Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP Departamento de Engenharia de Construção Civil

ISSN 0103-9830

BT/PCC/362

Antonio Carlos Julianelli Ferrão Alexandre Kawano

São Paulo – 2004

Curvas naturais

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Construção Civil Boletim Técnico – Série BT/PCC Diretor: Prof. Dr. Vahan Agopyan Vice-Diretor: Prof. Dr. Ivan Gilberto Sandoval Falleiros Chefe do Departamento: Prof. Dr. Alex Kenya Abiko Suplente do Chefe do Departamento: Prof. Dr. Orestes Marraccini Gonçalves Conselho Editorial Prof. Dr. Alex Abiko Prof. Dr. Francisco Ferreira Cardoso Prof. Dr. João da Rocha Lima Jr. Prof. Dr. Orestes Marraccini Gonçalves Prof. Dr. Paulo Helene Prof. Dr. Cheng Liang Yee Coordenador Técnico Prof. Dr. Alex Abiko O Boletim Técnico é uma publicação da Escola Politécnica da USP/ Departamento de Engenharia de Construção Civil, fruto de pesquisas realizadas por docentes e pesquisadores desta Universidade. O presente trabalho é parte da dissertação de mestrado apresentada por Antonio Carlos Julianelli Ferrão, sob orientação do Prof. Dr. Alexandre Kawano: “Curvas Naturais”, defendida em 02/06/2003. A íntegra da dissertação encontra-se à disposição com o autor e na biblioteca de Engenharia Civil da Escola Politécnica/USP.

FICHA CATALOGRÁFICA

Ferrão, Antonio Carlos Julianelli

Curvas naturais / Antonio Carlos Julianelli Ferrão, Alexandre Kawano. -- São Paulo : EPUSP, 2004.

20 p. – (Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP, Departa- mento de Engenharia de Construção Civil ; BT/PCC/362)

1.Curvas (Geometria) 2. Algoritmos genéticos I. Kawano, Ale- xandre II. Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Depar-tamento de Engenharia de Construção Civil III. Título IV. Série ISSN 0103-9830 CDU 514.752.2 510.51

Curvas Naturais

Natural Curves Antonio Carlos Julianelli Ferrão

Departamento de Construção Civil – Escola Politécnica –USP Av. Prof. Almeida Prado, Trav. 2 nº 271

CEP 05508-900 São Paulo SP

Prof. Dr. Alexandre Kawano Departamento de Engenharia Mecatrônica – Escola Politécnica - USP

Av. Prof. Luciano Gualberto, Trav. 3 nº380 CEP 05508-900 São Paulo SP

Resumo

Motivar e incentivar o ensino e aprendizado das disciplinas que possuem a

Geometria como elemento integrante de suas composições curriculares é o objetivo

deste trabalho, nomeado Curvas Naturais. As geometrias de algumas formas naturais

são interpretadas com o auxílio de modelos matemáticos. Inicialmente, a Mecânica

Clássica é utilizada para explicar a ocorrência de fenômenos que apresentam curvas

particulares; tais como: catenária, braquistócrona e parábola. A seguir, algumas

estruturas, principalmente de origem orgânica, são apresentadas. Nesta segunda

situação, os Algoritmos Genéticos (AG) são empregados para que a forma resultante

seja avaliada.

Palavras chaves: curvas naturais, catenária, braquistócrona, parábola e Algoritmos

Genéticos

Abstract

To motivate and to stimulate the teaching and learning of subjects that have

geometry as a forming element of their curricular composition is the main objective of

this text. The geometry of some natural forms is interpreted with the aid of

mathematical models. First, Classical Mechanics is used to explain the occurrence of

phenomena that result in particular curves such as catenary, brachistochrone and

parabola. Next, some structures—mainly of organic origin—are presented. In this

second situation, Genetic Algorithms (GA) are used to appraise the resulting form.

Keywords: natural curves, catenary, brachistochrone, parabola, Genetic Algorithms

2

1 – Introdução Inúmeras formas geométricas se encontram de modo implícito e explícito em

diversos elementos observáveis na natureza. Particularmente, certos tipos de curvas

merecem atenção. Isto se deve ao fato de suas propriedades geométricas não serem

somente fruto de um casuísmo, mas estarem associadas de alguma maneira com uma

condição que satisfaça um princípio funcional. As primeiras denominadas “curvas

físicas” são aquelas que para adquirirem seus contornos não necessitam de uma

inferência humana durante o seu processo de configuração. Estas curvas em geral estão

associadas a fenômenos físicos e denotam a tendência de um equilíbrio pela

manutenção da energia do sistema. No segundo grupo perfilam as “curvas orgânicas”;

estas são encontradas na constituição dos seres vivos ou em construções provindos de

uma ação involuntária (irracional).

Estas excepcionais formas “naturalmente geradas”, causam ainda uma maior

surpresa quando constatado que funções matemáticas - muito posteriormente elaboradas

pelo homem - se adaptam para sua descrição. Certas funções se repetem com mais

freqüência do que outras, objetivando uma maior simplicidade e aproveitamento. Se o

homem for considerado exclusivamente como ser racional, outros seres vivos devem ser

geneticamente programados para solucionar equações (geneticamente matemáticos).

Obtendo o homem resultados análogos a natureza, (talvez por pertencer a ela e também

estar programado) é lícito interpelar se algum modelo matemático é realmente criado ou

é apenas uma cópia inconsciente do real.

O texto, porém, não tem a pretensão de justificar de forma inflexível a existência

destas curvas, mas sim possibilitar ao leitor novas maneiras de interpretar alguns

fenômenos, observando a convergência dos resultados.

2 - Curvas Físicas 2.1 – Princípio da Mínima Ação

Uma boa maneira de comprovar o formato de uma curva física é utilizar o

Princípio da Mínima Ação, enunciado pela primeira vez pelo matemático francês Pierre

Louis Mourea Maupertius (1.698-1.759) em sua obra Essai de Cosmologie (1.744)[1].

Por esse princípio “quando na natureza ocorrer uma mudança qualquer, a quantidade de

3

ação necessária para produzir esta mudança é a menor possível”[2]. A idéia da mínima

ação expressa que a natureza sempre otimiza suas ações, evitando ao máximo o

desperdício de energia. Portanto, no estudo de fenômenos que têm como resultado uma

determinada curva, estas com certeza serão as formas que melhor atendem uma

finalidade. Se de fato estas finalidades são sempre atingidas com seus extremos de

eficiência, a natureza de algum modo trabalha com premissas (leis) constantes e

universais.

2.2 - Cálculo das Variações

O Cálculo das Variações, introduzido por Leonhard Euler (1.707-1.783) e

Joseph-Louis Lagrange (1.736-1.813), é um interessante instrumento da mecânica

clássica que unifica de modo formal a teoria estabelecida por Maupertius. Por este

método é possível determinar funções que majoram ou minoram um dado sistema,

proporcionando sua otimização.

Seja um espaço vetorial V, e D ⊂⊂⊂⊂ V, aberto com 0 ∈∈∈∈ D tal que a cada x ∈∈∈∈ D associa-se

um número real J(x). A relação J: D→→→→R recebe o nome de funcional. Sendo J: D→→→→R

um funcional, y ∈∈∈∈ D, u ∈∈∈∈ D e y+ηηηηu ∈∈∈∈ D para ∀∀∀∀ ηηηη ∈∈∈∈ ]-εεεε,εεεε [ para algum εεεε > 0 chama-se,

Variação de Gateâux de J em y segundo u, se o limite existir, a:

Obs.:

a) se existir o limite, diz-se que u é vetor admissível em y para J;

b) define-se como λλλλ: I ⊂⊂⊂⊂ R →→→→ R dada por λλλλ(ηηηη) = J(y+ηηηηu); c) se y0 for um ponto de máximo [mínimo] do funcional J: D→→→→R então:

para todo vetor u admissível.

0

0 00 0

( ) ( ) ( ) (0)( ) lim lim 0ηη

ηδ λ η λδ η η→→

+ − −= = =J y u J yJ yu

0( ) ( )( ) ( , ) limJ J y u J yy J y u

u ηδ ηδδ η→

+ −= =

4

2.3 Equação de Euler Lagrange

Teorema: Seja f:[a,b] x ΥΥΥΥ →→→→ R, ΥΥΥΥ aberto de R2 contínua tal que,

f=f(y(x),y’(x),x) e admita as Variações de Gateaux de f ,δδδδf/δδδδy e δδδδf/δδδδy´, também

contínuas.

Sejam também:

Se y0 = y0(x) é ponto de máximo ou mínimo de J então:

Ou pela regra da cadeia .

2.4 Multiplicadores de Lagrange

Em muitos problemas de máximo e de mínimo, há restrições para o cálculo da

função. Isto pode ser expresso na forma da busca de um extremo em F(x,y), de tal

maneira que x e y estejam correlacionados por uma função G(x,y) = k (constante).

Resolver F(x,y), impondo-se a restrição G(x,y)=k é equivalente a solucionar sem

restrições H(x,y)=F(x,y)+ααααG(x,y), sendo αααα uma constante, desde que pelo menos uma

das derivadas parciais de G(x,y) não seja nula no ponto crítico (x0,y0). Este método é

conhecido como Método dos Multiplicadores de Lagrange [2,3].

2.5 – Catenária

O arco catenário foi um problema proposto por Jacob Bernoulli (1.654 – 1.705)

em 1.691, em tom de desafio, ao seu irmão Johann (1.667-1.748) que o resolveu

juntamente resolveu com Huygens e Leibeniz. A questão era descrever a função

geradora da curva provinda de um fio inextensível de comprimento L e densidade γ

preso em suas extremidades vencendo um vão v.

0f d fy dx y

∂ ∂− = ′∂ ∂

2 2 2

2 0 ∂ ∂ ∂ ∂′ ′′− + + = ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f f fy yy y y y x y

: dado por ( ) ( ( ), ( ), )′→ = ∫b

a

J E R J y f y x y x x dx

{ }1[ , ] : ( ) ( )α β= ∈ = =E y C a b y a y b

5

O problema proposto por Jacob Bernoulli, poderia ser descrito da seguinte

maneira: buscar a forma equilibrada do fio suspenso com a menor energia potencial ou

similarmente aquela cujo centro de gravidade seja o mais baixo possível. Aplicando o

teorema da seção 4.3.

Dados os funcionais:

I = ∫ (F(x,y(x),y´(x)) dx = ∫ γy2

1 dydx

+

dx (1)

J = ∫(G(x,y(x),y´(x)) dx = ∫ 2

1 dydx

+

dx = L (2)

A função y(x) que torna I mínimo e conserva J constante, também minimiza o

funcional:

k = I +ααααJ (αααα é o multiplicador de Lagrange).

Chamando de H(x,y(x),y´(x))=F(x,y(x),y´(x))+ααααG(x,y(x),y´(x)), procura-se

então y(x) que torna K mínimo.

H(x,y(x),y´(x)) = γy 2

1 dydx

+

+ α2

1 dydx

+

(3)

Como y(x) depende somente de x, sendo x independente, y(x) deve satisfazer:

0δδ

∂ ∂′ ′= − = − = ′ ′∂ ∂ ∂

k H dH d Hy H yy y dx y dx y

(regra da cadeia) (4)

Obs.: Sendo δδδδy análoga ao conjunto dos diferenciais dx, dy e dy´, a expressão

δδδδk/δδδδy (ou simplesmente δδδδk) também é análoga as derivadas parciais ∂∂∂∂H/∂∂∂∂x, ∂∂∂∂H/∂∂∂∂y e

(L)

(v)

x

y

(0,0)

h

Fig. 1 – Arco catenário. Fio preso nas extremidades a altura h, por sobre um vão v

(Energia Potencial)

(Comprimento de Arco)

6

∂∂∂∂H/∂∂∂∂y´. A condição de não anulamento deverá corresponder que nem todas as derivadas

parciais se anulem [3].

Substituindo 3 em 4:e desenvolvendo a equação, obtem-se a a equação geral da

catenária:

( ) ( )( ) = cosh

x By A

Aγ

γ α +

+

(5)

Impondo as condições particulares de contorno: (0,h) e (v,h), em que h é

respectivamente a altura nas posições das abcissas de valor 0 e v (v é o vão do arco) e

supondo ainda que o comprimento do arco L seja duas vezes o vão (2v) tem-se:

( )109 x+(-v/2)25v 109y = cosh cosh + h 109 25v 50

− −

(6)

Exemplo 1:

Utilizando L = 100 m (v=50 m) e h = 80 m, o arco catenário fica definido :

X Y 0.0 80.0 5.0 62.5 10.0 51.4 15.0 44.8 20.0 41.3 25.0 40.2 30.0 41.3 35.0 44.8 40.0 51.4 45.0 62.5 50.0 80.0

Tab. 1 – Arco Catenário.

7

2.6 – Braquistócrona

O problema da braquistócrona, é um dos mais interessantes e conhecidos da

Mecânica Clássica. A questão reside em achar a trajetória de um corpo material entre

dois pontos A e B no plano vertical, a partir do repouso, de tal maneira que o tempo

deste percurso seja o mínimo possível. Este problema foi proposto em 1.696 por Johann

Bernoulli na revista científica Acta Eruditorum. Jacob Bernoulli em publicação em

mesma revista propôs uma solução em 1.697.

Fig. 3 – Braquistócrona entre o pponto A e B, no plano vertical xy

Fig. 2. - Arco Catenário L=100, v =50, h=80.

8

A resolução pode ser elaborada novamente por meio do Cálculo das Variações

sendo para tanto utilizado o funcional J para a pesquisa da função y(x), tal como foi

feito com o caso da catenária.

Considerando o princípio de conservação de energia e supondo que o corpo

parta do ponto A (0,0) e chegue ao ponto B (x,y), pode-se avaliar o tempo utilizado para

o percurso por meio das expressões 7 e 8.

2

1

2

dydxdsdt

v gy

+ = = (7)

2

1 dydxT ky

+ = ∫ dx , em que 1

2k

g= (2.31)

Considerando a função F(y(x),y´(x),x) =

2

1 dydxy

+ , (conforme condições do Teorema

4.3 e a analogia estabelecida em (4)) a função y(x) deve satisfazer (9) para que o tempo

de percurso seja mínimo.

Resultando como solução as equações paramétricas:

Supondo ponto de partida A (0,0) e o final B (4,2), têm-se a seguinte curva :

C = 0 e para θ ≅ 201º x = 4 , y = 2 e B/2 = 1.035

x = 1.035(θ - sen θ ) y = 1.035(1-cosθ)

( )2Bx sen Cθ θ = − −

( )2 12 2

By Bsen cosθ θ = = −

(O funcional T representa o tempo total de percurso.)

(1-Forma (“Diferencial”) de tempo ao longo do percurso)

0δ ∂′= − = ′∂

d FT F ydx y

(9)

(8)

(10)

(11)

9

θθθθGRAUS RADIANOS X Y 0 0.0000 0.0000 0.0000

20 0.3491 0.0073 0.0624

40 0.6981 0.0573 0.2421 60 1.0472 0.1875 0.5175

80 1.3963 0.4259 0.8553 100 1.7453 0.7871 1.2147 120 2.0944 1.2714 1.5525

140 2.4435 1.8637 1.8279 160 2.7925 2.5363 2.0076

180 3.1416 3.2515 2.0700 200 3.4907 3.9668 2.0076

201 3.5081 4.0018 2.0013

A curva resultante é intitulada de ciclóide, por ser originária da trajetória de um

ponto P fixo em uma circunferência a partir de seu rolamento (sem escorregamento). O

ângulo θ corresponde ao ângulo formado entre o ponto P, o centro da circunferência (O)

e ao ponto E perpendicular ao eixo de rolagem passando pelo centro. O raio (r) da

circunferência é definido como o valor de B/2 [3].

P

E

OB/2

θ

Fig. 5 – Desenvolvimento da ciclóide.

Tab. 2 – Braquistócrona (0,0) (4,2).

Fig. 4 – Braquistócrona (0,0) (4,2).

10

2.7 – Movimento Parabólico e a Parábola

Seja um projétil lançado de um ponto A específico, sendo que ao seu referencial

x e y de coordenadas possua velocidade inicial Vo, podendo essa ser decomposta em

Vox e Voy. Por meio do princípio de conservação de energia verifica-se que realmente

ele descreve uma trajetória parabólica. Em qualquer instante a Energia Total do Sistema

(W), pode ser dada pela soma da sua Energia Potencial (V) com a Energia Cinética (T).

Porém, para a equação estacionária será utilizada a função l(x(t),y(t)) (equação

da curva em relação ao tempo), para representação a ação (E) do sistema:

Utilizando o Teorema da seção 4.3 e analogia em (4):

Tem-se a parábola:

Em que A e B são constantes.

3 - Curvas Orgânicas

3.1- Laboratório Natural

O naturalista inglês Charles Darwin (1.808-1.889) em sua obra Origem das

Espécies, desenvolveu a Teoria do Evolucionismo. Darwin propunha que a evolução da

espécies se daria pelo princípio da competição e adaptação. Assim indivíduos com

melhores características do que outros, em uma situação particular, teriam melhores

chances para sobreviverem e transmitirem seus genes para futuras gerações. Esta idéia

2

0 0

( )( ) ( ) ( ( ), ( ), )2′ ′= − + =∫ ∫

t tml tE t mgl t dt F l t l t t dt (12)

(14)

(E(t)=E é o funcional que representa a ação do sistema)

δ ∂ ∂ = − ′∂ ∂

F d FEl dt l

2

2gtl At B= − + +

(13)

11

pode ser perfeitamente adaptada para explicar porque certos formatos prevalecem sobre

outros, isto é, porque durante o processo evolutivo alguns grupos de curvas se

adaptaram melhor a certas condições do que outras. Para externar essa idéia dentro de

um modelo, pode-se recorrer ao uso dos Algoritmos Genéticos. Num processo análogo a

idéia darwinista, este algoritmo efetua testes e adaptações afim de encontrar dentro um

conjunto de formas aquela que melhor atende um objetivo. Diferentemente do Cálculo

Variacional, que busca uma solução analítica, os Algoritmos Genéticos funcionam

como grandes simuladores naturais. O mais interessante é que seus resultados são

similares aos encontrados pelo Cálculo Variacional, comprovando assim que a

tendência da natureza em tirar partido de um melhor aproveitamento com o uso mínimo

de esforço (energia), é um princípio convergente e independe do instrumento usado para

sua verificação.

3.2 – Algoritmos Genéticos

Os Algoritmos Genéticos (GA - Genetic Algorithms) são mecanismos de

pesquisa baseados no processo de seleção natural e na combinação genética. Sua idéia

principal é fazer com que indivíduos com certas características especiais, isto é, aqueles

com mais afinidade com a função de estudo, sobrevivam e se combinem. Os GA(s)

utilizam processos de escolha e combinação randômicos, seguindo algumas regras

probabilísticas. Isto se deve ao fato de poder rastrear com menos vínculos um conjunto

maior de indivíduos evitando cair em convergências a pontos de máximos e mínimos

locais [4,5].

John Holland da Universidade de Michigan foi o grande introdutor e pesquisador

dos GA(s) nos problemas de busca e otimização de funções. Sua preocupação em

solucionar sistemas, cuja complexidade do processamento acarretaria num aumento de

custos obrigou-o a desenvolver um novo mecanismo que fosse eficaz e eficiente.

Holland baseou seu projeto segundo o raciocínio que sistemas artificiais seriam menos

práticos do que soluções que seguissem regras de refinamento como os encontrados na

natureza (sistemas biológicos). Ao perceber como as características genéticas eram

testadas, melhoradas e combinadas a cada nova geração, Holland traçou um paralelo de

como tais operações poderiam ser inseridas dentro de um modelo de pesquisa. Motivo

este no qual se verá que muitos termos provindos da genética foram aproveitados para

descrever algumas etapas do processo. A primeira monografia de Holland sobre o

12

assunto foi Adaptation in Natural And Artificial Systems (1.975), que serviu de subsídio

para que diversos outros autores explorassem e aprimorassem o tema.

O desenvolvimento do algoritmo é bem simples. A partir de uma função

objetivo, é lançada de modo aleatório uma população inicial. Os números são

convertidos em uma base binária descrevendo o que é conhecido como cromossomo

numérico. A partir de um processo de seleção que leva em consideração o melhor

desempenho de um indivíduo ao cumprimento da função objetivo, grupos de

cromossomos par a par são escolhidos para reprodução. Num mecanismo similar ao

crossing over trocas de partes de seus genes são efetuadas e eventualmente ocorrem

mutações possibilitando a variação numérica. Uma nova população com isso é gerada e

o processo é reiniciado.

Exemplo:

Sejam dois números 20 e 30, escritos na forma dos cromossomos (formato

binário):[00010100] e [00011110]. Estes dois cromossomos são conhecidos como

cromossomos pais (parents). Seleciona-se aleatoriamente um ponto de ruptura da

seqüência (ponto de crossing), por exemplo, posição 6 : [000101.00] e [000111.10].

Permutando as duas partes do cromossomos pais, cria-se uma próxima geração

(offspring) de indivíduos : [00011100] e [00010110] que decodificados representam

respectivamente os números 28 e 22.Por sua vez se for efetuado uma mutação na

seqüência [00011100], modificando-se seu último alelo obtem-se [00011101], ou seja, o

número 29.

3.3 Comparação e Emprego dos GA(s) para o Cálculo de Máximos e Mínimos

Afim de verificar a eficiência dos Algoritmos Genéticos, considere o caso da

braquistócrona saindo do ponto (0,100) e chegando em (100,0).

13

Para solucionar o problema, considere o percursso de 0 – 100 dividido em 5

trechos a cada 20. O algoritmo escolherá um valor em y para cada ponto do trecho e

efetuará o cálculo do tempo despendido por trecho e o tempo total.

Este problema de percurso é típico em Algoritmos Genéticos e é conhecido

como TSP (Travel Salesman Problem - “caixeiro viajante”). Neste caso o cromossomo

solução é formado pela seqüência de 4 outros cromossomos representando os valores de

y nas posições 20,40,60 e 80, visto que em 0 e 100 os pontos assumem valores fixos de

100 e 0. O percurso final será aquele que fornece o menor tempo, isto é, o cromossomo

mais populoso depois de algumas gerações. A cada cromossomo gerado pode-se

associar um “caminho solução”. Assim, por exemplo, a seqüência (que é uma

possibilidade de trajeto) {64, 50, 32 e 8} codificada para u = g(x) corresponde a {164,

Fig.6 – Braquistócrona (0,00) (100,0)

Fig. 7 – Caminhos possíveis avaliados pelo AG.

14

128, 90 e 21} que pode ser simbolizada pelo cromossomo (base binária): [10100100

10000000 01011010 00010101], composto de 28 alelos.

A função g(x) transforma o número real (R) do intervalo de estudo para o

intervalo natural da codificação da base binária. Assim o intervalo I = [0,100] que

representa as posições y possíveis pode ser convertida para u = g(x) levando em

consideração o comprimento do intervalo Lc = 100-0 = 100.

2 l-1 < Lc < 2l

64 = 26< 100 <27 = 128 (l =7, comprimento do cromossomo)

Assim constrói-se uma função g : [0,100] ⊂ R → [0,127] ∩ N tal que :

Obs.:

a) “round” é a função que retorna o número natural mais próximo. Exemplo: round(1.4)

=1, round(1.6)=2 e round(1.5) =2;

b) g(x) admite a inversa g-1:[0,127] ∩ N → [0,100] ⊂ R.

Executando o programa abaixo, específico para o problema proposto, chega-se

ao seguinte resultado:

00

( )( ) (2 1) ; 0x xu g x round xLc− = = − =

l

7( )( ) (2 1) 100

xu g x round = = −

Fig. 8 – Programa de AG para o cálculo do percurso de tempo mínimo entre (0,100) e (100,0).

15

As posições y1, y2, y3 e y4 se referem respectivamente aos valores nas abcissas

20, 40, 60 e 80. O tempo máximo e mínimo estão relacionados com indivíduos

existentes na geração de estudo. O “tempo médio” é o tempo relacionado com a média

das posições y da geração de trabalho, que ocasionalmente pode ser menor que o tempo

mínimo. Isto ocorre porque o percurso gerado pela média dos y, não é um caminho que

existe na população criada após o algoritmo completar uma interação.

Após 6 gerações, utilizando probabilidade de cruzamento 60% e mutação 1%

obteve-se a seqüência solução de {51.6, 30.1, 19.7 e 10.3}. Comparando os resultados

do Calculo das Variações e AG obtem-se:

Y AG CÁLCULO DAS VARIAÇÕES Yo 100 100 Y1 51.6 56.6 Y2 30.1 35.8 Y3 19.7 20.4 Y4 10.3 9.4 Y5 0 0

3.4 – Frutas, moluscos e ovos

Muitas funções objetivas podem ser cogitadas para que em condições bem

particulares se justifique a adaptação ou não em um determinado contorno. A mais

simples seja talvez a que esteja relacionada com a área e o perímetro. Para polígonos

regulares, inscritos em uma circunferência de raio 1, se for considerada a relação f(n) =

A(n)/P(n) (A(n) área, P(n) perímetro e n número de lados) a convergência para o valor

Tab. 3. – Pontos do AG x Cálculo Variações.

Fig. 9 - Comparação do percurso pelo AG e o Cálculo das Variações.

16

máximo (f(n) = 0.50) se dará quando n�∞. Portanto a circunferência será a figura

geométrica que melhor expressa essa função. Isto justificaria, por exemplo, porque a

árvores adotam em seus troncos formatos próximos ao circulares.Com o uso mínimo de

material obtêm-se uma maior área da seção. Se este conceito for transportado para

relação volume/área, a esfera se mostrará o elemento ideal, sendo por isso que alguns

frutos poderiam adotar estes formatos.

Muitos dizem que a as espirais são as curvas da tradução da vida devido a suas

inúmeras aparições no mundo animal. O próprio DNA enfatiza essa idéia, pois o mesmo

possui o formato de uma hélice. Com certeza as mais surpreendentes espirais são

aquelas que aparecem nas conchas de alguns moluscos [6,7,8,9]. Pela constância com

que tal forma aparece, isto sugere que de algum modo a seleção natural deva ter

escolhido este padrão por ele apresentar particularidades que garantam um melhor

desempenho.

Inúmeros autores já desenvolveram trabalhos nos campos das espirais. O

precursor formal foi Arquimedes descrevendo a espiral na forma r = aθ . Outras

espirais famosas também merecem destaque como a espiral de Galileu (r2 = a2θ ), e

espiral de lituus (r2θ = a2) e logarítmica (r = eaθ). Esta última foi descoberta por René

Descartes (1.596 –1.650), sendo aprimorada por Jacob Bernoulli e Euler. A espiral

logarítmica também é conhecida como bernoulliana e se caracteriza por ser planitotal

(abrange integralmente o plano de trabalho) e nunca atingir seu pólo, fazendo sim

sucessivas voltas ao seu redor. O matemático brasileiro, Júlio Cesar de Mello e Souza

(1.895 – 1.974), conhecido mais como a personagem Malba Tahan em seu livro

Maravilhas da Matemática [7] descreve uma particular propriedade da bernoulliana que

Fig. 10 – Formato esférico em maçãs. Fonte: ABPM

Fig. 11 – Maioria dos cítricos possui o formato esférico. Fonte: www.brasilien.de

17

lhe garante sua simetria e elegância : “a bernoulliana cresce, conservando-se semelhante

a si própria, e exprime, desse modo, o crescimento harmonioso”.

Tecnicamente pode-se definir como espiral “a curva plana gerada por um ponto

P de uma reta que passa sempre por um ponto fixo O, denominado pólo e que gira

uniformemente em torno de O; o ponto P se desloca ao longo da reta OP de acordo com

alguma lei”[6].

Certos moluscos optam por estruturas em hélices e espirais pois elas permitem a

construção de um abrigo de modo mais rápido com o menor uso de material, garantindo

ao indivíduo maiores chances de sobrevivência. Caso esses animais optassem por outro

formato com certeza possuiriam conchas mais confortáveis, por exemplo, se as

construções fossem cilíndricas ou paralelepípedas resultariam em espaços internos

maiores. Porém, demandaria a estes indivíduos um maior tempo de exposição,

tornando-se mais sujeitos a investida de predadores. Para aliviar o incômodo que estes

animais estariam enfrentando devido ao tamanho de seu abrigo constata-se que sua

composição corpórea é extremamente flexível e capaz de se adaptar em todo tipo de

proteção.

Outro elemento de interesse peculiar é o ovo de galinha. Sua seção é circular,

porém o seu perfil é uma catenária. A opção por este perfil contrapondo-se ao da

PO

Fig. 12- Definição da espiral pelo ponto P.

Fig. 13 – Espiral do Nautilus. Fonte: Ecologia e Desenvolvimento nº99 2.002

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circunferência, está relacionado com a melhor forma fluidodinâmica, facilitando ao

certo o trabalho da ave na expulsão do ovo. A casca do ovo antes de ser expulso é

formado por uma tripla camada de pouca consistência. Esta camada é composta por

pequenos poros que são preenchidos com um líquido que dará o contorno final, sendo

este posteriormente evaporado. Portanto na confecção do ovo ele é inflado sofrendo

efeito de tração em suas multidireções. O arco confere uma maior resistência do

conjunto, permitindo a galinha remanejar a disposição dos ovos no ninho com mais

facilidade e ficar sobre os mesmos. Qualquer outro formato, por exemplo, provido de

arestas teria conseqüências desastrosas, devido a criação de zonas de atrito e pontos

frágeis suscetíveis a um maior desgaste e possibilidade de quebra.

Dividindo-se um ovo ao meio no seu sentido longitudinal e desenhando o seu

perfil obtem-se a figura abaixo:

A parte vermelha do gráfico representa aproximadamente o contorno de uma

catenária, dada pela expressão:

Por meio dos resultados gráficos, pode-se compará-los com os valores da

catenária dada pela expressão 3.5 e com a parábola (interpoladora dos pontos) obtida

pelo Método dos Mínimos Quadrados y(x) = 0.061x2-0.249x+0.04.

5

10

15

20

25

30

35

40

55

50

45

0 10 20-20 -10

x

y

Fig. 14 – Perfil longitudinal de um ovo de galinha.

( ) 12.65 cosh 112.65

xy x = −

(15)

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X mm

YGRÁFICO

mm

YCATENÁRIA

mm

�% catenária

YPARÁBOLA

mm �%

PARÁBOLA 0 0 0.0 0.00 0.0 0.00

11 5 5.1 1.96 4.6 8.00 15 10 10.0 0.00 10.0 0.00 18 15 15.1 0.66 15.3 2.00 20 20 19.4 3.00 19.4 3.00

4 – Conclusões

Embora o Cálculo Variacional e os Algoritmos Genéticos justificam até certo

ponto o porquê de alguns contornos assumidos pelas curvas naturais, muitas

ponderações devem ser questionadas. Um exemplo disto é a escolha da função objetivo

no uso dos Algoritmos Genéticos. Definir uma função objetivo não garante

necessariamente que na natureza esta função tenha sido o elemento norteador para a

busca da melhor forma. Ainda mais, os Algoritmos Genéticos pressupõe dentro de um

lançamento de uma população inicial aleatória que ocorram sucessivos refinamentos até

a obtenção do resultado mais satisfatório. Problemas, todavia, surgem dentro desta

concepção. Primeiramente se somente para o desenvolvimento dos algoritmos for

trabalhado o conceito de tentativa e erro (princípio darwinista), em formatos mais

complexos muitas gerações são necessárias até chegar a um resultado ideal. Na

natureza, porém, a evolução promove “saltos qualitativos” sugerindo que de alguma

forma “inteligente” seja estabelecido uma diretriz, evitando assim, a criação de

protótipos que fugissem do objetivo proposto. Isto abrevia de modo significativo a

evolução para um certo formato.

5 - Bibliografia

[1] Maupertius, Pierre Louis Mourea; Essai de Cosmologie; Paris: J. Vrin,

1.984.

[2] Giacaglia, Giogio E.; Mecânica Analítica; Almeida Neves Editores, LTDA

1.978.

[3] Butkov, Eugene; - Mathematics Physics; Addison-Weslwy Publishing

Company, Inc 1.968

Tab. 4 – Comparação entre os resultados do perfil do ovo de galinha dado pela catenária e pela parábola.

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[4] Goldberg, David E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and

Machine Learning – Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

[5] Michalewiczs, Zbigniew; Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution

Programs ; Spring-Verlag 1.994.

[6] Vasconcelos, Augusto Carlos de; Estruturas da Natureza; Studio Nobel 2.000

[7] Tahan, Malba - As Maravilhas da Matemática ; Bloch Editores 1.972

[8] Boll, Marcel – Le Mystrère des Nombres et Des Formes; Augé, Gillion,

Holler-Larousse, Mounreau et Cie, 1.941

[9] Doczi, György – The Power of Limits; Shambhala Publications, Inc. 314

Dartmouth Street, Boston 1.981

6-Dados do Autor

Antonio Carlos Julianelli Ferrão

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Prof. Dr. Alexandre Kawano

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