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APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA

MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS NO PROCESSO

PRODUTIVO DE UMA VIDRAÇARIA

Bernardo Moreira Vergara (UEPA)

[email protected]

Gabriel da Silva Andrade (UEPA)

[email protected]

Kaue Juca Jardim de Oliveira (UEPA)

[email protected]

Rodrigo da Silva Santos (UEPA)

[email protected]

Yvelyne Bianca Iunes Santos (UEPA)

[email protected]

No mercado competitivo atual, uma empresa deve buscar otimizar seus

recursos mantendo sua qualidade e a satisfação dos clientes. Cabe a seus

gestores conciliar essas variáveis dentro das restrições existentes e ainda

assim ser capaz de obter bons resultados com o menor custo possível. Nesse

presente trabalho foram aplicadas as metodologias científicas de pesquisa

operacional em uma empresa que produz peças de vidro para uso em

construções com o objetivo de diminuir os custos com mão de obra no

processo produtivo. Para isso foram coletados dados como, número de

funcionários, horas de trabalho, salários por funcionário, demanda, entre

outros e desenvolvido modelo matemático linear. Com auxílio da ferramenta

Solver, do programa Microsoft Excel, foram feitas simulações de diversos

cenários e comparadas com o cenário atual da empresa. Os resultados

apontam que a empresa pode reduzir seus custos com mão de obra em até

7% caso adote uma distribuição mais eficiente deste recurso na empresa.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional; Programação linear; Vidraçaria;

Minimização de Custos.

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.




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1. Introdução

O presente trabalho foi feito com dados reais, cedidos por uma empresa que trabalha na

produção de vidros temperados usados em construção civil. A empresa responsável pelos

dados é uma filial localizada em Belém do Pará que trabalha única e exclusivamente com

peças de vidro. Seu processo produtivo é simples e feito em sua maioria por máquinas. A

produção é feita a partir de encomendas, sendo assim, o produto só é produzido após pedidos

e especificações do cliente. Alguns dos principais problemas enfrentados pela empresa é o

desperdício de matéria prima que ocorre durante os processos da produção e a utilização

indevida dos recursos humanos e logísticos.

Com o uso da pesquisa operacional acredita-se ser possível diminuir o custo de produção para

a empresa, e também, auxiliar na tomada de decisão no que se refere à gestão dos seus

recursos de acordo com as restrições, além de suprir as demandas para que a empresa possa

permanecer competitiva no mercado.

Este trabalho objetiva otimizar a alocação dos recursos através da pesquisa operacional com o

auxílio dos dados coletados da empresa em questão, em seguida fazer a análise econômica a

partir dos resultados obtidos.

2. Referencial teórico

2.1. Pesquisa operacional

De acordo com Silva (2010), a pesquisa operacional é um método cientifico de tomada de

decisões que consiste na descrição de um sistema organizado com o auxílio de um modelo, e

através da experimentação com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o

sistema.

A partir da análise dos conceitos citados acima, podemos concluir que a pesquisa operacional

aplica métodos científicos a problemas complexos com o objetivo de auxiliar no processo de

tomada de decisões para gerar um maior lucro em situações que requerem uma melhor

alocação de recursos escassos. Neste estudo, foram utilizadas as técnicas de pesquisa

operacional auxiliada por programa de computador para encontrar uma distribuição ótima do




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recurso mão de obra em uma vidraçaria.

2.2. Modelagem matemática

Modelo é uma representação simplificada do comportamento da realidade expressa na forma

de equações matemáticas que serve para simular a realidade (COLIN, 2011, p.5).

A metodologia da pesquisa operacional é mais desenvolvida para a solução de problemas que

podem ser representados por modelos matemáticos (ANDRADE, 2009). Para se decidir qual

modelo deve ser utilizado em um determinado contexto, consideram-se alguns fatores, como:

Natureza matemática das relações entre as variáveis;

Objetivos do encarregado da decisão;

Extensão do controle sobre variáveis de decisão;

Nível de incerteza associado ao ambiente da decisão.

De acordo com os fatores citados acima, podemos dividir os modelos matemáticos em dois

tipos: Modelos de Simulação e de Otimização.

Os modelos de simulação são aqueles que objetivam oferecer uma representação do mundo

real com o intuito de gerar e analisar alternativas, antes de suas possíveis implementações.

Este tipo de modelo dá ao analista um apreciável grau de liberdade e flexibilidade para a

escolha da ação mais sensata.

Por outro lado, os modelo de otimização, não permite flexibilidade na escolha alternativa, já

que é estruturado para selecionar uma única, que será considerada “ótima”, segundo as

restrições estabelecidas pelo analista. Essa análise matemática é processada por métodos

sistemáticos de solução, que são chamados algoritmos. A “solução ótima” encontrada é

utilizada como referência para a decisão real (ANDRADE, 2009). Neste estudo, foi utilizado

o modelo matemático de otimização.

2.2.1. Variáveis do problema

Em qualquer situação que exija uma decisão, a principal etapa para entender a natureza do

problema é a identificação de todos os fatores envolvidos, que fornecem elementos para

análise e conclusão. No processo de construção de um modelo, esses fatores são chamados de




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variáveis do problema, já que podem assumir diferentes valores durante o desenvolvimento da

solução (ANDRADE, 2009).

As variáveis de um modelo podem ser dividias em três categorias:

Variáveis de decisão: São aquelas que foram definidas pelo elaborador do modelo

como fornecedoras das informações que servirão de base para a tomada de decisão;

Variáveis controláveis ou endógenas: São as variáveis criadas pelo próprio modelo,

durante o processo de solução, sendo dependente dos dados fornecidos inicialmente,

das possibilidades estabelecidas e da própria estrutura do modelo. A variável de

decisão é uma variável controlável especial por indicar decisão;

Variáveis não-controláveis ou exógenas: São informações externas fornecidos ao

modelo e que representam as hipóteses assumidas ou condições que devem ser

respeitadas.

2.2.2. Restrições

São regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e/ou quais são as limitações dos recursos

ou das atividades que estão associados ao modelo (COLIN, 2011, p.6).

Em grande número de modelos de otimização, as variáveis são sujeitas a algumas restrições,

que devem ser escritas de forma matemática. Da mesma forma, o relacionamento entre

variáveis deve ser formulado matematicamente.

2.2.3. Função objetivo

A função objetivo reflete o critério de otimização das variáveis de decisão e deve ser escrita

na forma matemática (ANDRADE, 2009).É uma função matemática que representa o

principal objetivo do tomador de decisão. A função objetivo pode ser classificada de duas

maneiras: Minimização (de custos, erros, chance de perda, desvio do objetivo etc.) ou de

maximização (de lucro, receita, utilidade, bem-estar, riqueza, chance de sobrevivência etc.)

(COLIN, 2011, p.6).

2.3. Programação linear




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Trata-se, de modo geral, do uso de maneira ótima de recursos escassos para a realização de

uma determinada atividade. Ao se referir como maneira ótima entende-se que não há solução

melhor para o problema proposto. “Os recursos escassos representam nossa realidade de

existência finita de recursos, por mais abundantes que sejam.” (COLIN, 2011, p.5).

A programação linear usa um modelo matemático para resolver o problema proposto. O

adjetivo “linear” significa que todas as funções matemáticas presentes no modelo são

necessariamente funções lineares. O sentido da palavra “programação”, não se refere à

programação de computador, mas sim como um sinônimo para “planejamento”. Portanto, a

programação linear utiliza-se de um planejamento de atividades para obter um resultado

ótimo que atinja o melhor objetivo dentre as alternativas possíveis (HILLIER E

LIEBERMAN, 2006).

3. Metodologia

A metodologia utilizada foi a Pesquisa Operacional através do desenvolvimento de modelo

matemático linear baseado no modelo de planejamento agregado proposto por Lustosa (2008).

O modelo desenvolvido foi solucionado com a ferramenta Solver do Microsoft Excel.

3.1. Ferramenta Solver

O Solver é uma ferramenta que faz parte de um grupo de programas muitas vezes

denominados ferramentas de análise hipotética. A ferramenta Solver tem como objetivo

atribuir um valor ideal para uma célula, denominada célula destino. Na planilha do Excel o

Solver trabalha junto com um conjunto de células que se relacionam de modo direto ou

indireto com a fórmula da célula destino. O Solver ajusta os valores das células variáveis com

o propósito de atribuir o melhor valor a célula destino de acordo com a fórmula atribuída a

ela. Com a ferramenta Solver, podem ser aplicadas restrições que estreitarão os resultados

possíveis obtidos na célula destino. (JÚNIOR, 2004).

3.2. Dados da empresa

A seguir apresentam-se os dados coletados na empresa que viabilizaram o desenvolvimento

do modelo matemático.




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3.2.1. Dados de custos

Foram coletados os dados dos custos mensais, que serão utilizados como coeficientes das

variáveis a serem estudadas na função objetivo. Esses dados são listados na Tabela 1.

Tabela 1 - Dados de custos

Custos por funcionário

Meses Horas Normais Horas Extras Horas Subcontratadas Admissão Demissão

Janeiro R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Fevereiro R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Março R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Abril R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Maio R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Junho R$ 950,00 R$ 7,50 R$ 10,00 R$ 1.110,00 R$ 1.130,00

Fonte: Autoria própria

3.2.2. Dados do processo produtivo

Os dados do processo produtivo serão utilizados nas limitações de produção consideradas no

modelo. Esses dados são listados na Tabela 2.

Tabela 2 - Dados do processo produtivo

Produção individual mensal 437 m² de vidro

Carga horária mensal por funcionário 192 h

Capacidade máxima da empresa 25200 m² de vidro

Quantidade inicial de empregados em janeiro 36 Fonte: Autoria própria

3.2.3. Dados de demandas

Os dados de demanda serão também utilizados nas restrições e são listados na Tabela 3.

Tabela 3 - Demandas mensais nos seis períodos

Mês Demanda (m²)

Janeiro 10256

Fevereiro 15716




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Março 11263

Abril 11428

Maio 15355

Junho 10612


3.3. Função objetivo

A função objetivo representa o custo com mão de obra que deve ser minimizado durante os

seis meses em estudo.

Min Z = 950*( ) + 7,50*( ) + 10*( )+ 1.110*( ) +

1.130*( )

Onde,

Empt = Número de empregados no mês t

Hxt = Quantidade de horas extras utilizadas no mês t

Hsbt = Quantidade de horas subcontratadas utilizadas no mês t

Adt = Empregados admitidos no mês t

Dit = Empregados demitidos no mês t

3.4. Restrições do modelo

As restrições do modelo foram desenvolvidas a partir dos dados obtidos conforme segue.

a) Restrição de não negatividade das quantidades a serem produzidas:

Onde,

Pt = Quantidade produzida no mês t.

b) A empresa produz a partir de encomendas, tornando a produção mensal igual à

demanda de cada mês;

Onde,

Dt = Demanda existente no mês t.

c) A quantidade de horas para cada funcionário fabricar um produto multiplicado pela

quantidade que deve ser produzida, deve ser menor ou igual à disponibilidade de mão-

de-obra de cada mês;




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Onde,

hput = Horas por funcionário para fabricar um metro quadrado no mês t.

Cdispt = Carga horária disponível no mês t.

d) A quantidade a ser produzida deve ser menor ou igual à capacidade produtiva da

empresa, considerando as limitações de equipamentos e instalações;

e) O número de empregados que a empresa deve possuir no final do mês corrente deve ser

igual ao número inicial de empregados do mesmo mês, somado com o número de

funcionários admitidos e subtraído dos demitidos no mesmo mês;

f) A quantidade de horas extras que os funcionários podem executar não deve exceder

20% das horas normais, portanto, esta quantidade deve ser menor ou igual ao valor da

porcentagem, multiplicado com o produto entre a carga horária de trabalho e o número

de empregados do mês analisado;

Onde,

Crgt = Carga horária de trabalho no mês t.

g) A quantidade de horas subcontratadas utilizadas no mês t deve ser menor ou igual a

10% das horas normais mais as horas extras.

4. Resultados do modelo e análise do problema

4.1. Recursos utilizados pela empresa

Na Tabela 4 estão apresentadas as quantidades dos recursos utilizados atualmente pela

empresa em estudo.

Tabela 4 – Quantidades dos recursos utilizados atualmente pela empresa em estudo

Meses Nº de

empregados

Horas

Extras

Empregados

Admitidos

Empregados

Demitidos

Quantidade a ser

produzida (m²)

Janeiro 36 0 0 0 10256

Fevereiro 36 0 0 0 15716

Março 36 0 0 0 11236

Abril 36 0 0 0 11428

Maio 36 0 0 0 15355

Junho 36 0 0 0 10612




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De acordo com a Tabela 4, pode-se verificar que no cenário real, a empresa somente utiliza as

horas normais de seus funcionários para produção, ou seja, não trabalha com horas extras nem

subcontratadas. Dessa forma, foram criados mais dois cenários com a utilização dessas

variáveis, um acrescentando somente horas extras e outro, horas extras e subcontratadas, com

o intuito de descobrir se seria viável a empregabilidade das mesmas.

4.2. Resultado ótimo utilizando horas extras

Após a solução do modelo, utilizando horas extras, foram obtidos os seguintes resultados

ótimos.


Sabendo-se que o custo real obtido pela empresa durante o período estudado foi de R$

205.000,00 e que o custo do resultado ótimo utilizando horas extras obtido foi de R$

192.866,69, verifica-se uma redução de R$ 12.133,31 no custo total, ou seja, a solução do

modelo indica uma otimização de, aproximadamente, 6% do custo real da empresa.

Percebe-se também que para se chegar nesses resultados, necessitaria de uma redução no

número de funcionários em todos os meses, e um aumento na quantidade de horas extras em

alguns meses que exigissem maiores demandas.

O resultado ótimo apontou que a empresa, para aumentar a lucratividade em 6,29%, precisaria

demitir 6 funcionários no mês de janeiro, em seguida, no mês de fevereiro, utilizar 1151 horas

Tabela 5 - Resultados ótimos utilizando horas extras

Meses Nº de

empregados

Horas

Extras

Empregados

Admitidos

Empregados

Demitidos

Quantidade a ser

produzida (m²)

Janeiro 30 0 0 6 10256

Fevereiro 30 1151 0 0 15716

Março 29 0 0 1 11236

Abril 29 0 0 0 11428

Maio 29 1124 0 0 15355

Junho 29 0 0 0 10612




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extras para atender a alta demanda desse período. No mês de março mais um funcionário

deveria ser demitido, ficando com a quantia de 29 funcionários até o final do ciclo estudado e

no mês de maio utilizar mais 1124 horas extras. Com isso, a empresa deixaria de utilizar os 36

funcionários listados na folha de pagamento, passando a investir em horas extras em épocas

de alta demanda.

Para verificar qual o recurso que mais contribuiu para o custo total da produção, as tabelas a

seguir apontam os valores de todos os custos separadamente.

Tabela 6 - Análise dos custos, com funcionários fixos

Meses Custo Real Custo Ótimo Custo Reduzido

Janeiro R$ 34.200 R$ 28.500 R$ 5.700

Fevereiro R$ 34.200 R$ 28.500 R$ 5.700

Março R$ 34.200 R$ 27.550 R$ 6.650

Abril R$ 34.200 R$ 27.550 R$ 6.650

Maio R$ 34.200 R$ 27.550 R$ 6.650

Junho R$ 34.200 R$ 27.550 R$ 6.650

Total R$ 205.200 R$ 167.200 R$ 38.000


Tabela 7 - Análise dos custos com horas extras


Janeiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Fevereiro R$ 0,00 R$ 8.632,00 -R$ 8.632,00

Março R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Abril R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Maio R$ 0,00 R$ 8.430,00 -R$ 8.430,00

Junho R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Total R$ 0,00 R$ 17.062,00 -R$ 17.062,00


Tabela 8 - Análise dos custos de demissão


Janeiro R$ 0,00 R$ 6.780,00 -R$ 6.780,00

Fevereiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Março R$ 0,00 R$ 1.130,00 -R$ 1.130,00

Abril R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Maio R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00




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Analisando as tabelas anteriores, nota-se que quando se aplica o plano ótimo, é acrescentada

uma grande quantia de horas extras nos meses de fevereiro e maio, os quais foram os que

apresentaram a maior demanda durante os seis meses estudados. Nota-se também que isso

ocorre em consequência da larga redução no número de empregados, como pode ser

observado na Tabela 5, o que faz com que os custos diminuam. Portanto, a quantidade de

empregados é o recurso que mais influencia no custo total da empresa.

4.3. Resultado ótimo utilizando horas subcontratadas e horas extras

Após a solução do modelo, utilizando horas extras e subcontratadas, foram obtidos os

seguintes resultados ótimos.

Tabela 9 - Resultados ótimos utilizando horas extras e subcontratadas

Meses

Nº de

empregados

Horas

Extras

Horas

Subcontratadas

Empregados

Admitidos

Empregados

Demitidos

Quantidade a ser

produzida (m²)

Janeiro 30 0 0 0 6 10256

Fevereiro 30 1151 0 0 0 15716

Março 26 0 0 0 4 11236

Abril 26 0 0 0 0 11428

Maio 26 1004 721 0 0 15355

Junho 26 0 0 0 0 10612


Utilizando o modelo com horas subcontratadas, o custo ótimo retornado foi de R$ 190.819,63.

Em relação ao cenário real da empresa, houve uma redução de, aproximadamente, 7% no

custo, e em relação ao cenário otimizado utilizando apenas horas extras, essa redução foi de,

aproximadamente, 1%.

Percebe-se também que para se chegar nesses resultados, necessitaria de uma redução no

número de funcionários em todos os meses, e um aumento na quantidade de horas extras e

utilização de subcontratações em alguns meses que exigissem maiores demandas.

O resultado ótimo apontou que a empresa, para poder aumentar a lucratividade em 7% em

relação ao cenário real, precisaria demitir 6 funcionários no mês de janeiro, em seguida, no

Junho R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Total R$ 0,00 R$ 7.910,00 -R$ 7.910,00




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mês de fevereiro, utilizar 1151 horas extras para atender a alta demanda desse período. No

mês de março mais quatro funcionários deveriam ser demitidos, ficando com a quantia de 26

funcionários até o final do ciclo estudado e no mês de maio utilizar mais 1004 horas extras e

um adicional de 721 horas subcontratadas. Com isso, a empresa deixaria de utilizar os 36

funcionários listados na folha de pagamento, passando a investir em horas extras e

subcontratações em épocas de alta demanda.

Para verificar qual o recurso que mais contribuiu para o custo total da produção, as tabelas a

seguir apontam os valores de todos os custos separadamente.

Tabela 10 - Análise dos custos, com funcionários fixos


Janeiro R$ 34.200 R$ 28.500 R$ 5.700

Fevereiro R$ 34.200 R$ 28.500 R$ 5.700

Março R$ 34.200 R$ 24.700 R$ 9.500

Abril R$ 34.200 R$ 24.700 R$ 9.500

Maio R$ 34.200 R$ 24.700 R$ 9.500

Junho R$ 34.200 R$ 24.700 R$ 9.500

Total R$ 205.200,00 R$ 155.800,00 R$ 49.400,00


Tabela 11 - Análise dos custos com horas subcontratadas


Janeiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Fevereiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Março R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Abril R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Maio R$ 0,00 R$ 7.210,00 -R$ 7.210,00

Junho R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Total R$ 0,00 R$ 7.210,00 -R$ 7.210,00


Tabela 12 - Análise dos custos com horas extras


Janeiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Fevereiro R$ 0,00 R$ 8.632,00 -R$ 8.632,00

Março R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Abril R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Maio R$ 0,00 R$ 7.530,00 -R$ 7.530,00




13

Junho R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Total R$ 0,00 R$ 16.162,00 -R$ 16.162,00


Tabela 13 - Análise dos custos de demissão


Janeiro R$ 0,00 R$ 6.780,00 -R$ 6.780,00

Fevereiro R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Março R$ 0,00 R$ 1.130,00 -R$ 1.130,00

Abril R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Maio R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Junho R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

Total R$ 0,00 R$ 7.910,00 -R$ 7.910,00


Analisando as Tabelas de 10 a 13, nota-se que quando se aplica o plano ótimo, é acrescentada

uma grande quantia de horas extras nos meses de fevereiro e maio, os quais foram os que

apresentaram a maior demanda durante os seis meses estudados, além da utilização de horas

subcontratadas no mês de maio, para conseguir suprir os pedidos desse mês. Nota-se também

que isso ocorre em consequência da larga redução no número de empregados, como pode ser

observado na Tabela 9, o que faz com que os custos diminuam.

5. Conclusão

A busca constante por aumento na lucratividade faz com que as empresas necessitem, cada

vez mais, de novas soluções para diminuir os custos dentro da linha de fabricação. Com isso,

a procura de meios que gerem melhorias se torna incessante, sempre tentando viabilizar os

processos dentro da empresa.

O estudo demonstrou que o Solver do Microsoft Excel é uma ferramenta que pode contribuir

significativamente na tomada de decisões, pois nele é possível descobrir a correta alocação de

recursos, em procura de um custo otimizado.

Neste estudo, verificou-se que o plano de produção mais eficiente foi o que utilizou horas

extras e subcontratadas, o qual apresentou uma diminuição de R$ 14.180,37 dos custos totais

no plano de produção adotado pela fábrica de peças de vidro. Isso representa um valor de 7%




14

de redução das despesas da empresa, sendo que os principais fatores para essa diminuição

foram às demissões de funcionários, e o incremento de horas de serviços e subcontratações.

Assim, observa-se como a Pesquisa Operacional pode auxiliar a tomada de decisão gerencial

no momento de definir o plano de produção e alocação de recursos.

REFERÊNCIAS

ANDRADE, E. L. DE. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e modelos para a análise de decisão.

4ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009.

COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção,

marketing e vendas. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2011.

HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução À Pesquisa Operacional. 8ª Edição. São Paulo: McGraw-

Hill Interamericana do Brasil Ltda. 2006.

JÚNIOR, A.C. G; SOUZA, M.J.F. Solver (Excel): Manual de referência. Disponível em:

<http://www.decom.ufop.br/marcone/Disciplinas/OtimizacaoCombinatoria/solver_p.pdf>. Acesso em: 5 de

dezembro de 2014.

LUSTOSA, Leonardo et al. Planejamento e Controle de Produção. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.

SILVA, E. M. et al. Pesquisa Operacional. 4ª Edição. São Paulo: Editora Atlas, 2010.

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