APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA ANÁLISE DINÂMICA DE ES

EVERALDO CAVALHEIRO PINTO Jr

EVERALDO CAVALHEIRO PINTO Jr.

MARCOS ARNDT

PAULO ALEXANDRE DE OLIVEIRA

RONISE DA SILVA CAPASSO

WELLINGTON MAZER

APLICAO DE EQUAES DIFERENCIAIS NA ANLISE DINMICA DE ESTRUTURAS

1. INTRODUO

A anlise dinmica ou anlise de vibraes o estudo da relao entre o movimento de um sistema fsico e as foras que o causam.

Geralmente a prtica usual se limita ao comportamento de estruturas submetidas cargas estticas, assumindo que cargas aplicadas lentamente s estruturas permanecem em equilbrio aps certo instante. Contudo, existem estruturas que so freqentemente submetidas a foras cujas amplitudes variam continuamente com o tempo. Temos em toda natureza, diversos exemplos do fenmeno: o vento, que ocorre em rajadas, uma carga dinmica que varia em direo, sentido e mdulo, os movimentos decorrentes de abalos ssmicos, que podem levar edificaes ao colapso, ondas sonoras, vibraes produzidas por mquinas rotativas, etc. Sob esses tipos de carregamento, os elementos estruturais tambm entraro em vibraes; portanto a anlise dinmica das estruturas to importante na garantia da estabilidade estrutural quanto a sua anlise esttica.

Introduziremos sucintamente alguns conceitos da dinmica para uma anlise pormenorizada da dinmica das estruturas.

As vibraes peridicas so definidas por uma funo peridica, cujo valor se repete dentro de certo tempo, denominado perodo de vibraes T, ou seja:

f(t+T)=f(T)

As funes se chamam aperidicas quando no satisfazem esta condio. As oscilaes peridicas mais difundidas no campo da Dinmica Estrutural so as harmnicas ou senoidais.

Investigando os movimentos de vibrao dos sistemas elsticos importante saber que o nmero de parmetros independentes determina a posio do sistema em cada instante de tempo. O nmero de tais parmetros chamado nmero de graus de liberdade.O sistema que consta do peso P suspenso por uma mola (Fig.1), sendo construdo de tal maneira que so possveis somente deslocamentos verticais do peso, um sistema com um grau de liberdade. Sua posio em qualquer instante pode ser determinada mediante um parmetro, ou seja, o deslocamento vertical.

Uma viga biapoiada que suporta duas massas, Fig. 2, pode servir de exemplo para um sistema com dois graus de liberdade.

Aumentando o nmero de massas concentradas da viga oscilante, no caso limite, passamos a uma viga com massa distribuda ao longo do seu comprimento, ou seja, a um sistema vibratrio com um nmero infinito de graus de liberdade, denominado sistema contnuo (Fig.3). Em nosso estudo, vamos nos concentrar no caso das oscilaes com um grau de liberdade e com amortecimento.

Vibraes livres Surgem em um sistema livre de excitaes externas provocadas por deslocamentos iniciais dos pontos do sistema com relao posio de equilbrio. O movimento continua graas s foras internas que restabelecem o equilbrio. A freqncia das vibraes caracterstica prpria do sistema dado e se denomina freqncia natural do sistema. Na prtica as vibraes livres so sempre amortecidas, pois sempre haver dissipao de energia no sistema. Vamos analisar o exemplo prtico das vibraes oriundas de um instrumento musical de cordas - um violo (Fig. 4):

Provocando o sistema atravs de um deslocamento inicial, aplicamos corda uma vibrao livre. Como h amortecimento por causa da dissipao de energia ocasionada pelo atrito com o ar, a corda voltar gradativamente ao seu equilbrio esttico. A freqncia com que a corda vai oscilar a freqncia natural do sistema e vai determinar a nota musical que vamos ouvir. Vamos analisar a equao que relaciona a freqncia natural com a rigidez (trao qual a corda est sujeita) e a massa:

fn freqncia natural do sistema;

K rigidez da corda;

M massa;

Por simples visualizao, podemos verificar que a freqncia natural diretamente proporcional rigidez do sistema e inversamente proporcional massa.

Voltando ao nosso exemplo, se aumentamos a rigidez da corda tornando-a cada vez mais esticada, o som que vamos ouvir, se torna cada vez mais agudo, i.e., o valor da freqncia cresce em mdulo junto com a rigidez. Verificamos tambm que, conforme a espessura das cordas o som ir se tornar mais grave ou mais agudo. Se tocarmos a primeira corda mais espessa do nosso violo (corda de maior massa), ouviremos um som mais grave freqncia menor. E se tocarmos a corda mais delgada (corda de menor massa), ouviremos o som mais agudo freqncia maior.

Vibraes foradas Ocorrem devido ao de foras perturbadoras ou excitadoras externas que variam periodicamente. Exemplo: Vibraes transversais de uma viga que ocorrem devido a perturbaes externas tais como desbalanceamento de um motor funcionando sobre a mesma.

Quando a freqncia da fora excitadora coincide com a freqncia natural do sistema, ocorre o fenmeno que chamamos de ressonncia.

Ressonncia Um grande aumento das amplitudes de vibraes podendo causar fadiga ou o colapso do sistema. Um exemplo clssico de um desastre causado pelo fenmeno da ressonncia, o colapso da ponte Tacoma Narrows nos Estados Unidos. Devido fora causada pelo vento, cujas rajadas passavam sob e sobre a ponte, formaram-se vrtices que rotacionavam em opostas direes. Esses vrtices forneceram energia, excitando todo o sistema, e se a freqncia da ao do vento chegou perto da freqncia natural da ponte, ento tomou lugar o fenmeno da ressonncia.

2. EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

Definio:

Vamos analisar as equaes diferenciais de 2.a ordem, que se aplicam ao caso de sistemas vibratrios com 1 grau de liberdade e tem a forma: y + f1(x)y + fn (x)y = k(x).

2.1 CASO HOMOGNEO

Para a resoluo de equaes diferenciais de 2.a ordem homogneas, podemos considerar uma equao quadrtica onde o termo m2 substitui y, o termo m substitui y e 1 por y.

Definio:

Teremos trs casos que sero determinados atravs do sinal do discriminante da equao auxiliar = b2 4c.

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

2.2 CASO NO-HOMOGNEO

Teorema:

A soluo geral da equao complementar a mesma para o caso homogneo. Tudo o que precisamos para determinar a soluo geral de L(y)=k(x) uma soluo particular yp.

2.2.1 MTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

S se aplica se k(x) e todas as suas derivadas podem escrever-se em termos do mesmo conjunto finito de funes linearmente independentes.

Inicia-se o mtodo supondo-se uma soluo particular da forma: yp = A1y1(x) + A2y2(x)+... + Anyn(x) onde so constantes multiplicativas que sero calculadas, levando-se a soluo proposta na equao diferencial dada e igualando-se os termos semelhantes.

Generalizaes: Se k(x) o produto de termos considerados nos casos 1 a 3, devemos tomar yp como o produto das solues supostas correspondentes.

2.2.2 VARIAO DOS PARMETROS

Uma soluo particular de L(y) = k(x) tem a forma yp = u1y1 + u2y2 + ... + unyn. Para achar os ui, resolvemos simultaneamente as seguintes equaes lineares em relao a ui:

Integramos cada ui para obter ui, desprezando todas as constantes de integrao o que permitido pois estamos interessados em apenas uma soluo particular.

O mtodo pode aplicar-se a todas as equaes diferenciais lineares. mais poderoso que o mtodo dos coeficientes a determinar, que se restringe a equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes e formas particulares de k(x). No obstante, quando ambos os mtodos so aplicveis, o mtodo dos coeficientes a determinar mais eficiente, devendo assim ser preferido.

Na prtica, a integrao de ui(x) nem sempre possvel. Deve-se empregar-se, em tais casos outros mtodos (em particular, mtodos numricos).

3. COMPONENTES DE SISTEMAS DISCRETOSOs componentes dos sistemas discretos so as diversas partes do sistema fsico cujas caractersticas influem no seu comportamento dinmico. Estes componentes dividem-se em trs tipos : componentes que relacionam fora com deslocamento, componentes que relacionam fora com velocidade e componentes que relacionam fora com acelerao.

Fig. 6 Mola

O exemplo mais comum de componente que relaciona fora com deslocamento a mola. Considera-se a mola como no tendo massa. O alongamento (x2 x1) da mola produz uma fora Fs, denominada fora restauradora, que tende a restaurar a mola posio de repouso. A relao fora deslocamento da mola no linear, mas para pequenos valores de (x2 x1) a fora pode ser considerada proporcional ao alongamento. A mola que atua neste intervalo de alongamento chamada linear e a constante de proporcionalidade k conhecida como constante da mola.

Portanto a relao fora - deslocamento para a mola linear : Fs = k . (x2 x1).

Fig. 7 AmortecedorA componente que relaciona fora com velocidades o amortecedor, que tambm considera-se como no tendo massa. A diferena de velocidades (v2 v1) do amortecedor gera uma fora Fd, conhecida como fora amortecedora, que se ope ao movimento. A relao entre a fora restauradora e a diferena (v2 v1) linear e a inclinao constante c denominada coeficiente de amortecimento.

Portanto a relao fora velocidade para o amortecedor : Fd = c . (v2 v1) = c . (dx2/dt dx1/dt).

Fig. 8 Massa

Por sua vez, a componente que relaciona fora com acelerao conhecida como massa discreta. A massa discreta considerada como tendo comportamento de corpo rgido. A relao entre fora e acelerao para a massa discreta linear e descrita pela segunda lei de Newton, como : Fm = m . a = m . d2x/dt2Todos estes elementos podem ser combinados entre si formando o modelo matemtico do sistema fsico real.

4. SISTEMAS LINEARES DE UM GRAU DE LIBERDADEUm sistema mecnico tem um grau de liberdade se sua posio geomtrica pode ser expressa, a qualquer instante, por apenas um nmero. Por exemplo, um pisto que se move em um cilindro, sua posio pode ser especificada apenas pela distncia em relao extremidade do cilindro.

Os sistemas lineares de um grau de liberdade so os sistemas mais simples, e so descritos por uma equao diferencial ordinria de segunda ordem com coeficientes constantes. So utilizados muitas vezes como uma aproximao grosseira de sistemas mais complexos.

4.1 DEDUO DA EQUAO DIFERENCIAL

As expresses matemticas dos deslocamentos na anlise dinmica so chamadas Equaes do Movimento da estrutura. Considerando o sistema da figura abaixo, onde a rigidez da mola dada por sua constante de mola (k), o amortecimento representado pela constante de amortecimento (c), e o deslocamento (x).

Fig. 9 Sistema de um grau de liberdadeFazendo o equilbrio das foras:

Fm + Fs +Fd = F(t)

Cada fora do lado esquerdo da equao uma funo do deslocamento x ou de suas derivadas, assim temos:

A fora elstica da mola o produto da constante elstica de mola pelo deslocamento:

Fs = k x

Pela Segunda Lei de Newton, a fora de inrcia o produto da massa pela acelerao:

Finalmente, a fora de amortecimento o produto da constante de amortecimento pela velocidade:

Substituindo, temos:

4.2 VIBRAES LIVRES SEM AMORTECIMENTO

Antes de desenvolver uma soluo da equao geral, til considerar alguns casos simplificados. Vamos supor que no existe fora externa e o sistema no possui amortecimento, ou seja, P = 0 e c = 0, assim a equao geral reduz-se a:

A equao acima uma equao diferencial linear de segunda ordem homognea, que representa um movimento harmnico do sistema, e resolvendo esta equao temos:

como 0 e podemos obter ento, razes reais e distintas (c > 1414), razes reais e iguais (c = 1414) e razes complexas (c < 1414). O valor do amortecimento que conduz a razes reais e iguais conhecido como amortecimento crtico. Vamos verificar o resultado para os 3 casos propostos.

b.1) Para c = 800 N.s/m (c < amortecimento crtico) :

As razes da equao caracterstica so :

Logo, a soluo da EDO tem a forma :

Satisfazendo s condies iniciais, obtemos :

Portanto a soluo geral para o PVI proposto :

(5)

b.2) Para c = 1414 N.s/m (c = amortecimento crtico) :


Logo, a soluo da EDO tem a forma : Satisfazendo s condies iniciais, obtemos :


(6)

b.3) Para c = 2000 N.s/m (c > amortecimento crtico) :


Logo, a soluo da EDO tem a forma :



(7)

Fig.12 Caso (b)

c) Seja F(t) = 200 cos (4.t) e c = 0 :

Neste caso temos vibrao forada no amortecida e a fora atuante harmnica.

A equao do movimento (1) fica :

(8)

Para soluo desta EDO linear de 2a ordem no homognea, obtemos a inicialmente uma soluo particular atravs do mtodo dos coeficientes indeterminados. Supondo que a soluo particular tenha a forma :

Substituindo estas equaes em (8) temos :

Logo, a soluo particular da EDO no homognea :

(9)

E a soluo geral da EDO, que a combinao da soluo da EDO homognea associada com a soluo particular acima, tem a forma :



(10)

Fig. 13 Caso (c)

d) Seja F(t) = 200 cos (4t) e c = 800 N.s/m :

Neste caso temos vibrao forada amortecida e a fora atuante harmnica.


(11)




(12)




(13)

Fig. 14 Caso (d)

e) Seja F(t) = 200 N e c = 800 N.s/m :

Neste caso temos vibrao forada amortecida e a fora atuante constante.


(14)




(15)




(16)

Fig. 15 Caso (e)

Exemplo 2:

Determine o perodo das vibraes horizontais do prtico mostrado na figura abaixo que suporta uma carga W aplicada no centro. Para efeito de clculo desprezar o peso prprio da estrutura.

Fig. 16 Exemplo2Consideraes iniciais:

-Para a soluo desse problema necessrio observar o que acontece na estrutura .

-A flecha horizontal no n A provoca um esforo horizontal H.

-Levando em conta o esforo de flexo, a barra horizontal AB flexionada por dois pares iguais de foras de intensidade h*H / 2.

Ento o ngulo de rotao dos ns A e B :

Considerando agora as peas verticais do prtico como sendo peas flexionadas pelas foras horizontais H/2.A deflexo horizontal ser formada por 2 partes:

-uma devida a flexo (a flexo das barras)

-outra devido a rotao em A e B ,calculada anteriormente.

Ento:

Nesse caso a constante elstica da mola :

Tendo : E substituindo os valores da equao anterior

Se a rigidez da pea horizontal grande em comparao com as peas verticais , ento a relao I/I1 pode ser desprezado por ser um nmero muito pequeno .Ento vem a simplificao:

Logo a frequncia 1/

5. SISTEMAS LINEARES DE VRIOS GRAUS DE LIBERDADENa maioria das vezes os problemas reais a serem estudados no podem ser modelados por sistemas de um ou dois graus de liberdade, necessita-se ento utilizar modelos matemticos com grande nmero de graus de liberdade. O comportamento dinmico destes sistemas totalmente conhecido somente quando conhece-se o movimento de todos os seus pontos.

Para sistemas que no apresentam distribuio uniforme de massa e rigidez possvel a construo de modelos matemticos discretos com finitos graus de liberdade e parmetros descrevendo massa e rigidez. Neste caso, o movimento descrito por um sistema de equaes diferenciais ordinrias lineares de segunda ordem simultneas.

Da mesma forma como obtm-se a equao do movimento para sistemas de um grau de liberdade, obtm-se as equaes para sistemas de vrios graus de liberdade.

Na forma matricial :

[M].{q(t)} + [C].{q(t)} + [K].{q(t)} = {F(t)}

Sendo : [M] a matriz de massa, [C] a matriz de amortecimento, [K] a matriz de rigidez, q(t) as coordenadas generalizadas, q(t) = dq/dt, q(t)=d2q/dt2 e F(t) as foras externas.

Para resoluo deste sistema utiliza-se a transformao de coordenadas. As frequncias naturais e modos de vibrao so obtidos pela obteno, respectivamente, de autovalores e autovetores.

Para um problema real qualquer, as componentes das matrizes [K], [C] e [M] podem ser obtidas da seguinte forma :

Kij fora que mantm o equilbrio do ponto i quando aplica-se um deslocamento unitrio no ponto j e mantm-se todo o restante do sistema com deslocamento nulo;

Cij - fora que mantm o equilbrio do ponto i quando aplica-se uma velocidade unitria no ponto j e mantm-se todo o restante do sistema com velocidade nula;

Mij - fora que mantm o equilbrio do ponto i quando aplica-se uma acelerao unitria no ponto j e mantm-se todo o restante do sistema com acelerao nula.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS1 MEIROVITCH, Leonard. Elements of vibration analisys. International Student

Edition. Tokio : McGraw-Hill, 1975.

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Curitiba : UFPR, 1998.

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