Analise Real Lista 1 Ifba 2015

ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 1

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

SEMESTRE 2015.1 TURMA 1

ANLISE REAL

ANOTAES SOBRE ANLISE REAL

O que Anlise Matemtica? Um breve comentrio

costume na comunidade matemtica classificar as teorias matemticas atualmente

conhecidas em trs grandes reas: a Anlise, a lgebra e a Geometria. A interseco destas trs

grandes reas no-vazia, isto , existem teorias matemticas que fazem parte de mais de uma

rea; h tambm teorias matemticas que no fazem parte de qualquer destas trs reas como o

caso da Lgica Matemtica e da Teoria dos Conjuntos, que fazem parte de uma rea chamada

Fundamentos da Matemtica.

Em linhas gerais, pode-se dizer que a Anlise engloba todas as teorias matemticas cujas

razes remontam formulao rigorosa do Clculo Diferencial e Integral que se deu a partir do

sculo XIX, desenvolvidas a partir das noes centrais de limite e convergncia (de nmeros ou

funes). Entre tais teorias podemos citar: Anlise Real, Anlise Funcional, Funes Analticas,

Medida e Integrao, Equaes Diferenciais, Sistemas Dinmicos, Anlise Numrica.

A Anlise Real (ou Anlise na Reta), assunto que comeamos a estudar, a parte da

Anlise cujos objetos de estudo so os nmeros reais e suas funes (funes reais de uma varivel

real), nas quais se estudam conceitos tais como limite, continuidade, diferenciabilidade e

integrao.

A contribuio da Anlise Matemtica na formao de professores

As disciplinas introdutrias de Anlise, que costumam integrar os currculos de

Bacharelado e Licenciatura em Matemtica, em geral so totalmente dedicadas a uma

apresentao rigorosa do Clculo Diferencial e Integral (Clculo). Assim, tal disciplina apresenta

excelente oportunidade para desenvolver no estudante de Licenciatura e futuro professor do

Ensino Bsico aquela habilidade to necessria no trato com definies, teoremas, demonstraes,

que so o embasamento lgico de toda a Matemtica. (Geraldovila, 2006).

Diante disso, a Anlise Matemtica objetiva o desenvolvimento do raciocnio algbrico

abstrato e a habilidade de compreender simbologias, nomenclaturas, definies, proposies e


teoremas; ou seja, fornece ao professor as ferramentas necessrias para que este possa pesquisar,

compreender e questionar o que dito nos livros.

O estudo da Anlise Matemtica est direcionado aos formalismos utilizados em

Matemtica e s demonstraes dos resultados estudados nas disciplinas de Clculo Diferencial e

Integral. Elon Lages Lima (LIMA, 2002), um importante matemtico brasileiro, autor de alguns

dos principais livros desta rea adotados em cursos de Matemtica de todo Brasil, diz que um

livro de Matemtica no deve ser lido como se l uma novela; no primeiro caso deve-se se ter lpis

e papel na mo para reescrever com suas prprias palavras cada definio ou enunciado de

teoremas.

Uma vez que o professor de matemtica tem conhecimento sobre os teoremas e

demonstraes, ele se sente mais seguro ao ensinar os contedos, pois assim ele tem certeza da

veracidade do que ser transmitido (compartilhado) ao estudante. Faltando tal conhecimento ao

professor, o mesmo poder se sentir inseguro sobre o contedo e assim poder omitir certas

informaes que poderiam facilitar a explicao para a melhor compreenso por parte do aluno,

prejudicando o desenvolvimento intelectual do mesmo.

Alguns antecedentes histricos

A Matemtica sempre representou uma atividade humana e, em todas as pocas, mesmo

nas mais remotas, a ideia de contar sempre esteve presente. Um clssico exemplo da noo

intuitiva de contagem a correspondncia entre ovelhas de um rebanho e pedrinhas contidas em

um pequeno saco, ou marcas em pedao de osso ou de madeira, ou ainda por meio de ns em

cordes, utilizados pelos incas.

Muitos anos ainda se passaram at que se iniciasse o desenvolvimento terico do conceito

de nmero que, embora hoje nos parea natural, foi lento e complexo, envolvendo diversas

civilizaes.

Os registros histricos nos mostram a utilizao de vrios sistemas de numerao, por

exemplo, os povos babilnios (cerca de 2000 a.C.) que desenvolveram o sistema de numerao

sexagesimal e empregaram o princpio posicional; os egpcios, que j usavam sistema decimal (no

posicional); os romanos, que fizeram histria atravs do uso simultneo do princpio da adio e

do raro emprego do princpio da subtrao; e os gregos antigos, povos que utilizavam diversos

sistemas de numerao.

Quase quatro mil anos separam as primeiras manifestaes de numerao escrita da

construo do sistema de numerao posicional decimal que utilizamos, munido do smbolo

denominado zero. Esse smbolo foi criado pelos hindus nos primeiros sculos da era crist. A

concepo do zero foi ignorada, durante milnios, por civilizaes matematicamente importantes


como a dos gregos e dos egpcios. A inveno do zero foi um passo decisivo para a consolidao do

sistema de numerao indoarbico, devido sua eficincia e funcionalidade em relao aos demais

sistemas de numerao. Sem o zero, seria impossvel efetuar o clculo de 385 908 usando os

algarismos romanos.

Um marco importante na histria dos nmeros e da matemtica se deu no sculo VI a.C.,

na Escola Pitagrica. Em seus estudos, os pitagricos envolviam-se de um certo misticismo, pois

acreditavam que existia uma harmonia interna no mundo governada pelos nmeros naturais.

Desde Pitgoras pensava-se que, dados dois segmentos de reta quaisquer, AB e CD, seria

sempre possvel encontrar um terceiro segmento EF, contido um nmero inteiro de vezes em AB e

um nmero inteiro de vezes em CD. Expressamos essa situao dizendo que EF um submltiplo

comum de AB e CD ou que AB e CD so comensurveis. Essa ideia nos permite comparar dois

segmentos de reta da seguinte maneira: dados dois segmentos, AB e CD, dizer que a razo

AB/CD o nmero racional /m n , significa que existe um terceiro segmento EF, submltiplo

comum desses dois, satisfazendo: AB m vezes EF e CD n vezes EF.

Era natural imaginar que, para dois segmentos AB e CD dados, era sempre possvel tomar

EF suficientemente pequeno para caber um nmero inteiro de vezes simultaneamente em AB e

em CD.

Para os pitagricos, dois segmentos de reta eram sempre comensurveis, sendo, portanto,

os nmeros naturais suficientes para expressar a razo entre eles e, de modo mais geral, a relao

entre grandezas da mesma natureza. O reinado dos nmeros naturais, na concepo pitagrica, foi

profundamente abalado por uma descoberta originada no seio da prpria comunidade pitagrica e

que se deu, em particular, numa figura geomtrica comum e de propriedades aparentemente

simples, o quadrado. Trata-se da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado.

De fato, ao considerarmos a diagonal e o lado de um quadrado comensurveis, teremos, a

diagonal como medida nt e o lado com medida mt . Pelo teorema de Pitgoras, temos que: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n t m t m t n t m t n m= + = = ,

o que absurdo, pois em 2n h uma quantidade par de fatores de primos e, em 22m , uma

quantidade par de fatores primos, em contradio com a unicidade da decomposio de um

nmero natural em fatores primos, como mostra o Teorema Fundamental da Aritmtica (Todo

nmero inteiro positivo 1n > igual a um produto de fatores primos). Essa situao s foi

contornada atravs do matemtico e astrnomo ligado Escola de Plato, Eudoxo de Cnido (408

a.C. 355 a.C.), que desenvolveu a Teoria das Propores para tratar as grandezas

incomensurveis atravs da Geometria, que apesar do progresso, contribuiu para a desacelerao

do desenvolvimento da aritmtica e da lgebra por muitos sculos.


O coroamento da fundamentao matemtica do conceito de nmero ocorreu somente no

final do sculo XIX, principalmente atravs dos trabalhos propostos por Richard Dedekind (1831

1916), Georg Cantor (18451918) e Giuseppe Peano (18581932). Esses estudos foram motivados

pelas demandas tericas que surgiram a partir do volume de conhecimento matemtico adquirido

a partir do clculo diferencial e integral de Isaac Newton (16431727) e Gottfried Leibniz (1646

1716), no sculo XVII.

interessante estudar como o processo histrico da conceituao de nmero assemelha-se

prpria formao desse conceito. Antes de iniciarmos nossa vida escolar, admitimos os nmeros

naturais como fruto do processo de contagem, da mesma forma que a humanidade os admitiu at

o sculo XIX. Entre os gregos da poca de Euclides, nmeros eram os que hoje escrevemos como

2, 3, 4, 5 etc., ou seja, os nmeros naturais maiores do que 1. O prprio 1 era concebido como a

unidade bsica a partir da qual os nmeros, as quantidades, eram formadas. O zero, como vimos,

foi uma concepo j dos primeiros sculos da era crist, criada pelos hindus, para a numerao

escrita. Para uma criana aprendendo a contar, este ato s faz sentido a partir da quantidade 2,

seno contar o qu? Ela s admite o zero depois de ter passado alguns anos experimentando os

nmeros de verdade, isto , contando e adquirindo experincia, o que se d no incio de sua

aprendizagem da numerao escrita.

As fraes eram admitidas pelos gregos no como nmeros, mas como razo entre nmeros

(2, 3, 4, etc.). Da mesma forma, os nmeros negativos, inicialmente utilizados para expressar

dvidas, dbitos e grandezas que so passiveis de serem medidas em sentidos opostos, s

receberam o status de nmeros sculos aps serem utilizados na matemtica e em suas aplicaes.

A existncia de grandezas incomensurveis e a ausncia de um tratamento eficiente para

express-las, isto , o desconhecimento de uma fundamentao terica para o conceito de nmero

real, no impediu o progresso de ramos da matemtica do sculo XVI ao sculo XIX. No entanto,

a complexidade dessa matemtica conduziu a problemas para cuja compreenso e soluo o

entendimento intuitivo no era suficiente. mais ou menos deste modo que formamos o nosso

conceito de nmero real: apesar de ouvirmos falar de nmeros reais desde o Ensino Fundamental,

concretamente s trabalhamos com nmeros racionais.

Os nmeros complexos apareceram no estudo de equaes, no sculo XVI, com o

matemtico italiano Girolamo Cardano (15011576), mas tambm s adquiriram o status de

nmero a partir de suas representaes geomtricas, dadas no sculo XVIII pelos matemticos

Carl Friedrich Gauss (17771855) e Jean Robert Argand (17681822) e da sua lgebra,

apresentada por W. R. Hamilton em 1833, na qual eles foram definidos como pares ordenados de

nmeros reais. Estes, por sua vez, foram construdos rigorosamente a partir dos racionais, dcadas

depois, por R. Dedekind e G. Cantor. Aqui tambm h um paralelo com a nossa educao escolar:

supondo conhecidos os reais, no to complicado concebermos os complexos. No entanto, o


conceito rigoroso de nmero real s se aborda no curso de Anlise Matemtica. Isso, porm,

feito de forma axiomtica, isto , o conjunto dos nmeros reais admitido por axioma como um

corpo ordenado completo, e no construdo a partir dos racionais. Por fim, os nmeros racionais

podem ser construdos rigorosamente a partir dos nmeros inteiros e esses a partir dos naturais.

Mas, e os nmeros naturais, os primeiros que so admitidos pela nossa intuio? Assim se

perguntaram alguns matemticos do sculo XIX, na busca de completar o conceito

matematicamente rigoroso de nmero. Eles podem ser construdos a partir da Teoria dos

Conjuntos ou podem ser apresentados atravs de axiomas, como fez George Peano, em 1889.

Fonte: ................

Atividade: Leia o Prefcio do livro de Geraldo vila Anlise Matemtica para Licenciatura, a

parte sobre conversa com o aluno.

PRINCIPAIS REFERNCIAS

[1] VILA, G. Anlise Matemtica para Licenciatura. Editora Edgard Blcher, 2006.

[2] VILA, G. Introduo Anlise Matemtica. Editora Edgard Blcher, 1999.

[3] BARBONI, A. e PAULETTE, W. Fundamentos de Matemtica: Clculo e Anlise. Editora

LTC, 2007.

[4] LIMA, E. L. Anlise Real, vol 1. Col. Matemtica Universitria, IMPA/SBM, 1997.

[5] LIMA, E. L. Curso de Anlise, vol 1. Projeto Euclides, IMPA, 1976.


CAPTULO 1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Axiomas de Peano

Princpio da Induo Finita

Operaes nos naturais

Conjuntos finitos e infinitos

Conjuntos enumerveis e no enumerveis

Os nmeros naturais constituem um modelo matemtico, uma escala padro, que nos permite a

operao de contagem. A sequncia desses nmeros uma livre e antiga criao do esprito

humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal o processo que torna

mais precisa a noo de quantidade; esse processo (a contagem) pressupe portanto o

conhecimento da sequncia numrica 1, 2, 3, 4, 5, A totalidade desses nmeros constitui um

conjunto, que indicaremos com o smbolo e chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto,

{ }1,2, 3,4,5,...= . Deve-se a Giusepe Peano (18581932) a constatao de que o conjunto dos nmeros naturais

possui propriedades fundamentais, das quais resultam como consequncias lgicas, todas as

afirmaes verdadeiras que se pode fazer sobre esses nmeros, so os Axiomas de Peano. Uma

dessas propriedades fundamentais o Princpio da Induo um eficiente instrumento para a

demonstrao de fatos referentes aos nmeros naturais.

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Anlise Matemtica

para Licenciatura, pginas 1922.

1 Utilize o Princpio de Induo para mostrar cada um dos resultados.

a) ( ) 21 3 5 7 2 1n n+ + + + + = , para 1,2,3,4,...n = .

b) 2 2 2 2 2( 1)(2 1)

1 2 3 46

n n nn

+ ++ + + + + = , n .

c) 22 1n divisvel por 3, n .

d) Para todo natural 5n tem-se que 2 2nn < .

e) ( )1 1nx nx+ + , vlida para 1x e n . (Desigualdade de Bernoulli)


2 Defina conjunto finito e conjunto infinito. D exemplos.

3 Escreva a definio de conjunto limitado em . D exemplos de conjuntos limitados e no

limitados em .

4 Mostre que um conjunto A finito se, e somente se, limitado.

5 Seja X um conjunto finito e Y X . Mostre que ( ) ( )n Y n X .

6 Considere os conjuntos X e Y finitos, mostre que:

a) X Y finito.

b) ( ) ( ) ( ) ( )n X Y n X n Y n X Y= + .

7 Escreva a definio de conjunto enumervel.

8 Quando que um conjunto X no enumervel?

9 Verifique se so verdadeiras ou falsas as afirmaes abaixo. Demonstre as que so verdadeiras

e justifique ou d contra exemplos para aquelas que so falsas.

a) O conjunto { }1, 3, 6, 8, 9, 11X = no enumervel. b) O conjunto dos nmeros pares { }2, 4, 6, 8, 10, ...P = enumervel.

c) O conjunto dos nmeros inteiros no enumervel.

d) Todo conjunto infinito enumervel.

e) O conjunto dos nmeros racionais enumervel.

10 Sejam A e B conjuntos enumerveis. Mostre que:

a) O produto cartesiano A B enumervel.

b) A unio A B enumervel.


CAPTULO 2 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

um corpo

um corpo ordenado

um corpo ordenado completo

Conceitos de nfimo e supremo

no enumervel

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

1 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Introduo Anlise

Matemtica, pginas 1014.

2 Utilize a distributividade e o elemento oposto para mostrar que 0 0x = , x .

3 ,x y , mostre que se 0xy = ento 0x = ou 0y = .

4 Utilize a questo 3 para concluir que ,x y , 2 2 x y x y= = .

5 Considere , , ,a b c d . Mostre que:

a) Se a b> e c d> ento a c b d+ > + .

b) Se 0a b> > e 0c d> > ento ac bd> .

c) Se 0a > e 0b > e 2 2a b> ento a b> .

d) Se 0 a b< < ento 1 1b a < .

6 Sejam ,x y , mostre que:

a) x y x y

b) x y x y < < +

c) Se x < , para todo 0 > , ento 0x = .


d) Para quaisquer , ,x y z tem-se que x z x y y z + .

7 Determine todos os nmeros reais que satisfazem as equaes e inequaes apresentadas:

a) 3 1x = b) 5 3x x= c) 5 2 8x >

d) 2 1 1x + e) 3 3 8x x + + < f) 2 2 1x

g) 5 1x x < + h) 6(2 3) ( 2) 0x x+ i) 1 2 1x x +

8 Determine, caso seja possvel, o nfimo, mnimo, supremo e mximo de cada um dos seguintes

subconjuntos de :

a) { }; 2A x x=


CAPTULO 3 SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS

Sequncias reais: definio e conceitos

Limite de uma sequncia

Limites e desigualdades

Operaes com limites

Limites infinitos

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS

0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Anlise Matemtica

para Licenciatura, pginas 101105.

Seo 1: Limite de uma sequncia

1 Uma sequncia ( )nx diz-se peridica quando existe p tal que n p nx x+ = para todo

n . Prove que toda sequncia peridica convergente constante.

2 Dadas as sequncias ( )nx e ( )ny , defina ( )nz pondo 2 1n nz x = e 2n nz y= . Se

lim limn nx y a= = , prove que lim nz a= .

3 Se lim nx a= , prove que lim nx a= .

4 Se uma sequncia montona tem uma subsequncia convergente, prove que a sequncia , ela

prpria, convergente.

5 Um nmero a chama-se valor de aderncia da sequncia ( )nx quando limite de uma

subsequncia de ( )nx . Para cada um dos conjuntos , e A B C abaixo determine uma sequncia

que o tenha como conjunto dos seus valores de aderncia.

a) { }1,2, 3A = b) B = c) 0,1C =

6 A fim de que o nmero real a seja valor de aderncia de ( )nx necessrio e suficiente que,

para todo 0 > e todo k dados, exista n k> tal que nx a < .


7 A fim de que o nmero real b no seja valor de aderncia da sequncia ( )nx necessrio e

suficiente que existam 0n e 0 > tais que 0 nn n x b > .

Seo 2: Limites e desigualdades

1 Se lim nx a= , lim ny b= e n nx y para todo n , prove que a b .

2 Sejam lim nx a= e lim ny b= . Se a b< , prove que existe 0n tal que

0 n nn n x y> < .

3 Se o nmero real a no o imite da sequncia limitada ( )nx , prove que alguma subsequncia

de ( )nx converge para um limite b a .

4 Prove que uma sequncia limitada converge se, e somente se, possui um nico valor de

aderncia.

5 Quais so os valores de aderncia da sequncia ( )nx tal que 2 1nx n = e 21

nx n= ? Esta

sequncia converge?

6 Dados ,a b + , defina indutivamente as sequncias ( )nx e ( )ny pondo 1x ab= ,

1 2a b

y+

= e 1n n nx x y+ = , 1 2n n

n

x yy +

+= . Prove que ( )nx e ( )ny convergem para o mesmo

limite.

7 Diz-se que ( )nx uma sequncia de Cauchy quando, para todo 0 > dado, existe 0n tal

que 0, m nm n n x x > < .

a) Prove que toda sequncia de Cauchy limitada.

b) Prove que uma sequncia de Cauchy no pode ter dois valores de aderncia distintos.

c) Prove que uma sequncia ( )nx convergente se, e somente se, de Cauchy.

Seo 3: Operaes com limites

1 Prove que, para todo p , tem-se lim 1n p

nn

+

+= .


2 Se existem 0 > e k tais que knx n para todo n suficientemente grande, prove

que lim 1n nx = . Use este fato para calcular:

a) lim nn

n k+

+ b) lim n n n+

c) lim logn n d) lim logn n n

3 Dado 0a > , defina indutivamente a sequncia ( )nx pondo 1x a= e 1n nx a x+ = + . Prove

que ( )nx convergente e calcule seu limite L a a a= + + + .

4 Seja nnx a

ea

= o erro relativo na n-sima etapa do clculo de a . Prove que

2

1 2(1 )n

nn

ee

e+=

+. Conclua que 1 20,01 0,00005 0,00000000125n n ne e e+ + e observe

a rapidez de convergncia do mtodo.

7 Defina a sequncia ( )na indutivamente, pondo 1 2 1a a= = , 2 1n n na a a+ += + para todo

n . Escreva 1

nn

n

ax

a+

= e prove que lim nx c= , onde c o nico nmero positivo tal que

1 / (1 )c c+ = . O termo na chama-se n-simo nmero de Fibonacci e ( 5 1) / 2c = o nmero

de ouro da Geometria Clssica.

Seo 4: Limites infinitos

1 Prove que lim !n n = + .

2 Se lim nx = + e a , prove que lim log( ) log 0n nnx a x

+

+ = .

3 Dados k e 0a > , determine o !

limk nn

n

n a+.

Supondo que 0 a e< , calcule: a) !

limn

nn

n a

n+ b)

!lim

k n

nn

n n a

n+.

O caso em que a e= pode ser visto em .......


4 Mostre que log( 1)

lim 1lognn

n+

+= .

5 Sejam ( )nx uma sequncia arbitrria e ( )ny uma sequncia crescente, com lim ny = + .

Supondo que 1

1

lim n n

n n

x xa

y y+

+

=

, prove que lim n

n

xa

y= .

b) Conclua que se 1lim( )n nx x a+ = ento limnx an

= .

c) Em particular, se 1

lim log 1 0n

+ = , conclua que

loglim 0

n

n= .


CAPTULO 4 SRIES NUMRICAS REAIS

Sries numricas infinitas: definies e conceitos

Sries convergentes

Sries absolutamente convergentes

Testes de convergncia

Comutatividade

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM SRIES NUMRICAS REAIS

0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Introduo Anlise

Matemtica, pginas 6871.

Seo 1: Sries convergentes

1 Dadas as sries na e nb , com 1na n n= + e 1

log 1nb n

= + .

a) Mostre que lim lim 0n na b= = .

b) Calcule explicitamente as n-simas reduzidas ns e nt dessas sries e mostre que

lim limn ns t= = + , logo as sries dadas so divergentes.

2 Use o critrio da comparao para provar que 2

1

n convergente, a partir da convergncia

de 2

( 1)n n +.

3 Seja ns a n-sima reduzida da srie harmnica. Prove que para 2mn = tem-se 1

2nm

s > + e

conclua da que a srie harmnica divergente.

4 Mostre que a srie 2

1logn n n

= diverge.

5 Mostre que se 1r > a srie 2

1

(log )n rn n

= converge.


6 Prove que a srie2

logn

n converge.

7 Prove: se 1 2 na a a e na converge ento lim 0nnna

+= .

Seo 2: Sries absolutamente convergentes

1 Se na convergente e 0na para todo n ento mostre que:

a) a srie nna x absolutamente convergente para todo 1,1x .

b) sen( )na nx e cos( )na nx so absolutamente convergentes para todo x .

2 A srie 1 2 1 2 1 2 1 2 1

12 3 3 4 4 5 5 6 6

S = + + + + + tem termos alternadamente positivos

e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto divergente. Porque isto no contradiz

o Teorema de Leibniz?

3 D exemplo de uma srie convergente na e de uma sequncia limitada ( )nx tais que a srie n na x seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipteses seguintes for verificada:

(a) ( )nx convergente;

(b) na absolutamente convergente.

4 Prove que convergente a srie obtida alternando-se os sinais dos termos da srie harmnica,

de modo que fiquem p termos positivos ( p fixado) seguidos de p termos negativos,

alternadamente.

5 Se 0 nna

= absolutamente convergente e lim 0nb = , ponha 0 1 1 0n n n nc a b a b a b= + + + e prove que lim 0nc = .

6 Se na absolutamente convergente, prove que 2na converge.

7 Se 2na e 2nb convergem, prove que n na b converge absolutamente.


8 Prove: uma srie na absolutamente convergente se, e somente se, limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos na .

Seo 3: Testes de convergncia

1 Prove que se existir uma infinidade de ndices n tais que 1n na ento a srie na

diverge.

Se 0na para todo n e 1 1n

n

a

a+ para todo 0n n> ento na diverge.

Por outro lado, a srie 2 2 3 3

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

S = + + + + + + converge mas se tem 1 1n

n

a

a+ = para

todo n mpar.

2 Se 0 1a b< < < , a srie 2 2 3 3S a b a b a b= + + + + + + convergente. Mostre que o teste

de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de dAlembert inconclusivo.

3 Determine se a srie log

nn

n

convergente usando ambos os testes, de dAlembert e

Cauchy.

4 Dada uma sequncia de nmeros positivos nx , com lim nx a= , prove que

1 2limn

nnx x x a

+= .

5 Determine para quais valores de x cada uma das sries abaixo convergente:

a) k nn x b) n nn x c) n

n

x

n

d) ! nn x e) 2nx

n f)

Seo 4: Comutatividade

1 Se uma srie condicionalmente convergente, prove que existem alteraes da ordem dos seus

termos de modo a tornar sua soma igual a + e a .


2 Efetue explicitamente uma reordenao dos termos da srie 1 1 1 1 1

12 3 4 5 6

S = + + +

de modo que sua soma seja igual a zero.

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