ANATELAgência Nacional de Telecomunicações

Técnico Administrativo

• Matemática

Brasília

2009

A2-AA18218/02/2009

© 2009 Vestcon Editora Ltda.

Todos os direitos autorais desta obra são reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem au-torização prévia expressa por escrito do autor e da editora, por quaisquer meios empregados, sejam eletrônicos, mecânicos, videográfi cos, fonográfi cos, reprográ-fi cos, microfílmicos, fotográfi cos, gráfi cos ou outros. Essas proibições aplicam-se também à editoração da obra, bem como às suas características gráfi cas.

Título da obra: Adendo – ANATEL – Técnico Administrativo – Matemática

Autor:Júlio Lociks

DIRETORIA EXECUTIVANorma Suely A. P. Pimentel

DIREÇÃO DE PRODUÇÃOCláudia Alcântara Prego de Araújo

SUPERVISÃO DE PRODUÇÃOJulio Cesar Joveli

CAPABertoni DesignAgnelo Pacheco

EDITORAÇÃO ELETRÔNICADaniel dos Santos Sampaio

REVISÃOJulio César M. de França

SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DFSAC: 0800 600 4399 Tel.: (61) 3034 9576 Fax: (61) 3347 4399

www.vestcon.com.br

Publicação em 18/2/2009(A2-AA182)

PORCENTAGENS

RAZÃO CENTESIMAL

Chamamos de razão centesimal toda razão cujo conseqüente (denominador) seja igual a 100.

Exemplos:37 em cada 100 → 37/10019 em cada 100 → 19/100

Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal.

Exemplos:

3 em cada 10 → 3/10 = 30/100

→ 30 em cada 100

2 em cada 5 → 2/5 = 40/100 → 40 em cada 100

1 em cada 4 → 1/4 = 25/100 → 25 em cada 100

Outros nomes usados para uma razão centesimal são razão porcentual, índice porcentual e percentil.

FORMA PORCENTUAL

Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se ‘por cento’).

Exemplos:12

100 = 12% (doze por cento)

MATEMÁTICAJúlio Lociks

4

1003

= 3% (três por cento)

PORCENTAGEM

Dados dois números quaisquer, A e B, dizemos que A é igual a p% de B quando o valor A for igual a p/100 do valor B.

A é p% de B ↔ Bp

A ×=100

Na expressão acima, o valor B é a referência do cál culo porcentual. Dizemos, então, que A é uma porcentagem do número B.

Todo problema de porcentagens depende, basicamente, de determinarmos um dos valores dados na expressão acima, A, B ou p em função dos outros dois.

Observação:Nas questões de concursos públicos, é comum encontrarmos:- lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuízo etc. indicando uma

porcentagem em situações específi cas;- a expressão “principal” indicando o valor de referência que corresponde a

100%.

Exemplos:

1) Calcular 20% de 250.

Solução: o número procurado é igual a 20% de 250. Logo:x é 20% de 250 ↔ 250

100

20×=x

501005000

10025020

==×

=x

x = 50

Então, 20% de 250 dá 50.

2) 30 é igual a 20% de quanto?

Solução: da defi nição de porcentagem temos:

30 é 20% de x ↔ x×=100

2030

5

30x100 = 20×x

=×

=20

30100x 150

Portanto, 30 é igual a 20% de 150.

3) 21 representa quanto por cento de 15?

Solução: da defi nição de porcentagem temos:

21 é x% de 15 ↔ 15100

21 ×=x

21 x 100 = 15 x

14015

2100==x

Logo, 21 representa 140% de 15.

FORMA UNITÁRIA

Além da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razão porcentual, a qual chamamos de forma unitária.

A forma unitária da razão p/100 é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por 100.

Exemplos:

23% = 23/100 = 0,23

6% = 6/100 = 0,06

133% = 133/100 = 1,33

0,5% = 0,5/100 = 0,005

AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS

Quando queremos calcular um aumento ou uma redução de p% sobre deter-minado valor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas:

1a Calculamos a porcentagem p% do valor dado;

6

2a Adicionamos ou subtraímos do valor original a porcentagem encontrada, para obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado, conforme o caso desejado.

Usando a forma unitária, poderemos calcular aumentos e reduções percentuais de modo mais rápido, usando um dos seguintes raciocínios:

Para calcular um aumento de p%:Quando aumentamos em p% um valor V, fi camos com (100+p)% de V.Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100+p)% para

termos o resultado desejado.

Exemplos:

1) Aumentar o valor 230 em 30%

Solução: (100+30)% = 130% = 1,30 230 x 1,30 = 299

2) Aumentar o valor 400 em 3,4%

Solução: (100+3,4)% = 103,4% = 1,034 400 x 1,034 = 413,6

Para calcular uma redução de p%:

Quando reduzimos em p% um valor V, fi camos com (100 - p)% de V.Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100 - p)% para

termos o resultado desejado.

Exemplos:

1) Reduzir o valor 300 em 30%

Solução: (100 - 30)% = 70% = 0,70 300 x 0,70 = 210

2) Reduzir o valor 400 em 2,5%

Solução: (100 - 2,5)% = 97,5% = 0,975 400 x 0,975 = 390

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AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS SUCESSIVOS

Aumentos sucessivos:Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p1 %, p2 %, ...., pn %, de tal

forma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado do aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (100+p1 )% , (100+p2 )%, ..... , (100+pn )% .

Exemplos:

1) Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10% , 20% e 30%

Solução: 2000 x 1,10 x 1,20 x 1,30 = 3432

2) Se o valor 4000 sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual será o valor resultante?

Solução: 4000 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4630,5

Reduções sucessivas:Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p1 %, p2 %, ...., pn %, de tal

forma que cada uma das reduções, a partir da segunda, incida sobre o resultado da anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (100 - p1 )% , (100 - p2 )% , ..... , (100 - pn )% .

Exemplos:

1) Reduzir o valor 5000 sucessivamente em 10% , 20% e 30%.

Solução: 2000 x 0,90 x 0,80 x 0,70 = 2520

2) Se o valor 4000 sofrer três reduções sucessivas de 5% , qual será o valor resultante?

Solução: 4000 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 3429,5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte observação: “Não incluí mos os 10% de serviço”. Quanto representam, em dinheiro, os 10% de serviço e quanto fi ca o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço?

8

Solução:

Serviço = 10% de 26,00 = 2,60

Portanto, os 10% cobrados como serviço representam R$ 2,60. Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos:

26,00 + 2,60 = 28,60

Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28,60.

2. Numa pequena agência bancária, 32% dos clientes são pessoas jurídicas e os outros 2.040 são pessoas físicas. Quantos clientes, ao todo, tem esta agência?

Solução:

O total de clientes corresponde a 100%:

Pess. Jurídicas (32%) + Pess. Físicas (x%) = Total (100%)

32% + x% = 100% x% = 100% - 32% = 68%

Então, os 2.040 clientes pessoas físicas correspondem a 68% do total de clientes. Chamando o total de clientes de T, poderemos escrever:

68% de T = 2.040

68T 2.040

100× =

T 000.368

100040.2=

×=

T = 3.000

Portanto, a agência tem 3.000 clientes.

3. O preço de um produto A é 30% maior que o de B e o preço deste é 20% menor que o de C. Sabe-se que A, B e C custaram, juntos, R$ 28,40. Qual o preço de cada um deles?

Solução:

Digamos que os preços de A, B e C são a, b e c, respectivamente:

9

a = (100%+30%) de b = 130% de b → a = 1,3 b b = (100% - 20%) de c = 80% de c → b = 0,8 c

Comparando as duas igualdades acima, temos:

b = 0,8c e a = 1,3b, portanto a = 1,3 x 0,8c a = 1,04c

O preço dos três, juntos, é R$ 28,40:

a + b + c = 28,40 1,04c + 0,8c + 1c = 28,40 2,84c = 28,40 c = 10,00 (valor de C) b = 0,8c = 0,8 x 10 = 8,00 (valor de B) a = 1,04c = 1,04 x 10 = 10,40 (valor de A)

Então, os preços são: A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10,00. 4. Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o

preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00?

Solução:

A expressão “sobre a venda” signifi ca que o valor de referência para o cálculo porcentual do lucro, neste exercício, deverá ser o preço de venda (ao contrário do que é comum!). Portanto, devemos fazer o preço de venda corresponder a 100%.

Observe, então, o esquema:

(Preço de Custo)

+ (Lucro) = (Preço de Venda)

x % + 20% = 100%

x % + 20% = 100% logo: x% = 80%

Então, o preço de custo (R$ 160,00) corresponde a 80% do preço de venda (V):

80% de V = 160,00 (custo)

10

80V 160

100× =

Resolvendo, nos dá:

V 20080

100160=

×=

O preço de venda foi de R$ 200,00

5. Para atrair fregueses, um supermercado anuncia por R$ 10,00 um determinado produto que lhe custou R$ 13,00. Determine a taxa porcentual de prejuízo sobre o preço de venda.

Solução: O valor de referência para o cálculo porcentual do prejuízo deverá ser o preço

de venda.

Observe o esquema:

(Preço de Custo)

− (Prejuízo) = (Preço de Venda)

(100 + x)% − x % = 100%

O valor do prejuízo, em dinheiro, pode ser determina do pela diferença entre os preços de custo e de venda:

13,00 - 10,00 = 3,00

Assim, podemos dizer que o prejuízo (R$ 3,00) é igual a x% do preço de venda (R$ 10,00):

x% de 10 = 3

310

100=×

x

Resolvendo a expressão, encontramos:

30

103100=

×=x

O porcentual de prejuízo sobre a venda é de 30%.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Qual a porcentagem correspondente à fração 13/20?

2. A fração 1/3 corresponde a quantos por cento de 5/6?

3. Um terreno foi comprado por R$ 1.200,00 e vendido por R$ 6.000,00. De quanto foi o porcentual do aumento?

4. Quanto é 30% de 20% de 40% de 6.250?

5. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de custo?

6. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de venda?

7. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda?

8. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quantos por cento se for calculado sobre o preço de venda?

9. Se um produto que custa R$ 40,00 tiver seu preço reajustado sucessivamente em 5% e em 10%, qual será seu preço fi nal?

10. Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5% e outro de 10%, a uma mer-cadoria que tem um preço inicial de R$ 40,00, qual será seu preço fi nal?

11. Dois aumentos sucessivos, um de 15% e outro de 20%, equivalem a um único aumento de quantos por cento?

12. Antônio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antônio. Se a diferença entre os salários de Antônio e de Carlos é de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz?

13. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fi xa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total das vendas que exceder a R$ 10.000,00. Estima-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o salário bruto. Em determinado mês, o vendedor recebeu, líquido, o valor de R$ 4.500,00. Quanto ele vendeu neste mês?

14. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de R$ 1,35 o litro. Que quantidade de água ele deverá acrescer ao volume total de aguardente ad-quirida para vendê-la a R$ 1,75 e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?

12

15. Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promo-ção, a calça fi cou 20% mais cara e a camisa, 10% mais cara. Se comprasse as mesmas duas peças pagando estes novos preços, eu gastaria 16% a mais. Quanto me custou a mais a calça em relação à camisa?

TESTES

1. (Esaf) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço de venda anunciado para uma mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda anunciado, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afi rmar que houve por parte do comerciante:

a) lucro de 5% d) prejuízo de 2% b) prejuízo de 4% e) lucro de 2% c) lucro de 4%

2. (Esaf) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. A variação total de preço das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de

a) 38,00% d) 51,80% b) 40,00% e) 25,45% c) 28,00%

3. (Esaf) Maria vendeu um relógio por R$ 18.167,50 com um prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por

a) 22.709,37 d) 21.497,64 b) 26.875,00 e) 26.785,00 c) 27.675,00

4. (Cespe) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período, seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário, reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi:

a) 34% b) 38% c) 40% d) 42% e) 45%

5. (Cespe) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em janeiro de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então, X satisfaz à condição:

a) X < 1.100,00 b) 1.100,00 ≤ X < 1.170,00 c) 1.170,00 ≤ X < 1.190,00 d) 1.190,00 ≤ X < 1.220,00 e) X ≥ 1.220,00

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6. (Cespe) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de des-conto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de:

a) R$ 594,00 b) R$ 641,00 c) R$ 648,00 d) R$ 652,42 e) R$ 653,27

7. (Cespe) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de:

a) 10,0% d) 37,5% b) 30,0% e) 40,5% c) 35,5%

8. (Esaf) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fi xa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afi rmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 18% b) 20% c) 30% d) 33% e) 41%

9. (Cespe) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos, o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de:

a) R$ 4.200,00 d) R$ 4.820,00 b) R$ 4.620,00 e) R$ 4.900,00 c) R$ 4.700,00

10. (Cespe) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, é correto afi rmar que:

a) o valor das ações permaneceu inalterado. b) as ações desvalorizaram 7,84%. c) as ações valorizaram 7,84%. d) as ações desvalorizaram 8,48%. e) as ações valorizaram 8,48%.

14

11. Um comerciante de veículos comercializa dois tipos de automóveis, um nacional e outro importado. Observa-se que, anualmente, as vendas dos veículos nacio-nais diminuem em 20% e as dos importados aumenta 20%. Em 1994, 60% do total das vendas dessa revendedora foram de carros nacionais e 40% de carros importados. Em 1996, o percentual de automóveis importados comercializados pela revendedora foi de:

a) 54% b) 57,6% c) 60% d) 62,6% e) 63,2%

12. (Cespe) Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% dos eleitores de uma cidade votaram, para prefeito, no candidato X, 30%, no candidato Y, e os 1.800 eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Não houve abstenções e os votos nulos corresponderam a 25% dos votos em branco. Com base na situação apresentada, assinale a opção incorreta.a) O número total de eleitores da cidade é de 4.000.b) 1.000 eleitores votaram no candidato X.c) 450 eleitores anularam seus votos.d) Houve menos votos brancos ou nulos do que votos válidos.e) 1.200 eleitores votaram no candidato Y.

13. (Cespe) Em uma comunidade, somente 18% dos habitantes são a favor de certa proposta. Se 30% dos homens são favoráveis à proposta e 10% das mulheres também são favoráveis à mesma proposta, então a porcentagem de homens nessa comunidade é de

a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%

14. (Cespe) O funcionário da biblioteca de uma escola comprou 10 exemplares de um mesmo livro de Matemática. O vendedor concedeu-lhe um desconto de 10%, tendo ele pago R$ 585,00 pela compra. Se x é o preço original de cada livro, em reais, então

a) x < 64,00 b) 64,00 ≤ x < 65,00 c) 65,00 ≤ x < 66,00 d) 66,00 ≤ x < 67,00 e) x ≥ 67,00

15. (Cespe) Em 1992, 10.000 estudantes de um certo estado foram reprovados durante o 1º grau. A partir do ano seguinte, a Secretaria de Educação daquele estado iniciou o projeto: “Repetência - vamos riscá-la de nossas escolas”, consistindo em um

15

esforço conjunto de pais e professores para a recuperação dos alunos durante todo o ano letivo. Em decorrência dessa iniciativa, o número de estudantes reprovados diminuiu, anualmente, em 9%. Nessas condições, o número de alunos de 1º grau que foram reprovados em 1994 foi de

a) 8.151 b) 8.200 c) 8.281 d) 8.300 e) 8.400

16. (Cespe) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5% de vinte e quatro milési-mos. A calculadora evidenciou como resultado

a) 0,012 b) 0,0012 c) 0,00012 d) 0,000012 e) 0,0000012

GABARITO

PORCENTAGENS

1. 65%2. 40%3. 400%4. 1505. 25%6. 20%7. 20%8. 100%

9. R$ 46,2010. R$ 34,2011. 38%12. R$ 500,0013. R$ 100.000,0014. 1 litro15. 50%t

TESTES

1. b2. a3. b4. c5. d6. c7. d8. c

9. b10. b11. c12. c13. d14. c15. c16. b

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Número de páginas16

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