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Caderno Universitário 2º semestre de 2008 Análise de Circuitos em Corrente Alternada Por João Carlos Vernetti dos Santos Curso de Engenharia Elétrica (ULBRA/Canoas)
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Caderno Universitário
2º semestre de 2008
Análise de Circuitos em Corrente Alternada
Por
João Carlos Vernetti dos Santos Curso de Engenharia Elétrica (ULBRA/Canoas)
2
ÍNDICE
INTRODUÇÃO..................................................................................................................................3
ONDAS SENOIDAIS, FASORES E ÁLGEBRA FASORIAL......................................................4
MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME SENOIDAL.................................10
LEIS DE KIRCHHOFF ........................................................................................................................10 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES .........................................................................................................12 MÉTODO DE MALHAS .....................................................................................................................15 MÉTODO DE NÓS.............................................................................................................................18 IMPEDÂNCIA DE ACESSO EM FUNÇÃO DA FREQÜÊNCIA ....................................................................21 DIAGRAMAS FASORIAIS ..................................................................................................................25 DIAGRAMAS DE LOCI (LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES) ...............................................................26 MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA E TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON............................32 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO ..........................................................................................................34 POTÊNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTÊNCIA ..................................................................................35
INDUTÂNCIA MÚTUA E TRANSFORMADORES ..................................................................39
POLARIDADE DA TENSÃO INDUZIDA (REGRA DO PONTO) .................................................................39 TRANSFORMADOR LINEAR (COM NÚCLEO DE AR) ...........................................................................40 TRANSFORMADOR IDEAL (COM NÚCLEO DE FERRO) E CASAMENTO DE IMPEDÂNCIAS .....................46 AUTOTRANSFORMADOR ..................................................................................................................50
CIRCUITOS POLIFÁSICOS.........................................................................................................52
CARGAS EQUILIBRADAS CONECTADAS EM Y E EM ∆ .......................................................................52 CARGAS DESEQUILIBRADAS CONECTADAS EM Y E EM ∆ .................................................................56 MEDIÇÃO DE POTÊNCIA TRIFÁSICA .................................................................................................57
PRÁTICAS DE LABORATÓRIO .................................................................................................58
LABORATÓRIO I – GRANDEZAS FASORIAIS......................................................................................58 LABORATÓRIO II – FATOR DE POTÊNCIA. ........................................................................................59 LABORATÓRIO III - SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM O MATLAB ®.............60
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..........................................................................................................63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................................64
3
Introdução
Este caderno universitário apresenta listas de exercícios, laboratórios e questões de provas aplicadas na disciplina de Análise de Circuitos em Corrente Alternada.
Este material objetiva complementar o conteúdo da disciplina apresentado em aula, bem como indicar bibliografias recomendadas.
O caderno universitário contém exercícios, respostas de exercícios selecionados e algumas soluções comentadas. Porém, para o bom desempenho nesta disciplina, recomenda-se além da resolução dos exercícios aqui propostos, o acompanhamento das aulas teóricas e de laboratório, bem como o imprescindível estudo do conteúdo dos livros indicados nas referências bibliográficas.
4
Ondas senoidais, fasores e álgebra fasorial 1. Para as duas tensões abaixo, determinar o ângulo de fase entre v1(t) e v2(t):
v1(t) = 220 sen (377t – 210°) V v2(t) = -130 sen (377t – 285°) V
2. Expressar as seguintes ondas na forma co-senoidal.
(a) ( )°−⋅ 3050 tsen ω
(b) ( )°−⋅ 13050 tsen ω
(c) ( )°+⋅ 6050 tsen ω
(d) ( )°−⋅ 23050 tsen ω Resp.:
(a) 50cos(ωt - 120°); (b) 50cos(ωt + 140°); (c) 50cos(ωt - 30°); (d) 50sen(ωt + 130°).
3. Transformar as seguintes expressões para a forma fasorial.
(a) ( )°−⋅ 30377220 tsen
(b) ( )°−⋅ 1307060 tsen
(c) ( )°+⋅ 60410 tsen π
(d) ( )°−⋅⋅ 230102cos50 3 tπ Resp.:
(a) °−∠ 30220 ; (b) °−∠ 13060 ; (c) °∠6010 ; (d) °−∠ 23050 .
4. Determinar a amplitude, o período, a freqüência cíclica e a freqüência angular das ondas do problema anterior. Resp.:
(a) 220, 2π/377, 377/2π, 377 (b) 60, 2π/70, 70/2π, 70 (c) 10, 2π/4π, 4π/2π, 4π (d) 50, 1, 1, 2π
5. Efetuar as seguintes operações no domínio da freqüência e obter a resposta no domínio do tempo. Dados:
)783(10)()692(14)()492(5)(2cos7)( 4321 °−=°−=°+== tsentvtsentvtsentvttv
(a) v1 + v2 (b) v1 + v3 (c) v2 + v3 (d) v1 + v2 + v3 (e) v2 + v4
5
Resp.: (a) 11,26sen(2t + 73,1°); (b) 7,875sen(2t – 50,4°); (c) 12,461sen(2t – 48,3°); (d) 8,61sen(2t – 15,5°); (e) 5sen(2t + 49°) + 10sen(3t – 78°)
6. Calcular os seguintes valores instantâneos a partir das expressões dadas no problema anterior, sabendo que T é o período da onda senoidal: (a) v1(3s); (b) v3(4,7ms); (c) v1(-2T/3). Resp.:
(a) 6,721 (b) –13,022 (c) –3,5
7. Transformar os números abaixo para a forma polar:
(a) 43 j+
(b) 31 j+ (c) 30,048,2 j− (d) 66,85 j+ (e) 34,15 j− (f) 900900 j+ (g) 900900 j−
(h) 900900 j+− (i) 900900 j−− (j) 36002400 j+− (k) 95 j− (l) 6015 j−− (m) 22 j− (n) 22 j+
Resp.:
(a) °−∠ 13,535 (b) °∠602 (c) °−∠ 9,6498,2 (d) °∠6010 (e) 5,176∠-15° (f) 1272,8∠45° (g) 1272,8∠-45° (h) 1272,8∠135° (i) 1272,8∠-135° (j) 4326,66∠123,7° (k) 10,29∠-60,9° (l) 61,85∠-104,04° (m) 2,83∠-45° (n) 2,83∠45°
8. Transformar os números abaixo da forma polar para a forma retangular:
(a) °−∠ 95,60296,10 (b) °∠453 (c) °−∠ 2720 (d) °∠1277,2 (e) °∠187360
(h) °∠9030 (i) °−∠ 9030 (j) °∠030 (k) °∠18030 (l) °∠ 87,365
6
(f) °∠2771030 (g) °∠3155320
(m) °∠ 69,12366,4326 (n) °−∠ 04,10485,61
Resp.:
(a) 5-j9 (b) 2,12+j2,12 (c) 17,82-j9,08 (d) –1,625+j2,156 (e) –357,32-j43,87 (f) 125,53-j1022,32 (g) 3761,81-j3761,81 (h) j30 (i) –j30 (j) 30 (k) –30 (l) 4+j3 (m) –2400+j3600 (n) –15-j60
9. Fazer um esboço no plano complexo dos números complexos dos dois problemas anteriores. 10. Expressar os fasores abaixo, representados no plano complexo, na forma retangular e na forma polar.
35
Im
Re
o
|B| = 5
(a)
35
Re
Im
o
|B| = 5
(b)
Im
Re-5
4
(c)
5
4
Re
Im
(d)
7
215
Re
Im
o
|B| = 5
(e)
Re
Im
355 o
|B| = 5
(f)
-5
-4
Re
Im
(g)
5
-4Re
Im
(h)
Resp.:
(a) -4,096+j2,868; 5∠145° (b) 4,096+j2,868; 5∠35° (c) -5+j4; 6,403∠141,34° (d) 5+j4; 6,403∠38,66° (e) -4,096-j2,868; 5∠215° (f) 4,98-j0,436; 5∠355° (g) -5-j4; 6,403∠-141,34° (h) 5-j4; 6,403∠-38,66°
11. Considerando os fasores 43 jA +=& , 31 jB +=& e °∠= 602C& , efetuar as operações algébricas abaixo:
(a) BA && + (b) BA && − (c) CBA &&& −+
(d) ( )*A&
(e) C
BA
&
&& +
(f) C
BA
&
&&
+
⋅
3
(g) ( )*
CB
AA
&&
&&
−
+
(h) ( )*AA && −
(i) ( )*AA && ⋅
(j) ( )*A
A
&
&
(k) ( ) ( )[ ]*CCBA &&&& +⋅+
(l) ( )( )*B
CBA
&
&&& +⋅
(m) CBA &&& ⋅−+ 23 (n) 4/22/ CBA &&& −⋅+
8
Resp.:
(a) 4+j5,732 (b) 2+j2,268 (c) 3+j4 (d) 3-j4 (e) j8 (f) 25 (g) -0,28+j0,96 (h) 3,482-j0,299 (i) 0,0113+j2,294 (j) 6/0 = ∞ (k) 8+j11,464 (l) -9,928+j1,196 (m) 4+j5,732 (n) 3,25+j5,031
12. Efetuar as operações abaixo e obter a resposta na forma retangular.
(a) ( ) ( )2,06,78,62,4 jj +++
(b) ( ) ( )510776104 76 jj −⋅++⋅ −−
(c) ( ) ( )6847836 jj −−−+− (d) °∠+°∠ 808206 (e) °∠−°∠+°∠ 1207060624542
Resp.:
(a) 11,8+j7 (b) 4,7.10-6+j81 (c) -32+j146 (d) 7,027+j9,931 (e) 95,698+j22,77
13. Efetuar as operações abaixo e obter a resposta na forma polar.
(a) ( ) ( )°∠⋅°−∠ 36088065
(b) ( ) ( )3288 jj +⋅+
(c) ( ) ( )°∠⋅+ 455168 j
(d) ( ) ( )°∠⋅−− 90555 j
(e) °∠+°∠
°∠6062
602
504
(f) 608
25,05,0
j
j
−
+
(g) °∠⋅+
−503
55
55
j
j
(h) °∠
°∠
2030
120002,0
Resp.:
(a) 520∠-50o (b) 40,79∠101,3° (c) 89,44∠108,4° (d) 35,355∠-45° (e) 61,98∠59,97° (f) 0,0092∠108,97° (g) 3∠-40°
9
(h) 66,67.10-6∠100° 14. Determinar x, sabendo que
( ) ( ) 72,2564,30602010 jx −=°−∠⋅°∠ Resp.: x = 4 15. Determinar θ, sabendo que
2464,320
080j−=
∠
°∠
θ
Resp.: θ = 30º 16. Transformar as expressões abaixo para o domínio da freqüência.
(a) ( )°+ 3010 tsen ω
(b) ( )°− 401575 tsen
(c) ( )°+⋅ − 20cos106 6 tω (d) t3cos3
Resp.:
(a) 10∠30° (b) 5∠-40° (c) 6.10-6∠20° (d) 3∠0°
17. Transformar as expressões abaixo para o domínio do tempo, sabendo que f = 60Hz.
(a) AI °∠= 2040& (b) mAI °∠= 1208& (c) VV °∠= 0120& (d) VV °∠= 905&
Resp.:
(a) 40sen(377t + 20°)A; (b) 8sen(377t + 120°)mA; (c) 120sen(377t + 0°)V; (d) 5sen(377t + 90°)V
10
Métodos de Análise de Circuitos em Regime Senoidal Leis de Kirchhoff 18. Para o circuito abaixo, aplicar LKT para obter vb(t), sabendo que vF(t) = 60sen(377t + 20º)V e va(t) = 20sen377tV.
+ v-
+ v -
+v-
F
a
b
Resp.: 41,77sen(377t + 29,43°)V 19. Para o circuito abaixo, obter i(t), sabendo que i1(t) = 20.10
-6sen(377t + 90º)V e i2(t) = 6.10
-
6sen(377t – 60o)V.
ii 1 i2
Resp.: 15,105∠78,54°A 20. Para cada um dos circuitos abaixo, determinar a resposta solicitada em regime permanente, tanto no domínio da freqüência como no domínio do tempo.
2Ω+( )-v t2 4 Asen t
(a)
2Ω
2Hi t( )+
20 2000 V-
sen t
(b)
2Ω 5H+( )
-v t2 5 Acos t
(c)
+
-
50Ω
1/5Fi t( )
+10 (50 + 60 )V
-cos t
o
(d)
11
5Ω
i t( )
1/9F+
5 (3 + 50 )V-
cos t o
(e)
2Ω1/2H 1/8F+( )-v t5 4 Acos t
(f)
10Ω
1/20H
1/5F
+( )-
v tR
+( )
-v tF
+ ( ) -v tC
- ( ) +v tL
10 10 Acos t
(g)
50Ω6mH
0,1 Fµ+( )-
v t+
100 10000 V-
sen t
(h)
Resp.:
(a) 4∠0°V; 4sen(4t)V (b) 5∠-89,97°mA; 5sen(2000t – 89,97°)mA (c) 3,987∠4,57°V; 3,987cos(5t + 4,57°)V (d) 0,2∠60,11°A; 0,2cos(50t + 60,11°)A (e) 1,667∠140°A; 1,667cos(3t + 140°)A (f) 10∠0°V; 10cos(4t)V (g) VC=5∠-90°V; 5cos(10t-90°)V; VR=100∠0°V; 100cos(10t)V; VL=5∠90°V;
5cos(10t+90°)V; VF=100∠0°V; 100cos(10t)V (h) 3,936∠128,08°V; 3,936sen(10000t + 128,08°)V
21. A queda de tensão na reatância j2Ω do circuito abaixo é 01504,13V ∠= . Determinar Z.( Prova PAG2-2.sem.2004)
+120-
-120 V0
9 Ω j2 Ω
Z
Resp.: (4,01 – j15,01)Ω 22. Para o circuito abaixo, calcular o fasor corrente indicado.
+5-20 V0
2 Ω
2 Ω
I
2 Ω
2 Ω
j4 Ω
j4 Ω
- 1 j Ω
12
23. No circuito abaixo, há uma rede desconhecida de impedância Zx. Para determinar a sua natureza, foram efetuadas duas medições, resultando nas leituras indicadas ao lado. Determinar Zx, sabendo-se que o fasor I1 está atrasado em relação ao fasor Vx. (Prova G1-A-1.sem.2008).
00
100
10 Ω
V+
-
+
-
Zx Vx
Vx
V1
V1
I1
= 90V
= 30V
Leituras:+ -
Resp.: (5,56 + j29,48) Ω 24. No circuito abaixo, há uma rede desconhecida de impedância Zx. Para determinar a sua natureza, foram efetuadas duas medições, resultando nas leituras indicadas ao lado. Determinar Zx, sabendo-se que o fasor I1 está adiantado em relação ao fasor Vx. (Prova G1-B-1.sem.2008).
00
100
10 Ω
V+
-
+
-
Zx Vx
Vx
V1
V1
I1
= 90V
= 30V
Leituras:+ -
Resp.: (5,56 - j29,48) Ω Transformação de fontes 25. Para o circuito abaixo, converter a seção à esquerda dos terminais ab em um outro com uma fonte de corrente.
+20 0 V-
0
2Ω j5Ω
ZL
b
a
Resp.
3,5 -69 A02Ω
j5Ω
ZL
26. Para o circuito abaixo, converter a seção à esquerda dos terminais ab em um outro com uma fonte de tensão.
13
3 -30A04Ω
2Ω
j3Ω
ZL
a
b 27. Determinar a tensão V0 no circuito abaixo, convertendo a fonte de tensão em fonte de corrente e simplificando o circuito.
+20 0 V-
0
1Ω
10Ω
j3Ω
j2Ω
-j4Ω+V-
0
SOLUÇÃO: O capacitor não pode ser envolvido nas transformações de fontes, já que a tensão V0 seria alterada. O problema pode ser resolvido em quatro etapas. Primeiro, a fonte de tensão é transformada em fonte de corrente, ou seja,
(4 - j12)A
1Ω 10Ω
j3Ω j2Ω
-j4Ω+V-
0
Segundo, os dois ramos de impedâncias são associados em paralelo.
(4 - j12)A
1,4Ω
j2,27Ω
-j4Ω+V-
0
Terceiro, a fonte de corrente é convertida em fonte de tensão.
+33,74 -13,23 V-
0
1,4Ω j2,27Ω
-j4Ω+V-
0
Finalmente, a tensão V pode ser obtida aplicando a regra do divisor de tensão, ou seja,
14
( )( )
( )V
jj
jV °−∠=
−+
−⋅°−∠= 2,526,60
427,24,1
423,1374,330
28. Através de transformações e substituições apropriadas de fontes, determinar as tensões e correntes em cada elemento passivo do circuito abaixo.
10A 1Ω
2Ω
3Ω
5Ω- 10V
+
SOLUÇÃO: Como as polaridades das tensões e os sentidos das correntes não são mencionados no enunciado, eles devem ser arbitrados, como por exemplo, no circuito abaixo.
10A
a b
cd
i1
i2
i5 i3
+ -v2
+ -v5
+
-v3
+
-v1 1Ω
2Ω
3Ω
5Ω- 10V
+
Aplicando a técnica de substituição de fontes à fonte de corrente (nós adc) e à fonte de tensão (nós bcd), obtém-se o circuito abaixo, o qual permanece inalterado em relação aos elementos passivos (correntes e tensões nestes elementos não são alteradas). Apenas o ramo bd foi alterado, mas isso não é problema, já que não há elemento passivo de interesse neste ramo.
10A
10A
a b
cd
i1
i2
i5 i3
+ -v2+ 10V -
+ -v5
-10V++
-v3
+
-v1 1Ω
2Ω
3Ω
5Ω
O problema agora pode ser resolvido aplicando transformação das fontes de corrente ou de tensão. Transformando as fontes de corrente em fontes de tensão, por exemplo, resulta o circuito abaixo.
15
+10V
-
Alterado
a b
cd
i2
i3
+ -v2+ 10V -
+ 50V -
-10V++
-v3
1Ω
2Ω
3Ω
5Ω
É importante observar que as transformações das fontes de corrente provocaram alteração de configuração dos resistores de 1Ω e 5Ω, os quais são de interesse na análise. Como esta parte da rede foi alterada, nada pode ser afirmado sobre i1, i5, v1 e v5. Por outro lado, o caminho abd indica que i2 = 0, de acordo com a LKT. O caminho bcd indica que i3 = 60/8 = 7,5A. Analisando a rede original com i2 = 0 e i3 = 7,5A, conclui-se por LKC que i1 = 10A e i5 = -2,5A. Finalmente, aplicando a lei de Ohm, obtém-se a tensão em cada elemento passivo conforme as polaridades arbitradas, ou seja, v1 = 10V, v2 = 0V, v3 = 22,5V e v5 = -12,5V. 29. Reduzir o circuito abaixo para uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância.
+200-
40o
V
2Ω
5Ω
a
b
j4Ω -j3Ω
Resp.: 52,954∠11,64°A e 3,777∠28,36°Ω Método de Malhas 30. Para o circuito abaixo, determinar as correntes de malha.
10 0oV
+
-
j8Ω j3Ω
- 2j Ω 6ΩI1 I
2
31. Para o circuito abaixo, determinar a tensão vab aplicando o método de malhas.
16
16 250 15o o
V V+
-
+
-vab
+
-- 9j Ω
j5Ω j2Ω2Ω
4Ω
5Ωa
b
32. Para o circuito abaixo, determinar a tensão v(t) sobre o resistor usando o método de malhas.
+20 3 V-cos t
0,2H
0,3H
0,4H
2Ω+
-v
a
b
33. Para o circuito abaixo, determinar a corre3nte através o resistor de 6 Ω usando o método de malhas.
10
10
0
0
o
o
V
V
+
-
+ -
j6Ω j8Ω4Ω
I1 I2 6Ω- 2j Ω
34. Para o circuito abaixo, determinar a tensão sobre o resistor de 4 Ω.
10 0oV
+
-
8Ω
4Ω
4Ω I
5I
35. Para o circuito abaixo, determinar a tensão V1.
2Ω
V200
+2-
+ V -1
1,4V1
- 5j Ω
j6Ω
17
36. Determinar a máxima potência média que pode ser solicitada de um gerador de corrente alternada, cuja impedância interna é Ω°∠60150 e a tensão de circuito aberto é 12,5kV. 37. Para a rede abaixo, determinar (Prova PAG2-2.sem.2004): (a) o valor de Z que consome a máxima potência; (b) com o valor de Z obtido no item (a), determinar a tensão em regime permanente v(t).
+20 3 V-cos t
0,2H
2Ω
0,4H
Z+
-v
a
b
Resp.: (a) (0,165 – j1,75)Ω; (b) v(t) = 102,05.cos(3t – 101,3º) V 38. Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008):
a) O circuito equivalente de Thévenin “visto” dos terminais ab; b) A impedância em ab que consome a máxima potência; c) A potência média consumida na situação do item (b).
00
120
12 Ω 120 Ω
60 Ω
- 40 j Ω
V
+
-
+
-
+
-
Vx 10Vx
a
b
Equiv.Thévenin
Resp.: (784 - j288)V; (6,688 - j41,42)Ω; (6,688 + j41,42)Ω; 26,077kW 39. Para o circuito abaixo, calcular a corrente Ix usando o método de malhas.
+20-
+20-0 V
0
0 V0
3Ω j5Ω
-j12Ω
2Ω
IxI1 I2
40. Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente que flui através do resistor de 8Ω.
18
I
-j15Ω
6Ω
4Ω
8Ω
12Ω
-j12Ω
+220-
40o
V
Resp.: 7,616∠-68,8°A 41. Para o circuito abaixo, determinar os fasores correntes de malha I1 e I2, bem como os fasores Ix, V1, V2 e V3.
+150-
0oV
3Ω j5Ω j4Ω
-j12Ω
10Ω
2Ω
+15
-Ix
IxI1 I2
+ -V1
+
-
V3
+ -V2
Resp.: I1= 12,611∠-97,5°A; I2= 19,189∠-99,6°A; Ix= 6,602∠76,5°A; V1= 73,53∠-38,45°V; V2= 85,82∠-36,12°V; V3= 103,127∠26,32°V Método de Nós 42. Para o circuito abaixo, calcular a corrente Ix usando o método de nós.
+20-
+20-0 V
0
0 V0
3Ω
V
j5Ω
-j12Ω
2Ω
Ix
43. Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente Ix usando o método de nós.
19
+150-
0oV
3Ω j5Ω j4Ω
-j12Ω
10Ω
2Ω
+15
-Ix
Ix
44. Para o circuito abaixo, determinar o fasor tensão sobre os terminais da impedância Z = (2,5 – j15)Ω, usando o método dos nós.
20
30
1830o
25o
50o
A
A
A
2,5Ω
2Ω
V1 V2
4Ω
- 15j Ω
45. Para o circuito abaixo, determinar as correntes I1, I2, I3 e Ix aplicando o método de nós.
10 0oA
-j4Ω
j2Ω
10Ω
2Ω 4Ω
+35
-Ix
IxIa Ic Ib
46. Para o circuito abaixo, calcular a tensão V0 usando o método de nós.
-j4Ω2Ωj2Ω
1Ω1Ω
+ 12 0 V -0
+
V
-
0
Resp.: 13,57∠-36.2º V 47. Calcular V1 e V2 usando o método de nós.
20
+5-20 A0
5 Ωj4 Ω - 4 j Ω
+ 12 10 V -0
V1 V2
48. Calcular V1 e V2 usando o método de nós.
2 50 A0 3I0
I0
3 Ω j4 Ω
+ 24 0 V -0
V1 V2
49. Calcular V0 usando o método de nós.
+6-
0V0 2 Ω
2 Ω
2 Ω
j4 Ω
- 1 j Ω
+ 4 0 V -0
V1
+
V0
-
+
Vx
-
+
V2-
x
V3V2
50. Para o circuito abaixo, aplicar o método de nós para determinar: (a) a corrente fornecida pela fonte de tensão; (b) a tensão sobre a fonte de corrente.
12Arms
+12V-
rms
10Ω6Ω
4Ω j4Ω
j2Ω
21
Impedância de acesso em função da freqüência 51. Para o circuito abaixo, calcular a impedância Zab.
3 Ω 7 Ω
2 Ω
j4 Ω- 1 j Ω
a
b
52. Para o circuito abaixo, calcular Z(jω) para f = 60 Hz.
3 Ω2 Ω
10mH 400 Fµ
53. Para o circuito abaixo, determinar Zab nas formas polar e retangular.
6Ωa
b
3Ω18Ω 10Ω
j20Ω
j9Ω
- 6j Ω
- 10j Ω
54. Para o circuito abaixo, determinar Zab e Yab.
a
b
3Ω
4Ω
4Ω
18Ω
j6Ω
j2Ω
- 12j Ω
55. Para o circuito abaixo, determinar Zab na freqüência de 40kHz.
22
a
b
10Ω
2mH
0,1 Fµ
-
+va
+ 3 -va
56. Para o circuito abaixo, determinar a freqüência ω na a qual a impedância Zab é puramente resistiva.
a
b
100Ω 0,5mH
10 Fn
57. Para o circuito abaixo, calcular a impedância de acesso Zab.
1 Ω 1 Ω
1 Ω
j1 Ω- 1 j Ω
a
b
Resp.: 2Ω 58. Calcular o valor da indutância L para que a impedância de acesso da rede abaixo seja puramente resistiva na freqüência de 60 Hz.
10mF
L
1Ω
2Ω
a
b Resp.: 703.6 µH 59. Determinar as condições em que as redes (a) e (b) abaixo apresentam a mesma impedância.
23
Rede (a) Rede (b)
R1
C1
R2 C2
60. Determinar os valores de R1 e C1 para que as duas redes abaixo apresentem a mesma impedância na freqüência de 50krad/s.
Rede (a) Rede (b)
R1
C1
400Ω 100nF
61. Determinar os valores de R2 e C2 para que as duas redes abaixo apresentem a mesma impedância na freqüência de 20krad/s.
Rede (a) Rede (b)
R2500Ω
C2
150nF
62. Determinar as condições em que as redes (a) e (b) abaixo apresentam a mesma impedância.
Rede (a) Rede (b)
R1
L1
L2R2
63. Determinar os valores de R1 e L1 para que as duas redes abaixo apresentem a mesma impedância na freqüência de 10krad/s.
Rede (a) Rede (b)
R1
L1
2,0H4kΩ
24
64. Determinar os valores de R2 e L2 para que as duas redes abaixo apresentem a mesma impedância na freqüência de 5krad/s.
Rede (a) Rede (b)
L2
0,4HR2
1kΩ
65. Para a rede abaixo, determinar a impedância vista dos terminais ab. (Prova PBG2-2.sem.2003)
3Ω
3Ω 1Ω
- 2j Ω
j4Ω
- 3j Ω
a
b
66. Para o circuito ao lado, determinar a impedância de entrada nos terminais, para ω = 1 krad/s (Prova G1-A-1.sem.2008):
a) a-b; b) a-c; c) a-b, se os terminais c e d forem ligados em comum.
a c
b d
50mH
10 Fµ 20 Fµ
50mH
Resp.: j50 Ω; j75 Ω; j50 Ω 67. Para o circuito ao lado, determinar a impedância de entrada nos terminais (Prova G1-B-1.sem.2008):
(a) c-d; (b) a-c; (c) c-d, se os terminais a e b forem ligados em comum.
25
a c
b d
50mH
10 Fµ 20 Fµ
50mH
Resp.: j25 Ω; j75 Ω; j25 Ω Diagramas Fasoriais 68. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama fasorial do fasor V para as seguintes condições: (a) ωL > 1/ωC; (b) ωL = 1/ωC e (c) ωL < 1/ωC.
i t( )
+( )
-v t
RCL
Resp.:
VC VR I
VVL
(a)
VC
VR I
V V = R
VL
(b) I = IMAX
VC
I
V
VL VR
(c)
69. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama fasorial do fasor I para as seguintes condições: (a) ωL > 1/ωC; (b) ωL = 1/ωC e (c) ωL < 1/ωC.
+( )
-v t
i t( ) i t1( ) i t2( ) i t3( )
R L C
Resp.:
IL IR V
IIC
(a)
IL
IR V
I = IR
IC
(b) I = IMIN
IL
V
I
IC IR
(c)
26
Diagramas de Loci (lugar geométrico das raízes) 70. Considerando o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor V, quando ω varia de 0 até ∞.
i t( )
+( )
-v t
RCL
Resp.:
VC VR I
V
VL
8ω
ω 0
Lugar das raízes
71. Considerando o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando ω varia de 0 até ∞.
+( )
-v t
i t( ) i t1( ) i t2( ) i t3( )
R L C
Resp.:
IC
IR V
I
IL
8ω
ω 0
Lugar das raízes
72. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando L varia de 0 até ∞.
RL+
( )-v t
27
Resp.: Para L = 0, I = V/R; para L = ∞, I = 0. Para L variando entre 0 e ∞, vale a expressão
( )( )( ) ( )
jyxLR
VLjVR
LjR
LjR
LjR
VI −=
+
⋅−⋅=
−
−⋅
+
∠=
22
00
ω
ω
ω
ω
ω
Assim,
( )22 LR
VRx
ω+
⋅= e
( )22 LR
VLy
ω
ω
+
⋅−=
Estas equações satisfazem a equação que descreve uma semicircunferência, ou seja, 22
2
22
=
++
L
V
L
Vyx
ωω
Portanto, o lugar geométrico de I é uma semicircunferência com diâmetro igual a V/R, como indica o esboço abaixo
V
V V
I
8LL 0
Lugar das raízes
2R 2RV
R
73. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando R varia de 0 até ∞.
R L+( )
-v t
Resp.: Para R = 0, I = -jV/ωL; para R = ∞, I = 0. Como no exercício anterior, a expressão para o fasor corrente é
( )( )( ) ( )
jyxLR
VLjVR
LjR
LjR
LjR
VI −=
+
⋅−⋅=
−
−⋅
+
∠=
22
00
ω
ω
ω
ω
ω
a qual representa a equação de uma semicircunferência. Portanto, o lugar geométrico de I é uma semicircunferência com diâmetro igual a V/ωL, como indica o esboço abaixo:
V
V
V
I
8R
R 0
Lugar das raízes2ωL
2ωL
V
ωL
28
74. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando R varia de 0 até ∞.
+( )
-v t
R
C
i t( )
Resp.: O fasor corrente é dado pela seguinte equação:
( )( )( ) ( )
jyxXR
VjXVR
jXR
jXR
jXR
VI
C
C
C
C
C
+=+
⋅+⋅=
+
+⋅
−
∠=
22
00
Para R = ∞, I = 0. Para R = 0, o fasor corrente torna-se
( ) CC
C
X
Vj
X
VjXI =
⋅=
2
Portanto, o lugar geométrico de I é uma semicircunferência com diâmetro igual a V/XC, como indica o esboço abaixo:
V
V
I
8
R
R
0
Lugar das raízes
XC
V
2XC
V
2XC
75. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando XC varia de 0 até ∞.
+( )
-v t
R
C
i t( )
Resp.: O fasor corrente é dado pela seguinte equação:
( )( )( ) ( )
jyxXR
VjXVR
jXR
jXR
jXR
VI
C
C
C
C
C
+=+
⋅+⋅=
+
+⋅
−
∠=
22
00
Para XC = ∞, I = 0. Para XC = 0, o fasor corrente torna-se
29
R
VI =
Portanto, o lugar geométrico de I é uma semicircunferência com diâmetro igual a V/R, como indica o esboço abaixo:
V
V V
I8XC XC 0
Lugar das raízes
2R 2RV
R 76. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando a freqüência ω varia de 0 até ∞.
+( )
-v t
R 2
R 1
C
i t( ) i t1( ) i t2( )
Resp.: No circuito dado, variar ω equivale a variar C ou XC. Como os três ramos estão em paralelo, a tensão é a mesma em todos. Assim, o fasor corrente I2 é
( )( )( ) ( )22
2
2
2
2
2
00
C
C
C
C
C XR
VjXVR
jXR
jXR
jXR
VI
+
⋅+⋅=
+
+⋅
−
∠=
Para XC = ∞ (ou seja, ω = 0), I2 = 0. Para XC = 0 (ou seja, ω = ∞), o fasor corrente I2 torna-se
2R
VI =
Portanto, o lugar geométrico de I2 é uma semicircunferência com diâmetro igual a V/R2, como indica o esboço abaixo:
V
V V
I
8
ωω
0Lugar das raízes
2R2 2R2
V
R2 O fasor corrente I1 é constante e está em fase com a tensão da fonte. Como a corrente fornecida pela fonte de tensão é a soma das correntes nos dois ramos, o lugar geométrico do fasor I é como indica o esboço abaixo:
30
V
V V
I
I2
I1
8
ω
ω
0 Lugar das raízes
2R2 2R2
V
R2 77. Para o circuito abaixo, fazer um esboço do diagrama de loci do fasor I, quando R2 varia de 0 até ∞.
+( )
-v t
R 2
R 1
C
i t( ) i t1( ) i t2( )
78. Fazer um esboço do diagrama de lócus da impedância Z e da admitância Y da rede abaixo, quando X variando de –∞ até +∞.
R 1
jX
Resp.: Como o valor de R1 ´´e constante, o diagrama de lócus de Z é a união dos pontos que formam uma linha vertical, como indicado no plano Z abaixo.
R 1
Z
R
X
Lugar das raízes
Plano Z A admitância da rede tem a seguinte expressão para X variando de –∞ até +∞:
jBGXR
jXR
jXRY m
m=
+=
±=
221
1
1
1
De modo análogo ao diagrama de loci da corrente, a admitância representa uma semicircunferência quando algum de seus elementos varia. Se X = ± ∞, Y = 0. Se X = 0, a
admitância torna-se 1
1
RY = .
31
O diagrama de loci de Y para X variando de –∞ até +∞. é indicado no plano Y abaixo, o qual
representa um círculo centrado em
0,
2
1
1Rcom raio de
12
1
R.
G
B
1
8X =
X = 0
aumenta XL
aumenta XC
Lugar das raízes
2R1
1R1
Plano Y 79. Fazer um esboço do diagrama de lócus da impedância Z e da admitância Y da rede abaixo para R variando de –∞ até +∞.
R
jX 1
80. Fazer um esboço do diagrama de lócus da impedância Z e da admitância Y da rede abaixo para R variando de –∞ até +∞.
-jX1
R
81. Fazer um esboço o lugar geométrico da admitância Y2 da rede abaixo para X variando de –∞ até +∞.
jX 1-jX
R1
I1I I2
R2
82. Considerando o circuito abaixo, mostrar que V0 = ½V1, mas que V0 pode ser forçado a ficar atrasado de V1 de um ângulo entre 0° e 180° através da variação de R1.
32
+( )
-v t1
+( )
-v tR1
+( )
-v tC
+ ( ) -v t0
R 2
R 2
R 1
C
B
A
F
D
Máxima Transferência de Potência e Teoremas de Thévenin e Norton 83. Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais de R e a impedância para a qual o circuito fornece a máxima potência.
10 0oV
+
-
j8Ω
- 2j Ω R
84. Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais ab.
16 250 15o o
V V+
-
+
-- 9j Ω
j5Ω j2Ω2Ω
4Ω
5Ωa
b
85. Para o circuito abaixo, determinar a tensão v(t) sobre o resistor usando o teorema de Thévenin no domínio da freqüência.
+20 3 V-cos t
0,2H
0,3H
0,4H
2Ω+
-v
a
b
86. Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais ab.
33
10 0oV
+
-
j8Ω8Ω
8Ω- 2j Ω
a
b
87. Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais ab.
10 0oV
+
-
8Ω4Ω I
5I
a
b
88. Para o circuito abaixo, determinar a impedância vista dos terminais ab usando o teorema de Norton.
2Ω
+ V -1
1,4V1
- 5j Ω
j6Ω
a
b
89. Determinar a máxima potência média que pode ser solicitada de um gerador de corrente alternada, cuja impedância interna é Ω°∠60150 e a tensão de circuito aberto é 12,5kV. 90. Para a rede abaixo, determinar (Prova PAG2-2.sem.2004): (a) o valor de Z que consome a máxima potência; (b) com o valor de Z obtido no item (a), determinar a tensão em regime permanente v(t).
+20 3 V-cos t
0,2H
2Ω
0,4H
Z+
-v
a
b
Resp.: (a) (0,165 – j1,75)Ω; (b) v(t) = 102,05.cos(3t – 101,3º) V 91. Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008):
d) O circuito equivalente de Thévenin “visto” dos terminais ab; e) A impedância em ab que consome a máxima potência; f) A potência média consumida na situação do item (b).
34
00
120
12 Ω 120 Ω
60 Ω
- 40 j Ω
V
+
-
+
-
+
-
Vx 10Vx
a
b
Equiv.Thévenin
Resp.: (784-j288)V; (6,688-j41,42)Ω;26,077kW 92. Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008):
g) O circuito equivalente de Thévenin “visto” dos terminais ab; h) A impedância em ab que consome a máxima potência; i) A potência média consumida na situação do item (b).
00
220
12 Ω 120 Ω
60 Ω
- 40 j Ω
V
+
-
+
-
+
-
Vx 10Vx
a
b
Equiv.Thévenin
Princípio da superposição 93. Para o circuito abaixo, determinar a corrente i(t) aplicando superposição.
6mH i
6Ω+
20 (3000 - 30 ) V-
cos t o5 (2000 )sen t A
94. Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente aplicando superposição.
-j4Ω
8 100 0o oV V
+
-
-
+
j8Ω
j8Ω
I
95. Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente aplicando superposição.
35
-j4Ω
16 80 0o
oV A
+
-
j8Ω 8Ω I
96. Calcular V0 na rede abaixo usando (a) análise de malhas, (b) superposição e (c) teorema de Thévenin.
-j1Ω
4Ω
2Ω
j2Ω
12 0 V0 2 0 A0
+V-0
+
-
Resp.: 5,42∠4,57º V Potência complexa e fator de potência 97. Para o circuito abaixo, determinar (Prova PBG2-2.sem.2003):
(a) O fator de potência atual da carga total; (b) O módulo da corrente atual solicitada pela carga total; (c) Os valores atuais das potências ativa, reativa e aparente; (d) A potência reativa que deve ser acrescentada ao circuito para corrigir o fator de potência para 0,92; (e) O módulo da nova corrente.
+220V-
rms 96,8Ω
6Ω
j26Ω
98. Para o circuito abaixo, determinar: (a) a corrente; (b) o fasor potência complexa; (c) o fator de potência da rede; (d) a potência ativa; (e) a potência reativa; (f) a potência aparente.
220V/60Hz
14Ω 52mH
Resp.: (5,31 – j7,43) A; (1167,64 + j1635,16) VA; 0,58; 1167,64 W; 1635,16 Var; 2009,26 VA
99. Uma rede alimentada com tensão de 120V possui a impedância Ω°∠= 3020Z . Determinar: (a) a corrente; (b) o fasor potência complexa; (c) o fator de potência da rede; (d) a potência ativa;
36
(e) a potência reativa; (f) a potência aparente; (g) a potência reativa que deve ser acrescentada em paralelo à carga para elevar o fator de potência para 0,92; (h) a capacitância da carga reativa acrescentada ao circuito. 100. Um motor de 10HP, com fator de potência igual a 0,63 atrasado e com eficiência de 93% é alimentado por uma fonte de 220V/60Hz. Determinar:
(a) o triângulo de potências para a carga; (b) a capacitância requerida para tornar o fator de potência unitário; (c) a redução de corrente obtida com a correção do fator de potência do item (b); (d) a capacitância requerida para elevar o fator de potência para 0,92; (e) a redução de corrente obtida com a correção do fator de potência do item (d); (f) esboçar os circuitos equivalentes para as quatro situações descritas.
101. Para o circuito abaixo, considere todos os fasores de tensão e corrente como valores eficazes e Vab = 220 Vrms. Dadas as duas cargas, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008):
a) O fator de potência e a potência aparente do grupo de cargas; b) O módulo da corrente de linha; c) A potência média dissipada na linha, ou seja, em (0,5+j0,5) Ω; d) A potência reativa requerida para corrigir o fp do grupo para 0,92; e) A potência média dissipada na linha com o fp do grupo corrigido para 0,92 ind.
0,5 Ω
a
b
j0,5 Ω
8kW0,7 ind.
20kVA
0,6 ind.I
102. Para o circuito ao lado, considere todos os fasores de tensão e corrente como valores eficazes e Vab = 220 Vrms. Dadas as duas cargas, determinar (Prova G1-B-1.sem.2008):
a) O fator de potência e a potência aparente do grupo de cargas b) O módulo da corrente de linha c) A potência média dissipada na linha, ou seja, em (0,5+j0,5) Ω; d) A potência reativa requerida para corrigir o fp do grupo para 0,92 ind.; e) A potência média dissipada na linha com o fp do grupo corrigido para 0,92 ind.
0,5 Ω
a
b
j0,5 Ω
8kW0,6 ind.
20kVA
0,7 ind.I
103. Para o circuito abaixo, determinar: (a) o fasor corrente e a potência complexa fornecida pela fonte de tensão; (b) o fasor tensão sobre a fonte de corrente.
37
12 0 A0
+12 0 V-
0
10Ω6Ω
4Ω j4Ω
j2Ω
104. No circuito abaixo, calcular a potência media fornecida por cada fonte.
1Ω
j1Ω -j1Ω
10 0 V0
+
-
2 30 A0
Resp.: 8,66 W e 50 W 105. Para o circuito abaixo, calcular a impedância que absorve a máxima potência e o valor da potência máxima.
1Ω 1Ω
-j1Ω
12 0 V06 0 V0
+
- +
-
ZL
Resp.: (0,5 + j0,5)Ω e 90 W 106. Para a figura abaixo, calcular o valor eficaz da forma de onda.
Resp.: 3.87 Vrms 107. No circuito abaixo, calcular a tensão da fonte.
0,1Ω j0,5Ω+
-
240 0 V0
rms
60 kWfp = 0,85atrasado
40 kWfp = 0,78atrasado
+V-
F
38
Resp.: 460,17∠23,02° Vrms. 108. Uma unidade fabril alimentada por uma linha de 240Vrms, 60 Hz, consome 75 kW com um fator de potência de 0,70 em atraso. Calcular o valor do capacitor que colocado em paralelo com a carga altera o fator de potência para 0,90 em atraso. Resp.: 1850.8 µF
39
Indutância Mútua e Transformadores Polaridade da tensão induzida (regra do ponto) 109. Indicar o sentido do fluxo magnético produzido por uma corrente senoidal entrando em cada um dos terminais assinalados (a, b, c e d) do circuito abaixo.
(a)
i
φ( )t
(b)
i
φ( )t
(c)
i
φ( )t
110. No circuito magnético abaixo, determinar o sentido do fluxo magnético produzido por uma corrente variável i(t) entrando no (a) terminal 1, (b) terminal 2, (c) terminal 3 e (d) terminal 4.
φ( )t
1
2
3
4 111. Colocar os pontos que estão faltando nos circuitos magnéticos abaixo:
(a)
φ( )t
(b)
φ( )t
(c)
φ( )t
40
112. Para o circuito abaixo, escrever a expressão de v2(t).
M
+( )
_v t1
L1 L2
+( )
_v t2
i t1( )
(a)
M
+( )
_v t1
L1 L2
+( )
_v t2
i t1( )
(b)
M
+( )
_v t1
L1 L2
+( )
_v t2
i t1( )
(c)
M
+( )
_v t1
L1 L2
+( )
_v t2
i t1( )
(d)
M
+( )_
v t1L1 L2
+( )_
v t2
i t2( )
(e)
M
+( )_
v t1L1 L2
+( )_
v t2
i t2( )
(f)
Resp.:
(a) dt
diMtv 1
2 )( = ; (c) dt
diMtv 1
2 )( −= ; (e) dt
diMtv 2
1 )( −=
113. Determinar a expressão da tensão induzida v2(t) considerando a polaridade indicada para cada um dos circuitos abaixo.
M
+( )
_v t1
L1 L2 ZL
+( )_
v t2
i t1( ) i t2( )
(a)
M
+( )
_v t1
L1 L2 ZL
+( )_
v t2
i t1( ) i t2( )
(b)
Resp.:
(a) dt
diM
dt
diLtv 12
22 )( +−=
Transformador Linear (com núcleo de ar) 114. A corrente no primário de um transformador com núcleo de ar é 0,2 A e no secundário, 0,1 A. Estas correntes produzem os seguintes fluxos magnéticos: φL1 = 40 µWb, φL2 = 30 µWb, φm2 = 10 µWb. Calcular φm1, L1, L2, M e k, sabendo que N1 = 30 e N2 = 50. Resp.: 12 µWb, 7,8 µH, 20 µH, 3 µH e 0,24.
41
115. Calcular a maior indutância mútua possível para um transformador linear que tem auto-indutâncias de 180 mH e 80 mH. Resp.: 0,12 116. Para cada um dos seguintes itens, determinar a quantidade que está faltando, ou seja, L1, L2, M ou k: (a) L1 = 130 mH, L2 = 200 mH, M = 64,5 mH (b) L1 = 2,6 µH, L2 = 3 µH, k = 0,4 (c) L1 = 350 mH, M = 100 mH, k = 0,3 Resp.: 0,4, 1,12 µH, 317 mH 117. Uma tensão de 70 V é induzida no enrolamento secundário em circuito aberto de um transformador linear quando circula uma corrente de 0,3 A no enrolamento primário, o qual é alimentado com uma tensão de 120 V, 600 Hz. Determinar a indutância mútua e a auto-indutância do primário. Resp.: 61,9 mH, 106 mH 118. O secundário em curto circuito de um transformador linear tem uma corrente de 90 mA, quando uma tensão de 50 V, 400 Hz, aplicada no enrolamento primário produz neste uma corrente de 150 mA. Determinar as auto-indutâncias, sabendo que a indutância mútua é 110 mH. Resp.: 199 mH, 183 mH 119. Um transformador linear com secundário em curto-circuito tem indutâncias de L1 = 0,6 H, L2 = 0,4 H e M = 0,2 H. Determinar as coprrentes do primário e secundário quando uma tensão de 500 V, 60 Hz, é aplicada ao primário. Resp.: 265 mA, 133 mA 120. Um transformador tem auto-indutâncias de 1 H e 0,6 H. Uma conexão em série dos enrolamentos resulta em uma indutância total de 1 H. Determinar o coeficiente de acoplamento. Resp.: 0,387 121. Calcular V0 na rede abaixo.
j1Ωj1Ω
j2Ωj2Ω
2Ω
1Ω 1Ω10 0 A0
+
V
-
0
Solução: O primeiro passo na solução deste problema é aplicar transformação de fontes na seção de rede que contém a fonte de corrente de 10∠0°A em paralelo com o resistor de 1Ω para uma fonte de tensão de 10∠0°V em série com o resistor de 1Ω, como mostra a figura abaixo, já com os resistores de 1Ω e 2Ω associados em série.
j1Ωj1Ω
j2Ωj2Ω
3Ω
1Ω10 0 V0
+
V
-
0
+
V
-
1
+
V
-
2
+
-I1 I2
42
As equações para esta rede são -10 + 3I1 + V1 = 0 -V2 + I2(1 + j1) = 0 As tensões induzidas V1 e V2 incluem os efeitos dos campos magnéticos produzidos por I1 e I2 através das indutâncias próprias de j2Ω e da indutância mútua de j1Ω. Explicitando estes efeitos de indução magnética, as equações acima tornam-se (3 + j2) I1 + j1 I2 = 10 j1 I1 + (1 + j3) I2 = 0 Resolvendo o sistema de equações, obtém-se a corrente I2, a qual é necessária para calcular a tensão V0, ou seja, I2 = -0,894∠10,3º A E, finalmente, V0 = 1I2 = -0,894∠10,3º V 122. Determinar a impedância vista pela fonte no circuito abaixo.
j2Ω
-j2Ω
j1Ω
-j1Ω
j2Ωj4Ω
1Ω
3Ω
2Ω
1Ω
120 0 V0+
-
Solução: A impedância total da seção de rede do lado direito é determinada a partir da figura abaixo:
j2Ω
-j2Ω
2Ω
1Ω
ZL
Assim,
( ) ( ) ( )Ω−=−++= 262//212 jjjZ L
A rede original é redesenhada, ficando como mostra a figura abaixo:
43
-j2Ω
j1Ω
-j1Ω
j2Ωj4Ω
1Ω
3Ω
6Ω
120 0 V0+
-I 1
I2
Aplicando LKV, obtêm-se as seguintes equações: (4 + j3) I1 + j1 I2 = 120 j1 I1 + 6 I2 = 0 Isolando I2 na segunda equação e substituindo o resultado na primeira equação, obtém-se
1206
134 1 =
++ Ij
Portanto, a impedância vista pela fonte, ZF, pode ser calculada como segue:
( )Ω+== 3167,4120
1
jI
ZF
123. Para o circuito abaixo, calcular i(t) para ω = 1000 rad/s.
200Ω
+200-
100
V
j120Ω
(400- 1000)j Ωj230Ω j400Ω I
Resp.: 103 sen(1000t – 73,10) V 124. Para o circuito abaixo, calcular i(t) para ω = 2 rad/s.
3 Ω
120 V-250
j4 Ω j10 Ω
j3 Ω
6 Ω
- 4 j Ω
Resp.: 24 sen(2t – 76,60) A 125. Para o circuito abaixo, pede-se:
(a) o fasor tensão V; (b) trocar o ponto de um dos enrolamentos e calcular o fasor V novamente; (c) colocar um curto-circuito nos terminais ab e determinar a corrente de curto-circuito com
sentido de a para b;
44
(d) determinar a impedância que consome a máxima potência; (e) o valor da potência máxima consumida pela impedância do item (d).
30 Ω
100 V+V_
150
j25 Ω
j10 Ωj40 Ω
a
b Resp.: (a) (61,7 + j78,69)V; (b) (37,02 + j47,22)V; (c) (1,84 – j0,14)A; (d) (30,02 – j45,01)Ω; (e) 83,3 W 126. Para o circuito abaixo, determinar as correntes do primário e do secundário.
2Ω2Ω
+220V-
rms
5Ω
j8Ω
j2Ω
j7Ωj9Ω
j4Ω
-j3Ω
127. Para o circuito abaixo, calcular as correntes do primário e do secundário.
2Ω2Ω
V V200 -30
0+100-
+70-
j8Ω
j2Ω
j7Ωj9Ω
j4Ω
128. Para o circuito abaixo, determinar as potências aparente, ativa e reativa e o fator de potência da carga ZL.
2Ω3Ω
+220V-
rms
5ΩZL
j8Ω
j2Ω
- 3j Ω j7Ωj9Ω
j2Ω
-j3Ω
129. Um transformador linear tem indutância mútua de 80 mH e uma auto-indutância do secundário de 200 mH. Um resistor de 2 kΩ e um indutor de 100 mH são conectados em série com o enrolamento do secundário. Determinar a impedância do secundário refletida para o primário para ω = 10 krad/s. Resp.: (98,762 – j148,088) Ω
45
130. Para o circuito abaixo, determinar: (a) a auto-impedância do primário; (b) a auto-impedância do secundário; (c) a impedância refletida para o primário; (d) a impedância vista dos terminais ab; (e) o fasor corrente do primário; (f) o fasor corrente do secundário; (g) o fasor tensão V2; (h) a potência ativa fornecida à carga ( )Ω−= 1500600 jZ ; (i) a potência média fornecida pela fonte de tensão; (j) o rendimento do sistema de suprimento da carga Z.
a c
b d
80Ω 130Ω 220Ω 120Ω
+220V-
rms
j200Ω
j100Ω
j400Ω j250Ω-j460Ω
131. Para o circuito abaixo, determinar (Prova PBG2-2.sem.2003):
(a) O fasor V2; (b) O fator de acoplamento; (c) A impedância Zab;. (d) A impedância ZL que absorve a máxima potência do restante do circuito; (e) A máxima potência fornecida à carga ZL obtida no item anterior.
+120V-
rms
+
V
-
2
2Ω20Ω
4Ωj4Ω j6Ω
j18Ω
j8Ω
j18Ω
j72Ω
a
b
ZL
132. Para o circuito abaixo, determinar os seguintes dados referentes à carga Z: (a) a potência complexa; (b) a potência aparente; (c) a potência ativa; (d) a potência reativa; (e) o fator de potência.
a c
b d
80Ω 130Ω 220Ω
+220V-
rms
j200Ω
j100Ω
j400Ω j250Ω Z = (250 -j460)Ω
133. Para o circuito abaixo, determinar a impedância Z para a qual o circuito restante fornece a máxima potência.
a c
b d
80Ω 130Ω 220Ω
Z
+220V-
rms
j200Ω
j100Ω
j400Ω j250Ω
46
134. Para o circuito abaixo, determinar a impedância ZL para a qual o circuito restante fornece a máxima potência e o valor da máxima potência.
2Ω3Ω
+220V-
rms ZL
j8Ω
j1Ω
j7Ωj9Ω
j5Ω
Transformador Ideal (com núcleo de ferro) e casamento de impedâncias 135. Calcular a relação de transformação de um transformador com 689 espiras no enrolamento primário e 36 espiras no secundário. 136. Calcular a relação de transformação de um transformador com uma corrente de 6,25 A no enrolamento primário e 50 A no secundário. 137. Calcular a relação de transformação de um transformador com tensão de 12470 V no enrolamento primário e 240 V espiras no secundário. 138. Calcular a corrente máxima no enrolamento primário e no enrolamento secundário de um transformador com tensões nominais no primário e secundário de 2500/240 V, respectivamente, com potência nominal de 50 kVA. 139. Calcular a corrente máxima no enrolamento primário e no enrolamento secundário de um transformador com tensões nominais no primário e secundário de 7200/120 V, respectivamente, com potência nominal de 25 kVA. 140. Calcular a potência nominal (em kVA) e a corrente no secundário de um transformador de 12500/240 V, cuja corrente no enrolamento primário é 50 A. 141. Calcular a potência nominal (em kVA) e a corrente no secundário de um transformador de 13200/480 V, cuja corrente no enrolamento primário é 152 A. 142. Um transformador com núcleo de ferro tem 400 espiras no enrolamento primário e 100 espiras no secundário. Se a tensão do primário é 240 Vrms, 60 Hz, calcular a tensão no secundário e o valor de pico do fluxo magnético. 143. Um transformador com núcleo de ferro tem 3089 espiras no enrolamento primário e 62 espiras no secundário. Se a tensão do primário é 13800 Vrms, 60 Hz, calcular a tensão no secundário e o valor de pico do fluxo magnético. 144. Se um enrolamento de um transformador com núcleo de ferro tem 27 espiras, tensão eficaz de 120 V e valor de pico do fluxo magnético de 20 mWb, calcular a freqüência da fonte de alimentação. Calcular a freqüência da fonte de alimentação se houvessem 50 espiras no enrolamento.
47
145. O transformador de núcleo de ferro possui 1620 voltas no enrolamento primário e 54 espiras no secundário. Calcular a queda de tensão em uma resistência R ligada no secundário quando a corrente variável no primário atingir o valor de 0,1 A. 146. O transformador de núcleo de ferro possui 1500 voltas no enrolamento primário e 500 espiras no secundário. Calcular a queda de tensão em uma resistência R ligada no secundário quando a corrente variável no primário atingir o valor de 5 A. 147. O estágio de saída de um sistema de áudio tem resistência de saída de 2 kΩ. Um transformador faz o casamento de resistências com um microfone de 6 Ω. Calcular o número de espiras do enrolamento secundário, se o enrolamento primário deverá ter 400 voltas. 148. Calcular a relação de transformação de um transformador que conecta um microfone de 4 Ω em um sistema de áudio com resistência de saída de 1600 Ω. 149. Determinar I1, I2, V1 e V2 no circuito abaixo.
1Ω 3Ω
1 0 V0 2 0 V0
+
V
-
1
+
V
-
2
+
-
+
-I1 I2
Ideal
1:2
Solução: Aplicando LKT, obtêm-se as seguintes equações:
( )( ) °∠−=−⋅
°∠=+⋅
023
011
22
11
VI
VI
Como se trata de um transformador ideal, a relação de transformação produz as seguintes equações:
2
1
2
1
1
2
2
1
=−
=−
I
I
V
V
É importante observar que a tensão V1 é o produto da relação de transformação e da tensão V2 com sinal negativo porque os pontos estão em terminais opostos. Como as duas correntes estão saindo dos pontos, I2 é o produto da relação de transformação e da corrente I1 com sinal negativo. Combinando os dois conjuntos de equações, obtém-se o seguinte sistema de equações:
222
3
1
11
11
−=⋅+
⋅−
=+
VI
VI
Resolvendo estas equações obtém-se I1 = 1.142∠0ºA V1 = 0.142∠180° V
48
Portanto, I2 = 0,571∠180° A V2 = 0.284∠0° V
150. Considerando o circuito abaixo, determinar as duas redes obtidas substituindo (a) o primário e o transformador ideal por um circuito equivalente e (b) o transformador ideal e o secundário por um circuito equivalente.
1Ω 3Ω
1 0 V0 2 0 V0
+
V
-
1
+
V
-
2
+
-
+
-I1 I2
Ideal
1:2
Solução: As equações do transformador ideal são
2
1
2
1
1
2
2
1
=−
=−
I
I
V
V
A equação para a impedância refletida para o secundário é
SSP ZZN
NZ ⋅=⋅
=
4
12
2
1
As três equações são necessárias para desenvolver os circuitos equivalentes. (a) Cada impedância refletida é (1/a)2 vezes a impedância original. A tensão da fonte é refletida para o secundário multiplicando-a por 1/a e invertendo a polaridade, já que os pontos estão colocados em terminais opostos. Assim, ZSR = 4(1) = 4Ω e V2R = -2(1∠0°) = 2∠180° V
Portanto, o circuito equivalente neste caso é mostrado na figura abaixo.
4Ω 3Ω
2 0 V0 2 0 V0
+
V
-
2
+
-+
-
I2
(b) Novamente, usando as equações do transformador ideal refletidas para o secundário obtém o seguinte circuito equivalente (o estudante deve conferir as polaridades):
49
1Ω 3/4Ω
1 0 V0 1 0 V0
+
V
-
1
+
-+
-
I1
151. Para o circuito abaixo, calcular as correntes i1(t), i2(t) e i3(t).
3:1 1:2
200 (2 ) Vsen t
5 Ω
i1 i2 i3
3 Ω
8 Ω
Resp.: 4 sen(2t) A, -12 sen(2t) A, - 6 sen(2t) A 152. Para o circuito abaixo, calcular as correntes i1(t), i2(t) e i3(t).
2:1 3:1
480 (3 ) Vsen t
24 Ω
i1 i2 i3
6 H
2 Ω
Resp.: 4 sen(3t – 36,90) A, 8 sen(3t – 36,90) A, -24 sen(3t – 36,90) A 153. Para o circuito abaixo, calcular: (a) o valor de R para o consumo máximo de potência; (b) o valor de I2 para R igual a 3 Ω; (c) Determinar se a conexão de um condutor entre os terminais b e d irá alterar estes resultados.
220 V00
+
_
30 Ω
R
a
b
c
d
6:3
Núcleo deferro
I1I2
154. Para o circuito abaixo, calcular o valor de a e da reatância indutiva X para que a impedância de carga consuma a máxima potência e o valor da potência máxima.
a:1
50
220 1,442
Ω
V Ω
-53,130
00 -53,130
jX
50
155. Para o circuito abaixo, calcular o valor de a e da reatância capacitiva X para que a impedância de carga consuma a máxima potência e o valor da potência máxima.
a:1
50
220 4
Ω
V Ω
400
00 200
-jX
Autotransformador 156. Comparar as correntes dos enrolamentos de um transformador de dois enrolamentos, 277/120 V, 50 kVA, a plena carga e um autotransformador de mesma potência. Resp.: A figura abaixo mostra a situação do transformador convencional. O enrolamento de maior tensão pode conduzir 50000/277=180,505A (~181A) e o enrolamento de menor tensão, 50000/120=416,67A (~417A). Um enrolamento conduz a corrente da fonte e o outro a da carga.
+277 V
_
-120 V+
181A 417A ZL
No autotransformador, parte do enrolamento deve conduzir apenas a diferença entre a corrente da fonte e da carga (417-181=236A), como mostra a figura abaixo. Conseqüentemente, condutores menores podem ser usados no autotransformador, resultando em menor volume, mais leve e economia de cobre. A carga solicita 50 kVA, os quais são fornecidos pela fonte.
+277 V
_
+157 V_
+120 V
_
181A
417A
417A181A236A ZL
157. Um transformador convencional de 12400/277 V, 50 kVA, é conectado como um autotransformador conforme a figura abaixo. Determinar a taxa de potência que pode ser fornecida para a carga.
+12747 V
_
+277 V_
+12470 V
_
180,50A
184,51A
184,51A18 ,05A4,01A ZL
Resp. 2300 kVA
51
158. O mesmo transformador convencional do problema anterior, de 12400/277 V, 50 kVA, é conectado como um autotransformador conforme a figura abaixo. Determinar a taxa de potência que pode ser fornecida para a carga.
+12747 V
_
+12470 V_
+277 V
_180,50A
184,51A
184,51A
4,01A
4, 01AZL
Resp. 51,1 kVA 159. Calcular I1, I2 e I3 para o circuito abaixo.
+277 V
_ +120 V
_
I3
I1
I2 100 Ω
Resp.: 1,2 A, 0,52 A e 0,68 A 160. Determinar a relação de transformação de um transformador de núcleo de ferro de dois enrolamentos que pode ser conectado como um autotransformador de 277/120 V. Resp.: 1,31 ou 0,764
52
Circuitos polifásicos Cargas equilibradas conectadas em Y e em ∆∆∆∆ 161. Em um sistema trifásico Y-Y balanceado, a tensão de fase da fonte é Van = 120∠40o Vrms com seqüência de fase abc. A impedância por fase é (10 + j8)Ω. Se a impedância de linha por fase é (0,6 + j0,4)Ω, calcular as correntes de linha e as tensões da carga. Solução: Como se trata de um sistema balanceado, pode se considerar apenas uma fase do sistema. As outras duas correntes terão a mesma magnitude, porém, estarão defasadas de 120o e 240o, respectivamente. O circuito da fase a é mostrado na figura abaixo.
j8Ω
j0,4Ω0,6Ω
10Ω
120 40 V0
rms
+
-
a A
n N
IaA
A corrente de linha para a fase a é calculada como segue:
rms
Llinha
anaA A
jZZ
VI °∠=
+
°∠=
+= 6,187,8
4,86,10
40120
Então, a tensão da carga para esta fase é
( ) ( ) rmsLaAAN VjZIV °∠=+⋅°∠=⋅= 26,4059,1138106,187,8
Os resultados para as fases restantes são IbB = 8.87∠-118.4° Arms,e VBN = 113.59∠-79.74°Vrms IcC = 8.87∠-238.4° Arms e VCN = 113.59∠-199.74°Vrms. 162. Um sistema Y-Y alimenta uma carga trifásica equilibrada com seqüência de fase abc. Se a tensão de fase do gerador é Van = 440∠40° Vrms, a tensão de fase da carga é VAN = 410∠39° Vrms e a impedância na linha é (1,5 + j1,0)Ω, calcular a impedância da carga. Solução: O circuito monofásico equivalente é mostrado abaixo:
j1Ω1,5Ω
ZL
+
-
+
-
a A
n N
IaA
VanVAN
53
Empregando, por exemplo, a regra do divisor de tensão, a tensão de fase da carga pode ser escrita como
+=
linhaL
LanAN
ZZ
ZVV
Isolando ZL, obtém-se
1−
=
AN
an
linhaL
V
V
ZZ
Outra possibilidade seria calcular ZL usando a corrente de linha, ou seja,
aA
ANL
I
VZ =
A corrente de linha pode ser calculada como segue:
rmsANan
aA Aj
VVI °∠=
+
−= 6,1915,17
15,1
Assim, obtém-se o valor de ZL: ZL = 23,91∠19,4ºΩ 163. Em um sistema trifásico Y-∆, a tensão de fase da fonte é Van = 120∠30° Vrms com seqüência de fase abc. As impedâncias por fase da linha e da carga são, respectivamente, (0,6 + j0,4)Ω e (24 + j12)Ω. Calcular as correntes de fase na carga trifásica. Solução: Como o sistema todo é equilibrado, um circuito equivalente monofásico pode ser utilizado. Para isso, a carga em ligação ∆ deve ser convertida para ligação Y, ou seja,
Ω+== ∆ )48(3
jZ
ZY
O circuito equivalente é mostrado na figura abaixo.
j4Ω
j0,4Ω0,6Ω
8Ω
120 30 V0
rms
+
-
a A
n N
IaA
A corrente de linha para este circuito é
54
rmsaA Aj
I °∠=+
°∠= 9,242,12
4,46,8
30120
Esta é a corrente de linha na fase a da carga Y equivalente. Esta corrente deve ser convertida para a corrente na fase AB da ligação em ∆ da seguinte forma:
( ) rmsI
aA
AB AI
IaA
°∠=°+∠= 9,3217,7303
θ
As correntes nas fases restantes (na carga Z∆) são IBC = 7,17∠-87,1ºArms e ICA = 7,17∠-207,1ºArms. 164. Uma fonte de tensão trifásica alimenta duas cargas trifásicas: a carga 1 possui 32 kVA com fator de potência de 0, 85 atrasado e a carga 2, 20 kVA com fator de potência de 0,6 atrasado. A tensão de linha é 208 Vrms a 60Hz. Determinar a corrente de linha e o fator de potência combinado (total) da carga. Solução: Os ângulos de fase das duas cargas trifásicas são
( ) °== 79,3185,0arccos1Lφ e ( ) °== 13,536,0arccos2Lφ A potência complexa trifásica na carga é
( ) kVAkVSSS LLTotalL °∠=°∠+°∠=+= −− 97,3915,5113,532079,313223133 φφφ
Como a magnitude da potência trifásica é LLL IVS ⋅⋅= 33φ , a corrente de linha é
rmsL Ak
I 98,1412083
15,51=
⋅=
O fator de potência total da carga é fpL-Total = cos(39.97º) = 0,766 atrasado 165. Uma fonte de tensão trifásica em Y com tensão de fase Van = 220∠0ºVrms com seqüência de fase positiva supre potência para uma carga conectada em Y, a qual consome 36 kW de potência com fator de potência de 0,75 atrasado em cada fase. Três capacitores, cada um com uma impedância de –j2,0Ω, são conectados em paralelo com a carga original em uma configuração em Y. Determinar o fator de potência total visto pela fonte. Solução: A situação original, antes de adicionar os capacitores, é Pantes = 36 kW θantes = arccos(0,75) = 41,41º Qantes = Pantes tan(θantes) = 36.000 tan(41,41º) = 31.749 VAr Portanto, a potência complexa em cada fase é Santes = (36 + j31.749) kVA
Adicionando os capacitores, a potência ativa permanence inalterada, ou seja,
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Pdepois = Pantes = 36 kW A potência reativa anterior recebe a adição da potência reativa do capacitor (QC), ou seja, Qdepois = Qantes + QC A potência reativa fornecida pelo capacitor é calculada como segue, em que V ~e o valor eficaz da tensão:
( )kVAr
Z
VQ
C
C 2,242
220 22
−=−
=−
=
Portanto, Qdepois = (31,79 – 24,2)kVAr = 7,59 kVAr Assim, Sdepois = Pdepois + jQdepois = (36 + j7,59)kVA = 36,79∠11,9º kVA
e fpdepois = cos(θdepois) = cos(11,9º) = 0,98 atrasado 166. Uma carga trifásica equilibrada, com ligação em Y, é alimentada por um gerador trifásico em Y com neutro. A tensão de linha é 220V com seqüência de fase CBA e a carga é Ω°∠= 2550Z . Determinar as correntes de linha e a corrente no neutro. 167. Uma carga trifásica equilibrada, com ligação em ∆, é alimentada por um gerador trifásico em Y sem neutro. A tensão de linha é 117V com seqüência de fase ABC e a carga é Ω°∠= 4545Z . Determinar as correntes de linha. 168. Para um sistema equilibrado com gerador trifásico conectado em estrela e carga conectada também em estrela, com tensão de linha de 440V e três cargas resistivas iguais de 100 Ω, determinar os módulos (a) da tensão de fase, (b) da corrente de fase e (c) da corrente de linha. Resp.: 254V, 2,54A e 2,54A 169. Para um sistema equilibrado com gerador trifásico e carga conectados em triângulo, com tensão de linha de 440V e três cargas resistivas iguais de 100 Ω, determinar os módulos (a) da tensão de fase, (b) da corrente de fase e (c) da corrente de linha. Resp.: 440V, 4,4A e 7,62A 170. Um gerador trifásico conectado em estrela com uma tensão de fase de 80V é conectado a uma carga equilibrada conectada em triângulo, consistindo de três resistores de 120 Ω. Determinar: (a) a tensão de linha, (b) a tensão sobre o resistor de carga e (c) a corrente através de um resistor de carga. Resp.: 138,6V, 138,6V e 1,16A 171. Calcular a potência consumida por uma carga conectada em estrela formada por três resistores de 100 Ω, quando a tensão de linha da alimentação trifásica é 440V.
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Resp.: 1936W 172. Calcular a potência consumida por uma carga equilibrada conectada em triângulo, alimentada por uma fonte trifásica equilibrada com tensão de linha de 440V. A carga possui uma impedância de 50 Ω por fase e um fator de potência de 0,8 indutivo. Resp.: 9293W 173. Um motor trifásico é alimentado por uma fonte trifásica com tensão de linha de 415V e corrente de linha de 3,0A. O motor representa uma carga equilibrada com fator de potência igual a 0,8 indutivo. Resp.: 1725W 174. Um motor trifãsico com uma saída de 1,2 kW é conectado a uma alimentação trifásica com tensão de linha de 415V e corrente de linha de 2,5A. O motor é uma carga equilibrada com fator de potência igual a 0,8 indutivo. Calcular a eficiência do motor sob estas condições operacionais. 175. Um motor trifásico com uma saída de 3 kW e uma eficiência de 95% representa uma carga equilibrada conectada em triângulo com um fator de potência de 0,9 indutivo. Calcular a corrente em cada enrolamento do motor para uma alimentação com tensão de linha de 415V. Cargas desequilibradas conectadas em Y e em ∆∆∆∆ 176. Uma carga trifásica a 4 fios (com ligação em Y), não equilibrada, é alimentada por um gerador trifásico em Y com neutro. A tensão de linha é 220V com seqüência de fase CBA e as cargas são Za = 50∠0ºΩ, Zb = 46∠25ºΩ e Zc = 50∠65ºΩ. Determinar as correntes de linha e a corrente no neutro. 177. Um gerador trifásico em Y a três condutores alimenta uma carga em Y desequilibrada, com impedâncias Za = 50∠0ºΩ, Zb = 46∠25ºΩ e Zc = 50∠65ºΩ. A tensão de linha é 220V com seqüência de fase CBA. Determinar a tensão de deslocamento do neutro. 178. Um gerador trifásico em Y a três condutores alimenta uma carga em ∆ desequilibrada, com impedâncias Za = 50∠0ºΩ, Zb = 46∠25ºΩ e Zc = 50∠65ºΩ. A tensão de linha é 220V com seqüência de fase CBA. Determinar as correntes de linha e de fase na carga. 179. Uma carga trifásica a quatro fios (conectada em estrela) possui as seguintes impedâncias: Za = 10∠30ºΩ, Zb = 15∠60ºΩ e Zc = 20∠-45ºΩ. Sabendo que a tensão de linha é 415V, calcular: (a) a corrente no condutor neutro, (b) a potência ativa trifásica, (c) a potência reativa trifásica, (d) a potência aparente trifásica e (e) o fator de potência da carga trifásica. Resp.: (a) 11,2∠-127ºA, (b) 8944W 180. Uma carga trifásica conectada em triângulo possui as seguintes impedâncias: Zab = 20∠30ºΩ, Zbc = 10∠60ºΩ e Zca = 20∠30ºΩ. Sabendo que a tensão de linha é 400V, calcular: (a) as correntes de linha, (b) as correntes de fase, (c) a potência média em cada fase, (d) a potência reativa em cada fase, (e) a potência aparente em cada fase, (f) o fator de potência da carga trifásica e (g) o fasor potência complexa trifásica. Resp.: (a) 20∠-30ºA, 40∠-180ºA e 20∠-270ºA, (b) 34,6∠-60ºA, 58,2∠-170ºA e 44,7∠26,6ºA 181. Uma carga trifásica a quatro fios (conectada em estrela) possui as seguintes impedâncias: Za = 10∠30ºΩ, Zb = 15∠-45ºΩ e Zc = 20∠60ºΩ. Sabendo que a tensão de linha é 440V, calcular: (a)
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a corrente no condutor neutro, (b) a potência ativa trifásica, (c) a potência reativa trifásica, (d) a potência aparente trifásica e (e) o fator de potência da carga trifásica. 182. Uma carga trifásica conectada em triângulo possui as seguintes impedâncias: Zab = 10∠-45ºΩ, Zbc = 15∠0ºΩ e Zca = 12∠30ºΩ. Sabendo que a tensão de linha é 300V, calcular: (a) as correntes de linha, (b) as correntes de fase, (c) a potência média em cada fase, (d) a potência reativa em cada fase, (e) a potência aparente em cada fase, (f) o fator de potência da carga trifásica e (g) o fasor potência complexa trifásica. Medição de potência trifásica 183. A medição de potências trifásicas pelo método dos dois Wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 60W e P2 = -27W. Determinar a potência ativa trifásica e o fator de potência. 184. 9 – Dois wattímetros são utilizados para medir a potência consumida por um sistema de cargas equilibradas a três fios (conexão em Y). Os instrumentos indicam leituras de 50 kW e -30 kW. Calcular a potência total consumida e o fator de potência. Resp.: 20 kW e 0,14 185. Dois wattímetros são utilizados para medir a potência consumida por um sistema de cargas equilibradas a três fios (conexão em Y). Os instrumentos indicam leituras de 8 kW e 3 kW. Calcular a potência total consumida e o fator de potência. 186. A medição de potências trifásicas pelo método dos dois Wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 6690W e P2 = -3693W. Determinar a potência ativa trifásica e o fator de potência. Resp.: 10383 W 187. A medição de potências trifásicas pelo método dos dois Wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 5185W e P2 = -2303W. Determinar a potência ativa trifásica e o fator de potência. Resp.: 7488 W 188. Em um sistema Y-∆ em equilíbrio, dois wattímetros estão conectados para medir a potência total. A leitura dos wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 1200W e P2 = -480W. Determinar a potência ativa trifásica, o fator de potência e a impedância da carga delta, sabendo que a tensão de linha é 208 Vrms. Resp.: 1680 W, 0,8 em atraso e (49,63 + j36,84)Ω 189. Dois wattímetros são usados para medir a potência total na carga de um sistema Y-Y em equilíbrio, em que a tensão de linha é 208 Vrms. A leitura dos wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 1600W e P2 = -840W. Determinar a impedância por fase da carga. Resp.: (13,71 + j7,40)Ω 190. Dois wattímetros são usados para medir a potência total na carga de um sistema Y-Y em equilíbrio, em que a tensão de linha é 208 Vrms. A leitura dos wattímetros indicou os seguintes valores: P1 = 1280W e P2 = 540W. Determinar o fator de potência da carga e a impedância por fase da carga. Resp.: 0,23 atrasado e (3,07 + j13,07)Ω
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PRÁTICAS DE LABORATÓRIO Laboratório I – Grandezas fasoriais. EXPERIMENTO 1 – Montar o circuito abaixo.
+12sen377 V-
t
10Ω
1,0H
220ΩZL
(a) Supondo que a carga ZL seja desconhecida, medir a tensão sobre o resistor de 10Ω e sobre os terminais da carga ZL. (b) Sabendo que a carga ZL é de natureza indutiva, calcular os valores de RL e de XL. MATERIAL Transformador 110v;12V (07) Multímetro (07) Protoboard (07) alicates (07) fios Resistores 220 Ω ±5% (07) 10 Ω ±5% (07) Capacitores 1,0 µF (07) 2,2 µF (07) Indutor 1,0 H (07)
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Laboratório II – Fator de potência. EXPERIMENTO 1 – Montar o circuito abaixo.
+12sen377 V-
t
10Ω
1,0H
220ΩZL
(a) Supondo que a carga ZL representa um motor elétrico operando a plena carga e que a resistência de 10Ω seja a resistência da linha, calcular o fator de potência do motor elétrico. (b) Determinar a potencia reativa e o valor do capacitor requerido para corrigir o fator de potência de ZL para 0,92. (c) Selecionar capacitores de modo a formar a capacitância calculada no item anterior e ligar o arranjo de capacitores em paralelo com ZL. Determinar o módulo da nova corrente através da medição da tensão sobre o resistor de 10Ω. MATERIAL Transformador 110v;12V (07) Multímetro (07) Protoboard (07) alicates (07) fios Resistores 220 Ω ±5% (07) 10 Ω ±5% (07) Capacitores 1,0 µF (07) 2,2 µF (07) Indutor 1,0 H (07)
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Laboratório III - Solução de sistemas de equações lineares com o MATLAB ® Teoria O MATLAB aceita o uso direto de números complexos na forma retangular, reconhecendo i e j como número imaginário. Por exemplo, se for digitado “z=2+3j” seguido de ENTER, ocorre o seguinte (a versão aqui utilizada é “MATLAB Student 5.3”):
Outro exemplo consiste em digitar “z1=3-4i” seguido de ENTER, ou seja:
O MATLAB trabalha com ângulo em radianos. Assim, para escrever o número complexo
03020∠=z na forma retangular, procede-se como segue:
Para obter-se as partes real (a) e imaginária (b) do número complexo z = (17,3205 + j10,0) = (a + jb), faz-se o seguinte (aqui, supõe-se que z ainda esteja na memória do programa):
EDU» z1=3-4i z1 = 3.0000 - 4.0000i EDU»
EDU» z=2+3j z = 2.0000 + 3.0000i EDU»
EDU» %conversão do ângulo em graus para radianos: EDU» ar=30*pi/180 ar = 0.5236 EDU» %definir o módulo: EDU» M=20 M = 20 EDU» %parte real: EDU» a=M*cos(ar) a = 17.3205 EDU» %parte imaginária: EDU» b=M*sin(ar) b = 10.0000 EDU» %o número na forma a+bi: EDU» z=a+b*j z = 17.3205 +10.0000i EDU»
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Para calcular o módulo de z e o seu argumento (ângulo), faz-se o seguinte:
EXEMPLO DE APLICAÇÃO Como exemplo de aplicação, o circuito abaixo será analisado empregando o método de malhas e o sistema de equações resultante será resolvido no MATLAB.
2Ω2Ω
I1 I2V V20
0 -300+
100-
+70-
j8Ω
j2Ω
j7Ωj9Ω
j4Ω
As equações de malha na forma matricial são:
−∠−
∠=
++−
−++
=
0
0
3070
20100*
)47(28
8)92(2
*
Ijj
jj
VIZ
No MATLAB, estas equações são resolvidas como segue:
EDU» %parte real de z: EDU» a=real(z) a = 17.3205 EDU» %parte imaginária de z: EDU» b=imag(z) b = 10.0000 EDU»
EDU» %cálculo do módulo de z: EDU» m=abs(z) m = 20 EDU» %cálculo do ângulo de z em radianos: EDU» ar=angle(z) ar = 0.5236 EDU» %cálculo do ângulo ar em graus: EDU» ar=ar*180/pi ar = 30.0000 EDU»
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É importante observar que o cálculo das correntes de malha se dá na forma matricial, ou seja,
VZinvI *)(= As correntes de malha nas formas retangular e polar são, respectivamente,
AAjI )11,1325,11()5508,29527,10( 01 −∠=−=
AAjI )46,2854,11()5008,51473,10( 02 ∠=+=
Se fosse o método dos nós, as equações na forma matricial seriam da forma
IVY =* As tensões nodais seriam calculadas como segue:
IYinvV *)(=
EDU» %Definição da matriz impedância: EDU» Z=[2+(2+9)*j,-8*j; %primeira linha -8*j, 2+(7+4)*j] %segunda linha Z = 2.0000 +11.0000i 0 - 8.0000i 0 - 8.0000i 2.0000 +11.0000i EDU» %Definição da matriz das fontes: EDU» V=[93.97+34.2*j; %primeira linha -60.62+35*j] %segunda linha V = 93.9700 +34.2000i -60.6200 +35.0000i EDU» %Cálculo das correntes de malha: EDU» I=inv(Z)*V I = 10.9527 - 2.5508i 10.1473 + 5.5008i EDU»
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Considerações finais
Para a elaboração do conteúdo deste caderno universitário, a lista de exercícios e as práticas de laboratório foram organizadas de forma a conter a estrutura proposta da disciplina, com o objetivo de apoiar o aluno em seus estudos. Este material, contudo, não abrange todo o conteúdo necessário para esta disciplina.
O aluno deverá se aprofundar sobre os diversos assuntos tratados aqui e em sala de aula através dos livros. Portanto, este caderno universitário não substitui os livros em hipótese alguma.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOLTON, W. Análise de Circuitos Elétricos. Makron Books do Brasil Editora Ltda. São Paulo, 1995 – ISBN 9 788534 603133 BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. Prentice-Hall do Brasil. Rio de Janeiro, 1998 CLOSE, Charles M. Circuitos Lineares. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 2ª. Edição. Rio de Janeiro, 1975 – ISBN 85-216-0498-X EDMINISTER, Joseph A. Circuitos Elétricos. Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. São Paulo, 1991 – ISBN 0-07-460639-5 GUSSOW, M. Eletricidade Básica. Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. São Paulo, 1996 – ISBN 85-346-0612-9 HAYT, William H. Jr. e KEMMERLY, Jack E. Análise de Circuitos em Engenharia. Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. São Paulo, 1979 – ISBN 90 165-1 IRWIN, J. David. Análise de Circuitos Elétricos em Engenharia. Makron Books do Brasil Editora Ltda. São Paulo, 2000 – ISBN 85-346-0693-5 JOHNSON, David E.; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Prentice-Hall do Brasil Ltda. Rio de Janeiro, 1994 – ISBN 85-7054-047-7 KIENITZ, Kart Heinz. Análise de Circuitos – Um Enfoque de Sistemas. Editora Manole Ltda. Barueri, 2002 – ISBN 85-204-1497-4 MARIOTTO, Paulo Antonio. Análise de Circuitos Elétricos. Pearson Education do Brasil. São Paulo, 2003 – ISBN 85-87918-06-0 NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 1999 – ISBN 85-216-1147-1 O’MALLEY, John. Análise de Circuitos. Makron Books do Brasil Editora Ltda. São Paulo, 1994 – ISBN 85-346-0119-4 QUEVEDO, Carlos Peres. Circuitos Elétricos. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 1988 – ISBN 85-216-1101-3 SANTOS, João Carlos Vernetti dos. Fenômenos Eletromagnéticos. Caderno Universitário (No. 188), edição 2004/2. Editora da ULBRA. Canoas, 2004 SANTOS, João Carlos Vernetti dos. Fundamentos de Eletroeletrônica I. Caderno Universitário (No. 356), edição 2006/2. Editora da ULBRA. Canoas, 2006
