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Ângulos e triângulos

por Paulo Moreira

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Ângulos verticalmente opostos

Na intersecção de duas rectas formam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos

Dois ângulos verticalmente opostos têm o mesmo vértice e os lados de um estão no prolongamento dos lados do outro.

Dois ângulos verticalmente opostos são geometricamente iguais (têm a mesma amplitude).

a

d

c

b

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Ângulos complementares

Quando a soma das amplitudes de dois ângulos é igual a 90º, dizemos que os ângulos são complementares.

090BOA COB

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Ângulos suplementares

Quando a soma das amplitudes de dois ângulos é igual a 180º, dizemos que os ângulos são suplementares.

0180BOCAOB

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Ângulos de lados paralelosNa figura, estão representados ângulos de lados paralelos: a e b (agudos) ou c e d (obtusos).

0180a c a b

0180b d

c d

Dois ângulos de lados paralelos:

Se forem ambos agudos ou ambos obtusos são iguais.

Se um for obtuso e o outro agudo são suplementares.

a

d

c

b

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ExemploObserva a figura.

Indica um par de:

1. ângulos suplementares.

2. ângulos complementares.

3. ângulos verticalmente opostos.

4. ângulos com lados paralelos.

: eR c d

: eR g h: eR e f: eR a b

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Soma dos ângulos internos de um triângulo

Actividade 1 – (em grupo)

1. Desenha um triângulo qualquer e mede, com rigor, os ângulos internos.

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Soma dos ângulos internos de um triângulo

Actividade 1 – (em grupo)2. Completa a tabela seguinte com os valores

encontrados nos diferentes triângulos desenhados, no grupo.

3. O valor obtido para a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo depende do tamanho ou depende da forma?

Soma das amplitudes

79º 59º 42º 180º

73º 67º 40º 180º

46º 102º 32º 180º

Amplitude dos ângulos internos

Exemplo

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Soma dos ângulos internos de um triângulo

Actividade 1 – (em grupo)4. Que conclusão podemos tirar em relação à

soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo?

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Vamos provar esta afirmação.

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Soma dos ângulos internos de um triânguloA soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Consideremos o triângulo [ABC].

Por C traçamos a recta DE paralela a AB (DE // AB).

Logo,

como queríamos provar.

0180DCA ACB ECB ECD

0180CAB ACB CBA

180ºECD , pois é um ângulo raso. CAB DCA, pois são ângulos

agudos de lados paralelos.

CBA ECB, pois são ângulos

agudos de lados paralelos.

ou seja,

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Ângulo externo de um triângulo

A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.

Na Actividade 2 verificamos que

Nota: Ângulos adjacentes

AOB e BOC são ângulos adjacentes:

têm o mesmo vértice;

•

• têm um lado comum que os separa;

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Ângulo externo de um triângulo

Também,

Como a e d são ângulos suplementares:

0180a d

d é um ângulo externo do triângulo.

0180a b c

Logo, .d b c

a d

c

b

Na Actividade 2 verificamos que

A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.

No triângulo:

0180d a

0180b c a d

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Aplica o que aprendeste…

Utilizando os dados da figura,

Calcula:

a) a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo .

b) a soma dos ângulos externos do triângulo.

ABC