Antenas Antenas lineares - 1 Ø Funções potenciais...
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Ø Funções potenciais auxiliares
• Na análise dos problemas de radiação o procedimento normal é o de se especificar as fontes de radiação sendo depois necessário obter o campo radiado perlas fontes.
• É prática comum a introdução de funções auxiliares, chamadas de potenciais, que irão dar uma ajuda na resolução dos problemas.
• A função potencial mais utilizada é a A (potencial magnético) e V (potencial eléctrico).
• É possível calcular os campos E e H a partir das densidades de corrente, no entanto normalmente é muito mais fácil calcular primeiro as funções potenciais auxiliares e depois determinar E e H.
• A é igual a:
∫−
=V
rj
dVr
eJA
β
πξ4
• Para a determinação dos campos electromagnéticos a partir da distribuição de densidade de corrente (J) efectuam-se três passos:
o determina-se A a partir de J;
o determina-se H a partir de A ( AH ×∇=µ1 );
o e finalmente E a partir de H ( Hj
E ×∇=ωξ1 ).
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Ø Dipolo infinitesimal
• Consideremos o dipolo eléctrico infinitesimal no espaço livre que consiste num pequeno condutor (l<<λλ) que se encontra colocado na origem do sistema de coordenadas e orientado segundo o eixo z. A corrente no condutor tem um valor constante.
• Para a determinação do campo electromagnético gerado por um dipolo infinitesimal vamos seguir os três passos já referidos.
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Ø Dipolo infinitesimal
• A função potencial auxiliar A será:
( ) rjz
l
l
rjz
V
rj
er
lIadze
r
IadV
r
JezyxA ββ
β
πµ
πµ
πµ −+
−
−−
=== ∫∫ 4ˆ
4ˆ
4,, 0
2
2
0
• Vamos passar o resultado para coordenadas esféricas:
−−=
z
y
xr
A
A
A
sen
sensen
sensensen
A
A
A
0cos
coscoscos
coscos
θφθφθφθ
θφθφθ
φθ
como Ax=Ay=0 obtemos:
=
−=−=
==−
−
04
cos4
cos
0
0
φ
β
θ
β
θπ
µθ
θπ
µθ
A
senr
leIsenAA
rleI
AArj
z
rj
zr
• Podemos obter H a partir de A:
( )
∂∂
−∂∂
=×∇=θµµ φφ
rArA
rraAH
1ˆ
1⇔⇔
+=
==
− rj
r
erjr
lsenIjH
HH
βφ
θ
βπθβ 1
14
0
0
• O campo eléctrico é agora calculado a partir de H
jE ×∇=
ωξ1 :
( )0
111
4
11
2
cos
20
20
=
−+=
+=
−
−
φ
βθ
β
ββπθβ
η
βπθ
η
E
errjr
lsenIjE
erjr
lIE
rj
rjr
onde ξµη = é a impedância do meio.
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Ø Dipolo infinitesimal
v Densidade de potência e resistência de radiação
• Para um dipolo infinitesimal o vector de Poynting complexo será:
( ) ( ) ( ) ( )**** ˆˆ2
1ˆˆˆ
2
1
2
1φθφθφφθθ HEaHEaEaEaEaHEW rrrr −=×+=×=
• A componente radial Wr e a componente transversal Wθθ do vector de Poynting são dadas por:
( )
( )
+=
−=
232
2
0
32
22
0
11
16
cos
11
8
rr
senlIjW
rj
r
senlIWr
βπθθβ
η
βθ
λη
θ
• A potência complexa que se move na direcção radial é obtida integrando Wr sobre uma esfera de raio r:
( )
−== ∫∫ 3
2
0 11
3.
rj
lIdsWP
S βλπ
µ
• A componente transversal Wθθ da densidade de potência não contribui para este resultado, ou seja, o valor obtido não representa a potência complexa total radiada pela antena.
• Como Wθθ é puramente imaginária (reactiva), não irá contribuir para qualquer potência realmente radiada. No entanto, contribui para a potência reactiva total juntamente com a parte imaginária de P.
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Ø Dipolo infinitesimal
v Densidade de potência e resistência de radiação
• A densidade de potência reactiva, dominante para pequenos valores de ββr, tem componentes radiais e transversais. Esta energia move-se para trás e para a frente formando uma onda estacionária com o dobro da frequência da excitação da antena.
• A potência radiada será então:
2
0
3 λπ
ηlI
Prad =
• Como a antena radia a sua potência através da resistência de radiação:
rrad RIlI
P2
0
2
0
2
1
3==
λπ
η
onde Rr é a resistência de radiação. Considerando que para o espaço livre ηη=ηη0≈≈120ππ obtemos:
22
2
0 803
2
=
=
λπ
λπ
ηll
Rr
• Para uma antena ser classificada como dipolo infinitesimal, o seu comprimento tem de ser muito pequeno (normalmente l≤≤λλ/50).
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Ø Dipolo infinitesimal
v Distância de radiação
• Campo próximo (near-field - ββr<<1)
o Nesta região (ββr<<1 ou r<<λλ/2ππ) podemos simplificar as expressões para a intensidade de campo eléctrico e magnético:
1
2
02
cos2
20
30
30
<<
≈
===
−≈
−≈
−
−
−
r
senr
leIH
HHE
senr
leIjE
r
leIjE
rjr
rj
rj
r
β
θπβ
θπβ
η
θπβ
η
β
φ
θφ
β
θ
β
o As componentes do campo eléctrico Er e Eθθ estão em fase e em quadratura com a componente Hφφ do campo magnético. A potência média será então nula.
• Campo intermédio (intermediate-field - ββr>1)
o À medida que o valor de ββr se torna significativo, os termos que eram dominantes para ββr<<1 tornam-se desprezíveis e as expressões para os campos podem ser aproximadas como:
1
2
02
cos2
0
0
20
>
≈
===
≈
≈
−
−
−
r
senr
leIjH
HHE
senr
leIjE
rleI
E
rjr
rj
rj
r
β
θπβ
θπβ
η
θπβ
η
β
φ
θφ
β
θ
β
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Ø Dipolo infinitesimal
v Distância de radiação
• Campo distante (far-field - ββr>>1)
o Para distâncias onde ββr>>1 os campos podem ser aproximadas por:
1
2
02
0
0
>>
≈
====
≈
−
−
r
senr
leIjH
HHEE
senr
leIjE
rjrr
rj
β
θπβ
θπβ
η
β
φ
θφ
β
θ
o A relação entre Eθθ e Hφφ é dada por:
ηφ
θ ==E
EZw
Zw impedância da onda
ηη impedância característica (≈≈120ππ para o espaço livre)
o O campo E e H são perpendiculares entre si e transversais em relação è direcção de propagação.
o A forma do diagrama de radiação não depende da distância r.
o Os campos radiados formam uma onda electromagnética transversal (TEM) cuja impedância é igual à impedância característica do meio de propagação.
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Ø Dipolo infinitesimal
v Directividade
• A densidade de potência média radiada numa dada direcção é dada por:
( )2
22
02*
42ˆ
2
1ˆRe
2
1
r
senlIaEaHEW rrav
θπ
βηη θ ==×=
• A intensidade de radiação é dada por:
( ) 22
22
02 ,,242
φθη
θπ
βηθ rE
rsen
lIWrU av =
==
• O valor máximo ocorre em θθ=ππ/2 e é igual a: 2
0
42
=
πβη lI
Umáx
• A directividade será então:
2
340 ==
rad
máx
P
UD π
e a máxima área efectiva será:
πλ
πλ
8
3
4
2
0
2
=
= DAem
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Ø Dipolo finito
• A distribuição de corrente num dipolo pode ser descrita com uma boa aproximação por:
( )
<
+
>
−
=0
2
0 2
0
0
zzl
senI
zzl
senIzI
β
β
• Esta distribuição assume que a antena é alimentada no centro e que a corrente é nula nos extremos.
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Ø Dipolo finito
• Neste caso estamos só interessados no far-field. Nesta zona a contribuição de cada elemento de corrente Idz é dado por:
( )dzsen
R
ezIjdE
Rj
θπ
βη
β
θ 4
−
≈
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Ø Dipolo finito
• R é ligeiramente diferente de r que é medido a partir da origem. No far-field quando R>>r:
( ) θθ coscos2 21
22 zrrzzrR −≈−+=
• Somando todas as contribuições infinitesimais obtemos Eθθ:
( )∫∫−+
−== dzezIsen
r
ejdEE zj
rjl
l
θββ
θ θπ
βηθ cos2
2 4
• Obtemos assim o valor de Eθθ:
−
=−
θ
βθ
β
πη
β
θ sen
ll
r
eIjE
rj 2coscos
2cos
20
e a partir de Eθθ podemos obter Hφφ:
−
≈≈−
θ
βθ
β
πη
βθ
φ sen
ll
r
eIj
EH
rj 2coscos
2cos
20
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Ø Dipolo finito
v Densidade de potência, intensidade de radiação e resistência de radiação
• Para um dipolo o vector de Poynting médio pode descrito por:
[ ] [ ]
×=×=×=
ηθ
φθθφφθθ
*** ˆˆRe
2
1ˆˆRe
2
1Re
2
1 EaEaHaEaHEWav
2
22
2
02 2coscos
2cos
82
1ˆˆ
−
===θ
βθ
β
πη
η θ sen
ll
r
IEaWaW ravrav
• E a intensidade de radiação será:
2
2
2
02 2coscos
2cos
8
−
==θ
βθ
β
πη
sen
llI
WrU av
• À medida que o comprimento da antena aumenta o lóbulo principal torna-se mais estreito e como tal a sua directividade também aumenta.
• A largura do feixe a meia potência é igual a:
l<<λλ 90o l=λλ/4 87o l=λλ/2 78o l=3λλ/2 64o l=λλ 47,8o
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Ø Dipolo finito
v Densidade de potência, intensidade de radiação e resistência de radiação
Diagrama de radiação de potência normalizado (a 0 dB)
• Quando o comprimento aumenta acima de um comprimento de onda, o número de lóbulos do diagrama de radiação também aumenta.
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Ø Dipolo finito
v Densidade de potência, intensidade de radiação e resistência de radiação
Diagrama de radiação para um dipolo de l=1,25λλ
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Ø Dipolo finito
v Densidade de potência, intensidade de radiação e resistência de radiação
• A potência radiada total é obtida integrando o vector de Poynting médio.
∫∫= dsWP avrad .
• A resistência de radiação pode ser calculada a partir de:
2
0
2
0
2
2
1
I
PRRIP rad
rrrad =⇔=
Resistência de radiação e directividade de um dipolo a radiar no espaço livre
(ηη≈≈120ππ) em função do seu comprimento
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Ø Dipolo finito
v Resistência de entrada
• Vamos assumir que a antena não tem perdas (RL=0). A potência aos seus terminais é igual à potência no máximo de corrente.
rin
inrinin R
I
IRR
IR
I2
0
2
0
2
22
=⇔=
Rin resistência de radiação à entrada da antena Rr resistência de radiação no máximo de corrente I0 máximo de corrente Iin corrente de entrada aos terminais
• Para um dipolo de comprimento l:
20
lsenIIin
β= obtemos então
=
22 l
sen
RR r
in β
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Ø Dipolo finito
v Resistência de entrada
• Quando o comprimento é um múltiplo de λλ obtemos Iin=0, a resistência de radiação terá que ser infinita.
• Na prática isto não acontece porque a distribuição de corrente não é perfeitamente sinusoidal (especialmente no ponto de alimentação) tem no entanto valores altos.
• As fórmulas para a resistência de radiação e resistência de entrada são baseadas numa distribuição ideal de corrente e não tomam em atenção a espessura do condutor e o espaçamento no ponto de alimentação.
• A espessura do condutor não influencia significativamente o valor das resistências.
• O espaçamento no ponto de alimentação tem um papel significativo especialmente quando a corrente no ponto de alimentação é pequena.
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Ø Dipolo finito
v Dipolo de meio comprimento de onda
• Uma das antenas mais utilizadas é o dipolo de meio comprimento de onda. Os campos gerados por esta antena são:
≈−
θ
θπ
πη
β
θ senr
eIjE
rj cos2
cos
20
≈−
θ
θπ
π
β
φ senr
eIjH
rj cos2
cos
20
• A densidade de potência é dada por:
2
22
2
0
cos2
cos
8
=θ
θπ
πη
senr
IWav
e a intensidade de radiação por:
2
2
2
02
cos2
cos
8
==θ
θπ
πη
sen
IWrU av
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Ø Dipolo finito
v Dipolo de meio comprimento de onda
• A potência radiada total é obtida integrando o vector de Poynting médio.
∫ ∫∫ ∫∫∫
===π ππ π
φθθ
θπ
πηφθθ
2
0 0
2
2
2
02
0 0
2
cos2
cos
8. dd
sen
IddsenrWdsWP av
S
avrad
• Esta integração é feita por métodos numéricos:
2
0
2
0 54,36435,28
II
Prad ≈≈π
η
• A directividade de um dipolo de λλ/2 será então:
643,144 20 ≈== =
radrad
máx
P
U
P
UD πθππ
• A correspondente máxima área efectiva é:
22
0
2
13,0643,144
λπ
λπ
λ≈≈= DAem
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Ø Dipolo finito
v Dipolo de meio comprimento de onda
• A resistência de radiação no espaço livre (ηη=120ππ) será:
( )Ω≈≈= 73
54,36222
0
2
02
0 I
I
I
PR r
r
• A resistência de entrada é igual à resistência de radiação porque o máximo de corrente para um dipolo de λλ/2 ocorre aos terminais da antena
• A reactância associada à impedância de entrada de um dipolo é também função do seu comprimento (para l=λλ/2 é igual a j42,5).
• A impedância de entrada de um dipolo de meio comprimento de onda é de Zin=73+j42,5 ΩΩ. De modo a conseguir-se anular a parte imaginária da impedância, a antena é encurtada até que a reactância desapareça.
• Dependendo da espessura do fio, o comprimento do dipolo onde ocorre a primeira ressonância (Zin real) é cerca de l=0,47λλ a l=0,48λλ.
• Quanto mais fino for o fio mais próximo o comprimento será de 0,48λλ. Ou seja, quanto mais grosso for o dipolo menor terá este de ser de modo a atingir-se a ressonância de λλ/2.