ANTOLOGIA CALCULO DIFERENCIAL

FRUMENCIO VAZQUEZ ROMERO

AVILA GORDILLO EDUARDOSIERRA CALZADA DIEGO ADRIAN

DAVILA ZARAZUA CARLOSGARDUÑO LOPEZ CARLOS OMARSALDAÑA HERNANDEZ J ADRIAN

HERNANDEZ RAMIRES CRISTHIAN

Límite de una sucesiónLímite de una función de variable realCalculo de limitesPropiedades de los limitesLimites lateralesLimites infinitos y límites al infinitoAsíntotasFunciones continuas y discontinuas en un punto y un intervaloTipos de discontinuidades

LÍMITES Y CONTINUIDAD

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

LIMITE DE UNA SUCESIÓN:

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

Si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota.

Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

La sucesión para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL:

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

“El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades”.

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/L%C3%ADmite_01.svg

CALCULO DE LIMTES:

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto ha, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no

pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES:

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

Lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

Lim (f(x).g(x)) = lim f(x). Lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el límite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

Lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f g, en el punto x = a, es l m.

Lim (f(x)) g(x) = lim (f(x)) lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f (g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x = a, es l.

LIMITES LATERALES:

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a.

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a. 

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una discontinuidad cuando :

Notemos que cuando tiende hacia “a” por la derecha de “a” la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia “a” por la izquierda de “a”, la función tiende hacia 1.

Escribimos para indicar que tiende hacia “a” por la derecha, es decir, tomando valores mayores que “a”. Similarmente indica que tiende hacia “a” por la izquierda, o sea, tomando valores menores que “a”. Utilizando ahora la

notación de límites, escribimos y . Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1. Ejemplo: Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

y

y

 

  Definición de límite por la derecha

 

 

Se dice que si y solo si para cada existe tal

que si entonces es el límite por la derecha

de en “a”.  

   

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es

mayor que cero ya que .

  Definición de límite por la izquierda

 

 

Se dice que si y solo si para cada existe tal

que si entonces es el límite por la

izquierda de en “a”.  

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da. Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida

por:

Primero hagamos la gráfica de la función:

 El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). Ejercicio:

Represente la función definida por y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, si y solo si y

Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe. Ejemplo: Representemos gráficamente la función definida por:

 

Como y , entonces

Como y , entonces no existe. Ejercicio:

Considere la representación gráfica de la función definida por:

De termine si existen cada uno de los límites siguientes:

a.

LIMITES INFINITOS Y AL INFINITOS:

DEFINICION DE VALORES DE FUNCIÓN QUE CRECEN SIN LÍMITE

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo I que contiene a, a,

excepto posiblemente en la misma. Conforme x se aproxima a,    crece sin límite lo cual se escribe como

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a.

ASINTOTAS:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO

Antes que nada que es una función continua?

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

FUNCIÒN CONTINUA EN UN PUNTO

El análisis de la diferencia de continuidad nos demuestra que para ser continua en el punto A una función debe satisfacer los siguientes puntos:

1. la función f debe estar definida en la A de modo que f(A) exista.2. debe existir el límite f(x) cuando  X tiende a “A”3. los números de las condiciones 1,2 deben ser iguales.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES:

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Consideremos el concepto de tendencia de la función: f(x), en la proximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de límite, más formal.

Diremos que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiende a por la izquierda, si a medida que x toma valores más próximos a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c un número real, entonces decimos que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por la izquierda.

Si cuando x se aproxima a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a, toma valores cada vez mayores, sin poder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, diremos que la función tiende a infinito cuando x tiende a por la izquierda, del mismo modo si cuando x se aproxima progresivamente a, sin llegar a ser a y con valores inferiores a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un número real mínimo que la función no pueda superar, decimos que la función tiende a menos infinito, cuando la variable tiende a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a por la izquierda.

Si cuando la variable x toma valores progresivamente más próximos a, pero distintos de a e inferiores a, la función oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo Ls el valor real más pequeño que la función no puede superar cuando x tiende a por la izquierda, y Li es el valor más alto para el que la función permanece por encima cuando x tiende a por la izquierda, diremos que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiende a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene límite.

Si para valores de x próximos a, inferiores a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número real como resultado de f(x), diremos que f(x) no existe a la izquierda de a.

Por el mismo razonamiento podemos determinar la tendencia de la función f(x), cuando x tiende a, sin llegar a ser a y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidos por la izquierda.

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en el punto a: f(a), podremos determinar la continuidad de la función en el punto a, o los distintos tipos de discontinuidad.

EJERCICIOS:

Ejercic ios resuel tos de cálculo de l ímites de funciones

1

Calcular los s iguientes l ímites:

1

2

3

4 En los puntos x = -1 y x =1

En x = -1, los l ímites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el l ímite y vale 1.

En x = 1, los l ímites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los l ímites laterales no t iene l ímite en

x = 1.

5

6

7

Ejercic ios resuel tos de cálculo de l ímites de funciones

2

Calcular los l ímites cuando x t iende a menos inf in i to:

1

2

3

No existe el l ímite, porque el radicando toma valores

negat ivos.

4

Ejercic ios resuel tos de cálculo de l ímites de funciones

9

Hal lar los s iguientes l ímites:

1

2

3

4

No t iene l ímite en x = -1

5

6

7

Ejercic ios resuel tos de cálculo de l ímites de funciones

7

Calcular los l ímites:

1

2

3

4

5

Al elevar el b inomio del numerador al cuadrado obtenemos

x 4 , y por tanto el grado del numerador es mayor que el grado

del denominador.

6

Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una funciónFunción inyectiva, suprayectiva y biyectivaFunción real y su representación graficaFunciones algebraicas, polinomial, racional e irracionalFunciones transcendentes, trigonométricas y exponencialesFunción definida por más de una regla de correspondencia, función valor absolutoOperaciones con funciones, adición, multiplicación y composiciónFunción inversa, logarítmica, trigonométricas inversasFunción con dominio en los numero naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitasFunción implícita

UNIDAD 2 FUNCIONES:

UNIDAD 2 FUNCIONES:

CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CONDOMINIO, Y RECORRIDO DE UNA FUNCION:

Función 

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).  En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. 

Dominio

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado condominio. El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado condominio o rango de la función, también llamado imagen o recorrido, este conjunto son los valores que puede tomar la función; son todos los valores de las Y.

Una función consiste, entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x. 

Rango

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Rango o recorrido o conjunto imagen

Cálculo del rango o recorrido

Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R =   − {2}

FUNCION INYECTIVA, SUPREYECTIVA Y BIYECTIVA:

Función inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f (− 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividadDados dos conjuntos y, entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:Si además existe otra aplicación inyectiva, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B

Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva.En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.Formalmente,

para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.EjemploLa función es biyectiva.Luego, su inversa también lo es.

Función sobreyectiva

Ejemplo de función sobreyectiva.En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el condominio, es decir, cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de “Y” es la imagen de como mínimo un elemento de “X”.

FUNCION REAL DE LA VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACION GRAFICA:

Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales es llamada una función valorada real o simplemente una función real.

Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.

Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.

Al igual que en cualquier otra función, también una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.

Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.

El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.

Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”.

En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y con-dominio de su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real.

Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una función.

En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se llamará gráfica de la función valorada real.

Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es un par ordenado de números reales (x1, x2) y la salida, es decir, el gráfico formado es un triplete (x1, x2, f(x1, x2).

Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación:

1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.

El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X. Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, si no la línea se formará por debajo del eje-x.

En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x. Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará la gráfica.

2. Función Identidad y Gráfico: Una función identidad es una función f: X → Y que tiene la propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X.

La gráfica de esta función es una línea recta que se traza en un ángulo de cuarenta y cinco grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos.

Tal función toma un elemento para sí mismo y nunca cambia su dominio. Ejemplo, f (x) = x, en este caso una línea en un ángulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a través del origen y formará la gráfica.

3. Función Módulo y Gráfico: Una función módulo o una función valorada absoluta es una de la siguiente manera, f(x) = x, f(x) = {x >= 0, -x <= 0}

4. Función Recíproca y Grafico: Una función recíproca es una como la que sigue, f(x) = 1/x, donde x <> 0

FUNCIONES ALGEBRAICAS, FUNCION POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL:

Funciones Algebraicas, Funciones Polinomiales, Funciones Racionales y Funciones Irracionales

Cualquier función que satisfaga una ecuación polinómica en la cual todos los coeficientes son polinomios se llama función algebraica. Si hablamos en términos de terminología matemática, una función algebraica es una función f(x) X Y que satisface la ecuación p (x, f (x)). Aquí p (x, y) es una ecuación polinómica con todos sus coeficientes como enteros y lo es en términos de X e Y.

Entre los ejemplos de funciones algebraicas, todas aquellas funciones que pueden construirse con la ayuda de un número escaso de operaciones matemáticas básicas, donde además su inversa creada sea capaz de hacer lo mismo, son incluidas en la definición. Las funciones que no son algebraicas, o que no satisfacen la ecuación, se llaman funciones trascendentes.

Una curva algebraica es la gráfica de una función algebraica, la cual es en realidad un conjunto cero de cualquier polinomio en función de dos variables. Todas las funciones racionales son también funciones algebraicas, mientras que lo contrario no es cierto, en esencia. Un ejemplo de la función algebraica puede ser:

Esto es porque y = f(x) forma una solución de la ecuación polinómica y2 – x = 0. Una función que posea a x como valor de entrada, y que esté compuesto de un número de términos donde cada término tiene dos factores propios se llama función polinómica. De cada uno de los términos de los dos factores, uno es un número real, mientras que el otro se obtiene al elevar un número entero no negativo como una potencia de x del mismo.

Estas son de la forma general:

El valor de n es siempre positivo, también puede ser cero, pero nunca negativo y todos los coeficientes son números reales. El mayor valor de n es conocido como el grado de la función polinómica, aquí el valor de an nunca puede ser igual a cero, por lo que se conoce como el término principal.

Una función polinómica con una sola expresión es llamada también función monomial; sin embargo su comportamiento es el mismo. Una función polinomial con n como grado no puede tener más que n raíces diferentes. En este ejemplo la raíz de un polinomio es cualquier número z tal que f (z) = 0.

Una función f: X Y es llamada función racional si es la razón de dos funciones polinómicas. No es necesario que los valores que se introducen en la función o los coeficientes de la función polinomial sean racionales para ser una función racional.

La notación utilizada para denotar una función racional es la siguiente.

En tal escenario, P(x) y Q(x) son funciones polinómicas en términos de x, y es esencial que Q(x) no sea una función polinomial de grado cero. Un ejemplo de una función racional puede ser la siguiente;

F(x) = (x2 + 1)/ (x – 1) donde (x2 + 1) y (x – 1) ambos son polinomios en términos de x y el polinomio (x – 1) no es un polinomio de grado cero. Una función f: X Y es llamada como un número irracional si sólo contiene números irracionales en el con-dominio de su conjunto.

FUNCIONES TRANSCENDENTES, TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES:

Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la var iable independiente

f igura como exponente, o como índice de la raíz, o se hal la

afectada del s igno logar i tmo o de cualquiera de los s ignos que

emplea la t r igonometría.

Función exponencial

Sea a un número real posit ivo. La función que a cada

número real x le hace corresponder la potencia a x se l lama

función exponencial de base a y exponente x .

Funciones logarí tmicas

La función logarí tmica en base a es la función inversa de

la exponencial en base a.

Funciones tr igonométr icas

Las funciones tr igonométricas asocian a cada número

real , x, e l valor de la razón tr igonométr ica del ángulo cuya

medida en radianes es x.

Función seno

F(x) = sen x

Función coseno

F(x) = cosen x

Función tangente

F(x) = tg x

Función cosecante

F(x) = cosec x

Función secante

F(x) = sec x

Función cotangente

F(x) = cotg x

FUNCION DEFINIDA POR MÁS DE UNA REGLA DE

CORRESPONDENCIA, FUNCION VALOR ABSOLUTO:

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya sean rectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.

Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.

También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.

En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.

Operaciones Con Funciones Función Adición Función Multiplicación Función Composición

Función de Adición, Función de Multiplicación, Función de Composición

Al igual que en cualquier otra cantidad matemática, es posible realizar operaciones básicas en las funciones.

Es posible sumar dos funciones, restar dos funciones, multiplicar dos funciones, dividir dos funciones y también hacer composiciones unas con las otras.

La suma de dos funciones está denotada por g(x) y f(x) es g + f.

Consideremos dos funciones,

La suma de las dos funciones producirán una sola función como,

Ahora bien, el dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Para simplificar la tarea de la suma de dos funciones, sólo añada las salidas de estas dos funciones.

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,

g(x) = x2 + 2 y,

f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como

(g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

La suma de dos funciones puede entenderse como graficar una de las funciones y tomar la función de ese gráfico como el eje x de la otra función.

Al igual que se suman dos funciones, también es posible multiplicar dos funciones.

Esto es similar a la suma de dos funciones, simplemente en lugar de ser una operación de suma uno necesita realizar la función de multiplicación.

La salida de la multiplicación de dos funciones producirá,

El dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Como la suma de dos funciones, para llevar a cabo la multiplicación de dos funciones, uno simplemente tiene que multiplicar la salida de las dos funciones de entrada.

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y,

f(x) = √x

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

La multiplicación de una función consigo misma se denota como,

f2(x) = f(x) . f(x)

también es posible multiplicar una función con cualquier cantidad escalar.

Esto es fácil de realizar, sólo multiplique cada una de las salidas con esa cantidad escalar.

La inserción de una de las funciones con otra función es llamada composición de la función.

De este modo, el rango de la función insertada se convertirá en el dominio de la función en la cual se insertó. También se conoce como la aplicación de una función sobre el resultado de otra función.

Hablando en términos matemáticos, la composición de una función g: X Y sobre la función f: Y Z es computar la salida de la función f(x) cuando la entrada de la función es f(x) y no x.

La composición de dos funciones siempre satisface la propiedad asociativa. Esto es, si consideramos tres funciones f, g, h. La composición de estas tres funciones,

f 0 (g 0 h) = (f 0 g) 0 h

Aquí el paréntesis es utilizado para indicar la prioridad mientras se realiza la composición de las funciones.

La composición de funciones es también conmutativa, esto es, g 0 f = f 0 g. Pero esto no es cierto en todos los casos.

La composición de dos funciones se denota como,

FUNCION INVERSA, FUNCION LOGARITMICA, TRIGONOMETRICA INVERSA:

Funciones Inversas, Funciones Logarítmicas, Funciones Trigonométricas Inversas

Cualquier función que deshaga una función es llamada función inversa en matemáticas.

A la luz de la declaración anterior se puede concluir que para la función f: X → Y si utilizamos una entrada x para producir y como salida.

La función inversa g: Y → X produciría a x como salida mientras que y sería la cantidad de entrada.

Una función invertible es aquella que tiene una función inversa propia.

El inverso de tal función f es denotado por f−1 y es determinado de forma única.

Para una función dada f: X → Y, su inverso se representa como,

Aquí se puede decir que tanto f(x) como f−1 (x) son reflejos una de la otra sobre la recta x=y.

Cada función que posee una inversa debe satisfacer la condición que establece que para cada elemento en el dominio de la función existe un único elemento para el cual ningún otro elemento en el dominio de la función puede corresponder.

Por tanto es posible decir que cada elemento en el rango y en el dominio de la función está apareado en una asociación única.

Cada elemento del rango de la función está asociado con un único elemento del dominio de la función y cada elemento del dominio de la función está asociado con un único elemento del rango de la función.

Encontrar la inversa de una función es muy sencillo. Tomemos como ejemplo,

f(x) = 2x + 3

Convierta la ecuación anterior a la forma de variable de x e y. y = 2x + 3 y – 3 = 2x y – 3/ 2 = x

Para encontrar el inverso de la ecuación anterior, simplemente intercambie las variables x e y en sus respectivos lugares,

x – 3/ 2 = y sería la inversa de la función de entrada.

Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma, <img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cd1004.png’ alt=” title=” />

Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno.

Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero.

Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial.

También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado.

Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron a problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Observe el ejemplo siguiente,

x = 10y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener,

y = 10x

Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas.

Por tanto la ecuación se convertirá en, <img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cd1005.png’ alt=” title=” />

La cual puede ser resuelta utilizando la tabla log.

Las funciones inversas de las funciones trigonométricas se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones ciclométricas.

Estas son el general funciones con múltiples valores. La afirmación anterior puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo. Supongamos que z tiene muchos valores. Ahora la ecuación, Z=sen W

Por lo que no puede existir un valor único de la inversa de esta ecuación hasta que tengamos un valor principal definido para w.

Estas funciones no satisfacen la definición de función inversa, ya que su rango es subconjunto del dominio de las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación junto con sus notaciones alternativas.

1. sin−1 z arcsin z 2. cos−1 z arcos z 3. tan−1 z acrtan z 4. sec−1 z arcsec z 5. cosec−1 z acrcosec z 6. cot−1 z arccot z

FUNCION CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS:

Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas

Considere un conjunto N, una función f: X Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

<img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal22.jpg’ alt=” title=” /> o

<img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal23.jpg’ alt=” title=” /> o

<img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal24.jpg’ alt=” title=” />

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,

<img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal25.jpg’ alt=” title=” />

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…} {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

<img src=’http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal26.jpg’ alt=” title=” />

Que también puede ser denotado por,

FUNCION IMPLICITA:

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función

implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y

respecto de x: .

Si consideramos es una función en términos de la variable

independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y,

dado que , entonces para obtener la derivada:

EJERCICIOS DE FUNCIONES:

Segunda unidad.

Funciones.

F (x)= (a+b)2

X=2 x=x2+2x+4x=(2)2+2(2)+4x=4+4+4x=12

y=x2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

X

Una función f es en conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento x de D a un elemento único y de E.

Calcular F (-6), f (√3¿¿, f (a+b)F (-6) = (-62) =36F (√3¿¿= (3)2= 3

Y X9 34 21 10 01 -14 -29 -3

F (a+b) = (a+b)2 = a2+2ab+b2

Calcular F (x) = x2 +4x -3F (1) f (-1) f (0) f (√2¿¿F (1)= (1)3+4(1)-3 =1+5-3 =3F (-1)= (-1)3+4(-1)-3 =-1-4-3 =-8F (0)= (0)3+4(0)-3 =0-3 =-3F (√2¿¿= (√2¿¿3+4(√2¿¿-3 =(1.4142)3 +4 (1.4142) -3 =8.4851-3 =5.4851

Calcular F (x)= (x2+2x)2

F (-2), (-3), (0)F (-2)= ((-2)2+2(-2))2 =0F (-3)= ((-3)2+2(-3))2 =27F (0)= ((0)2+2(0))2 =0

a) X2-5 Y X4 3-1 2-4 1-5 0-4 -1-1 -24 -3

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

b) y=-x2

-10 -8 -6 -4 -2 0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

Calcular.

1) F (x) = 4-2x2+x4

F (0), f (1), f (-1), f (2)F (0) = 4-2 (0)2+ (0)4=4F (1) = 4-2 (1)2+ (1)4=3F (-1) = 4-2 (-1)2+ (-1)4=3F (2) = 4-2 (2)2+ (2)4=12

Y X-9 3-4 2-1 10 0-1 -1-4 -2-9 -3

2) F (x) = x3 -5x2 -4x+20

F = (t+1)F (t+1) = (t+1)3 -5 (t+1)2 -4 (t+1) +20= (t)3 +3 (t)2 (1) +3 (t) (1)2 -4 (t+1) +20= t3 + 3t2 +3t +1-5 (t2 + 2t +1) -4 t 2+4 + 20= t3 + 3t2 -5t2 +3t +10t -4t +1+5 +4 + 20= t2 -2t2 +9t +30

3) F(x) = x3-5t2-4x +20

F (1), f (5), f (3), f (7), f (-1)F (1) = (1)3 -5 (1)2 -4 (1) +20 = 12F (5) = (5)3 -5 (5)2 -4 (5) +20 = 0F (3) = (3)3 -5 (3)2 -4 (3) +20 = -10F (7) = (7)3 -5 (7)2 -4 (7) +20 = 90F (-1) = (-1)3 -5 (-1)2 -4 (-1) +20 = 28

Graficar.

F (x) = 3-x2

F (3) = 3 – (3)2 = -6F (2) = 3 – (2)2 = -1F (1) = 3 – (1)2 = 2F (0) = 3 – (0)2 = 3F (-1) = 3 – (-1)2 = 2F (-2) = 3 – (-2)2 = -1F (-3) = 3 – (-3)2 = -6

Y X-6 3-1 22 13 02 -1-1 -2-6 -3

-8 -6 -4 -2 0 2 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

F (x) = x2 +1

F (3) = (3)2 +1= 10F (2) = (2)2 +1= 5F (1) = (1)2 +1= 2F (0) = (0)2 +1= 1F (-1) = (-1)2 +1= 2F (-2) = (-2)2 +1= 5F (-3) = (-3)2 +1= 10

Y X10 35 22 11 02 -15 -210 -3

0 2 4 6 8 10 12

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

F (x) = 2 - x3

F (3) = 2 – (3)3 = -25F (2) = 2 – (2)3 = -6F (1) = 2 – (1)3 = 1F (0) = 2 – (0)3 = 2F (-1) = 2 – (-1)3 = 3F (-2) = 2 – (-2)3 = 10F (-3) = 2 – (-3)3 = 29

Y X-25 3-6 21 12 03 -110 -229 -3

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

F (x) = x2 -4

F (3) = (3)2 -4 = 5F (2) = (2)2 -4 = 0F (1) = (1)2 -4 = -3F (0) = (0)2 -4 = -4F (-1) = (-1)2 -4 = -3F (-2) = (-2)2 -4 = 0F (-3) = (-3)2 -4 = 5

Y X5 30 2-3 1-4 0-3 -10 -25 -3

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

a) F (x) = x2-1

F (-5), f (-√3¿¿, f (3), f (6)

F (-5) = (-5)2 -1 = 24

F = (−√3¿¿= (-√3¿¿2= (-3) -1 = -4

F = (3) = (3)2 -1 = 35

b) F (x) = -2 x2 +x

F (-5), f (1/2), f (2), f (7)F (-5) = -2 (-5)2 + (-5) = -55F (1/2) = -2 (1/2)2 + (1/2) = 0F (2) = -2 (2)2 + (2) = -6F (7) = -2 (7)2 + (7) = -91

La recta numéricaLos números realesPropiedades de los números realesIntervalos y su representación mediante desigualdadesResolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con un incógnitaValor absoluto y sus propiedadesResolución de desigualdades que incluyen valor absoluto

UNIDAD 1 NUMEROS REALES:

LA RECTA NUMERICA:

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

LOS NUMEROS REALES:

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, (trascendentes y algebraicos).Los irracionales y los trascendentes [1] ( 1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas,

tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII[2] .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[3] En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues

no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.4 Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos

encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.5 Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta. Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como

números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos. Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES:

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación

Cerradura

Conmutativa    

Asociativa    

Distributiva 

 

Identidad    

Inverso   

 

Propiedad de la cerraduraLa propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

 

Propiedad conmutativaLa propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

 

Propiedad asociativaLa propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

 

Propiedad distributivaLa propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.

 

Propiedad de identidad (elemento neutro)La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inversoLa propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

   el inverso aditivo para esta suma es el número

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

,   el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

INTERVALOS Y SU PRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES:

Una desigualdad es de una forma: 10 + 3 es mayor que 6. Se le representa por: Desigualdad: 10 + 3 > 6

Esta desigualdad se transforma en inecuación, cuando se introduce una incognita: Inecuacion: 10 + x > 6

En la recta numérica existe una relación de orden.

Cuando tenemos dos puntos de la recta numérica A y B, se pueden dar una de tres alternativas:

A es mayor que B A > BA es igual a B A = BA es menor que B A < B

 Entonses por lo siguiente:

A > B v A=B

Destacamos que a < b es equivalente a b>a y así con otras expresiones, que se pueden “dar vuelta”.

Intervalos en los Reales (IR)

La Expresión: {x IR / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de todos los números reales que están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”.

   Tipos de Intervalos:

Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza por: ( )

Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza po: [ ]

Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ )

Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ]

 Representación GRAFICA de intervalos:

[-3,6]        -3< x < 6     (4,9)       4 < x < 9      (1,+ ∞)    1 < x < + ∞  

RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA

Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no es mayor que 1.

Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.

La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.

Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.

Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.

Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema. Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.

Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades pueden ser muy útiles:

1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,

2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – z

Esto es, el curso de una desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o restado.

3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo

xz > yz cuando z es negativo

Es decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el mismo número negativo se añade en ambos lados de la desigualdad.

4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a.

Se dice que las desigualdades en la misma dirección se pueden resumir.

5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La dirección de la desigualdad cambia cuando los recíprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.

Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un ejemplo:

Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9

Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x < 9

Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada anteriormente, obtenemos

6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8

Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las desigualdades cambiarán, es decir

−5/4 x > −2

Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES:

En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2]

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto es un espacio de Banach

RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO:

Una vez que el signo de igual es reemplazado por una desigualdad, graficar valores absolutos cambia un poco. Volvamos al ejemplo anterior, |m| = 7.5, pero ahora cambia el signo de = a ≤. Ahora tenemos una desigualdad de valor absoluto: |m| ≤ 7.5.

Piensa en el reporte del tiempo: “Hoy en la tarde era de 0°, y la temperatura cambió por lo menos 7.5° desde entonces.” Nota que no se especifica en qué dirección se movió la temperatura, y no dice exactamente cuánto cambió — sólo dice que la temperatura cambió por lo menos 7.5°. Podemos representar ésta idea con la declaración |cambio en la temperatura| ≤ 7.5°.

Para averiguar el rango de valores de m que satisfacen la desigualdad, necesitamos evaluar ambas posibilidades para |m|: m podría ser positivo o negativo. Si m es positivo, entonces |m| y m son el mismo número.  Si m es negativo, entonces |m| es el opuesto de m, esto es, |m| es -m. Entonces en éste caso tenemos dos posibilidades, m ≤ 7.5 y -m ≤ 7.5. Necesitamos resolver ambas:

Ejemplo

Problema  |m| ≤ 7.5

Solución:   m

≤ 7.5 -m ≤ 7.5

-m • -1 ≥ 7.5 • -1

Solución:       m

≥ -7.5

 

Es importante recordar algo: cuando multiplicas ambos lados de la desigualdad por un número negativo, como acabamos de hacer para convertir -m en m, el signo de desigualdad se invierte.

Entonces m puede ser menor o igual que 7.5, o mayor o igual que -7.5. Nota que el rango de soluciones incluye ambos puntos (-7.5 y 7.5) además de los puntos entre ellos. Aquí está la gráfica de la desigualdad en la recta numérica:

 

 

Podríamos decir que “m es mayor o igual que -7.5 y menor o igual que 7.5.” Si m es cualquier punto entre -7.5 y 7.5 incluido en la recta numérica, entonces la desigualdad |m| ≤ 7.5 será válida. Podemos escribir esto como -7.5 ≤ m ≤ 7.5. Esta notación ubica el valor de m entre esos dos números, justo como están en la recta numérica.

Veamos una situación diferente. Evaluaremos el valor absoluto de la desigualdad |g| > 4.

Ejemplo

Problema   |g| > 4

Solución: g >  4 -g >  4

-g • -1 <  4 • -1

Solución:

g <  -4

 

Encontramos que g puede ser mayor que 4 o menor que -4. Si graficamos estas dos posibilidades en la recta numérica, se vería así:

 

La gráfica muestra un rayo (una línea que inicia en un punto y que continúa hasta el infinito) empezando en -4 y que va hasta el infinito negativo, y otro rayo que empieza en +4 va hasta el infinito positivo. Podríamos decir “g es menor que -4 o mayor que 4.” Esto puede ser escrito algebraicamente como -4 >g > 4. Esta notación nos dice que g puede tomar cualquier valor, menos el que hay entre esos números.

Nota la diferencia entre ésta gráfica y la gráfica de |m| ≤ 7.5. En |m| ≤ 7.5, el rango de posibilidades que satisfacen la desigualdad se encuentre entre los dos puntos. En |g| > 4, sin embargo, el rango de posibles soluciones se encuentra fuera de los puntos, y se extiende hasta el infinito en ambas direcciones.

Una forma rápida de identificar si la desigualdad de valor absoluto será graficada como un segmento entre dos puntos o como dos rayos que van en direcciones opuestas es ver la dirección del signo de la desigualdad en relación con la variable.

Por ejemplo, piensa en la desigualdad |x| ≤ 2, la cual podría representar a alguien paseando a su perro con una correa que mide dos pies. El perro puede jalar hacia adelante toda la longitud de la correa, o quedarse atrás hasta que la correa lo jala. Él no puede alejarse más de 2 pies de la persona en cualquier dirección. En otras palabras, el perro puede estar a una distancia menor o igual que la longitud de la correa. En el lenguaje del álgebra, la posición del perro puede ser descrita por la desigualdad -2 ≤ x ≤ 2. La constante es el valor máximo, y la gráfica será un segmento entre dos puntos.

Ahora considera la desigualdad opuesta, |x| ≥ 2. Imagina un estudiante que quiere ir a una universidad que esté a dos horas o más de su casa. Él puede escoger una universidad tres horas al este, u otra cinco horas al oeste — el irá a donde sea,

siempre y cuando esté por lo menos a dos horas. No hay límite superior para qué tan lejos irá. En términos matemáticos, la situación se puede escribir como la desigualdad -2 ≥ x ≥ 2. La constante es el valor mínimo, y la gráfica de ésta situación será dos rayos que apuntan hacia el infinito negativo y positivo y excluyen cada valor que esté a 2 del origen.

EJERCICIOS:

Ejercicios recta numérica

-6

1) Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real.(intervalos)

a)  

[ -3, 2] 

b)  

[4, 8)

c)          

(-¥, -2)

d)  

(-5, 2)

e)       

[1, +¥ )

f)  

(-2, 4]

1desigualdades cuadráticas.

x2 − 6x + 8 = 0

7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

2 −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S = 

3

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

(-∞ , −2 ]   [2, +∞)

44x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

5

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

(-∞, −16]   [4, ∞)