Análise Modal Complexa de um Rotor com Efeito...
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AN ´ ALISE MODAL COMPLEXA DE UM ROTOR COM EFEITO GIROSC ´ OPICO ´ Adamo Ramalhete Ferraz Projeto de Gradua¸c˜ao apresentado ao Curso de Engenharia Mecˆanica da Escola Polit´ ecnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios ` aobten¸c˜ ao do t´ ıtulo de Engenheiro. Orientador: Thiago Gamboa Ritto Rio de Janeiro Fevereiro de 2017
Transcript of Análise Modal Complexa de um Rotor com Efeito...
ANALISE MODAL COMPLEXA DE UM ROTOR COM EFEITO
GIROSCOPICO
Adamo Ramalhete Ferraz
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Thiago Gamboa Ritto
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
ANALISE MODAL COMPLEXA DE UM ROTOR COM EFEITO
GIROSCOPICO
Adamo Ramalhete Ferraz
PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Aprovada por:
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto , Dr. Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
FEVEREIRO DE 2017
Ramalhete Ferraz, Adamo
Analise Modal Complexa de um Rotor com Efeito
Giroscopico/ Adamo Ramalhete Ferraz. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politecnica, 2017.
XIII, 45 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Thiago Gamboa Ritto
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2017.
Referencias Bibliograficas: p. 35 – 37.
1. Rotor. 2. Jeffcott. 3. Analise modal. 4. Modos
complexos. I. Gamboa Ritto, Thiago. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia
Mecanica. III. Analise Modal Complexa de um Rotor com
Efeito Giroscopico.
iii
A minha famılia.
iv
Agradecimentos
Agradeco a minha famılia e aos meus amigos que me motivam e incentivam a
tentar tornar nosso mundo um lugar melhor, ao professor Thiago Ritto pela con-
fianca, dedicacao e apoio ao longo de todo o projeto. A todos os integrantes do
LAVI, muito obrigado por toda ajuda, pelo acolhimento e pela amizade.
Tambem sou muito grato ao corpo docente da Engenharia Mecanica da UFRJ que
formaram a base necessaria para a realizacao deste projeto e ao corpo administrativo
que sempre se mostrou apto a ajudar na solucao de problemas.
vi
Resumo do Projeto apresentado a UFRJ como parte dos requisitos necessarios para
a obtencao do grau de Engenheiro em Ciencias (B.Sc.)
ANALISE MODAL COMPLEXA DE UM ROTOR COM EFEITO
GIROSCOPICO
Adamo Ramalhete Ferraz
Fevereiro/2017
Orientador: Thiago Gamboa Ritto
Programa: Engenharia Mecanica
Este projeto tem como objetivo embasar conceitos fundamentais da rotor-
dinamica e estudar a influencia do efeito giroscopico nos modos de vibracao em
rotores diferentes. Os modos sao calculados a partir da analise modal complexa,
que e um ramo mais geral da analise modal classica ja consolidada na literatura.
A analise modal complexa difere no fato de que alem de resolver o problema de
autovalor comum do sistema, e tambem necessario resolver um outro problema de
autovalor semelhante, obtendo como consequencia os autovetores a esquerda, teoria
que sera explicada aqui tambem. Serao calculados os diagramas de Campbell e os
tres primeiros modos de vibracao para tres exemplos diferentes, um exemplo didatico
modificado de um livro, um rotor de uma bancada de testes ja existente e por ultimo
uma bancada hipotetica semelhante a de testes. Os modos serao calculados e com-
parados visualmente e atraves do calculo de um criterio chamado Modal Assurance
Criterion (MAC), ferramenta na engenharia que permite calcular a similaridade
entre dois vetores.
Palavras-chave: Rotor, Jeffcott, analise modal, modos complexos
vii
Abstract of Project presented to UFRJ as a partial fulfillment of the requirements
for the degree of Engineer of Science (B.Sc.)
COMPLEX MODAL ANALYSIS OF A ROTOR WITH GYROSCOPIC EFFECT
Adamo Ramalhete Ferraz
February/2017
Advisor: Thiago Gamboa Ritto
Department: Mechanical Engineering
The objective of this project is to present fundamental concepts of rotor dynamics
and to study the influence of the gyroscopic effect on the modes of vibration in
different rotors. The modes are calculated through complex modal analysis, which
is a wider branch of the classical modal analysis. Its main difference relies on the fact
that besides solving the usual eigenvalue problem, it is necessary to solve another
similar eigenvalue problem as well (left eigenvectors), theory which is going to be
explained here. The analysis will be based on the first three modes of vibration and
on the Campbell diagram for three different examples, a rigid rotor with four degrees
of freedom, a flexible rotor mounted on rolling bearings utilized for experimental
observations and a hypothetic rotor. The modes will be calculated and compared
through visual inspection and comparison of the Modal Assurance Criterion (MAC)
value, which is a tool that allows to compare the similarity between two given vectors.
Keywords : rotor, Jeffcott, modal analysis, complex modes.
viii
Sumario
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
1 Introducao 1
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dinamica de Rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Mancais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Modelagem de Rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Analise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Modelagem de Rotores 8
2.1 Rotor de Jeffcott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Equacoes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Vibracao Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Rotor Rıgido com 4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Modelagem da Bancada de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Analise Modal Complexa para Sistemas Rotativos 20
3.1 Teoria Basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Resposta no Tempo e Modos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Modal Assurance Criterion - MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Algorıtimo Implementado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ix
4 Resultados 26
4.1 Exemplo 4 GDLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Resultados da Bancada de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Revisao e Conclusoes 34
Referencias Bibliograficas 35
A Revisao de Vibracoes 38
A.1 Sistema Massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.2 Sistema Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.3 Resposta a Excitacao Harmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.3.1 Multiplos Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
x
Lista de Figuras
1.1 Exemplos de sistemas rotativos [1, 2, 3, 4] . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Modelos de rotores de parametros discretos: deflexao transversal com
2 GDLs (a), angular com 2 GDLs (b), transversal e angular com 4
GDLs (c) e rotor rıgido sobre mancais flexıveis (d). [5] . . . . . . . . 4
1.3 Turbina a gas SGT6-8000H, 17 estagios . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Desacoplamento modal de um sino vibrante (adaptado de [6]) . . . . 7
2.1 Vista Lateral e Secao Transversal do Rotor de Jeffcott . . . . . . . . 9
2.2 Rotacao sıncrona e rotacao nao sıncrona retrograda . . . . . . . . . . 11
2.4 Vibracao Lateral de um Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Diagrama de Campbell para um rotor balanceado bi-apoiado sobre
suportes rıgidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Representacao de um rotor com 4 graus de liberdade. . . . . . . . . . 17
2.7 Rotor da bancada de testes, de [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Modelo da bancada de testes reduzido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Diagrama de Campbell do rotor rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Modos de vibracao a 100 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Comparacao dos modos de vibracao do rotor rıgido, a 10 rad/s (ver-
melho) e a 100 rad/s (preto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Diagrama de Campbell da bancada de testes . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Tres primeiros modos de vibracao a 10000 rpm backward (primeira
coluna), e forward (segunda coluna). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Primeiros e segundos modo de vibracao forward a 10000 rpm (preto)
versus 100000 rpm (vermelho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7 Diagrama de Campbell da rotor hipotetico . . . . . . . . . . . . . . . 31
xi
4.8 Tres primeiros modos de vibracao a 1000 rpm backward (primeira
coluna), e forward (segunda coluna). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.9 Primeiros e segundos modo de vibracao forward a 1000 rpm (preto)
versus 100000 rpm (vermelho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.1 Sistema massa-mola simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.2 Sistema massa-mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.3 Curva dos possıveis casos de amortecimento em funcao do tempo . . . 40
A.4 Variacao da amplitude maxima em funcao da razao de frequencias . . 43
A.5 Sistema massa-mola com dois graus de liberdade (2 GDLs) . . . . . . 44
xii
Lista de Tabelas
2.1 Dados dos elementos do modelo reduzido da bancada de testes (em
milımetros). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Frequencias naturais da bancada de testes em rpm. . . . . . . . . . . 29
4.2 Frequencias naturais da bancada hipotetica em rpm. . . . . . . . . . 32
xiii
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Objetivo
Este projeto tem como objetivo estudar os modos de vibracao de um rotor sob
efeito giroscopico. Sera realizado o desacoplamento em base modal do sistema,
utilizando os fundamentos da analise modal complexa, o que permite observar os
modos separadamente um a um.
Para tal utilizaremos os princıpios em um exemplo de um rotor rıgido sob man-
cais flexıveis, em uma bancada de testes, montada no Laboratorio de Acustica e
Vibracoes - COPPE/UFRJ (LAVI) e numa bancada hipotetica semelhante a de
testes.
1.2 Dinamica de Rotores
Maquinas rotativas representam a maior e mais importante classe de maquinas
usadas para transporte de fluidos, geracao de energia, propulsao de aeronaves, dentre
outros [8]. Exemplos comuns sao motores eletricos, turbinas de aviao, de geracao de
energia (hidreletricas, eolicas), compressores, entre outros.
Na literatura, diversos autores renomados no ramo da rotordinamica ja consolida-
ram bons livros, cada um com abordagens e aplicacoes diferentes [5, 8, 9, 10, 11, 12].
Rotores imersos em um meio fluıdico, equipados com discos e/ou impelidores,
que podem girar a velocidades muito elevadas sao capazes de converter um pequeno
volume de combustıvel em uma grande quantidade de energia para atingir o objetivo
1
desejado.
Figura 1.1: Exemplos de sistemas rotativos [1, 2, 3, 4]
Somente com um entendimento adequado da maquina pode-se evitar acidentes
e melhorar o seu rendimento, o que torna o estudo da dinamica de rotores algo de
extrema importancia.
1.3 Componentes
As maquinas rotativas variam muito de acordo com a sua aplicacao, ha diver-
sos componentes que tem suas caracterısticas alteradas. Logo a tarefa de definir
especificamente cada componente pode ser impraticavel, porem a seguir mostramos
aspectos predominantes de cada uma das tres principais partes que compoem as
maquinas rotativas, o rotor, o estator e os mancais, de acordo com [9].
1.3.1 Rotor
O rotor e o componente mais importante das maquinas rotativas [9] e assim como
qualquer componente e suscetıvel a falhas. Ele e composto por um eixo cilındrico,
que normalmente possui diametro variavel ao longo da sua extensao, e pelas pas do
rotor, que atuam no processo de transformacao da energia.
Altos nıveis de energia associados ao giro da maquina sao acumulados por ele,
parte dela e transformada no produto final, todavia a restante e convertida de ma-
2
neira nao desejavel, como por exemplo: calor, ruıdo e vibracoes dos proprios com-
ponentes [5].
1.3.2 Estator
Como o proprio nome diz, o estator representa a parte estacionaria da maquina,
na qual os mancais estao apoiados, ele serve como involucro mantendo o fluido
de trabalho confinado dentro dele e sua principal funcao e alinhar a direcao do
escoamento, porem vale ressaltar que para que nao haja vazamentos e necessaria a
instalacao de selos. Em turbinas e compressores e comum que haja pas no estator,
sendo elas responsaveis tambem pela transformacao da energia e redirecionamento
do fluido.
1.3.3 Mancais
O rotor esta apoiado sobre os mancais que por sua vez estao apoiados no estator,
podemos dizer que a funcao principal dos mancais e conectar um componente girante
a um estacionario, perdendo o mınimo possıvel de energia.
Existem inumeros tipos de mancais, cada um indicado para um tipo de aplicacao,
mancais de rolamento sao de simples instalacao e indicados para maquinas de pe-
queno porte, ja para maquinas de grande porte utiliza-se mancais hidrodinamicos,
cujas propriedades variam com a velocidade de operacao do equipamento.
Os mancais magneticos ganham mais espaco no mercado a cada ano, devido ao
fato de permitir ao rotor girar no ar, o que reduz muito o coeficiente de atrito.
Porem sua implementacao alem de ser mais complexa exige elevado custo energetico
para gerar o campo necessario para levitar a maquina.
1.4 Modelagem de Rotores
Rotores sao classificados de acordo com as suas caracterısticas, um rotor robusto
cuja a deformacao do eixo e desprezıvel na velocidade de operacao pode ser modelado
como um rotor rıgido, um eixo cuja rigidez tende ao infinito. Caso a deformacao
nao possa ser desconsiderada entao trata-se de um rotor flexıvel. Nao e possıvel
determinar em qual dessas categorias o rotor se enquadra observando apenas as
3
suas dimensoes. Ha uma banda de frequencias, velocidades de rotacao em que as
deformacoes sao mais expressivas e outras que nao tanto, dentre outros fatores,
cabendo ao pesquisador interpretar qual a melhor consideracao a ser feita [12].
De maneira analoga podemos falar sobre os mancais que suportam a estrutura,
caso a rigidez dos mancais seja muito maior que a do eixo, podemos modela-los
como mancais rıgidos, e o rotor como flexıvel. Caso o oposto seja verdade, entao
os mancais serao flexıveis e a estrutura rıgida. Na fig. 1.2 a)-b) temos exemplos de
rotores flexıveis de 2 graus de liberdade (GDLs), na primeira apenas o movimento
x, y e considerado, ja na segunda apenas o movimento angular θx, θy e considerado,
ambos serao detalhados nos capıtulos adiantes. Na fig. 1.2 c) vemos um rotor flexıvel
sob mancais rıgidos, com 4 GDLs (x, y, θx, θy) e na fig. 1.2 d) um rotor rıgido sob
mancais flexıveis com 4 GDLs tambem.
Figura 1.2: Modelos de rotores de parametros discretos: deflexao transversal com 2
GDLs (a), angular com 2 GDLs (b), transversal e angular com 4 GDLs (c) e rotor
rıgido sobre mancais flexıveis (d). [5]
Apesar de ambos mancais e rotor serem flexıveis, faz-se a simplificacao de modo
a compreender melhor as caracterısticas principais do sistema e obter uma visao
qualitativa de sua resposta. Todavia, para o projeto pratico de rotores e necessario
nao so entender as caracterısticas qualitativas dele, como tambem quantifica-las
para garantir que o equipamento siga as normas apropriadas, como por exemplo as
normas do American Petroleum Institute (API).
A abordagem mais comum utilizada para tal feito e o Metodo de Elementos
Finitos (ou FEA do ingles, Finite Element Analysis), que consiste em discretizar
um corpo complexo numa malha de elementos reduzidos, que podem ser unidimen-
4
sionais, bidimensionais ou tridimensionais. Entao determina-se as caracterısticas
principais, como elasticidade, inercias, massas, forcas externas atuantes em cada ele-
mento de forma a obter as equacoes que governam o sistema, por ultimo realiza-se o
acoplamento dos elementos a partir das condicoes de contorno para entao podermos
realizar a analise.
E intuitivo pensar que este processo eleva substancialmente o custo computaci-
onal, como tambem a complexidade do problema. Tomemos como exemplo a fig.
1.2 d) que seria equivalente a um elemento com 4 GDLs, a solucao dele requer que
4 equacoes diferenciais ordinarias (EDOs) sejam resolvidas simultaneamente devido
ao acoplamento entre os GDLs (θx influencia no movimento em x e vice-versa, por
exemplo). Ao discretizarmos este mesmo corpo em uma malha unidimensional de 3
elementos, terıamos 4 nos, logo precisarıamos resolver 4x4 = 16 EDOs.
Imagine a simulacao de uma turbina de multiplos estagios, como por exemplo a
SGT6-8000H, fig.1.3, que possui 17 estagios. Caso fossemos discretizar a estrutura
colocando um no para cada estagio, a dimensao do sistema seria elevada considera-
velmente assim como o tempo de execucao das analises.
Figura 1.3: Turbina a gas SGT6-8000H, 17 estagios
1.5 Analise Modal
Analise modal e uma ferramenta da engenharia que abrange uma gama de ob-
jetivos, tais como reducao de modelos, identificacao e validacao de sistemas, desen-
5
volvimento de modelos baseados em dados experimentais, integridade estrutural,
deteccao de falhas, entre outros [13].
Ela teve inıcio por volta dos anos 40 com o objetivo de compreender melhor a
dinamica de avioes. Durante os anos 70 com o advento dos computadores e softwares
comerciais de captacao de dados experimentais comecou a ganhar mais espaco no
ramo da engenharia.
Atualmente a analise modal classica ja e considerada uma area consolidada,
podendo ser encontrada em inumeras referencias literarias [13, 14, 15, 16, 17] .
A teoria por tras dela e extensa porem, de acordo com [13], podemos nos ater as
principais premissas, que consideram que a estrutura seja linear, invariante no tempo
e obedeca ao teorema de reciprocidade de Maxwell, que pode ser encontrado em [16].
Ela consiste em pegar um sistema de EDOs cujas equacoes de movimento em
coordenadas generalizadas (i.e. x, y, z) sao acopladas, transforma-las para um
sistema de coordenadas modais, tal que as EDOs sejam desacopladas, o que permite
obter uma solucao analıtica fechada da estrutura. Devido a linearidade dos sistemas,
o princıpio da superposicao aplica-se tambem para a resposta tanto no domınio do
tempo quanto no da frequencia, conforme exemplificado pela fig. 1.4 para um sino
vibrando.
A grande dificuldade da analise modal complexa para sistemas sob efeito gi-
roscopico e o surgimento da matriz giroscopica, que e antissimetrica. Ate entao
toda a teoria havia sido desenvolvida baseada em matrizes simetricas, positivas
semi definidas, logo era necessario uma reformulacao para a aplicacao em sistemas
rotativos.
Os primeiros artigos referentes a analise modal complexa considerando o efeito
giroscopico foram escritos por Leonard Meirovitch, no qual ele desacopla as equacoes
de movimento de um satelite sem amortecimento em orbita [18] e resolve o sistema
sob a acao de uma forca harmonica externa [19]. Outros autores deram segmento
ao estudo da analise modal em sistemas rotativos [12, 20, 21, 22].
6
Figura 1.4: Desacoplamento modal de um sino vibrante (adaptado de [6])
7
Capıtulo 2
Modelagem de Rotores
Inicialmente e necessaria uma simplificacao das maquinas rotativas para o me-
lhor entendimento de sua dinamica, neste capıtulo falaremos sobre uma das mode-
lagens mais simples de rotores, porem de importancia acerca dos fenomenos vibra-
cionais em eixos rotativos, o rotor de Jeffcott [23], que lida apenas com translacao
do disco no plano (movimento em x e y).
Um fato interessante sobre a publicacao do artigo feita por Jeffcott e que antes
dela ainda havia muita discussao se era ou nao possıvel exceder velocidades acima da
primeira frequencia natural do sistema, pois isto levaria a amplitudes de vibracoes
cada vez maiores ate a falha do equipamento.
Em seguida sera discutido um modelo que trabalha com a vibracao angular (θx e
θy) desconsiderando o movimento no plano e, por ultimo, uma composicao dos dois
modelos anteriores, que levara em conta os quatro graus de liberdade aqui citados.
2.1 Rotor de Jeffcott
Considere um eixo flexıvel, com massa desprezıvel, bi-apoiado em suas extre-
midades sobre suportes rıgidos, acoplado a um disco desbalanceado na metade de
sua extensao, conforme a figura 2.1. C e o centro de massa do disco, G o centro
geometrico e O e a origem, tomada quando o corpo esta em repouso.
Vamos adotar os referenciais A (inercial), B (solidario ao centro de massa), cujos
vetores unitarios sao (a1,a2) e (b1,b2), respectivamente e tambem Q (solidario ao
centro geometrico). GC = ε e a excentricidade/desbalanceamento do disco, φ e a
8
posicao angular de G, β a posicao angular do desbalanceamento no referencial Q.
Outras hipoteses sao que o eixo gira a uma velocidade ω constante, o movimento
ocorre apenas no plano, nao ha atrito nos mancais e o eixo e isotropico (possui as
mesmas propriedades tanto na direcao x quanto em y).
Figura 2.1: Vista Lateral e Secao Transversal do Rotor de Jeffcott
2.1.1 Equacoes de Movimento
Utilizaremos uma abordagem newtoniana para obter as equacoes de movimento
do disco. ∑∑∑Fext = maC (2.1)
A prova das equacoes de cinematica mostradas em (2.2) e (2.3), assim como
detalhes acerca da notacao utilizada podem ser encontrados em [24].
AaC = BaC + AaG + AωB × (AωB × pC/G) + AαB × pC/G + 2× AωB × BvC
(2.2)
AαB = AαQ + QαB + AωQ × QωB (2.3)
A posicao e aceleracao do centro geometrico G sao escritas como:
pG/O = xa1 + ya2
AaG = xa1 + ya2
(2.4)
9
Tambem note que:
pC/G = ε
ω = AωB = AωQ + QωB = φ+ β
AαB = φ+ β + φ× βBaC = BvC = 0uma vez que B e solidario ao disco;
Substituindo na eq.(2.2) e omitindo o superescrito “A”
aC = xa1 + ya2 + (φ+ β)× [(φ+ β)× ε] + (φ+ β + φ× β)× ε (2.5)
A eq.(2.5) trata de um sistema nao linear que, apesar de representar um modelo
mais fiel, traz consigo um nıvel de complexidade nem sempre necessario visto que a
resposta linear pode atingir bons resultados, dentro de limites.
Tendo em vista a dificuldade em resolver o problema nao linear, Jeffcott propos
que fosse estudado o caso de rotacao sıncrona, que ocorre quando a posicao do
centro de massa e fixa em relacao a Q, ou seja, β = 0→ ω = φ e como assumimos
por hipotese a rotacao do eixo constante, ω = cte → φ = 0. Adotando essas
consideracoes chegaremos a um sistema linear.
Outra possibilidade seria β 6= 0 que e denominada rotacao nao sıncrona, um
exemplo e a precessao inversa, quando β e φ tem sentidos opostos (ver fig. 2.1.1),
podendo ser causada pela auto-excitacao dos mancais e selos, sendo prejudicial a
maquina. Substituindo:
aC = xa1 + ya2 + φ× (φ× ε) = xa1 + ya2 − φ2εb1 (2.6)
Reescrevendo os componentes no referencial inercial,
b1 = a1 cos(φ+ β︸ ︷︷ ︸ωt
) + a2 sin(φ+ β︸ ︷︷ ︸ωt
)
aC = (x− φ2ε cos(ωt))a1 + (y − φ2ε sin(ωt))a2
= (x− ω2ε cos(ωt))a1 + (y − ω2ε sin(ωt))a2 (2.7)
Substituindo a eq.(2.7) em eq.(2.1)∑∑∑F = m(x− ω2ε cos(ωt))a1 +m(y − ω2ε sin(ωt))a2 (2.8)
Vamos trabalhar agora com as forcas resultantes que atuam no sistema, relem-
brando, os suportes sao rıgidos e o eixo flexıvel, de [25] temos que a relacao entre a
10
Figura 2.2: Rotacao sıncrona e rotacao nao sıncrona retrograda
forca, F, aplicada a uma viga bi-apoiada e a deflexao, δ, no ponto medio e:
δ =FL3
48EI(2.9)
Onde a constante E e o modulo de elasticidade do material, I e o momento de
inercia de area e L e o comprimento. Note que essa equacao e uma linearizacao que
relaciona o deslocamento de um ponto a forca aplicada sobre ele:
F =48EI
L3δ = kδ (2.10)
Devido a simetria radial do eixo vamos considerar:
kx = ky = k =48EI
L3, I =
πD4eixo
64
O vetor forca restauradora elastica do corpo e:
Fk = −kxa1 − kya2 (2.11)
Acrescentaremos tambem as equacoes um termo dissipativo linearmente propor-
cional a velocidade:
Fd = −cxa1 − cya2 (2.12)
Entao: ∑∑∑F = −(kx+ cx)a1 − (ky + cy)a2 (2.13)
Igualando as eqs. (2.13) e (2.8) chegamos ao seguinte sistema de equacoes
mx+ kx+ cx = mω2ε cos(ωt)
my + ky + cy = mω2ε sin(ωt)(2.14)
11
Na forma matricialm 0
0 m
xy+
c 0
0 c
xy+
k 0
0 k
xy =
mω2ε cos (ωt)
mω2ε sin (ωt)
(2.15)
ou
[M]x+ [C]x+ [K]x = f (2.16)
Como estamos interessados no estado estacionario, vamos apenas considerar a
solucao particular (Apendice A):
x(t) =ω2ε√
(ω2n − ω2)2 + (2ζωnω)2
cos(ωt− β)
y(t) =ω2ε√
(ω2n − ω2)2 + (2ζωnω)2
sin(ωt− β)
β = arctan
(2ζωnω
ω2n − w2
)(2.17)
Vamos estudar a amplitude radial do sistema, fazendo a seguinte transformada:
r =√x2 + y2 =
ω2ε√(ω2
n − ω2)2 + (2ζωnω)2(2.18)
r
ε=
(ω/ωn)2√(1− (ω/ωn)2)2 + (2ξω/ωn)2
(2.19)
Perceba que dada uma velocidade de operacao do rotor (ω) a orbita executada por
ele sera circular uma vez que r = cte. Isto so e valido quando temos simetria na
secao transversal do eixo (isotropia), caso contrario a orbita sera elıptica.
A fig. 2.3 mostra o comportamento de r/ε em funcao da razao de frequencias
(ω/ωn) para diversos valores da razao de amortecimento. Observa-se que inicial-
mente a posicao do centro geometrico coincide com a origem, e de acordo com o
acrescimo da velocidade a amplitude aumenta ate a ressonancia, quando atinge o
valor maximo, tendendo ao infinito caso nao haja amortecimento. Para velocidades
muito elevadas o raio da orbita do centro geometrico se iguala ao desbalanceamento.
12
Figura 2.3: Variacao da amplitude pela frequencia - Rotor de Jeffcott
2.2 Vibracao Angular
Ate o presente momento estudamos apenas o movimento no plano, na secao a
seguir estudaremos separadamente quais as influencias de vibracoes angulares num
rotor.
Considere um eixo bi-apoiado, que tem um disco (desta vez, balanceado) aco-
plado na metade de sua extensao, os suportes do eixo sao rıgidos e o eixo gira a uma
velocidade constante ω, conforme a fig. 2.4.
Figura 2.4: Vibracao Lateral de um Rotor
A: Referencial inercial;
B: Referencial solidario a a1;
C: Referencial solidario a b2;
D: Referencial do disco, solidario a c3.
Aθx−→ B
θy−→ Cωt−→D
13
De tal forma que as matrizes para mudanca de base sao:
ATB =
1 0 0
0 cos(θx) − sin(θx)
0 sin(θx) cos(θx)
; BTC =
cos(θy) 0 sin(θy)
0 1 0
− sin(θy) 0 cos(θy)
A velocidade angular do disco e:
AωD = AωB + BωC + CωD = θxa1 + θyb2 + ωd3 (2.20)
Para facilitar vamos trabalhar na base C:
AωD =
θx cos(θy)
θy
θx sin(θy) + ω
C
(2.21)
Para as equacoes de movimento temos:
∑(M∗) =
dH∗
dt, onde H∗ = I∗ ×A ωD , I∗ =
I 0 0
0 I 0
0 0 Ip
C
O tensor de inercia mencionado acima e valido para um corpo axissimetrico
cujos eixos principais estao alinhados com os do referencial. No caso de um disco
fino de raio r, I = mr2/4 e Ip = mr2/2.
H∗ =
Iθx cos(θy)
Iθy
Ip(θx sin(θy) + ω)
C
dH∗
dt=
d
dt[Iθx cos(θy)]c1 + Iθx cos(θy)
dc1dt
+d
dt[Iθy]c2 + Iθy
dc2dt
+d
dt[θx sin(θy) + ω]c3 + (θx sin(θy) + ω)
dc3dt
(2.22)
dH∗
dt=
Iθx cos θy − 2Iθxθy cos θy + Ipθxθy sin θy + Ipθyω
Iθy + Iθ2x sin θy cos θy − Ipθ2
x sin θy cos θy − Ipθxω cos θy
Ipθx sin θy − Ipθxθy cos θy
C
(2.23)
14
Por outro lado
∑M∗ =
−kθx cos θy
−kθy−kθx sin θy
C
(2.24)
Onde k representa um fator que indica a resistencia do corpo a torcao (mola
torcional linear : M ∝ θ). Igualando as equacoes (2.23) e (2.24), chegamos ao
seguinte sistema de equacoes nao lineares
kθx cos θy + Iθx cos θy − 2Iθxθy cos θy + Ipθxθy sin θy + Ipθyω = 0
kθy + Iθy + Iθ2x sin θy cos θy − Ipθ2
x sin θy cos θy − Ipθxω cos θy = 0
kθx sin θy + Ipθx sin θy − Ipθxθy cos θy = 0
(2.25)
Trataremos apenas de sistemas lineares, para mais detalhes sobre nao-linearidade
em rotores indica-se a leitura de [5] e [8]. Expandindo em series de Taylor e despre-
zando os termos de ordem superior (sinθx ≈ θx, cos θx ≈ 1, θ2x ≈ 0), chegamos ao
seguinte sistema linear de dois graus de liberdade
Iθx + Ipωθy + kθx = 0
Iθy − Ipωθx + kθy = 0(2.26)
Temos um sistema acoplado acima, uma vez que a resposta de θx depende de
θy e vice-versa, este fenomeno e conhecido como acoplamento giroscopico. Se a
velocidade do disco e nula, ω = 0, o sistema fica reduzido a:
Iθx + kθx = 0
Iθy + kθy = 0
Cuja frequencia natural e: ωn(ω = 0) =√k/I = ω0. Voltando a eq. (2.26) com
ν = Ip/I:
θx + νωθy + ω20θx = 0
θy − νωθx + ω20θy = 0
(2.27)
Reescrevendo na forma matricial: 1 0
0 1
θxθy+
0 νω
−νω 0
θxθy+
ω20 0
0 ω20
θxθy =
0
0
[I]θ + [G]θ + [K]θ = 0 (2.28)
15
Propondo a solucao harmonica θ = θ0ejωt chegamos a −ω2 + ω2
0 −jνω
−jνω −ω2 + ω20
θ0 =
0
0
←→ det
∣∣∣∣∣∣−ω2 + ω2
0 −jνω
−jνω −ω2 + ω20
∣∣∣∣∣∣ = 0
De onde obtemos os quatro autovalores
ω1,2 =νω ±
√(νω)2 + (2ω0)2
2; ω3,4 =
−νω ∓√
(νω)2 + (2ω0)2
2(2.29)
Na eq. 2.29 vemos que, diferente de um sistema massa mola ou do rotor de
Jeffcott, agora a frequencia natural de oscilacao de θx e θy sao funcoes da velocidade
angular do disco ω, conforme mostrado na fig. 2.5. O grafico mostrado e conhecido
como Diagrama de Campbell, ele representa a variacao da frequencia natural com
a velocidade de rotacao. A partir dele podemos determinar as frequencias crıticas
de operacao, para tal, basta tomar a interseccao da reta ω = Ω com as curvas das
frequencias naturais. Observe que para este caso simples com 2 GDLs havera apenas
uma velocidade crıtica em aproximadamente 0, 6 Ω.
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figura 2.5: Diagrama de Campbell para um rotor balanceado bi-apoiado sobre
suportes rıgidos.
Tendo em vista que ω3,4 = −ω1,2, a solucao geral e:
θ(t) = θ1ejω1t + θ2e
jω2t + θ3ejω3t + θ4e
jω4t
= θ1ejω1t + θ3e
−jω1t + θ2ejω2t + θ4e
−jω2t
= θ01 cos(ω1t+ φθx) + θ02 cos(ω2t+ φθy) (2.30)
16
Onde θi sao constantes complexas.
Apesar de matematicamente calcularmos 4 autovalores, devido ao fato deles se-
rem pares de compelxos conjugados e possıvel reescrever a resposta como funcao
apenas de ω1 e ω2. Fisicamente temos duas frequencias naturais.
De maneira simplificada, podemos dizer que a resposta dinamica deste rotor pode
ser decomposta em um somatorio de dois outros sistemas, que vibram em frequencias
diferentes (ω1 e ω2). O primeiro sistema gira no mesmo sentido que o rotor (forward
precession), ja o segundo sistema (associado a ω2) gira no sentido oposto ao rotor
(backward precession), mais detalhes podem ser encontrados em [5, 9].
2.3 Rotor Rıgido com 4 Graus de Liberdade
A derivacao das equacoes de movimento para um sistema com 4 GDLs e extensa
e pode ser encontrada de maneira detalhada em [5, 9]. Neste texto vamos nos ater
apenas ao resultado final da vibracao livre nao amortecida, eq. (2.31).
A B
Figura 2.6: Representacao de um rotor com 4 graus de liberdade.
A massa do sistema resume-se a massa do disco, o eixo e rıgido e os mancais sao
flexıveis e isotropicos, podendo ser diferentes, o mancal da esquerda tem rigidez kA
e o da direita kB.
mx+ kTx+ kCθx = 0
my + kTy + kCθy = 0
Iθx + Ipωθy + kCx+ kRθx = 0
Iθy − Ipωθx + kCy + kRθy = 0
(2.31)
Onde m representa a massa do disco, I o momento de inercia, Ip o momento
de inercia polar, kT , kC e kR , rigidez translacional, de acoplamento (coupling) e
rotacional, respectivamente. Sendo elas calculadas a partir das rigidezes dos mancais
17
e posicao do disco conforme abaixo:
kT = kA + kB
kC = kAa− kBb
kR = kAa2 + kBb
2
(2.32)
Das expressoes em (2.31) podemos observar que as quatros variaveis x, y, θx e θy
estao acopladas e conforme dito no capıtulo introdutorio e possıvel desacoplar este
sistema de equacoes atraves da analise modal.
2.4 Modelagem da Bancada de Testes
A bancada de testes apresentada a seguir faz parte de um projeto do Laboratorio
de Acustica e Vibracoes - COPPE/UFRJ (LAVI), que visa compreender melhor os
efeitos de selos na dinamica de rotores. O prototipo foi desenvolvido pelo aluno
Vinıcius Cortes em seu projeto de graduacao [7], onde podem ser encontradas in-
formacoes detalhadas.
Figura 2.7: Rotor da bancada de testes, de [7].
Trata-se de um rotor flexıvel apoiado sobre dois mancais de rolamento de esferas
SKF 6304-2Z. Ha tambem dois discos acoplados ao eixo que permitem estudo do
desbalanceamento. O material utilizado para a fabricacao do eixo foi Aco 1045, cujo
modulo de elasticidade e Ee = 211 GPa e a massa especıfica e ρe = 7850 kg/m3.
18
Os mancais sao modelados como molas lineares isotropicas, a rigidez equivalente
do rolamento foi calculada no projeto final do aluno Rodrigo de Oliveira [27], que
chegou ao valor de kb = 1, 771 · 108N/m.
A A A A C D D CE E E B B B B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Nó:
Figura 2.8: Modelo da bancada de testes reduzido.
Na fig. 2.8 temos uma malha em 1D do eixo simplificado, composta por 15
elementos, que totalizam 16 nos. Observe que no terceiro e no decimo quarto no,
temos os discos representados por inercias pontuais, de acordo com as dimensoes do
disco. Ja na tab. 2.1 temos informacoes referentes aos elementos da malha.
Tabela 2.1: Dados dos elementos do modelo reduzido da bancada de testes (em
milımetros).
Elemento Disco
A B C D E -
Comprimento 61.91 60.44 48.50 52.75 43.33 10
Diametro 15 15 18 20 40 90
Com os dados acima, podemos entao calcular as matrizes do sistema a partir
da discretizacao por elementos finitos utilizando a modelagem de Euler-Bernoulli
oriundos da toolbox de rotor dinamica para Matlab R© desenvolvida por Friswell et
al. [9]. Sao elas a matriz de inercia, [M], giroscopica, [G], de rigidez, [K] e, caso
fosse considerado, a de amortecimento [C].
19
Capıtulo 3
Analise Modal Complexa para
Sistemas Rotativos
3.1 Teoria Basica
Dado um sistema com n graus de liberdade nao amortecido, sob efeito giroscopico,
sem acao de forcas externas
[M]q + [G]q + [K]q = 0 (3.1)
[G]T = −[G]
Onde as matrizes podem ser obtidas conforme o capıtulo anterior. O vetor de
coordenadas generalizadas q para o caso da discretizacao por elementos finitos fica
da seguinte forma:
q = q1 q2 ... qkT (3.2)
Tal que qi e a coordenada do i-esimo no, de um total de k nos:
qi = xi yi θxi θyiT (3.3)
Como para cada no temos 4 graus de liberdade, entao a dimensao total do sistema
e n = 4k. Reescrevendo no espaco de estado:
x =
qq (3.4)
[J]x+ [B]x = 0 (3.5)
20
[J] =
[M] [0]
[0] [I]
(2n×2n)
, [B] =
[G] [K]
−[I] [0]
(2n×2n)
Assim como nos exemplos anteriores vamos procurar uma solucao do tipo:
q = υeλt (3.6)
Substituindo na eq. (3.4)
x(t) =
λυυ eλt = reλt (3.7)
Substituindo (3.7) em (3.5) e pre-multiplicando por [J]−1 (note que estamos
assumindo que a matriz [J] e inversıvel):
(λr + [J]−1[B]r)eλt = 0→
λr + [J]−1[B]r = 0 (3.8)
Que pode ser reescrito como o problema de autovalor:
[A]r = λr, onde (3.9)
[A] = −[J]−1[B] =
−[M]−1[G] −[M]−1[K]
[I] [0]
Como pode ser verificado em [28] os autovalores de [A] serao n pares de comple-
xos conjugados, assim como seus respectivos autovetores tambem serao n pares de
complexos conjugados:
Autovalores: λ1, λ∗1, λ2, λ
∗2, ... , λn, λ
∗n
Autovetores: ri, r∗i , ... (i = 1,2, ... ,n)
Vamos tornar nossa atencao agora para o problema de autovalor de [A]T :
[A]T` = λ` (3.10)
Os autovalores de ambos problemas serao os mesmos, uma vez que:
det([A]− λ[I])︸ ︷︷ ︸relacionado a eq. (3.9)
= det ([A]− λ[I])T = det([A]T − λ[I])︸ ︷︷ ︸relacionado a eq. (3.10)
21
Ja os autovetores serao diferentes em geral e assim como em (3.9) teremos n
pares de complexos conjugados:
Autovalores: λ1, λ∗1, λ2, λ
∗2, ... , λn, λ
∗n
Autovetores: `i, `∗i , ... (i = 1,2, ... ,n)
Denominaremos as possıveis solucoes r como autovetores a direita e ` como au-
tovetores a esquerda. Conforme demonstrado em [18, 26] os autovetores a esquerda
e a direita possuem uma propriedade chamada de bi-ortogonalidade:
`′s[J]ri = 0, λs 6= λi
`′s[B]ri = 0, λs 6= λi (3.11)
Tanto os autovetores a esquerda quanto a direita formam subespacos vetoriais.
Tendo em maos os dois grupos de autovetores, podemos definir a matriz modal dos
autovetores a direita e a matriz modal dos autovetores a esquerda
[r] = [ri, r∗i , ... ](2n×2n)
[`] = [`i, `∗i , ... ](2n×2n)
De forma analoga a analise modal classica, podemos diagonalizar as matrizes [J]
e [B] multiplicando-as por [`′] e [r] a esquerda e a direita respectivamente (para mais
detalhes, ver o capıtulo 9 de [26]). De tal forma que obtemos as seguintes matrizes
diagonais de massas e rigidezes modais:
[`′][J][r] =
. . .
m(r)m
m(r)m
∗
. . .
= [Jm] (3.12)
[`′][B][r] =
. . .
k(r)m
k(r)m
∗
. . .
(3.13)
Normalizaremos os autovetores conforme segue:
[ ˜] = [`][Jm]−12
[r] = [r][Jm]−12
22
Aplicando a propriedade da bi-ortogonalidade chegamos a:
[ ˜′][J][r] = [I] (3.14)
[ ˜′][B][r] = −[Λ], onde (3.15)
[Λ] =
. . .
λi
λ∗i. . .
O resultado acima e de extrema importancia, pois representa o desacoplamento
das equacoes de movimento de um sistema sob efeito giroscopico.
3.2 Resposta no Tempo e Modos Complexos
Recapitulando as equacoes do sistema no espaco de estado porem agora consi-
derando um forcamento externo:
[J]x+ [B]x = f(t) (3.16)
Vamos passar as coordenadas do espaco de estado para o espaco modal atraves
da seguinte transformacao:
x(t) = [r]η(t) (3.17)
Pre-multiplicando a eq.(3.16) por [ ˜′] e substituindo as coordenadas para o espaco
modal:
[ ˜′][J][r]η(t) + [ ˜′][B][r]η(t) = [ ˜′]f(t)
[I]η(t)− [Λ]η(t) = F (t) (3.18)
Onde F (t) = [ ˜′]f(t) e o vetor forca em coordenadas modais. Perceba que a
eq. (3.18) representa um sistema de 2n EDOs de 1a ordem desacopladas, composto
por n pares de complexos conjugados, sendo necessario resolver apenas n delas. A
reposta geral da i-esima coordenada ηi(t) sera:
ηi(t) = ηi(0)eλit +
∫ t
0
Fi(t)eλi(t−τ)dτ (3.19)
23
Para encontrar as condicoes iniciais do problema:
η(t) = [r]−1x(t)→ η(0) = [r]−1x(0) (3.20)
Podemos calcular a inversa da matriz modal a direita atraves da propriedade de
bi-ortogonalidade:
[ ˜′][J][r] = [I]→ [r]−1 = [ ˜′][J] (3.21)
η(0) = [ ˜′][J]x(0)
ηi(0) = ˜′i[J]x(0) (3.22)
A resposta no tempo em termos dos autovetores fica:
x(t) = [r]η(t) =n∑i=1
(riηi(t) + r∗i ηi(t)
)→
x(t) = 2Re
( n∑i=1
(ri(
˜′i[J]x(0)eλit + ˜′
i
∫ t
0
f(t)eλi(t−τ)dτ)))
(3.23)
Onde Re indica a parte real do valor. Caso nao haja forca externa:
x(t) = 2Re
n∑i=1
ri(
˜′i[J]x(0)eλit
)(3.24)
Como os autovetores a direita formam um subespaco em R2n, podemos reescrever
as condicoes iniciais como:
x(0) =2n∑s=1
αsrs (3.25)
Entao:
˜′i[J]x(0) = ˜′
i[J]2n∑s=1
αsrs =2n∑s=1
αs ˜′i[J]rs
= αi se s = i
= 0 se s 6= i
(3.26)
Substituindo, temos a seguinte resposta no tempo:
x(t) = 2Re
( n∑i=1
riαieλit
)(3.27)
Observe que a resposta e composta por um termo oscilatorio no tempo, eλit,
por um escalar, αi, e por um vetor que indica a proporcao entre as coordenadas do
espaco de estado, ri, de onde podemos concluir que este ultimo termo representa o
i-esimo modo de vibracao do sistema.
24
3.3 Modal Assurance Criterion - MAC
MAC e uma ferramenta dentro da analise modal que surgiu na decada de 80
com o intuito de validar modelos a partir de medicoes experimentais. Dados dois
vetores u e v, por exemplo, podemos calcular o MAC entre eles a partir da seguinte
formula:
MAC(u, v) =||v′u||2
(v′v)(u′u)(3.28)
O valor retornado sera um numero real entre 0 e 1, de acordo com a similaridade
entre os vetores calculados, sendo que 1 indica vetores identicos e 0 ortogonais.
Apesar de ter sido desenvolvido para validacao de modelos experimentais, sua
aplicacao pode ser estendida para comparar vetores de quaisquer natureza. Para
o nosso caso, utilizaremos o MAC para observar a variacao do i-esimo modo entre
duas velocidades de rotacao distintas.
3.4 Algorıtimo Implementado
Ate entao foram citados trabalhos de outros autores que serviram como auxılio
para a elaboracao do algorıtimo utilizado para gerar os resultados, que sera explicado
a seguir. O codigo escrito em Matlab R© sera disponibilizado no software LaviROT
apos testes para corrigir eventuais falhas.
Inicialmente carregamos um arquivo “.mat”contendo as matrizes do sistema em
coordenadas generalizadas. Apos a construcao das matrizes no espaco de estados
conforme a eq. (3.5), calculamos os autovetores a esquerda, a direita e os autovalores
utilizando a funcao “eig”.
Escolhido o modo de vibracao a ser observado, podemos calcular o perıodo refe-
rente a ele (T = 2πωn), e resolvemos o problema analiticamente para o intervalo de
tempo de 0 a T utilizando como condicao inicial o autovetor a direita referente ao
modo selecionado.
Como nesta analise nao estamos interessados em observar as amplitudes, mas
sim a forma da estrutura vibrar e como se da a sua variacao versus a velocidade de
rotacao, a resposta obtida e normalizada de modo que o modulo do maior desloca-
mento radial seja unitario. Isto facilita uma comparacao visual dos modos conforme
veremos nos resultados, no capıtulo seguinte.
25
Capıtulo 4
Resultados
4.1 Exemplo 4 GDLs
Apresentadas as teorias, vamos mostrar agora um exemplo simples de 4 graus
de liberdade de um rotor rıgido apoiado sob mancais flexıveis, cujos valores foram
retirados de [26].
Considere um disco de raio R = 0, 125m, massa m = 17kg e momentos de inercia
I = 0, 065kg.m2, Ip = 0, 13kg.m2. A distancia dos mancais ao disco e a = 0, 25m e
b = 0, 15m, assim como suas respectivas rigidezes sao kA = kB = 8400N/m.
As matrizes deste rotor serao:
[M] =
17 0 0 0
0 17 0 0
0 0 0, 065 0
0 0 0 0, 065
, [K] =
16800 0 0 840
0 16800 −840 0
0 −840 714 0
840 0 0 714
[G] = ω
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −0, 13
0 0 0, 13 0
(4.1)
Considerando-se pequenas deflexoes, podemos calcular o deslocamento dos man-
cais, xA, yA, xB, yB de acordo com a seguinte relacao:
xA = x+ aθy yA = y − aθxxB = x− bθy yB = y + bθx
(4.2)
26
Na fig. 4.1 temos o diagrama de Campbell para o rotor rıgido de 4 GDLs
apresentado no capıtulo 2. Podemos ver que o efeito giroscopico exerce grande
influencia nas frequencias naturais mais elevadas, porem as duas primeiras quase
mantem-se constante.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de Rotação [rad/s]
0
50
100
150
200
Freq
. Na
t. [
rad/
s]
1f1b
2f
2bω = Ω
ω = 2Ω
Figura 4.1: Diagrama de Campbell do rotor rıgido
Calculamos os modos de vibracao a 100 rad/s mostrados na fig. 2.6. Nela
podemos ver que ha basicamente 2 pares de modos, um cilındrico e um conico sendo
que cada modo semelhante refere-se a rotacao direta e retrograda indicados por
um numero que representa o 1o ou 2o modo, seguido da letra ’b’ (backward) ou ’f’
(forward).
Cada circunferencia representa, da esquerda para direita, a deflexao do mancal
A, do disco e do mancal B. Note que nos modos conicos, o deslocamento do disco e
praticamente nulo e, a princıpio, nos modos cilındrico o deslocamento do mancal A
e maior, ja nos modos conicos o mancal a direita possui maior deflexao.
Para observar como se da a variacao dos modos, sobrepomos os modos de vi-
bracao a 10 rad/s com os equivalentes a 100 rad/s, fig. 4.3. Perceba que, enquanto
no modo cilındrico retrogrado temos uma reducao na deflexao do mancal B, no
cilındrico direto observa-se uma ligeira elevacao nela, sendo que o mesmo vale para
o deslocamento do disco.
Com relacao ao modo conico retrogrado observamos que o no (regiao em que
nao ha deflexao) aproximou-se do mancal A, sendo que este por sua vez, passou a
ter um deslocamento radial menor. Ja o modo conico direto nao se alterou com a
variacao na rotacao do eixo, sendo seu MAC igual a 1.
27
1b 1f
2f2b
Figura 4.2: Modos de vibracao a 100 rad/s.
MAC = 0.9084 MAC = 0.9576
MAC = 1.0000MAC = 0.9986
Figura 4.3: Comparacao dos modos de vibracao do rotor rıgido, a 10 rad/s (verme-
lho) e a 100 rad/s (preto).
4.2 Resultados da Bancada de Testes
A partir do diagrama de Campbell da bancada de testes mostrado na fig. 4.4
podemos observar que o efeito giroscopico nao tem grande influencia sobre as
frequencias naturais. As tres primeiras frequencias crıticas aproximadas sao in-
dicadas na tab. 4.1.
Os modos de vibracao a 10000 rpm foram calculados e estao representados na
fig. 4.5, onde na primeira coluna temos os modos backward na segunda os forward.
Conforme podemos observar, o elevado valor da rigidez equivalente dos mancais faz
com que o deslocamento da estrutura nos pontos de apoio seja quase nulo. A partir
28
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000Velocidade de Rotação [rpm]
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Freq
. Na
t. [
rpm]
ω =
2Ω
ω = Ω
1f1b
2f
2b
3f3b
Figura 4.4: Diagrama de Campbell da bancada de testes
Tabela 4.1: Frequencias naturais da bancada de testes em rpm.
Modo
1o 2o 3o
ωn forward 2200 7550 17730
ωn backward 2200 7400 17697
da imagem, nao e possıvel observar a distincao entre os modos forward e backward ,
porem por se tratar de um sistema nao amortecido pode-se notar que o deslocamento
radial dos nos esta em fase, ou seja, a linha de contorno mais espessa esta contida
em um unico plano.
Na fig. 4.6, comparamos os dois primeiros modos de vibracao com duas veloci-
dades de rotacao bem distintas, 10000 e 100000 rpm e tambem calculamos os MAC
entre eles. Conforme podemos ver, o efeito do acoplamento giroscopico nos modos e
muito pequeno, sendo quase imperceptıvel observar a olho nu a diferenca. A tıtulo
de curiosidade, o motor da bancada permite uma velocidade maxima de aproxima-
damente 10000rpm, ou seja, uma ordem de grandeza a menos que a utilizada nessa
comparacao.
Para verificar se ha alguma relacao entre o acoplamento giroscopico e os modos,
realizamos o estudo uma rotor semelhante a bancada de testes, porem cujos mancais
sejam mais flexıveis, entao selecionamos uma rigidez equivalente 100 vezes menor,
kb2 = 1, 771 · 106N/m.
29
w n = 1855.86 Hzw n = 1854.03 Hz
w n = 790.85 Hzw n = 770.74 Hz
w n = 235.88 Hzw n = 228.08 Hz
Figura 4.5: Tres primeiros modos de vibracao a 10000 rpm backward (primeira
coluna), e forward (segunda coluna).
Comparando as tabelas 4.1 e 4.2 percebe-se uma grande reducao nas frequencias
naturais e do diagrama de Campbell na fig. 4.7 vemos que ha uma influencia maior
do efeito giroscopico sobre as mesmas.
Conforme esperado, a mudanca nas rigidezes dos mancais provocou uma variacao
significativa nos modos. O corpo que antes se comportava como uma estrutura
flexıvel, agora se assemelha a uma rıgida nos primeiros e segundos modos, como
indicado na fig. 4.8, ja a partir do terceiro podemos notar que a estrutura possui
um modo de um corpo flexıvel. Note que os deslocamentos nos mancais (primeiro e
ultimo no) e superior em relacao a bancada de teste.
30
MAC = 0.99978MAC = 0.98862
Figura 4.6: Primeiros e segundos modo de vibracao forward a 10000 rpm (preto)
versus 100000 rpm (vermelho)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Velocidade de Rotação [rpm]
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Freq. Nat. [rpm] ω
= 2
Ω
ω = Ω
1f1b
2f
2b
3f
3b
Figura 4.7: Diagrama de Campbell da rotor hipotetico
Entretanto, mesmo com um sistema cuja acao do acoplamento giroscopico e
mais expressiva, podemos ver na fig. 4.9 que mesmo variando substancialmente a
velocidade de rotacao de 1000 rpm para 100000 rpm a mudanca nos modos e ınfima.
31
Tabela 4.2: Frequencias naturais da bancada hipotetica em rpm.
Modo
1o 2o 3o
ωn forward 900 1857 7650
ωn backward 900 1845 7170
w n = 778.65 Hzw n = 771.80 Hz
w n = 194.25 Hzw n = 193.49 Hz
w n = 94.08 Hzw n = 94.06 Hz
Figura 4.8: Tres primeiros modos de vibracao a 1000 rpm backward (primeira co-
luna), e forward (segunda coluna).
32
MAC = 0.99894MAC = 0.99899
Figura 4.9: Primeiros e segundos modo de vibracao forward a 1000 rpm (preto)
versus 100000 rpm (vermelho)
33
Capıtulo 5
Revisao e Conclusoes
Neste projeto foram apresentados temas introdutorios da dinamica de rotores,
de modelagens simples atraves de um rotor rıgido com 4 graus de liberdade a casos
mais complexos como a bancada de testes discretizada por elementos finitos.
Um algorıtimo escrito em Matlab R© que calcula o diagrama de Campbell e os
modos de vibracao atraves do desacoplamento modal foi implementado com sucesso,
o que permitiu que fosse realizada uma analise da variacao dos modos em funcao da
velocidade de rotacao da bancada.
Conclui-se que para o exemplo do rotor rıgido ha uma mudanca significativa nos
modos de acordo com a variacao da rotacao, ja tanto em ambos os casos que foram
analisados por elementos finitos o efeito giroscopico exerceu pouca influencia nos
modos, e conforme indicado pelo MAC essa diferenca e muito pequena, podendo ser
ignorada.
Como e muito comum haver componentes que variem suas propriedades de
acordo com a rotacao, como por exemplo mancais hidrodinamicos e selos, e provavel
que haja uma mudanca expressiva nos modos para estes sistemas, sendo recomen-
dada esta analise para um projeto futuro.
34
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37
Apendice A
Revisao de Vibracoes
A.1 Sistema Massa-mola
Vamos analisar um sistema massa-mola, sem acao de forcas externas, conforme a
figura abaixo.
Figura A.1: Sistema massa-mola simples
A equacao que governa seu movimento e sua respectiva solucao sao
mx+ kx = 0 (A.1)
x(t) = A sin(ωnt+ φ) (A.2)
Substituindo a solucao proposta em (A.1)
−mAω2 sin(ωnt+ φ) + kA sin(ωnt+ φ) = 0
(k −mω2n) = 0→ ω2
n = k/m(A.3)
Este valor de ωn que resolve a equacao e chamado de frequencia natural, uma
vez que, independente de haver influencia de forcas externas, dado um conjunto de
solucoes iniciais, o sistema devera oscilar de acordo com ωn.
38
O numero de condicoes iniciais que precisamos para determinar completamente
o movimento de um corpo descrito por uma equacao diferencial ordinaria (EDO)
linear e igual a ordem dessa EDO. Vamos entao considerar que no tempo t = 0 a
posicao e velocidade do corpo sao x0 e v0.
x(0) = x0 = A sin(φ)
x(0) = v0 = ωA cos(φ)
Reescrevendo a amplitude, A e a fase, φ, em funcao das condicoes iniciais temos
A =[(ωx0)2 + v2
0]1/2
ω
φ = arctan
(ωx0
v0
)Outra forma de resolver a eq. (A.1) e atraves de numeros complexos
x(t) = aeλt → mλ2aeλt + kaeλt = 0→ mλ2 + k = 0→ λ1,2 = ±j√k/m = ±jωn
Relembrando os cursos de calculo, a solucao de uma EDO e uma combinacao
linear de suas possıveis solucoes, logo
x(t) = a1ejωnt + a2e
−jωnt
Onde a1 e a2 sao numeros complexos. e a fase, φ, esta embutida neles.
A.2 Sistema Amortecido
Considerando uma dissipacao de energia linearmente proporcional a velocidade do
corpo teremos a seguinte configuracao Vamos analisar um sistema massa-mola, sem
acao de forcas externas, conforme a figura abaixo.
Cuja equacao de movimento e solucao proposta sao:
mx+ cx+ kx = 0 (A.4)
x(t) = aeλt (A.5)
Que nos leva a seguinte relacao
(mλ2 + cλ+ k)aeλt = 0→ (mλ2 + cλ+ k) = 0→
39
Figura A.2: Sistema massa-mola-amortecedor
→ λ1,2 = − c
2m±√c2 − 4km
2m(A.6)
Temos 3 casos possıveis para λ que devem ser analisados, exemplificados na figura
:
(i) - Superamortecido: c2 − 4km > 0→ λ1 6= λ2 ∧ λ1,2 ∈ R
(ii) - Criticamente Amortecido: c2 − 4km > 0→ λ1 = λ2 ∧ λ1,2 ∈ R
(iii) - Subamortecido: c2 − 4km < 0→ λ1 6= λ2 ∧ λ1,2 ∈ C
Figura A.3: Curva dos possıveis casos de amortecimento em funcao do tempo
A determinacao do coeficiente de amortecimento, c, e difıcil, logo e conveniente
determinar um fator que facilita a sua interpretacao. Por definicao, o coeficiente de
amortecimento crıtico de um sistema e ccr tal que c2 − 4km = 0 → ccr = 2√km,
alem do mais definimos a razao de amortecimento como ζ = c/ccr. Agora podemos
40
reescrever as raızes em termos de ζ
λ1,2 = −ζωn ± jωn√
1− ζ2 = −ζωn ± jωd
Normalmente a razao de amortecimento caira em algo entre 10% e 20%, que
corresponde a uma resposta subamortecida
x(t) = e−ζωnt(a1ejωdt + a2e
−jωdt) (A.7)
Que atraves das equacoes de Euler para numeros complexos pode ser reescrita
como
x(t) = Ae−ζωnt sin(ωdt+ θ) (A.8)
Observe que agora o sistema ira oscilar na frequencia ωd, que e a frequencia
natural amortecida do sistema.
A.3 Resposta a Excitacao Harmonica
Excitacao harmonica se refere a acao de uma forca externa sinusoidal de uma certa
frequencia sobre um corpo. Durante a operacao de uma maquina rotativa podem
surgir diversas fontes dessas forcas como, por exemplo, o desbalanceamento do rotor,
a interacao entre os rolamentos ou selos com o eixo, o contato do eixo com os
batentes, entre outras.
Esta secao tambem cobrira o fenomeno da ressonancia, que ocorre quando a
frequencia de oscilacao da forca externa se igual com alguma frequencia natural do
sistema, isso leva grandes oscilacoes que tem um potencial muito alto de prejudicar
o funcionamento/rendimento da maquina.
Forca Harmonica sobre um Sistema Massa-mola
Suponha agora que o conjunto massa-mola estudado previamente agora esteja sob
a atuacao de uma forca externa modelada por
F (t) = F0cos(Ωt)
A equacao de movimento entao fica
x+ ωnx = f0 cos(Ωt) (A.9)
41
A solucao particular para esta EDO nao homogenea e xp(t) = A0 cos(Ωt),
substituindo-a em (A.9) conseguimos encontrar a amplitude maxima
A0 =f0
ω2n − Ω2
A solucao completa e o somatorio da solucao particular com a homogenea, logo
x(t) = xp(t) + xh(t)→ x(t) = A sin(ωnt+ φ) + A0 cos(Ωt) (A.10)
Se considerarmos o sistema inicialmente em repouso absoluto (x(0) = v(0) = 0)
a eq. (A.10) fica
x(t) = A0[cos(Ωt)− cos(ωnt)] (A.11)
Forca Harmonica sobre um Sistema Massa-mola-amortecedor
Observando o sistema da fig. A.2 sob acao de uma forca harmonica
x+ 2ζωnx+ ω2nx = f0cos(Ωt) (A.12)
Cuja solucao particular e xp(t) = A0 cos(Ω− φ), onde
A0 =f0
[(ω2n − Ω2)2 + (2ζωnΩ)2]
1/2; φ = arctan
(2ζωnΩ
ω2n − Ω2
)(A.13)
Logo
x(t) = xp(t) + xh(t)
x(t) = Ae−ζωnt sin(ωd + θ) + A0 cos(Ωt− φ) (A.14)
Conforme t aumenta pode-se observar que xh(t) diminui num envolucro expo-
nencial e que limt→∞ x(t) = 0, dentro de uma margem de erro aceitavel dizemos que
ha um tempo tss tal que
t0 6 t < tss → x(t) ≈ xh(t)
t > tss → x(t) ≈ xp(t)
Se t estiver entre t0 e tss estamos no transiente da resposta, que esta associado
a xh(t) que por sua vez e relacionado as propriedades fısicas/dinamicas do sistema.
Agora, se t for maior que tss o sistema encontra-se no estado estacionario, que e
governado por xp(t), que por sua vez e determinado pela excitacao harmonica.
42
Obviamente o projeto de um compressor, de uma turbomaquina deve levar em
consideracao o transiente (start-up e shut-down de uma planta industrial, por exem-
plo). Todavia o foco deste projeto e observar o comportamento do sistema no estado
estacionario, para isso faremos a seguinte aproximacao: x(t) = xp(t) e tss = 0.
Do ponto de vista do design, nos preocupamos com a magnitude das oscilacoes
para determinar a faixa de operacao do rotor. Os tamanhos e velocidades das
maquinas variam muito dependendo da sua aplicacao, para termos uma visao global
delas sem levar em consideracao estes fatores, normalizamos a eq. (A.13)
A0(Ω) =f0
[(ω2n − Ω2)2 + (2ζωnΩ)2]
1/2
(ωnωn
)2
→
A0(rf ) =f0/ω
2n
[(1− r2f )
2+ (2ζrf )
2]1/2→
A0k
F0
=1
[(1− r2f )
2+ (2ζrf )
2]1/2
, onde rf =Ω
ωn(A.15)
φ = arctan
(2ζrf
1− r2f
)(A.16)
Figura A.4: Variacao da amplitude maxima em funcao da razao de frequencias
Conforme esperado, a medida que nos aproximamos da ressonancia (rf → 1) a
amplitude aumenta, atingindo seu valor maximo quando rf = 1 e no caso de um
sistema nao amortecido (ζ = 0) podemos ver que a amplitude tende ao infinito.
43
A.3.1 Multiplos Graus de Liberdade
Queremos descobrir as frequencias naturais para um conjunto de multiplos graus de
liberdade (GDLs), vamos analisar inicialmente o caso de um corpo nao amortecido
com dois GDLs, fig. A.3.1, e depois generaliza-lo para um sistema com amorteci-
mento com n GDLs.
Figura A.5: Sistema massa-mola com dois graus de liberdade (2 GDLs)
mx1 + k1x1 = 0
mx2 + k2x2 = 0
⇒
m 0
0 m
x1
x2
+
k1 0
0 k2
x1
x2
=
0
0
(A.17)
Que tambem pode ser reescrito como
[M]x+ [K]x = 0 (A.18)
Conforme vimos previamente, a resposta para cada EDO sera do tipo: xi = aiejλt
(i = 1, 2). Temos entao o vetor aT = a1 a2, de tal forma que x = aejλt, substi-
tuindo em (A.18) e assumindo que [M] seja inversıvel
−[M]λ2aejλt + [K]aejλt = (−[M]λ2 + [K])aejλt = (−[I]λ2 + [M]−1[K])aejλt = 0
Se a = 0 temos uma solucao trivial, ejλt nunca e zero. Vamos provar por absurdo
que para a equacao acima ser valida, det |A| = 0, onde A = (−[I]λ2 + [M]−1[K]).
Suponha que A seja inversıvel. Logo multiplicando os dois lados da equacao pela
esquerda por A−1 temos
A−1Aaejλt = [I]aejλt = 0→ a = 0 ∨ ejλt = 0 (−→←−)
Portanto concluı-se que A deve ser uma matriz singular, ou seja, nao deve haver
inversa, e a condicao para que isso seja satisfeito e que det |A| = 0, como querıamos
44
demonstrar. Os valores de λ que resolvem o problema det |−[I]λ2+[M]−1[K]| = 0 sao
chamados de autovalores. Note tambem que λ e a frequencia natural do sistema, logo
os autovalores de um sistema dinamico representado por EDOs lineares de segunda
ordem sao tambem as frequencias naturais do mesmo.
Considere agora o caso mais generico de n GDLs, sem forcacao externa
[M]x+ [C]x+ [K]x = 0 (A.19)
[M] e chamada de matriz de inercia, [C] de matriz de amortecimento e [K] de
matriz de rigidez, todas de dimensao n × n. Nao e feita nenhuma restricao com
relacao a elas, a nao ser que [M] deve ser inversıvel.
Para podermos resolver o problema de autovalor precisamos reescrever este sis-
tema no espaco de estado. Para isso, vamos tomar o seguinte vetor de estado e a
seguinte solucao proposta
q =
xx , x = Ψeλt (A.20)
Assim, podemos resolver o problema de autovalor
det |s[I]− [A]| = 0, onde (A.21)
[A] =
[M]−1[C] [M]−1[K]
−[I] [0]
si = σi ± jωi
que nos retornara um polinomio de ordem 2n em s, p2n(s) = 0, cujas raızes serao
n pares de numeros complexos conjugados (condicao para que q seja real), que e
chamada de equacao caracterıstica. Assim como para 1 GDL, os valores σi estao
associados com o amortecimento e estabilidade, ja ωi representam as frequencias
naturais do sistema.
45
