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Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Fourier
Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação
Centro de Informática - UFPE
ES 413 Sinais e Sistemas
Capítulo 7
1-2Sinais e SistemasEng. da Computação
Conteúdo• Introdução
• Representação de Sinal Aperiódico por Integral de Fourier Trigonométrica
• Transformadas de Algumas Funções Úteis
• Propriedade da Transformada de Fourier
• Transmissão de Sinais através de Sistemas LTIC
1-3Sinais e SistemasEng. da Computação
Introdução (i)– A Transformada de Fourier pode ser intuída como um caso
especial de Transformada de Laplace onde s=j? .
• Esta suposição nem sempre é verdadeira por causa da diferente natureza da convergência das integrais de Laplace e de Fourier.
– A integral de Fourier, que dá origem a transformada de Fourier, estende o papel da série de Fourier, representar um sinal periódico por um somatório de funções senoidais ou exponenciais. Isto é, tal integral permite a representação espectral de sinais aperiódicos.
– A Transformada de Fourier de um sinal:
• Representa as componentes espectrais do sinal.
• Provê mapeamento 1-1 com sua inversa entre domínio no tempo e na freqüência.
1-4Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (i)• Preliminares
– Para representar um sinal aperiódico x(t) por uma série de Fourier:
• Repita x(t) a cada T0 segundos, evitando superposições das repetições.
• Os coeficientes da série de Fourier são calculados para componentes a cada intervalo ? 0 de freqüência.
• Se T0→∞, as amostras no domínio da freqüência tornam-se um sinal contínuo em ? .
x(t)
t
X(? )
?-T0 0 T0
xp(t)
0
2p/T0 Xp(? )
1-5Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (ii)• Preliminares
– Um sinal aperiódico pode ser expresso por um somatório contínuo (integral) de exponenciais incessantes onde aplica-se operador de limite. Assim, o sinal aperiódico dá origem a um outro, periódico, que repete o sinal original a cada período.
)(1 : se- temequivalem, se )( e )(lim Como
2,)(1 onde ,)(
:acima casos dois os representaFourier de série mesma uma Assim,
)()(lim :portanto infinito, tempode intervalo um após
se-repete )( periódico sinal um então infinito, a tende)( periódo o Se
0
00
0
0
0
0
0
0
00
0
0
00
2/
2/0
0
∫
∫∑∞
∞−
−
∞→
−
−∞
−∞=
∞→
=
===
=
dtetxT
Dtxtx
Tdtetx
TDeDtx
txtx
xT
tjnnTT
T
T
tjnTn
n
tjnnT
TT
T
ω
ωω πω
1-6Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (iii)• Definição: Integral de Fourier
– Pode-se definir uma integral, função da freqüência ? :
– O espectro de Fourier se modifica, em número de amostras e amplitude das componentes, com o aumento do período.
)(1
logo ,)()( 00
ωω ω nXT
DdtetxX ntj == ∫
∞
∞−
−
1-7Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier
– Usando-se os coeficientes, escreve-se a série do sinal periódico:
∑
∑
∑
∞
−∞=
∆
→∆∞→
∞
−∞=
∆
∞
−∞=
∆∆==
=→∞→∆∆∆
∆∆
=
=∆
→∞→=
n
tjnTT
T
n
tjnT
n
tjnT
enXtxtx
txtxTnXn
enX
tx
T
TeTnX
tx
ωωπ
ωπωωω
πωω
πωω
ωω
ω
ω
ω
ω
)(
0
00
)(
00
000
0
)(21lim)(lim)(
:)()( e 0 então Quando .2/])([ é )( freqüência
de componente um de ãocontribuiç a somatório, este Para2
)()(
:se-rnaFourier to de série a e ,/2por se- trocaLogo
.0 então se ,)(
)(
00
0
0
0
0
1-8Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier
.0 lfundamenta freqüência comFourier de série a equivale integralA .)( aperiódico sinal o representa queFourier de integral a é Esta
)()(
: função a sob área uma como ser visto pode somatório O
→∆
= ∫∞
∞−
ω
ωω ω
tx
deXtx tj
1-9Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (v)• Definições: Transformada de Fourier e sua Inversa
– A Transformada de Fourier e sua inversa são definidas como:
– O conjugado pode ser escrito como:
– Exemplo de transformada e sua inversa:
ωωπ
ω
ω
ω
ω
ω
deXXFtx
dtetxtxFX
Xtx
tj
tj
∫
∫∞
∞−
−
∞
∞−
−
==
==
⇔
)(21)]([)(
)()]([)(
)()(
1
x(t)
t
X(? )
?
.conjugação da epropriedad - )()( logo
,)()]([)( se- temdefiniçãoPor ** >−⇔
==− ∫∞
∞−
ω
ω ω
Xtx
dtetxtxFX tj
1-10Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (vi)• A Transformada de Fourier
– A transformada de Fourier X(? ) é a especificação de x(t) no domínio da freqüência.
– Pode-se traçar o espectro de X(? ) como função de ? :
– Para um sinal x(t) real, o espectro de amplitude é uma função par e o espectro de fase é uma função ímpar de ? .
– A transformada de Fourier é linear
)()()( ωωω XeXX ∠=
)()(
)()(
ωω
ωω
XX
XX
−∠=−∠
=−
)()()()( então
)()( e )()( Sejam
22112211
2211
ωωωωXaXatxatxa
XtxXtx
+⇔+⇔⇔
1-11Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (vii)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:
−=∠
+=
=∠=
>+
<∞=
+−
=
=
+−
===
==
−
∞+−
−
∞+−∞ +−∞
∞−
−−
∞
∞−
−−
∫∫
∫
aX
aX
XXX
aja
ae
jaX
e
eja
dtedtetueX
dtetxXtuetx
tja
tj
tjatjatjat
tjat
ωω
ωω
ωωω
ωω
ω
ωω
ω
ω
ω
ωωω
ω
1
22
0
)(
0
)(
0
)(
tan)(
1)()()()( Portanto,
01
0
1)(
portanto 1, que se-Tem
1)()( Logo,
)()( definiçãopor ),()(
1-12Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (viii)• Transformada de Fourier
– Exemplo (continuação): Traçado dos espectros de amplitude (função par) e fase (função ímpar):
1-13Sinais e SistemasEng. da Computação
Representação de Sinal Aperiódico (ix)• Existência da Transformada de Fourier
– A transformada de Fourier de uma função x(t) tem garantias de convergência se tal função satisfaz as condições de Dirichlet. Além disto, nos pontos de descontinuidade, x(t) converge para a média dos valores em cada lado da descontinuidade.
– As condições de Dirichlet (condições de suficiência) são:
finito. tempode intervaloqualquer em mínimos e máximos de finito número ter que tem)( funçãoA (iii)
finito. tempode intervaloqualquer em finitas idadesdescontinu de finito número ter que tem)( funçãoA (ii)
.)( :integrável nteabsolutame é )( funçãoA (i)
tx
tx
dttxtx ∞<∫∞
∞−
1-14Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (i)• Função Portal Unitária (Unit Gate)
– Esta função, rect(x), é definida como um pulso de altura e largura unitárias, centrada na origem:
– Função portal: unitária e ela expandida no eixo horizontal:
<
=
>
=
2/11
2/12/1
2/10
)(rect
x
x
x
x
1-15Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (ii)• Função Triângulo Unitária (Triangular Gate)
– Esta função é definida como um pulso triangular de altura e largura unitárias, centrada na origem:
– Função triângulo: unitária e expandida no eixo horizontal:
<−
≥=∆
2/121
2/10)(
xx
xx
1-16Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (iii)• Função Interpolação (Interpolation)
– Esta função, denotada por sinc (x), é definida a razão entre um seno e seu argumento. Ela também é conhecida como função filtrante ou interpolante.
– Características da função:
• É função par de x.
• sinc (x)=0 quando sen x=0, exceto em x=0.
• Pela regra do L’Hôpital determina-se sinc (0)=1.
• Exibe oscilações amortecidas de período 2p, com amplitude continuamente decrescente como 1/x.
xx
xsen
)( sinc =
1-17Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (iv)• Função Interpolação (Interpolation)
– Gráfico da função sinc(x).
1-18Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (v)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:
⇔
=
=
∴
=−−==
=
==
−
−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∫
∫∫
2 sinc rect finalmente ,
2 sinc
2
2)(
22
)(1
)(
:função da valoresos doconsideran ,)/(rect)( Logo,
)()( definiçãopor ),/(rect)(
2/2/2/
2/
ωττ
τωτ
τωτ
ωτ
τω
ω
ωτ
τω
τω
ωτ
ωτωττ
τ
ω
ω
ω
tsen
X
senee
jdteX
dtetX
dtetxXttx
jjtj
tj
tj
1-19Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (vi)• Transformada de Fourier
– Exemplo (continuação): Traçado (a) da função x(t) = rect (t/t); (b) da transformada de Fourier X(? ); (c) do espectro de amplitude (função par) e (d) do espectro de fase (função ímpar).
• A largura de banda de X(? ) é infinita, contudo, este é um filtro passa baixa, no qual a maior parte do espectro concentra-se no intervalo [0,2p/t ]. Portanto, uma avaliação grosseira da largura de banda a determina como 2p/t rad/s ou 1/t Hz.
1-20Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (vii)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Determine a transformada de Fourier da entrada impulso d(t).
( )[ ] ( ) ( ) 1 sejaou ,1 ⇔== ∫∞
∞−
− tdtettF tj δδδ ω
1-21Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (viii)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d(? ).
( )[ ] ( ) ( )ωπδπ
ωωδπ
ωδ ω 21 sejaou ,21
211 ⇔== ∫
∞
∞−
− deF tj
1-22Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (ix)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d(? -? 0).
( )[ ] ( )
( )
( )0
0
0
001
2
:estendidaser pode acima equaçãoA . em simples impulso um é incessante
lexponencia função uma de espectro o que mostra resultado Este
2 sejaou
,21
21
0
0
0
0
ωωπδ
ωω
ωωπδπ
ωωωδπ
ωωδ
ω
ω
ω
ωω
+⇔
=
−⇔
=−=−
−
∞
∞−
− ∫
tj
tj
tj
tjtj
e
e
e
edeF
1-23Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (x)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier:
Sinal cosseno e seu espectro de Fourier
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]000
00
0
cos :elinearidad da epropriedad Pela
22 :anterior exemplo Do21
cos :determinaEuler de fórmulaA
00
00
ωωδωωδπω
ωωπδωωπδ
ω
ωω
ωω
++−⇔
+⇔−⇔
+=
−
−
t
ee
eet
tjtj
tjtj
1-24Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (xi)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier de um trem de impulsos como mostrado na figura abaixo:
( )
( ),2)( :Fourier de ada transformsua tem
2,)( :Fourier de série em expresso sinal um
assim, ,2 que se-mostrouanterior exemplo No
0
00
0
0
0
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
==
−⇔
nn
n
tjnn
tj
nDX
TeDtx
e
ωωδπω
πω
ωωπδ
ω
ω
1-25Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (xii)• Transformada de Fourier
– Exemplo (continuação):
( ) ( )ωδωωωδπ
ω
δ
ω
ω
0
0
0
0
000
0
2/
2/0
2)(
: éFourier de série daFourier de ada transforma Logo,
1)(
1 :Fourier de ecoeficient do Cálculo
=−=
==
∑
∫
∞
−∞=
−
−
nn
T
T
tjnn
nDT
X
Tdtet
TD
1-26Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiii)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Calcule a T. F. da função degrau unitária u(t).( )
( ) ( )
)(lim)( se-faz problema, esteresolver Para
para adoindetermin é desuperior limite O
/1
)( :adaindetermin é integral esta direta, integraçãoPor
0
00
tuetu
te
ejdteU
dtetuU
at
a
tj
tjtj
tj
−
→
−
∞−∞ −
∞
∞−
−
=
∞→
−==∴
=
∫∫
ω
ωω
ω
ωω
ω
1-27Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiv)• Transformada de Fourier
– Exemplo (continuação):
( )
( )ω
ωπδω
ω
πω
ωωω
ωωωω
ωω
jU
aa
ad
aa
aa
jaa
aj
aaU
a
aa
1)(
0lim
tan é sob Área
onde ,1limlim
:como expressaser podeFourier de madaA transfor
220
12222
22022220
+=
∴=
+
==++
+
+=
+−
+=
→
∞
∞−
−∞
∞−
→→
∫
1-28Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformadas de Algumas Funções Úteis (xv)• Transformada de Fourier
– Exemplo: Calcule a transformada de Fourier da função sgn(t):
ωjt
tuttut2)sgn( anteriores resultados os se-Usando
1)(2)sgn()(21)sgn(
⇔
−=∴=+
1-29Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (i)• Objetivo
– Estudar propriedades e conhecer suas implicações e aplicações.
• Propriedades Consideradas
– Propriedade de Dualidade Tempo-freqüência nas Operações com Transformadas: Para qualquer resultado entre x(t) e X (? ) existe uma relação dual obtida pela trocas de papeis de x(t) e X (? ), pois as duas expressões são aproximadamente idênticas.
– Propriedade de Linearidade: Respeita o teorema da superposição. Permite representar um sinal como a combinação linear de outros sinais com transformadas de Fourier conhecidas.
– Conjugação e Simetria Conjugada:
)()( conjugado de simetria de epropriedad a se-Segue
)()( então )()( Se*
**
ωω
ωω
XX
XtxXtx
=−
−⇔⇔
1-30Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (ii)– Propriedade de Dualidade:
• Operações no tempo levam a operações duais na freqüência.
• Pares de transformadas de Fourier são mutuamente duais.
– Propriedade DC: Integral de um sinal é determinada por sua T.F. em ? =0.
– Relação de Parceval: A potência do sinal pode ser determinada a partir do domínio do tempo ou do domínio da freqüência.
.por se- troca,)()(2
se- tem, tempopara assim ,)(21)(
pois ),(2)( então )()( Se
ωπ
π
ωπω
tdueuXtx
-tdueuXtx
xtXXtx
jut
jut
∫
∫∞
∞−
−
∞
∞−
=−
=
−⇔⇔
1-31Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (iii)– Propriedade de Escalonamento no Tempo:
( )
[ ]
espectral. o)(compressã expansão em resulta fator pelo )( sinal do tempono (expansão) compressão que afirma epropriedad Esta
)()( se-calcula :compressão desta Prova
real. constante é ,//1)( então )()( Se
atx
dteatxatxF
aaXaatxXtx
tj∫∞
∞−
−=
⇔⇔
ω
ωω
1-32Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (iv)– Propriedade de Escalonamento no Tempo (continuação):
• A largura de banda de um sinal é inversamente proporcional a duração ou largura deste sinal.
– Propriedade de inversão de Tempo e Freqüência:
– Propriedade de Deslocamento no Tempo:
[ ]
espectro.seu emlinear fase de todeslocamen um provoca sinal um em tempo)(no atraso o palavras, outras Em
. em fase de espectroseu muda e amplitude de espectroseu modifica
não segundos em )( sinal umatrasar que afirma epropriedad Esta
)()( se-calcula :Prova
)()( então )()( Se
0
0
00
00
t
ttx
dtettxttxF
eXttxXtxtj
tj
ω
ωωω
ω
−
−=−
⇔−⇔
∫∞
∞−
−
−
( ) .1 onde ,)( então )()( Se −=−⇔−⇔ aXtxXtx ωω
1-33Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (v)– Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):
– Exemplo: Encontre a T.F. do pulso portal da figura abaixo:
.4
3linear termoum de adicionado é fase de espectro O
)./(rect de mesmo o permanece eamplitudad de espectro O2
sinc 43
rect logo ,2
sinc rect
: tempono todeslocamen do epropriedad a se-Aplicasegundos. 4/3 de atrasado )/(rect portal pulso o é )( sinal O
0
ωττ
ωττ
ττ
ωττ
τ
ττ
ω
−
⇔
−
⇔
−
t
ett
ttx
tj
1-34Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (vi)– Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):
1-35Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (vii)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência:
[ ]
[ ] [ ])()(21)()(
21cos)(
:senoidal umapor sinal o se-ndomultiplica alcançado é real, mundo opara ,freqüência na todeslocamen o real, função uma é não Como
tempo.no todeslocamen ao dual é epropriedad Esta
. de sinal doespectro no todeslocamen causa por sinal um de çãomultiplicaA
)()( se-calculando obtida é provaA
)()( então ,)()(
000
0
0
00
0
0
00
0
ωωωωω
ωω
ωωω
ωω
ω
ω
ωωω
ω
++−⇔+=
=
=
−⇔⇔
−
∞
∞−
−∫
XXetxetxttx
e
e
dteetxetxF
XetxXtx
tjtj
tj
tj
tjtjtj
tj
1-36Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (viii)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):
1-37Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (ix)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):
• Multiplicação de um sinal senoidal cos ? 0t pelo sinal x(t) modula a amplitude da senoidal. Esta operação é chamada de modulação em amplitude. A senoidal é chamada de portadora (carrier) e o sinal é dito ser o sinal modulante ou modulador. O produto é chamado de sinal modulado.
• Aplicações de Modulação:
– Multiplexação por divisão de freqüência: transmissão simultânea de alguns sinais sobre um mesmo canal por compartilhamento da banda de freqüência. Na prática, um dado sinal tem vários portadores (e.g., estação de rádios).
– Redução do tamanho de antenas (que deve ter o tamanho da ordem de grandeza do sinal a ser irradiado).
1-38Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Fourier (x)– Propriedade de Convolução no Tempo e na Freqüência
– Propriedade de Diferenciação e Integração no Tempo:
( )[ ]definição. da aplicaçãopor se-Prova
)()(21)()( freqüência na Convolução )()()()( tempono Convolução
.)()( e )()( Se
2121
2121
2211
ωωπωω
ωω
XXtxtxXXtxtx
XtxXtx
∗⇔⇔∗
⇔⇔
+⇔
⇔
⇔
∫ ∞− tempono integração ),()0(
)()(
tempono çãodiferencia ),( então
,)()(
ωδπωω
ττ
ωω
ω
Xj
Xdx
Xjdtdx
Xtx
t
1-39Sinais e SistemasEng. da Computação
Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (i)• Preliminares
– Sejam x(t) e y(t) entrada e saída de sistema LTIC com resposta ao impulso h(t), logo Y(? )=H(? )X(? ) (prop. convolução no tempo).
• Esta equação não se aplica a sistemas assintoticamente instáveis pois neste caso h(t) não é transformável por Fourier.
– Exemplo: Ache a resposta de estado zero para sist. LTIC (estável):
( )( )
( ) )()( logo ,2
11
1)(
121
)()()( Portanto,
11
)()( :Entrada
2
1|)(2
1)( :impluso ao Resposta
2 tueetyjj
Y
jjXHY
jtuetx
jsH
ssH
tt
t
js
−−
−
=
−=+
−+
=
++==
+⇔=
+=∴
+=
ωωω
ωωωωω
ω
ωω
1-40Sinais e SistemasEng. da Computação
Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (ii)• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear
– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):
sincessante exp. às respostas de .....soma )()(21
)(
sincessante isexponencia de ....soma.......... )(21)(
impulso ao sposta........re.................... )(
:freqüência da Domínio
impulso ao respostas de ......soma.......... )()()(
impulsos de a.......som.......... )()()(
impulso ao osta......resp.............................. )()( : tempono Domínio
-
-
-
-
∫
∫
∫∫
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
⇒
−=
−=
⇒
ωωωπ
ωωπ
ω
τττ
ττδτ
δ
ω
ω
ωω
deHXty
deXtx
eHe
dthxty
dtxtx
tht
tj
tj
tjtj
1-41Sinais e SistemasEng. da Computação
Filtros Ideais e Práticos• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear
– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):
sincessante exp. às respostas de .....soma )()(21
)(
sincessante isexponencia de ....soma.......... )(21)(
impulso ao sposta........re.................... )(
:freqüência da Domínio
impulso ao respostas de ......soma.......... )()()(
impulsos de a.......som.......... )()()(
impulso ao osta......resp.............................. )()( : tempono Domínio
-
-
-
-
∫
∫
∫∫
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
⇒
−=
−=
⇒
ωωωπ
ωωπ
ω
τττ
ττδτ
δ
ω
ω
ωω
deHXty
deXtx
eHe
dthxty
dtxtx
tht
tj
tj
tjtj
1-42Sinais e SistemasEng. da Computação
Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB
– Todos
• Problemas– 7.1-3 até 7.1-7.
– 7.2-1, 7.2-4 até 7.2-5.
– 7.3-1 até 7.3-4, 7.3-6, 7.3-7 e 7.3-10.
– 7.4-1 até 7.4-3.