ANÁLISE COMBINATÓRIA

AGRUPAMENTOS – PARTE 1 01) Quantas comissões constituídas por 4 pessoas

podem ser formadas com 10 alunos de uma classe? 02) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por

24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

03) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as

afirmações: I. O número total deles é 720. II. O número dos que terminam com a letra A é

25. III. O número dos que começam com EN é 24. Então apenas: a) a afirmação I é verdadeira. b) a afirmação II é verdadeira. c) a afirmação III é verdadeira. d) as afirmações I e II são verdadeiras. e) as afirmações I e III são verdadeiras. 04) ( Eng. de Alimentos -Barretos ) Tem-se 12 livros,

todos diferentes, sendo 5 de matemática, 4 de física e 3 de química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?

a) 103.680 b) 17.280 c) 150 d) 12 e) 6

05) ( UEL-07 ) Na formação de uma Comissão

Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI.

a) 55 b) (40 – 3).(15 – 1) c) 15.

!3!.37

!40

d) 40.39.38.15 e) 40! . 37 ! . 15 !

06) ( UDESC-08 ) Se Cm,p simboliza a combinação de m elementos tomados p a p, portanto, log (C10,3) é:

a) 3 + log 2 + 2log 3 b) 1 + log 2 + 3log 3 c) 2 + log 2 + log 3 d) 1 + 2log 2 + log 3 e) 3 + log 2 + log 3

07) Os presentes a determinada reunião, ao final da

mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 66. O número de pessoas presentes à reunião é:

08) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o

segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

09) ( UFRN ) Se o número de combinações de n + 2

elementos 4 a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na razão de 14 para 3, então n vale:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

10) Considere um conjunto de 9 pontos dos quais somente

5 estão alinhados. O número de circunferências possíveis que podemos traçar, unindo três quaisquer desses pontos, é:

11) ( ACAFE –SC ) Um professor de matemática elaborou

4 questões de geometria plana, 6 de geometria espacial e 5 de análise combinatória para montar uma prova de recuperação, com 10 questões. O número de provas diferentes que ele pode montar com 3 questões de geometria plana, 5 de geometria espacial e 2 de análise combinatória é:

a) 240 b) 144 c) 120 d) 288 e) 60

12) ( ACAFE-07 ) Uma confeitaria produz 6 tipos

diferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela pode formar, sabendo que em cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é:

a) 10 b) 30 c) 120 d) 45 e) 15

13) ( ACAFE – 2011 ) João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu fazer uma “fezinha”. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao assinalar os números cometeu um equívoco, assinalando 7 números no cartão. Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6 números, e cada aposta com 6 números custa R$ 2,00, o custo do cartão preenchido por João Apostador foi de:

a) R$ 12,00, pois é possível formar 6 combinações. b) R$ 4,00, pois como ele assinalou um número a

mais, é possível formar apenas duas combinações. c) R$ 42,00, pois como ele assinalou 7 números, é

possível fazer 21 jogos diferentes. d) R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações

14) ( ACAFE – 2011 ) Considerando ainda o caso da

questão anterior, João Apostador conferiu o resultado do sorteio no seu cartão e verificou que havia acertado 4 números (quadra), tendo assinalado 7 no cartão da Mega Sena. O prêmio pago pela quadra naquele dia foi R$ 64,32. Sendo assim, nosso ganhador recebeu:

a) R$ 64,32, pois ele acertou apenas 4 números. b) R$ 192,96, pois com aquele cartão ele acertou 3

quadras. c) R$ 128,63, pois com aquele cartão ele acertou 2

quadras. d) R$ 221,60, pois com aquele cartão ele acertou 5

quadras.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

AGRUPAMENTOS – PARTE 2 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos

distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é:

02) ( UFSC ) Se x e y são números naturais maiores que 1,

tais que

=

=

152

2

y

x

C

yA então

x

yé igual a:

03) ( UFSC – 08 ) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S). 01. Para acessar um site da internet, o internauta deve

realizar duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.

02. O número de maneiras

diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa ao lado usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.

04. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI)

será formada por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040.

04) ( UFSC – 98 ) Possuo 6 camisas ( uma é vermelha ) e

5 calças ( uma é preta ). O número de grupos de 4 camisas e 3 calças que poderei formar, se em cada grupo quero que apareça a camisa vermelha e a calça preta, é:

05) ( UFSC – 00 ) Determine a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Simplificando 35

46

A

A obtemos 6.

02. Podemos formar 720 anagramas com ou sem significado com as letras da palavra ESCOLA.

04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30.

08. Se 010CA 2-xx

3x =− , então x é igual a 7.

16. O termo independente de x no desenvolvimento (3x – 2)4 é 16.

06) ( UFSC – 01 ) Num camping existem 2 barracas

disponíveis. O número de modos como se pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada uma, é:

07) ( UFSC – 02 ) Marque a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. A equação x,2A = 2xA = 12 não possui solução.

02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas.

04. Seja A um subconjunto do plano com 20 pontos. Se não existirem três pontos colineares em A, então existem 1140 triângulos (distintos) cujos vértices são pontos de A.

08. O 4o termo é o termo médio do desenvolvimento

do binômio 8

m

5b

10

m

+ .

08) ( UFSC – 03 ) Assinale no cartão-resposta a soma dos

números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A solução da equação (x + 3)! + (x + 2)! = 8 • (x + 1)! é 0 (zero). 02. A solução da equação Ax, 3 = 4 • Ax, 2 é 6. 04. Um time de futebol de salão é formado por 5

jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 times de futebol de salão.

08. O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra BRASIL, que começam com B e terminam com L, é 24.

16. No desenvolvimento do binômio (2x – 1)6, o termo independente de x é 1.

09) ( UFSC ) A quantidade de somas de duas parcelas

distintas que podemos obter com os divisores naturais do número 18.

10) ( ITA-SP ) O número de soluções inteiras e não

negativas da equação x + y + z + w = 5 é: 11) (UEPG/08) Sejam duas retas paralelas r e s. Sobre r

marcam-se m pontos distintos e sobre s marcam-se 3m pontos distintos. Considerando todos os triângulos distintos que têm vértices sobre esses pontos, assinale o que for correto.

01. Se o número de triângulos com base sobre s é 5

vezes o número de triângulos com base sobre r, então m = 2.

02. Se m = 2, o número total de triângulos é 36. 04. Se m = 3, o número de triângulos com base sobre r

é 27. 08. Se m = 3, o número de triângulos com base sobre s

é 36.

12) ( UDESC-07 ) Suponha que um campeonato com 16 equipes seja disputado em turno único, isto é, quaisquer duas equipes jogam entre si apenas uma vez; o número total de jogos do campeonato é:

a) 120 b) 240 c) 160 d) 360 e) 16

13) ( UFSC ) Quantos anagramas da palavra “PALCO”

podemos formar de maneira que as letras “A” e “L” apareçam sempre juntas?

14) ( UEL – 2011 ) Um grupo de 6 alunos decide escrever

todos os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outros descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de anagramas em cada turno. Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam grupos de trabalho?

a) 23 b) 720 c) 2016 d) 5040 e) 35000

15) ( UDESC – 2011.1 ) Um tanque de um pesque-pague

contém apenas 15 peixes, sendo 40% destes carpas. Um usuário do pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca 10 peixes. O número de formas distintas possíveis para que o usuário pesque exatamente 4 carpas é:

a) 151200

b) 720

c) 210

d) 185

e) 1260

PROBABILIDDE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE 01) ( UEL – 2011 ) No lançamento de disco, a abertura da

gaiola é de aproximadamente 36º, como se pode observar na figura 14.

Durante o lançamento, acidentalmente, o disco escapa da mão do atleta. Supondo, para simplificar, que o movimento do braço do atleta ocorre num plano horizontal, então a probabilidade de o disco sair da gaiola é de:

a) 1/10 b) 1/8 c) 1/6 d) 1/4 e) 1/2

02) ( UEL-08 ) Um dado não viciado foi lançado duas

vezes e em cada uma delas o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade da soma dos números anotados ser maior ou igual a 7? a) 7/6 b) 1/4 c) 2/3 d) 7/16 e) 7/12

03) ( UFPEL-07 ) A boa e velha Loteria Federal e a que da

ao apostador as maiores chances de ganhar, mas por nao pagar grandes fortunas nao esta entre as loterias que mais recebe apostas. As mais populares sao Mega-Sena, Quina, Loto-facil e Lotomania. Na Loto-facil, o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma em 3.268.760 chances, de acertar. Super Interessante 229 .agosto 2006 [adapt.]. Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos 16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta passaria a ser de uma em

a) 1600 b) 6006 c) 8008 d) 8060 e) 6800

04) ( ACAFE – 2011. 2) Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?

a) 57,4% b) 12,6% c) 42% d) 28%

05) ( FUVEST ) Considerando-se um polígono regular de n lados, n ≥ 4, e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:

a) 0, se n é par

b)

2

1 , se n é ímpar

c) 1 se n é par

d)

n

1 se n é ímpar

e)

31−n

se n é par

06) Escolhendo ao acaso, entre 3 homens e 2 mulheres, 3

pessoas para formar uma comissão, qual é a probabilidade de essa comissão ser formada por 2 homens e 1 mulher?

07) ( UFRGS – 2011) O resultado de uma partida de

futebol foi 3x2. A probabilidade de que o time vencedor tenha marcado os dois primeiros gols é

a) 15% b) 20% c) 30% d) 40% e) 45%

08) ( UFRGS – 2010 ) Uma urna contém bolas numeradas

de 1 até 15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a probabilidade de a soma dos números que aparecem nessas bolas ser par é

a) 1/13 b) 6/13 c) 281/65 d) 31/65 e) 33/65

09) ( UFPR – 2010 ) Em uma população de aves, a

probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma

ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de:

a) 1,0%. b) 2,4%. c) 4,0%. d) 3,4%. e) 2,5%

10) Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso 2

vértices de um cubo, obtermos exatamente os vértices pertencentes a uma mesma aresta?

11) Em um grupo de 100 pessoas, 60 são leitoras do jornal

A, 50 são leitoras do jornal B e 30 são leitoras de ambos os jornais. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, a probabilidade de essa pessoa ser leitora do jornal A ou do jornal B é:

12) Em um grupo de 100 pessoas, 60 são sócias do clube

A, 50 são sócias do clube B, e 10 não são sócias nem de A nem de B. Escolhida uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser sócia dos dois clubes?

13) Uma prova apresenta 5 teste com 4 alternativas em

cada um. Somente uma das alternativas é correta. Qual é a probabilidade de que um aluno, que responde ao acaso (chutando) aos 5 testes, venha a acertar exatamente 3 deles?

14) Sabendo que a probabilidade de que um animal

adquira certa efermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%,qual a probabilidade de que esse animal somente venha a contrair a doença do 3º mês?

GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PARTE 1 1) 210 2) 12144 3) e 4) a 5) c 6) d 7) 12 8) d 9) a 10) 74 11) a 12) e 13) d 14) b GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PARTE 2 1) 28 2) 02 3) 04 4) 60 5) 27 6) 20 7) 06 8) 27 9) 15 10) 56 11) 07 12) a 13) 48 14) c 15) e GABARITO – PROBABILIDADE

1) a 2) e 3) c 4) d 5) e 6) 60% 7) c 8) e 9) d 10) 3/7 11) 80% 12) 20% 13) 45/512 14) 14,7%