Analise Estrutural Nbr 6118

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v. 11, n. 48, p. 117-141, 2009

TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL PARA ELEMENTOS LINEARES SEGUNDO A NBR 6118:2003

Fernando Fernandes Fontes1 & Libnio Miranda Pinheiro2

R e s u m o O objetivo da anlise estrutural determinar os efeitos das aes em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificaes de estados limites ltimos e de servio (NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto). A anlise estrutural consiste numa das principais etapas do projeto estrutural de um edifcio, pois ela compreende a escolha dos modelos tericos, que devem representar adequadamente a estrutura real, e do tipo de anlise, com relao ao comportamento dos materiais. Este trabalho considera os principais modelos estruturais usados em edifcios, e os conceitos relativos aos diferentes tipos de anlise permitidos pela Norma. Apresentam-se exemplos de elementos lineares calculados pelos diferentes tipos de anlise, com nfase na redistribuio de momentos fletores, empregando-se anlise linear com redistribuio ou anlise plstica. Ressalta-se a importncia da considerao de seo T nas vigas e os ajustes necessrios quando da considerao de uma envoltria de carregamentos. Este trabalho pretende diminuir a distncia entre os engenheiros de projeto e o meio acadmico, facilitando o entendimento da parte da NBR 6118:2003 que trata da anlise estrutural. Palavras-chave: Concreto armado. Anlise estrutural. Redistribuio. Anlise plstica.

TYPES OF STRUCTURAL ANALYSIS FOR LINEAR ELEMENTS ACCORDING TO BRAZILIAN CODE NBR 6118:2003

A b s t r a c t The structural analysis objective is to determine the actions effects in a structure, with the purpose of verifying the ultimate limit states and serviceability (Brazilian Code NBR 6118:2003 - Design of concrete structures). The structural analysis is one of the main parts of a building structural design, since it involves the choice of theoretical models that represent appropriately the real structure, and the type of analysis due to the materials behavior. This work considers the most common structural models used for buildings, and the concepts concerning the different types of analysis permitted by the Brazilian Code. It presents simple examples of linear elements computed by different types of analysis, emphasizing the possibility of moment redistribution, either with the linear analysis with redistribution or the plastic analysis. The importance of considering T-beam with moment redistribution is made clear, and lines of direction to consider alternate position of live loads are given. This work intends to shorten the distance between design engineers and the academic world, providing a clearer vision of the NBR 6118:2003 structural analysis approach. Keywords: Reinforced concrete. Structural analysis. Moment redistribution. Plastic analysis.

1 INTRODUO

A anlise de uma estrutura consiste em determinar esforos solicitantes e deslocamentos, por meio de modelos matemticos, aps a idealizao de diversos fatores, como o comportamento das aes, dos materiais constituintes, das ligaes entre os elementos e da resposta destes frente s aes.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas EESC-USP, [email protected] 2 Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Fernando Fernandes Fontes e Libnio Miranda Pinheiro


118

Segundo a NBR 6118:2003, o objetivo da anlise estrutural determinar os efeitos das aes em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificaes de estados limites ltimos e de servio (ELU e ELS).

Essa Norma trouxe inovaes significativas para o projeto de estruturas de concreto, inclusive na anlise estrutural. Houve um avano do conhecimento em redistribuio de esforos, via anlise linear com redistribuio ou via anlise plstica, e sobre no-linearidades do comportamento dos materiais e das estruturas, como no caso do clculo dos deslocamentos, em que se utiliza uma rigidez equivalente no clculo das flechas, para considerar a fissurao do concreto. A NBR 6118:2003 traz indicaes acerca dessas anlises mais requintadas, bem como fornece diretrizes sobre o campo de validade e as condies especiais para aplicao de cada uma delas.

Portanto, importante conhecer os diferentes tipos de anlise, com relao ao comportamento admitido para os materiais da estrutura, principalmente os que permitem o clculo analtico, situao que corresponde mais usual, na prtica de projetos. Alm disso, conceitos como o de largura colaborante das lajes junto s vigas, quando associados com anlises do tipo linear, linear com redistribuio e plstica, so muito teis na concepo de projetos.

2 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL

A NBR 6118:2003 permite cinco tipos de anlise, quanto ao comportamento do concreto armado, e exige que o projeto apresente conformidade com pelo menos um desses modelos. Em todos eles, so admitidos pequenos deslocamentos para a estrutura.

2.1 Anlise linear

Este tipo de anlise considera os materiais elstico-lineares. A elasticidade de um material est associada tendncia de voltar configurao inicial, aps ter sofrido deformaes decorrentes de aes externas, com posterior alvio de carregamento. Alm disso, considera-se uma relao linear entre tenses e deformaes, dada pelo mdulo de elasticidade (E), valor este que caracterstico de cada material. LEONHARDT & MNNIG (1977) afirmam que o concreto s tem um comportamento puramente elstico para tenses baixas e de curta durao, ou at aproximadamente 1/3 da resistncia compresso.

Como simplificao, pode-se utilizar, para clculo da rigidez dos elementos estruturais lineares, o momento de inrcia da seo bruta de concreto. Na anlise linear, para determinao de esforos solicitantes e verificao de estados limites de servio, deve-se utilizar o mdulo de elasticidade secante (Ecs), cujo valor 85% do mdulo de elasticidade tangente inicial (Eci), correspondente inclinao do incio da curva tenso versus deformao. Segundo a NBR 6118:2003:

Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 5600 fCK1/2 (1)

A anlise linear geralmente empregada na verificao dos ELS, sendo utilizada para ELU somente em situaes que se possa garantir a dutilidade dos elementos estruturais. Pode-se considerar, como garantia de dutilidade, o dimensionamento nos domnios 1, 2 e 3 e a limitao da posio relativa da linha neutra, x/d, junto aos apoios e em regies de ligao entre os elementos. Essa limitao de x/d ser apresentada no item 2.2. Para o clculo de flechas, faz-se necessria a considerao da fissurao, que pode ser feita com a inrcia equivalente de Branson, e da fluncia.

Tipos de anlise estrutural para elementos lineares segundo a NBR 6118:2003


119

2.2 Anlise linear com redistribuio

Uma vez realizada a anlise linear de uma estrutura, pode-se considerar uma redistribuio dos esforos calculados, decorrente da variao de rigidez dos elementos estruturais. A fissurao, e a consequente entrada no estdio II, de determinadas sees transversais, provoca um remanejamento dos esforos solicitantes, para regies de maior rigidez.

Segundo PRADO & GIONGO (1997), essa fissurao pode diminuir de 20 a 70% a rigidez flexo da seo de concreto, dependendo da taxa de armadura.

Em suma, a anlise linear com redistribuio promove a reduo de momentos fletores em apoios de vigas contnuas, e o respectivo aumento dos momentos nos vos. A redistribuio se d pela multiplicao dos momentos nos apoios por um coeficiente de redistribuio , e posterior correo dos momentos nos vos (Figura 1).

M2

M2c

M1 M2

.M'

p

M'

M2cM1c

Figura 1 Diagramas de momentos fletores sem e com redistribuio.

Para elementos lineares, a NBR 6118:2003 permite reduo de at 25% ( = 0,75) para

estruturas de ns fixos e de at 10% ( = 0,90) para estruturas de ns mveis, dependendo de x/d e de fck, como indicado nas equaes 2 e 3:

0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck 35 MPa (2) 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa (3)

Quanto menor o valor de x/d calculado no ELU, menor a rea de concreto comprimido, e mais o ao, material mais dctil que o concreto, passa a ser o limitante da resistncia da seo.

A NBR 6118:2003 limita o valor de x/d, nos apoios e nas regies de ligao entre elementos estruturais, mesmo que no sejam realizadas redistribuies de esforos solicitantes, aos seguintes valores:

x/d 0,50 para concretos com fck 35 MPa (4) x/d 0,40 para concretos com fck > 35 MPa (5)



120

Em pilares, consolos e elementos lineares com preponderncia de compresso, a redistribuio de esforos s deve ser feita se ela for consequncia de redistribuies em vigas ligadas a eles, uma vez que essas peas comprimidas no apresentam grande dutilidade.

A NBR 6118:2003 prescreve ainda que no desejvel que haja redistribuio de esforos em servio, e que as verificaes de ELS podem ser baseadas na anlise linear.

No caso de vigas T, o efeito da redistribuio ainda mais benfico, j que nos vos a rea de concreto comprimido maior, pois conta com a mesa da seo T. LEONHARDT & MNNIG (1979) mostram que possvel reduzir em at 50% os momentos nos apoios, em vigas com a largura da mesa em torno de trs vezes a largura da alma, e com isso aumentar a capacidade de carga da viga.

2.3 Anlise plstica

A propriedade do material de guardar deformaes residuais chamada de plasticidade. As principais teorias envolvidas em projetos, que permitem que elementos estruturais sofram certas deformaes permanentes, so a teoria das rtulas plsticas, para elementos lineares, e a teoria das charneiras plsticas, para elementos de superfcie que trabalhem como placas.

Ao se aumentar continuamente o carregamento de uma viga, por exemplo, um ou mais pontos crticos de momento mximo podero entrar em escoamento, dando origem a articulaes, ou rtulas plsticas.

Uma rtula plstica caracterizada por um aumento plstico da curvatura que pode atingir valor de duas a trs vezes maior que o calculado elasticamente. Esse efeito restringe-se a um comprimento de plastificao, em torno dos pontos de momento mximo, nos quais o momento fletor no aumenta mais e passa a ser chamado de momento totalmente plstico, Mp.

A mnima carga capaz de provocar na estrutura um escoamento sem conteno, ou responsvel pela formao de um determinado nmero de rtulas plsticas, que torne a estrutura, ou parte dela, em um sistema hiposttico, d origem a um mecanismo de colapso, e chamada de carga limite.

Em estruturas hiperestticas, existe uma reserva de capacidade resistente, visto que, geralmente, necessria a formao de mais de uma rtula plstica para que se forme um mecanismo de colapso.

No caso do concreto armado, o momento de plastificao pode ser considerado como aquele que provoca o aparecimento do estado limite ltimo (c = -0,35% ou s = 1%). Por ser um material de natureza frgil, para a ocorrncia de um nmero de rtulas plsticas que d origem a um mecanismo de colapso, necessrio verificar a capacidade de rotao de cada rtula. A rotao necessria pode ser quantificada pela diferena entre a rotao total no colapso e aquela que d incio plastificao.

A NBR 6118:2003 traz a considerao de que quanto menor for o valor de x/d, referente posio relativa da linha neutra, maior ser a capacidade de rotao do elemento estrutural.

Em funo de x/d, na Figura 2 fornecido um grfico de capacidade de rotao, pl. Este grfico vlido para uma relao a/d igual a 6 (a a distncia entre pontos de momento nulo da regio que contm a seo plastificada). Para outras relaes a/d, devem-se multiplicar os valores extrados do grfico por ( ) 6 / d / a . A rotao necessria deve ser menor ou igual capacidade de rotao dada pela Norma.

A plastificao em concreto armado se d pelo escoamento da armadura, diminuindo o valor de x referente posio da linha neutra e aumentando o brao de alavanca obtido em regime elstico. No entanto, o momento resistente permanece praticamente constante at a ruptura, pois o aumento do brao de alavanca apenas compensa a diminuio da zona de concreto comprimido.



121

A partir dessas consideraes, MORETTO (1970) observa que o diagrama momento curvatura do concreto armado pode, simplificadamente, ser aproximado para duas retas, como no ao, com o momento de plastificao igual ao momento ltimo.

A redistribuio de esforos pode ser feita com maior intensidade que na anlise linear com redistribuio, desde que as rtulas plsticas apresentem as devidas capacidades de rotao plstica.

Nota-se que o clculo plstico tem boa aplicabilidade nas estruturas simples de elementos lineares, em que se conhece previamente a posio preferencial de formao das rtulas plsticas (essa posio pode ser imposta pela disposio da armadura).

A anlise plstica de estruturas reticuladas no permitida quando se consideram os efeitos de segunda ordem globais.

Na anlise plstica, preocupa-se com o ELU e no se conhece o comportamento em servio. A verificao de ELS deve ser efetuada com uma anlise linear ou no-linear.

-3

30

20

10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/d

pl(x10 )

ao CA-60 (curva 1)

demais aos (curva 2)

Curva 1: pl = 0,2% d/x p/ x/d 0,17Curva 2: pl = 0,35% d/x p/ x/d 0,15

1

2

Figura 2 Capacidade de rotao plstica (Adaptada da NBR 6118:2003).

2.4 Anlise no-linear

Um material de comportamento no-linear aquele que apresenta uma relao no-linear entre tenses e deformaes, ou seja, essa relao no pode ser definida por uma constante.

A implementao da anlise no-linear vem sendo feita no clculo usual, de forma lenta, mas constante. J foram desenvolvidos mtodos simplificados que, acoplados anlise linear, trazem resultados mais fiis realidade.

Uma anlise completamente no-linear ainda exige esforos computacionais muito grandes. Sua maior complexidade deve-se principalmente ao fato de que toda a geometria da estrutura bem como suas armaduras (estimadas por anlise linear) devem ser previamente conhecidas, o que requer um clculo iterativo.

Ao final de cada etapa, tm-se novos esforos, que permitem o clculo de uma armadura diferente. Essa nova armadura passa a ser utilizada na iterao seguinte. O processo se repete at que a armadura obtida seja prxima da relativa etapa anterior.

usual a diviso em no-linearidade fsica (NLF) e no-linearidade geomtrica (NLG). A NLF refere-se ao comportamento no-linear entre tenses e deformaes. Sua considerao

envolve a determinao da rigidez de cada seo transversal, com variao da quantidade e da disposio de armadura, e do grau de solicitao, a partir das relaes constitutivas dos materiais.



122

Um modo mais simples de considerar a NLF embutindo-a na anlise linear, com uma reduo na inrcia bruta da seo transversal. A NBR 6118:2003 prescreve uma reduo desse tipo na anlise dos esforos globais de segunda ordem.

A NLG considera a relao no-linear entre deformaes e deslocamentos e o equilbrio na posio deformada das estruturas. Ela leva em conta os efeitos de segunda ordem, provenientes da anlise da estrutura em sua posio deformada, e que devem ser somados aos efeitos de primeira ordem.

Normalmente as estruturas apresentam uma resposta no-linear aos efeitos de segunda ordem, ou seja, os deslocamentos extras no so diretamente proporcionais ao carregamento aplicado.

A considerao da NLG, assim como na NLF, deve ser feita por meio de anlise incremental, iterativa, ou incremental-iterativa, a partir da qual se tem a atualizao da geometria deformada, para cada passo de carga ou iterao.

Simplificadamente, os esforos de segunda ordem podem ser estimados com o coeficiente z ou com o processo P-Delta.

O comportamento no-linear fsico do concreto armado em servio pode ser modelado de duas maneiras: por meio das relaes entre tenses e deformaes do concreto e do ao, ou via diagramas momento versus curvatura, de uma seo transversal.

Os modelos baseados em relaes entre tenses e deformaes podem ser chamados de modelos constitutivos, e exigem, alm da discretizao dos elementos estruturais em trechos de armadura constante, a estratificao das sees em camadas, ao longo das quais realizada a integrao das tenses normais. As sees so divididas nos chamados pontos de Gauss, os quais, em maior nmero, fornecem resultados mais precisos de esforos internos.

J os modelos baseados em diagramas momento versus curvatura so chamados de modelos mecnicos, e trazem o problema no-linear para o mbito mais macroscpico de sees, e no mais de pontos quaisquer da estrutura.

As peas fletidas de concreto armado so dimensionadas no Estdio III, porm, com coeficientes de segurana.

Em servio, em geral h sees fissuradas e sees no fissuradas, apresentando comportamento intermedirio entre os dos estdios I e II. Isso se deve, entre outros fatores, contribuio do concreto intacto entre fissuras, na resistncia trao, tambm conhecida como tension stiffening.

A NBR 6118:2003, no seu item 17.3.2.1.1, recomenda o modelo emprico de Branson para determinar o valor de uma rigidez equivalente flexo, a ser utilizada na verificao do estado limite de deformaes excessivas (ELS-DEF).

2.5 Anlise atravs de modelos fsicos

O emprego de modelos fsicos no comum, pois seu custo elevado e sua utilizao requer equipamentos sofisticados de laboratrio e pessoal especializado.

A NBR 6118:2003 sugere a anlise atravs de modelos fsicos quando os modelos de clculo forem insuficientes, ou estiverem fora do escopo da Norma.

Geralmente, esse tipo de anlise utilizado em obras de grande importncia, em termos de prestgio pblico ou de quantidade de capital investido, servindo para aferir ou ratificar resultados baseados em clculos analticos.



123

2.6 Comentrios

Deve-se ter em mente, ao final da apresentao dos possveis tipos de anlise estrutural, que cada estrutura merece um estudo individual, qual se deve aplicar as teorias que mais lhe convierem, para a sua resoluo.

Buscas por anlises mais realistas devem estar sempre presentes nos projetos estruturais, tomando-se sempre precaues quanto segurana.

A utilizao de anlise plstica, no-linear ou linear com redistribuio s deve ser realizada se amparada pelo amplo domnio do assunto.

Quanto aos estados limites, a Tabela 1 indica resumidamente a que verificao se destinam os vrios tipos de anlise estrutural.

Tabela 1 Tipos de anlise estrutural e suas aplicaes

Anlise VerificaoLinear ELU* e ELS

Linear com Redistribuio ELUPlstica ELU

No-Linear ELU e ELSAtravs de Modelos Fsicos ELU e ELS

* se garantida a dutilidade dos elementos estruturais

3 VIGA COM SEO RETANGULAR

Ser realizada a anlise estrutural e o dimensionamento da viga V1, indicada na Figura 3, por meio de anlise linear, anlise linear com redistribuio e anlise plstica.

Essa viga encontra-se com suas extremidades apoiadas em outras duas vigas (sero considerados apoios simples nas sees 1 e 3), um apoio central em um pilar (seo 2), e recebe duas foras concentradas provenientes de dois pilares que nascem nos pontos mdios de seus tramos (sees 4 e 5, onde ocorrem os mximos momentos nos vos).

Este ser o nico carregamento considerado, supondo-o constitudo por aes permanentes.

4

L/2 = 300cm

RI RII

1Pk = 120 kN

25 RIII

3Pk = 120 kN

L/2 = 300cm L/2 = 300cm L/2 = 300cm

20 2050

310 310

565 565

Figura 3 Viga V1 (25 cm x 50 cm).



124

Considera-se que a viga V1 est localizada em ambiente interno (Classe de Agressividade Ambiental I para ambientes urbanos), participa de uma estrutura de ns fixos, com concreto C25, ao CA-50 para a armadura longitudinal e CA-60 para a armadura transversal.

O cobrimento de 2,5 cm e a distncia d, do centro de gravidade da armadura longitudinal borda mais prxima, foi inicialmente admitida igual a 4 cm.

Adotou-se um detalhamento padronizado para todas as anlises, sempre com quatro barras de mesmo dimetro fictcio, para a armadura de flexo, e estribos tambm de dimetro fictcio, que proporcionassem o maior espaamento possvel (Figura 4).

O mesmo dimetro fictcio dos estribos foi utilizado para os porta-estribos.

t e st referem-se respectivamente ao dimetro e ao espaamento dos estribos. 2, 4 e 5 so os dimetros fictcios calculados para as sees 2, 4 e 5, respectivamente.

3.1 Anlise linear

Apresentam-se os esforos, obtidos em uma anlise linear, e os dimensionamentos flexo e ao cisalhamento.

a) Esforos Os momentos fletores so indicados na Figura 5, e os esforos cortantes na Figura 6, ambos

com valores de clculo.

N5

Corte AA

N4

N1

50

25

2,5

2,5

V2

20

N1 - 2 t (comp.)

A

565

A

N620

7 ou (10 t)

45

N2

N3

N5

50

Corte BB

25

N2 - 2 2 (comp.)

B

50

P1

565

B

N6 t c/ st (estribos)

V3

20

8.5

N1 - 2 t (comp.)

2.st

N3 - 2 2 (comp.)

N4 - 2 4 (comp.) N4 - 2 5 (comp.)

N5 - 2 4 (comp.) N5 - 2 5 (comp.)8.410.4

10.5

Figura 4 Detalhamento padro da viga V1.



125

189,00

157,50 157,50

1

4

2

5

3

Figura 5 Momentos fletores de clculo para a anlise linear (kN.m).

52,50

52,50

115,50

115,50

24

15 3

Figura 6 Esforos cortantes de clculo para a anlise linear (kN).

b) Flexo Seo 4 = Seo 5

Md = 157,5 kN.m; x/d = 0,276; As = 8,85 cm2 (4 = 5 = 16,8) Seo 2

Md = 189 kN.m; x/d = 0,341; As = 10,94 cm2 (2 = 18,7) c) Cisalhamento

VSd = 115,5kN (6)

VSd,min = Vc + Vsw,min = 88,49 + 46,17 = 134,66 kN > VSd (7)

Ser utilizada armadura mnima ao longo de toda a viga.

asw,min = (100 . sw,min . b) / 2 = 1,28 cm/m (8) stmax = 0,6 . 46 27 cm (t de 6,6 mm) (9)

d) Estado limite de formao de fissuras (ELS-F) Os esforos em servio so menores, o que exige combinaes de servio para as diferentes

verificaes de ELS. Para a combinao rara tem-se M4 = M5 = 112,50 kN.m e M2 = 135 kN.m. Seo 2: 13500 kN.cm > Mr = 2805 kN.cm h a formao de fissuras. e) Estado limite de deformao excessiva (ELS DEF)



126

O momento em servio para o ELS-DEF calculado com a combinao quase-permanente, que, neste caso especfico, igual combinao rara.

( ) 2II3

a

rc

3

a

rcseq kN.cm 261677301I M

M 1I MM EEI =

+

= (10)

( ) ( )

=



127

c) Estados limites de servio A verificao dos ELS para anlise linear com redistribuio feita da mesma forma que para

a anlise linear, pois os esforos advm das combinaes de servio. A diferena encontra-se somente na armadura que foi dimensionada para os momentos redistribudos. Desta forma, h a formao de fissuras, a flecha foi reduzida para 2 cm, e a abertura de fissuras na seo aumentou para 0,23 mm.

3.3 Anlise plstica

Deseja-se, com a anlise plstica, chegar mesma disposio de armaduras que se mostrou possvel por meio da anlise linear com redistribuio (M2d = M4d = M5d). Portanto, as armaduras e o detalhamento so os mesmos. Necessita-se, no entanto, verificar a capacidade de rotao plstica da viga no apoio central e, apesar de no ser vantajoso para sees retangulares (desequilbrio entre armaduras negativas e positivas), testar-se- a mxima redistribuio permitida com armadura simples, e seu fator limitante.

Para melhor entendimento da anlise plstica, imagina-se que as cargas P aumentem gradualmente. Dada uma viga sem problemas de concretagem, com suas sees crticas (2, 4 e 5) igualmente armadas (momentos plsticos iguais), a primeira a plastificar a seo 2, do apoio central. Se ela tiver capacidade de acomodao plstica, origina-se um novo esquema esttico, formado por dois tramos simplesmente apoiados. O momento nesse apoio passa a ser constante e igual a M2p.

A fora necessria para formar a primeira rtula plstica, P1r, dada na Equao 13, em funo do momento fletor M2p que plastifica a seo 2 (Figura 8):

kN 149,33600 . 3

16800 . 16L 3M 16

P 2p1r === (13)

R1

M2p = 168kN.m

R2

P1r

R3

P1r

(5/6).M2p = 140kN.m (5/6).M2p = 140kN.m

Figura 8 Formao da primeira rtula plstica.

Mantendo-se o aumento gradual das foras P e o valor constante do momento na seo 2,

M2p, duas rtulas se formaro simultaneamente nas sees 4 e 5. Para tal, necessrio dar um acrscimo de fora P2r, fora P1r, responsvel, isoladamente, pelo diagrama da Figura 9.



128

Figura 9 Momentos fletores gerados pelo acrscimo de carga P2r .

O momento de plastificao das sees 4 e 5 , portanto, igual soma do momento que

existia, ao se formar a primeira rtula, com o causado unicamente pelo acrscimo P2r (ver Equao 14). O mecanismo de colapso e o respectivo diagrama de momentos encontram-se na Figura 10.

4L P

6M 5

M 2r2p4p += (14)

M4p = 168kN

R1

M2p = 168kN.m

R2

P1r + P2r = 168kN

R3

P1r + P2r = 168kN

M4p = 168kNa = 300cm

Figura 10 Formao do mecanismo de colapso.

a) Rotao necessria

A soma das rotaes decorrentes do acrscimo P2r, esquerda (p2e) e direita (p2d) do apoio da seo 2, fornece o valor da rotao necessria p2 nesse apoio, para a formao do mecanismo de colapso. A rotao da seo 2 calculada elasticamente, com a considerao de uma fora P2r atuando no centro de uma viga biapoiada de vo L. Uma vez que o concreto j se encontra fissurado, na formao de uma rtula plstica, utiliza-se o produto de inrcia EI referente ao estdio II:

rad10 . 3,24108841 . 2380 . 16600 . 18,67 . 2

EI 16L P

EI 16L P

3-22

2r2

2rp2dp2ep2 ==+=+= (15)

b) Capacidade de rotao plstica

A capacidade de rotao plstica (pA) da seo 2 calculada a partir da Figura 2, adaptada da NBR 6118:2003, que permite o uso da Equao 17, para o ao CA-50.

a / d = 300 / 46 = 6,52 (16)

( )6

6,52 0,297

1 3,56

a/d xd 3,5 1000 pl == (17)



129

rad10 . 12,29 3pl= (18)

Como p2 < pA, a capacidade de rotao atende rotao necessria redistribuio. c) Mxima redistribuio Nota-se uma folga significativa da rotao necessria, em relao capacidade de rotao da

seo 2. Com o intuito de analisar a mxima redistribuio permitida pela anlise plstica, diminui-se gradativamente o coeficiente de redistribuio a intervalos de 0,05 (ver Tabela 2). O valor limite encontrado foi inferior a = 0,65, bem abaixo, portanto, daquele permitido por uma anlise linear com redistribuio.

Tabela 2 Maior redistribuio possvel com a anlise plstica

0,80 0,75 0,70 0,65 0,60P1r (kN) 134,40 126,00 117,60 109,20 100,80

P2r (kN) 33,60 42,00 50,40 58,80 67,20M2p (kN.m) 151,20 141,75 132,30 122,85 113,40

As (cm) - Seo 2 8,45 7,86 7,27 6,70 6,14x/d - Seo 2 0,263 0,245 0,226 0,209 0,191

M4p (kN.m) 176,40 181,13 185,85 190,58 195,30As (cm) - Seo 4 10,09 10,40 10,73 11,05 11,38

a (m) 2,77 2,63 2,50 2,35 2,202p (x10-3 rad) 6,40 8,47 10,80 13,45 16,50pA (x10-3 rad) 13,33 13,98 14,69 15,48 16,36

Para igual a 0,60, a rotao necessria da seo 2 maior que a sua capacidade de rotao, e este fato impede a redistribuio de momentos at esse ponto, excetuando-se a possibilidade de utilizar armadura dupla (ver prximo exemplo). Outro fator a limitar maior redistribuio seria o ELS-W da seo 2, pois, medida que o momento no apoio reduzido, sua armadura de flexo tambm diminui. No entanto, o ELS-W continua sendo verificado com a combinao frequente de servio. Para = 0,60, obteve-se uma abertura de 0,35 mm, ainda menor que a abertura limite de 0,40 mm.

3.4 Consumo de ao

Com anlise linear, a viga V1 apresentou um consumo de ao de 127,1 kg. J para anlise linear com redistribuio ( = 8/9) e para anlise plstica ( = 8/9), o consumo foi de 126,5 kg, ou seja, praticamente o mesmo da anlise linear.

4 VIGA COM SEO T

Ser analisada a viga V2 do pavimento indicado na Figura 11, para as condies: anlise linear e seo retangular, anlise linear e seo T, anlise linear com redistribuio e seo T, e anlise plstica e seo T.



130

V1 25 x 80

V4

25 x

80

P130x50

P230x50

P330x50

P430x50

P530x50

L1h=12

L2h=12

L3h=12

L4h=12

45050 25 450 50

2530

470

3047

0

V2 25 x 50

V3 25 x 80

V5

25 x

50

V6

25 x

80

Figura 11 Forma do pavimento.

Alm dos vos e dos carregamentos, a viga V2 tem as mesmas caractersticas descritas para

a viga do exemplo anterior, inclusive com o mesmo tipo de detalhamento para as armaduras. O revestimento da laje pesa 1,0 kN/m, a sobrecarga de 2,0 kN/m, o p-direito de 2,80 m e

a alvenaria sobre as vigas contribui com 2,5 kN/m de parede pronta. Ser analisada somente a combinao ltima de carregamentos 1,4(g+q). As sees 4 e 5 so

as do primeiro e do segundo vo, respectivamente, em que o momento positivo mximo. Neste exemplo, adota-se uma estratgia de resoluo diferente quanto aplicao da

redistribuio.

No exemplo anterior escolheu-se um que igualasse os momentos nos vos e nos apoios, para em seguida verificar se, dimensionando com armadura simples, a posio relativa da linha neutra x/d atendia s prescries normativas.

Agora ser imposta a redistribuio desejada e, caso a armadura simples no seja suficiente para se ter o valor necessrio de x/d, ser utilizada armadura dupla, a fim de diminuir a distncia da linha neutra at a face comprimida.

4.1 Anlise linear Seo retangular

Tem-se, para anlise linear, o diagrama de momentos fletores tracejado da Figura 13. As verificaes de ELU e ELS so feitas da mesma maneira que na anlise linear, do exemplo anterior.



131

Ressalta-se apenas a importncia de, no clculo da armadura de flexo da seo 2, limitar o valor de x/d a no mximo 0,500:

M2d = 454,93 kN.m; x/d = 0,500; As = 26,90 cm2 (4 29,3); As = 10,84 cm (4 18,6)

4.2 Anlise linear Seo T

Os esforos so os mesmos da anlise linear para seo retangular. Portanto, a distncia a, entre os pontos de momento nulo, igual a 3,75 m. A largura colaborante bf dada pela Equao 19, de acordo com o item 14.6.2.2 da NBR 6118:2003.

cm100375) . (0,10 225a) (0,10 2bb wf =+=+= (19) Com a largura colaborante da viga V1, podem ser realizadas as demais verificaes exigidas

pela Norma, para a viga V2, na Figura 12 e nas equaes 20 e 21.

b2 = 475cmV1 V2

b1V1 = 60cm b1V2 = 37,5cm

Figura 12 Verificaes exigidas pela NBR 6118:2003.

( )m60,0b1V1

= < (b2 / 2 = 2,375 m) ok (20)

( )m375,0b2V1

= < (b2 / 2 = 2,375 m) ok (21)

Nas sees 4 e 5, a linha neutra passa pela mesa da seo. Portanto, pode-se considerar, no clculo, uma seo retangular de 100 cm x 50 cm. J no clculo da armadura de flexo da seo 2 e da armadura transversal, tem-se a seo retangular de 25 cm x 50 cm. Portanto, os resultados so os mesmos da anlise linear com seo retangular.

M4d = M5d = 255,88 kN.m; x/d = 0,104; As = 13,35 cm2 (4 20,6)

4.3 Anlise linear com redistribuio Seo T

O momento da seo 2 acentuadamente maior que os momentos mximos nos vos. Por isso, para maior aproveitamento da seo T, ser utilizada a mxima redistribuio permitida pela anlise linear com redistribuio, para estruturas de ns fixos, ou seja, = 0,75. O valor necessrio de x/d dado pelas equaes 22 e 23.

0,44 + 1,25 (x / d) (22) x/d = (0,75 - 0,44) / 1,25 = 0,250 (23)

Na Figura 13 tem-se o diagrama de momentos redistribudos (linhas cheias). Os esforos cortantes tambm so modificados com a redistribuio de momentos.



132

203cm

300,29

1

454,93 0,75 x 454,93 = 341,20

94cm

2

255,883

Figura 13 Momentos fletores de clculo para a anlise linear sem e com redistribuio (kN.m).

Manteve-se o valor previamente calculado de bf = 100 cm (a favor da segurana). A seguir

tem-se o dimensionamento flexo das sees 2, 4 e 5:

M2d = 341,20 kN.m; x/d = 0,250; As = 18,80 cm2 (4 24,5); As = 10,77 cm (4 18,5) M4d = M5d = 300,29 kN.m; x/d = 0,123 (linha neutra na mesa); As = 15,79 cm2 (4 22,4) Os ELS foram verificados com as devidas combinaes, sem redistribuio.

4.4 Anlise plstica Seo T

A anlise plstica pode ser feita de modo anlogo anlise linear com redistribuio, apenas com uma modificao no tipo de verificao a ser feita com o valor de x/d. Uma vez reduzido o valor de M2, tem-se o valor de M2p, que ser atingido com a formao da primeira rtula e permanecer constante at a formao da segunda rtula.

M2p = M2 (24) Para a viga V2, em que L = 5 m e pd o valor de clculo do carregamento (145,57 kN/m), a

ao distribuda responsvel pela formao da primeira rtula e o seu acrscimo que provoca a segunda rtula, so dados pelas equaes 25 e 26, respectivamente.

22p

1r LM 8

p = (25)

p2r = p p1r (26) Com a anlise dos tramos isolados, tem-se os seguintes momentos para as sees 4 e 5,

quando se formam as novas rtulas plsticas:

2

22p2p

2

5p4p L p 2M

2M

8L pMM +== (27)

Como no exemplo anterior, a rotao necessria na seo 2 para a formao do mecanismo de colapso calculada com o acrscimo de carregamento p2r. Devido primeira rtula, consideram-se os dois tramos biapoiados e calculam-se as rotaes esquerda e direita da seo 2. Para aes uniformemente distribudas, tem-se:

=+=

EI 24L p 2

32r

p2dp2ep2 (28)



133

O produto de inrcia EI refere-se ao estdio II. Portanto, depende da armadura calculada para a seo 2, que decorrente do valor fixado de x/d e do valor de M2p. A capacidade de rotao, pA, depende tambm do valor de x/d e da distncia a entre pontos de momento nulo, da regio que contm a seo 2. A largura bf da seo T ser mantida igual a 100 cm e a altura til igual a 46 cm.

L pM 4

a 2p= (29)

( )6

d / a xd 0,0035pl = (30)

A Tabela 3 traz combinaes de resultados para valores pr-fixados de x/d, a partir dos quais se procura o mnimo valor possvel de (maior redistribuio possvel), sem que 2p ultrapasse pA.

Tabela 3 Combinaes de valores de x/d e x/d - Seo 2 0,150 0,170 0,190 0,210 0,230 0,250 0,270 0,290 0,310 0,330 0,350

0,56 0,60 0,63 0,65 0,67 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75p1r (kN/m) 81,52 87,34 91,71 94,62 97,53 100,44 103,35 104,81 106,27 107,72 109,18

p2r (kN/m) 64,05 58,23 53,86 50,95 48,04 45,13 42,22 40,76 39,30 37,85 36,39M2p (kN.m) -254,75 -272,94 -286,59 -295,69 -304,79 -313,89 -322,98 -327,53 -332,08 -336,63 -341,18

As (cm) - Seo 2 13,81 14,83 15,62 16,17 16,73 17,30 17,89 18,23 18,59 18,96 19,34A's (cm) - Seo 2 25,10 19,40 15,49 12,53 10,41 9,27 9,22 8,92 8,63 8,36 8,10

M4p (kN.m) 336,45 328,67 322,90 319,07 315,28 311,50 307,75 305,88 304,02 302,16 300,31As (cm) - Seo 4 17,81 17,37 17,05 16,84 16,62 16,41 16,21 16,10 16,00 15,89 15,79

Soma das reas de armaduras (cm) 56,72 51,60 48,16 45,54 43,76 42,98 43,32 43,25 43,22 43,21 43,22

a (m) 1,40 1,50 1,58 1,63 1,68 1,73 1,78 1,80 1,83 1,85 1,882p (x10-3 rad) 16,60 14,65 13,31 12,50 11,67 10,79 9,86 9,41 8,97 8,54 8,12pA (x10-3 rad) 16,62 15,18 13,92 12,79 11,85 11,07 10,40 9,75 9,18 8,68 8,24

4.5 Consumo de ao

O consumo de ao indicado na Tabela 4.

Tabela 4 Consumo de ao

Tipo de anlise Seo transversal Consumo (kg)Diferena em relao anlise linear com seo retangular (%)

Anlise linear Retangular 278,2 0,0Anlise linear T 259,7 -6,7

Anlise linear com redistribuio ( = 0,75) T 241,5 -13,2Anlise plstica ( = 0,69) T 242,9 -12,7Anlise plstica ( = 0,75) T 237,0 -14,8

5 REDISTRIBUIO EM PILARES E ENVOLTRIA DE ESFOROS

Ser analisada, neste item, a mesma viga V2 do item anterior. Porm, agora ela ser admitida apoiada em pilares nas extremidades (ver Figura 14). Os dados permanecem os mesmos, com pequenas mudanas apenas nos vos efetivos das vigas. Alm disso, considera-se que as lajes L1 e L3 esto submetidas a aes variveis simultaneamente, ou no, bem como as lajes L2 e L4, criando trs situaes a serem abrangidas pela envoltria de carregamentos.



134

P430x50

P550x30

P630x50

V2 25x50

Figura 14 Viga V2 apoiada em pilares.

Admite-se que o pavimento analisado o ltimo pavimento tipo. Portanto, os tramos

calculados dos pilares recebem as aes provenientes da cobertura (considerada com 60% do peso de um pavimento tipo) e do prprio pavimento.

O detalhamento dos pilares foi padronizado em seis barras de dimetro fictcio, com trs delas localizadas em cada uma das faces de maior dimenso da seo.

O detalhamento da viga V2 segue a padronizao dos exemplos anteriores. Foram realizadas as anlises: linear e seo retangular e linear com redistribuio e seo T.

Em ambos os casos, os esforos na viga V2 e nos pilares P4, P5 e P6 foram encontrados por meio do modelo de viga contnua (ver item 14.6.7.1 da NBR 6118:2003).

5.1 Anlise linear Seo retangular

Apresentam-se os esforos na viga V2, as respectivas armaduras, as verificaes de ELS na V2, os esforos nos pilares e suas armaduras.

a) Esforos Tem-se na Figura 15 os esquemas estticos para a viga V2 para os diferentes casos de

carregamento, admitindo combinao ltima e modelo clssico de viga contnua (sem as correes). Ao se traar a envoltria dos momentos fletores e dos esforos cortantes, provenientes do

modelo clssico, da correo de momentos negativos junto aos pilares de extremidade e da correo de momentos positivos para que no sejam menores que os obtidos com o engastamento perfeito do apoio interno, sempre para os trs casos de carregamento (A, B e C), tm-se os diagramas indicados na Figura 16 e na Figura 17.

b) Flexo

M1d = M3d = 204,90 kN.m; x/d = 0,375; As = 12,05 cm2 (4 19,6) M4d = M5d = 279,73 kN.m; x/d = 0,562; As = 18,04 cm2 (4 24,0) M2d = 450,37 kN.m; x/d = 0,500; As = 26,65 cm2 (4 29,1); As = 10,59 cm2 (4 18,4) c) Cisalhamento Clculo de estribos com dimetro fictcio e espaamento mximo:

Trechos de 147 cm: VSd,min = 134,66 kN asw/s = 1,28 cm2/m 6,7 c/ 27 Trechos de 132 cm: VSd = 271,24 kN asw/s = 5,08 cm2/m 12 c/ 22 Trecho de 437 cm: VSd = 382,76 kN asw/s = 8,17 cm2/m 12 c/ 13



135

1,4(g+q) = 145,57kN/m

21 3497,5cm

1,4(g+q) = 145,57kN/m

497,5cm

(a) Caso A

1,4(g+q) = 145,57kN/m 1,4g = 101,19kN/m

21 3497,5cm497,5cm

(b) Caso B

1,4(g+q) = 145,57kN/m1,4g = 101,19kN/m

2 31 497,5cm497,5cm

(c) Caso C

Figura 15 Casos de carregamento (valores de clculo).

Figura 16 Envoltria de momentos fletores (kN.m).

Vsd,min271,24382,76

382,76 271,24

132cm 132cm147cm437cm147cm

Figura 17 Envoltria de esforos cortantes (kN).

d) Verificaes de ELS Os esforos necessrios verificao de ELS so calculados com as mesmas consideraes

feitas para o ELU, porm utilizando as devidas combinaes de carregamento para os casos A, B e C.



136

Para ELS-F (combinao rara), alternam-se, nos tramos, os carregamentos g+q = 103,98 kN/m e g = 72,28 kN/m: h formao de fissuras.

Para ELS-DEF (combinao quase permanente) alternam-se, nos tramos, os carregamentos g+0,3q = 81,79 kN/m e g = 72,28 kN/m: resulta flecha total at = 1,62 cm.

Para ELS-W (combinao frequente), alternam-se os carregamentos g+0,4q = 84,96 kN/m e g = 72,28 kN/m: resulta w = 0,16 mm, na seo 2.

e) Esforos nos pilares P4 e P6 e suas armaduras Estes dois pilares esto submetidos flexo normal composta, pois absorvem momento

advindo da flexo da viga V2. No tramo analisado, ou seja, o do ltimo pavimento tipo, tem-se um momento de topo transmitido pela V2 do ltimo pavimento tipo e um momento de base transmitido pela V2 do penltimo pavimento tipo, cujos valores so iguais.

kN.m 102,454r3r3r)(ou3r3r

.MMMviginfsup

supinfengbasetopo =++== (31)

O esforo normal (reao de apoio) vem das envoltrias de carregamento das vigas V2 e V4, no caso do P4, e das vigas V2 e V6, no caso do P6, alm de seus pesos prprios. A seguir, indicam-se os esforos considerados e as respectivas armaduras, em que x a direo da menor dimenso da seo:

Nd = 1060 kN; Mdx = 102,45 kN.m; As = 6 cm2 (A = 11,3 armadura mnima) Estribos t = 5,0 c/ 13 f) Esforos no pilar P5 e suas armaduras O esforo normal (reao de apoio) no P5 vem das envoltrias de carregamento das vigas V2

e V5 e de seu peso prprio. Os esforos considerados e as respectivas armaduras so:

Nd = 2928 kN; Mdx = 70,27 kN.m (excentricidade mnima); As = 30,19 cm (A = 25,3) Estribos t = 6,3 c/ 20

5.2 Anlise linear com redistribuio Seo T

O intuito deste exemplo, alm de mostrar a redistribuio de momentos nos pilares, mostrar particularidades da redistribuio realizada com a considerao de uma envoltria de carregamentos. A NBR 6118:2003 alerta: Cuidados especiais devem ser tomados com relao a carregamentos de grande variabilidade, porm no fornece diretrizes acerca do assunto.

a) Esforos Park & Paulay (1975) indicam como realizar alguns ajustes, que sero explicados ao mesmo

tempo em que forem aplicados neste exemplo. O procedimento consiste em fazer descer a curva de momentos fletores do caso A, que apresenta o mximo momento nos apoios, e fazer subir a curva de momentos fletores dos casos B ou C, que apresentam o mximo momento nos vos. A mesma porcentagem aplicada aos picos de momentos negativos, para ambas operaes, sempre mantendo o equilbrio esttico.

A reduo dos momentos nos apoios do caso A ser de 25% ( = 0,75 mxima redistribuio para melhor aproveitar a seo T), o que define o pico do novo momento. O aumento dos momentos



137

nos apoios, do caso B ou C, deve ser tambm de 25%, ou at o novo pico definido com a reduo da curva do caso A, o que for menor. Esse acrscimo define os momentos negativos fora das sees onde ocorrem os picos. A seo T foi calculada, na equao 32, com a distncia a entre pontos de momentos nulos advinda da anlise linear (ver Figura 16). Aps a redistribuio, notar-se- a possibilidade de ter um bf maior. No entanto, essa diferena pequena e no prejudica a segurana.

( ) cm 103392 . 0,10 . 225a) (0,10 2bb wf =+=+= (32) Com a mudana de inrcia, da seo retangular para a T, mudaram tambm os momentos

corrigidos nos apoios, junto aos pilares extremos solidrios viga V2. Na anlise com as combinaes de servio, essa mudana de inrcia no altera, neste caso, os momentos mximos nos apoios e nos vos, que so utilizados para a verificao dos ELS. A Figura 18 mostra a reduo de 25% dos picos de momento nos apoios para o caso A, e a consequente correo dos momentos nos vos.

1,4(g+q) = 145,57kN/m 1,4(g+q) = 145,57kN/m

450,370,75 x 450,37 = 337,78

297,31

253,33

2497,5cm1 3497,5cm

(a) Modelo clssico de vigas contnuas

(b) Correo do momento negativo devido solidariedade com os pilares de extremidade

(c) Correo do momento positivo devido ao engastamento perfeito do apoio interno

Figura 18 Reduo de 25% nos picos de momentos nos apoios do caso A.



138

Para os casos B e C, nota-se no ser possvel aumentar os momentos nos apoios em 25%, uma vez que h a limitao do pico do momento de projeto encontrado com a reduo do caso A. Devido a essa limitao, os momentos chegam at mesmo a ser reduzidos, em algumas sees.

Quanto aos momentos nos vos, tm-se as seguintes prescries: - Caso A: o mximo momento nos vos, calculado antes da reduo dos picos de momento

nos apoios, deve sofrer um aumento de no mnimo o acrscimo encontrado com a correo dos momentos positivos, aps essa reduo dos picos, definindo assim o chamado momento de projeto;

- Casos B e C: o mximo momento nos vos, calculado antes da elevao dos picos de momento nos apoios, deve sofrer uma reduo de no mximo o decrscimo encontrado com a correo dos momentos positivos, aps esta elevao dos picos, ou at chegar ao momento de projeto, o que for menor.

Os diagramas de momentos fletores e de esforos cortantes a serem utilizados no dimensionamento, com a redistribuio, so apresentados na Figura 19 e na Figura 20, respectivamente.

Figura 19 Envoltria de momentos fletores (kN.m).

374,68

374,68 270,15

270,15 Vsd,min

131cm 164cm 405cm 164cm 131cm

Figura 20 Envoltria de esforos cortantes (kN).

b) Flexo

Nas sees 1, 2 e 3, foi utilizado o valor de x/d que permite a redistribuio com = 0,75: M1d = M3d = 155,50 kN.m; x/d = 0,250; As = 8,63 cm2 (4 16,6); As = 0,60 cm2 (4 4,4) M2d = 337,78 kN.m; x/d = 0,250; As = 18,61 cm2 (4 24,3); As = 10,58 cm (4 18,4) Nas sees 4 e 5, pode-se considerar uma seo retangular de 103 cm x 50 cm, j que com

essa hiptese a linha neutra encontra-se na mesa da seo T:

M4d = M5d = 297,31 kN.m; x/d = 0,118; As = 15,60 cm2 (4 22,3)



139

c) Cisalhamento Clculo dos estribos com dimetro fictcio e espaamento mximo:

Trechos de 164 cm: VSd,min = 134,66 kN asw/s = 1,28 cm2/m 6,7 c/ 27 Trechos de 131 cm: VSd = 270,15 kN asw/s = 5,05 cm2/m 12 c/ 22 Trecho de 405 cm: VSd = 374,68 kN asw/s = 7,95 cm2/m 12 c/ 14 d) Verificaes de ELS O momento de fissurao um pouco modificado devido maior inrcia da seo T. Porm,

continua a haver fissuras. Houve uma reduo de 18,5% na flecha, que passou a ser at = 1,32 cm. A abertura de fissura, na seo 2, passou a ser w = 0,22 mm.

e) Esforos nos pilares P4 e P6 e suas armaduras No n pertencente interseo da extremidade da viga com o pilar extremo (ver Figura 21), h

a necessidade de haver o equilbrio dos momentos que nele atuam. Com a redistribuio dos momentos e a utilizao da seo T, o Mvig passou de 204,90 kN.m

para 155,50 kN.m. O Msup e o Minf assumem propores do valor de Mvig, de acordo com a rigidez dos tramos superior e inferior do pilar (ri = Ii/Ai):

kN.m 77,750,5 . 155,50rr

rMMM

infsup

supviginfsup ==+== (33)

Os esforos considerados e as armaduras obtidas so:

Nd = 1058 kN; Mdx = 77,75 kN.m; As = 6 cm2 (A = 11,3 armadura mnima) Estribos t = 5,0 c/ 13 f) Esforos no pilar P5 e suas armaduras

Nd = 2856 kN; Mdx = 68,54 kN.m (excentricidade mnima); As = 27,72 cm2 (A = 24,3) Estribos t = 6,3 c/ 20

Figura 21 Equilbrio do n de extremidade da V2 com o P4.



140

5.3 Consumo de ao

Somando-se os consumos de ao, obtidos nos itens anteriores, com o detalhamento dos pilares e da viga, tm-se os valores indicados na Tabela 5.

Tabela 5 Consumo de ao (kg)

Anlise Linear + Seo Retangular Anlise Linear c/ Redistribuio + Seo T Diferena (%)

Pilares + Viga 502,7 425,4 15,4

19,8

Pilares (P4 + P5 + P6) 158,8 149,7 5,7

Viga (V2) 343,9 275,7

6 CONCLUSES

No exemplo do item 3, a anlise linear com redistribuio e a anlise plstica se mostraram simples de utilizar, dado que a estrutura tambm era simples. Nos casos de prticos planos ou de estruturas mais complexas, ambas as anlises passam a exigir programas computacionais, que sejam capazes de mostrar como se redistribuem os esforos, uma vez reduzidos os picos de momentos.

No exemplo com a seo retangular, a economia de armadura, que foi de apenas 0,46%, no constitui atrativo para a utilizao de outro tipo de anlise que no a linear. No entanto, h que se ponderar outras vantagens, entre as quais se destaca a possibilidade de distribuir melhor as armaduras ao longo da viga, evitando assim o acmulo de barras em uma mesma seo.

Com a redistribuio, as flechas passam a ser menores, j que a transferncia de momentos provoca o aumento da armadura nos vos. Por outro lado, a importncia da verificao da abertura de fissuras nos apoios passa a ser maior, j que nesses pontos a armadura diminui. A anlise plstica mostrou ser grande a capacidade de reduzir os momentos nos apoios, com o valor de chegando at quase 0,60, nesse exemplo.

No exemplo do item 4, a seo T permitiu maior economia de armadura, ao ser combinada com o aumento de momentos fletores nos vos, proveniente de redistribuio, tanto para anlise linear com redistribuio como para anlise plstica, com as quais a economia de armadura ficou entre 12 e 15%. Somente com anlise linear e seo T, a economia j foi prxima de 7%, em relao anlise linear com seo retangular. A anlise plstica, para um mesmo valor de x/d (0,250), permitiu maior redistribuio que a anlise linear com redistribuio. Em termos de economia de armadura, a diferena entre a anlise plstica e a anlise linear com redistribuio foi inferior a 2%.

Na Tabela 3, v-se que, para menores valores de x/d, maior a capacidade de redistribuio, ou seja, menor o valor de . A menor rea de armadura dada para x/d = 0,25 e = 0,69. No entanto, apesar da pequena diferena, a anlise plstica com = 0,75 apresentou um menor consumo de armadura, pois exige uma menor rea de armadura nos vos, que, devido sua necessidade de ancoragem nos apoios, acaba por ter maior comprimento e influencia o consumo total de ao, de maneira mais incisiva. Alerta-se, portanto, para a necessidade de estudar, caso a caso, qual par de valores de x/d e de fornece o menor consumo de armadura. A anlise linear com redistribuio permite menores redistribuies do que a plstica, porm a utilizao da anlise linear mais simples.

No exemplo do item 5 mostrou-se que, apesar da fora normal nos pilares permanecer praticamente a mesma com a redistribuio, h uma reduo nos momentos fletores desses elementos, propiciando uma pequena economia de armadura. No prtico e no pavimento analisados,



141

obteve-se uma economia de armadura de 5,7% para os pilares, 19,8% para a viga e 15,4% para o conjunto de ambos.

Na considerao da envoltria, se a relao entre o carregamento varivel e o permanente fosse maior, no exemplo realizado, os valores mximos dos momentos positivos tambm seriam maiores. Isso propiciaria a reduo desses momentos, com os ajustes propostos para a anlise da envoltria de carregamentos, e maior economia em relao a uma anlise linear com essa mesma relao.

7 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq pela bolsa de mestrado.

8 REFERNCIAS

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto Procedimento. Rio de Janeiro.

FONTES, F. F. Anlise estrutural de elementos lineares segundo a NBR 6118:2003. 2005. Dissertao (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2005.

LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construes de concreto: princpios bsicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro: Intercincia. 1977, v. 1.

LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construes de concreto: verificao da capacidade de utilizao. Rio de Janeiro: Intercincia, 1979. v. 4.

MORETTO, O. Curso de hormign armado. 2.ed. Buenos Aires: Libreria EL ATENEO, 1970.

PARK, R.; PAULAY, T. Reinforced concrete structures. New York: John Wiley & Sons, 1975.

PRADO, J. F. M. A.; GIONGO, J. S. Redistribuio de momentos fletores em vigas de edifcios. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, 28., So Carlos, set., 1977. Anais... p.1555-1564.

Analise Estrutural Nbr 6118

Documents

Transcript of Analise Estrutural Nbr 6118