEMAS DE
EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIOS
CINEMÁTICO
Neste capítulo serão introduzidos os fundamentos teóricos da teoria do raio de
ordem zero, com enfoque às equações de traçado de raios cinemático, que são aquelas
de real interesse do presente trabalho. As seções apresentam de maneira construtiva a
obtenção do sistema de equações de traçados de raios cinemático, mostrando que o
mesmo é uma solução encontrada através da aplicação do método das características à
equação eiconal, que por sua vez é uma das equações encontradas quando se substitui,
por hipótese, uma solução assintótica em alta frequência na equação da onda acústica ou
elastodinâmica.
O texto foi organizado de forma bem objetiva, baseado em conhecimentos dis-
poníveis na literatura, não apresentando, portanto, detalhadamente todas as contas e
teorias matemáticas. Descrições completas e detalhadas da teoria de raios podem ser
encontradas, por exemplo, em ĈERVENÝ (2001), CHAPMAN (2004) e SHEARER
(2009).
8
2.1 Teoria do Raio: Noções Gerais
A técnica do método do raio é uma das mais utilizadas no estudo de fenômenos
de propagação de ondas, exploração geofísica, etc. A teoria do raio na geofísica é base-
ada na aproximação de soluções da equação da onda acústica, eletromagnética ou elás-
tica através da inserção de uma solução tentativa, uma expansão de alta frequência
(pequenos comprimentos de onda) na mesma. De modo geral, a teoria do raio sísmico
se resume nos equacionamentos cinemático e dinâmico da equação da onda. A parte
cinemática trata do cálculo dos tempos de trânsito, frentes de onda e do traçado dos rai-
os e a parte dinâmica na obtenção das amplitudes. Neste trabalho, o método do raio
sísmico será aplicado em meios bidimensionais isotrópicos heterogêneos.
Enfatiza-se que o método do raio é somente aproximado, isto é, aplicável apenas
para altas frequências. No entanto, sua precisão é suficiente para resolver diversos pro-
blemas de propagação de ondas de grande interesse prático na sismologia e exploração
sísmica, que se tornam extremamente difíceis quando tratados de outra forma. Na litera-
tura não existe um valor determinado para a frequência de modo que a teoria do raio
seja validada. Existem sim, três importantes condições de validade para aplicar o
método do raio, que segundo ĈERVENÝ (2001) são
i) O comprimento de onda precisa ser consideravelmente menor do que
qualquer característica de dimensão no problema considerado, isto é,
ii) O método do raio falha em algumas proximidades de superfícies , como
por exemplo, superfícies de cáustica e os limites das zonas de sombra, ao
longo das quais o campo de raio considerado não é regular. Dessa forma,
a condição de validade deve ser
onde é a distância até a superfície .
iii) O método do raio não é aplicável quando a distância entre a fonte e o re-
ceptor é muito grande. Estimativas baseadas no teorema do valor mí-
nimo levam à condição
onde tem o mesmo significado de da condição i).
9
Portanto, de modo geral, a técnica do método do raio apresenta resultados melho-
res quando é aplicada em meios em que o comprimento de onda seja consideravelmente
menor que as dimensões características de todas as não-homogeneidades do modelo.
Para tentar eliminar ou pelo menos reduzir essas restrições citadas anteriormente,
várias modificações e extensões do método do raio têm sido propostas na literatura.
Entretanto, as restrições apresentadas pelas condições de validade i) e iii) ainda não fo-
ram resolvidas (ĈERVENÝ, 2001). Para a condição ii), algumas variações e extensões
do método do raio têm dado bons resultados em certas regiões de singularidades, onde o
método do raio falha. No entanto, o problema das singularidades continua sendo um dos
problemas mais graves na aplicação do método do raio.
2.2 A Equação Eiconal
Não é surpreendente que sejam encontradas diversas abordagens para definir
raios e a derivação do sistema de traçado de raios na literatura, já que os mesmos estão
presentes em diversos ramos da física. Em especial, CUNHA (2005) apresenta em sua
tese de doutorado diferentes formas de deduzir tais equações.
Uma abordagem mais geral para derivar sistemas sísmicos de traçados de raios,
segundo ĈERVENÝ (2001), é através da solução assintótica para altas frequências da
equação elastodinâmica em meios isotrópicos heterogêneos, no entanto, por mera sim-
plificação, serão obtidas aqui soluções aproximadas de alta frequência apenas para
equação da onda acústica, sem o termo fonte.
Seja a equação da onda acústica bidimensional
onde é o campo de velocidade da onda no meio em função do vetor posição
; é o tempo e representa um sinal tal como pressão.
Como as aproximações assintóticas são realizadas na frequência, optou-se utili-
zar a equação da onda reduzida, chamada também de equação de Helmholtz, obtida
através da transformada de Fourier no tempo aplicada na equação da onda acústica
, isto é,
10
Pela propriedade de diferenciação da transformada Fourier, sabe-se que:
e
onde é o operador transformada de Fourier, e considerando
tem-se a equação de Helmholtz:
De acordo com BOTELHO (1986), a teoria assintótica do raio é baseada na so-
lução aproximada da equação na forma
onde representa a frequência que, por hipótese, assume valores altos; repre-
senta a unidade imaginária; é a função tempo de trânsito e é o
k-ésimo coeficiente da série relacionados à função amplitude.
Para uma solução aproximada em alta frequência será considerado somente o
primeiro termo da série assintótica
Quando a solução é assumida, a aproximação realizada é chamada de aproxima-
ção de ordem zero, onde foi adotado por economia de notação.
11
Inserindo a solução aproximada na equação de Helmholtz , obtem-se
Após realizar algumas manipulações algébricas, a equação pode ser rees-
crita da seguinte forma
onde o operador é o gradiente, definido por
e é a norma do vetor definida por
Da parte imaginária de , obtem-se a equação de transporte
Por outro lado, a partir da parte real de , tem-se
A equação ainda pode ser simplificada, uma vez que é assumida uma apro-
ximação de alta frequência, isto é, é suficientemente grande para que o termo
possa ser ignorado. Logo, baseado nesta hipótese, encontra-se a importante equação
eiconal
Observe que a equação eiconal apresenta apenas informações sobre os tempos de
trânsito , ou seja, representa a parte cinemática da teoria do raio. Por outro lado, a
equação de transporte aborda a parte dinâmica da teoria do raio, fazendo uma relação
entre tempos de trânsito e as amplitudes , indicando como estas quantidades
12
são transportadas. Assim, para encontrar a solução geral do problema, é preciso pri-
meiro encontrar a solução da eiconal e, em seguida, substituí-la na equação de trans-
porte para encontrar a solução para as amplitudes (PORTUGAL 2002).
A utilização dessas duas equações, transporte e eiconal, para descrever a propa-
gação de ondas é chamada teoria dos raios. Neste trabalho, será utilizada somente a
parte cinemática do problema, portanto não serão apresentados mais detalhes sobre a
parte dinâmica do mesmo. Nas próximas seções será dado enfoque à parte cinemática,
ou seja, ao cálculo dos tempos de trânsito e do traçamento de raios.
Em princípio, segundo ĈERVENÝ (2001), a derivação das equações e
para alta frequência de ondas de corpo sísmicas, que se propagam em meios iso-
trópicos suavemente heterogêneos, permanecem as mesmas como no caso acústico. A
aplicação da teoria assintótica do raio à equação elastodinâmica isotrópica produz a se-
paração do campo de onda em duas ondas, que podem se propagar separadamente:
ondas compressionais (ondas primarias) e ondas cisalhantes (ondas secundárias), ou
ondas e ondas . Os tempos de trânsito e o traçamento dos raios para ondas e
ondas são controlados por equações semelhantes à eiconal ), respectivamente,
dadas por
onde as velocidades são dadas por
Aqui e são os parâmetros de Lame e a densidade do meio.
Em gases e líquidos ideais o parâmetro . Logo, pelas equações
observa-se que as ondas cisalhantes não se propagam em fluidos. Este tipo de onda só
ocorre em meios sólidos.
Assim, será utilizada formalmente a mesma equação eiconal
13
tanto para meios acústicos quanto para meios elásticos isotrópicos (ĈERVENÝ, 2001),
onde para o caso acústico, para as ondas no meio elástico, e
para as ondas no meio elástico.
2.3 Sistemas de Equações de Traçado de Raios Cinemático
A equação eiconal representada pela equação é uma equação diferencial
parcial (EDP) não linear, não-homogênea de 1ª ordem para , que pode ser reescrita
em função do vetor , perpendicular à frente onda, definido por
isto é,
O vetor , chamado de vetor vagarosidade, é tangente à trajetória do raio e con-
tém as componentes de vagarosidade ( ) nas direções dos eixos cartesianos
Observam-se na figura as frentes de onda, definidas pelas curvas
para cada instante de tempo (que variando representa o movimento da frente
de onda), e as linhas perpendiculares a (paralelo à ) definindo os raios.
Figura : O caminho do raio na direção do vetor vagarosidade, , ortogonal as frentes
de onda, .
14
A equação pode ser expressa em várias formas alternativas. De modo ge-
ral, a equação eiconal pode ser reescrita da seguinte maneira (ĈERVENÝ, 2001)
onde a função , chamada de Hamiltoniano, pode ser expressa de diferentes modos,
como por exemplo,
A equação pode ser resolvida matematicamente, segundo BLEISTEN
(1984), através do método das características. As características da equação , ou
raios, são curvas ( é algum parâmetro ao longo da trajetória do raio) ao lon-
go do qual é satisfeita, de modo que ao longo de cada raio os tempos de
trânsitos ficam determinados. Estes raios são determinados como solução de um sistema
não linear de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem, que podem ser resol-
vidos por diversos procedimentos numéricos. A curva característica é uma solução
chamada de sistema característico de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Esse
sistema característico da equação é dado, segundo ĈERVENÝ (2001), por
O sistema de equações diferenciais ordinárias apresentado em pode ser
utilizado para determinar a trajetoria dos raios e do tempo de trânsito ao longo dos
mesmos. Aqui, este sistema é chamado de sistema de equações de traçado de raios
cinemático ou em algumas ocasiões, por mera simplificação, de sistema de traçado de
raios.
Em um meio bidimensional, o sistema é composto por cinco equações:
quatro equações para e , que geralmente são resolvidas de maneira conjunta;
e mais uma quinta equação, que pode ser resolvida de maneira independente, que forne-
ce o tempo de trânsito . Dependendo da forma específica da função em ,
o parâmetro ao longo da curva característica é modificado, não podendo assim, ser
escolhido arbitrariamente.
15
Em observa-se que é possível expressar a equação eiconal em diferentes
tipos de Hamiltonianos. Uma forma bastante geral do Hamiltoniano, que inclui muitas
outras opções, pode ser dada por
onde teoricamente admite um valor real, mas para aplicações, deve-se considerar
sendo um número inteiro. Note que, para , o Hamiltoniano pode ser
expresso utilizando a regra de L’Hospital por
Portanto, substituindo o hamiltoniano no sistema , para ,
obtem-se
Para cada valor inteiro de no sistema de equações , é encontrado
um diferente sistema de traçado de raios com distintos tipos do parâmetro ao longo
dos raios, o que pode tornar o sistema mais simples ou não, dependendo do tipo de
estudo realizado. A seguir, serão apresentados os principais sistemas de traçado de raios
utilizados na literatura (ĈERVENÝ, 2001), gerados quando assume os valores
inteiros: e .
Para em encontra-se
onde o parâmetro ao longo do raio é denotado por , que é representado da seguinte
maneira
Portanto, o sistema de traçado de raio será completado com as seguintes duas equações
16
Quando , obtem-se substituindo em
isto é, o parâmetro é o próprio tempo de trânsito , portanto o sistema de traçado de
raios fica reescrito a partir das seguintes equações somente
No caso que em , obtem-se
Dessa forma, o parâmetro ao longo do raio será representado pelo comprimento de
arco , que é dado por
Portanto, o sistema de traçado de raios é completado com as duas seguintes equações
Quando é utilizado em , obtem-se o sistema de traçado de
raios na forma aparentemente mais simples, isto é,
onde o parâmetro ao longo do raio é denotado por , que é representado da seguinte
forma
17
Assim, o sistema de traçado de raios fica completo com as equações
Apesar dos diferentes tipos de sistemas de traçados de raios, será dado um pouco
mais de ênfase no caso em que , isto é, no sistema de equações de traçado de raios
cinemático
O sistema de equações diferenciais ordinárias fornece os tempos de trân-
sito ao longo do caminho do raio, diferentemente do que faz a equação eiconal que
fornece os tempos de trânsito ao longo das frentes de onda.
Neste sistema, os raios são definidos pelas quatro primeiras equações de
A quinta equação de rege a propagação do tempo de trânsito ao longo
dos raios
É importante notar que a equação pode ser resolvida junto com o sistema
ou de maneira independente, depois que os raios forem determinados.
Ressalta-se que teoricamente a função velocidade em pode ser de-
finida como qualquer função dependente do vetor posição . Impondo
somente a condição de que seja uma função estritamente positiva, ou seja,
18
. Uma escolha muito comum na literatura é adotar a função velocidade de-
pendendo linearmente de . Isto é,
onde , e são valores constantes.
Destaca-se que neste caso, a distribuição de velocidade é uma função
contínua, ou seja, não apresenta nenhum tipo de descontinuidade, gerado normalmente
por interfaces em alguns modelos de velocidades. No próximo capítulo, serão apresen-
tados mais detalhes sobre modelos de velocidade para aplicação do sistema de traçado
de raios.
2.4 Condições Iniciais para um Raio
Para a obtenção da solução completa dos sistemas de equações de traçados de
raios cinemático, em particular o sistema , são necessárias condições iniciais. Em
geral, as condições iniciais podem ser quaisquer desde que respeitem as unidades.
Neste trabalho, será utilizada a seguinte notação para as condições iniciais do
sistema
Para :
As componentes do vetor vagarosidade inicial não são independentes, elas
devem satisfazer a equação eiconal ) em :
onde .
Se a direção do raio em é especificada em função do ângulo , então as
componentes do vetor vagarosidade podem ser expressas da seguinte forma:
19
Neste caso o parâmetro transversal é interpretado como o ângulo que o vetor
vagarosidade faz com o eixo positivo, veja a figura .
Figura : Condições iniciais do problema
Deste modo, o primeiro conjunto de condições iniciais , , especifica
a posição inicial do raio, o segundo conjunto , , definido em coordenadas
polares em , especifica a direção inicial do raio, e o último , , representa o
tempo de trânsito inicial. Assim, uma vez determinado o conjunto de condições iniciais
para o sistema de equações de traçado de raios cinemático , é possível então
resolvê-lo para obter ao longo do comprimento de arco :
i) A trajetória que descreve o raio sísmico;
ii) O vetor vagarosidade indicando a direção do raio sísmico;
iii) O tempo de trânsito do raio sísmico .
20
CAPÍTULO 3
MODELOS DE VELOCIDADE PARA
TRAÇAMENTO DE RAIOS
Este presente capítulo tem o objetivo de apresentar alguns modelos de velocida-
de bidimensionais onde serão aplicados os sistemas de equações de traçado de raios
cinemático definidos no capítulo anterior. Basicamente, serão tratados dois tipos de mo-
delos (meios) neste trabalho: contínuo e o descontínuo. O meio contínuo é regido
somente por uma função velocidade dependendo das direções e , que representam,
respectivamente, distância e profundidade do modelo. Aqui um meio é chamado de des-
contínuo quando o modelo de velocidade é dividido em camadas, cada uma com
diferentes velocidades. Neste caso, quando uma onda sísmica incide em uma interface
que separa dois meios com propriedades distintas gera-se até quatro ondas (uma refleti-
da e uma refratada para, respectivamente, onda e onda ), portanto se um raio incide
em uma interface sua direção é alterada descontinuamente. Para encontrar as novas di-
reções dos raios, é necessário determinar as novas componentes do vetor vagarosidade
- que indica a direção do raio sísmico - definidas no capítulo anterior,
que são obtidas através da aplicação da Lei de Snell (vide apêndice ) naqueles pontos
onde o raio tem contato com a interface estrutural. Dependendo da escolha do meio con-
tínuo ou descontínuo, mostra-se que é possível encontrar soluções analíticas fechadas
para os sistemas de equações de traçado de raios cinemático.
21
3.1 Geração de Modelos
Os modelos são definidos fundamentalmente a partir da descrição da geometria e
do número de interfaces que o compõem, e também na escolha da função velocidade,
utilizada nos sistemas de equações de traçado de raios cinemático para o cálculo do
tempo de trânsito e do traçamento dos raios. A escolha desses modelos pode ser feita de
maneira bem diversificada, podendo ter um número elevado de interfaces, dobras, fa-
lhas, com elevadas variações de velocidade, etc. Os modelos bidimensionais propostos
para este trabalho serão heterogêneos e isotrópicos, onde o eixo vertical representa a
profundidade, que aumenta no sentido de cima para baixo, e o eixo horizontal represen-
ta a superfície do modelo onde normalmente são posicionados os pontos de tiro.
Uma vez escolhido o modelo de velocidade, é preciso especificar em qual posi-
ção serão inseridos os pontos de tiro (ponto de partida do raio) e de receptores (pontos
de chegada dos raios), em termos dos parâmetros do modelo. Neste trabalho, optou-se
por posicionar o ponto de tiro acima dos pontos receptores (localizados no limite máxi-
mo de profundidade do modelo), mas dependendo do estudo que se deseja realizar,
pode-se posicionar o ponto de tiro abaixo das estações receptoras (localizadas na super-
fície do modelo).
Foi elaborada uma rotina que permite traçar raios tanto com modelos regidos
somente por uma distribuição de velocidade quanto em modelos com interfaces planas
utilizando uma distribuição de velocidade diferente em cada uma das camadas geradas.
É importante ressaltar que os sistemas de equações de traçado de raios cinemático, de-
terminados no capitulo anterior, representam a lei de Snell na forma diferencial e são
aplicáveis somente quando a distribuição de velocidade é continua (SCHNEIDER et al.,
1992). Portanto, em modelos onde a distribuição velocidade é descontínua (devido à
inserção de camadas) deve-se interromper a resolução numérica do sistema de traçado
de raios nos pontos onde o raio tem contato com uma interface do modelo, necessitando
assim, completar a definição desses sistemas com a lei de Snell apresentada no apêndice
em , para encontrar novas condições iniciais para o sistema de traçado de raios.
Em diversas situações é comum que determinado raio atinja alguma das bordas
do modelo. Neste caso o raio não é descartado, o seu traçamento somente será interrom-
pido quando o mesmo entrar em contato com alguma borda.
22
Nas próximas seções serão descritos os tipos de modelos de velocidade utiliza-
dos neste trabalho para o traçamento dos raios e o cálculo do tempo de trânsito dos
mesmos.
3.1.1 Modelo Contínuo
Os modelos contínuos são definidos a partir de uma distribuição de velocidade
contínua dependente das direções (distância) e (profundidade) do modelo.
Teoricamente é possível escolher qualquer distribuição de velocidade dependente do
vetor , entretanto para aplicações práticas, deve-se impor a condição de que seja
uma função estritamente positiva, ou seja, .
Uma escolha muito comum é adotar a distribuição de velocidade dependendo li-
nearmente de . Isto é,
onde , e são valores constantes. Uma vez que simula de maneira bem simples di-
versas situações geológicas, logo será dada ênfase aos modelos contínuos regidos por
distribuições de velocidade desta forma.
A título de ilustração, observa-se na figura a representação de um meio con-
tínuo regido pela função velocidade .
Figura Ilustrando um meio contínuo com distribuição de velocidade
.
23
Considere agora o sistema de equações de traçado de raios cinemático definido
em , dado por
com as seguintes condições iniciais apresentadas na seção :
onde, e .
Tomando uma distribuição de velocidade como em , pode-se reescrever o
sistema como um sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias de 1ª
ordem, dado por
com as condições iniciais,
24
Tradicionalmente, a solução do sistema de EDO de 1ª ordem é en-
contrada através de métodos numéricos como o método de Euler e o método de Runge-
Kutta. Todavia, estes métodos em algumas situações, são incapazes de representar des-
continuidades, pois possuem dificuldades de representar uma forte variação no
gradiente de velocidade, gerando assim oscilações numéricas, não presentes na solução
real do problema.
Para diferentes distribuições de velocidade, o sistema não-linear de equações
diferenciais ordinárias pode ser linearizado, conforme é apresentado no Apêndice
. Em particular, linearizando o sistema , é possível reescrevê-lo como um
sistema linear de EDO de 1ª ordem, definido por
onde, e ;
e são matrizes de ordem com elementos constantes reais e vetor constante
. No sistema , as variáveis estão
diretamente relacionadas com as variáveis do sistema
do traçado de raio dado em .
Neste presente trabalho para resolver o sistema será utilizado o método de
Galerkin descontínuo, baseado na formulação de elementos finitos. No próximo capítu-
lo, serão introduzidos mais detalhes sobre este importante método numérico.
3.1.2 Modelo Descontínuo
Até esse momento foi considerado que tanto o raio quanto o tempo de trânsito
são determinados pela resolução do sistema de equações de traçado de raios cinemático
, ou seja, está sendo resolvido um problema de valor inicial, em que o raio é uma
curva que parte de uma posição inicial com uma conhecida direção num determinado
tempo e se propaga em meio sem nenhum impedimento. Contudo, em uma situação
real, quando uma onda sísmica se propaga na terra existe uma complexidade maior,
devido à descontinuidade da velocidade sobre cada interface. Assim, quando a raio (ou
onda) sísmico incide em uma interface que separa dois meios com velocidades distintas,
a mesma pode refletir ou refratar conforme a Lei de Snell (Apêndice ). Logo, a direção
25
do raio é alterada descontinuamente. É necessário, portanto, interromper a resolução
numérica do sistema de traçado de raios e inserir novas condições ao problema aplican-
do a Lei de Snell (condições de contorno do problema) nos pontos onde o raio tem
contato com a interface do modelo, para determinar as novas componentes do vetor va-
garosidade que controlam a direção do raio.
O tipo de meio descontínuo que será tratado neste trabalho é composto por vá-
rias camadas limitadas por interfaces planas (horizontais). A figura ilustra um meio
descontínuo com camadas paralelas de modo geral. Para cada camada do modelo pode-
se utilizar distribuições de velocidade ( ) distintas dependendo da profun-
didade e da distância do modelo.
Figura : Exemplo de um modelo composto por camadas e interfaces; em
cada camada está adotada uma distribuição de velocidade ( ).
Para determinar o vetor vagarosidade da onda refratada (transmitida) será utili-
zada a fórmula
oriunda da Lei de Snell (definida no apêndice ), descartando o caso em que um raio
incide sobre uma interface com um ângulo maior do que a condição do ângulo crítico
, isto é
26
Uma vez que quando essa condição não é satisfeita, não existe raio transmitido2
(pois o mesmo se tornará imaginário) e, por este motivo, será considerado apenas o raio
refletido.
3.1.3 Modelo Analítico
Os sistemas de equações de traçado de raios cinemático definidos no capítulo 2
em serão resolvidos neste trabalho através do método de elementos finitos de
Galerkin descontínuo que será formulado no próximo capítulo. Entretanto, dependendo
da escolha das distribuições de velocidade, estes sistemas de traçados de raios admitem
soluções analíticas (ĈERVENÝ, 2001).
As soluções analíticas para os sistemas de traçado de raios possuem uma grande
importância, principalmente pela facilidade de traçar raios de maneira rápida e precisa.
A seguir serão apresentadas algumas situações em que esses sistemas admitem soluções
analíticas fechadas.
3.1.3.1 Modelos Homogêneos
Um modelo é chamado de homogêneo quando a distribuição de velocidade do
meio é constante, isto é,
onde é constante.
Os sistemas de traçado de raios definidos em para meios homogêneos
admitem uma solução muito simples para qualquer parâmetro ao longo do raio. Em
particular, para a velocidade pode-se escrever solução analítica de , em fun-
ção do comprimento de arco , com as condições iniciais ), como
2 Fisicamente existe raio transmitido, entretanto não consideramos aqui.
27
Note que pela equação é facil verificar que o traçamento dos raios são li-
nhas retas para os meios homogêneos. Observe na ilustração na figura , o traçamento
de raios analíticos para um meio homogêneo com distribuição de velocidade constante
.
Figura : Traçamento de 10 raios a partir da solução analítica com ponto de
tiro . Cada raio possui um ângulo de partida
; e .
3.1.3.2 Modelos Heterogêneos
Os sistemas de traçado de raios definidos em para meios heterogêneos,
admitem uma solução analítica para qualquer parâmetro ao longo do raio, quando é
utilizada uma distribuição de velocidade do tipo
onde é um número inteiro definido no Hamiltoniano ; é um
vetor constante e é vetor posição.
28
Segundo ĈERVENÝ (2001), é possível escrever soluções analíticas para os
sistemas de traçado de raios gerados quando no Hamiltoniano definido em
, por meio da seguinte expressão
onde,
Por outro lado, soluções analíticas para sistema de traçado de raios gerado pelo
Hamiltoniano em com (parâmetro é o próprio tempo de trânsito ), são
dadas por
onde,
Note que as integrais em , e podem ser resolvidas analiti-
camente para qualquer , soluções das mesmas podem ser encontradas em livros de
fórmulas matemáticas, como por exemplo, SPIEGEL e LIU (2004).
Em particular, para a velocidade e , a solução analítica de em
função do comprimento de arco , com as condições iniciais , é escrita da seguinte
maneira
29
onde,
A figura ilustra o traçamento de raios analíticos para um meio heterogêneo
com distribuição de velocidade variando apenas com profundidade
Figura : Traçamento de 10 raios a partir da solução analítica com ponto de
tiro ; cada raio possui um ângulo de partida
; e .
30
CAPÍTULO 4
FORMULAÇÃO GALERKIN
DESCONTÍNUO PARA SISTEMAS
LINEARES DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE
1ª ORDEM
Neste capítulo será descrita a metodologia utilizada para resolver numericamente
os sistemas de traçado de raios cinemático apresentados no capítulo . Em particular, é
desenvolvida uma formulação de elementos finitos de Galerkin descontínuo para o sis-
tema de equações de traçado de raios cinemático definido no capítulo em
, linearizado e reescrito como um sistema linear de equações diferenciais ordiná-
rias (EDO) de 1ª ordem. Primeiramente será feita uma breve descrição dos espaços
matemáticos onde a formulação é baseada. Em seguida, é apresentada a formulação
variacional descontínua para sistemas lineares de EDO de 1ª ordem. Por último, a for-
mulação Galerkin descontínuo associada ao mesmo.
Toda a teoria descrita neste capítulo é desenvolvida para o sistema linear de
equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com as cinco variáveis ( e )
associado ao sistema , no entanto, sem perda de generalidade, é aplicável a qual-
quer sistema linear de EDO de 1ª ordem com variáveis.
O texto foi organizado de maneira bem objetiva, para maiores detalhes sobre o
método de Galerkin descontínuo consulte, por exemplo, JOHNSON (1995).
31
4.1 Espaços Matemáticos
Nesta seção serão definidos alguns espaços matemáticos onde a formulação de
elementos finitos descontínuo é fundamentada.
4.1.1 Produto interno e Norma do Espaço Euclidiano
Dado o espaço Euclidiano , o produto interno e a norma de dois veto-
res e são definidos, respectivamente, por
e
onde e são as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer pertencente ao espa-
ço .
4.1.2 Os Espaços de Hilbert e
Seja o subconjunto aberto o espaço das funções de quadrado integrável
em é definido como
onde o espaço é um espaço de Hilbert com produto escalar definido por
com a correspondente norma
32
Seja o subconjunto aberto o espaço das funções de quadrado integrável
com derivadas também quadrado integráveis em é definido por
Este espaço tem produto escalar definido como
com a correspondente norma
4.2 O Sistema de Equações de Traçado de Raios Cinemático
Linearizado
Considere o sistema de traçado de raios cinemático definido em com as
condições iniciais . Uma vez que as equações desse sistema são não lineares, um
esquema iterativo foi desenvolvido para resolver o sistema não-linear como um
sistema linear em cada iteração. Esta não linearidade do sistema é recuperada quando o
número de iterações tende ao infinito (JOHNSON, 1995).
Assim, através de um processo de linearização (veja Apêndice deste trabalho)
é possível reescrever o sistema como um sistema linear de EDO de 1ª
ordem, um problema de valor inicial definido por
onde, e ; é
uma matriz identidade; uma matriz com elementos constantes reais de ordem e
um vetor constante, respectivamente, dados por
33
No sistema , as variáveis estão di-
retamente relacionadas com as variáveis do sistema
do traçado de raio dado em .
Para resolver o sistema linear em cada iteração, será aplicado o método de
Galerkin descontínuo, baseado na formulação de elementos finitos. Nas próximas se-
ções será desenvolvida a formulação do método de Galerkin descontínuo, mas antes,
serão destacadas algumas características deste rico método numérico.
4.3 Características do Método de Elementos Finitos de Ga-
lerkin Descontínuo
O método de elementos finitos de Galerkin descontínuo é uma variação do mé-
todo de elementos finitos, onde as funções de aproximação utilizadas são descontínuas
entre os elementos adjacentes, consequentemente, os graus de liberdade de cada ele-
mento são independentes do elemento vizinho. A continuidade da solução entre os
elementos é imposta de maneira fraca na formulação variacional, por meio de termos
integrais sobre a fronteira dos elementos. Portanto, o método de Galerkin descontínuo é
um método local, ou seja, permite que as soluções sejam obtidas elemento por
elemento. O cálculo necessário para cada elemento é essencialmente feito da mesma
forma que no método elementos finitos contínuo. Além disso, de modo análogo ao caso
contínuo, a formulação de Galerkin descontínuo é obtida quando as funções de
interpolação são as mesmas usadas tanto para solução aproximada quanto para as
funções de ponderação.
34
Basicamente, o método de elementos finitos de Galerkin descontínuo utiliza os
mesmos princípios do método de elementos finitos contínuo, as diferenças se apresen-
tam na construção de formulação variacional, onde não é assumida a continuidade entre
os elementos, e na definição do espaço de aproximação utilizado. A seguir são apresen-
tados os principais passos utilizados na aplicação deste método.
i) Construção de uma formulação variacional descontínua;
ii) Definição dos espaços de aproximação;
iii) Aplicação de uma aproximação Galerkin Descontinuo;
iv) Resolução do sistema algébrico construído;
v) Análise dos resultados obtidos.
O método de Galerkin descontínuo possui diversas vantagens, pois é um método
localmente conservativo, estável, paralelizável, apresenta também uma alta ordem de
precisão, que depende apenas da solução exata do problema, adapta-se facilmente a
geometria complexas e malhas irregulares, podendo-se refinar ou desrefinar as malhas
com certa facilidade, e ainda suportam aproximações com polinômios de diferentes
graus em diferentes elementos construídos (COCKBURN, 2003).
4.4 Formulação Variacional Descontínua para o Sistema Li-
near de EDO de 1ª Ordem
Seja o problema de valor inicial sobre um domínio , para , de-
finido pelo sistema linear de EDO de 1ª ordem e suas condições iniciais , também
conhecido como forma forte.
Discretizando o domínio de modo que
Considera-se cada subdivisão de em intervalos , chamados
também de elementos, vide figura , com tamanho , onde
.
35
Figura : Esboço da malha de elementos finitos com definição dos nós e numeração
dos elementos.
Antes de apresentar a formulação variacional do sistema proposto, é necessário
definir o operador de descontinuidade espacial de uma função , também conhecido
como operador de salto (JOHNSON, 1995), dado por
ou seja,
onde, para :
e
A figura , ilustra esquematicamente o operador de salto para funções lineares
. Observe que as funções são continuas apenas dentro dos intervalos
, , sendo descontínuas somente entre dois intervalos con-
secutivos.
36
Figura : Operador de salto de uma função .
Seja o conjunto dos polinômios definido em , com grau
no máximo , tal que
onde as coordenadas locais são definidas como
e, portanto, . Essa relação equivale a transformação de da coordenada
para a coordenada como observa-se na figura .
Figura : Parametrização de um elemento definido sobre para um
elemento local definido sobre .
Considere também como sendo o espaço polinomial definido por
A formulação variacional ou forma fraca pode ser obtida através da aplicação do
Método de Resíduos Ponderados ao sistema , onde é admitido um vetor de funções
de ponderação , resultando em:
37
Encontrar o vetor para cada ( ), tal que:
onde, “ ” é o produto escalar apresentado na seção e é o espaço definido por
e é um vetor definido como
em que é uma matriz de ordem qualquer, e assume na linha e zero nas
outras linhas. Para exemplificar essa definição, considere o caso em que linha ,
portanto, tem-se o vetor assumindo a seguinte forma
Diferentemente do método de elementos finitos contínuo, onde a continuidade do
elemento é forçada, o método descontínuo relaxa esta exigência, impondo a
continuidade de maneira fraca.
Aplicando integração por partes em , encontra-se
Admitindo que seja descontínuo nos limites do intervalo e conside-
rando os termos de descontinuidade definidos em , aplica-se a seguinte condição
de contorno natural (fraca) na fronteira de (HULSEN, 1991):
38
Assim, substituindo em ), tem-se
Por outro lado, aplicando integração por partes em , encontra-se
Utilizando novamente a condição de contorno fraca na fronteira , ou seja,
e substituindo em ), chega-se a seguinte formulação variacional descontí-
nua para o sistema , para cada ( ):
A seção a seguir é dedicada à solução numérica via elementos finitos Galerkin
descontínuo.
4.5 Formulação Aproximada pelo Método de Elementos
Finitos Galerkin Descontínuo
Seja o conjunto de todas as funções admissíveis de dimensão finita, defini-
do por
39
consequentemente, é definido também
Aqui, é denotado como sendo a restrição de sobre .
Para cada elemento , , da formulação variacional ob-
tida em , são aproximados
por
e
por
Ressalta-se que a aproximação é descontínua apenas nas fronteiras do intervalo
. Desse modo, substituindo e na equação apresentada em
, a seguinte formulação é obtida:
Encontrar o vetor para cada ( ), tal que:
ou ainda, passando para o lado direito os termos conhecidos
Através da parametrização do elemento da coordenada global
para a coordenada local definidas em , são obtidos
Assim, pode-se reescrever a formulação do seguinte modo
40
Observe na figura que para os elementos , pertence ao elemen-
to “ ”, enquanto, ao elemento “ ”, portanto, em coordenadas locais, deve-se
tomar e
.
Figura : Representação esquemática de um elemento em coordenadas
locais.
Note que, para o primeiro elemento , não existe elemento antecessor,
veja figura . Logo, deve-se considerar as condições iniciais do problema, isto é,
Figura : Representação esquemática para o primeiro elemento em coordena-
das locais.
41
Logo, o processo para resolução do problema é dado da seguinte forma:
i) Para o primeiro elemento , considera-se , assim é
calculado em . Daí obtém-se ;
ii) Em seguida, utilizando , é calculado em . Daí encontra-se
;
iii) Aplica-se então o procedimento anterior para todos os intervalos consequen-
tes até o cálculo de em .
Considerando em , definido como
onde cada é dado por
Portanto,
fica determinado por
Aqui, simboliza o número total de pontos utilizados para o elemento
em relação à variável , veja figura . Os termos
representam as funções de
interpolação determinadas por polinômios de Lagrange de grau , nas
coordenadas locais , definidos por
42
onde,
Note que,
Figura : Número total de pontos utilizados para o elemento em relação à variável .
Considerando o vetor definido como
onde
em que assume na linha e zero nas outras linhas.
Assim, substituindo os vetores e na equação , pode-se rees-
crever o sistema de uma maneira que a formulação de elementos finitos Galerkin
descontínuo consiste em:
43
Encontrar
onde , tal que
44
Vale ressaltar no sistema a flexibilidade do método de Galerkin descontí-
nuo, onde para cada intervalo , com tamanho , é
possível utilizar uma aproximação com polinômios de graus diferentes. Portanto, pode-
se desenvolver uma malha adequada com graus de polinômios.
Note também que o método de Galerkin descontínuo permite realizar uma apro-
ximação multi-grau, isto é, para cada elemento , pode-se usar uma
aproximação polinomial diferente em cada grau de liberdade do sistema (variáveis
,
, do sistema ).
Figura : Esquematização da aproximação com polinômios de diferentes graus para
cada uma das variáveis do sistema.
45
Deste modo, se algum grau de liberdade do sistema tende a variar mais lentamente
do que os outros, será possível utilizar uma interpolação com polinômios com grau me-
nor do que os demais. Por outro lado, se um grau de liberdade varia mais rapidamente, o
grau dos polinômios de interpolação do mesmo pode ser aumentado. Consequentemen-
te, por meio deste enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade é possível se
obter uma boa economia computacional sem perdas de precisão dos resultados.
A flexibilidade do enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade (possibili-
dade de trabalhar conjugando a malha, igualando o polinômio de acordo com a
necessidade dos graus de liberdade) permitida pelo método de Galerkin descontínuo,
pode ser observada na figura , onde são apresentadas esquematicamente algumas
situações na qual se pode trabalhar: em cada elemento será possível utili-
zar aproximações com polinômios de graus diferentes para cada variável do sistema
. No caso apresentado na figura , estão sendo utilizadas para as variáveis
e
, aproximações com funções polinomiais de grau
e , respectivamente. Isto sugere a possibilidade de diversas pesquisas para se estabe-
lecer qual deve ser o grau do polinômio adequado para interpolar cada variável do
problema usando intervalos de espaço maiores.
46
CAPÍTULO 5
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo serão apresentados os resultados e as respectivas análises da apli-
cação do método de Galerkin descontínuo aos sistemas de traçado de raios cinemático
definidos no capítulo em alguns modelos de velocidade expostos no capítulo .
Inicialmente, visando avaliar a precisão dos resultados numéricos obtidos, serão utiliza-
dos modelos de velocidade que admitem solução analítica fechada. Dessa forma, será
possível analisar a influência de alguns parâmetros do método, como refinamento ou
não da malha e\ou a escolha do melhor grau de polinômio interpolação para cada grau
de liberdade do sistema. No fim, para modelos de velocidade que não possuem solução
analítica, será realizada uma comparação com resultados alcançados pelo simulador de
traçado de raios (MARGRAVE, 2003), criado a partir do consórcio CREWES (2011)
(The Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology at the Univer-
sity of Calgary), que utiliza método de Runge-Kutta de quarta ordem (PRESS et al.,
1992), maiores detalhes sobre este simulador de traçado de raios são apresentados no
apêndice deste trabalho.
47
5.1 Traçando Raios em Modelos Analíticos
Os exemplos seguintes tratam do traçamento dos raios e da obtenção dos tempos
de trânsito a partir do sistema de equações de traçado de raios cinemático em relação ao
comprimento de arco em modelos regidos por distribuições de velocidades que
possibilitam obter soluções analíticas fechadas, com intuito de validar a metodologia
proposta para o trabalho. Serão analisados dois tipos de modelo analítico: contínuo
(modelo homogêneo e heterogêneo) e o descontínuo (modelo heterogêneo composto por
camadas) expostos no capítulo deste trabalho.
5.1.1 Modelo Homogêneo
O primeiro exemplo destaca o modelo de velocidade mais simples, o modelo
homogêneo, o mesmo empregado na seção , regido por uma função de velocida-
de constante dada por
Este exemplo tem a finalidade avaliar a precisão do método de Galerkin descontínuo na
obtenção dos raios e os respectivos tempos de trânsito.
Parâmetro Valor Descrição
(10,10) Posição inicial do raio
46 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do comprimento de arco
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados na implementação do método de Galerkin descontí-
nuo para o modelo com distribuição de velocidade dada por .
48
A tabela descreve os parâmetros empregados na implementação do método.
Neste caso, é utilizado um intervalo de espaço ( ) e os mesmos números de
pontos ( ) para cada variável do sistema. A figura ilustra o traçamento dos
raios a partir dos parâmetros expostos na tabela .
Figura 5.1: Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com os
parâmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada em .
Figura : Traçamento do raio obtido pelo método de Galerkin descontínuo do raio
, com ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por .
49
(a) Variável (b) Variável
(c) Variável (d) Variável
(e) Variável
Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo mé-
todo de Galerkin descontínuo para o raio com ângulo inicial
.
Na figura são apresentados esquematicamente os gráficos que representam
para cada uma das variáveis do sistema de traçado de raios os erros absolutos entre a
solução analítica, definidas na seção , e a solução numérica obtida pelo método
de Galerkin descontínuo com os parâmetros informados na tabela para o raio ,
50
com ângulo inicial , e distribuição de velocidade dada em , ilustrado na
figura . Observa-se que para variável tempo de trânsito, , o erro é nulo, de modo
semelhante, o erro é praticamente zero para as variáveis responsáveis pela direção do
raio, e , que são limitadas somente pela aproximação numérica das funções trigo-
nométricas seno e cosseno de realizada pelo programa implementado. Apesar de o
erro ser um pouco maior, as variáveis e também são aproximadas de maneira bas-
tante significativa.
5.1.2 Modelo Heterogêneo
O sistema para meios com distribuições de velocidades analíticas, defini-
dos na seção , será reescrito como um sistema linear de equações diferenciais
ordinárias (Apêndice ) e resolvido numericamente através da metodologia desenvolvi-
da no capítulo . Para o modelo heterogêneo será utilizada a seguinte distribuição de
velocidade
Na tabela estão contidos os parâmetros utilizados na implementação do mé-
todo, enquanto a figura ilustra o modelo de velocidade gerado pela função e o
traçamento de raios a partir destes parâmetros.
Parâmetro Valor Descrição
(10,10) Posição inicial do raio
46 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do comprimento de arco
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados no método de Galerkin descontínuo para o modelo
com distribuição de velocidade dada por .
51
Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com pa-
râmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada por .
Figura : Traçamento do raio obtido pelo método de Galerkin descontínuo do raio
, com ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por .
A seguir são apresentados na figura os gráficos representando para cada
uma das cinco variáveis do sistema de traçado de raios, os erros absolutos entre a solu-
ção analítica, definidas na seção , e a solução numérica obtida pelo método de
Galerkin descontínuo com os parâmetros dados na tabela para o raio , com
52
ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por , ilustrado na figura
.
(a) Variável (b) Variável
(a) Variável (b) Variável
(e) Variável
Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo mé-
todo de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial
.
53
Pela figura , novamente pode-se observar que o método de Galerkin descon-
tínuo aproxima mais precisamente as variáveis , e do que as variáveis e do
sistema de traçado de raios. Pode-se concluir que as variáveis referentes à direção do
raio e o tempo de trânsito são “menos sensíveis” do que o par responsável pelo
traçamento dos raios. Com intuito de validar esta hipótese, será proposto um modelo de
velocidade hipotético, com fortíssima variação de velocidade, de modo a testar a preci-
são do método e a influência da interpolação com polinômios diferentes para cada
variável do sistema.
Considere agora o modelo heterogêneo regido pela seguinte distribuição de ve-
locidade
Parâmetro Valor Descrição
(10,10) Posição inicial do raio
91 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do comprimento de arco ( )
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados no método de Galerkin descontínuo para o modelo
com distribuição de velocidade dada por .
A tabela descreve os parâmetros utilizados na implementação do método.
Neste caso é fixado um intervalo de espaço ( ) e os mesmos números de
pontos ( ) para cada variável do sistema. Na figura são apresentados o traçamen-
to dos raios através do método de Galerkin descontínuo usando os parâmetros
expostos na tabela .
54
Observe pela figura que neste modelo de velocidade os raios não conseguem
atingir o fundo do modelo, isso é causado devido a forte variação de velocidade imposta
pela função velocidade .
Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com pa-
râmetros descritos na tabela com distribuição de velocidade dada por .
Figura : Traçamento do raio obtido pelo método de Galerkin descontínuo do raio
, com ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por .
55
(a) Variável (b) Variável
(a) Variável (b) Variável
(e) Variável
Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo mé-
todo de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial
.
Observa-se na figura que as variáveis e são aproximadas com menor pre-
cisão que as demais. Dessa forma, será fixado o número de pontos por elemento das
56
variáveis , e e o número de pontos por elemento para as variáveis e , será
enriquecido conforme apresenta a tabela .
Parâmetro Valor
Tabela : Número de pontos por elemento de cada variável.
O resultado encontrado para as variáveis e do sistema de traçado de raios é
exposto na figura , nota-se que a aproximação é melhor após a interpolação com
polinômios de grau cinco. No entanto, observa-se que a precisão não é significadamente
melhorada em relação à interpolação por polinômios lineares para o último ponto da
malha de cada elemento.
(a) Variável (b) Variável
Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo
método de Galerkin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liber-
dade como descrito pela tabela .
A possibilidade de utilizar uma aproximação polinomial diferente em cada grau
de liberdade do sistema é uma das grandes vantagens do método de Galerkin descontí-
57
nuo. Isto permite uma redução do esforço computacional, uma vez que é possível esco-
lher diferentes aproximações por elemento em cada uma das variáveis do sistema.
Figura : Ampliação de uma região do traçado dos raios obtidos pelo método de
Galerkin descontínuo com diferentes aproximações polinomiais nas variáveis e para
o raio , com ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por .
Na figura , observa-se o traçamento do mesmo raio pelo método de
Galerkin descontínuo utilizando aproximações com polinômios de grau um, dois, três,
quatro e cinco para as variáveis e do sistema. Quanto maior é o número de pontos
em cada elemento, melhor aproximada é a trajetória do raio, vide figura . Contudo,
58
destaca-se o fato do método de Galerkin descontínuo aproximar precisamente sempre o
último ponto da malha de cada elemento independente do número de pontos utilizados.
Isto significa que não importa o grau do polinômio adotado para fazer a interpolação, ou
seja, usando uma aproximação com polinômio de grau linear obtém-se um resultado
semelhante à aproximação com polinômio de grau cinco para o último ponto da malha,
com uma economia de tempo de execução do programa com poucas perdas de precisão.
(a) Polinômios de grau um e dois. (b) Polinômios de grau um e três.
(c) Polinômios de grau um e quatro. (d) Polinômios de grau um e cinco.
Figura : Comparação entre o traçado dos raios obtidos pelo método de Galerkin
descontínuo utilizando polinômios de grau um com polinômios de maior grau, para o
raio , com ângulo inicial
, e distribuição de velocidade dada por .
Por outro lado, o refinamento da malha mostrou resultados melhores do que o
aumento dos graus dos polinômios de interpolação para o cálculo do último ponto da
59
malha de cada elemento. Utilizando para o mesmo raio analisado anteriormente o valor
, os resultados encontrados com são expostos na
figura . Observa-se uma melhora significativa nos resultados obtidos, em especial
nas variáveis , e , com o refinamento da malha de elementos finitos descontínuos.
(a) Variável (b) Variável
(a) Variável (b) Variável
(e) Variável
Figura : Erro absoluto entre a solução analítica e a solução numérica obtida pelo
método de Galerkin descontínuo para o raio , com ângulo inicial
.
60
5.1.3 Modelo com Interfaces Planas
O próximo exemplo, envolvendo modelo com interfaces planas, tem a finalidade
de apresentar a influência do refinamento da malha de elementos na obtenção dos pon-
tos de incidência dos raios na interface do modelo para determinar as novas
componentes do vetor vagarosidade , que controlam a direção do raio.
Considere o modelo com interfaces planas, como apresentado na seção ,
composto por sete camadas regidas por distribuições de velocidade homogêneas distin-
tas, ilustrado na figura . Note que, intencionalmente é adicionada ao modelo de
velocidade uma camada com forte variação de velocidade, , com intuito
de analisar o comportamento dos raios que irão incidir com esta anomalia.
Figura : Modelo composto por sete camadas e nove interfaces planas.
Na tabela constam os parâmetros para o traçamento de raios pelo método
de Galerkin descontínuo. Inicialmente, será fixado um intervalo de espaço
com um aumento do número de pontos por elemento das variáveis e do sistema de
traçado de raios para uma melhor aproximação da trajetória do raio. O resultado é apre-
sentado na figura . Observe que apenas um grupo de raios (destacado pela cor
preta) conseguiu atingir o fundo do modelo, a outra parte dos raios não cruzou todas as
interfaces do modelo, isto já era esperado, uma vez que os ângulos de incidência destes
61
raios eram maiores que a condição de ângulo crítico , portanto, não existe raio
transmitido e apenas o raio refletido.
Parâmetro Valor Descrição
(10,10) Posição inicial do raio
60 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do comprimento de arco ( )
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados no método de Galerkin descontínuo para o modelo
com interfaces planas apresentado em .
Figura : Traçamento de raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo com
parâmetros descritos na tabela no modelo de velocidade ilustrado em .
62
Considerando os raios que alcançaram o fundo do modelo de velocidade ,
será realizada uma comparação do último ponto obtido no traçado destes raios, isto é, o
ponto de chegada , com os pontos obtidos analiticamente através da solução
para meios homogêneos e aplicação da Lei de Snell (Apêndice ). Primeiro,
serão obtidos estes pontos fixando o valor de para toda malha de elementos
descontínuos como exposto na tabela . Em seguida, são obtidos os pontos através do
traçamento destes mesmos raios por meio de uma malha adaptada com na
maior parte do modelo de velocidade, sendo refinada apenas por nas pro-
ximidades do raio com as interfaces do modelo de velocidade, com finalidade de obter
mais precisamente os pontos de incidência para aplicação das novas condições iniciais
do sistema de traçado de raios, vide a figura .
Figura : Traçamento de raios obtido pelo método de Galerkin descontínuo,
com ângulo inicial
, utilizando malha de elementos adaptada.
Os pontos finais obtidos utilizando malha fixa e adaptada são apresentados na
tabela juntamente com pontos finais analíticos. Note a maior precisão alcançada
pela malha adaptada, uma vez que os pontos de incidência em cada interface são obtidos
com maior exatidão do que a malha fixa, devido ao refinamento nas proximidades das
63
interfaces. Com isso consegue-se além da maior precisão, um ganho computacional,
uma vez que não é necessário utilizar intervalos de comprimento de arco pequenos para
meios homogêneos, como se observa na seção , para obter uma boa precisão.
Ângulo Inici-
al do Raio
(Graus)
Distância aproximada
pelo MGD com interva-
lo fixo
Distância aproximada
pelo MGD com inter-
valo adaptado
Distância calculada
analiticamente
com a lei de Snell
73° 720,75561426 722,21126984 722,21280282
74° 589,87208737 590,31110204 590,31115324
75° 516,87121799 516,75078361 516,75077479
76° 461,88590885 461,79774448 461,79775931
77° 415,76671189 415,82952947 415,82943308
78° 375,03055563 375,13270264 375,13234837
79° 338,42044290 337,89920997 337,89924210
80° 303,23967769 303,11293188 303,11302490
81° 270,16615887 270,14003431 270,13984667
82° 238,58485973 238,55296126 238,55307416
83° 208,08033737 208,04753623 208,04738408
84° 178,37967512 178,39292933 178,39283054
85° 149,44918846 149,40846930 149,40843076
86° 121,05230626 120,94593462 120,94601485
87° 92,80856683 92,87976205 92,87979401
88° 65,10503023 65,09931324 65,09925433
89° 37,50499261 37,50404843 37,50403620
Tabela : Pontos de chegada dos raios analíticos e dos raios obtidos pelo
método de Galerkin descontínuo com malha fixa e adaptada.
64
5.2 Traçando Raios em Modelos Não-Analíticos
Para modelos não analíticos, será utilizada a distribuição de velocidade
que depende linearmente da profundidade e distância do modelo. Os resultados obtidos
pelo método de Galerkin descontínuo serão comparados com os resultados calculados
pelo simulador de traçado de raios do consórcio CREWES (vide apêndice ). Para rea-
lizar esta comparação, optou-se em aplicar o método de Galerkin descontínuo tanto ao
sistema de equações de traçado de raios cinemático em função do comprimento de arco
como ao sistema de equações de traçado de raios cinemático em função do
tempo de trânsito , com intuito de utilizar ométodo de Galerkin descontínuo
com um mesmo intervalo temporal que o simulador de traçado de raios CREWES, que
usa somente o sistema de traçado de raios em relação ao tempo de trânsito para obten-
ção dos raios.
Vale ressaltar que da mesma forma que o sistema , o sistema de traçado
de raios cinemático em função do tempo de trânsito para meios com distribui-
ções de velocidade lineares, foi reescrito como um sistema linear de equações
diferenciais ordinárias (Apêndice ) e resolvido numericamente através da metodologia
desenvolvida no capítulo .
Parâmetro Valor Descrição
(500,10) Posição inicial do raio
10 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do comprimento de arco ( )
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados pelo MGD na resolução do sistema de traçado de
raios para distribuição de velocidade ( ).
65
Para realizar as comparações será considerado um modelo regido pela seguinte
distribuição de velocidade
utilizada para obtenção dos raios através dos sistemas de equações de traçado de raios
cinemático e através do MGD e também pelo simulador de traçado de
raios CREWES. As tabelas e apresentam os parâmetros utilizados pelo MGD e
o simulador de traçado de raios CREWES, para resolver o sistema de traçado de raios
.
Parâmetro Valor Descrição
(500,10) Posição inicial do raio
10 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do tempo de trânsito ( )
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Número de pontos por elemento para variável
Tabela : Parâmetros utilizados pela MGD na resolução do sistema de traçado de
raios para distribuição de velocidade ( ).
Parâmetro Valor Descrição
(500,10) Posição inicial do raio
10 Número de raios lançados
Ângulo inicial de cada raio lançado
Incremento do tempo de trânsito ( )
Tabela : Parâmetros utilizados pelo simulador de traçado de raios CREWES para
distribuição de velocidade ( ).
66
Figura : Traçado dos raios obtidos pelo método de Galerkin descontínuo e o simu-
lador CREWES para os respectivos parâmetros expostos nas tabelas , e .
O traçamento dos raios obtidos através das três metodologias consideradas é
apresentado na figura . Note que é muito difícil distinguir os raios obtidos grafica-
mente, pois os resultados alcançados foram muitos próximos. Logo, uma região do
modelo é ampliada de modo que seja possível visualizar com maiores detalhes a dife-
rença entre os raios obtidos pelos três procedimentos utilizados. Como esperado, o
traçado do raio pelos sistemas e através do MGD são praticamente iguais,
pois independente do parâmetro ao longo da trajetória do raio escolhido , o re-
sultado, teoricamente, deve ser o mesmo. Note também, que os resultados se
comparados com o simulador de traçado de raios CREWES são bastante próximos, o
67
que indica que a formulação do método de Galerkin descontínuo para os sistemas de
equações de traçado de raios cinemáticos e está coerente.
A tabela lista os últimos pontos alcançados pelos raios da figura , atra-
vés das três metodologias utilizadas. Os resultados obtidos pelo MGD se apresentam
muitos próximos do simulador de traçado de raios do consórcio CREWES, no geral, a
diferença entre as duas metodologias está em torno de duas casas decimais. Contudo,
não é possível afirmar qual resultado é o mais próximo da solução real, uma vez que a
mesma não é conhecida para este caso.
Ângulo Inici-
al do Raio
(Graus)
Distância aproximada
pelo MGD com
Distância aproximada
pelo MGD com
Distância aproxima-
da pelo simulador
CREWES com
73° 996,25427561 996,25425877 996,250619026
76° 867,97296511 867,97298571 867,971422829
79° 755,79497954 755,79492951 755,792198463
82° 652,75669559 652,75668630 652,755836659
85° 554,40853926 554,40854226 554,407876883
88° 457,32143866 457,32148638 457,320981902
91° 358,27824576 358,27826318 358.277174711
94° 253.56764387 253.56762859 253,567287045
97° 137,95389864 137,95382610 137,954747924
100° 2,31735633 2,31734383 2,31921693
Tabela : Pontos de chegada dos raios obtidos através das três metodolo-
gias consideradas.
68
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
6.1 Conclusões
Neste trabalho foi desenvolvida uma nova metodologia, uma formulação Galer-
kin descontínuo com enriquecimento diferenciado nos graus de liberdade, para resolver
numericamente os sistemas de equações de traçado de raios cinemático em modelos de
velocidades contínuos e descontínuos, com a finalidade de obter o traçamento de raios e
os cálculos do tempo trânsito.
Ressalta-se que para aplicação do método de Galerkin descontínuo, foi desen-
volvido um esquema iterativo para resolver o sistema de traçado de raios como um
sistema linear em cada iteração (vide Apêndice ), e pelos resultados obtidos no capítu-
lo observa-se que a não linearidade do sistema pode ser considerada recuperada.
As análises realizadas no capítulo através de exemplos com modelos de velo-
cidade que admitem soluções analíticas (seção ) mostram que a precisão dos
resultados obtidos via a metodologia desenvolvida no capítulo é muito satisfatória.
Apesar de estes exemplos serem úteis somente para avaliar o método, acredita-se que a
metodologia utilizada alcançou um bom desempenho. Estes exemplos possibilitaram
também verificar algumas vantagens do método de Galerkin descontínuo, como a flexi-
bilidade de poder aumentar o grau do polinômio de interpolação das variáveis mais
sensíveis do sistema, com intuito de alcançar melhor precisão e custo computacional.
69
Nos exemplos estudados as variáveis que apresentaram ser um pouco “mais sen-
síveis” que as demais foram as relacionadas ao traçamento dos raios, ou seja, as
variáveis e do sistema de traçado de raios. Por isso, foi utilizado nestas variáveis
um enriquecimento diferenciado, isto é, uma aproximação com polinômios de graus
maiores dos usados nas demais variáveis. Contudo, os resultados obtidos não tiveram
diferenças significativas na aproximação do último ponto da malha do elemento entre os
testes realizados com a formulação de Galerkin descontínuo utilizando polinômios de
grau um, dois, três, quatro ou cinco. Somente no modelo de velocidade hipotético, com
fortíssima variação de velocidade, esse enriquecimento obteve uma leve melhora no
resultado, porém não muito significativa. Portanto, não importou o grau do polinômio
adotado para fazer a interpolação, isto é, utilizando uma aproximação com polinômio de
grau linear obteve-se resultados semelhantes aos encontrados pela aproximação com
polinômio de grau cinco para o último ponto da malha, com uma economia de tempo de
execução do programa com poucas perdas de precisão. Melhores resultados foram obti-
dos somente quando a malha de elementos finitos descontínuos foi refinada. Uma das
conclusões que se pode tirar deste fato é que os polinômios de interpolação utilizados
(polinômios de Lagrange) talvez não sejam a melhor função de interpolação a ser ado-
tada para aproximar estas variáveis. Isto destaca uma grande vantagem do método de
Galerkin descontínuo, que além de poder mudar o grau do polinômio de interpolação
para cada variável do sistema, pode-se também pesquisar qual a melhor função de inter-
polação para aproximar determinada variável do sistema. Tudo isto indica a
potencialidade do método utilizado neste trabalho.
Outra vantagem do método de Galerkin descontínuo foi aproveitada na seção
, onde se realizou um refinamento da malha de elementos finitos descontínuos em
algumas regiões do modelo de velocidade, onde era necessária uma melhor precisão.
Acredita-se que a flexibilidade de poder refinar determinadas regiões da malha de ele-
mentos descontínuos seja alvo de muitas pesquisas posteriores.
No geral, a resolução numérica do sistema de traçado de raios pelo método de
Galerkin descontínuo parece ser muito significativa, como mostra a comparação reali-
zada no exemplo da seção com o simulador de traçado de raios do consórcio
CREWES, uma ferramenta utilizada por muitas indústrias parceiras deste grupo. Os
resultados obtidos pelas duas metodologias foram muito semelhantes, no entanto, não
foi possível estabelecer qual dos métodos estava mais próximo da solução real do pro-
70
blema, uma vez que este simulador de traçado de raios CREWES não permite realizar
testes em modelos que possuem solução analítica.
Algo que não foi considerado neste trabalho foi o tempo computacional total
gasto para construção dos raios nos modelos de velocidades apresentados, uma vez que
não haveria nenhuma contribuição para o mesmo, já que a rapidez com que o método
resolveu os problemas atende às expectativas. Por exemplo, para traçar um raio, mesmo
utilizando uma malha relativamente refinada ou , o tempo
gasto por uma CPU de um computador pessoal não ultrapassou alguns segundos.
6.2 Trabalhos Futuros
Uma vez que a formulação de Galerkin descontínuo para os sistemas de equa-
ções de traçado de raios cinemático apresenta boas expectativas, devido aos bons
resultados obtidos nos modelos de velocidade propostos, sugere-se como trabalhos futu-
ros duas abordagens, a saber:
i) quanto ao método de Galerkin descontínuo:
1) Utilização de outras funções de interpolação que não sejam polinômios
de Lagrange, com intuito de melhorar ainda mais os resultados.
2) Criar uma interface gráfica em C++ para facilitar a geração de modelos
de velocidade e o traçamento dos raios no mesmo pelo usuário do pro-
grama.
3) Desenvolvimento de um algoritmo adaptativo que ajuste automaticamen-
te o tamanho da malha de acordo com a curvatura do raio, isto é, em
regiões de forte gradiente no campo de velocidade, com intuito de obter
um melhor custo computacional sem nenhuma perda de precisão numéri-
ca.
ii) quanto à aplicação da formulação desenvolvida:
1) Avaliação do traçado de raios em modelos de velocidade mais comple-
xos, isto é, com geometrias mais complicadas, modelos com camadas
inclinadas, curvas (utilizando splines cúbicas), etc., simulando assim de
maneira mais próxima uma situação real.
71
2) Extensão da metodologia desenvolvida para meios anisotrópicos.
3) Realizar comparações com os resultados obtidos pelo pacote Seis88 de-
senvolvido por ČERVENÝ e PŠENČÍK (1988), uma das principais
referências na literatura em se tratando de traçado de raios.
4) Adaptar e implementar toda a teoria exposta para resolução do sistema
de equações de traçado de raios cinemático em modelos tridimensionais.
5) Resolver também a parte dinâmica oriunda da equação eiconal, com in-
tuito de obter solução geral da mesma.
6) Utilizar os resultados obtidos pelo sistema de traçado de raios em aplica-
ções na sismologia e prospecção sísmica. Como exemplos das principais
aplicações podem-se citar:
Na migração reversa no tempo (BAYSAL et al., 1983; SILVA,
2002) para melhor imagear o campo de velocidades sísmicas.
Na migração e modelagem sísmica do tipo Kirchhoff, que neces-
sitam dos tempos de trânsito de um raio para o cálculo da função
de Green.
Nos métodos sísmicos de refração e reflexão.
72
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76
APÊNDICE A
LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE
EQUAÇÕES DE TRAÇADO DE RAIO
CINEMÁTICO
Neste apêndice é descrita à técnica de linearização para alguns sistemas não linea-
res de equações de traçado de raios cinemático, definidos no capítulo 2 deste trabalho.
Esta técnica é baseada na hipótese de que um sistema não-linear se comporta como um
sistema linear na vizinhança de um determinado ponto, chamado de ponto de operação.
A técnica de linearização permite que o sistema linear resultante seja avaliado de manei-
ra simples e eficiente pelo método de elementos finitos de Galerkin descontínuo
apresentado no capítulo 4. Exposições mais detalhadas sobre linearização de sistemas de
equações diferenciais podem ser encontradas, por exemplo, em KWAKERNAAK e
SIVAN (1972).
A.1 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função
do Comprimento de Arco
Considere o sistema de equações de traçados de raios cinemático , apresen-
tado no capítulo 2, o sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias dado por
77
onde, é o vetor posição; o vetor vagaro-
sidade, indica a direção e o sentido da propagação; é o tempo de trânsito ao longo
do comprimento de raio; e o parâmetro é o comprimento de arco, em que
é dado; com as seguintes condições iniciais para :
onde, .
Teoricamente pode-se definir a função em como qualquer função
dependente do vetor posição . Entretanto, neste trabalho, com objetivos de
estudos práticos, serão utilizadas funções velocidades dadas por
onde , e são valores constantes
A primeira função de velocidade é uma escolha muito comum e importan-
te, capaz de simular de modo bem simples diversas situações geológicas. A função de
velocidade é muito útil também, uma vez que permite obter soluções analíticas
fechadas para o sistema de equações de traçado de raios cinemático .
A seguir será aplicada a técnica de linearização ao sistema em meios regi-
dos pelas funções velocidades e .
78
A.1.2 Distribuição de Velocidade dependendo linearmente de e
Seja a função velocidade dada em , portanto pode-se reescrever o sistema
como
onde .
Para uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) do sistema em
torno de um ponto de operação
é aplicada uma expansão em
série de Taylor de funções:
Após algumas operações matemáticas, é obtido o seguinte sistema linearizado
onde
79
Assim, pode-se reescrever o sistema como um sistema de equações dife-
renciais ordinárias lineares dado por
onde,
e ; é a matriz
identidade; é uma matriz, com elementos constantes reais, de ordem e
um vetor constante, dados, respectivamente, por
A.1.2 Distribuição de Velocidade Analítica
Considere agora a função velocidade dada em , logo pode-se reescrever o
sistema como
onde .
80
Fazendo uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) do sistema
em torno de um ponto
, através da expansão em série de
Taylor de funções dada em e realizando algumas operações matemáticas, é obtido
o seguinte sistema linearizado
onde,
Note que também se pode reescrever o sistema como um sistema de e-
quações diferenciais ordinárias lineares da mesma maneira que .
A.2 Linearização do Sistema de Traçado de Raios em Função
do Tempo de Trânsito
Seja o sistema de equações de traçados de raios cinemático , apresentado
no capítulo , o sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares, dado por
onde é o vetor posição; é o vetor vagaro-
sidade, indica a direção e o sentido de propagação; e o parâmetro é o tempo de
trânsito, onde é dado.
81
As seguintes condições iniciais do problema, para , são dadas por
onde, .
Considerando a função velocidade dada em , pode-se reescrever o sistema
como
onde .
Através de uma aproximação de 1ª ordem (aproximação linear) para o sistema
em torno de um ponto
, será aplicada uma expansão em
série de Taylor de funções, e após algumas operações matemáticas, consegue-se obter o
seguinte sistema linearizado
Observe que o sistema pode ser reescrito como um sistema de equações
diferenciais ordinárias lineares semelhante ao apresentado em .
82
APÊNDICE B
PRINCÍPIO DE FERMAT E LEI DE
SNELL
É apresentado neste apêndice o princípio de Fermat e a Lei de Snell, importantes
para compreender alguns conceitos desenvolvidos no capítulo .
B.2 Princípio de Fermat
O princípio de Fermat, formulado por Pierre Fermat, um princípio bastante utili-
zado para descrever a teoria de raios, foi usado inicialmente para resolver problemas de
raios da óptica geométrica, no entanto este princípio é perfeitamente válido para raios
das ondas sísmicas, tanto para reflexão quanto refração. Este princípio estabelece que de
todos os possíveis caminhos para uma propagação ondulatória que parte de um ponto
inicial e deve atingir um ponto final , aquele caminho mais curto não corresponde
à chegada em menor tempo entre esses dois pontos. O princípio de Fermat propõe que o
caminho real entre dois pontos tomados por um feixe de luz é aquele que for percorrido
em menor tempo. Portanto, a trajetória efetiva do raio será tal que o funcional que mede
o tempo de trânsito ao longo do percurso,
83
tenha um valor estacionário (mínimo). Aqui, é denotado como o comprimento infini-
tesimal da curva ao longo do caminho e uma distribuição de velocidade.
B.1 Lei de Snell
A Lei de Snell é uma conseqüência imediata do princípio de Fermat, uma vez
que o traçado de raios satisfaz os tempos de trânsito estacionários. No caso acústico, a
Lei de Snell é uma relação que controla os ângulos de incidência e transmissão da frente
de ondas compressionais (ondas ) ao atravessar uma interface que separa dois meios
com propriedades acústicas distintas.
A figura exemplifica a aplicação do princípio de Fermat no caso da refra-
ção, onde se quer encontrar qual curva fornece o tempo de trânsito mínimo com
relação à variável para um raio que parte do ponto ao ponto , ou seja:
Pela figura , sabe-se que e ,
logo, é encontrado
Obtem-se o tempo de trânsito mínimo na equação quando
portanto,
Por outro lado, observando a figura novamente, tem-se
e
84
Figura : Princípio de Fermat aplicado à refração.
Deste modo, chega-se a Lei de Snell
Observe que a Lei de Snell relaciona os ângulos de incidência e transmissão
do raio de forma que os senos dos mesmos são diretamente proporcionais às velocida-
des dos respectivos meios. Dessa forma, se um raio viaja do ponto ao ponto no
menor tempo possível, ele deve atender a Lei de Snell.
A figura apresenta um meio composto por camadas, cada uma com velo-
cidade constante diferente, neste caso o tempo de trânsito de até será dado por
Aqui e denotam a distância percorrida e a velocidade, respectivamente, associadas
com a -ésima camada.
85
Vale ressaltar que quando é usada uma distribuição de velocidade contínua, o
tempo de trânsito de um raio sísmico é dado pelo funcional de Fermat .
Figura : Raio se propagando em um meio composto por camadas.
Foi analisado até o presente momento somente o caso para onda refratada.
Contudo, é importante notar que quando uma onda sísmica atinge um limite entre dois
meios com distribuição de velocidades distintas são geradas também ondas refletidas.
Também pode-se utilizar o princípio de Fermat para calcular a condição de tempo de
trânsito mínimo para uma onda refletida, veja figura . A geometria do caminho do
raio é regida pela Lei de Snell , portanto para onda refletida vale
Logo,
86
Figura : Onda sísmica incidente em uma interface que separa meios com velocida-
des distintas.
Vale notar que se a velocidade da camada inferior for maior que a velocidade da
camada superior ( ) o ângulo de incidência e transmissão devem satisfazem a
seguinte condição . Por outro lado, da Lei Snell , sabe-se que
Portanto, existe algum ângulo (ângulo crítico) tal que a seguinte condição
é satisfeita
isto é,
O ângulo define uma onda sísmica criticamente refratada, chamada de “head-
wave”, que viaja na horizontal, paralela à interface. Esse tipo de onda (vide figura )
possui a propriedade de transmitir a energia da onda de volta para o meio superior, uma
vez que a mesma viaja ao longo da interface.
87
Figura Ilustração geométrica das ondas criticamente refratadas (“head-wave”).
88
APÊNDICE C
SOLUÇÕES DE REFERÊNCIA
Neste apêndice, será apresentado o simulador de traçado de raios do consórcio
CREWES, ferramenta que é utilizada no capítulo com intuito de comparar os resulta-
dos obtidos pelo método de Galerkin descontínuo ao sistema de equações de traçado de
raios cinemático, em modelos regidos por distribuições de velocidade variando linear-
mente com a profundidade e distância, uma vez que o mesmo não possui solução
analítica. Para mais informações sobre esse simulador recomenda-se MARGRAVE
(2003), que descreve detalhadamente o funcionamento de todas as rotinas do mesmo.
C.1 Simulador Traçado de Raios CREWES
O simulador de traçado de raios CREWES (CREWES, 2011) foi criado a partir
do consórcio Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology, que é
um grupo de investigação de geofísica aplicada concentrado na aquisição, análise e in-
terpretação de dados sísmicos, com diversos parceiros da indústria, realizando pesquisas
avançadas na exploração de recursos e desenvolvimento. Este simulador de traçado de
raios faz parte de uma coleção de rotinas geofísicas incluídas em uma biblioteca do
software MATLAB, chamada de biblioteca CREWES, descritas no livro de
MARGRAVE (2003). A biblioteca CREWES está disponível em CREWES (2011), ao
público em geral para uso apenas em pesquisas sem fins comerciais, não sendo possível
utilizá-la em contexto comercial por empresas que não são patrocinadoras do CREWES.
89
O simulador de traçado de raios CREWES resolve numericamente o sistema de
equações de traçado de raios cinemático definido no capítulo em para
distribuições de velocidade lineares, dado por
onde é o vetor posição; é o vetor vagaro-
sidade, que indica a direção e o sentido de propagação; e o parâmetro é o tempo de
trânsito, onde é dado. A distribuição de velocidade dependendo linearmente de
é dada por , para , e constantes reais.
As condições iniciais do problema, para , são dadas por
onde .
Para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias , o si-
mulador CREWES utiliza o método de Runge-Kutta de quarta ordem, de acordo com o
algoritmo apresentado por PRESS et al. (1992), integrado nas funções shootrayvxz e
shootrayvxz_g implementadas no MATLAB. Nestas funções, o raio é testado em cada
passo de tempo para determinar se ele está dentro dos limites do modelo de velo-
cidade considerado. Segundo MARGRAVE (2003), para menores a precisão é
melhorada, mas consequentemente o custo computacional é aumentado. MARGRAVE
(2003) também afirma que a função shootrayvxz é bem mais rápida no traçamento dos
raios, no entanto, para maior precisão, é recomendado utilizar a função shootrayvxz_g,
que utiliza uma interpolação bi-linear em cada passo de tempo. Portanto, optou-se por
utilizar nas comparações realizadas somente a função shootrayvxz_g, devido à maior
precisão dos resultados. Toda a sintaxe para traçar um raio com o programa é descrita
com detalhes em MARGRAVE (2003).
A seguir serão apresentados os termos de licença de uso do simulador de traçado
de raios CREWES em sua forma original como exibido em CREWES (2011).
90
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and Geophysics of the University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada. The copyright
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