ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇAOmentais de Matemática Financeira, como osde juros...

ANÁLISEDE INVESTIMENTOS E INFLAÇAO

CLAUDE MACHLlNE

"Acreditar que a experiência ou a intuição resofviarntodos os problemas na emprêsa, não é mais julftifi-cado do que sustentar, ao contrário, que qualquerproblema possa ser resolvido por métodos cientiiicee:A análise e o estudo em profundidade dos ~s,-mos empresários tornam menos incerta a totrlada de,decisões, ou, pelo menos, removem muitas hesi/~do dirigente nesse processo;" - K. PENNYCUICK.

Análise de Investimentos - ou Engenharia Econômica- é o estudo da taxa de retôrno do capital investido. Exis-te considerável literatura sôbre o assunto. Em conseqüên-cia, numerosos métodos, alguns aproximados, outros exatos,têm sido sugeridos para calcular e comparar a rentabili-dade dos investimentos.

Porém, uma circunstância peculiar à nossa conjuntura eco-nômica, a inflação, tem desencorajado os analistas a usa-rem em maior escala êsses valiosos instrumentos de seleçãoentre equipamentos. A perda do poder aquisitivo da moe-da coloca o técnico que compara bens de capital na posiçãode um agrimensor cujo metro se encolhesse a cada passoque êle desse ao longo do terreno a ser medido. Evidente-mente, uma Geometria especial, que levasse em conta arelatividade do poder de. compra do cruzeiro, teria de sercriada para que se pudesse usar com tranqüilidade a me-todologia da Engenharia Econômica.

Ora, os livros clássicos de Matemática Financeira e Enge-nharia Econômica silenciam quanto à influência da ele-vação de preços sôbre os conceitos de depreciação, juros'compostos e rentabilidade. Ao que estamos jnformados,

CLAUDE MACHLINE - Professor-Adjunto e Chefe do Departamentc de Admi-nistração da Produção da Escola de Administração de Emprêsas de São Peulo;ca Fundação Getúlio Varili3s.

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um único autor', há alguns anos, tratou do assunto, masentendemos que considerou apenas um caso especial quenão reflete a situação que prevalece em nosso País, talcomo veremos adiante.Neste trabalho estudaremos a influência da inflação nosproblemas e métodos de Engenharia Econômica. Veremosque ocorrem essencialmente duas situações. Na primeiraa emprêsa acompanha, nos seus preços de venda, a altageneralizada dos preços. Na segunda a empresa não au-menta seus preços em proporção à inflação. No primeirocaso o poder aquisitivo da emprêsa não é substancialmen-te afetado pela inflação. No segundo o poder aquisitivoda emprêsa míngua, pois ela é colhida em cheio pela tor-rente da inflação, enquanto fica à margem de qualquerpossibilidade de reajustar seus preços de venda.

O assunto que trazemos à balha requer, para maior inte-ligibilidade, cuidadosa revisão de certos conceitos funda-mentais de Matemática Financeira, como os de juros com-postos, descontos e rendas. Examinaremos depois três mé-todos, um aproximado e dois exatos, de Análise de Inves-timentos. Relembradas essas noções clássicas, poderemosmostrar como age a inflação e como levá-la em conta nacomparação econômica dos equipamentos.

Chegaremos à conclusão de que para a maioria das em-prêsas a inflação não invalida os métodos habituais deEngenharia Econômica. Para aquelas que não podem ajus-tar suas receitas ao aumento dos seus gastos, gerado pelainflação, correções relativamente simples permitem conti-nuar a utilizar as fórmulas clássicas.

MÉTODO DE DEPRECIAÇÃO LINEAR E JUROS MÉDIOS

Quando se deve decidir entre várias alternativas as con-siderações de ordem funcional são as primeiras trazidaspara exame, pois reduzem a um pequeno número os tipos

1) F. C. JELEN, "Consider Inflation in Compara tive Cost Analysis", ChemicalEngineering, rnaio ide 1956, págs, 165 a 169; "Watch Your Cost Analysis",Chemical Erigineering", junho de 1956, págs. 247 a 252.

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de equipamentos dos quais é possível valer-se. Mesmo comessas limitações, é quase certo que pelo menos duas ou trêsalternativas serão, tecnicamente falando, satisfatórias pararealizar o trabalho desejado. O critério decisivo, quandohouver empate entre as diversas soluções, do ponto devista técnico, será de natureza econômica: ganhará a al-ternativa de menor custo total.O método de depreciação linear consiste em calcular ocusto anual de cada alternativa, custo anual êsse que é asoma de custos fixos e custos variáveis. Definiremos pri-meiro todos os custos que entram em jôgo, Exporemos,a seguir, os conceitos de depreciação e rentabilidade. M05-traremos, então, em que consiste o método, concluindo como tratamento de um exemplo completo.

Custos Fixos e Custos Variáveis

Custos fixos são os que independem do volume de produ-ção, enquanto que os custos variáveis crescem proporcio-nalmente ao número de unidades produzidas.

Os custos fixos são os seguintes:

1) depreciação do equipamento;2) juros ou retôrno sôbre o capital empatado;3) impostos que incidem sôbre o equipamento;4) seguros que incidem sôbre o equipamento;5) custo do espaço ocupado pelo equipamento;6) despesas gerais de supervisão direta;7.) despesas gerais de administração;8) despesas gerais de manutenção;9 ) amortização de patentes.

Os custos variáveis são os seguintes:

1) custos de mão-de-obra direta, inclusive os encargossociais;

2) despesas com fôrça e combustível;3) despesas com lubrificantes;4) custo de mão-de-obra direta de manutenção;

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5) custo das peças sobressalentes e do material de ma-nutenção;

6) custo dos suprimentos diversos;7) custo das matérias-primas.

Daremos breve explicação sôbre êsses custos, detendo-nossôbre os que requerem maiores comentários, especialmen-te a depreciação do equipamento e o retôrno sôbre o ca-pital empatado. O custo das matérias-primas muitas vêzesnão é considerado, por ser o mesmo nas diversas alterna-tivas de equipamento estudadas.

Depreciação do Equipamento

Investimento inicial é o capital total empatado no equi-pamento. É a soma dos seguintes elementos:

1) preço de fatura do equipamento, "pôsto fábrica" (in-clusive impôsto de consumo, frete, seguros de transportee outras despesas);

2) custo da mão-de-obra e dos materiais de instalação:obras civis, modificações ocasionais nos prédios, rearranjofísico das demais máquinas que tenham de ser removidas;canalizações, rêde elétrica, pintura etc.;3) custo dos acessórios: transformadores, motores, gera-dores, conversores, painéis de contrôle, armários, vigas,cabos, trilhos etc.;4) custo dos sobressalentes;5) custo das interrupções na produção decorretnes dainstalação do equipamento;6) custos do estudo do projeto, da execução das plan-tas, das viagens de estudo, das comissões necessárias paraultimar as transações de compra e de transporte.

As despesas de treinamento do pessoal, isto é, o custo deaprendizagem do uso do nôvo equipamento, são difíceisde computar e não costumam ser incluídas no custo inicialdo equipamento. O capital de giro necessário para movi-mentar o investimento não é, tampouco, incluído.

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o valor residual do equipamento é a quantia que se po-derá apurar quando o equipamento fôr abandonado. Namaioria dos casos será um valor pequeno em relação aocusto inicial, ainda mais pelo fato de as despesas de re-moção e venda do equipamento velho diminuírem apre-ciàvelmente êsse valor residual. Se o equipamento nãofôr especializado (máquinas-ferramentas, caldeiras, ca-miões etc.), será possível estimar o valor de venda nomercado e esperar que não surjam dificuldades em encon-trar comprador. Nos demais casos o valor residual seráo de ferro velho, de modo que é freqüente considerar nuloo valor residual.

Existem três conceitos bem distintos de depreciação:1) Para o engenheiro a depreciação é o desgaste físicoda máquina. A depreciação anual é calculada, segundo êle,dividindo-se o valor inicial do equipamento pela sua du-ração provável em anos. Êle estima essa duração prová-vel pela sua experiência com equipamentos análogos, oucom dados fornecidos pelo construtor.2) Para o contador a depreciação anual é o rateio do in-vestimento inicial sôbre certo número de anos, rateio des-tinado a fazer incidir eqüitativamente o custo inicial doequipamento sôbre um número adequado de períodos con-tábeis, em vez de debitá-lo todo num período único, oque diminuiria consideràvelmente o lucro fiscal nesse pe-ríodo. O número mínimo de anos nos quais se pode de-preciar os equipamentos é fixado pela Lei do Impôsto deRenda. A lei brasileira" reza que os equipamentos podemser depreciados em certo número de anos, o que resultaem taxa de depreciação anual bem determinada, conformese vê a seguir:

Taxa de DepreciaçãoAnual

10 ar.os, se o equipamento funcionar 8 horas por dia: 10%

7 ancs, se o equipamento funcionar 16 horas por dia: 15%

5 anos, se o equipamento funcionar 14 horas por dia: 20'-,,<,

2) Outras leis fixam a taxa de depreciação de equipamentos especiais.

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o Fisco estipula êsses prazos mínimos para impedir que aemprêsa, através de uma depreciação rápida, torne me-nores os lucros declarados em suas demonstrações anuais,o que equivaleria a adiar a arrecadação do impôsto derenda."Taxas aceleradas poderão ser conseguidas, em princípio,se a emprêsa provar ao Fisco que o desgaste físico realdo equipamento é mais rápido do que o acima menciona-do. Por exemplo, para camiões consegue-se, em geral,um período de depreciação de 4 anos, o que correspondea uma taxa de depreciação de 25% a.a..3) Para o economista, finalmente, - e é êsse o únicoconceito que devemos adotar em Análise de Investimentos- as considerações de ordem legal ou de desgaste físiconão vêm ao caso, sendo a taxa de depreciação uma ques-tão de diretriz a adotar quanto à velocidade desejada paraa recuperação do capital empatado. O número de ancsescolhido para depreciar o equipamento será, então, igual,no máximo, à duração física provável do equipamento, ouao número de anos legalmente permitido, podendo serbem menor, caso: a) haja risco de obsoletismo do pro-cesso; b) existam condições de instabilidade econômicaque aconselhem prudência na aquisição de equipamentose exijam a amortização rápida do capital investido;" c)haja grande risco técnico ou mercadológico no empreen-dimento.Em suma, o economista, ao lançar a despesa anual de de-preciação, não só constitui, como o contador, um fundoou reserva que servirá para reposição do equipamentoquando estiver desgastado, mas ainda cria recursos paramodernizar o processo e recuperar o investimento inicial,mesmo antes da erosão física do equipamento.Conhecida a taxa anual de depreciação do equipamento,a depreciação é calculada pela fórmula seguinte:

3) A lei permite a depreciação total do equipamento e não faz menção aovalor residual.

4) A palavra "amortização" refere-se à depreciação de um bem intangível(patente, fundo de comércio etc. ). É também usada na expressão "amor-tização de uma dívida" para significar depreciação de uma quantia.

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1Depreciação anual cc L) (1)

nonde C é o investimento inicial,

L e o valor residual do equipamento,

n é o número de anos usado para depreciação1

e ~ é a taxa anual de depreciação.n

Por exemplo, u'a máquina de valor inicial (C) Cr$1.000.000 e valor residual (L)=- CrS 200.000, depre-ciada em 10 anos, tem, como depreciação anual, a quan

1tia: Cr S C 1.000.000 200.000) ~ - 80.000.

10

A fórmula C 1) pressupõe que a depreciação seja uniformeem todos os períodos. O valor rernanesce.rta do equipa-mento decresce linearmente de ano pera ano, conformeo mostra o Gráfico 1.

É freqüentemente necessário computar a deprecicçào eco-nômica do equipamento, por hora de trabalho ou per uni-dade produzida (quilo, quilômetro, peça etc.), o que se

GRÁFICO 1: Depreciação Linear de um Equipamento de ValorInicial C e Valor Residual L, em 10 anos.

VALOR DEPRECIADO DO EQUWAMENTOCr$

1.000.000 C VALOR INICIAL

200.000

o 5 6 7 9 10

ANOS


consegue dividindo-se a depreciação anual pelo númerode horas trabalhadas num ano ou pelo número de unida-des produzidas por ano. O custo do capital por peça pro-duzida será, portanto, bem maior para o equipamento queopere num turno do que para o que funcione dia e noite.Mesmo-que a máquina não trabalhe em determinado ano,ela deve ser depreciada - no conceito econômico - damesma maneira que a máquina viva.Lembremos certos pormenores relativos à depreciação:1) Os terrenos não costumam ser depreciados, nem le-galmente, nem do ponto de vista econômico, poisC - L = O, em geral, isto é, o seu valor se mantém cons-tante ou até aumenta."2) Num problema de análise de investimentos é legítimodepreciar os edifícios, como qualquer outro investimento,"Aliás, hoje a lei brasileira já permite depreciar os edifí-cios em 2% ao ano.

3) Embora o Fisco não aceite fàcilmente essa idéia, aeconomista terá que depreciar as peças sobressalentes quedevem ficar permanentemente em reserva, quer sejamchamadas a operar ou não. Assim, motores de socorro, ge-,radores, bombas e material de combate ao fogo devem serdepreciados, embora possam nunca ser chamados a intervir.4) Certos equipamentos são parcialmente comprados eparcialmente construídos na própria emprêsa. Sua cons-trução pode levar um ou mais anos. Meses de experiên-cia são, às vêzes, necessários, depois de ultimada a cons-trução, até que o equipamento esteja apto a produzir in-dustrialmente. É recomendável que todos êsses encargose juros sejam capitalizados, durante o andamento dasobras, e acrescidos ao custo do investimento, que serádepreciado a partir da data de entrada em serviço dasinstalações.

5) Quando há inflação da moeda deve-se deflacionar o valor residual demodo a comparar os valôres inicial e residual em têrmos de moedafixa.

6) O período de depreciação econômica dos edifícios pode ser consideradoigual à sua duração física, ou seja, de 30 a 50 anos.

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5 ) O período de depreciação econômica de grandes ins-talações (barragens, estradas de ferro, portos etc.), emgeral, é de 30 a 50 anos. O de pequenas máquinas e im-plementas não deve ultrapassar 1 a 2 anos.

Retôtno eôbte o Capital Empatado

Ainda é ponto controvertido a inclusão, no cômputo doscustos, do retôrno sôbre o capital empatado. De fato,conforme argumentam os contadores, a lei só permite con-siderar como custo contábil a deduzir do lucro os jurossôbre capital de empréstimo, não sendo legalmente per-mitido deduzir do lucro os juros sôbre o capital próprioda emprêsa. Como quase sempre é impossível especificarqual seja o equipamento comprado com financiamentto deterceiros e qual seja o adquirido com os recursos própriosda emprêsa, não é justo debitar êsses juros ao equipamento.

Os engenheiros estão nesse ponto de acôrdo com os con-tadores e não costumam embaraçar-se com os cômputosdêsses juros, os quais não têm substrato material, diferen-temente dos demais custos fixos e variáveis, aos- quaiscorresponde uma realidade física tangível.'

A tese defendida pelos economistas é a que adotamos aqui.O dinheiro, argumentam êles, tem um preço, refletido nolucro ou retôrno potencial que seria possível obter apli-cando-se essa soma em outro empreendimento; por exem-plo, ao calcular o custo de um nôvo negócio, deve-se acres-centar ao capital que será nêle investido o lucro que sepoderia obter, utilizando-se êsse mesmo capital na inten-sificação das operações industriais e comerciais às quais aemprêsa se esteja dedicando. Por virtual ou intangívelque êsse custo seja, nem por isso deixa êle de existir. Emsuma, o dinheiro tem um custo, e êsse custo deve apare-cer como componente do custo total do equipamentoproposto.

7) SÉRGIO THENN DE BARROS, "Custo de Operação de Máquinas de Constru-ção", Engenheiro Moderno, vol. I, n.? 11, agôsto de 1965.

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Como calcular a taxa de retôrno? Ela será, em geral, igual,no mínimo, à taxa de retôrno que a emprêsa desfruta emsuas operações habituais. Se o empresário achar que asoportunidades de lucro elevado se estão esgotando, êlepode contentar-se, em determinado investimento, com umataxa de retôrno inferior à que costuma obter. De qual-quer maneira, êle é o único juiz da taxa de retôrno quedeseja. Se o empresário achar o negócio seguro, poderácontentar-se com uma taxa de retôrno pequena, igualoupouco superior à taxa de juros cobrada, na praça, paraempréstimo de dinheiro. Se o empresário considerar o em-preendimento arriscado, desejará uma taxa de retôrno bemmais elevada. A taxa de retôrno, em suma, depende dasdiretrizes financeiras da emprêsa; terá um valor eminen-temente individual, variando com a conjuntura econômica.no momento de tomar a decisão de investir, e refletindoa personalidade e a atitude do empresário.

Taxa de Retorno e Taxa de Inflação

Dissemos acima que a taxa de retôrno desejada é eminen-temente subjetiva. Para certas pessoas, desejosas de nãocorrer nenhum risco com suas economias, a taxa de retôr-no que se pode obter é a do depósito bancário, digamos,atualmente, 5% a 6% a.a.. Qualquer taxa superior a essa,para um empreendimento de risco igualmente pequeno,será julgada aceitável por essas pessoas. Na realidade, essataxa de retôrno é ilusória, pois o capital se deprecia bemmais ràpidamente do que se compõem os juros, com umainflação da ordem de 5% ao mês, como a que vigora pre-sentemente entre nós.

Apresentamos agora uma fórmula que relaciona a taxa deretôrno real (i), a taxa de retôrno aparente ou nominal(e) e a taxa de inflação (â )?

e de = i + d + id ou 1

1 + d (2)

11) A demonstração da fórmula (2) é dada adiante.

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que ainda pode ser escrita:1 +- d1 +- e

1

1 -+ i

Por exemplo, a que taxa de juros nominal se deve em-prestar dinheiro, se a taxa de retôrno real desejada fôr de2 % a.m. e a taxa de inflação fôr de 5 % a.m.? De acôrdocom (2), a taxa de juros nominal deverá ser:

e = 2% +- 5% +- 2% X 5%= 7,1%.Outro. exemplo: se um banco oficial emprestar dinheiro àtaxa nominal de 12% a.a. (legalmente permitida) e ainflação fôr de 60% a.a., qual será a taxa de retôrno realdo beneficiário?De acôrdo com (2), temos que a taxa de retôrno (ne-gativa) do banco é:

12% 60% 48%

1,611 +- 60%

A taxa de retôrno real do beneficiado será, pois, de30% a.a..A fórmula (2) é demonstrada da seguinte maneira:• na ausência de, inflação e na vigência de uma taxa deretôrno (ou de juros) real i, a quantia inicial C se trans-formará em C( 1 +- i) no fim de um período;• na ausência de retôrno e na vigência de uma taxa deinflação d, a quantia inicial C equivalerá a C(1 +- d) nofim de um período;• na vigência simultânea de retôrno e de inflação, aquantia inicial C equivalerá a C( 1 +- i) (1 +- d);• a taxa de retôrno aparente é, pois, o valor e. Assim:

C (1 +- e)= C (1 + i)

Donde se deduz quee i -+ d +- id

(1 -I- d).

9) As despesas decorrentes do empréstimo (avaliação, expediente, taxas di-versas) fazem com que, na realidade, a taxa real de retôrno do beneficia-do seja sempre menor do que a taxa nominal.

GRÁFICO 2: Evolução da Inflação dos Preços, da Irdlnçiio do Câmbioe da Inflação Monetária.

iNDICES

(ESCALA LOGAR:TfldCA)

5.000

.<1.000

30

20 Cr$ + 0,1 PREÇO DA CONSTRUÇÃO I

-c-------INDICESUS5

(1953 = 100)

MOEDA EM CIRCULAÇÃO

(1953 :: 100)

JO"~~~~~~~-t~~~~~~~~~~~~~~~~~~A:N::;OS1944 45 46 47 4B 49 50 51 52 53 5.( 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65


o têrmo id é o retôrno sôbre a inflação e poderá ser des-prezado, em primeira aproximação, quando i e d forempequenos (menores do que 10%).

Taxa Média de Retôrno

A taxa de retôrno incide sôbre um capital que decrescede ano para ano em valor real, isto é, recai, cada ano,sôbre o valor depreciado da máquina, em virtude de aquantia recuperada por operações realizadas com o equi-pamento tornar-se disponível cada ano, podendo ser in-vestida em novas aplicações.

Êsse procedimento é análogo ao seguido na cobrança dejuros sôbre uma dívida, cujo principal se extingue gra-dualmente, devendo-se calcular os juros sôbre a parte re-manescente da dívida e não sôbre o valor inicial da quan-tia emprestada.

Por exemplo" a máquina de valor inicial C = Cr$1.000.000 e valor residual Cr$ 200.000, depreciada em10 anos, que nos serviu de exemplo até agora, terá. parauma taxa de retôrno desejada de 30% a.a., o seguinteretôrno no primeiro ano:

Cr$ 1.000.000 X 30% = Cr$ 300.000.

No início do segundo ano, o valor depreciado da máquinaserá de Cr$ 920.000, e o retôrno será de:

Cr$ 920.000 X 30% = Cr$ 276.000.

No comêço do décimo ano, o valor depreciado da máquinaserá de Cr$ 280.000, e o retôrno será de:

Cr$280 .000 X 30%= Cr$ 84.000.

Costuma-se atribuir a cada ano um retôrno uniforme, afim de evitar o inconveniente de haver um retôrno dife-rente de ano para ano. Êsse retôrno uniforme é a médiados retornos, que se prova fàcilmente ser a média arit-mética do retôrno do primeiro e do último ano. Emnosso caso:

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retôrno médio =

Cr$ 300.000 ~ 84.000

2Cr$ 192. 000.

É fácil verificar que o retôrno médio é dado pela médiaaritmética do retôrno do primeiro e do último ano, ouseja, é igual a:

1 [ i J2 (C-L)i ~ (C-L) -;; + Li =

1 n+1- (C-L) - . -- + Li2 n (3)

Em geral, não há valor residual e o retôrno médio reduz-se. C i n + 1 , êdi . êti dao seguinte: -. , que e a me la aritmé ica o2 n

retôrno do primeiro ano Ci e do retôrno do último anoC C-i, quando somente a parcela - do capital ainda nãon nestá amortizada.

A taxa média de retôrno im sôbre a parte depreciável doequipamento é definida pela fórmula:

i n+1Lm === - • --

2 n (4)Aplicando a fórmula (4) ao nosso exemplo, encontramosa taxa média de retôrno de:

30%1m = -- .

2

10+ 1

10= 16,5%.

A fórmula (3) fornece, então, o retôrno médio de: Cr$(1.100.000 - 200.000) 16,5% + 200.000 X 30% == 132.000 + 60.000 = Cr$ 192.000, idêntico ao en-contrado anteriormente.

R.A.E.j18 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO 65

Taxa de Retôrno e Impôsto de Renda

Surge, obviamente, a seguinte pergunta no espírito do lei-tor: a taxa de retôrno que se utiliza é a taxa bruta, antesdo impôsto de renda, ou é a taxa líquida, depois do pa-gamento do impôsto de renda?

A rigor, como a análise de investimentos visa a compararalternativas, será indiferente utilizar uma ou outra taxa,desde que o impôsto sôbre a renda seja considerado comoum custo a acrescentar aos demais custos já mencionados.Porém, é costume usar nos estudos de Engenharia Eco-nômica a taxa de retôrno antes do pagamento do impôstode renda, pois o impôsto de renda é progressivo e incidesôbre o lucro social e o lucro da pessoa física.

As emprêsas federais, estatais, parestatais e municipais,que estão isentas do pagamento dêsse tributo, podem, pois,aplicar uma taxa de retôrno menor do que a usada pelasemprêsas privadas que operem no mesmo ramo." As con-cessionárias de serviços públicos (energia elétrica, telefoneetc.), ainda que a taxa de rentabilidade seja limitada porlei, devem utilizar, para efeito de decisão, uma taxa deretôrno realista, em geral superior à legalmente permitida.As emprêsas que estejam operando, há muitos anos, emsituação deficitária, e que, portanto, estejam isentas dopagamento do impôsto de renda, podem, não obstante,avaliar as alternativas de novos investimentos, sob o pres-suposto de que o impôsto de renda incidirá sôbre as ope-rações em estudo.

As emprêsas que recebem financiamentos (de bancos dedesenvolvimento, por exemplo) a juros muito baixos de-vem, ao considerar alternativas de investimento, adotaruma taxa de retôrno consentâneamente mais baixa, poiselas já obtêm lucro real sôbre o empréstimo.

10) Para investimentos públicas (escolas, estradas, portos, estações de trata-mentes de águas e esgotos etc.) convém que o analista use uma taxade retôrno igual, pelo menos, à taxa real de juros na praça.

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Fixação de Tarifas, Custos para Terceiros eCustos Próprios

Os estudos de Engenharia Econômica destinam-se a faci-litar a tomada de decisões. Às vêzes, são necessários es-tudos dessa natureza para outras finalidades. Assim, porexemplo, as companhias distribuidoras de combustíveis lí-quidos e gasosos são obrigadas a anualmente remeter aoConselho Nacional do Petróleo dados sôbre o custo de suasoperações de transporte, dados êsses que servirão comosubsídios para a fixação de preços por parte daquela en-tidade. Nesses casos o estudo incluirá a depreciação doequipamento e os demais custos fixos e variáveis já men-cionados; porém, obviamente, a taxa de retôrno deveráser a permitida por lei, ou poderá mesmo ser omitida nademonstração destinada aos órgãos oficiais. Êsses cálculosnão poderão servir de base a uma decisão por parte dosdirigentes da emprêsa. De modo geral, os estudos de En-genharia Econômica se prestam melhor à comparação entrealternativas do que à fixação de tarifas ou preços de ven-da baseados em custos, pois nesses últimos casos é pre-ferível não incluir no custo o retôrno sôbre o capital.

Objeções ao Método de Depreciação Linear maisJuros Médios

O método de depreciação linear mais juros médios é apro-ximado: a substituição de juros anuais por juros médiosresulta num êrro tanto maior quanto mais extenso fôr onúmero de períodos ti e quanto maior fôr a taxa de re-tôrno i. Considerando, entretanto, que as incertezas quan-to aos valôres de n e de i são sempre grandes, o êrro re-sultante dêsse método não tem em geral maior importân-cia. Mesmo em países nos quais os métodos de EngenhariaEconômica se encontram mais divulgados, o método dedepreciação linear mais juros médios é mais utilizado doque os métodos exatos que exporemos adiante.

Ainda são poucas entre nós as emprêsas que conhecemsua taxa de rentabilidade. Ela pode ser calculada esti-


mando-se o valor real do investimento existente em de-terminado ano ao preço de venda no mercado, ou ao preçode reposição no estado, e dividindo-se por êsse valor olucro total obtido no ano em foco, antes do pagamentodo impôsto sôbre a renda. Por exemplo, se uma emprêsaavaliar seu investimento médio real em Cr$ 500.000.000em determinado ano e se o lucro bruto anual tiver sido deCr$ 100.000.000, a taxa de retôrno terá sido de 20%.Essa taxa de retôrno pode servir de ponto de partida paranovos investimentos no mesmo ramo, devendo-se corrigi-lapor meio de fatôres proporcionais ao risco .técnico e co-mercial e às condições social-econômicas vigentes.

Outros Custos Fixos e Variáveis

Referir-nos-emos aos demais custos fixos e variáveis jámencionados.

Exemplos de impostos que incidem sôbre o equipamento:• licenciamento de veículos automotivos;

• licenciamento de elevadores e monta-cargasindustriais;

impôsto predial;

taxa de água e esgotos.

••Exemplos de seguros que incidem sôbre o equipamento:

• seguro contra incêndio -)- a taxa de seguro contra in-cêndio é função da periculosidade do próprio equipamento("tipo de ocupação"), da vizinhança de outros equipa-mentos perigosos ("isolamento dos riscos"), da naturezado prédio, da localização em zonas suburbanas ou isoladas,das instalações de prevenção e combate ao incêndio e daexistência de uma turma treinada de bombeiros;

• seguros contra fogo, roubo, colisão e de responsabili-dade civil para veículos;


• seguros pessoais, devidos à periculosidade ou insalu-bridade do equipamento.

Como a importância a ser paga em impostos e seguros éaproximadamente proporcional ao valor depreciado doequipamento, calcula-se a taxa média de impostos e se-guros de modo inteiramente idêntico ao usado para cal-cular a taxa de retôrno,

Quanto ao custo do espaço ocupado pelo equipamento, emse tratando de uma área especialmente alugada paraabrigar o equipamento, o custo do espaço é explícito; tam-bém o será se fôr necessário construir um prédio, ou par-te de um prédio, para abrigar o equipamento. Quandose trata de prédio já existente, com espaço antes inutili-lizado, e que não foi destinado a êsse ou a outro equi-pamento, não há necessidade de atribuir custo de espaçoao equipamento. O custo do espaço deve incluir não so-mente o ocupado pela máquina propriamente dita, maso das passagens de circulação e o dos estoques de maté-rias-primas e de produtos acabados.

As despesas gerais de supervisão direta são exemplificadaspelos salários dos engenheiros, mestres e chefes de turma.

As despesas gerais de administração da fábrica compreen-dem os custos dos departamentos de serviços, como com-pras, relações industriais, engenharia, contrôle de quali-dade, pesquisas etc.. As despesas gerais de administraçãoincluem ainda os salários da diretoria, dos departamentosde vendas, finanças e contabilidade, as despesas de escri-tório e de administração dos prédios etc.. Todos êssescustos devem ser debitados ao equipamento, numa baseconvenie-ntede rateio, como, por exemplo, na proporçãode homens ocupados, de kw. de carga ou de espaço ocupado.

As despesas gerais de manutenção correspondem ao custodas oficinas mecânica, elétrica, de funilaria, carpintaria ede serviços. Serão rateados entre equipamentos numa dasbases mencionadas.

69----------------------._-R.A.E./18 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇAO

A amortização de patentes faz-se por um processo seme-lhante ao usado para a depreciação do equipamento. Onúmero de anos usado será, em geral, menor do que olegalmente autorizado.

Os custos variáveis, que incluem mão-de-obra direta, ma-térias-primas e suprimentos, são fáceis de levantar e, comose trata de conceitos familiares aos leitores, é desneces-sário estender-nos sôbre o assunto.

Exemplo de Seleção de Equipamento

Exemplo 1. Uma fábrica de artefatos de papel planejac.~nstruirum armazém destinado a estocar bobinas de pa-pel. Para descarregar as bobinas dos caminhões de en-trega, empilhá-Ias no armazém e transportá-las até asmáquinas, três sistemas de transporte são tecnicamenteviáveis:

A. Uma plataforma-elevadora manual, operada por doishomens, em conjugação com carrinhos de mão, operadospor quatro homens.

B. Uma empilhadeira motorizada, com dispositivo espe-cial, para abraçar bobinas e empilhá-las. Executa todo oserviço com apenas um motorista.

C. Uma ponte rolante, manobrada por um guindasteiroe um ajudante, em conjugação com carrinhos de.mão ope-rados por quatro homens.

São dados os seguintes elementos para o cálculo dos custosanuais (valôres de 1963):

a) custo da mão-de-obra braçal (inclusive encargos so-ciais): Cr$ 480. 000 por ano;

b) custo da mão-de-obra de motorista de empilhadeiraou de guindasteiro: Cr$ 600.000 por ano;

c) número de turnos de trabalho: dois turnos de 8 horas.

70 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.Ei18------------------------------------QUADRÓ 1: Elementos de Custo Necessério«

à Solução do Exemplo 1

Sistema A Sietetrsi C

Plataformaelevadora

manual cemcaninhas

Sistema B

Empilhadeira Ponte rolantemotorizada com carrinhos

c-s-_._---------.~--------------~---

Cr$Custo inicial total do equi-

pamento (C) 750.000

Valor residual do equipamen-to (L) 50.000

Taxa de retôrno anual dese-jado (i) 20%

Taxa de impostos e seguros 2%

Despesas anuais gerais 30.000

Fôrça e combustível

Lubrificantes 10.000

Mão-de-obra de manutenção 20.0'00

Peças sobressalentes para ma-nutenção, revisão e repares 100.000

Suprimentos diversos 10.000

Vida estimada do equipa-mento 10 anos

Tempo de depreciação legal-mente permitida 7 anos 7 anos

Cr$

10.000.000

1.'000.000

20%

2%

100.000

250.000

25.000

100.000

500:000

30.000

8 anos

7 anos

15.000.000

2.000.000

20%

2%

5'0.000.i

100.000

15.000

50.000

200.000

20.000

20 anos

o Quadro 1 contém os demais elementos de custos necessários à soluçãodo problema. Tôdas as despesas referem-se a dois turnos de trabalho.

Todos os pagamentos são feitos à vista. Ficou decididodepreciar os equipamentos em 5 anos, período consideradorazoável pela direção da emprêsa para a recuperação docapital investido, em equipamentos dessa natureza, con-siderando-se a conjuntura político-econômica existente eà vista dos riscos relativamente pequenos, inerentes a .êsseempreendimento; não se levaram em conta nem a vidaestimada do equipamento, porquanto maior do que 5anos, nem o tempo legal de depreciação.

R.A.E.í18 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO 71

A taxa média de retôrno é, de acôrdo com a fórmula (4):20% 5+1--o -- = 12%.2 5

A taxa média de impostos e seguros é a de 1,2% , tambémde acôrdo com a Fórmula 4.O Quadro 2 reproduz os cálculos para obtenção dos custosanuais totais de cada proposta. Vê-se que, com os pres-supostos feitos, a alternativa mais econômica é a empi-lhadeira motorizada.

Influência da Inflação no Método de DepreciaçãoLinearVimos até agora, com certos pormenores, o funcionamen-to do método de depreciação linear mais juros médiosquando a moeda é estável. A fim de examinar como êssemétodo se comporta em tempo de inflação devemos ob-servar que existem dois tipos de desembolsos na operaçãode todo o equipamento: (a) os desembolsos iniciais, cor-respondentes às despesas de capital; e (b) os desembolsosdos anos subseqüentes, correspondentes às despesas commão-de-obra, suprimentos e demais custos variáveis jáarrolados.Ao dividir, de acôrdo com a fórmula (1), o desembôlsoinicial C - L pelo número ti de anos, obteremos a depre-ciação anual em cruzeiros, em têrmos de moeda de hoje,isto é, do dia da compra; essa depreciação anual não éafetada pelo que possa acontecer com o valor nominal damoeda no futuro. O valor residual L, que será recuperadoao fim de n anos, também deve vir expresso em cruzeirosde hoje e não em cruzeiros desvalorizados que terão cursodaqui a n anos.Por exemplo, a máquina mencionada acima, de valor ini-cial Cr$ 1. 000 . 000 e valor residual (em moeda de hoje)Cr$ 200.000, depreciada em 10 anos, tem, como depre-ciação anual, a quantia de Cr$ 80.000, em têrmos de.moeda de hoje, independentemente da existência de infla-ção no futuro. Evidentemente, se daqui a dez anos se disser

72 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.E./lS

QUADRO 2: Cálculos dos Custos Anuais do Exemplo 1

Depreciação do equipamento

C-L

n

Retôrno sôbre o capital em-patado

i n+ 1(C-L) --_._+ Li

2 n

Custos do capital

Impostos e seguros

i n+ 1(C-L) ---+ Li

2 n

Despesas gerais de supervisão,administração e manutençâo

Total dos custos fixos

Mão-de-obra direta

Fôrça e combustível

Lubrificantes

Mão-de-obra direta de manu-tenção

Peças sobressalentes

Suprimentos> diversos

Total dos custos variáveis

Sistema A

Plataforma--elevadora

manual, comcarrinhos

Cr$140.000

94.000

234.000

9.400

30.0"00

273.400

5.760.000

10.000

20.000

100.000

10.000

5.900.000

Sisieme. B Sistema C

Empilhadeira Ponte rolantemotorizada com carrinhos

Cr$1.800.000

1.280.000

3.080.000

128.000

100.000

3 ..308.0üO

1.200.000

250.000

25.000

100.000

500.000

30.000

2.105.000

Cr$2.600.000

1.960.000

4.560.000

196.000

50.000

4.806.000

6.000.000

100.000

15.00"0

50.000

200.000

20.000

6.385.000

11.191.000Total dos custos anuais 6.173.400 5.413.000

R.A.E.j18 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO 73

que a depreciação anual da máquina em foco tenha sido deCr$ 80.000, essa importância parecerá muito pequena;mas será necessário lembrar que ela se expressará em têr-mos de cruzeiros da década anterior.

Da mesma maneira, o retôrno médio anual é computadoem têrmos da moeda inicial, de forma que a existênciada inflação não invalida o uso da fórmula (4). Notemosatentamente que a taxa de retôrno que deve ser usada nafórmula é a taxa real i e não a taxa aparente e. Em ou-tras palavras, se a taxa de inflação vigorante fôr de 30%a.a. e a taxa de juros na praça fôr de 50% a.a., a taxade retôrno i, que servirá de base ao cálculo do retôrnoanual, deve ser, conforme a expressão (2):

e-d 50%-30%i = -- =

1+d 1+3070

20%

1,3015,3%.

Já os custos variáveis de mão-de-obra e suprimentos so-bem de ano a ano, em virtude da inflação. Parece, por-tanto, à primeira vista, que o método exposto nas páginasanteriores não possa ser usado, pois o custo anual estásubindo de ano a ano e o método pressupõe que os custosanuais permaneçam constantes, uma vez que está baseadona soma dos custos de um ano qualquer, conforme' exem-plifica o Quadro 2. Entretanto, se forem convertidos àmoeda inicial os desembolsos efetuados em qualquer ano,êles serão sempre expressos pelo mesmo valor, desde quetôdas as despesas de mão-de-obra e materiais acompa-nhem por igualo ritmo de elevação de preços, o que, emgeral, ocorre.Portanto, todos os elementos do custo anual continuamsendo expressos, pela mesma quantia, haja ou não infla-ção no futuro. Em conseqüência, o método de deprecia-ção linear mais juros médios pode ser usado em tempode elevação de preços.

Outra demonstração em apoio dessa tese é a seguinte: oanalista pode converter os diversos custos de investimen-to, retôrno e despesas variáveis em moeda fixa, por exem-


plo, dólares. Os custos variáveis sobem, em cruzeiros, deano para ano, mas em dólares seu valor permanece sen-sivelmente constante, desde que a elevação dos preçosafete por igual todos os fatôres de produção, como geral-mente acontece. Assim, por exemplo, um salário de Cr$66. 000 com o dólar a Cr$ 1.850 equivale a um saláriode Cr$ 79.187 com o dólar a Cr$ 2.220. Ambos os sa-lários equivalem a US$ 35,67, que é um custo indepen-dente da inflação.

MATEMÁTICA FINANCEIRA E INFLAÇAo

É conveniente revermos agora algumas n.oçõesbásicas deMatemática Financeira, a fim de entendermos melhor osmétodos exatos de Engenharia Econômica, Deveremostambém estender os métodos clássicos da Matemática Fi-nanceira a situações inflacionárias.

Problemas Fundamentais de Matemática Financeira

Alguns conhecimentos de Matemática Financeira são in-dispensáveis para resolver com exatidão não somente osproblemas de comparação de alternativas, mas tambémos de compras a crédito, tão freqüentes nas aquisições deequipamentos. A Matemática Financeira tem três temasbásicos:

1) Conversão de uma quantia atual em seu equivalentefuturo e, vice-versa, conversão em seu valor atual deuma quantia que deverá ser paga no futuro. É o tó-pico dos juros compostos e do seu inverso, o desconto.

2) Conversão de uma quantia atual em uma série regu-lar de pagamentos periódicos e, vice-versa, de umasérie de prestações em um valor atual total. É assuntofundamental para as operações de crediário, nas ven-das a prestações.

3) Conversão de uma quantia que deverá ser paga nofuturo em uma série regular de pagamentos periódicose, vice-versa, de uma série de prestações em seu valorfuturo. É o problema do fundo de amortização.

R.A.E/18 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO '15

o único conhecimento matemático necessário à soluçãodessas questões é a fórmula que fornece a soma S dos n+ltêrmos de uma progressão geométrica de razão q e têrmoinicial a:

2 3 na aq aq aq aq

Esta soma é:

S = a + aq+ aq2 +- aq

3

Fazendo-se:

naq (5)

2 3 4. n-l-ISq = aq + aq -+ aq + aq -j- ... + aq

subtraindo-se membro a membro essas equações,dindo-se por q-1, resulta:

qn+1 1S = a

e divi-

(6)q 1

Juros Compostos e Desconto Composto

O capital de C Cr$ colocado à taxa de juros i por período,valerá no fim do primeiro período:

C + Ci = C (1 -:- i)Por exemplo, Cr$ 100 capitalizados em um ano à taxade juros de 5%, valerão no fim do ano:100 + 100 X 0,05 = 100 (1 + 0,05)

= 100 X 1,05 = Cr$ 105.No fim do segundo período os C( l+i) Cr$ transformar--se-ão em:C(l +i) + C(l-f-i)i = C( l-l-i) (l-l-i) = C(l-f-i)~

Ao cabo de n períodos, os C Cr$ transforrnar-se-âo em:(7)

Essa é a fórmula dos juros compostos, que relaciona entresi o montante M, o capital inicial C, ai taxa de juros i eonúmero ti de períodos de capitalização. Conhecido o mon-tante calcula-se o capital por meio da expressão (4), in-versa da precedente:


Mc (8)( ') n1 -:- I

As tabelas apresentadas no final do artigo permitem de-terminar o montante M, conhecidos i e n, para um' capitalC = 1 Cr$.

A primeira coluna dessas tabelas, encabeçada pelo título

"Juros Compostos", fornece os valôres (1+i)n para di-versos valôres de i e de n, desde 1 até 100 períodos.

A segunda coluna fornece o fator "Descontos Compostos",inverso do precedente. Valôres de' i e de n, não incluídosnas tabelas, podem ser interpolados e extrapolados linear-mente. Faz-se a extrapolação com base na conhecida pro-priedade das potências:

Uma expressão muito importante é a de conversão detaxas mensais em taxas anuais 'e vice-versa. O leitor nãoterá dificuldades para verificar que a taxa anual ia é liga-da à taxa mensal i-« pelas relações:

I - (1 I i ) 12_ 1 (9)Ta m

I - (1 .L I l/12 - 1 (10)Im a

Por exemplo, uma taxa mensal de 2% corresponde a umataxa anual de:

i= (1,02) 12 - 1 = 1,268 - 1 = 0,268 ou 26,8%.a

Utilizando-nos das tabelas, recorrendo à interpolação e àextrapolação e valendo-nos das fórmulas (5) e (6), nãoteremos dificuldades para calcular os juros e o descontocompostos para qualquer período.


taxas de Inflação e de Desvalorização da Moeda

Já nos referimos à taxa de inflação. Mas, convém agoradefinir com rigor êsse conceito. A medida natural da in-nação é o índice de custo de vida, pois é freqüentementepublicado, fàcilmente compreendido e muito usado na prá-tica para reajuste de preços e de salários. Se um bemcusta, na época base, Cr$ 100, e um ano mais tarde, Cr$140, diz-se que o índice de custo de vida é, neste últimoano, 140.Chamemos 11 e I~os índices de custo de vida nos anosAI e A2 respectivamente; seja A1 o ano base.

Define-se a taxa de inflação d do ano A2 em relação ao anoAi como sendo:

d

Por exemplo:

140 -- 100 40d = = 0,40 ou 40%,.

100100

Define-se a taxa de desvalorização D do ano Ai em re-11

lação ao ano A. como sendo: D= 112

Por exemplo:

100D = 1 -- 140 =.: 1 -- 0,714 c= 0,286 ou 28,6%,

isto é, a moeda perdeu 28,67;) do seu poder de compra.d

Vê-se que D = --o Com a taxa de inflação d cons-1+d

tante, a quantia inicial C será equivalente, ao cabo de nanos, ao valor M, em dinheiro desvalorizado:

M == C (1 -+-- d) n


A comparação dessa última expressão com a fórmula (7)mostra-nos que a taxa de inflação se comporta como umataxa de juros.

Combinando os efeitos dos juros e da inflação, que atuamindependentemente, temos:

M = C( l+i)n (l+d)n = C[ (1+i) (l+d) I"== C( l+i+d+id)n (11)

Aplicando-se a fórmula(2) à Fórmula f( 11), esta últimapode ser assim simplificada:

(12)

onde e é a taxa aparente de juros.

Vejamos algumas aplicações das fórmulas precedentes.

Exemplo 2. Uma pessoa adquiriu em 1960 um terrenopor Cr$ 5.000.000. Se o vendeu em 1964 por Cr$45.000.000, qual terá sido a sua taxa de retôrno anualreal, sabendo-se que a inflação foi de 50% a.a.? Calculeo seu retôrno ou lucro real.

Solução: A expressão 12 fornece:

45.000.000 = 5.000.000 (1+e)4

45.000.000(1+e)4 = 9,

5.000.000

(l+e) = V 9 = 1,732

e = 0,732; i(d+ 1) = 0,732 - 0,500

0,2321= --- = 15,5% a.a..

1,5

0,232

Em moeda original, os Cr$ 45.000.000 equivalem a:

45.000.000 45.000.000

(1,50)4----- = Cr$ 8.888.889.

5,0625

R.A.E'/18 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO 79

o lucro real foi, pois, em moeda original:

Cr$ 8.888.889 -- 5.000.000 = Cr$ 3.888.889.3.888.889

O lucro percentual foi de: =: 77,78%.5.000.000

A taxa de retôrno total foi de 0,7778 para os quatro anos.Aplicando expressão semelhante à equação (10), acha-mos para a taxa de retôrno real percentual anual i:

4 _

1 (1+0,7778)% - 1 = V 1,7778 - 1 =

V 1,333 - 1 = 1,1546 - 1 = 15,5%.

Exemplo 3. João empresta a Pedro Cr$ 2.000.000, à taxade juros mensal de 7%; a inflação é de 5% a.m.. Quan-to deverá pagar Pedro, se a dívida fôr por 90 dias? Qualé a taxa de juros real?

Solução: Pedro deverá pagar:

Cr$ 2.000.000(1,07)3 = 2.000.000 X 1,225== Cr$ 2.450.000.

0,07 - 0,05A taxa de juros real é: i = -----

1,05

= 0,019 ou 1,9% a.m..

Exemplo 4. No ano 1960 o índice de custo de vida era180. Em 1965 o índice era 1.040. Calcule a taxa de in-flação anual.

Solução: 1.040= 180 (1 + d) 5

Usando logaritmos, encontramos d = 0,42 = 42% a.a..

A taxa de inflação que vigorou entre 1960 e 1965 foi de:

d=1.040-180-----=478%.

180A taxa de desvalorização no período foi de:

11 180D= 1---= 1---=82,7%.

12 1.040


Exemplo 5. Um fundo de investimentos publica o seguin-te anúncio: "Baseado no reinvestimento de dividendos,um investimento inicial de Cr$ 100.000, efetuado em fe-vereiro de 1957, valia Cr$ 705.580 em 30 de junho de1963. Nesse mesmo período, o índice de custo de vidaelevou-se de 100 a 464". Calcule a taxa de retôrno realque se obtém nesse fundo.

Solução: Admitiremos, como período, 6 anos e 5 meses= 77 meses. A taxa mensal d de inflação é dada pelaequação: (1 + d)77 ,= 4,64; d é igual a 2%, tal comose pode calcular pelo uso de logaritmos ou pela inspeçãoda tabela de fatôres de juros compostos de 2%. A taxaaparente de retôrno e proporcionada pelo fundo é dadapela equação:

(1 + e)77 = 7,06; e é igual a 2,57%.

A taxa real de retôrno mensal i é dada pela equação

e-d1=--=

1+d

0,0257 - 0,0200

1,02

0,0057--...,-- == 0,0056 = 0,56% a.m., ou seja, um

1,02

pouco menos de 7% a.a..

Pagamento de uma Dívida em Prestações

Para extinguir uma dívida é comum efetuar uma série depagamentos consecutivos iguais no final de períodos de-terminados, meses ou anos, por exemplo. A equivalênciaentre um pagamento inicial C e uma série de prestaçõesP, pagas em final de período, é obtida convertendo-se essasprestações no seu valor atual:

p P P

C = 1.f--i + (1+i)2 + (1+i)"

p+...+ (13)( 1+i)n

Observemos atentamente que o primeiro pagamento seefetua no final do primeiro período, o segundo no final do


segundo período, o "enésimo" no final do "enésimo" pe-ríodo. A fórmula (13) é a soma Idosn têrmos de uma pro-

ljeção geométrica de razão q = --o De acôrdo com (6):

l-H1 (l+i)ll - 1

C--p------i (1+i)ll

(14)

A expressão (14) fornece o valor atual C de uma serrede n pagamentos iguais de valor P, descontados à taxa i.

( l+i)ll-lO valor encontrase tabulado nas tabelas do

i( l+i)llfinal do artigo, para diversos valôres de i e de n. Dá-se-lheo nome de "fator de valor presente" (FVP)ll: é o valor,no momento presente, de uma série de n prestações de umcruzeiro.Da expressão (14) deduz-se:

i( l+i)llP=C-----

(1+i)ll -- 1(15)

A fórmula (15) fornece a prestação P que deve ser pagaao fim de cada período, para extinguir a dívida C. O valori(l+i)ll

encontra-se tabulado no final do artigo para(1+i)ll -- 1diversos valôres de i e de n. Dá-se-lhe o nome de "fatorde recuperação do capital" (FRC)l~: é a prestação cor-respondente a uma divida de um cruzeiro, à taxa de jurosi, a ser paga durante n períodos. Êsse fator tem sido po-pularizado nas chamadas "tabelas Price". É, também, arenda que se poderia obter, durante n períodos, do capital

C. Chama-se ainda "fator de amortização".

Com uma inflação constante de taxa d, cada prestaçãoserá efetuada em moeda progressivamente desvalorizada.Por exemplo a parcela P, paga no fim do enésimo, vale,

11) Em inglês, PWF (present warth factar).12) Em inglês, CRF (capital recovery factar).


pem têrmos da moeda atual: , e, por causa do

( l+d)llP

desconto composto, vale realmente: . Isso,(l+i)ll (l-j-d)ll

supondo-se que os recursos do pagador aumentem na mes-ma proporção que a inflação; se todo o dinheiro que êlepossuir estiver guardado, em moeda original, num cofre,é claro que as parcelas P continuarão a ter para êle.o valornominal. Exceto para as pessoas ou entidades que nãoesperam ver seu retôrno acompanhar o ritmo da inflação,as prestações pagas mais tarde acusam realmente umaperda de substância, e o valor atual de uma série de pres-tações Pé:

pC= +

(1+i) (l+d)

p

p. I

T (l+i)3 (l+d)3 i

P

+

+ (l+i)ll (l+d)ll

Fazendo-se 1 + e = (l+i) (l+d), a expressão (16) setransforma em:

1 (1+e)ll - 1C=p- (17)

e (1+e)ll

(16)

idêntica à expressão (14) anterior, com e

e( l+e)nA expressão P = C ------

(l+e)ll - 1

i + d + ido

(18)

permite calcular a prestação P necessária para saldar a dí-vida C em n períodos, com a taxa de juros aparente e.

Exemplo 6. Uma agência de peças cobra Cr$ 100.000 porum equipamento vendido a vista. A taxa de juros quecobra para vendas a prazo em 10 meses é de 2% a.m.,com uma entrada de 20%. Qual o valor da prestação


a ser paga? Sabendo-se que a inflação é de 1% a.m.,qual a taxa real de juros cobrada?

Solução: Apliquemo a fórmula (18). Procurando na tábuade 2%, encontramos o FRC para 2% e n = 10.

É igual a: 0,11133. Portanto, a prestação procurada é:

P = 80.000 X 0,11133 = Cr$ 8.836,40.

A taxa real de juros é dada pela fórmula (2):

e - d 0,02 - 0,011 = -- = = 0,0099 :::--= 0,01.

1 + d 1,01

Exemplo 7. A que prestação mensal pede ser vendida u'amáquina em 10 pagamentos iguais, sendo o primeiro noato da venda, sabendo-se que a taxa de inflação é de 26%a.a. e a taxa de juros real desejada é de 12% a.a.? Opreço desejado a vista é Cr$ 100.000.

Solução: Damos êsse problema para realçar o fato de queas fórmulas vistas nesta seção somente se aplicam quan-do tôdas as prestações são pagas no final do respectivoperíodo. Temos de separar, portanto, a primeira presta-ção, paga no ato da venda, das nove outras, pagas ao fimde período. Calculemos primeiro a t2X3 e de juros apa-rente. É igual a:

e= 26% + 12% + 26% X 12% = 41,12 % = 0,41.

Vemos que a taxa de juros aparente mensal é quase 3%,pois as tábuas nos dão (1,03)12= 1,426.

Escrevemos que a prestação P deve satisfazer à igualdade:

100.000 = P + P (FVP - 3% - 9) == P + P ;< 7,786 = P X 8,786.

Portanto, a prestação procurada é:

100.000P = = Cr$ 11.380.

8,786


Fundo de' Amortização ou Montante de uma Série dePrestações

O terceiro problema de Matemática Financeira que oanalista de investimentos deve conhecer é o do fundo deamortização.

A soma de n parcelas iguais, de valor nominal P, pagasno fim do respectivo período e colocadas à taxa de jurosi, constitui, no final do último pagamento, um montantechamado "fundo de amortização".

A última parcela não rende juros, valendo, pois, P. A pe-núltima parcela rende juros durante um período e valeP( l+i). A primeira parcela rende juros durante n-Lperíodos e vale P( 1+ i)":',

o montante M é, pois:

M = p(1+i)n-l + p(1+i)n-2 + P(1 +i)n-3 ++ ... + P(1+i)2 + P(1+i)+P.

Aplique-se a expressão (6):

(l-Li)n - 11\1= P -_1-- (19)

(l+i)n - 1O fator ----- é chamado "fator de acumulação

1

composta" ou "fator de capitalização" e é representadopela sigla FAC13

• De (19) vem:1

(1-1-i)n - 1(20)P=M---

O fator é chamado "sinking-tund iectot" ou(l+i)n - 1

"fator de fundo de amortização" e é representado pelasigla SFF. Também se poderia provar a expressão (19) apartir de (7) e (14), pois:

I.13) Em inglês, CAF (compound amount iector) ,

R.AEj18 ANALISE DE INVESTIl\nC-:NTOS .E lNfLr\ÇAO 85

M C(1-i)'1 (1 )ll 1

p------- (1 i)n(1 i) n

(1 i)ll 1p-------

Com inflação de taxa d, a primeira parcela de valor no-minal P vale, em têrrnos de moeda inicial, no momento doúltimo pagamento:

P (1 d)"-i (1 i)n-

Exemplo 8. Empatou-se numa fábrica em 1953 a quan-tia c-s 1.200.000. Foram gastos em 1954 mais c-s1.200.000 em beneficiamentos diversos. De 1954 a 1957foram gastos CrS 300.000 por ano. De 1958 em diante,os investimentos foram sensivelmente compensados peloslucros. Por quanto se deveria vender a fábrica em 1961para obter um retôrno anual real de 8 % sôbre o investi-mento? A inflação média durante êsse período foi de20 a.a ..

Solução: Desenhemos um esquema do período em foco,mostrando as despesas realizadas:

o o o o oo o o o o~ ~ ~ ~ =o o o o oo o o o o~ ~ M CO') CO')

- -J953 4 5 6 7 8 9 1960

A despesa de CrS 1.200.000, realizada em 1953, equi-vale hoje a: 1.200.000 (1 0,08)' (1 0,20)' =--=

1.200.000 (1,30)" --- 1.200.000 8,157CrS 9.800.000.


A despesa de Cr$ 1.200.000, realizada em 1954, equivalehoje a: 1.200.000 (1+0,08)7 (1+0,20)'1 == 1.200.000 (1,30)7 = 1.200.000 X 6.275 == Cr$ 7.550.000.

Finalmente, a série de gastos anuais de Cr$ 300.000 equi-vale a: 300.000 X (FAC - 4 anos - 30%) XX (1,30)4 = 300.000 X 6,187 X 2,856 == Cr$ 5.300.000.

A resposta é:

Cr$ 9.800.000 + 7.550.000 + 5.300.000 == Cr$ 22.650.000.

OS MÉTODOS EXATOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA

Os métodos exatos de Engenharia Econômica que exami-naremos aqui são os de custo anual e do valor atual. Dis-cutiremos, depois de expô-los, a influência da inflaçãosôbre êles.

Método do Custo Anual

O método do custo anual é semelhante ao de "deprecia-ção linear mais taxa média de retôrno" no que se refereaos custos variáveis, bem como às despesas gerais; porém,os custos fixos do investimento e o retôrno são obtidospela decomposição do investimento inicial em parcelasiguais, levando-se em conta os juros exatos, compostos,isto é, entendendo-se cada parcela anual do custo de in-vestimento como sendo a necessária à amortização do ca-pital inicial à taxa i, ou seja:

i( l+i)np=C-----

(l+i)n -- 1(15)

Quando existe valor residual L, êle é subtraído do valorinicial C do equipamento, e os juros simples sôbre L sãoadicionados, rendo, então, os custos anuais do capitaliguais a:


i( l+i)np = (C - L) + L i.

(1+i)n -·1

Resolvamos o Exemplo 1 pelo método do custo anual.

(21)

o cômputo dos seguros e impostos, bem como das despe-sas gerais e das despesas variáveis de operação, é idênticoao visto anteriormente. Os custos do capital são, de acôrdocom (21):

Alternativa A: 700.000 X 0,33438 ++ 50.000 X 0,20 = 244.066.

Alternativa B: 9.000.000 X 0,33438 ++ 1.000.000 X 0,20 =-..: 3.209.420.

Alternativa C: 13.000.000 X 0,33438 ++ 2.000.000 X 0,20 = 4.746.940.

•••

Temos, então, os custos totais seguintes:

Sistema A Sistema B Sistema C

Custo do capital 244.066

9.400

30.000

3.209.420

128.000

100.000

Impostos e segures

Despesas gerais

4.746.940

196.000

50.000

Total dos custos fixos

-------------------_._-_ .._--

Total dos custos variáveis

283.466

5.900.000

3.437.420

2.105.000

Total dos custos anuais 6.183.466 5.542.420 11.377.941)

4.992.940

6.385.000

O método do custo anual indica que a melhor solução éo sistema B. O método, lembremos, é exato e deve serusado de preferência ao de depreciação, que é aproximado.Quando o número de anos é pequeno (n < 10) e a taxade retôrno i não é superior a 20% o método de depre-ciação, mais simples e conhecido, pode ser utilizado semcausar grandes erros. O método do custo anual é usadocom vantagem, de preferência aos métodos descritos adi-


ante, quando os custos variáveis (em moeda-padrão) nãovariam de ano para ano.

Influência da Inflação no Método do Custo AnualComo no caso do método de depreciação linear, a desva-lorização da moeda não invalida a fórmula (21). O custoanual P obtido é o que corresponde, em valor nominal, aoprimeiro ano de uso. Os custos variáveis do primeiro anosão computados nesse mesmo valor nominal; os custosvariáveis dos anos subseqüentes serão nominalmentemaiores, por causa da desvalorização do dinheiro, mas, emrelação à moeda-padrão, são iguais aos do primeiro ano.As considerações feitas quando estudamos o método de de-preciação linear mais juros médios aplicam-se igualmenteaqui.

O Método do Valor AtualO método do valor atual é o mais conveniente quando oscustos anuais variam de ano para ano: é o caso, por exem-plo, de equipamentos que sofrem reformas cada manos,como caminhões, cujos motores são retificados a cada100.000 km, ou estruturas metálicas que recebem pinturanova de dois em dois anos. Êsse método consiste em trans-ferir todos os custos para o momento presente, descon-tando-os à taxa de rentabilidade desejada, em função doperíodo no qual incidem, de maneira que os custos maisafastados no tempo sejam mais intensamente descontados.O método do valor atual é exato e dá sempre o mesmo re-sultado que o do custo anual, pois ambos são baseados emidêntico sistema de cômputo dos juros compostos, isto é,o valor atual, repartido sôbre os n anos, dá exatamente ocusto anual do equipamento; e os custos anuais, trazidospara o valor presente, dão exatamente o valor atual daalternativa considerada.Quando é necessário comprar equipamentos que duram umnúmero diferente de anos é preciso estabelecer o mínimomúltiplo comum de anos das alternativas consideradas.Êsse caso será ilustrado no Exemplo 9.

R. A. E.j 18 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO 89

Uma variante do método do valor atual consiste em cal-cular a quantia necessária para renovar e operar perpe-tuamente os equipamentos; essa modalidade recebeu onome de "método do custo capitalizado". Veremos adianteum exemplo (Exemplo 10) de sua aplicação.

A fórmula fundamental utilizada para calcular o valoratual de uma série de pagamentos futuros já foi vista: éa expressão (14). Atente-se ao fato de que os pagabentosdas despesas operacionais devem ser efetuados no fim doperíodo.

Temos de computar os valôres atuais dos investimentosiniciais C, dos valôres residuais L e dos custos anuais ope-racionais M.

1) Vejamos, inicialmente, o valor atual de instalaçãoinicial e de uma série de p-l renovação renovações, efetua-das cada m anos, isto é, que durarão: mp = ti anos.

c c(V.A.) renovações = C , I

--- ·-i- -- -1-( 1-]-- i)m (1-!- i)~D

C C---- -+ ... + -----(l-+i)"-·l (l-i-i) (p-l)m

1Aplicando a fórmula (6), com q = ----, temos:

(1+i)m

(1-+i)mp• -- 1(V.A.) renovações = C

(l-f-i)m(p-l) [( l_~_i)m-l](22)

2) O valor atual das despesas operacionais anuais M é,para n = mp anos.

(V.A.) despesas anuais

M M M= l-+i -+ (1-+i)~ -+ (1+i):1 +

1 (l-f---i)mp -- 1=M-

i (1+i)mp

M(23')

(23)

90 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.E/18

3) Devemos agora subtrair de 1) + 2) o valor atual dosvalôres residuais dos equipamentos L.

(V.A.) Valôres residuais

L L(1+i)2m + -(l+i):\m +

(1+i)mp - 1+ ... +----=--=L ---(24)(1+i)mp (1+i)mp [(1+i)m -- 1]

L

o valor atual total do equipamento em aprêço é:1) + 2) --3).

Obteríamos o mesmo resultado - e o leitor poderáverificá-lo a título de exercício - decompondo pri-meiro C, segundo a tabela de recuperação de capital;L, segundo a tabela de fundo de amortização, e cal-culando, a seguir, o valor atual do total de custesanuais.

Como a expressão do valor atual, soma de (22),(23) e (24), é difícil de memorizar, em geral é maisfácil reproduzir o raciocínio diretamente sôbre os da-dos que estejam sendo tratados, conforme faremos noExemplo 9.

Exemplo 9. Resolver o Exemplo 1 pelo método do valoratual, admitindo agora que os diversos equipamentos sejamdepreciados por um período igual à sua duração física,isto é, respectivamente por 10, 8 e 20 anos.

Solução: O mínimo multiplicador comum de 10, 8 e 20é 40. Calculemos sucessivamente os valôres atuais das al-ternativas A, B e C.

1) Alternativa A

Investimento inicial: 750.000 750.000

750.000La Renovação --- = 750.000

>< 0,1615 = 121.125

R.A.E./18 91------------------------------------------_.ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO

2.a Renovação ---- = 750.000750.000

X 0,0261 =750.000

19.575

3.a Renovação ---- = 750.000

X 0,0042 = 3.150

Valor atual do investimento inicial e das re-novações .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 893.850Valor residual do investimento inicial

= 50.000 X 0,1615 =--= 8.075Valor residual da La renovação:

50.000 >< 0,0261 = 1.305Valer residual da 2.a renovação:

50.000 X 0,0042 = 210Valor residual da 3.a renovação:

50.000 X 0,0007 = 35

Valor atual total das renovações: 9.625

Valor atual dos custos anuais de operação:5.939.400 X (FVP - 20% - 40 anos) == 5.939.400 X 4.997 = 29.679.180

Valor atual total da alternativa A:Cr$ 893.850 + 29.679.180 -- 9.625= Cr$ 30.563.400.

2) Alternativa BUsando procedimento semelhante ao utilizado para aalternativa A, achamos o valor atual da alternativa B= 13.029.000 + 11.658.000 -- 302.900 == Cr$ 24.384.100.

3) O leitor poderá conferir o valor atual da alternativaC = 15.402.000 + 33.135.107 - 52.340 == Cr$ 48.484.767.

Conclusão: apesar da extensão do tempo de duração, aalternativa B continua a ser a mais econômica.


Exemplo 10. Resolver o Exemplo 9 pelo método do custocapitalizado.

Solução: O custo capitalizado é o valor atual dos custosanuais de um número infinito de anos. Fazendo P tenderpara o infinito nas expressões (22), (23) e (24), obtém-sea expressão do custo capitalizado:

Custo capitalizado

(l+i)m M 1= C (1+i)m _ 1 + -i- ---L (l+i-)-m--l :.=

1 M= C + (C-L) + -- (25)

(1+i)m - 1 1

A fórmula do custo capitalizado tem a vantagem de sermuito simples. O quadro seguinte resume os cálculos ne-cessários à solução do nosso exemplo, com m = 5.

ltem Símbolo Sistema A Sistema B Sistema C

Valor inicial C 750.000 10.000.000 15.000.000

Valor atual das 1renovações (C-L) 470.335 6.047.100 8.734.790

(1 +i)111-1Valor atual das

despesas ope- Mracionais 29.697.000 11.665.000 33.155.000

30.917.335 27.712.100 56.889.790

O sistema B é o mais econômico.

Influência da Inflação no Método do Valor Atual

Referindo-nos à fórmula (22'), temos que, em caso deinflação anual constante de taxa d ao ano, a instalaçãoinicial e as p-L renovações custarão:


o valor atual dessas importâncias é obtido dividindo-secada parcela pelo fator de desconto. Para obter êsse fatorde desconto, devemos saber quanto vale 0 dinheiro, emvalor nominal para a emprêsa, ou seja, qual a sua taxade retôrno, Suponhamos que a taxa de retôrno anualaparente seja e durante todo o período considerado. Então

l+d mo valor atual é C+c (--) + C

l+el+d (p-l)m

+ ... +C(-)l+e

Agora, se a emprêsa fôr capaz de aumentar seus preçosna mesma proporção que a inflação, então a taxa anualaparente de retôrno e permanecerá constantemente ligadaà taxa de inflação d pela relação:

l+d ~m(--) +l+e

(22")

e = i + d + id,onde i é a taxa de retôrno real.

Por exemplo, se i = 20% e d = 40%, a taxa aparenteanual de retôrno e será: 20% + 40% + 8% = 68%,isto é, a inflação é de 40% a.a., mas a ernprêsa conseguesempre obter um retôrno real anual de 20%, ou seja, umretôrno anual aparente de 68 % em moeda depreciada. .

(2)

Como a expressão (2) pode ser escrita sob a forma

l+d 1

l+e l+ia série (22") torna-se simplesmente igual a:

C CC + -- --1- + ... -+- ---- (22')

l+i I (1+i)2m I (1+i)(p-l)mC

que é a expressão encontrada anteriormente, válida quandonão há inflação.

Da mesma maneira, o valor atual das despesas operacio-nais anuais, expresso pela série (23'), não se altera porque


embora cada parcela seja multiplicada, por causa da in-flação, pelo coeficiente 1+d em relação à parcela ante-rio, cada parcela é dividida pelo fator de desconto

1--, em relação à parcela anterior, em vista de a em-l+eprêsa ser capaz de manter uma taxa de retôrno aparentesempre igual a e, ligada à taxa de inflação pela relação:

e = 1 + d + ido

Em virtude da permanência das fórmulas (22), (23) e(24), vê-se que, assim como os demais métodos anterior-mente examinados, o método do valor atual pode serusado em tempo de inflação, tomando-se apenas o cuida-do de utilizar nessas fórmulas, para a taxa de retôrno,o valor real i, e não a taxa aparente de retôrno e.

Outra maneira de chegar à conclusão de que a inflação nãoinflui quando a emprêsa é capaz de aumentar o volumede suas receitas é observar que os pagamentos efetuadosnos períodos sucessivos e de valor nominal crescente serãoefetuados com moeda progressivamente desvalorizada, eisso faz com que os pagamentos sejam iguais entre si emtêrmos de uma moeda fixa.

Existem, entretanto, situações nas quais a inflação deveser levada em conta: quando, por exemplo, os custos dosequipamentos ou das despesas operacionais sobem, devidoà elevação dos preços, enquanto que a renda da firmanão pode subir, ou sobe em proporção menor do que ospreços dos demais produtos. Eis alguns casos nos quaisessa ocorrência se verifica:

• O custo de determinada matéria-prima sobe, em virtudede escassez ou maior demanda, muito mais ràpidamen-te que o dos demais fatôres de produção.

• O preço das matérias-primas e dos equipamentos soberàpidamente, mas o industrial não pede reajustar seupreço de venda ou por causa da concorrência, ou porque


teme uma reação desfavorável da freguesia, porque estánum ramo industrial "pobre", no qual, tradicionalmente,os preços sobem mais lentamente do que os dos demaisprodutos, ou, finalmente, porque no ramo no qual operaé prática aumentar os preços de venda apenas uma vezpor ano, senão mais raramente ainda.

• O preço dos itens comprados sobe, mas a emprêsa estáimpedida de aumentar seus preços de venda, em vir-tude de um contrato; é o caso das emprêsas contra-tantes de serviços, amarradas por tarifas; das emprê-sas e dos governos, que, por motivos tributários ouaduaneiros, faturam numa moeda fraca e têm de com-prar em moeda forte; das emprêsas e pessoas cuja fon-te de recursos é dinheiro guardado em banco ou emconta corrente proveniente de empréstimos ou doações.Seriam os casos, por exemplo, de uma fundação, cujareceita fôsse uma verba que não crescesse proporcio-nalmente à inflação; de uma pessoa aposentada queguarda seu dinheiro em títulos ou em notas; de umproprietário cuja fonte de recursos é o aluguel prove-niente de seus imóveis, aluguel êsse que a lei do inqui-linato proíbe aumentar. O caso das emprêsas que ade-riram à Portaria 71 também serve como exemplo dessasituação.

Nessas últimas condições u'a máquina que custa hoje Ccruzeiros custará, devido à inflação, C (1 +dID) cruzeirosdentro de m períodos, sendo d a taxa de inflação. Se e fôra taxa de retôrno aparente permitida, o valor atual dessa

. , C (1+d)ID d A I .quantia sera: , sen o que o retorno rea 1

( 1+e)IDserá agora muito pequeno ou mesmo negativo, e diferenteda taxa i que existiria caso não houvesse inflação. O valoratual de uma série de p-l renovações é obtido substituin-

1+edo-se 1+i por -- na expressão (22):

1+d

96 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.E./l8

(V.A.) renovações =(1+e)IDP - (l+d)IDP

= C --------------(l+e)ID(P-l) [( l+e)ID - (l+d)ID] (26)

o valor atual de uma série de n = mp pagamentos anuaisde despesas operacionais é obtido substituindo-se 1+i porl+e-- na expressão (23):l+d

(V.A.) despesas anuais == M l+d (l+e)IDP - (l+d)IDP

e-d (l+e)IDP (27)

As fórmulas (26) e (27) são idênticas às fórmulas (22)e (23), das quais foram obtidas, substituindo-se l+i por

1+e Poré , lí . 1 ., fl - d--o orem, esta exp icito ne as que vigora in açao el+dtaxa d e que a taxa aparente de retôrno da emprêsa é e.Só podem ser usadas, relembremos, quando a emprêsareajusta seus preços até obter a taxa aparente de retôrnoe, quando a inflação é constante e quando sua taxa d podeser prevista. Êsse é o caso especial estudado pelo autormencionado na nota 1. Embora as fórmulas matemáticassejam as mesmas do caso mais geral, notemos que, nesseúltimo, a inflação - qualquer que seja a irregularidadedo seu ritmo e mesmo que não possa ser prevista - nãoinflui, podendo ser usadas as expressões (22) e (23), nasquais nem sequer figura a taxa de inflação.

Exemplo 11. Que é mais vantajoso: comprar determinadaroupa de proteção industrial de marca "X", que custa Cr$5.000 e irá durar um ano, ou outra, de marca "Y", de qua-lidade superior, que custa Cr$ 9.500 e irá durar dois anos?A) Suponha primeiro que não haja inflação e que a taxade retôrno desejada seja de 20% a.a. B) Suponha quehaja inflação de 30% a.a. e que a taxa de retôrno dese-jada real seja de 20% a.a. sendo que a emprêsa pode

R.A.E./18 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇAO 97

aumentar seus preços. C) Suponha que a emprêsa sejauma concessionária de energia elétrica, cujas tarifas foramcongeladas pelos próximos anos e cuja taxa de retôrno real,nessas condições, é de 1% a.a., sendo que a inflação é de30% a.a. D) Suponha que a inflação seja de 30% a.a;porém, que a emprêsa tenha como única fonte de recur-sos um depósito bancário que renda 5% a.a.

Solução:

a ) Usando o método do valor atual, temos:Valor atual de X = 5.000 + 5.000 X (FVP-- 20% -1 ano) = 5.000(1+0,833)=Cr$ 9.165.Valot atual de Y = Cr$ 9.500. A alternativa X ésuperior.

b ) A taxa aparente de retôrno é: 20% + 30% ++ 20% X 30 = 56%.

1,30O valor atual de X é de 5.000 + 5.000 X --

1,56= 5.000 (1 + 0,833)= Cr$ 9.165.Valor atual de Y = Cr$ 9.500.A inflação não influiu. A alternativa X continuasuperior.

c) A taxa aparente de retôrno é: 1% + 30% + 1% XX 30% = 31,3%.O valor atual de X é, pois: 5.000 + 5.000 X

1,30=-= 5.000 + 4,950 = Cr$ 9.950.

1,313Agora a alternativa Y, de valor atual Cr$ 9.500, ésuperior à alternativa X.

1,30d) Valor atual de X: 5.000 + 5.000 X -- =5.000 --P

1,05+ 6.190 = Cr$ 11.190.

X

A alternativa Y é superior.

Exemplo 12. Compare as estruturas A e B. A primeiratem custo inicial de Cr$ 6.000, valor residual previsto nulo,

98 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.E.jl&

ao fim de sua vida estimada em 10 anos, e desembôlsoanual esperado de Cr$ 1.100.000 correspondente a des-pesas de conservação; a estrutura B tem custo inicial deCr$ 20.000.000, valor remanescente previsto de Cr$5.000.000, valor residual nulo, ao fim de sua vida esti-mada em 25 anos, e desembôlso anual de Cr$ 600.000.A emprêsa é concessionária de serviços públicos; prevêque suas tarifas, determinadas por convênio com o Go-vêrno, lhe permitirão obter anualmente 8% de retôrnoreal sôbre seu investimentos efetivo; prevê uma inflaçãoconstante de 30% ao ano nos próximos anos.

Solução: Usando as fórmulas (26) e (27) e notandoque e = 8% + 30% + 2,4% = 40!Jo, obteremos,para a estrutura A, por um período de mp := 10 X 5 -'= 50 anos:

(V.A.) renovações:(1,4)'-'u_ (1,3)50

6.000.000 >< ------------(1,4)40 [(1,4)10 _ (1,3)10]

1,08·;0- 16.000.000 ---------

(1,08)40 [(1,08)10 - 1]

46,902 -- 16.000.000

21,725 (2,159 - 1)Cr$ 10.938.000.

(V.A.) despesas:1,3 (1,4)50 -- (1,3 r"

1.100.000 >< --0,1 (1,4)5U

1 (1,08)50 - 11.100.000 >< -- X -----

0,8 (1,08 )50

1 46,902 - 11.100.000 X -- X -----

0,8 46,902

Cr$ 13.453.000.

Valor atual da alternativa A: Cr$ 24.391.000.

R.A.E./18 ANALISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇAO

Para a estrutura B, obtemos:

(V.A.) renovações:(1,4 )50 _ (1,3 );;0

20.000.000 X ----------(1,4 )25 [ (1,4 ):'<.i _ (1,3 )25]

(1,08 )50 -- 120.000.000 ----'---- __

(1,08 )20 [ (1,08 )25 -- 1]

46,902 - 120.000.000 = Cr$ 22.920.000.

6,848 (6,848 -- 1)(V.A.) despesas == 600.000 X

1,3 (1,4);'0 - (1,3):\0X -- = Cr$ 7.338.000.0,1 (1,4 )"n

Valor atual da alternativa B: Cr$ 30.258.000.Conclusão: a alternativa A é superior.

CONCLUSÃO

Análise de Investimentos - ou Engenharia Econômica- é o estudo da rentabilidade comparada de alternativas.Serve sobretudo para escolher, entre diversos investimen-tos, o de menor custo total.

O objetivo dêsse artigo foi estudar a influência da eleva-ção dos preços na metodologia:clássica da Análise de In-vestimentos a fim de descobrir se os métodos habituais decomparação de alternativas, desenvolvidos com o pressu-posto da estabilidade da moeda, são ainda viáveis emtempo de inflação.

Os conceitos de custes e as noções de Matemática Finan-ceira, que constituem a base dos métodos mais conhecidosda Análise de Investimentos, foram por nós examinadosno contexto de uma economia inflacionária. Distinguimosduas situações: na primeira - a mais comum - a em-prêsa pode manter sua rentabilidade real, de ano paraano, mesmo havendo inflação. Nesse caso os métodos

100 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇÃO R.A.E./l&

normais de Análise de Investimentos podem ser seguidossem que se tenha de levar em conta a inflação. Na se-gunda situação a emprêsa não pode aumentar seus preçosde venda: todo o numerário que ela fôr recebendo terásempre menos valor real, e será necessário sempre maisdinheiro para enfrentar a elevação dos custos dos mate-riais, mão-de-obra e equipamentos. Nesse caso convémutilizar para comparar investimentos o método do valoratual, com certas modificações nas fórmulas clássicas. Noprimeiro caso a emprêsa não está nem em melhor nem empior situação do que se não existisse inflação; ela simples-mente acompanha a elevação do nível geral dos preços;cada ano sai mais dinheiro, mas também o fluxo dos fun-dos que entram é maior, na mesma proporção. No segun-do caso a emprêsa deve levar em conta que a mesma quan-tidade de numerário entrado deve servir para pagar benssempre mais caros.Partindo da premissa de que a grande maioria das em-prêsas acompanha a ascençâo geral dos preços, chegamosà conclusão de que a existência da inflação não constitui,qualquer que seja a irregularidade do seu ritmo, um obs-táculo à utilização dos métodos de Análise de Investimen-tos. Êsse resultado é auspicioso, pois essa matéria, queaté há poucos anos recebia pequena atenção por parte dosnossos dirigentes, técnicos e economistas, é essencial parao planejamento sadio das inversões tanto nos setores pú-blicos quanto nos privados. A escolha entre usinas ter-melétricas, hidrelétricas e nucleares, entre um caminhão aóleo Diesel e outro a gasolina, entre um túnel e uma pon-te, enfim, entre inúmeras máquinas, equipamentos e pro-jetos competitivos, somente pode ser feita satisfatoriamen-te recorrendo-se aos métodos da Engenharia Econômica,que não são obliterados pelo' efeito da inflação.

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BIBLIOGRAFIA

* LIVROS

1) C. E. BULLINGER, Engineering Economic Analysis, Nova Iorque; McGraw--Hill Book Co., Inc., 1950.

2) E. L. GRANT, Principies of Engineering Economy, Nova Iorque: The Ro-nald Press Company, 1950.

3) Mapi Replacement Manual, Chicago: Machine and AIlied ProductsInstitute, 1950.

4) GEORGE TERBORGH, Dynamic Equipment Policy, Nova Iorque: McGraw-.nm Book Company, Inc., 1949.

5) H. G. THUSEN, Engineering Econotzty, Nova Iorque: Preniice-Hell, Inc.,1950.

6) E. H. BoWMAN e R. B. FETTER, Analysis for Production Management,Homewood, Ilinóis: Richard D. Irwin, Inc., 1957.

* ARTIGOS

1) SIDNEY STEELE, "An Engineer's View 01 the Doller", Chemical Engi-neerinll, fevereiro de 1953, págs. 157 a 161.

2) FREDERIC JELEN, "Next Time Use Cepitelizeâ Costs", Chemical Engi.neering, fevereiro de 1954, págs, 199 a 203.

3) Idem, "Replaoement Problema How Can You Get the Best Answers byUsing CapÍ'talized Costs, Chemical Engineering, agôsto de 1955, págs.181 a 188.

4) Idem, "Consider Inflation in Compara tive Cost Analysill", maio de 1956,págs. 165 a 169.

5) Idem, "Watch Your Cost Analysis", Chemical Engineering, junho de 1956,págs. 241 a 252.

6) RAY I. REUL, "Newest Way to Figure Payofi ( ... )", Fectory Manage-ment anel Maintenance, outubro de 1955, págs, 64 a 68.

7) ROGER B. ORENSTEEN, "Festest Way to Figure Whether to Buy that NewMachirre", Factory Managetnent and Maintenance, pâgs. 34 a 37.

8) MORRIS SANDEL, "Re-eveluete Your Capital Investrnents", ChemicalEngineering, novembro de 1957, pâgs. 231 a 234.

9) Luís CINTRA DO PRADO, "Competitividade entre Fontes de Energia Elé-trica, Engenharia, Ano 23, n.? 264, junho de 1965.

10) SÉRGIO THENN DE BARROS, "Custo de Operação de Máquinas de Constru-ção", Engenheiro Moderno, VoI. I, N.O 11, agôsto de 1965.

11) KARL KAEFER, "Cálculo de Investimentos", Revista de Aâministreçõo deEmprésas, VoI. 2, N.O 5, maio de 1962.

12) ADOLF E. GRUENEWALD, "Métod'os de Avaliação para Inversões de Capi-tal", Revista de Administração de Emprêsas, Vol. 3, N.o 7, abril de 1963.

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E INFLAÇAOmentais de Matemática Financeira, como osde juros...

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