ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM ...
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ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM
PROTENSÃO EXTERNA
Vinicius Lube Teles
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Rio de Janeiro
Setembro de 2015
ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM
PROTENSÃO EXTERNA
Vinicius Lube Teles
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.
________________________________________________
Profᵃ. Lídia da Conceição Domingues Shehata, Ph.D.
________________________________________________
Profᵃ. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Alexandre Landesmann, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2015
iii
Teles, Vinicius Lube
Análise de vigas de concreto armado reforçadas com
protensão externa / Vinicius Lube Teles – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2015.
XVI, 102 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 93-97.
1.Concreto armado. 2. Reforço. 3. Protensão externa. I.
Shehata, Ibrahim Abd El Malik. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.
iv
Dedico este trabalho, em especial, ao meu avô Zezito
e ao meu padrinho Geraldo. Levo vocês no meu coração.
v
AGRADECIMENTOS
À luz de Santo Inácio de Loyola, agradeço a Deus pelos dons e oportunidades
que me deu e para quem devolto, dispondo deles com gratidão.
Aos professores Ibrahim e Lídia por todo o conhecimento transmitido nas aulas
e ao longo de todo período deste trabalho. Mesmo sabendo de todas as minhas
deficiências e dificuldades, me incentivaram, apoiaram e colaboraram muito ao longo
de toda essa caminhada.
À minha mãe, mesmo distante, mas no meu coração, por sempre me escutar nos
momentos dificies e por todas as abdicações que fez por mim e pelo meu irmão na sua
vida.
À minha querida Aline Almeida, pela paciência e compreensão em todo esse
tempo. Pela sua disposição em me ajudar e estar ao meu lado me apoiando e
incentivando para que eu não desistisse e seguisse em frente.
Aos amigos que fiz no mestrado, Erica, Rafaela, Rodrigo, Godoy, Marianne e
Alfredo. Em especial ao Nelson, por toda a ajuda com o FORTRAN, à Karyne pelo
apoio e ajuda em vários momentos na elaboração da dissertação e ao querido amigo
Renato Evangelista com quem tive o prazer de conviver e ter como amigo.
Aos amigos Maria Luisa, Igor Guerrante e Thomás Resende pela ajuda valiosa
durante a elaboração deste trabalho.
Ao engenheiro José Afonso Pereira Vitório, que cordialmente cedeu algumas
fotos de suas obras.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM
PROTENSÃO EXTERNA
Vinicius Lube Teles
Setembro/2015
Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Programa: Engenharia Civil
Para reforçar estruturas existentes de grande porte, a protensão externa se
destaca por ser uma técnica versátil e de boa relação custo/beneficio. Ela tem as
vantagens de não necessitar a interdição da estrutura, diminuir flechas e aberturas de
fissuras, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.
Neste trabalho são apresentados procedimentos normativos e metodologias
propostas na literatura para obtenção da variação de tensão nos cabos de vigas com
protensão externa relativa a determinado carregamento. É também descrito o programa
em linguagem FORTRAN elaborado com o objetivo de analisar o comportamento de
vigas de concreto armado reforçadas com protensão externa. A partir desse programa é
possível estimar as tensões nos cabos e as flechas das vigas. O programa se aplica ao
caso de vigas monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas com cabos poligonais e
permite a análise do comportamento da estrutura tanto em serviço quanto no estado
limite último considerando as não-linearidades física e geométrica.
Os resultados obtidos com o programa desenvolvido mostraram uma boa
correlação com os experimentais e numéricos disponíveis na literatura, sendo possível
prever o comportamento da estrutura por meio de uma análise numérica mais simples
do que a proposta por outros autores.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS STRENGTHENED BY
EXTERNAL PRESTRESSING
Vinicius Lube Teles
September/2015
Advisor: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Department: Civil Engineering
The external prestressing stands out as a versatile technique with a good
cost/benefit ratio to strengthen existing large structures. It has the advantages of not
requiring the interdiction of the structure and of reducing deflection and crack widths,
besides facilitating the inspection and maintenance of the cables.
This work presents code procedures and methodologies proposed in the
literature for obtaining the stress increment in the tendons of beams with external
prestressing related to certain loading. It is also described a program in FORTRAN
language developed to analyze the behaviour of reinforced concrete beams strengthened
with external prestressing. With this program, it is possible to estimate the prestressing
cables stresses and the deflection of the beams. The program considers the case of
monolithic reinforced concrete beams, simply supported with polygonal tendons and
analyzes the beam in both the service and ultimate limit states considering the physical
and geometric nonlinearity.
The results obtained from the program showed good correlation with
experimental and numerical results available in the literature, making it possible to
predict the behaviour of the structure through a numerical analyzes simpler than others
described in the literature.
viii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1
1.1 Considerações Iniciais e Motivação ....................................................................... 1
1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho ............................................................................. 4
1.3 Estrutura do Trabalho ............................................................................................. 5
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 6
2.1 Breve Histórico da Protensão Externa .................................................................... 6
2.2 Vantagens e Desvantagens ...................................................................................... 8
2.3 Trabalhos já realizados ......................................................................................... 10
2.3.1 Estudo de MACGREGOR (1989) ................................................................. 10
2.3.2 Estudos de NAAMAN (1990) e NAAMAN e ALKHAIRI (1991) .............. 14
2.3.3 Estudos de DÉSIR (1993) e RÉGIS (1997) .................................................. 18
2.3.4 Estudos de HARAJLI (1993) e HARAJLI et al. (1999) ............................... 22
2.3.5 Estudos de TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005) ...................................... 28
2.3.6 Estudo de DALL’ASTA et al. (2007) ........................................................... 33
2.3.7 Estudo de HE e LIU (2010) .......................................................................... 35
2.3.8 Estudo de GHALLAB (2013) ....................................................................... 37
2.4 Procedimentos Normativos Referentes à Protensão Externa ................................ 40
2.4.1 NBR 6118:2014 ............................................................................................ 40
2.4.2 ACI 318:2014 ................................................................................................ 41
2.4.3 AASHTO:2012 ............................................................................................. 41
2.4.4 EN 1992-1-1:2004 ......................................................................................... 42
2.5 Considerações Sobre a Protensão Externa ............................................................ 42
2.6 Comentários Finais ............................................................................................... 45
3 PROGRAMA DESENVOLVIDO ............................................................................... 48
3.1 Introdução ............................................................................................................. 48
ix
3.2 Análises do Problema ........................................................................................... 48
3.2.1 Não-linearidade Física .................................................................................. 48
3.2.2 Procedimento da Análise da Interação Cabo-Estrutura ................................ 52
3.3 Programa de Análise Desenvolvido ...................................................................... 58
3.3.1 Análise Seccional .......................................................................................... 59
3.3.2 Análise da Viga ............................................................................................. 62
3.3.3 Carregamentos e Traçado dos Cabos ............................................................ 65
3.3.4 Dados de Entrada e de Saída ......................................................................... 67
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA .................................................... 72
4.1 Introdução ............................................................................................................. 72
4.2 Viga Ensaiada por HARAJLI (1993) .................................................................... 73
4.3 Viga Ensaiada por TAN e NG (1997) .................................................................. 76
4.4 Vigas Ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) .................................. 79
4.5 Análise Numérica de DALL’ASTA et al. (2007) ................................................. 83
4.6 Aplicação com a Variação do Número de Desviadores ....................................... 86
4.7 Cálculos Segundo Equações Propostas ................................................................. 89
5 CONCLUSÕES ............................................................................................................ 91
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 93
APÊNDICE ..................................................................................................................... 98
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1 – Vista em perspectiva do perfil dos cabos externos e disposição dos desviadores da ponte
Long Key (MACGREGOR, 1989, p. 2). ...................................................................................................... 1
Figura 1-2 – Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos externos da Ponte
sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012). ....................................................... 2
Figura 1-3 – Desviador próximo ao apoio da Ponte sobre Riacho dos Porcos ............................................. 3
Figura 1-4 – Viga sujeita a cargas, conduzindo ao aumento de deformações e perda da excentricidade
inicial - efeito de segunda ordem (NG e TAN, 2005a, p. 611). .................................................................... 5
Figura 2-1 – Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrücke, Alemanha. Dimensões em metros (SPECHT,
1987, p. 165). ................................................................................................................................................ 6
Figura 2-2 – Ponte Can Bia com corrosão dos cabos externos devida à infiltração e ruptura de alguns
cabos (VIRLOGEUX, 1990, p. 26). ............................................................................................................. 7
Figura 2-3 – Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte existente (BBR
Cables for External Prestressing, 1999, p.11). ............................................................................................ 10
Figura 2-4 – Arranjo dos cabos externos e seções transversais, com dimensões em milímetros
(MACGREGOR, 1989, p. 55). ................................................................................................................... 11
Figura 2-5 – Esquema de carregamento da estrutura em um dos vãos de extremidade (MACGREGOR
1989, p. 171). .............................................................................................................................................. 11
Figura 2-6 – Altura plástica, Zp, definida como sendo a distância da rótula plástica ao cabo externo
(MACGREGOR, 1989, p. 335). ................................................................................................................. 12
Figura 2-7 – Diagrama esquemático de tensão dos cabos com o acréscimo de carga (MACGREGOR,
1989, p. 308). .............................................................................................................................................. 13
Figura 2-8 – Diagrama esquemático da relação entre momento fletor e deslocamento vertical da seção de
maior momento fletor de viga com cabos protendidos não aderentes internos ou externos (NAAMAN,
1990, p. 352). .............................................................................................................................................. 15
Figura 2-9 – Variação da excentricidade dos cabos com a deformação da viga ......................................... 19
Figura 2-10 – Discretização de dois trechos consecutivos para determinação da carga Pj, responsável por
provocar o deslizamento (DÉSIR, 1993, p. 36). ......................................................................................... 19
Figura 2-11 – Vista longitudinal da viga monolítica com esquema de carregamento e seções transversais,
com dimensões em milímetros (RÉGIS, 1997, p. 24). ............................................................................... 20
Figura 2-12 – Curvas carga-flecha para vigas monolítica e com aduelas pré-moldadas obtidas
experimentalmente por RÉGIS (1997) e com o programa de DÉSIR (1993) (RÉGIS, 1997, p. 101). ....... 21
Figura 2-13 – Curva carga-flecha no meio do vão para viga com protensão interna reforçada com cabos
externos retos (HARAJLI, 1993, p. 81). ..................................................................................................... 22
Figura 2-14 – Curva carga-flecha para viga de concreto armado reforçada com cabos externos poligonais
(HARAJLI, 1993, p. 82). ............................................................................................................................ 23
Figura 2-15 – Vista longitudinal e seção transversal das vigas ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI
(1997) (HARAJLI et al., 1999, p.1153). .................................................................................................... 24
xi
Figura 2-16 – Comparação entre curvas carga-flecha esperimentais de KHAIRALLAH e HARAJLI
(1997) e as obtidas numericamente por HARAJLI et al. (1999). ............................................................... 25
Figura 2-17 – Comparação entre curvas momento fletor-acréscimo de tensão nos cabos obtidas
experimentalmente por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e as dadas pelo modelo numérico de
HARAJLI et al. (1999). .............................................................................................................................. 26
Figura 2-18 – Curvas momento fletor-flecha para três configurações de desviadores e taxas de armadura
mecânica (HARAJLI et al., 1999, p. 1157). ............................................................................................... 27
Figura 2-19 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto protendido com diferentes tensões
efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159). ................................................................... 27
Figura 2-20 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto armado com diferentes tensões efetivas
nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159). ................................................................................ 28
Figura 2-21 – Acréscimo de tensões devido ao efeito de pino em cabos internos e ausência do efeito para
cabos externos em face do movimento não restringido dos cabos (NG, 2003, p. 645). ............................. 28
Figura 2-22 – Configuração das vigas ensaiadas com dimensões em milímetros ...................................... 30
Figura 2-23 – Configuração de cabos das vigas ensaiadas, com dimensões em milímetros (NG e TAN,
2005b, p. 624). ............................................................................................................................................ 31
Figura 2-24 – Curvas carga-tensão nos cabos externos, calculadas e experimentais, para diferentes
números de desviadores (NG e TAN, 2005b, p. 630)................................................................................. 32
Figura 2-25 – Curvas momento fletor-tensão nos cabos externos obtidas nos ensaios (NG e TAN, 2005b,
p. 625)......................................................................................................................................................... 32
Figura 2-26 – Modelo estrutural esquemático cabo-estrutura (DALL’ASTA et al., 2007, p. 123) ............ 34
Figura 2-27 – Arranjo dos cabos e seções transversais, com dimensões em centímetros (DALL’ASTA et
al., 2007, p. 125)......................................................................................................................................... 34
Figura 2-28 – Influência do número de desviadores na variação de tensão dos cabos ............................... 37
Figura 2-29 – Configuração esquemática dos cabos externos antes e após carregamento, mostrando a
pequena mudança de posiçãodo ponto A na extremidade .......................................................................... 38
Figura 2-30 – Variação da excentricidade em uma viga com cabos externos e dois desviadores e
demarcação do limite entre região fissurada e não fissurada ...................................................................... 43
Figura 2-31 – Esquema de forças atuantes no desviador (MACGREGOR, 1989, p. 286). ........................ 44
Figura 3-1 – Representação esquemática do diagrama tensão normal-deformação específica do concreto
segundo a EN 1992-1-1:2004. .................................................................................................................... 49
Figura 3-2 – Diagrama tensão normal-deformação específica do aço da armadura passiva. ..................... 50
Figura 3-3 – Diagrama tensão normal-deformação específica para o aço das armaduras ativas. ............... 51
Figura 3-4 – Protensão dos cabos externos para viga no seu estado inicial. ............................................... 52
Figura 3-5 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 0. .......................................... 52
Figura 3-6 – Variação da geometria dos cabos para a carga inicial q – Etapa 0. ........................................ 53
Figura 3-7 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 0 de análise da viga. .............................. 54
Figura 3-8 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 1. .......................................... 55
Figura 3-9 – Variação da geometria dos cabos para a carga q+∆q – Etapa 1. ............................................ 56
Figura 3-10 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 1 de análise da viga. ............................ 57
xii
Figura 3-11 – Divisão da viga em trechos ∆x com os respectivos momentos fletores médios tomados para
cada trecho. ................................................................................................................................................. 58
Figura 3-12 – (a) Discretização da seção em lâminas de concreto e camadas de aço (b) e distribuição de
deformações específicas na seção. .............................................................................................................. 59
Figura 3-13 – Fluxograma com sequencia de cálculos realizada em cada trecho para análise da viga. ..... 61
Figura 3-14 – Seções transversais típicas, I, T ou retangular implementadas. ........................................... 62
Figura 3-15 – Discretização da viga, rotação em cada trecho e distância vertical do ponto B à tangente ao
ponto A do eixo da viga na posição deformada. ......................................................................................... 63
Figura 3-16 – Obtenção do deslocamento vertical da seção onde se encontra o desviador. ....................... 65
Figura 3-17 – Configurações possíveis para os cabos externos. ................................................................. 66
Figura 3-18 – Tipos de carregamentos. ...................................................................................................... 66
Figura 3-19 – Dimensões da seção transversal (Dados de Entrada). ......................................................... 67
Figura 3-20 – Configurações gerais da rotina e definição das posições dos desviadores e das cargas
concentradas (Dados de Entrada). ............................................................................................................. 68
Figura 3-21 – Cargas e força de protensão inicial a serem definidas pelo usuário ..................................... 68
Figura 3-22 – Propriedades dos materiais e seção dos cabos a serem definidas pelo usuário (Dados de
Entrada). .................................................................................................................................................... 69
Figura 3-23 – Dados da armadura passiva a serem definidos pelo usuário (Dados de Entrada). .............. 69
Figura 3-24 – Arquivo de saída com valores de flecha no meio do vão (fmid) e nos terços do vão (fpto)
para a carga atuante. ................................................................................................................................... 70
Figura 3-25 – Arquivo de saída com a tensão nos cabos para a carga atuante. .......................................... 70
Figura 3-26 – Arquivo de saída mostrando ângulo de desvio e forças de protensão para as etapas 0 e 1. . 71
Figura 4-1 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga B5D. ...................................... 73
Figura 4-2 – Curvas carga-flecha para a seção no meio do vão obtidas com o programa e
experimentalmente por HARAJLI (1993). ................................................................................................. 74
Figura 4-3 – Curvas momento fletor-rotação na seção do meio do vão obtidas com o programa, para três
forças de protensão. .................................................................................................................................... 75
Figura 4-4 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida com o programa e pontos experimentais de
HARAJLI (1993). ....................................................................................................................................... 76
Figura 4-5 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga T-1D. ..................................... 76
Figura 4-6 – Curvas carga-flecha para a seção no meio do vão obtidas com o programa e
experimentalmente por TAN e NG (1997). ................................................................................................ 78
Figura 4-7 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida pelo programa e experimentalmente por TAN
e NG (1997). ............................................................................................................................................... 78
Figura 4-8 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento das vigas ensaiadas. ........................... 79
Figura 4-9 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T2D obtidas com o programa e
experimentalmente. .................................................................................................................................... 80
Figura 4-10 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T3D obtidas com o programa e
experimentalmente. .................................................................................................................................... 81
xiii
Figura 4-11 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T4D obtidas com o programa e
experimentalmente. .................................................................................................................................... 81
Figura 4-12 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T4D na seção do meio do vão obtidas com o
programa e experimentalmente. ................................................................................................................. 82
Figura 4-13 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T2D na seção do meio do vão obtidas com o
programa e experimentalmente. ................................................................................................................. 83
Figura 4-14 – Posição dos desviadores e tipo de carregamento para as vigas analisadas. .......................... 83
Figura 4-15 – Seções transversais para viga caixão e duplo T (dimensões em centímetros)...................... 84
Figura 4-16 – Seções transversais adotadas no programa (dimensões em centímetros). ............................ 85
Figura 4-17 – Vista longitudinal da viga T-1D com dois desviadores. ...................................................... 86
Figura 4-18 – Vista longitudinal da viga caixão com carregamento e posição do desviador adotados. ..... 86
Figura 4-19 – Curvas carga-flecha na seção do meio do vão da viga T-1D com um e dois desviadores. .. 87
Figura 4-20 – Curvas carga-flecha da viga de seção caixão com um e dois desviadores. .......................... 88
LISTA DE TABELAS
Tabela 2-1 – Fatores Ω, Ωc e Ωu para diferentes carregamentos e cabos com um desviador. .................... 17
Tabela 2-2 – Valores de η, ψ, γ e K para casos de carregamentos distribuído e concentrado, um e dois
desviadores (HE e LIU, 2010, p.1058). ...................................................................................................... 36
Tabela 2-3 – Fatores de multiplicação kg e kc (GHALLAB, 2013, p.424). ................................................. 40
Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continua). ............................... 46
Tabela 4-1 – Dados das armaduras da viga B5D. ....................................................................................... 73
Tabela 4-2 – Dados das armaduras da viga T-1D. ...................................................................................... 77
Tabela 4-3 – Dados das vigas ensaiadas. .................................................................................................... 79
Tabela 4-4 – Cargas de ruptura obtidas com o programa e experimentalmente. ........................................ 80
Tabela 4-5 – Dados das armaduras das vigas caixão e duplo T. ................................................................. 84
Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e com o programa
desenvolvido, para a viga de seção caixão. ................................................................................................ 85
Tabela 4-7 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e com o programa
desenvolvido, para a viga de seção duplo T. .............................................................................................. 85
Tabela 4-8 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga T-1D com um e dois desviadores. ...... 87
Tabela 4-9 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga de seção caixão com um e dois
desviadores. ................................................................................................................................................ 88
Tabela 4-10 – Variação de tensões nos cabos calculados e experimentais. ................................................ 89
Tabela 4-11 – Comparação entre flechas obtidas com o programa e experimental para carga de serviço. 90
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras latinas
Ag - área da seção transversal bruta de concreto
Aps - área da seção transversal da armadura de protensão externa
As - área da seção transversal da armadura longitudinal de tração passiva
As’ - área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão
passiva
a - distância do apoio até a seção de aplicação da carga concentrada
b - largura da mesa da seção transversal T ou I
bw - largura da alma da seção transversal T ou I ou largura da seção
retangular
dp - altura útil da armadura longitudinal de protensão externa
dpu - altura útil da armadura longitudinal de protensão externa no ELU
ds’ - altura útil da armadura longitudinal de compressão passiva
ds - altura útil da armadura longitudinal de tração passiva
em - excentricidade do cabo de protensão no meio do vão
es - excentricidade do cabo de protensão na extremidade da viga
eu - excentricidade do cabo de protensão no meio do vão no ELU
e0 - excentricidade inicial do cabo de protensão
Ecs - módulo de elasticidade secante do concreto
Ect - módulo de elasticidade tangente do concreto
Eps - módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos
Es - módulo de elasticidade longitudinal do aço da armadura passiva
fck - resistência característica à compressão do concreto
fcm - valor médio da resistência à compressão do concreto
fi - coeficiente de atrito cabo-desviador
Fpi - força de protensão inicial
fpy - resistência de escoamento do aço dos cabos externos
fpu - tensão de ruptura do aço dos cabos externos
xv
fsu - tensão de ruptura do aço da armadura passiva
fy - resistência ao escoamento do aço da armadura passiva tracionada
fy’ - resistência ao escoamento do aço da armadura passiva comprimida
h - altura da viga
hf - altura da mesa de seção transversal T ou I
Ie - momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto
Icr - momento de inércia da seção fissurada de concreto
Ig - momento de inércia da seção bruta de concreto
L - vão
Lc - comprimento da região fissurada
Ld - distância do desviador até o apoio
ld - distância entre cargas concentradas
Le - comprimento efetivo do cabo de protensão
Lfinal - comprimento final total do cabo de protensão
li - comprimento livre do cabo externo
L0 - comprimento inicial total do cabo de protensão
M - momento fletor solicitante
Mcr - momento fletor de fissuração
Mg - momento fletor devido às cargas permanentes
Mmax - momento fletor máximo atuante
Msuporte - momento fletor no apoio
Mu - momento fletor último
sd - espaçamento entre desviadores
T0 - força inicial dos cabos externos
Tu - força final dos cabos externos no ELU
x - altura da linha neutra
xu - altura da linha neutra no ELU
Zp - altura plástica, definida como sendo a distância da região onde se
formou a rótula plástica até o cabo externo
xvi
Letras gregas
αi - ângulo de desvio do cabo de protensão externo
δdesv - deslocamento vertical na seção onde fica o desviador devido ao
acréscimo de carregamento após a aplicação da protensão externa
δmid - deslocamento vertical no meio do vão
δmid,u - deslocamento vertical no meio do vão no ELU
δ0 - deslocamento vertical inicial no meio do vão devido ao acréscimo de
carregamento, após a aplicação da protensão externa
∆εps - variação da deformação específica do aço de protensão
∆σps - variação da tensão na armadura de protensão devida a um acréscimo de
carregamento
∆L - variação do comprimento total do cabo externo
εce - deformação específica longitudinal do concreto no nível dos cabos
externos
εcg - deformação específica no nível do centroide da seção
εcu - deformação específica do concreto última
εc1 - deformação específica correspondente à tensão máxima
εcu1 - deformação específica do concreto última
εpe - deformação específica do aço de protensão correspondente à tensão
efetiva de protensão
εps - deformação específica do aço de protensão
εsy - deformação específica de escoamento do aço da armadura passiva
εsu - deformação específica do aço da armadura passiva última
σpe - tensão efetiva de protensão (após perdas)
σps - tensão nos cabos externos
ρp - taxa de armadura geométrica da armadura de protensão externa
ρs - taxa de armadura geométrica da armadura longitudinal de tração
passiva
ϕu - curvatura do eixo longitudinal da viga no ELU
ω - taxa mecânica da armadura longitudinal de tração passiva
1
1 INTRODUÇÃO
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Iniciais e Motivação
Nos últimos anos, o uso da protensão externa vem se destacando
especificamente no campo da recuperação e reforço de estruturas, quando comparado ao
da protensão interna aderente e não aderente. Em estruturas de médio e grande porte,
que possuem grandes vãos e, em especial, pontes antigas que necessitam de aumento da
capacidade portante, a solução de reforço aplicando a protensão externa mostra uma boa
relação custo/benefício.
A protensão externa é definida como sendo a com cabos localizados fora da
seção transversal da estrutura. As ancoragens são fixadas na estrutura apenas nas
extremidades e o perfil dos cabos é mantido por desviadores. A técnica pode ser
aplicada tanto em estruturas existentes quanto novas, de concreto armado ou protendido
e de aço. A Figura 1-1 mostra um exemplo de aplicação de protensão externa, onde os
cabos se encontram na parte interna da seção caixão de uma ponte. Os desviadores estão
localizados nos apoios e no meio do vão.
Figura 1-1 – Vista em perspectiva do perfil dos cabos externos e disposição dos
desviadores da ponte Long Key (MACGREGOR, 1989, p. 2).
Variando-se a posição
totalidade dos esforços provenientes da ação do ca
frequentes para reforçar uma
problemas de deterioração, além da necessi
estrutura. Em pontes, o aumento do volume de tráfego e
transportadas, aliado a com problemas de deterioração decorrentes da falta de
manutenção, levam à necessidade de intervenções. A protensão
reforço de pontes e estruturas convencionais tem a vantagem de não necessitar da sua
interdição, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.
No Brasil, existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo R
(2003), no Rio de Janeiro, foram reforçados
Ataulfo Alves e Faria Timbó. Recentemente
Porcos foi reforçada utilizando protensão externa. Trata
de vão, originalmente com duas pistas, localizada na BR
executado em 2012. Toda a intervenção realizada na estrutura para o trabalho de reforço
foi feita sem interrupção do tráfego. As
José Afonso Vitório, responsável pelo projeto e mostram o re
utilizadas 6 cordoalhas de 12,7mm de diâmetro (CP
vigas e colocados desviadores
Figura 1-2 – Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos
externos da Ponte sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).
a posição dos cabos ao longo do vão busca-se combater parte ou a
totalidade dos esforços provenientes da ação do carregamento. As razões mais
entes para reforçar uma estrutura são erros em projeto, falhas na execução,
problemas de deterioração, além da necessidade de aumentar a capacidade de carga da
estrutura. Em pontes, o aumento do volume de tráfego e do peso das cargas
com problemas de deterioração decorrentes da falta de
à necessidade de intervenções. A protensão externa usada para o
reforço de pontes e estruturas convencionais tem a vantagem de não necessitar da sua
interdição, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.
existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo R
io de Janeiro, foram reforçados com protensão externa os viadutos do Jóa,
Ataulfo Alves e Faria Timbó. Recentemente, no Ceará, a ponte sobre o Riacho dos
Porcos foi reforçada utilizando protensão externa. Trata-se de uma ponte com 25,10m
nte com duas pistas, localizada na BR-116/CE. O reforço foi
executado em 2012. Toda a intervenção realizada na estrutura para o trabalho de reforço
foi feita sem interrupção do tráfego. As Figuras 1-2 e 1-3 foram cedidas pelo engenheiro
, responsável pelo projeto e mostram o reforço executado. Foram
cordoalhas de 12,7mm de diâmetro (CP-190RB) dispostas nas laterais das
desviadores perto dos apoios e nos vãos.
Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos
externos da Ponte sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).
2
se combater parte ou a
rregamento. As razões mais
erros em projeto, falhas na execução,
dade de aumentar a capacidade de carga da
peso das cargas
com problemas de deterioração decorrentes da falta de
externa usada para o
reforço de pontes e estruturas convencionais tem a vantagem de não necessitar da sua
existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo RÉIS
os viadutos do Jóa,
no Ceará, a ponte sobre o Riacho dos
se de uma ponte com 25,10m
116/CE. O reforço foi
executado em 2012. Toda a intervenção realizada na estrutura para o trabalho de reforço
foram cedidas pelo engenheiro
forço executado. Foram
190RB) dispostas nas laterais das
Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos
externos da Ponte sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).
Figura 1-3 – Desviador
(Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).
Os parâmetros que influenciam a tensão em cabos internos não aderentes devem
também influenciar a tensão de cabos externos.
protensão externa seja similar
comportamento, a carga de ruptura e
tipos de protensão.
Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos
por um carregamento em cada seção
nível dos cabos. Nas com cabos não aderentes,
e essa variação é praticamente constante ao longo do vão. A tensão nos cabos depende
do seu alongamento total, que depende da deformação
complica a determinação da tensão nos cabos, de cujo valor depende a resistência à
flexão das vigas. Deste modo
da tensão nos cabos referente a um carregamento
simplificada. No caso de protensão externa,
são ligados às vigas, os cabos não acompanha
um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas
vez afeta a tensão nos cabos
Não há ainda norma que
reforçada com protensão externa.
realizados, dando origem a fórmulas empíricas e semi
Desviador próximo ao apoio da Ponte sobre Riacho dos Porcos
(Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).
Os parâmetros que influenciam a tensão em cabos internos não aderentes devem
também influenciar a tensão de cabos externos. Entretanto, embora conceitualmente
externa seja similar à protensão interna não aderente, existe diferença
carga de ruptura e a relação carga-flecha de vigas com esse
Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos
por um carregamento em cada seção é igual à variação de deformação no concreto no
nível dos cabos. Nas com cabos não aderentes, não há compatibilidade de deformações
e essa variação é praticamente constante ao longo do vão. A tensão nos cabos depende
seu alongamento total, que depende da deformação da viga como um todo
complica a determinação da tensão nos cabos, de cujo valor depende a resistência à
Deste modo, para evitar uma análise não-linear, o cálculo da variação
referente a um carregamento costuma ser feito de maneira bem
simplificada. No caso de protensão externa, há ainda o fato de, fora das seções onde eles
os cabos não acompanharem a deformação das mesmas
um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas
afeta a tensão nos cabos.
Não há ainda norma que especifique o procedimento de análise de
reforçada com protensão externa. Estudos sobre vigas com protensão externa já
a fórmulas empíricas e semi-empíricas para determinação da
3
Ponte sobre Riacho dos Porcos
Os parâmetros que influenciam a tensão em cabos internos não aderentes devem
embora conceitualmente a
protensão interna não aderente, existe diferença entre o
de vigas com esses dois
Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos provocada
é igual à variação de deformação no concreto no
não há compatibilidade de deformações
e essa variação é praticamente constante ao longo do vão. A tensão nos cabos depende
da viga como um todo, e isto
complica a determinação da tensão nos cabos, de cujo valor depende a resistência à
o cálculo da variação
de maneira bem
há ainda o fato de, fora das seções onde eles
mesmas, havendo
um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas, que por sua
de uma estrutura
re vigas com protensão externa já foram
empíricas para determinação da
4
tensão nos cabos, sendo algumas as mesmas adotadas para protensão interna não
aderente. Entretanto, ainda existem questionamentos quanto ao comportamento de vigas
reforçadas com protensão externa, aos parâmetros que mais influenciam esse
comportamento e aos que podem ser desconsiderados. Este estudo visa contribuir para a
melhor compreensão desse comportamento.
1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho
O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento de vigas de concreto
armado reforçadas com protensão externa por meio de uma rotina computacional em
linguagem FORTRAN.
Abrangeu-se o caso de vigas monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas e com
um ou dois desviadores. Foram considerados dois tipos de carregamentos atuantes
(carga uniformemente distribuída e cargas concentradas) e a força de protensão foi
ancorada no nível do centroide das seções dos apoios.
A abordagem adotada é do tipo seccional; a partir da análise de seções ao longo
da estrutura, obtêm-se tensões normais, deformações específicas e flechas da estrutura.
O programa desenvolvido permite a análise do comportamento da viga tanto em serviço
(ELS) quanto na ruptura (ELU). Consideram-se as não-linearidades física e geométrica
utilizando equações constitutivas dos materiais e aplicando as cargas de forma
incremental, com a atualização da geometria da viga em cada etapa. Dessa maneira, sem
empregar uma análise mais complexa como a de elementos finitos, é possível avaliar o
comportamento da estrutura para diferentes níveis de carregamento e,
conseqüentemente, as variações da excentricidade da força de protensão (efeito de
segunda ordem mostrado na Figura 1-4) e de tensão normal nos cabos.
O programa possibilita verificar a perda de eficiência de protensão decorrente
dos efeitos de segunda ordem que, como consequência, pode ocasionar maiores flechas
e aberturas de fissuras e menor capacidade resistente.
5
Figura 1-4 – Viga sujeita a cargas, conduzindo ao aumento de deformações e perda da
excentricidade inicial - efeito de segunda ordem (NG e TAN, 2005a, p. 611).
1.3 Estrutura do Trabalho
No segundo capítulo é feito breve histórico sobre a utilização de protensão
externa e citadas suas vantagens e desvantagens. São também apresentados resumos de
estudos já realizados e itens de normas que abordam protensão externa, buscando dar
uma ideia do estado da arte sobre o comportamento e procedimentos de projeto de vigas
com protensão externa.
No terceiro capítulo, são apresentados os procedimentos utilizados para a análise
da interação cabo-estrutura, abordando a análise seccional e a forma como foram
tratadas as não-linearidades física e geométrica do problema, bem como os tipos de
carregamento, seções transversais e configuração dos cabos implementados no
programa.
No quarto capítulo, resultados obtidos com a utilização do programa são
comparados com os experimentais e numéricos apresentados na literatura, visando
mostrar a eficiência do programa. Valores de tensão nos cabos obtidos com o programa
são também comparados com os calculados usando equações propostas por
pesquisadores.
Por fim, no quinto capítulo, são apresentadas as conclusões do estudo realizado e
sugestões para trabalhos futuros.
6
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
CAPÍTULO 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Breve Histórico da Protensão Externa
A protensão surgiu na França, com Freyssinet, no final da década de 1920, com
a utilização de cabos internos não aderentes. Contudo, na Alemanha, Dischinger já
havia projetado e construído pontes utilizando a protensão externa, como a Saale-
Brücke em 1928 (POWELL et al., 1988). A Figura 2-1 mostra a Bahnhofsbrücke
construída em 1936.
Figura 2-1 – Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrücke, Alemanha. Dimensões em
metros (SPECHT, 1987, p. 165).
Segundo VIRLOGEUX (1990), no período pós-guerra, cinco obras que
empregaram a protensão externa se destacam pelo seu pioneirismo e estado de
conservação ao longo do tempo. Na Bélgica, em 1950, foi construída a ponte Sclayn
projetada pelo engenheiro Magnel, e na França, entre 1950 e 1953, as pontes
Villeneuve-Saint-Georges, Vaux-sur-Seine, Port à Bison e Can Bia.
Após 30 anos de sua construção, a ponte Port à Bison foi encontrada em ótimo
estado, sem fissuras aparentes e sem infiltrações no seu interior, notando-se que a
pintura betuminosa nos cabos foi suficiente para o combate à corrosão. Contudo, a
7
presença de pombos no seu interior, deixando excrementos nos cabos inferiores, levou à
colocação de telas de proteção.
Na ponte Villeneuve-Saint-Georges, projetada por Lossier, o traçado dos cabos
foi considerado complicado e a complexidade dos detalhes para os desviadores,
fabricados especialmente para a obra, tornou-a antieconômica em comparação com
outras alternativas. Cabe a observação que Lossier previu pela primeira vez a
possibilidade da troca de cabos, se antecipando a uma eventual necessidade futura, uma
característica da protensão externa que ainda hoje se mostra como uma vantagem
perante outras alternativas para o reforço de estruturas.
Vistorias na década de 1980 na ponte Vaux-sur-Seine constataram ausência de
fissuras no concreto, mas verificou-se a ruptura de vários cabos de protensão causada
por corrosão, fato que levou à necessidade de protensão externa adicional.
De todas as obras citadas, a ponte Can Bia foi a que apresentou o pior estado de
conservação após quase 30 anos de sua execução (ver Figura 2-2). Um projeto de má
qualidade aliado a problemas de corrosão causou a ruptura de vários cabos, levando ao
seu fechamento e posterior demolição (VIRLOGEUX, 1990).
Figura 2-2 – Ponte Can Bia com corrosão dos cabos externos devida à infiltração e
ruptura de alguns cabos (VIRLOGEUX, 1990, p. 26).
VIRLOGEUX (1990) comenta que as primeiras experiências com protensão
externa não apresentaram bons resultados em conseqüência da corrosão dos cabos,
fazendo com que a técnica ficasse de lado nos anos seguintes. No entanto,
8
posteriormente, a protensão externa se desenvolveu como uma saída para contornar a
patente de Freyssinet para sistemas de protensão interna.
Embora seu surgimento tenha se dado no início do século XX, apenas no início
da década de 1980, na França e nos Estados Unidos, e por motivos distintos, a protensão
externa voltou à cena e se consolidou como uma técnica eficiente para o projeto de
estruturas novas e para o reforço de estruturas existentes. A redução de custos (redução
de seção transversal) e a simplicidade do método construtivo foram os principais
motivos que alavancaram o uso da protensão externa nos Estados Unidos. Na França,
ações governamentais visando melhorar a qualidade das construções e, em paralelo, a
necessidade de reforço de estruturas existentes levaram ao aumento da utilização da
protensão externa (VIRLOGEUX, 1990).
Problemas de perdas de protensão em obras já construídas decorrentes de
corrosão, ou deficiência nos projetos por não consideração do gradiente de temperatura
e fluência do concreto, acarretaram necessidade de reforço em uma série de pontes. Um
exemplo é o reforço realizado no viaduto Marne-La-Valle, onde, devido à não
consideração de perdas de protensão por atrito, cabos externos foram utilizados
passando por desviadores na mesa inferior da viga (POWELL et al., 1988). A primeira
ponte a ser construída utilizando protensão externa, ponte Bahnhofsbrücke, necessitou
de retensionamento por duas vezes, em 1962 e 1980, devido a problemas de relaxação
do aço, fluência e fissuração do concreto (VIRLOGEUX, 1990).
2.2 Vantagens e Desvantagens
As intervenções acima citadas mostraram a viabilidade do uso da protensão
externa como técnica de reforço. POWELL et al. (1988) fez um levantamento das
razões que fizeram a protensão externa se desenvolver:
O fácil acesso aos cabos possibilita que eles sejam inspecionados e trocados, ou
ainda retensionados sem grande complicação, o que permite manter e reparar
pontes sem que haja interrupção do seu uso. Essa talvez tenha sido uma das
principais razões que levaram ao uso da técnica até os dias de hoje.
A colocação de cabos fora da seção transversal elimina o tempo consumido em
operações de colocação e posicionamento dos cabos e reduz a interferência com
9
as armaduras passivas. A redução no congestionamento das armaduras melhora
as condições de concretagem, reduzindo também o tempo de execução da obra.
A ausência de cabos na seção transversal permite uma redução da espessura das
mesas, com diminuição de peso próprio, melhorando a eficiência da seção.
O perfil dos cabos é menos complexo que no caso de protensão interna com
cabos parabólicos. Além de nas regiões de ancoragem, o contato com a estrutura
apenas onde se encontram os desviadores reduz as perdas por atrito.
Entretanto, ainda segundo POWELL et al. (1988), algumas das características que
beneficiam o sistema trouxeram, por outro lado, desvantagens que devem ser atentadas
pelo projetista:
As seções de desvio dos cabos são geralmente bem espaçadas, gerando um
possível problema de vibração dos cabos, já que eles ficam “livres”. Providência
especial deve ser tomada, a fim de controlar vibrações excessivas (efeito de
cordas vibrantes), como a adoção de menores distâncias entre desviadores.
A mudança de excentricidade do cabo entre as posições dos desviadores, com a
atuação do carregamento na viga, provoca uma redução na excentricidade
efetiva, reduzindo a eficiência da protensão e gerando efeitos desfavoráveis. Se
esses efeitos desfavoráveis não forem avaliados, eles podem superar os
favoráveis e o reforço pode se tornar ineficiente.
A concentração de tensões nos desviadores e nas ancoragens deve ser analisada
e o detalhamento dessas regiões deve levar isso em conta. A falha em um desses
elementos pode levar toda a estrutura ao colapso.
Segundo BRUGGELING (1990), por serem externos, os cabos são mais suscetíveis
a ações externas como vandalismo, incêndio e intempéries, exceto quando ficarem do
lado de dentro da seção, como no caso de vigas caixão exemplificado na Figura 2-3.
Talvez esse aspecto tenha sido uma das razões que retardaram o desenvolvimento da
técnica no início da década de 1950.
10
Figura 2-3 – Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte
existente (BBR Cables for External Prestressing, 1999, p.11).
2.3 Trabalhos já realizados
Nos próximos itens, são apresentados trabalhos que buscaram investigar o
comportamento de vigas com protensão externa, em ordem cronológica. Nesses
trabalhos foram propostas metodologias para obtenção das flechas na viga e da tensão
nos cabos baseadas em estudos experimentais e teóricos. Procedimentos normativos
sobre a protensão externa também são abordados.
Em geral, os trabalhos compreenderam o caso de vigas bi-apoiadas e contínuas
em concreto armado com diferentes seções transversais. Consideraram-se cargas
distribuídas ou concentradas, diferentes números de desviadores e a influência dos
efeitos de segunda ordem no comportamento das vigas.
2.3.1 Estudo de MACGREGOR (1989)
Este estudo compreendeu uma investigação experimental com um modelo em
escala reduzida da ponte San Antonio Y, nos Estados Unidos. O modelo possuía três
vãos de 7,62m, seção do tipo caixão e foi construído com uma parte das aduelas pré-
fabricadas fixadas com junta seca e a outra parte com epóxi.
A Figura 2-4 mostra o arranjo dos cabos e seções transversais típicas nos apoios
e meio dos vãos do modelo. Nos apoios, os cabos externos eram desviados na
extremidade superior da mesa e, nos vãos, em duas regiões da parte inferior.
Figura 2-4 – Arranjo dos cabos externos
milímetros
As vigas foram ensaiadas
vãos, espaçadas de aproximadamente
AASHTO:1983, como ilustra a
Figura 2-5 – Esquema de carregamento
dos cabos externos e seções transversais, com d
milímetros (MACGREGOR, 1989, p. 55).
As vigas foram ensaiadas variando-se a posição de duas cargas concentradas
de aproximadamente 122cm, simulando o trem tipo HS20 da
, como ilustra a Figura 2-5.
Esquema de carregamento da estrutura em um dos vãos de extremidade
(MACGREGOR 1989, p. 171).
11
, com dimensões em
cargas concentradas nos
simulando o trem tipo HS20 da
de extremidade
12
O objetivo do trabalho foi examinar o efeito do tipo de junta na rigidez,
resistência e ductilidade da estrutura, além de propor uma equação para o cálculo da
tensão nos cabos, e dele foram tiradas as seguintes conclusões:
Os cabos externos não deslizaram até a aplicação da carga total de serviço, mas
para estágios de carga próximos ao da carga última foi observado que todos os
cabos deslizaram sobre os desviadores.
A tensão efetiva, ou seja, a tensão final após a contabilização das perdas é o
fator mais importante que afeta a resistência à flexão. Se perdas por atrito,
relaxação e retração forem subestimadas, a resistência à flexão atingida será
menor do que a prevista podendo levar a viga à ruptura sob uma carga inferior à
prevista.
A relação altura plástica/comprimento livre do cabo Zp/li (Figura 2-6) é o
segundo fator mais importante que afeta a tensão nos cabos externos. A extensão
da rótula plástica é uma função direta de Zp. Uma relação Zp/li alta conduz a
acréscimos de tensões maiores e uma baixa a acréscimos pequenos de tensão.
A curva de tensão normal nos cabos em função da carga indicou diferentes
comportamentos, como ilustra a Figura 2-7. Inicialmente, a tensão nos cabos
pouco aumentou com o acréscimo de carga (Trecho A-B). A partir do ponto B,
quando a posição da linha neutra se encontrava na mesma altura dos cabos, e do
ponto C, instante em que a resultante das forças de compressão do concreto se
concentrou na mesa superior, observaram-se maiores aumentos de tensão nos
cabos até a ruptura (ponto D).
Figura 2-6 – Altura plástica, Zp, definida como sendo a distância da rótula plástica ao
cabo externo (MACGREGOR, 1989, p. 335).
Figura 2-7 – Diagrama esquemático
MACGREGOR (1989) propôs
nos cabos externos na seção de maior momento fletor
também é válida para o caso de cabos
e
p
cupspepsL
dE
−+= εξσσ
+=
s
eN
LL
5,010
σps : tensão nos cabos externos
σpe : tensão efetiva após perdas
fpy: resistência de escoamento do aço dos cabos externos
Eps : módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos
εcu : deformação específica do concreto no ELU, adotada como 3‰
dp : altura útil dos cabos externos
xu : altura da linha neutra no ELU
O valor do coeficiente
rótula plástica e a altura da linha n
PANNEL (1976). O comprimento efetivo do cabo,
total do cabo, L0, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo
Diagrama esquemático de tensão dos cabos com o acréscimo de carga
(MACGREGOR, 1989, p. 308).
MACGREGOR (1989) propôs a equação (2.1) para a determinação d
na seção de maior momento fletor no estado limite último
para o caso de cabos internos não aderentes.
py
e
uf
x≤
: tensão nos cabos externos
tensão efetiva após perdas
: resistência de escoamento do aço dos cabos externos
: módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos
a do concreto no ELU, adotada como 3‰
: altura útil dos cabos externos
: altura da linha neutra no ELU
O valor do coeficiente ξ =10,5, que representa a relação entre o comprimento da
e a altura da linha neutra, foi determinado experimentalmente por TAM e
PANNEL (1976). O comprimento efetivo do cabo, Le, depende do comprimento inicial
, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo
13
om o acréscimo de carga
determinação da tensão
no estado limite último, que
(2.1)
(2.2)
, que representa a relação entre o comprimento da
mentalmente por TAM e
, depende do comprimento inicial
, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo
14
de ruptura por flexão entre pontos de ancoragem dos cabos Ns. Em vigas simplesmente
apoiadas, Ns = 0 e, em vigas contínuas, Ns= 1 se o vão crítico for externo e Ns= 2 se o
vão crítico for interno.
A AASHTO:2012 adota essa equação para a determinação da tensão em cabos
não aderentes.
2.3.2 Estudos de NAAMAN (1990) e NAAMAN e ALKHAIRI (1991)
Os dois trabalhos buscaram desenvolver uma metodologia para a determinação
de tensões no concreto e no aço de vigas protendidas com cabos não aderentes, internos
ou externos, em serviço e no estado limite último.
Primeiramente NAAMAN (1990) desenvolveu um procedimento de cálculo para
o caso da protensão não aderente, partindo do caso de cabos aderentes e introduzindo
um coeficiente redutor de deformações, Ω. Em seguida, NAAMAN e ALKHAIRI
(1991) usaram um coeficiente redutor de deformações para o estado limite último, Ωu,
que levou a melhores resultados que a metodologia original.
O coeficiente de redução das deformações para a seção de momento fletor
máximo é a razão entre a variação da deformação no cabo não aderente e a no cabo
aderente equivalente e sua dedução pode ser vista em ALMEIDA (2001).
A Figura 2-8 representa de maneira esquemática a relação momento fletor-
deslocamento vertical para a seção transversal de uma viga com protensão não aderente.
Segundo NAAMAN (1990), é possível dividir essa relação em 4 estágios, que
representam o comportamento linear elástico não fissurado (trecho A-B), o
aparecimento da primeira fissura (trecho B-C), o comportamento linear elástico no
estado fissurado (trecho C-D) e comportamento não linear fissurado (trecho D-E). O
ponto E corresponde ao valor máximo de momento fletor e o F ao de ruptura. Foram
estabelecidas expressões para os coeficientes de redução de deformação relativos a
diferentes estágios.
Para o estágio linear elástico não fissurado, trecho A-B, o coeficiente de redução
de deformações, Ω, depende apenas da armadura e do tipo de carregamento. Os efeitos
de segunda ordem são desprezados e considera-se que o comportamento dos materiais é
linear elástico. Essas premissas são válidas para a determinação da tensão nos cabos
(equação 2.3) para um valor de momento fletor M variando entre o devido às cargas
permanentes, Mg, e o de fissuração, Mcr.
15
Figura 2-8 – Diagrama esquemático da relação entre momento fletor e deslocamento
vertical da seção de maior momento fletor de viga com cabos protendidos não aderentes
internos ou externos (NAAMAN, 1990, p. 352).
( )
Ω
++
−Ω+=
2m
g
g
ps
ps
c
g
mg
peps
eA
IA
E
EI
eMMσσ (2.3)
em: excentricidade do cabo de protensão no meio do vão
Ec: módulo de elasticidade longitudinal do concreto
Aps: área da seção transversal da armadura de protensão externa
Ag: área da seção transversal bruta de concreto
Ig: momento de inércia da seção bruta de concreto
Quando o momento fletor atuante ultrapassa o momento de fissuração, é dado
início ao estágio linear elástico no estado fissurado, trecho C-D. A viga é então dividida
em duas regiões, uma fissurada e outra não fissurada com momentos de inércia Icr e Ig,
respectivamente. Define-se para essa etapa o coeficiente redutor Ωc que depende de Ω,
da relação entre o momento de inércia da seção fissurada e da seção bruta, Icr/Ig, e da
relação entre o comprimento da região fissurada e o vão, Lc / L. As expressões para o
cálculo de Ω e Ωc, para alguns casos de carregamento e cabos com um desviador,
encontram-se na Tabela 2-1. NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do
comportamento em serviço, assumindo comportamento linear elástico para os materiais
e desprezando os efeitos de segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade
δδδδ
16
dos cabos externos com o aumento de carga. Analisando as expressões de Ωc, constata-
se que, se o valor de Lc / L for pequeno, o de Ωc fica aproximadamente igual ao de Ω.
A determinação de tensões nos cabos e no concreto é feita por meio de um
processo iterativo, pois dependem da altura da linha neutra x. A partir das equações de
equilíbrio, de compatibilidade de deformações e de relações entre tensões e
deformações dos materiais, chega-se a uma equação de terceiro grau em x, onde a
deformação no concreto aparece multiplicada por Ωc, que, por sua vez, depende da
altura da linha neutra. Uma vez encontrada a posição da linha neutra, é possível
determinar a tensão no cabo com a equação (2.4) e a tensão na fibra mais comprimida
do concreto com a equação (2.5), onde tensões e deformações entram em módulo.
−Ω+Ω+= 1
x
d
E
EE
p
cc
c
ps
ccecpspeps σεσσ (2.4)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdE
EAxd
E
EAxd
E
EAhx
bbxb
xEA
s
c
sss
c
ssp
c
psps
cfw
cecpepsps
cc
−−−−−Ω−−−
−
Ω+=
'''2
2
22
εεσ (2.5)
εce: deformação específica longitudinal do concreto no nível dos cabos externos
ds: altura útil da armadura longitudinal de tração passiva
ds’: altura útil da armadura longitudinal de compressão passiva
b: largura da mesa da seção transversal T ou I
bw: largura da alma da seção transversal T ou I ou largura da seção retangular
hf: altura da mesa da seção transversal T ou I
As: área da seção transversal da armadura longitudinal de tração passiva
As’: área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão passiva
Es, Es’: módulo de elasticidade longitudinal do aço de armadura passiva de tração e de
compressão
NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do comportamento em serviço,
assumindo comportamento linear elástico para os materiais e desprezando os efeitos de
segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade dos cabos externos com o
aumento de carga.
17
Tabela 2-1 – Fatores Ω, Ωc e Ωu para diferentes carregamentos e cabos com um desviador.
Estado não fissurado
Estado fissurado ELU
m
s
e
e
4
1
12
5+=Ω
−
−+Ω=Ω
4
4
2
2
41
21
1L
L
e
e
L
L
e
e
I
I
I
I c
m
sc
m
s
g
cr
g
crc
p
udL
3=Ω
+−−+
4
4
3
3
2
2
4
1
3
1
2
1
L
L
L
L
L
L
L
L cccc
m
s
e
e
6
1
3
1+=Ω
−−
−+Ω=Ω
L
L
L
L
I
I
I
I cc
g
cr
g
crc 2
111
p
udL
5,1=Ω
−
−+ 2
2
13
1
2
1
L
L
e
e
L
L c
m
sc
m
s
e
e
54
13
54
23+=Ω -
p
udL
3=Ω
Para o estado limite último, NAAMAN e ALKHAIRI (1991) optaram por
determinar o coeficiente de redução de aderência, Ωu, a partir de resultados
experimentais obtidos por outros pesquisadores no período de 1962 a 1990. O
coeficiente Ωu depende do tipo de carregamento e da relação entre vão e altura útil dos
cabos L/dp e é valido para vigas bi-apoiadas (ver Tabela 2-1). Para que os valores
calculados sejam inferiores aos obtidos experimentalmente, a tensão nos cabos é
limitada a 0,94 fpy. Dessa forma garante-se que as tensões nos cabos permaneçam
trabalhando no regime elástico linear, como admitido.
A posição da linha neutra no estado limite ultimo é obtida resolvendo-se a
equação (2.7). De posse do valor de xu, a tensão nos cabos na seção crítica fica
determinada pela equação (2.6). Nessas equações, é adotado o valor de 3‰ para εcu.
py
u
p
cupsupeps fl
l
x
dE 94,01
2
1 ≤
−Ω+= εσσ (2.6)
1
112
11
2
4
A
CABBxu
−+−= (2.7)
18
11 85,0 βwck bfA =
(2.8)
( ) fwckysyspeucupsps hbbffAfAl
lEAB −+−+
−
Ω= 85,0''
2
11 σε
(2.9)
2
11
l
ldEAC pucupsps Ω−= ε
(2.10)
l1: soma de comprimentos de trechos do vão com cabos e carregados
l2: comprimento entre ancoragens do cabo
β1 : fator que multiplicado pela altura da linha neutra fornece a altura do diagrama de
tensões de compressão retangular no concreto
A equação (2.9) é para o caso de β1 x > hf; para vigas com linha neutra na mesa
ou seção retangular, b=bw.
2.3.3 Estudos de DÉSIR (1993) e RÉGIS (1997)
DÉSIR (1993) elaborou uma rotina computacional para análise não-linear
geométrica e física de vigas hiperestáticas protendidas com cabos externos, dando
prosseguimento ao trabalho realizado por MARTINS (1989). Seu estudo considerou o
caso de estruturas de concreto armado e protendido com cabos externos.
A modelagem da estrutura foi feita por meio de um conjunto de elementos de
barra unidos entre si pelos nós, sendo que cada elemento possuía dois nós e quatro graus
de liberdade. O comprimento dos elementos na discretização da estrutura procurou obter
a melhor precisão dos resultados.
Algumas das características da sua rotina computacional foram:
A variação da excentricidade, que surge com a variação deslocamento vertical
da viga, v(x), foi contemplada, sendo a nova excentricidade definida por e0 –
v(x), como indicado na Figura 2-9.
19
Figura 2-9 – Variação da excentricidade dos cabos com a deformação da viga
(DÉSIR, 1993, p. 34).
Considerou-se o deslizamento dos cabos nos desviadores. A diferença de tensões
entre dois trechos adjacentes pode vencer o atrito, provocando o deslizamento do
cabo nos desviadores. A formulação para a consideração dos deslizamentos dos
cabos é atribuída a MARTINS (1989) e VIRLOGEUX et al. (1986) e depende
do ângulo de desvio entre os trechos, αi, e do coeficiente de atrito, fi, como
mostra a Figura 2-10.
Para representar a não-linearidade física do material foi adotada a formulação do
CEB – FIP MC 90 (1993). A não-linearidade geométrica foi feita atualizando-se
a configuração deformada da estrutura em cada etapa de carregamento.
Figura 2-10 – Discretização de dois trechos consecutivos para determinação da carga Pj,
responsável por provocar o deslizamento (DÉSIR, 1993, p. 36).
20
DÉSIR (1993) comparou seus resultados com os de rotinas computacionais
desenvolvidas por outros autores e verificou que eles ficaram dentro da faixa dos
obtidos com outros programas.
O estudo indicou que:
Vigas providas de armadura passiva têm uma perda de rigidez menos acentuada,
sendo essa armadura determinante no comportamento das vigas no início da
fissuração.
O valor do coeficiente de atrito influencia o início de deslizamento dos cabos
nos desviadores e, consequentemente, a variação de tensões nos cabos.
Posteriormente, RÉGIS (1997) ensaiou duas vigas contínuas, de seção tipo I,
uma monolítica e outra formada por aduelas pré-moldadas ligadas por junta seca, com
dois vãos de 7,50m. As vigas foram protendidas com cabos externos compostos por 3
cordoalhas de 7 fios de 15,2mm e possuíam dois desviadores localizados
aproximadamente nos terços do vão, como mostra a Figura 2-11.
Seu objetivo era investigar o comportamento das vigas até a ruptura e comparar
os resultados experimentais com os obtidos usando o programa desenvolvido por
DÉSIR (1993). Foi avaliada a evolução das tensões nos cabos externos com a variação
da excentricidade dos cabos, o deslizamento dos cabos nos desviadores e a diferença de
comportamento entre vigas monolíticas e com aduelas pré-moldadas ligadas por junta
seca.
Figura 2-11 – Vista longitudinal da viga monolítica com esquema de carregamento e
seções transversais, com dimensões em milímetros (RÉGIS, 1997, p. 24).
21
No estudo verificou-se que:
Ambas as vigas apresentaram um comportamento dúctil.
Houve uma maior variação da excentricidade com o aumento do carregamento
na viga monolítica que na com aduelas. A variação da excentricidade até a
ruptura da viga monolítica chegou a 11%, enquanto que na viga com aduelas
pré-moldadas chegou a 2,5%.
As tensões nos cabos estão diretamente ligadas aos deslizamentos, os quais
dependem do coeficiente de atrito entre os cabos e desviadores. Assim, uma
avaliação correta do coeficiente é importante para a obtenção de bons resultados.
O coeficiente de atrito é uma variável importante para determinar o deslizamento
dos cabos nos desviadores. Uma calibração melhor do modelo matemático de
DÉSIR (1993) deve ser feita para que seja possível descrever melhor o
comportamento real da estrutura. A Figura 2-12 mostra uma comparação das
curvas carga-flecha obtidas por DÉSIR (1993) com as obtidas
experimentalmente. Para cargas baixas, o programa fornece flechas menores que
as verificadas no ensaio, tendendo essas flechas a se aproximarem para cargas
maiores.
Figura 2-12 – Curvas carga-flecha para vigas monolítica e com aduelas pré-moldadas
obtidas experimentalmente por RÉGIS (1997) e com o programa de DÉSIR (1993)
(RÉGIS, 1997, p. 101).
2.3.4 Estudos de
Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental
compreendeu dezesseis vigas. Os objetivos eram
protensão externa aplicada
resistência à flexão.
As vigas ensaiadas
parcialmente protendido com
concentradas nos terços do vão.
poligonal com um ponto de desvio e uma reta.
de carga e descarga para simular um estado de necessidade de reforço
protendidas externamente e carregadas
O programa experimental abrangeu
de armadura passiva ou dois (
valor de taxa de armadura,
Nas vigas com protensão interna, as fissuras fecharam totalmente ao ser aplicada
a protensão externa, enquanto nas vigas
apenas parcialmente. Comparando
diferentes relações entre momento fletor e
armado e com protensão interna. Nessas figuras pode
flecha causada pela protensão externa.
Figura 2-13 – Curva carga
reforçada com
de HARAJLI (1993) e HARAJLI et al.
Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental
vigas. Os objetivos eram investigar as vantagens
plicada em reforço e seu efeito no comportamento da estr
As vigas ensaiadas eram bi-apoiadas de concreto armado, concreto protendido e
parcialmente protendido com seção retangular, e foram carregadas com duas cargas
do vão. Duas configurações de cabos foram testadas, uma
de desvio e uma reta. Todas as vigas foram submetidas a ciclos
para simular um estado de necessidade de reforço
protendidas externamente e carregadas monotonicamente até a ruptura.
O programa experimental abrangeu, para cada tipo de viga, três valores
ou dois (viga parcialmente protendida) e, para cada tipo de
dois arranjos de cabos (poligonal ou reto).
Nas vigas com protensão interna, as fissuras fecharam totalmente ao ser aplicada
a protensão externa, enquanto nas vigas de concreto armado, as fissuras fecharam
apenas parcialmente. Comparando-se as Figuras 2-13 e 2-14, pode
entre momento fletor e flecha no meio do vão para vigas
protensão interna. Nessas figuras pode-se verificar a diminuição de
cha causada pela protensão externa.
Curva carga-flecha no meio do vão para viga com protensão interna
com cabos externos retos (HARAJLI, 1993, p. 81
22
. (1999)
Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental que
investigar as vantagens da técnica da
o comportamento da estrutura e na
apoiadas de concreto armado, concreto protendido e
carregadas com duas cargas
Duas configurações de cabos foram testadas, uma
Todas as vigas foram submetidas a ciclos
para simular um estado de necessidade de reforço antes de serem
três valores da taxa
para cada tipo de viga e
Nas vigas com protensão interna, as fissuras fecharam totalmente ao ser aplicada
, as fissuras fecharam
14, pode-se observar as
flecha no meio do vão para vigas de concreto
se verificar a diminuição de
com protensão interna
, p. 81).
Figura 2-14 – Curva carga
externos poligona
Para cabos retos, o
consistentemente menor do que
desviador ter sido responsável por manter a excentricidade na região
máximo, o que não aconteceu
Nas flechas, para a condição de serviço, houve uma redução de
nas vigas com a configuração de cabos poligonais
cabos retos. O arranjo de cabos poligonais se mostrou
presença do desviador na região de momento fletor máximo.
Para o caso de vigas com um desviad
deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão
(1993) propôs a equação
externos no regime linear elástico
do vão após os cabos externos serem
externos no meio do vão, em
pspspeps E εσσ ∆+=
onde
02
4δε
L
emps =∆
Curva carga-flecha para viga de concreto armado reforçada
externos poligonais (HARAJLI, 1993, p. 82).
Para cabos retos, o acréscimo de resistência à flexão das vigas foi
consistentemente menor do que para cabos poligonais. Isso é explicado pe
responsável por manter a excentricidade na região de momento fletor
, o que não aconteceu nas vigas com cabos retos.
, para a condição de serviço, houve uma redução de
vigas com a configuração de cabos poligonais em comparação com as
O arranjo de cabos poligonais se mostrou mais eficiente
presença do desviador na região de momento fletor máximo.
o caso de vigas com um desviador, considerando que o aumento da
deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão
(2.11) para o cálculo do acréscimo de tensões nos cabos
no regime linear elástico. Ele é função do aumento da flecha na seção do meio
os cabos externos serem tracionados, δ0, da excentricidade dos cabos
m, e do vão, L (equação 2.12).
23
reforçada com cabos
acréscimo de resistência à flexão das vigas foi
explicado pelo fato do
de momento fletor
, para a condição de serviço, houve uma redução de cerca de 36%
com as das vigas de
mais eficiente em virtude da
que o aumento da
deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão, HARAJLI
para o cálculo do acréscimo de tensões nos cabos
a flecha na seção do meio
a excentricidade dos cabos
(2.11)
(2.12)
24
Posteriormente a esse estudo experimental, HARAJLI et al. (1999) apresentaram
um modelo numérico não-linear com o objetivo de avaliar o comportamento e
resistência de elementos de concreto armado e protendido com protensão externa. Esse
trabalho investigou o efeito da configuração dos cabos externos, a tensão de protensão
efetiva e o tipo de carregamento. Segundo os autores, esses são os parâmetros que mais
influenciam os efeitos de segunda ordem.
A análise não-linear física e geométrica foi baseada no método da deformação
incremental, na qual a viga é subdividida em elementos menores e a deformação
específica do concreto na seção mais crítica aumenta de forma incremental simulando
um acréscimo gradual de carregamento. Em cada etapa de carregamento, as condições
de compatibilidade de deformações e de equilíbrio são satisfeitas e considera-se a
mudança de excenticidade dos cabos com o aumento do deslocamento vertical da viga.
A flecha no meio do vão é obtida pela integração da curvatura.
O modelo numérico proposto foi testado, comparando-se resultados por ele
fornecidos com os experimentais de KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e TAN e NG
(1997). No estudo conduzido por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997), 12 vigas foram
ensaiadas, divididas em grupos com 3 vigas cada. A Figura 2-15 mostra uma vista geral
com seção transversal, arranjo das armaduras e esquema de carregamento. As principais
variáveis nos ensaios foram a taxa de armadura passiva, a área da seção transversal dos
cabos externos e o traçado dos cabos (retos ou com um desviador).
Figura 2-15 – Vista longitudinal e seção transversal das vigas ensaiadas por
KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) (HARAJLI et al., 1999, p.1153).
25
Verificou-se uma boa correlação entre resultados do modelo numérico e os
experimentais, como mostram as Figuras 2-16 e 2-17. Nos gráficos, as letras C, S e D se
referem à viga sem cabos externos, com cabos retos e com um desviador,
respectivamente. Nessas figuras pode-se notar o aumento da resistência à flexão com a
utilização de cabos externos, que foi maior no caso de haver desviador, e que as curvas
obtidas numericamente tenderam a se aproximar mais das experimentais para cargas
maiores.
A partir de análises feitas numericamente para uma viga bi-apoiada de seção
retangular, os autores concluíram que, sob o ponto de vista do tipo de carregamento,
uma carga única concentrada produz efeitos de segunda ordem menores que uma carga
distribuída ou duas cargas nos terços do vão, já que na ruptura o comprimento de rótula
plástica é menor, mobilizando assim, menores deformações.
Figura 2-16 – Comparação entre curvas carga-flecha esperimentais de KHAIRALLAH
e HARAJLI (1997) e as obtidas numericamente por HARAJLI et al. (1999).
26
Figura 2-17 – Comparação entre curvas momento fletor-acréscimo de tensão nos cabos
obtidas experimentalmente por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e as dadas pelo
modelo numérico de HARAJLI et al. (1999).
Para avaliar a influência do traçado dos cabos externos na capacidade resistente
da viga, variou-se o número de desviadores. Foram testadas três configurações distintas:
sem desviador, apenas um desviador no meio do vão e dois desviadores posicionados
nos terços do vão. Na Figura 2-18 é possível perceber que a configuração sem
desviadores foi a que conduziu a menor momento fletor máximo e maiores flechas, para
todas as taxas de armadura mecânica adotadas. Devido ao efeito de segunda ordem,
vigas sem desviadores são menos eficientes, uma vez que a redução de excentricidade
com o acréscimo de carregamento é mais acentuada.
27
Figura 2-18 – Curvas momento fletor-flecha para três configurações de desviadores e
taxas de armadura mecânica (HARAJLI et al., 1999, p. 1157).
Duas vigas, uma em concreto armado e outra em concreto protendido, foram
analisadas com o objetivo de avaliar a influência da tensão efetiva de protensão. As
Figuras 2-19 e 2-20 mostram as curvas momento fletor-flecha para duas vigas com
diferentes tensões efetivas consideradas. Os autores observaram que o aumento da
tensão efetiva nos cabos externos aumenta o momento resistente e reduz a flecha e a
ductilidade da viga. Comparando a viga de concreto armado com a protendida,
constatou-se que a protensão externa possibilita o mesmo ganho de resistência à flexão
em ambas.
Figura 2-19 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto protendido com
diferentes tensões efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159).
28
Figura 2-20 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto armado com
diferentes tensões efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159).
2.3.5 Estudos de TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005)
NG e TAN (2005a) propuseram expressões para determinação da flecha e da
tensão última nos cabos externos utilizando coeficientes redutores de aderência. Foi
elaborada uma análise dita pseudo-seccional que computa os efeitos de segunda ordem
devidos à mudança de excentricidade dos cabos baseando-se na compatibilidade de
deformações e condições de equilíbrio na seção. O intuito foi evitar análises numéricas
mais complexas e fornecer uma maneira mais direta de dimensionamento.
Segundo os autores, a relação vão/altura útil (L/dp) não deveria ser levada em
conta para a determinação da tensão última nos cabos. Uma das justificativas seria que
nos cabos externos não se reproduz o efeito de pino, já que os cabos se encontram fora
da seção transversal da viga, o que não geraria tensões adicionais nos cabos (Figura
2-21).
Figura 2-21 – Acréscimo de tensões devido ao efeito de pino em cabos internos e
ausência do efeito para cabos externos em face do movimento não restringido dos cabos
(NG, 2003, p. 645).
29
O parâmetro escolhido por NG e TAN (2005a) para o coeficiente redutor no
estado limite último, θu, foi a relação entre o espaçamento e a altura útil inicial dos
desviadores, sd/dp. Segundo os autores, a escolha do espaçamento, ao invés do vão, é
mais adequada, pois reflete o fato de que o efeito de segunda ordem é mais relevante
para vigas com maior espaçamento entre desviadores e menos quando a altura útil
inicial é maior. A constante adimensional kn, dada pela equação (2.13), deve ser usada
para a consideração dos efeitos de segunda ordem. Para o regime não fissurado e
fissurado, o estudo de NG e TAN (2005) seguiu o trabalho já desenvolvido por
NAAMAN (1990).
O coeficiente proposto pelos autores é válido para o caso de vigas bi-apoiadas
com duas cargas concentradas nos terços do vão. A tensão nos cabos externos no estado
limite último pode ser obtida com a equação (2.15), onde a é a distância do apoio até a
seção de aplicação de carga.
>
≤
=
15144,0
150096,0
p
d
p
d
p
d
n
d
spara
d
spara
d
s
k (2.13)
n
p
u kh
d
L
a−
−= 364,1895,0θ (2.14)
py
u
p
cupsupepspeps fx
dE ≤
−+=∆+= 1εθσσσσ (2.15)
Os autores propuseram também expressões para determinação da excentricidade
e flecha no meio do vão no estado limite último, assim como para a altura útil dos cabos
de protensão:
+
⋅−−
−
−
⋅+
=
2281
4
313
622
2
aaLL
IE
A
L
a
L
a
x
Le
e
ec
pspe
u
cum
u σ
ε
(2.16)
⋅+= 13
6
2
L
a
x
Ldd
u
cuppu
ε
−
⋅=
4
3
6
22
,L
a
x
L
u
cuumid
εδ
Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto I
g
cr
eM
MI
M
MI
−+
=
3
max
1
. A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos
experimentais realizados por TAN e NG (1997) e NG e TAN (
estudo consistiu de 6 vigas bi
número de desviadores e
protensão externa. Em três
desviadores ao longo do vão. As outras
vão e cabos retos ou poligonais
Todas as vigas foram carregadas com duas cargas nos terços do vão e levadas até a
ruptura.
Figura 2-22 – Configuração das vigas ensaiadas com d
+
⋅−+
−
−
2284
31
22 aaLLe
IE
A
L
au
ec
pspeσ
( )
−−
⋅−
68
22aeeLe
IE
Asuu
ec
pspeσ
Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto I
cr
cr IM
M
3
max
A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos
experimentais realizados por TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005b).
6 vigas bi-apoiadas em seção T e objetivou estudar a influência do
número de desviadores e do traçado dos cabos no comportamento de vigas com
das vigas, que possuíam cabos retos, variou
desviadores ao longo do vão. As outras três vigas possuíam um desviador no meio do
retos ou poligonais. A Figura 2-22 mostra esquema das vigas ensaiadas.
Todas as vigas foram carregadas com duas cargas nos terços do vão e levadas até a
nfiguração das vigas ensaiadas com dimensões em milímetros
(TAN e NG, 1997, p. 16).
30
(2.17)
(2.18)
Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto Ie dada por:
(2.19)
A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos
2005b). O primeiro
estudar a influência do
o traçado dos cabos no comportamento de vigas com
variou-se o número de
vigas possuíam um desviador no meio do
das vigas ensaiadas.
Todas as vigas foram carregadas com duas cargas nos terços do vão e levadas até a
em milímetros
31
Posteriormente, NG e TAN (2005b) ensaiaram nove vigas, todas bi-apoiadas e
com seção T. Variaram-se o número de desviadores e a relação L/dp com o objetivo de
avaliar a influência do número de desviadores nos efeitos de segunda ordem e a
importância da relação L/dp nas tensões finais nos cabos. As vigas foram carregadas
com duas cargas nos terços do vão até a ruptura. A Figura 2-23 mostra cabos e
desviadores das vigas ensaiadas.
Os resultados obtidos dos dois estudos experimentais foram confrontados com
os calculados com a fórmula proposta. Em geral, a diferença entre as tensões nos cabos
obtidas experimentalmente e as calculados ficou na ordem de 8%. A Figura 2-24 mostra
curvas carga-tensão nos cabos externos segundo cálculos e ensaios.
Nessa figura, observa-se que as vigas sem desviadores atingiram cargas de
ruptura inferiores às das vigas com um ou mais desviadores.
Figura 2-23 – Configuração de cabos das vigas ensaiadas, com dimensões em
milímetros (NG e TAN, 2005b, p. 624).
32
Figura 2-24 – Curvas carga-tensão nos cabos externos, calculadas e experimentais, para
diferentes números de desviadores (NG e TAN, 2005b, p. 630).
Para as vigas com um desviador apenas e relações L/dp até 22,5 (ST-1, ST-2,
ST-3 e ST-4), a diferença de momento último observado nas vigas foi da ordem de 10%
(Figura 2-25) e a adoção de um único desviador no meio do vão foi suficiente para
minimizar os efeitos de segunda ordem. Ainda para essas mesmas vigas, no estado
limite último, os autores observaram que o aumento da tensão nos cabos externos foi
independente da relação L/dp. Concluiu-se que, para vigas com L/dp=30, são necessários
pelo menos dois desviadores, uma vez que a tensão nos cabos é mais influenciada pelos
efeitos de segunda ordem.
Figura 2-25 – Curvas momento fletor-tensão nos cabos externos obtidas nos ensaios
(NG e TAN, 2005b, p. 625).
33
2.3.6 Estudo de DALL’ASTA et al. (2007)
Os autores realizaram uma análise numérica para vigas de concreto armado com
protensão externa, visando a obtenção do acréscimo de tensão nos cabos e a respectiva
carga no estado limite último.
O método foi baseado na observação de que vigas com mesmas configurações
estruturais como traçado de cabos, tipo de carregamento e condições de apoio possuem
similar distribuição de curvatura na ruptura e de que poucas diferenças ocorrem com a
variação da seção transversal, altura da seção, vão e armadura.
A análise numérica é feita em duas etapas. Na primeira etapa a viga de concreto
armado é analisada por meio de um modelo de elementos finitos validado anteriormente
por DALL’ASTA e ZONA (2005). Com o intuito de obter resultados mais precisos, a
viga foi modelada com uma malha de 30 elementos. Nesse modelo são aplicados
deslocamentos na seção crítica, obtendo-se as deformações na seção e curvatura da viga.
Os deslocamentos são aplicados até que se atinja a deformação limite para o aço ou o
concreto no estado limite último.
Na segunda etapa, os autores definiram uma expressão denominada função de
forma, que depende do deslocamento dos desviadores, número de desviadores,
carregamento, geometria e apoios da viga. Essa função associa a variação da deformada
da viga, medida pela curvatura ϕu, com a variação do alongamento dos cabos εps (ϕu), e a
variação da força nos cabos, ∆T(ϕu).
A força final nos cabos no estado limite último, Tu (ϕu), é obtida acresentando-se
a variação ∆T(ϕu) à força inicial aplicada T0.
)()()( 00 uuupspspsuu TTATT φφεσφ ∆+=+= (2.20)
A Figura 2-26 mostra o modelo estrutural esquemático de uma viga com cabos
externos analisada pelos autores. O método proposto reduz a análise de toda a viga à da
seção crítica apenas. Dessa maneira evita-se uma análise não-linear completa em todo o
sistema cabo-viga. Por se tratar de uma análise apenas da seção critíca, o estudo se
limitou a encontrar a tensão nos cabos e a carga máxima para o estado limite último.
Figura 2-26 – Modelo estrutural
Nas análises foram adotadas p
específica não linear do CEB
FIB (1998).
Com a método proposto,
apoiadas variando a seção transversal, taxa de armadura e número de desviadores. A
Figura 2-27 mostra o carregamento, arranjo
Foram adotadas duas taxas de armadura passiva, 0,3% e 1,0%, duas seções transversais
e dois traçados para os cabos
ou 50m. O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura
máxima e a influência da relação L/d
Figura 2-27 – Arranjo dos cabos e
(DALL’ASTA
Modelo estrutural esquemático cabo-estrutura (DALL’ASTA
p. 123)
Nas análises foram adotadas para o concreto a curva tensão normal
não linear do CEB – FIP MC 90 (1993) e para os aços as curva
Com a método proposto, DALL’ASTA et al. (2007) analisaram 72 vigas bi
apoiadas variando a seção transversal, taxa de armadura e número de desviadores. A
o carregamento, arranjos dos cabos e seções transver
Foram adotadas duas taxas de armadura passiva, 0,3% e 1,0%, duas seções transversais
dois traçados para os cabos (com um e dois desviadores) e os vãos eram de 30m, 40m
O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura
máxima e a influência da relação L/dp e número de desviadores nas tensões nos cabos.
Arranjo dos cabos e seções transversais, com dimensões em centímetros
(DALL’ASTA et al., 2007, p. 125).
34
estrutura (DALL’ASTA et al., 2007,
tensão normal-deformação
rvas bilineares da
(2007) analisaram 72 vigas bi-
apoiadas variando a seção transversal, taxa de armadura e número de desviadores. A
os e seções transversais adotados.
Foram adotadas duas taxas de armadura passiva, 0,3% e 1,0%, duas seções transversais
s vãos eram de 30m, 40m
O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura na carga
e número de desviadores nas tensões nos cabos.
imensões em centímetros
35
Os autores compararam as tensões nos cabos obtidas com as calculadas usando
expressões das normas ACI 318:2002 e AASHTO:1994. Em todos os casos analisados,
as expressões das normas forneceram valores de variação da tensão nos cabos menores.
Na ruptura, a variação da tensão nos cabos externos não dependeu da relação
L/dp, como também tinham concluído NG e TAN (2005b).
Para as vigas com dois desviadores, a carga máxima obtida foi superior à da viga
com um desviador apenas e a da viga com taxa de armadura de 1,0% foi cerca de 9%
superior à da com 0,3%.
2.3.7 Estudo de HE e LIU (2010)
Esses autores apresentaram equações para a determinação do acréscimo de
tensões nos cabos externos de vigas com protensão interna e externa não aderente para
condições de serviço e para o estado limite último. O estudo foi feito para vigas bi-
apoiadas com carregamento uniformemente distribuído e concentrado.
Desconsideraram-se a deformação devida ao esforço cortante e o atrito entre
desviador e cabo, a tensão ao longo do cabo foi admitida uniforme e o efeito de segunda
ordem foi contemplado por meio de fatores de correção de tensão e altura útil.
Com base em resultados experimentais de outros autores, foi concluído que
existe uma correlação praticamente linear entre ∆σps e δmid.
Em condições de serviço, o acréscimo de tensão nos cabos externos (equação
2.21), ∆σps, é expressa em termos da flecha da viga no meio do vão obtida da equação
(2.22), onde Mmax é o momento fletor máximo e K, dado pela Teoria da Resistência dos
Materiais (ver Tabela 2-2), depende do tipo de carregamento.
( )2
L
eE midmmidps
ps
δηδσ
Ψ−=∆
(2.21)
gc
midIE
LMK
2max=δ
(2.22)
Na equação (2.21), η depende da relação entre a excentricidades do cabo no
apoio e no meio do vão, es/em e η e ψ dependem do carregamento e da configuração dos
cabos, como indicado na
Tabela 2-2.
36
Para o estado limite último, a partir de dados experimentais verificou-se que a
equação (2.21) ainda se mostra válida, mas substituindo δmid por δmid,u dada pela
equação (2.23). No cálculo de δmid,u assumiu-se que a rigidez em qualquer seção ao
longo da viga fosse igual à da seção mais solicitada, o que conduziu a valores
superestimados de flecha. Para contornar isso, adotou-se o coeficiente corretor γ na
equação (2.23), que, como mostra a Tabela 2-2, depende de L/dp.
u
cuumid
xLK
εγδ 2
, =
(2.23)
( )2
,,
L
eE umidmumidps
ps
δηδσ
Ψ−=∆
(2.24)
Tabela 2-2 – Valores de η, ψ, γ e K para casos de carregamentos distribuído e
concentrado, um e dois desviadores (HE e LIU, 2010, p.1058).
η ψ K γ
m
s
e
e4,24 − 0,97
485
pdL
35,278,0 +
( )( )
135
52232 ms ee−
0,43
m
s
e
e24 − 0,80
121
pd
L
33,0 +
( )9
846 ms ee− 0,45
( )23
5688 ms ee− 0,94
21623
pdL
35,278,0 +
( )23
24100 ms ee−
0,41
Para verificar sua metodologia, os autores utilizaram os resultados experimentais
de TAN e NG (1997), HARAJLI et al. (1999) e NG e TAN (2005b). Foi possível
37
verificar que os valores obtidos com a equação proposta concordaram melhor com os
experimentais que os calculados segundo expressões do ACI 318:2008 e
AASHTO:2004, que se mostraram muito conservadores.
Os autores concluíram que o efeito de segunda ordem pode ser reduzido com
eficácia se ao menos um desviador for colocado no meio do vão, podendo ser
desprezado se dois desviadores forem colocados nos terços do vão. A magnitude dos
efeitos de segunda ordem depende especialmente da disposição e número de
desviadores, como ilustra a Figura 2-28.
Figura 2-28 – Influência do número de desviadores na variação de tensão dos cabos
(HE e LIU, 2010, p. 1063).
Ainda segundo os autores, a magnitude dos efeitos de segunda ordem depende
principalmente do traçado dos cabos e da relação L/em. Para vigas com pelo menos dois
desviadores e L/em>50, a perda de excentricidade é menor do que 5%, mas essa perda
pode ser maior que 50% caso nenhum desviador seja previsto.
2.3.8 Estudo de GHALLAB (2013)
Para vigas de concreto armado e protendido tendo protensão externa,
GHALLAB (2013) propôs uma equação para a determinação da tensão nos cabos
externos. Sua equação abrangeu o caso de vigas bi-apoiadas e contínuas, diferentes
materiais para os cabos externos
concentradas e distribuída)
O autor seguiu o trabalho
determinação da tensão nos cabos por meio
deformação. Além do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas
simplificações:
A deformação na direção longitudinal
considerada com a justificativa de que a deformaç
antes dos cabos serem ancorados
Admitiu-se que não há mudança de posição
ancoragens, com a justificativa
seção transversal e a mudança da posição da ancoragem nas extremidades é
relativamente pequena e pode ser desprezada
Não foi considerado o atrito nos desviadores.
Figura 2-29 – Configuração esquemática
mostrando a pequena mudança de posição
A tensão final nos cabos externos é dada pela equação
tensão nos cabos pela equação
pspeps σσσ ∆+=
externos, três tipos de carregamento (uma ou duas cargas
concentradas e distribuída) e traçado dos cabos reto ou poligonal.
O autor seguiu o trabalho já desenvolvido por outros pesquisadores
inação da tensão nos cabos por meio da adoção de coeficientes corretores de
lém do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas
na direção longitudinal da viga devida à protensão n
justificativa de que a deformação elástica do concreto ocorre
serem ancorados.
ão há mudança de posição dos cabos onde se encontram as
ancoragens, com a justificativa de que, no estado limite último, a rotação da
seção transversal e a mudança da posição da ancoragem nas extremidades é
pequena e pode ser desprezada (ver Figura 2-29).
erado o atrito nos desviadores.
Configuração esquemática dos cabos externos antes e após carregamento,
mostrando a pequena mudança de posiçãodo ponto A na extremidade
(GHALLAB, 2013, p.423).
A tensão final nos cabos externos é dada pela equação (2.25) e o
tensão nos cabos pela equação (2.26).
38
(uma ou duas cargas
por outros pesquisadores para a
da adoção de coeficientes corretores de
lém do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas
da viga devida à protensão não foi
elástica do concreto ocorre
nde se encontram as
de que, no estado limite último, a rotação da
seção transversal e a mudança da posição da ancoragem nas extremidades é
antes e após carregamento,
ponto A na extremidade
) e o acréscimo de
(2.25)
39
pspsps E εσ =∆ (2.26)
0
0
0 L
LL
L
L final
ps
−=
∆=ε (2.27)
Os comprimentos inicial e final do cabo são o somatório de comprimentos
iniciais e finais li no vão (equações 2.28 e 2.30).
n
n
i
i lllllL ++++==∑=
...3211
0
(2.28)
( )221 01 ddLl
AB−+=
( )222 12 ddLl
BC−+=
( )223 32 ddLl
CD−+= etc.
O comprimento final dos cabos, Lfinal, depende da nova posição dos desviadores
após o carregamento e foi proposta a equação (2.29) para o cálculo do deslocamento
vertical dos desviadores considerando o coeficiente corretor kg, válido para vigas
simples apoiadas, e cuε =3,0‰.
2L
xk
u
cugdesv
εδ = (2.29)
****
1
* ...321 ni
lllllLn
i
final ++++==∑=
(2.30)
( )[ ]22* 0111
ddLlAB
−∆−+=
( ) ( )[ ]22* 22112
∆+−∆++= ddLlBC
( )[ ]22* 3223
ddLlCD
−∆++= etc.
Para vigas continuas adotou-se kc no lugar de kg na equação (2.29). Os valores
dos coeficientes kc e kg são mostrados na Tabela 2-3.
40
Tabela 2-3 – Fatores de multiplicação kg e kc (GHALLAB, 2013, p.424).
Viga simplesmente apoiada Viga continua
Uma carga concentrada
( )( )Ll
Llk
d
dg
−
−=
148
43 2
−+=
max
sup0625,05,01
M
M
kkk
orte
g
gc
Duas cargas concentradas
( )6
125,02
Llk d
g −=
−+=
max
sup0625,05,01
M
M
kkk
orte
g
gc
Carga uniformemente
distribuída 104,0=gk
−=
max
sup
101104,0
M
Mk
orte
c
Msuporte: momento fletor no apoio; Mmax: momento fletor máximo no vão ld: distância entre cargas concentradas
O autor comparou os resultados obtidos utilizando o método proposto para o
cálculo de tensões com os de 37 vigas com desviadores ensaiadas por outros autores,
chegando à conclusão de que, em geral, o método fornece bons resultados, mas pode ser
melhorado.
Os valores encontrados pelo autor para a tensão última nos cabos foram
superiores aos calculados segundo as normas ACI 318:2011 e EN 1992-1-1:2004.
Concluiu-se que os procedimentos dessas normas não fornecem bons resultados para o
caso de dp > h.
2.4 Procedimentos Normativos Referentes à Protensão Externa
2.4.1 NBR 6118:2014
A ABNT NBR 6118:2014 é limitada quanto a considerações especiais para a
protensão externa, não explicita distinção de dimensionamento para protensão interna
não aderente e externa e em um único item faz a recomendação de que as bainhas
podem ser de material plástico resistente a intempéries com proteção adequada para a
armadura.
Para protensão interna não aderente, são dadas para variação da tensão nos cabos
as mesmas fórmulas que constam na ACI 318:2014, dadas abaixo.
41
2.4.2 ACI 318:2014
As equações propostas para a determinação da tensão final em cabos internos
não aderentes também são usadas para o caso de cabos externos. O cálculo da tensão
nos cabos depende da relação vão/altura útil, L/dp e as equações propostas só podem ser
utilizadas caso se garanta que σpe ≥ 0,5 fpu.
É comentado que deve-se assegurar que a excentricidade desejada entre os cabos
e o centroide da seção seja mantida, garantindo-se assim que efeitos de segunda ordem
não surjam.
As equações para a determinação da tensão nos cabos são função de fck e da taxa
da armadura de protensão, ρp e fornecem maior variação de tensão para vigas com
relação L/dp ≤ 35.
+≤++=
MPa
ffMPa
pe
py
p
ckpeps 420100
70σρ
σσ para L/d p≤ 35 (2.31)
+≤++=
MPa
ffMPa
pe
py
p
ckpeps 210300
70σρ
σσ para L/d p> 35 (2.32)
p
ps
pdb
A=ρ
(2.33)
2.4.3 AASHTO:2012
Nas edições a partir de 2004, a AASHTO passou a adotar para o cálculo da
tensão em cabos não aderentes a metodologia proposta por MACGREGOR (1989).
Para o cálculo da tensão nos cabos sem aderência, a AASHTO:2012 propõe a
equação (2.34), que leva em consideração o comprimento efetivo dos cabos, Le, e a
posição da linha neutra. A equação também é usada para o caso de cabos externos. O
valor encontrado para a tensão nos cabos é em megapascal (MPa).
py
e
p
peps fL
xd≤
−+= 0630σσ (2.34)
+=
s
eN
LL
2
2 0 (2.35)
42
Caso uma análise quanto à vibração dos cabos não indique valor menor, o
comprimento livre máximo dos cabos deve ser 7,5m. Para o caso de pontes com vãos da
ordem de 24m, com seções-caixão simples ou múltiplas, executadas pelo método de
balanços sucessivos ou qualquer outro método incremental, a AASHTO:2012 indica a
necessidade dehaver acesso e espaço para a colocação de desviadores e cabos externos
extras, capazes de fornecer uma força de protensão correspondente a pelo menos 10%
de acréscimo nos momentos fletores positivo e negativo.
2.4.4 EN 1992-1-1:2004
No cálculo da tensão no estado limite último para membros com cabos não
aderentes, a EN 1992-1-1:2004 estabelece que é geralmente necessário considerar a
deformação de todo o membro no cálculo da variação de tensão nos cabos. Neste caso,
deve-se adotar os valores médios das propriedades dos materiais e o valor de projeto
dessa variação deve considerar coeficientes de segurança parciais superior e inferior
iguais a 1,2 e 0,8, respectivamente.
Caso não seja feita uma análise da deformação de todo o membro, no estado
limite último, pode ser assumido que MPaps 100=∆σ .
2.5 Considerações Sobre a Protensão Externa
Um dos fatores que tornam complexa a análise de vigas protendidas
externamente é a variação de excentricidade dos cabos externos com a aplicação do
carregamento. À medida que a carga é aplicada, a viga se deforma enquanto os cabos
permanecem retilíneos entre as ancoragens e os desviadores, resultando em uma
variação da distância entre os cabos e o centroide da seção, o chamado efeito de
segunda ordem (Figura 2-30). Ele acarreta redução da excentricidade da força de
protensão e consequente redução da resistência à flexão.
43
Figura 2-30 – Variação da excentricidade em uma viga com cabos externos e dois
desviadores e demarcação do limite entre região fissurada e não fissurada
(NAAMAN e ALKHAIRI 1991, p. 684).
Segundo HARAJLI et al.(1999), os efeitos de segunda ordem são influenciados
principalmente pelo número de desviadores, tipo de carregamento e tensão de protensão
efetiva. Para mesmos carregamento e traçado de cabos, em vigas com duas cargas
concentradas nos terços do vão ou carga uniformemente distribuída, os efeitos são
maiores que em vigas com uma única carga concentrada no meio do vão.
Uma maneira de minimizar os efeitos de segunda ordem é adotar um número
mínimo de desviadores (NG e TAN, 2005b). Isto é indiretamente indicado na ACI
318:2014, ao estipular que devem ser garantidos dispositivos que mantenham a
excentricidade de projeto prevista. Com base em seu estudo experimental, NG e TAN
(2005b) concluíram que, para vigas com L/dp ≤ 22,5, um desviador é suficiente para
minimizar os efeitos de segunda ordem e, para vigas com L/dp=30, são necessários pelo
menos dois desviadores.
Caso não seja possível adotar o número desejável de desviadores, o efeito de
segunda ordem pode ser considerado reduzindo-se a capacidade resistente à flexão da
viga por meio da redução da tensão última nos cabos. HE e LIU (2010) propuseram um
coeficiente redutor de aderência para contabilizar os efeitos de segunda ordem
considerando o tipo de carregamento e o arranjo dos cabos. Segundo esses autores, a
magnitude dos efeitos de segunda ordem depende principalmente da disposição dos
desviadores e consequente traçado dos cabos e da relação L/em. Para vigas com pelo
menos dois desviadores e L/em>50, a perda de excentricidade é menor do que 5% e na
44
prática os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados. Caso nenhum desviador
seja previsto, essa perda de excentricidade pode ser maior que 50%, comprometendo a
segurança da estrutura. GHALLAB (2013) contemplou os efeitos de segunda ordem ao
propor um fator de correção para o cálculo das tensões nos cabos, que considera o tipo
de carregamento e traçado dos cabos e pode ser utilizado para vigas simplesmente
apoiadas e contínuas. Segundo GHALLAB (2005), a tensão nos cabos no estado limite
último é influenciada pela resistência do concreto, tensão de protensão efetiva, número
de desviadores e relação entre espaçamento de desviadores e vão.
Não há um consenso dentre os pesquisadores citados neste trabalho quanto à
influência do deslizamento dos cabos. Segundo GHALLAB (2012), HE e LIU (2010),
ALKHAIRI e NAAMAN (1991) e NG e TAN (2005a), esse efeito pode ser desprezado
na determinação das tensões finais nos cabos e no comportamento da viga. Contudo,
estudos experimentais (MACGREGOR, 1989; REGIS, 1997) e numéricos (DESIR,
1993) sugerem a necessidade da determinação mais precisa do coeficiente de atrito nos
desviadores, sendo esse fator relevante para determinar o ponto de início de
deslizamento dos cabos e conseqüente variação de tensões.
Nos ensaios conduzidos por MACGREGOR (1989), verificou-se que houve
deslizamento dos cabos somente para cargas próximas da última. O deslizamento não se
iniciou de maneira brusca e aumentou de maneira contínua com o aumento de carga. Na
região dos desviadores, ocorre uma mudança de força nos cabos entre dois segmentos
adjacentes devido ao atrito e às altas pressões laterais (Figura 2-31). Segundo
MACGREGOR (1989), são necessários estudos adicionais sobre o mecanismo de
transferência de forças nos desviadores para que seja possível determinar o instante em
que os cabos começam a deslizar nos desviadores.
Figura 2-31 – Esquema de forças atuantes no desviador (MACGREGOR, 1989, p. 286).
45
Modelos numéricos foram elaborados com o objetivo de estudar o
comportamento de vigas com protensão externa. Na rotina computacional elaborada por
DESIR (1993) a modelagem da estrutura é feita por meio de elementos de barra
prismáticos planos com dois nós e quatro graus de liberdade. A precisão de seu modelo
está associada a modelagem da estrutura e ao nível de discretização da estrutura, quanto
mais elementos mais preciso. O autor considerou o caso de estruturas de concreto
armado e protendido. HARAJLI et al. (1999) dividiram a viga em trechos, e na seção
critica a deformação especifica da fibra mais comprimida de concreto foi aumentada
incrementalmente simulando a aplicação de um carregamento. Um processo iterativo foi
realizado para satisfazer a compatibilidade de deformações e equações de equilíbrio em
cada seção nos trecho restantes. Fazendo a integração da curvatura foi possível obter a
flecha no meio do vão e assim obter as curvas carga-flecha e carga-tensão nos cabos
para o estado limite de serviço e último. DALL’ASTA et al. (2007) propuseram um
método para análise de vigas com protensão externa a partir da seção crítica, ao invés de
toda a viga, para encontrar a variação da tensão nos cabos e a carga máxima no estado
limite último. Foi feita a modelagem da estrutura em elementos finitos com a aplicação
de deslocamentos na seção crítica, obtendo-se deformações e a curvatura. Em seguida,
por meio de uma função de forma que associa a deformada da viga com o alongamento
dos cabo, foi possível obter a variação da tensão nos cabos e a carga última.
Em todas as análises numéricas vistas houve a necessidade da modelagem do
sistema cabo-estrutura, feito por meio de elementos de barra como o de DESIR (1993),
elementos finitos como DALL’ASTA et al. (2007), ou por meio da subdivisão em
trechos como HARAJLI et al. (1999).
O ponto em comum entre as metodologias foi a consideração da não linearidade
física e geométrica por meio da adoção das equações constitutivas dos materiais e
atualizando-se a configuração deformada da estrutura em cada etapa de carregamento.
2.6 Comentários Finais
Existe entendimento entre os autores dos estudos revistos de que o efeito de
segunda ordem deve ser considerado no dimensionamento de vigas com protensão
externa, a menos que ele seja minimizado por meio de desviadores que garantam a
excentricidade prevista em projeto.
46
Não há, entretanto, consenso sobre os fatores que mais influenciam esse efeito e
os que podem ser desconsiderados, e os diferentes procedimentos simplificados para
avaliar esse efeito levam em conta diferentes parâmetros, como mostra a Tabela 2-4,
que resume as equações propostas para cálculo da variação de tensão nos cabos
incluídas na revisão bibliográfica.
Este trabalho visou avaliar a importância desse efeito no comportamento de
estruturas reforçadas com protensão externa por meio de uma rotina computacional,
dispensando o uso de fórmulas simplistas e análises mais sofisticadas como a de
elementos finitos.
O atrito entre cabo e desviador é desprezado, permitindo o livre deslizamento
dos cabos e admitindo-se que sua influência nas tensões finais nos cabos seja pequena e,
em uma análise realizada seção a seção como a deste trabalho, esse efeito não controla o
comportamento da viga.
Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continua).
FONTE EQUAÇÃO
MACGREGOR (1989)
No ELU:
py
e
up
cupspeps fL
xdE ≤
−+= εσσ 5,10
+=
s
eN
LL
5,010
NAAMAN e
ALKHAIRI (1991)
No estágio linear elástico não fissurado:
( )
Ω
++
−Ω+=
2m
g
g
ps
ps
cg
mg
peps
eA
IA
E
EI
eMMσσ
No estágio linear elástico fissurado:
−Ω+Ω+= 1
x
d
E
EE
p
cc
c
ps
ccecpspeps σεσσ
No ELU:
py
u
p
cupsupeps fl
l
x
dE 94,01
2
1 ≤
−Ω+= εσσ
47
Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continuação).
FONTE EQUAÇÃO
HARAJLI (1993) No estágio linear elástico:
NG e TAN (2005a) No ELU:
HE e LIU (2010)
Para cargas de serviço:
No ELU:
GHALLAB (2013)
Variação do comprimento do cabo depende do deslocamento
vertical do desviador e, para vigas simplesmente apoiadas,
2L
xk cu
gdesv
εδ =
ACI 318:2014
+≤++=
MPa
ffMPa
pe
py
p
ckpeps 420100
70σρ
σσ L/d p≤ 35
+≤++=
MPa
ffMPa
pe
py
p
ckpeps 210300
70σρ
σσ L/d p> 35
AASHTO:2012
Para qualquer etapa de carregamento:
py
e
p
peps fL
xd≤
−+= 0630σσ
+=
s
eN
LL
2
2 0
EN 1992-1-1:2004
Se nenhum cálculo mais preciso for feito, adota-se:
MPaps 100=∆σ
02
4δσσ
L
eE m
pspeps +=
py
u
p
cupsupepspeps fx
dE ≤
−+=∆+= 1εθσσσσ
( )2L
eE midmmidps
ps
δηδσ
Ψ−=∆
( )2
,,
L
eE umidmumidps
ps
δηδσ
Ψ−=∆
48
3 PROGRAMA DESENVOLVIDO
CAPÍTULO 3
PROGRAMA DESENVOLVIDO
3.1 Introdução
Neste capítulo é descrita a rotina computacional elaborada em linguagem
FORTRAN para a análise do comportamento de vigas de concreto armado reforçadas
com protensão externa. São apresentadas as equações constitutivas dos materiais que
compõem a estrutura, a descrição da análise não-linear física e geométrica e o
fluxograma dos algoritmos implementados. A análise abrange o caso de vigas
monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas com um ou dois desviadores e cargas
uniformemente distribuída ou concentradas.
3.2 Análises do Problema
Na protensão externa, a ligação cabo-estrutura ocorre apenas nas regiões de
ancoragens e onde há desviadores, diferentemente da protensão interna não aderente,
onde isso ocorre ao longo do cabo.
As tensões nos cabos não aderentes são determinadas a partir do estudo da
interação cabo-estrutura; elas dependem da variação da geometria dos cabos decorrente
do deslocamento dos vínculos entre os cabos e a viga.
Para representar o comportamento estrutural mais realista do conjunto cabo-
estrutura são consideradas nas análises as não linearidades física e geométrica.
3.2.1 Não-linearidade Física
A não-linearidade física é considerada adotando-se as curvas tensão-deformação
não-lineares para os materiais concreto e aço descritas a seguir. Desprezou-se a
resistência a tração do concreto e admitiu-se aderência perfeita entre aço e concreto.
49
A) Concreto
Adotou-se expressão da curva tensão normal-deformação específica da EN
1992-1-1:2004, dada pela equação (3.1), onde tensões e deformações estão em módulo.
Essa curva é aplicável para concretos de resistência à compressão característica,
fck, de até 90MPa e está representada esquematicamente na Figura 3-1.
−+
−
=
1
1
2
11
1
21c
c
cm
cct
c
c
c
c
cm
cct
cm
c
f
E
f
E
f
ε
εε
ε
ε
ε
εε
σ
(3.1)
MPaff ckcm 8+= : valor médio da resistência à compressão do concreto.
‰8,27,0 31,01 ≤= cmc fε : deformação específica correspondente a tensão máxima.
5,3=cuε ‰ : deformação específica última para fck< 50MPa.
−+=
4
100
98278,2 cm
cu
fε : deformação específica última para fck ≥ 50MPa.
3,0
1022000
= cm
cs
fE : módulo de elasticidade secante do concreto (MPa).
csct EE 05,1= : módulo de elasticidade tangente do concreto (MPa).
Figura 3-1 – Representação esquemática do diagrama tensão normal-deformação
específica do concreto segundo a EN 1992-1-1:2004.
50
B) Aço da Armadura Passiva
Com o intuito de modelar um comportamento mais próximo do real, foi adotada
a relação tensão normal-deformação específica bilinear mostrada na Figura 3-2.
No primeiro trecho, onde 0 ≤ εs ≤ εsy , a tensão na armadura é dada por (3.2),
com um módulo de elasticidade médio Es = 200GPa.
sss E εσ = (3.2)
Para o segundo trecho, onde εsy ≤ εs ≤ εsu, a tensão na armadura é definida por,
( )( )( )
sysu
sys
ysuys fffεε
εεσ
−
−−+= ≤ suf
(3.3)
Figura 3-2 – Diagrama tensão normal-deformação específica do aço da armadura
passiva.
Considerando-se nessas expressões a resistência de escoamento igual à
correspondente a εsu, tem-se o diagrama com patamar comumente adotado em projeto.
51
C) Aço da Armadura Ativa
Os aços das armaduras ativas considerados podem ser das categorias de baixa
relaxação (RB) e relaxação normal (RN). Os diagramas tensão normal-deformação
específica adotados para esses dois tipos de aço são os propostos por MATTOCK
(1979), dados pelas equações (3.4) e (3.5) e representados na Figura 3-3. Nessas
equações considerou-se Eps=200000MPa.
Aços de baixa relaxação:
( )[ ]MPaE
ps
pspsps 18601181
975,0025,0
1,010≤
++=
εεσ (3.4)
Aços de relaxação normal:
( )[ ]MPaE
ps
pspsps 18601211
97,003,0
167,06≤
++=
εεσ (3.5)
Figura 3-3 – Diagrama tensão normal-deformação específica para o aço das armaduras
ativas.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050
Ten
são
σp
s(M
Pa
)
Deformação Específica (εps)
Relaxacão Baixa
Relaxação Normal
52
3.2.2 Procedimento da Análise da Interação Cabo-Estrutura
A análise do comportamento da viga reforçada é feita em duas etapas.
Na primeira, chamada de etapa 0, atuam na viga apenas cargas permanentes. A
protensão é aplicada nos cabos externos, que ainda não estão fixos à viga, ou seja, não
houve o encunhamento dos cabos. Durante esse processo, toda a deformação da viga
oriunda da interação cabo-estrutura ocorre até a estabilização do sistema com a força de
protensão de projeto do reforço aplicada nos cabos.
A análise parte com a geometria da viga no seu estado inicial, onde o ângulo de
desvio inicial dos cabos é dado por αi e a força de protensão por Fpi (Figura 3-4).
Figura 3-4 – Protensão dos cabos externos para viga no seu estado inicial.
Como o ângulo de desvio é pequeno, por simplificação pode-se aproximar seu
seno e tangente para o próprio ângulo em radianos e o cosseno para 1,0 (Figura 3-5).
( )iiFpFp αcos0 ≅
(3.6)
( ) iiInteração FpsenFpF αα 00 ≅=
(3.7)
Figura 3-5 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 0.
53
Para a etapa 0, a interação cabo-estrutura segue a seguinte sequência de cálculos
até a estabilização do sistema e encunhamento dos cabos:
1) Parte-se da geometria inicial tanto da viga quanto dos cabos e obtém-se a
configuração deformada da viga sob a ação da carga inicial e das forças
de interação,
2) Em virtude da mudança de geometria da viga, há uma mudança da
geometria dos cabos e tem-se novo ângulo de desvio dos cabos (αi+1),
3) A força de interação cabo-estrutura (Fp0 αi+1) é atualizada com o novo
ângulo,
( )10 += iInteração FpF α
(3.8)
4) Atualizada a força de interação, chega-se a uma nova configuração
deformada da viga e, assim, a um novo ângulo de desvio dos cabos,
5) O processo iterativo é repetido até que se atinja a estabilização da
geometria dos cabos (que depende do deslocamento das seções onde se
localizam os desviadores), ou seja, que a diferença entre os ângulos de
desvio entre iterações (ou deslocamentos) fique menor que a tolerância
estabelecida em 10-6. Por fim, há o encunhamento dos cabos.
A Figura 3-6 ilustra o processo iterativo descrito para a etapa 0 até que o sistema
cabo-estrutura se estabilize.
Figura 3-6 – Variação da geometria dos cabos para a carga inicial q – Etapa 0.
54
Ao final da análise da etapa 0, fica conhecida a configuração deformada da viga
(flechas e o ângulo de desvio dos cabos, α0), tensões nos cabos externos, além de
tensões e deformações no concreto e na armadura passiva. O fluxograma da Figura 3-7
mostra a sequência de cálculos realizados na rotina computacional para a etapa 0 de
análise da viga.
Figura 3-7 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 0 de análise da viga.
Na segunda etapa, posterior ao encunhamento dos cabos e chamada de etapa 1,
passa a atuar na viga o carregamento acidental, que é resistido pelo reforço e aplicado
em incrementos ∆q. A análise da interação cabo-estrutura, para cada incremento de
55
carga, é feita por meio da compatibilização dos deslocamentos da viga e dos cabos onde
há vínculo entre eles. Ao longo desse processo ocorrem variações da geometria dos
cabos, as quais implicam em variações das forças nos mesmos.
Na etapa 1, as geometrias iniciais da viga e dos cabos são aquelas determinadas
no final da análise da etapa 0. Para cada incremento de carga, a interação cabo-estrutura
na etapa 1 segue a sequência de cálculos abaixo descrita até a estabilização da
geometria:
1) Parte-se da força de protensão (Fp0) e geometrias da viga e dos cabos
(α0) definidas no final da etapa 0,
2) Aplica-se um incremento de carga ∆q na viga, obtendo-se uma nova
configuração deformada da viga,
3) Em virtude da mudança de geometria da viga, há uma mudança de
geometria dos cabos (α1(i)) e, por consequência, mudança das forças nos
cabos, tal que
L
AELFp
psps∆=∆
(3.9)
4) Atualiza-se a força de protensão nos cabos (Figura 3-8), que passa a ser
FpFpFp ∆+= 01
(3.10)
Figura 3-8 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 1.
5) Com a força de protensão atualizada (Fp1), realiza-se a análise da viga
com a força de interação atualizada (Fp1α1(i)), obtendo-se uma nova
configuração deformada da viga e uma nova geometria dos cabos
definida por (α1(i+1)),
56
6) O processo iterativo é repetido até que se estabilize a geometria dos
cabos para o incremento de carga aplicado,
7) Para incrementos de carga posteriores, parte-se das geometrias da viga e
dos cabos e forças obtidas no final da análise do incremento de carga
anterior, até que se atinja o nível de carga desejado (ELS ou ELU).
A Figura 3-9 ilustra o processo iterativo para a etapa 1, e a Figura 3-10 apresenta
o fluxograma com a sequência de cálculos implementados na rotina computacional.
Figura 3-9 – Variação da geometria dos cabos para a carga q+∆q – Etapa 1.
57
Figura 3-10 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 1 de análise da viga.
Com os resultados de saída do programa podem-se traçar as curvas carga-flecha,
carga-tensão nos cabos externos e momento-rotação para a seção.
58
3.3 Programa de Análise Desenvolvido
Primeiramente, a viga é analisada com o carregamento e as forças introduzidas
pela protensão e obtém-se a distribuição das solicitações. Considerando a viga dividida
em pequenos trechos de comprimento ∆x, ao longo dos quais as solicitações são
consideradas constantes e com o valor médio do trecho em questão, parte-se para a
análise individual de cada trecho, como mostra a Figura 3-11.
Figura 3-11 – Divisão da viga em trechos ∆x com os respectivos momentos fletores
médios tomados para cada trecho.
Em cada trecho da viga, são feitas análises para a determinação das rotações das
seções e em seguida a curvatura do trecho. Com o conhecimento das curvaturas e dos
comprimentos de cada trecho obtém-se a deformada da viga e, por conseguinte a
geometria dos cabos.
O procedimento adotado para a obtenção das rotações das seções em cada trecho
da viga e a sua deformada é descrito a seguir.
59
3.3.1 Análise Seccional
Conforme Figura 3-12, a seção transversal é discretizada em lâminas de concreto
simétricas em relação ao eixo y. Cada lâmina tem uma área Ac(i) com centroide a uma
distância yc(i) do eixo z (nível do centroide da seção) e cada camada de aço com área
As(j) a uma distância ys(j). As deformações específicas do aço e do concreto numa
camada qualquer, εc(i) e εs(j), podem ser calculadas a partir do conhecimento da
deformação no nível do centroide da seção, εcg, e da rotação relativa por unidade de
comprimento, ϕ, utilizando as equações (3.11) e (3.12).
φεε )()( iccgic y−= (3.11)
φεε )()( jscgjs y−= (3.12)
Figura 3-12 – (a) Discretização da seção em lâminas de concreto e camadas de aço (b) e
distribuição de deformações específicas na seção.
No caso da protensão externa, apenas a força normal de compressão Fp é
considerada para o equilíbrio da seção. Os esforços internos N e M são obtidos para um
correspondente estado de deformação (εcg, ϕ) utilizando as equações (3.13) e (3.14),
onde os índices c e s se referem ao concreto e ao aço da armadura passiva,
respectivamente. Discretizando a seção em n lâminas de concreto, m camadas de
armadura passiva e fazendo o somatório, tem-se:
60
pjs
m
j
jsic
n
i
ic FAAN +∆+∆= ∑∑==
)(1
)()(1
)( σσ (3.13)
)()(1
)()()(1
)( jsjs
m
j
jsicic
n
i
ic yAyAM ∆+∆= ∑∑==
σσ (3.14)
A partir das relações constitutivas dos materiais e das equações (3.11) e (3.12),
chega-se aos módulos de elasticidade secante e às tensões no nível do centroide de cada
área i e j:
( )φεσ )()()( iccgicic yE −=
(3.15)
( )φεσ )()()( jscgisjs yE −=
(3.16)
A resistência a tração do concreto é desprezada zerando os valores das tensões
encontrados pela equação (3.15), caso elas resultem em valores negativos. Com as
tensões nas equações (3.13) e (3.14) dadas pelas equações (3.15) e (3.16), e
reorganizando, tem-se:
=
−
−
φ
ε cgp
KK
KK
M
FN
2221
1211 (3.17)
Onde:
∑∑==
∆+∆=m
j
jsjs
n
i
icic AEAEK1
)()(1
)()(11
(3.18)
∆+∆−== ∑∑
==
m
j
jsjsjs
n
i
icicic yAEyAEKK1
)()()(1
)()()(2112
(3.19)
∑∑==
∆+∆=m
j
jsjsjs
n
i
icicic yAEyAEK1
2)()()(
1
2)()()(22
(3.20)
Para calcular os elementos da matriz K, assume-se um valor para a deformação
específica do concreto na fibra mais comprimida e um valor para a altura da linha
neutra, x. Calculam-se εcg, ϕ e as deformações especificas de cada lâmina de concreto e
camada de armadura passiva. De posse das deformações específicas, é possível obter, a
61
partir das equações constitutivas de cada material, o módulo de elasticidade secante de
cada lâmina de concreto e camada de aço, e com isso calcular os elementos da matriz.
O valor do esforço normal encontrado é comparado com o atuante (Fp). Na
hipótese do valor do esforço normal encontrado ser maior do que o atuante, reduz-se a
altura da linha neutra mantendo fixa a deformação específica do concreto na fibra mais
comprimida. O processo iterativo é repetido até que a diferença entre os valores seja
menor que a tolerância estabelecida de 0,1%. O fluxograma com as etapas descritas é
mostrado na Figura 3-13.
Figura 3-13 – Fluxograma com sequencia de cálculos realizada em cada trecho para
análise da viga.
62
Em cada trecho, tendo-se N, M e Fp pode-se, por meio dessa análise iterativa,
encontrar a curvatura e a posição do eixo longitudinal da viga na condição deformada.
A Figura 3-14 mostra os tipos de seções transversais que foram implementados
no programa de análise seccional desenvolvido. No caso de seção retangular, os valores
de b1, b2, h1 e h2 devem ser zerados e para seção T apenas os valores de b1 e h1. A
altura dos cabos externos onde fica o desviador é dada por hi; caso os cabos se
encontrem abaixo da viga, adota-se o valor negativo para hi.
Figura 3-14 – Seções transversais típicas, I, T ou retangular implementadas.
Na rotina de análise, a altura de cada lâmina de concreto em que é dividida a
seção (Hlam) pode ser escolhida pelo usuário e tem seu valor default no programa como
sendo 5mm. O número de camadas de armadura passiva (Ncam) e as respectivas áreas
de seção, bem como a área da seção da armadura ativa são dados de entrada e devem ser
definidos pelo usuário.
3.3.2 Análise da Viga
A análise da viga é feita, primeiramente, por meio do cálculo de rotações e
flechas, para que, em seguida, se encontre a geometria dos cabos e se corrija a força de
protensão de acordo com a variação da geometria da viga.
Considerando um segmento ds entre os dois pontos m1 e m2 no eixo deformado
da viga mostrados na Figura 3-15, a partir do raio da curvatura e do ângulo dθ tem-se:
63
ρθ
dsd =
(3.21)
Dividindo-se a viga em trechos dx, para uma viga com pequenas deformações o
valor de ds aproxima-se do valor de dx, e, portanto,
dxddxdxds
d ⋅=∴⋅=== φθφ
φρ
θ1
(3.22)
Figura 3-15 – Discretização da viga, rotação em cada trecho e distância vertical do
ponto B à tangente ao ponto A do eixo da viga na posição deformada.
Para determinar a distância vertical entre o ponto B e a tangente em A, δAB,
pode-se considerar um segmento ds no qual há uma variação angular dθ e que tem uma
participação dδ na distância vertical (Figura 3-15).
64
Como o ângulo dθ é muito pequeno, pode-se admitir que a distância dδ é igual a
dθ xi. Partindo da equação (3.22), chega-se a:
ii xdxxdd φθδ ==
(3.23)
O deslocamento vertical δAB é obtido fazendo o somatório de todas as parcelas
dδ devidas aos segmentos ds entre os pontos A e B. O somatório expressa o primeiro
momento de área do diagrama de curvatura entre esses dois pontos em relação ao ponto
B.
∑=
=n
i
iiAB dxx1
φδ
(3.24)
No programa desenvolvido são analisadas as seções transversais obtidas
dividindo-se a viga em n trechos de comprimento ∆x. Para cada seção que representa
cada trecho i, são encontradas a rotação e a sua posição xi em relação ao apoio (Figura
3.14). A posição xi pode ser colocada em função de ∆x e, a partir das equações (3.24) e
(3.25), chega-se à equação (3.26).
−∆=
2
1ixx i
(3.25)
∑=
−∆∆=
n
i
iAB ixx1 2
1φδ
(3.26)
Para cada etapa de incremento de carga, a posição do eixo da viga na condição
deformada e o comprimento dos cabos são definidos, sendo este comprimento definido
a partir do deslocamento dos desviadores. Este deslocamento é obtido a partir dos
cálculos da distância da seção no meio do vão ao apoio e a distância da seção do meio
do vão à da posição do desviador, como mostra a Figura 3.16, ou seja,
ACABdesv δδδ −= (3.27)
65
Figura 3-16 – Obtenção do deslocamento vertical da seção onde se encontra o
desviador.
A precisão na obtenção das flechas utilizadas nas análises da viga para as etapas
0 e 1 é importante, já que a geometria dos cabos externos é obtida diretamente desse
cálculo. Assim, quão maior o número trechos ao longo da viga, melhor a qualidade dos
resultados. Como default do programa adotam-se 1000 divisões para a viga, mas esse
valor pode ser mudado pelo usuário.
3.3.3 Carregamentos e Traçado dos Cabos
Para aplicações com o programa, o usuário pode escolher dois tipos de arranjo
para os cabos, a depender do número de desviadores, como mostra a Figura 3-17. A
distância do desviador até o apoio é Ld e L o vão.
66
Figura 3-17 – Configurações possíveis para os cabos externos.
Os carregamentos atuantes na viga podem ser distribuídos ou concentrados. As
cargas concentradas (uma ou duas) estão situadas a uma distância a do apoio. A carga
uniformemente distribuída é considerada atuando ao longo de todo o vão. A Figura 3-18
mostra os tipos de carregamento possíveis.
Figura 3-18 – Tipos de carregamentos.
67
3.3.4 Dados de Entrada e de Saída
Os dados do projeto, definidos pelo usuário, são colocados em uma sub-rotina
chamada Dados de Entrada. A seção transversal e a configuração dos cabos são
escolhidas seguindo os tipos disponíveis descritos nos itens anteriores (Figuras 3-19 e 3-
20).
Figura 3-19 – Dimensões da seção transversal (Dados de Entrada).
68
Figura 3-20 – Configurações gerais da rotina e definição das posições dos desviadores e das cargas concentradas (Dados de Entrada).
Os carregamentos devem ser definidos para as etapas 0 e 1 da análise, como
mostra a Figura 3-21, assim como a força de protensão inicial:
P – Carga concentrada atuante na etapa 0 (N)
DeltaP – Acréscimo de carga concentrada para a etapa 1 (N)
Q – Carga distribuída atuante na etapa 0 (N/mm)
DeltaQ – Acréscimo de carga distribuída para a etapa 1 (N/mm)
F – Força de protensão inicial (N)
Figura 3-21 – Cargas e força de protensão inicial a serem definidas pelo usuário (Dados de Entrada).
As propriedades dos materiais e as armaduras são definidas na sequência
(Figuras 3-22 e 3-23).
69
fck– Resistência característica à compressão do concreto (MPa)
fy – Resistência de escoamento do aço da armadura passiva (MPa)
fsu –Resistência à tração do aço da armadura passiva (MPa)
esu– Deformação específica última do aço da armadura passiva (10-3)
esy– Deformação específica de escoamento do aço da armadura passiva (10-3)
Asp – Área da seção dos cabos externos (mm²)
Espe – Módulo de elasticidade do aço dos cabos externos (MPa)
Espa –Módulo de elasticidade do aço da armadura passiva (MPa)
ncam – Número de camadas de armadura passiva
As(j)– Área da seção transversal da armadura passiva da camada j (mm²)
ds(j) – Altura útil da camada j da armadura passiva (mm)
Figura 3-22 – Propriedades dos materiais e seção dos cabos a serem definidas pelo usuário (Dados de Entrada).
Figura 3-23 – Dados da armadura passiva a serem definidos pelo usuário (Dados de
Entrada).
70
O programa gera um arquivo de saída em formato de texto. Ao final de cada
etapa de análise, o programa fornece o ângulo de desvio dos cabos, e, para cada
incremento de carga, a tensão nos cabos externos e a flecha da viga no meio do vão e
nas posições dos desviadores (Figuras 3-24 a 3-26).
Figura 3-24 – Arquivo de saída com valores de flecha no meio do vão (fmid) e nos
terços do vão (fpto) para a carga atuante.
\
Figura 3-25 – Arquivo de saída com a tensão nos cabos para a carga atuante.
71
Figura 3-26 – Arquivo de saída mostrando ângulo de desvio e forças de protensão para
as etapas 0 e 1.
72
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA
CAPÍTULO 4
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA
4.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos utilizando o programa
desenvolvido, que são comparados com resultados experimentais e numéricos
apresentados na literatura, bem como com os calculados com equações propostas.
Os dados de entrada utilizados no programa foram os fornecidos na referência
bibliográfica fonte, sem coeficiente de segurança.
Para exemplos de aplicação do programa foram escolhidas as seguintes vigas:
i) Viga B5D ensaiada por HARAJLI (1993)
ii) Viga T-1D ensaiada por TAN e NG (1997)
iii) Vigas TD2, TD3 e TD4 ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997)
iv) Vigas de DALL’ASTA et al. (2007) (resultados numéricos)
Dentre as vigas ensaiadas por HARAJLI (1993), apenas para a B5D o autor
apresentou a curva carga-flecha. Por ser de concreto armado e ter os cabos desviados no
meio do vão, ela se adéqua para simulação no programa desenvolvido. No programa
experimental de TAN e NG (1997), a viga T-1D foi a única com cabos desviados no
meio do vão; as restantes possuíam cabos retos.
As vigas ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) podem ser
simuladas no programa desenvolvido e foram escolhidas por terem variação da taxa de
armadura e da tensão efetiva de protensão.
Todas as vigas ensaiadas tinham um desviador. Como exemplos de vigas com
dois desviadores, foram tomadas duas vigas com seções transversais diferentes da série
de vigas analisadas numericamente por DALL’ASTA et al. (2007).
Para o estado limite último, admitiu-se para a deformação última do aço da
armadura passiva o valor de 50‰, para o concreto 3,5‰ e para tensão de ruptura valor
igual a 1,2 vezes a resistência ao escoamento. A altura da lâmina de concreto adotada na
discretização das seções foi de 5mm.
73
4.2 Viga Ensaiada por HARAJLI (1993)
A viga B5D é bi-apoiada de 3,00 metros de vão, com duas cargas concentradas
aplicadas nos terços do vão (Figura 4-1).
A armadura de protensão é composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um de
cada lado da viga. A seção transversal é retangular de 12,7cm x 22,8cm e a resistência à
compressão do concreto, medida na época do ensaio, é de 32,4MPa. O desviador se
encontra a 273mm do topo da viga e a excentricidade nas extremidades é zero.
Figura 4-1 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga B5D.
A armadura passiva adotada foi a do tipo Grade 60. A tensão de ruptura não foi
dada e adotou-se o valor de 620MPa, seguindo a especificação para esse tipo de aço.
No seu trabalho o autor apresentou apenas a curva carga-flecha e a carga de
ruptura para a viga, mas não a tensão nos cabos. A Figura 2-14, no capítulo 2, mostra a
curva carga-flecha no meio do vão obtida no ensaio e a Tabela 4-1 resume dados das
armaduras da viga.
Tabela 4-1 – Dados das armaduras da viga B5D.
Es, Esp (GPa) fy, fpy (MPa) fsu, fpu (MPa)
Armadura Passiva 200 551,6 620
Armadura Ativa 206,7 - 1427
Diâmetros As, Asp(mm²) ds, dp (mm)
Armadura Passiva 3ϕ12mm 339 203,6
Armadura Ativa 2 ϕ7mm 77 273
74
No ensaio, a viga foi carregada em duas fases. Na primeira fase, 10000 ciclos de
carga e descarga foram aplicados na viga com o objetivo de simular as condições reais
de uma viga com grandes deformações por carregamento cíclico. O ciclo de carga
variou de um valor mínimo (Pmin) de 20kN ao máximo (Pmax) de 60kN. Na segunda fase,
os cabos externos foram protendidos e a viga partiu com uma carga total inicial de
2P=20kN chegando até a carga máxima de 98kN, aproximadamente. A tensão de
protensão aplicada nos cabos foi de 870MPa.
Na simulação com o programa, a protensão foi aplicada à viga juntamente com a
carga inicial de 20kN e, em seguida foram dados incrementos de carga de 1,0kN. A
Figura 4-2 apresenta a curva carga-flecha experimental, a obtida com o programa e,
para consideração da deformação residual, a curva obtida com o programa deslocada em
aproximadamente 3mm. A curva deslocada sugere que a diferença entre as curvas
experimental e obtida com o programa pode ser atribuída, pelo menos parcialemente, ao
carregamento cíclico a que foi submetida a viga na primeira fase do ensaio.
Figura 4-2 – Curvas carga-flecha para a seção no meio do vão obtidas com o programa e
experimentalmente por HARAJLI (1993).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30 35
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
Curva Experimental HARAJLI (1993)
Curva Programa
Curva Programa (considerando
deformação residual)
Pmax
Pmin
≈3mm
75
É possível notar na curva obtida numericamente uma perda de rigidez mais
acentuada a partir de carga próxima a 83kN, quando se observa o escoamento da
armadura passiva, enquanto na curva experimental isso é notado para a carga de 92kN.
A carga máxima obtida pela rotina foi de 88kN (corresponde à chegada da
deformação específica do concreto a 3,5‰) contra 98kN do ensaio, tendo-se uma
diferença de 10%. Com o aumento do carregamento, as inclinações dos cabos ficam
cada vez maiores e, portanto, tem-se valores maiores para as componentes verticais da
força de interação cabo-viga. Consequentemente, ocorre um aumento da força normal
atuante na viga e o diagrama momento-rotação da seção sofre uma mudança (Figura
4-3). O valor final da força normal atuante na seção foi de 84kN, 25% a mais que o
valor inicial.
Figura 4-3 – Curvas momento fletor-rotação na seção do meio do vão obtidas com o
programa, para três forças de protensão.
Segundo o autor, a variação de tensão nos cabos externos entre a carga mínima e
máxima foi de 137MPa. A tensão medida no instante de aplicação de Pmax=60kN, única
fornecida, foi de 1007MPa e a obtida com o programa foi de 965MPa (diferença de
4%). A curva da Figura 4-4 mostra a evolução das tensões nos cabos obtida
numericamente.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006
Mo
me
nto
(N
m)
Rotação (rad)
0kN
67kN
84kN
76
Figura 4-4 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida com o programa e pontos
experimentais de HARAJLI (1993).
4.3 Viga Ensaiada por TAN e NG (1997)
A viga T-1D faz parte de um grupo de vigas ensaiadas por TAN e NG (1997)
(Figura 2-22). A viga era bi-apoiada com 3,00 m de vão, seção T e com duas cargas
concentradas aplicadas nos terços do vão, como mostra a Figura 4-5.
A armadura de protensão era composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um
de cada lado e demais dados das armaduras estão na Tabela 4-2. O concreto tinha
resistência à compressão, medida na época do ensaio, de 32,1MPa. O desviador se
encontrava a 250mm do topo da viga e a excentricidade nas extremidades era zero.
Figura 4-5 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga T-1D.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Ca
rga
P (
kN
)
Tensão nos cabos externos (MPa)
Pontos Ensaio
HARAJLI(1993)
Curva Programa
77
No dia anterior ao ensaio, a viga foi protendida com uma tensão de
aproximadamente 300MPa, sendo posteriormente submetida a cargas P partindo de zero
e indo até o colapso da estrutura. A viga rompeu com esmagamento do concreto no
topo.
Os autores apresentaram as curvas carga-flecha para a seção no meio do vão e
carga-tensão nos cabos externos.
Tabela 4-2 – Dados das armaduras da viga T-1D.
Es, Esp (GPa) fy, fpy (MPa) fsu, fpu (MPa)
Armadura Passiva 200 530 636(*)
Armadura Ativa 193 - 1900
Diâmetros As, Asp(mm²) ds, dp (mm)
Armadura Passiva 2ϕ16mm(sup.) 4ϕ8mm(inf.)
402(sup.) 201(inf.)
275(sup.) 25(inf.)
Armadura Ativa 2 ϕ7mm 77 250
(*)Adotado, considerando fsu=1,2fy
Na primeira etapa de análise do programa, a aplicação da força de protensão foi
feita com a atuação de cargas P equivalentes ao peso próprio da viga, para, em seguida,
serem dados incrementos de carga até a ruptura. A Figura 4-6 apresenta as curvas carga-
flecha obtidas por TAN e NG (1997) e com o programa.
O programa parou a análise quando foi atingida a deformação máxima do
concreto de 3,5‰, fornecendo a carga última de 142kN, enquanto a experimental foi de
158kN (diferença de cerca de 10%).
A diferença entre flechas calculadas e experimentais vista na Figura 4-6 é menor
para as cargas entre 80kN e 120kN. A diferença no início é explicada pelo fato do
programa desprezar a resistência a tração do concreto, o que leva a maiores
deslocamentos que os verificados no ensaio da viga, que partiu de um estado não
fissurado. O fato de a viga ter sido protendida inicialmente e somente depois ter
recebido o carregamento fez com que ela tivesse uma flecha negativa no início,
diferentemente de como foi feito na simulação com o programa, que considerou a
aplicação da protensão com a atuação concomitante do peso própio.
78
Figura 4-6 – Curvas carga-flecha para a seção no meio do vão obtidas com o programa e
experimentalmente por TAN e NG (1997).
Segundo a análise, o escoamento da armadura passiva ocorre para uma carga
próxima a 115kN, tendo-se, portanto, maior perda de rigidez e maior variação de tensão
nos cabos a partir dessa carga. Em geral, as tensões nos cabos obtidas com o programa
são menores que as experimentais (Figura 4-7), tendendo a se aproximar para cargas
maiores.
Figura 4-7 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida pelo programa e
experimentalmente por TAN e NG (1997).
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
Curva Experimental
(TAN e NG 1997)
Curva Programa
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
200.0 400.0 600.0 800.0 1000.0 1200.0 1400.0 1600.0 1800.0
Ca
rga
P (
kN
)
Tensão nos cabos externos (MPa)
Curva Programa
Curva Experimental
(TAN e NG 1997)
79
4.4 Vigas Ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997)
Adotaram-se para comparação com os do programa, os resultados de três vigas
ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997). Todas as vigas eram bi-apoiadas
com 3,00 m de vão, seção T e duas cargas concentradas aplicadas nos terços do vão,
como mostra a Figura 4-8.
A armadura de protensão era composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um
de cada lado, nas vigas T3D e T4D, e dois cabos de 5mm na viga T2D. O traçado dos
cabos de todas as vigas era o mesmo, o desviador encontrava-se a 350mm do topo da
viga e a excentricidade nas extremidades era zero. A tensão de protensão aplicada nos
cabos foi de 931MPa para a viga T2D, 895MPa para a T3D e 1001MPa para a T4D.
Figura 4-8 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento das vigas ensaiadas.
A Tabela 4-3 resume os dados das armaduras das vigas. Os módulos de
elasticidade dos aços das armaduras passiva e ativa utilizados nos ensaios foram
200GPa e 193GPa, respectivamente.
Tabela 4-3 – Dados das vigas ensaiadas.
Viga fck
(MPa) fy
(MPa) fsu
(*)
(MPa) σpe
(MPa) fpu
(MPa) As
(mm²) ds
(mm) Asp
(mm²)
T2D 43,5 615,3 738 931 1607 340
(3ϕ12mm) 280
39 (2 ϕ5mm)
T3D 39,0 509,2 611 895 1427 462
(3ϕ14mm) 280
77 (2 ϕ7mm)
T4D 38,7 413,7 496 1001 1986 603
(3ϕ16mm) 280
77 (2 ϕ7mm)
(*)Adotado para fsu=1,2fy
80
As Figuras 4-9 a 4-11 apresentam as curvas carga-flecha obtidas com o
programa junto com as experimentais, e a Tabela 4-4 lista as cargas de ruptura
calculadas e experimentais.
Tabela 4-4 – Cargas de ruptura obtidas com o programa e experimentalmente.
Viga Pu (kN)
T2D
Experimental 151
Programa 148
Diferença (%) 2
T3D
Experimental 195
Programa 184
Diferença (%) 6
T4D
Experimental 210
Programa 184
Diferença (%) 14
Figura 4-9 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T2D obtidas com o programa
e experimentalmente.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
Curva Experimental
(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)
Curva Programa
81
Figura 4-10 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T3D obtidas com o programa
e experimentalmente.
Figura 4-11 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T4D obtidas com o programa
e experimentalmente.
Os autores do estudo não deixaram claro o procedimento de ensaio das vigas. As
curvas carga-flecha sugerem que, provavelmente, as vigas tenham sido protendidas
primeiro e depois carregadas, já que partem de zero. No programa, adotou-se uma carga
inicial equivalente ao peso próprio, antes da aplicação de incrementos de carga de
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-5 5 15 25 35 45 55
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
Curva Experimental
(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)
Curva Programa
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
Curva Experimental
(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)
Curva Programa
82
1,0kN. Os resultados do ensaio foram obtidos até a ruptura da viga, enquanto a análise
do programa parou quando atingiu a deformação limite de 3,5‰.
Por terem as vigas sido submetidas inicialmente a protensão junto com a atuação
do peso próprio, as flechas obtidas com o programa foram maiores que as observadas
experimentalmente.
Os autores apresentaram a curva carga-tensão nos cabos para as vigas TD2 e
TD4 apenas (Figuras 4-12 e 4-13). Embora nada tenha sido relatado, a forma das curvas
dessas vigas sugerem ter havido alguma anomalia durante os ensaios (possivelmente no
desviador), o que explicaria a diferença entre as curvas experimentais e calculadas.
Figura 4-12 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T4D na seção do meio do vão
obtidas com o programa e experimentalmente.
0
20
40
60
80
100
120
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Mo
mn
eto
(k
Nm
)
Variação de Tensão nos Cabos Externos (MPa)
Curva Experimental
(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)
Curva Programa
83
Figura 4-13 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T2D na seção do meio do vão
obtidas com o programa e experimentalmente.
As taxas de armadura interna passiva das vigas T3D e T4D eram de 0,8% e
1,1%, respectivamente, e as tensões de protensão aplicadas nas vigas apesar de não
terem sido iguais eram muito próximas (895MPa e 1001MPa). É possível observar que
o aumento da armadura interna passiva conduziu a um aumento do momento máximo.
4.5 Análise Numérica de DALL’ASTA et al. (2007)
Para comparação dos resultados numéricos de DALL’ASTA et al. (2007) com
os do programa, foram consideradas duas vigas, uma com seção caixão e outra em
duplo T, bi-apoiadas com vãos de 30m e 40m, respectivamente, e dois desviadores. As
figuras 4-14 e 4-15 mostram o arranjo dos cabos e as seções transversais.
Figura 4-14 – Posição dos desviadores e tipo de carregamento para as vigas analisadas.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 100 200 300 400 500 600
Mo
me
nto
(k
Nm
)
Variação de Tensão nos Cabos Externos (MPa)
Curva Experimental
(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)
Curva Programa
84
Figura 4-15 – Seções transversais para viga caixão e duplo T (dimensões em
centímetros).
Para os dois casos, a resistência à compressão do concreto é de 40MPa. Os
desviadores se encontram a 350mm do fundo da viga caixão e a 205mm da viga duplo
T, e a excentricidade dos cabos nas extremidades é zero. A tensão de protensão aplicada
nos cabos foi de 1150MPa. A taxa de armadura passiva adotada foi de 1% para
armadura inferior e 0,3% para a superior.
Dados das armaduras estão na Tabela 4-5 e os módulos de elasticidade das
armaduras passiva e ativa adotados são 206GPa e 200GPa.
Tabela 4-5 – Dados das armaduras das vigas caixão e duplo T.
Viga fy
(MPa) fpy
(MPa) fsu
(MPa) fpu
(MPa) As
(mm²) ds
(mm) Asp
(mm²)
Caixão 430 1700 540 1850
17850 (sup.) 59500 (inf.)
100 (sup.) 1900 (inf.)
21128
Duplo T 15825 (sup.) 52750 (inf.)
100 (sup.) 1800 (inf.)
37350
As seções transversais foram convertidas para duas seções que pudessem ser
aceitas pelo programa, como mostra a Figura 4-16.
85
Figura 4-16 – Seções transversais adotadas no programa (dimensões em centímetros).
Os autores forneceram a carga distribuída e a variação de tensões nos cabos na
ruptura por eles obtidas e as Tabela 4-6 e 4-7 comparam esses resultados com os
encontrados com o programa desenvolvido neste estudo.
Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e
com o programa desenvolvido, para a viga de seção caixão.
qu
(kN/m) ∆σps
(MPa)
DALL’ASTA et al. (2007) 884 299
Programa Desenvolvido 922 248
Diferença (%) 4,0 17
Tabela 4-7 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e
com o programa desenvolvido, para a viga de seção duplo T.
qu
(kN/m) ∆σps
(MPa)
DALL’ASTA et al. (2007) 648 365
Programa Desenvolvido 680 295
Diferença (%) 4,5 20
É possível observar que houve maior proximidade de resultados de carga de
ruptura que de variação das tensões nos cabos. Isto pode decorrer da adoção de
diferentes curvas tensão normal-deformação específica para os materiais.
86
4.6 Aplicação com a Variação do Número de Desviadores
O programa desenvolvido foi utilizado para simular uma configuração de cabos
diferente para duas vigas já analisadas anteriormente.
Na viga T-1D ensaiada por TAN e NG (1997) com um desviador, foi adicionado
um desviador e, na viga caixão de DALL’ASTA et al. (2007) analisada com dois
desviadores, adotou-se apenas um desviador.
O carregamento e a força de protensão foram aplicados do mesmo modo que nas
análises anteriores. As Figuras 4-17 e 4-18 mostram o traçado dos cabos e o
carregamento adotados para as duas vigas.
Figura 4-17 – Vista longitudinal da viga T-1D com dois desviadores.
Figura 4-18 – Vista longitudinal da viga caixão com carregamento e posição do
desviador adotados.
As curvas carga-flecha no meio do vão para a viga T-1D com um e dois
desviadores são mostradas na Figura 4-19 e os valores de Pu e ∆σps das duas vigas se
encontram na Tabela 4-8.
87
Tabela 4-8 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga T-1D com um e dois
desviadores.
Pu
(kN/m) ∆σps
(MPa) L / dp
Viga T-1D – 1 Desviador 142 490 12
Viga T-1D – 2 Desviadores 154 451 12
Diferença (%) 8 8
Nas curvas carga-flecha e na Tabela 4-8 verifica-se que a viga com dois
desviadores atingiu uma carga máxima maior que a com um desviador e, para a mesma
carga, menores deslocamentos. A diferença de deslocamentos entre as duas vigas foi
maior para cargas maiores que 120kN. A adoção de dois desviadores em vez de um teve
pouca influência na carga máxima e na variação de tensão nos cabos.
Figura 4-19 – Curvas carga-flecha na seção do meio do vão da viga T-1D com um e
dois desviadores.
A variação da tensão nos cabos foi maior para a viga com um desviador, como
era esperado. Maiores deslocamentos para a viga provocaram maiores alongamentos
dos cabos, gerando uma maior variação das tensões. Apesar de maior, essa diferença
entre as vigas não passou de 8%.
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
160.0
180.0
0 5 10 15 20 25 30 35
Ca
rga
P (
kN
)
Flecha no meio do vão (mm)
1 Desviador
2 Desviadores
88
As curvas carga-flecha para as vigas de seção caixão com um e dois desviadores
são mostradas na Figura 4-20 e os valores de qu e ∆σps estão na Tabela 4-9.
Tabela 4-9 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga de seção caixão com
um e dois desviadores.
qu
(kN/m) ∆σps
(MPa) L / dp
Viga Caixão – 1 Desviador 797 328 18,2
Viga Caixão – 2 Desviadores 922 248 18,2
Diferença (%) 14 24
Como no caso das vigas T-1D, para a viga com seção caixão com dois
desviadores, teve-se carga máxima superior à da viga com um desviador e
deslocamentos menores para uma mesma carga. A diferença entre a variação de tensões
nos cabos, na ordem de 25%, foi maior que a entre as cargas últimas. Neste caso, com
vãos maiores, a adoção de dois desviadores trouxe mais benefícios.
Figura 4-20 – Curvas carga-flecha da viga de seção caixão com um e dois desviadores.
Para os dois casos analisados, a adoção de dois desviadores trouxe vantagens à
estrutura, uma vez que conseguiu manter melhor o traçado dos cabos, reduzindo a
variação da excentricidade e acarretando menores tensões nos cabos e maiores cargas
máximas.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
-25 25 75 125 175 225 275 325
Ca
rga
q (
KN
/m)
Flecha no meio do vão (mm)
1 Desviador
2 Desviadores
89
4.7 Cálculos Segundo Equações Propostas
Os valores de tensão nos cabos na ruptura calculados segundo procedimentos
propostos são comparados com os experimentais das seguintes vigas: B5D de
HARAJLI (1993), T1-D de TAN e NG (1997) e T2D e T4D de KHAIRALLAH e
HARAJLI (1997). Todas as vigas tinham um desviador e foram submetidas a duas
cargas concentradas.
A título de exemplo, no apêndice são mostrados os cálculos feitos para a viga
B5D de HARAJLI (1993). A Tabela 4-10 lista os valores de ∆σps calculados usando os
procedimentos resumidos na Tabela 2-4, os obtidos com o programa e os experimentais
referentes à carga última. Também são incluídas as tensões tiradas das curvas
experimentais correnspondentes à carga última dada pelo programa. Considerou-se para
limite da tensão nos cabos o valor de 0,94 fpy (adotado por Naaman e Alkhairi (1991)
em seu procedimento) ou fpy ≈ 0,85 fpu.
HARAJLI (1993) não forneceu a tensão nos cabos externos no momento da
ruptura para a viga B5D, apenas comentou que até a ruptura da viga a tensão nos cabos
externos ficou abaixo da de escoamento.
Tabela 4-10 – Variação de tensões nos cabos calculados e experimentais.
Fórmula ∆σps (MPa)
B5D T-1D T2D T4D
EN 1992-1-1:2004 100 100 100 100
ACI 318:2014 216 383 435
(1261) 607
MACGREGOR (1989) e AASHTO:2012 343
(366) 451
435 (661)
625
NAAMAN e ALKHAIRI (1991) 306 1020 435
(1679) 687
(1118)
NG e TAN (2005) 343
(584) 1315
(1333) 435
(2960) 687
(1802)
HE e LIU (2010) 343
(389) 689
435 (1622)
687 (1087)
GHALLAB (2013) 343
(463) 1171
435 (2091)
687 (1270)
PROGRAMA DESENVOLVIDO 328 490 305 351
Experimental referente à carga última dada pelo programa
- 540 430 300
Experimental referente à carga última experimental
- 950 500 700
(*) Valores resultantes dos cálculos, maiores que os obtidos considerando o limite para σps.
90
A Tabela 4-10 mostra uma grande diferença entre os valores de variação de
etnsão calculados e entre eles e os obtidos com o programa e os experimentais. Em
alguns casos os valores encontrados ultrapassaram a tensão limite dos cabos. Sendo os
métodos de cálculos simplistas e bem aproximados, era de se esperar que fosse
conservadores, o que nem sempre foi verificado para as vigas analisadas.
A diferença entre as tensões obtidas com o programa e as experimentais pode ser
explicada pela aproximação dos diagramas adotados no programa para os materiais e a
deformação limite definida para o concreto.
Na Tabela 4-11 é feita comparação entre flechas no meio do vão obtidas com o
programa e as experimentais para carga de serviço, tomada como sendo igual à metade
da carga última experimental.
Tabela 4-11 – Comparação entre flechas obtidas com o programa e experimental para
carga de serviço.
δmid (mm)
B5D T-1D T2D T4D
PROGRAMA DESENVOLVIDO 10,2 7,0 7,5 6,1
EXPERIMENTAL 15,0 6,0 6,0 5,5
CARGA DE SERVIÇO (*) 50kN 70kN 75kN 105kN
(*) Valores aproximados
Observa-se na Tabela 4-11 que, a menos da viga B5D, os valores de flecha
obtidos com o programa ficaram próximos dos experimentais. Na viga B5D, a flecha
experimental inclui parcela referente ao carregamento cíclico a que a viga foi submetida
antes de aplicação da protensão, fato que levou à maior diferença entre flechas calculada
e experimental.
91
5 CONCLUSÕES
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES
No caso de vigas reforçadas com protensão externa, os trabalhos vistos na
revisão bibliográfica e as aplicações feitas com o programa desenvolvido comprovaram
a eficiência da técnica no acréscimo de momento resistente e na redução de flechas.
Neste trabalho buscou-se, por meio de uma rotina computacional elaborada em
linguagem FORTRAN, prever o comportamento de vigas reforçadas com protensão
externa a partir do estudo da interação cabo-estrutura. Com base na análise seccional,
feita em n seções de trechos de comprimento ∆x, foi possível estimar as tensões nos
cabos e as flechas da viga considerando as não-linearidades física e geométrica.
O modelo numérico não retrata exatamente o comportamento real de uma
estrutura, pois aproximações são feitas para representar o comportamento dos materiais
que a compõem. Por meio de comparações dos resultados obtidos com o programa com
resultados numéricos e experimentais de outros pesquisadores, pôde-se concluir que o
programa desenvolvido apresenta um desempenho satisfatório na previsão do
comportamento de vigas com protensão externa; e nas cargas máximas a diferença
variou entre 4% (DALL’ASTA et al., 2007) e 14% (KHAIRALLAH e HARAJLI,
1997).
Cabe ao engenheiro definir o nível de sofisticação desejado, que é função do
tempo disponível e da precisão necessária. Nesse sentido, uma contribuição deste
trabalho foi a obtenção do comportamento da estrutura por meio de uma análise
numérica mais simples, mas abrangente e com boa aproximação com resultados
experimentais.
O estudo realizado mostrou que a magnitude dos efeitos de segunda ordem
depende principalmente do número de desviadores. Exceto no caso de vigas sujeitas a
apenas uma carga concentrada, vigas com um desviador foram menos eficientes quando
comparadas com vigas com dois desviadores. Os desviadores são responsáveis por
manter o traçado dos cabos, reduzindo a variação da excentricidade e influenciando,
assim, o comportamento da estrutura.
92
As expressões para a determinação de tensões nos cabos propostas por
pesquisadores e especificadas por normas podem levar a valores bem diferentes o que
mostra que esse assunto precisa ser melhor estudado.
Como sugestões para a continuidade deste trabalho, visando aprimorar a
ferraenta desenvolvida e dar-lhe maior abrangência, sugere-se:
implementar o caso de vigas com protensão interna,
implementar a combinação de carregamentos (atuação simultânea de cargas
distribuídas e concentradas na viga),
adicionar a possibilidade do uso de cabos retos,
incluir o caso de vigas contínuas e
incluir a opção de mais de uma camada para os cabos externos.
93
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CAPÍTULO 6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, T. G.M., 2001, “Reforço de vigas de concreto armado por meio de cabos
externos protendidos”, Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos,
USP, São Paulo.
AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAYS AND TRANSPORTATION
OFFICIALS – AASHTO, 1983, Standard Specifications for Highway Bridges,
Washington, EUA.
AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAYS AND TRANSPORTATION
OFFICIALS – AASHTO, 1994, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications,
Washington, EUA.
AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAYS AND TRANSPORTATION
OFFICIALS – AASHTO, 2004, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications,
Washington, EUA.
AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAYS AND TRANSPORTATION
OFFICIALS – AASHTO, 2012, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications,
Washington, EUA.
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, 2008, ACI 318-08: Building Code
Requirements for Structural Concrete- and Commentary, Farmington Hills, EUA.
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, 2011, ACI 318-11: Building Code
Requirements for Structural Concrete-and Commentary, Farmington Hills, EUA.
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, 2014, ACI 318-14: Building Code
Requirements for Structural Concrete-and Commentary, Farmington Hills, EUA.
94
APARICIO A. C., RAMOS G., CASAS J. R., 2002, Testing ofexternally prestressed
concrete beams, Eng. Struct., 24(1), 73–84.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014, ABNT NBR
6118:2014: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Brasil.
BBR CABLES FOR EXTERNAL PRESTRESSING. Switzerland, BBR Systems Ltd,
1999.
BEAUPRE R.J., POWELL L.C., BREEN J. E.et al, 1990, “Deviator Behavior and
Design for Externally Post-Tensioned Brigdes”, External Prestressing in Bridges ACI
SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute, Farmington
Hills, MI, pp.257-288.
BRUGGELING, A.S.G., 1990, “External Prestressing – a State of Art”, External
Prestressing in Bridges ACI SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American
Concrete Institute,Farmington Hills, MI, pp.61-81.
BURGOYNE C.J., 1990, “Properties of Polyaramid Ropes and Implications of Their
Use as External Prestressing Tendos”, ACI SP-120, External Prestressing in Bridges
ACI SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington
Hills, MI, pp.107-124.
COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. CEB-FIP, 1988, Model Code 1990,
Bulletin d’Information, n° 190, Paris.
CONTI E., TARDY R., VIRLOGEUX M., 1993, “Friction losses in some externally
prestressed bridges in France”, Proc. Of the Workshop on Behavior of External
Prestressing in Structures, E. Conti and R. Tardy, Editors, Saint-Rémy-lès-Chevreuse,
France.
DALL’ASTA A., RAGNI L., ZONA A., 2007, Simplified Method for Failure Analysis
of Concrete Beams Prestressed with External Tendons, Journal of Structural
Engineering, ASCE, v.133, n.1, (jan), pp. 121-131.
95
DÉSIR, J.M., 1993, Análise Não-linear do Comportamento até a Ruptura de Vigas
Contínuas de Concreto com Protensão Externa. Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ,
Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION, 2004, EN 1992-1-1:2004:
Design of Concrete Structures – Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings,
Bruxelas, Bélgica.
FEDÉRATION INTERNACIONALE DU BÉTON, CEB, 1998, Ductility of reinforced
concrete structures, Bulletin d’Information n° 242, Paris.
GHALLAB A., 2013, Calculating ultimate tendon stress in externally prestressed
continuous concrete beams using simplified formulas. Eng Struct, 46, pp. 417–430.
GHALLAB A., BEEBY, A.W., 2005, Factors affecting the external prestressing stress
in externally strengthened prestressed concrete beams, Cement & Concrete
Composites, v.27, n.9-10, pp. 945-957.
HARAJLI M.H., 1993, Strengthening of Concrete Beams by External Prestressing. PCI
Journal, v.38, n.6, pp.76-88, Nov.-Dec.
HARAJLI M. H., KHAIRALLAH N., NASSIF H., 1999, Externally Prestressed
Members: Evaluation of Second-order Effects, Journal of Structural Engineering,
ASCE, v.125, n.10, (out), pp. 1151-1161.
HE Z., LIU Z., 2010, Stresses in External and Internal Unbonded Tendons: Unified
Methodology and Design Equations, Journal of Structural Engineering ASCE, v.136,
n.9, pp. 1055-1065.
JARTOUX P., LACROIX R., 1990, “Development of External Prestressing in Bridges
– Evolution of the Technique”, External Prestressing in Bridges ACI SP-120, A.
Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, pp.
83-106.
96
KHAIRALLAH N., HARAJLI M.H., 1997, “Experimental evaluation of the behavior
of reinforced concrete T beams strengthened using external prestressing”, Proc. Int.
Conf. on Rehabilitation and Devel. of Civ. Engrg. Infrastructure Sys., M. Harajli and A.
Naaman, Editors, American University of Beirut, Lebanon, 2, pp. 1282-1293.
MACGREGOR R.J.G., 1989, Evaluation of Strength and Ductility of a Three-span
Externally Post-tensioned Box Girder Bridge Model, Ph.D. Dissertation, The University
of Texas at Austin, Austin, USA.
MARTINS P.C.R., 1989, Modélisation Du Comportamentjusqu’a a La Ruptureem
Flexion de Poutres enBéton a PrécontrainteExterieure ou Mixte, Thèse de Doctorat de
l’ÉcoleCentrale de Paris, Paris, France. (sept).
MATTOCK A. H., 1979, Flexural Strength of Prestressed Concrete Sections by
Programmable Calculator, PCI Journal, V. 24, n.2, (Jan/Fev), p. 32-54.
NAAMAN A. E., 1990, A New Methodology for the Analysis of Beams Prestressed with
External or Unbonded Tendons, ACI SP-120, External Prestressing in Bridges ACI SP-
120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington Hills,
MI, pp.339-354.
NAAMAN A. E., ALKHAIRI F.M., 1991, Stress at ultimate in unbonded post-
tensioning tendons - Part 2: Proposed methodology,ACI StructuralJournal, v. 88, n.
6(nov-dec), USA, pp. 683-692.
NAAMAN A. E., ALKHAIRI F. M., 1993, Analysis of beams prestressed with
unbonded internal or external tendons, Journal of Structural Engineering, ASCE, v.
119, n. 9, pp. 2680-2700.
NG C. K., 2003, Tendon Stress and Flexural Strength of Externally Prestressed Beams,
ACI Structural Journal, v. 100, n. 5 (September-October), USA, pp. 644-653.
NG C. K., Tan K. H., 2005a, Flexural behavior of externally prestressed beams. Part I:
Analytical model, Eng. Struct., 28, 602–621.
97
NG C. K., Tan K. H., 2005b, Flexural behavior of externally prestressed beams. Part
II: Experimental investigation, Eng. Struct., 28, 622–633.
POWELL L. C., BREEN J.E., KREGER M.E., 1988, State of the Art Externally Post-
Tensioned Bridges with Deviators, Center for Transportation Research, The University
of Texas at Austin, Research Report No. 365-1.
REGIS P. A., 1997, Estudo Teórico-experimental do Comportamento de Vigas em
Concreto com Protensão Externa. Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ,
Brasil.
REIS F. J. C., 2003, Influência do Nível de Protensão na Deformação de Estruturas
Executadas com Protensão Externa. Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de
Janeiro, RJ, Brasil.
SPECHT M., 1987, Spannweite der Gedanken:zur 100. Wiederkehr des Geburtstages
von Franz Dischinger, Springer-Verlag, Berlin, pp. 133-165.
TAM A., PANNEL F. N., 1976, The Ultimate Moment of Resistance of Unbonded
Partially Prestressed Reinforced Concrete Beams, Magazine of Concrete Research,
v.28, n.97 (dec), pp. 203-208.
TAN K. H., NG C. K., 1997, Effects of Deviators and Tendon Configuration on
Behavior of Externally Prestressed Beam, ACI Structural Journal, v.94, n.1 (january-
february), pp. 13-22.
VIRLOGEUX M. P., 1990, “External Prestressing: from Construction History to
Modern Technique and Technology”, External Prestressing in Bridges ACI SP-120, A.
Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington Hills, MI, pp.1-
60.
98
APÊNDICE
APÊNDICE
Neste apêndice é apresentado o cálculo de flechas e tensões nos cabos externos,
para o estado limite último, utilizando as equações apresentadas na revisão
bibliográfica. Tomou-se para o exemplo de cálculo a viga B5D de HARAJLI (1993). As
propriedades geométricas da seção e dos materiais foram mantidas e se encontram na
Tabela 4-1.
A deformação específica última do concreto adotada nos cálculos foi 3‰ e o
fator β1 calculado segundo o ACI 318:2014. Nos cálculos as tensões foram utilizadas
em megapascal e as dimensões em milímetros.
I. ACI 318:2014
A tensão nos cabos externos no estado limite último depende da relação L/dp e
da taxa de armadura ativa.
3598,10273
3000≤∴==
pd
L
A taxa de armadura protendida vale:
0022,0273127
77=
×==
p
ps
pdb
Aρ
Como a relação vão/altura útil dos cabos foi menor que 35, a tensão nos cabos
no estado limite último é dada por:
MPaf
p
ck
peps 10862168700022,0100
4,3270300
10070 =+=
×++=++=
ρσσ
Essa tensão atende à condição da norma:
=+
=≤=
MPaMPa
MPafMPa
pe
py
ps 1290420
12131086
σσ
99
II. MACGREGOR (1989) e AASHTO:2012
A tensão nos cabos é função de Ns, comprimento do cabo e da posição da linha
neutra.
Partindo do equilíbrio, para seção retangular, calcula-se a posição da linha
neutra:
( ) ( )818,0
7
284,3205,085,0
7
2805,085,01 =
−−=
−−= ckf
β
mmbf
fAfAfAx
ck
ysyspups
u 9,97127818,04,3285,0
6,55106,551339121385,077
85,0
85,0
1
''=
×××
×−×+××=
−+=
β
O comprimento inicial total do cabo é dado pela soma dos trechos de cabos entre
ancoragens:
( ) ( ) ( ) ( ) mmeLL mid 301715923000222 22220 =+=+=
O comprimento efetivo vale:
mmN
LL
s
e 301702
30172
2
2 0 =
+
×=
+=
A tensão nos cabos no estado limite último
MPaL
xd
e
up
peps 12363668703017
9,9727363008706300 =+=
−+=
−+= σσ
MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ
III. NAAMAN e ALKHAIRI (1991)
Primeiramente, determina-se o coeficiente redutor de aderência para o estado
limite último. Para viga com um desviador no meio do vão e duas cargas concentradas
nos terços do vão, o coeficiente é dado por:
273,0
2733000
33===Ω
p
u
dL
Em seguida, calcula-se a posição da linha neutra conforme recomendado pelos
autores, adotando-se para o comprimento total dos cabos (l2) 3017mm e para o
comprimento do vão carregado (l1) 3000mm.
100
2863818,01274,3285,085,0 11 =×××== βbfA ck
=−+
−
Ω= ysyspeucupsps fAfA
l
lEAB ''
2
11 σε
2410306,5513396,55108703017
3000273,0003,0206700771 −=×−×+
−
××=B
35387633017
3000273273,0003,020670077
2
11 −=×××××−=Ω−=
l
ldEAC pucupsps ε
mmA
CABBxu 9,96
2
4
1
112
11 =−+−
=∴
A tensão nos cabos no estado limite último fica definida por:
py
u
p
cupsupeps fl
l
x
dE 94,01
2
1 ≤
−Ω+= εσσ
MPaps 11763068703017
30001
9,97
273003,0206700273,0870 =+=
−××+=σ
A tensão atende à condição:
pyps f94,0≤σ
IV. NG e TAN (2005)
O coeficiente redutor utilizado para a determinação da tensão nos cabos no
estado limite último depende da relação sd/dp. Para vigas com um desviador no meio do
vão, a distância entre desviadores (sd) é zero, assim:
150273
0≤==
p
d
d
s
0273
00096,00096,0 =
=
=
p
dn
d
sk
=−
−= n
p
u kh
d
L
a364,1895,0θ
527,00228
273
3000
1000364,1895,0 =−
−=
A tensão nos cabos no estado limite último fica definida por:
101
py
u
p
cupsupepspeps fx
dE ≤
−+=∆+= 1εθσσσσ
MPa145558487019,97
273003,0206700527,0870 =+=
−××+=
MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ
V. HE e LIU (2010)
Os autores estipularam quatros coeficientes de correção das tensões e altura útil
para o estado limite último. Para duas cargas concentradas nos terços do vão e um
desviador tem-se:
82,323
)1590(5688
23
)(5688=
−=
−= mids ee
η
94,0=Ψ
21623=K
99,0
2733000
35,278,0
35,278,0 =+=+=
pdL
γ
A variação das tensões nos cabos e a flecha no meio do vão são dadas por:
mmx
LKu
cu
umid 2,299,97
003,03000216
2399,0 22, =×××==
εγδ
( ) ( )MPa
L
eE umidmumidps
ps 3893000
2,29106,015982,32,2920670022
,,=
×−××=
Ψ−=∆
δηδσ
MPapspeps 1259389870 =+=∆+= σσσ
MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ
VI. GHALLAB (2013)
Para vigas bi-apoiadas e duas cargas concentradas nos terços do vão, o autor
estipulou o fator corretor de deformações kg para a determinação da flecha nas seções
dos desviadores.
( ) ( )1065,0
6
30001000125,0
6125,0
22
=−=−=Ll
k d
g
102
mmLx
ku
cu
gdesv 4,2930009,97
003,01065,0 22 ===
εδ
O comprimento final do cabo considerando o deslocamento vertical do
desviador é:
( ) ( ) ( ) ( ) mmeLL desvmidfinal 30244,2915923000222 2222=++=++= δ
0
0
L
LLEE
final
pspepspspepspeps
−+=+=∆+= σεσσσσ
MPaps 13334638703017
30173024206700870 =+=
−×+=σ
MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ