análise estrutural de lajes maciças através da analogia de grelhas equivalentes

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

ENGENHARIA CIVIL

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Trabalho de Concluso de Curso Engenharia Civil 1

ANLISE ESTRUTURAL DE GRELHAS - ESTUDO DE GRELHAS EQUIVALENTES

STRUCTURAL GRIDS ANALYSIS - STUDY OF EQUIVALENT GRIDS

Guilherme Cesar Rodrigues Costa (1); Alberto Vilela Chaer (2)

(1) Graduando em Engenharia Civil pela Pontifcia Universidade Catlica de Gois, PUC-GO, Departamento de Engenharia, Engenharia Civil, Goinia, Brasil.

[email protected] (2) Professor, Mestre, Pontifcia Universidade Catlica de Gois, PUC-GO, Departamento de

Engenharia, Engenharia Civil, Goinia, Brasil [email protected]

Resumo No presente trabalho realizou-se a anlise estrutural de vrias grelhas planas de barras

ortogonais e de sistemas de grelhas planas equivalentes para lajes macias apoiadas sobre

vigas. Especificamente para a anlise de lajes macias atravs da simulao de grelha

equivalente, os momentos fletores e os esforos cortantes obtidos foram comparados com

os resultados de diferentes consideraes presentes na literatura e implementadas em

softwares comerciais. Foram utilizados diferentes fatores para reduo da Inrcia Toro

para aproximao de uma anlise no linear fsica, considerando a fissurao de sees

torcidas, com objetivo de criar um modelo aproximado de uma laje macia real, e realizar o

comparativo, objetivo deste trabalho.

Abstract

In the present work, several structural analysis of flat orthogonal bars grids and equivalent

planar grids for solid slabs supported on beams systems was performed. Specifically, for the

analysis of solid slabs through grid equivalent simulation, the bending moments and shear

forces obtained are compared with the results of different considerations referenced in

literature and implemented in commercial software. Different factors are used to reduce

torsion inertia in order to approach a physical nonlinear analysis considering cracking of

twisted sections, aiming to create an approximate model of a real solid slab, and perform

comparative purpose of this study.


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1. INTRODUO

Durante o curso de Engenharia Civil, devido grande quantidade de disciplinas e a

pequena carga horria das aulas, alguns assuntos no tem o tempo necessrio para serem

estudados de maneira satisfatria, sendo que alguns contedos dos planos de ensino ficam

relegados informao e comentrios superficiais. caso da anlise de grelhas, que

lecionada durante algumas poucas aulas, sempre ao final do semestre letivo. Sendo assim, a

motivao deste trabalho elaborar um material para consulta sobre o tema e realizar um

estudo de anlise estrutural de lajes macias atravs da analogia de grelhas equivalentes,

com a oportunidade de conhecer e utilizar softwares e ferramentas especficas para

aplicaes matemticas e anlise estrutural.

2. SISTEMA ESTRUTURAL EM GRELHA

2.1. GRELHAS PLANAS

So estruturas planas representadas por barras unifilares, que so submetidas a

carregamentos perpendiculares ao plano da estrutura (Fontes, 2005). A figura 2.1.1

representa uma grelha plana.

Comumente so utilizadas grelhas planas para modelar lajes e vigas como uma malha

de barras, com rigidez flexo e rigidez toro.

Para o caso de lajes planas de concreto armado, a alternativa da analogia de grelhas

uma aproximao mais realista, em que, no equilbrio dos ns, a rigidez toro da

extremidade de uma barra, soma-se a rigidez flexo da extremidade de outra barra, e vice-

versa. Considera-se tambm nesse processo, parmetros importantes como a influncia da

flexibilidade das vigas, e a real rigidez toro das lajes e vigas. Esse um processo que vem

sendo muito utilizado por programas computacionais de anlise de estruturas de concreto

armado, e tem uma grande aceitao no meio profissional (Cunha Junior, Lima e Oliveira,

2013).


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Neste trabalho, grelhas planas ortogonais foram utilizadas para representar as

estruturas em estudo.

2.2. ANALOGIA DE GRELHAS PLANAS EQUIVALENTES EM LAJES MACIAS

A anlise estrutural de lajes macias de concreto armado atravs da analogia de

grelha equivalente consiste em representar a laje macia atravs de uma malha de

elementos de barra, equivalentes a uma faixa da laje. possvel tambm representar as

vigas de apoio da laje, como pode ser visto no exemplo da figura 2.2.1. Cada barra possui

suas caractersticas fsicas, em funo do material, e suas caractersticas geomtricas em

funo da discretizao da grelha.

Os carregamentos provenientes do peso prprio e demais carregamentos na rea da

laje macia, so aplicados nas barras da grelha como carregamentos equivalentes,

distribudos em funo da rea de influncia de cada barra (Stramandinoli, 2003). A figura

2.2.2 exemplifica os carregamentos equivalentes em funo das reas de influncia das

barras de uma grelha.

Figura 2.1.1. Exemplo de uma Grelha Plana composta por duas barras ortogonais, com carregamentos

distribudo e concentrado.


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2.3. RIGIDEZ TORO EM GRELHAS EQUIVALENTES

Uma propriedade da malha de grelha equivalente levar em considerao a rigidez a

toro (J) e flexo (I) da laje, que so concentradas em suas barras, permitindo uma anlise

estrutural com resultados muito aproximados de uma laje macia real.

A resistncia toro dos elementos de concreto armado cai rapidamente com a

fissurao, que uma caracterstica do material. Essa rigidez toro diminui ao ponto de se

tornar praticamente desprezvel com o aumento das deformaes. Nos modelos de grelha

equivalente, uma forma de representar a perca de rigidez do concreto devido fissurao

reduzir a Inrcia a toro das barras da grelha. Diferentes autores propem diferentes

ndices para a reduo da inrcia a toro das barras da grelha de lajes e vigas.

Stramandinoli (2003), em seu estudo sobre a rigidez a toro aplicada em malhas de

grelha, diz que a relao entre rigidez toro e flexo ideal varia entre J/I = 1,85 e J/I =

1,75. E ainda conclui que para cada um dos esforos solicitantes, existe uma relao J/I ideal

que aproxima com os resultados da teoria elstica.

Figura 2.2.1. Exemplo de uma Grelha

Plana composta por duas barras

ortogonais, com carregamentos

distribudo e concentrado.

Figura 2.2.2. Carregamento nos ns: carga equivalente

nodal P e Carregamentos nas barras, Carga distribuda

equivalente Q. (Stramandinoli, 2003)


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Neste trabalho utilizou-se apenas um espaamento entre as barras da malha de

grelha, de 40 cm. J a Inrcia toro foi tratada como propem diferentes autores,

segundo a figura 2.3.1.

Figura 2.3.1. Reduo da Inrcia Toro em diferentes propores segundo

diferentes autores, tanto para barras das lajes e quanto das vigas de apoio.

2.4. MTODO DOS DESLOCAMENTOS

um dos mtodos utilizados para resolver estruturas estaticamente indeterminadas.

As incgnitas so os deslocamentos lineares e rotaes dos ns rgidos. O problema resulta

na soluo de um sistema de equaes de equilbrio de foras, visto na figura 2.4.1.

[ ] { } { } { }

100% 100%

10%

100%

20% 20%

1%

16,67% 15% 15%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Vigas Lajes

Mtodos de Reduo da Inrcia a Toro

S/ Reduo Chust Sussekind TQS NBR 6118

Figura 2.4.1 Equao Matricial de equilbrio de foras.

Sg: Matriz de Rigidez Global

: Vetor dos deslocamentos

0 : Vetor de Reaes Nodais

CN : Vetor das Cargas Nodais

p


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O nmero de incgnitas ser, ento, o nmero de deslocabilidades, que corresponde

ao nmero de rotaes e deslocamentos lineares necessrios para tornar a estrutura

indeslocvel (sistema principal). As deslocabilidades sero chamadas de j, onde j ser o

nmero de cada deslocabilidade.

Segundo Sssekind (1987), em estruturas onde podemos desprezar as deformaes

axiais sofridas por esforos externos, que o caso de grelhas, para pequenos deslocamentos

e pequenas rotaes, a variao de comprimento da barra ser muito pequena, podendo ser

desprezada, j que no constituir erros peculiares ao mtodo quando no clculo das

deformaes.

Para o caso de grelhas planas, um n ir possuir trs graus de liberdade, uma rotao

em x, rotao em y, e um deslocamento ao longo de z, que sero respectivamente os 1, 2

e 3.

Figura 2.2.2. Devido a rotaes, e deslocamentos lineares, a variao do comprimento da

barra AB pequena, podendo ser desprezada, de modo que se coincidem LAB LAB


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Figura 2.2.3. Grelha plana ortogonal, com seus graus de liberdade.

Para obter os diagramas de esforos solicitantes da estrutura atravs do mtodo dos

deslocamentos, utilizou-se o roteiro sugerido por Sssekind (1987).

1 - Escolha do Sistema Principal (S.P.), obtido bloqueando-se as deslocabilidades,

rotaes com blocos rgidos, os deslocamentos com apoios de 2 gnero.

2 - Resoluo da estrutura para os carregamentos ao longo das barras, obtendo-se o

vetor {0} e, para cada uma das incgnicas j, atribuindo-se o valor unitrio a cada

deslocamento, obter a matriz de rigidez [Sg].

3 - Clculo dos deslocamentos gerados pelas rotaes e deslocamentos lineares,

atravs da expresso matricial: { } [ ] { } { }) .

4 - Obter os Efeitos Finais atravs da expresso:

Para obter a matriz de rigidez, so calculadas as aes de engastamento perfeito para

cada barra, assim como as reaes, para cada deslocabilidade j. As aes de engastamento

perfeito so:

x 1

z 3

y 2


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Figura 2.2.4. Aes de Engastamento Perfeito (Sssekind, 1987)

2.5. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um mtodo consagrado e amplamente

utilizado em todo o mundo por ser um mtodo com aplicao computacional facilitada,

permitindo sua programao. aplicado na engenharia, principalmente, atravs de

softwares de modelagem e anlise estrutural. O mtodo dos elementos finitos uma

evoluo do mtodo dos deslocamentos, onde o processo de resoluo da estrutura foi

otimizado para uma implementao computacional, permitindo sua aplicao em estruturas

de grande complexidade.

Neste trabalho foi utilizado o software SAP2000 para determinao dos esforos

solicitantes no modelo de grelha equivalente de laje macia.


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3. RESULTADOS

3.1. RESULTADOS INICIAIS

Inicialmente foi realizada a anlise estrutural de quatro grelhas ortogonais,

utilizando-se do mtodo dos deslocamentos. Seguiu-se o roteiro sugerido por Sssekind

(1987). As grelhas foram calculadas de forma manual, para obter os deslocamentos gerados

pelos carregamentos, e enfim, obter os deslocamentos nodais da estrutura. O objetivo do

clculo manual foi a reviso do mtodo dos deslocamentos e da analogia de grelhas. As

mesmas grelhas foram geradas e analisadas pelo mtodo dos elementos finitos utilizando o

software SAP2000. Foram encontradas diferenas entre os valores dos esforos solicitantes

nas grelhas 2, 3 e 4, entre o clculo manual e o do SAP2000. Foram encontrados erros na

soluo manual, referentes orientao das coordenadas locais e globais, e pequenos erros

de digitao. O modelo manual foi corrigido e os valores ficaram totalmente iguais. Esses

resultados corrigidos encontram-se nos anexos.

3.2. GRELHAS EQUIVALENTES COM REDUO DA INRCIA TORO

Para efeito de comparao, foram calculados os esforos solicitantes e as reaes de

apoio de uma laje isolada com 4,00 x 5,20m, = 1,3, espessura h = 10 cm, e um painel de laje

com duas lajes de L1: 4,00 x 5,20 m e L2: 3,20 x 5,20m, respectivamente 1 = 1,3 e 2 = 1,63,

e espessuras iguais h = 10 cm. Os modelos podem ser vistos na figura 3.2.1.

Nesses modelos foram aplicadas diferentes redues da Inrcia Toro nas barras

da grelha de laje e das vigas de apoio, de acordo com os autores da figura 3.2.1. Essas

inrcias foram calculadas automaticamente pelo software SAP2000, e aplicadas

manualmente em cada caso, os ndices de reduo. Segundo Stramandinoli (2003), no

existe uma regra geral para o clculo da Inrcia Toro. Foi constatado que o SAP2000

utiliza as frmulas propostas por Gere e Weaver (1980) para o clculo das inrcias toro,

que podem ser vistas na figura 3.2.2. Para as condies de contorno das vigas na laje isolada,


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foi considerado um engaste em uma das vigas no sentido do maior vo, e uma do menor

vo. Na o painel de lajes, todas as vigas foram consideradas apoiadas.

Figura 3.2.1. Modelagem das lajes macias em grelha equivalente no SAP2000, esquerda, o painel de

lajes macias com duas lajes, e direita a laje isolada. As vigas de apoio foram consideradas simplesmente

apoiadas em toda sua extenso para efeito de comparao com outros mtodos, que no consideram o

deslocamento das vigas.

Figura 3.2.2. Frmulas propostas por Gere e Weaver para o clculo da Inrcia Toro de elementos

Retangulares. Onde h = maior dimenso da seo transversal, b = menor dimenso da seo transversal.

3.3. MTODOS UTILIZADOS PARA REDUO DA RIGIDEZ TORO

3.3.1. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO SSSEKIND

Sssekind (1987) prope que a toro pode ou no ser uma solicitao indispensvel

ao equilbrio e estabilidade de uma estrutura, classificando-a como toro de equilbrio ou

toro de compatibilidade. Para o caso onde ocorre uma toro de equilbrio, indiscutvel

considerar a rigidez toro real, onde sua reduo ir comprometer com a estabilidade da

estrutura, como exemplo de marquises de concreto armado vista na figura 3.3.2.1. J em

casos de estruturas sob toro de compatibilidade, plausvel reduzir a Inrcia a Toro para

desconsiderar a perca de rigidez devido a fissurao do concreto.


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Para anlise estrutural de lajes macias atravs da analogia de grelha equivalente,

Sssekind sugere adotar a rigidez toro apenas com 1/5 do seu valor, ou seja, apenas 20%

para todos os elementos da grelha. Os diagramas dos esforos solicitantes dos modelos

resolvidos pelo SAP2000 encontram-se em anexo. Essa considerao a favor da segurana

permite um giro maior dos apoios, criando uma situao mais aproximada da realidade.

Figura 3.3.2.1. Toro de Equilbrio na figura esquerda, e toro de compatibilidade na figura direita.

3.3.2. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO CHUST

Roberto Chust Carvalho (1994), diz que pode-se considerar o valor da Inrcia toro

do elemento de viga no estdio II, igual a 10% daquele dado pela resistncia dos materiais,

portando utiliza-se a frmula da figura 3.3.3.1.

Figura 3.3.2.1. Frmula da Inrcia Toro J, segundo Chust.

Chust lembra ainda que os valores do mdulo de deformao longitudinal

compresso do concreto (Ec), o mdulo de deformao transversal (Gc) e o valor do

coeficiente de Poisson () podem ser determinados segundo a NBR 6118.

Os diagramas de esforos solicitantes do modelo de grelha equivalente com a

reduo da inrcia toro dos elementos de vigas segundo Chust encontram-se em anexo,

e os resultados no item 3.3.7.


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3.3.3. SOLUO IMPLENTADA PELO CAD/TQS PARA RIGIDEZ TORO

O sistema CAD/TQS, altamente utilizando e consagrado no mercado de engenharia

civil no Brasil, adota uma soluo a favor da segurana, em que sugere uma reduo da

Inrcia toro J nos elementos de laje da grelha em J/6 e para elementos de viga de J/100,

ou seja, adota 16,67% da Inrcia a toro das lajes, e 1% da inrcia toro de elementos de

viga.

Essa soluo equivale a considerar que os apoios da laje so rtulas, sem nenhuma

resistncia ao giro, permitindo o giro mximo das vigas de apoio, consequentemente,

mximas flechas e mximos momentos positivos na laje para anlise da estrutura no ELU. o

modelo mais prximo dos mtodos que utilizam da teoria das placas, onde o momento

negativo no apoio das lajes com as vigas desprezvel.

3.3.4. TRATAMENTO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO A NBR 6118:2003

O item 14.7.6.2 da NBR 6118:2003, permite a modelagem dos pavimentos de

edifcios como grelhas, para estudo das cargas verticais. permitida a reduo da rigidez

toro para 15% da rigidez elstica, exceto para elementos com protenso.

Encontra-se ainda na referida norma, que no caso da toro de compatibilidade,

onde a toro no necessria ao equilbrio, possvel desprez-la desde que o elemento

estrutural tenha adequada capacidade de adequao plstica, e que todos os outros

esforos sejam calculados sem considerar os efeitos por elas provocados.

Neste trabalho, utilizou-se o ndice de 15% da rigidez toro plstica para todos os

elementos das grelhas equivalentes.

3.3.5. OUTROS RESULTADOS PARA COMPARAO

Para comparao de resultados foram calculados os esforos solicitantes e reaes

de apoio das lajes analisadas, atravs de tabelas. Foram utilizadas as tabelas de


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Bares(Pinheiro, 2003) e Kalmanok (Arajo, 2010), que segundo Miranda (2012), so os

mtodos simplificados mais aproximados dos resultados atravs do mtodo dos elementos

finitos.

Uma forma prtica de modelar lajes macias atravs de elementos de placas. Foi

utilizado neste trabalho, para comparao de resultados, os esforos solicitantes calculados

por Miranda (2012), em seu trabalho de concluso de curso, onde ele modelou uma laje

macia de tamanhos 4,00x5,20m, igual a utilizada nesse trabalho.

Foram analisadas outras estruturas no relatadas no trabalho, com a inteno de

estudar o efeito da rigidez a toro de equilbrio em estruturas isostticas, a influncia dos

pilares de canto nos momentos gerados na superfcie das lajes, e a contribuio da rigidez

das lajes na resistncia ao giro das vigas de bordo. Os resultados dessas anlises sero

comentados nas concluses do trabalho, e os diagramas de esforos solicitantes em anexo.

3.3.6. GRELHA SEM REDUO DE INRCIA TORO

O primeiro modelo de grelha equivalente de laje macia para o qual foram obtidos os

esforos solicitantes, no foi aplicado nenhuma reduo da Inrcia Toro, para efeito de

comparao.

A primeira concluso analisando os diagramas de esforos, foi que manter a rigidez

toro com 100% do seu valor uma anlise que foge da realidade, contra a segurana e

economia. Por considerar a inrcia toro total, tanto para a laje quanto para as vigas de

apoio, a rotao dos apoios foi reduzida, gerando flechas pequenas, e aumentando os

momentos negativos da laje. A armao de uma laje com essas caractersticas seria contra

economia, pois a rea de ao das ferragens negativas da laje seria exagerada, tanto para

combater os momentos e as flechas no meio do vo. Os diagramas de esforos solicitantes

podem ser vistos nos anexos.

Foi verificado em todos os casos, mas de forma mais exagerada, picos de momento

no canto de encontro das vigas simplesmente apoiadas, picos de momentos fletores. O

motivo foi a discretizao insuficiente da malha nesse ponto, onde a concentrao de


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esforos solicitantes de momento toror e momento fletor, geram erros grosseiros no

modelo.

3.4. COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS

Os resultados das grelhas equivalentes com as diferentes redues de inrcia

toro, calculados atravs do software SAP2000, esto divididos entre os itens 3.4.1, onde

so apresentados os resultados dos modelos de grelha equivalente de laje macia isolada, e

3.4.2, em que os resultados para o modelo de grelha equivalente de um painel de lajes

formado por 2 lajes. Os dados esto dispostos em tabelas, e foram utilizados grficos de

barras para uma compreenso melhor dos resultados.

Os diagramas de esforos solicitantes de todos os modelos encontrados nas tabelas

podem ser vistos nos anexos.


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3.4.1. GRELHA EQUIVALENTE DE LAJE MACIA ISOLADA

Tabela 3.4.1.1. Comparao entre os esforos solicitantes e reaes de apoio do modelo com diferentes

redues de inrcia a toro, mtodos que utilizam a teoria das placas.

Figura 3.4.1.2. Grfico comparativo entre os esforos solicitantes e as reaes de apoio. Momentos em

kgf.m/m e reaes em kgf/m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Vx Vy Vx' Vy' Mx+ Mx- My+ My-

Reaes de Apoio e Esforos Solicitantes

S/ Reduo Chust Sussekind TQS

NBR 6118 Bares Kalmanok Placas (Max)


S/ Reduo 100% 1,264E-03 100% 1,123E-04 602 305 1290 677 354 872 201 742

Chust 10% 1,264E-04 100% 1,123E-04 688 317 1445 756 542 1012 260 868

Sussekind 20% 2,528E-04 20% 2,246E-05 694 287 1574 724 574 1156 298 912

TQS 1% 1,264E-05 16,67% 1,872E-05 870 365 1657 724 687 1308 374 1005

NBR 6118 15% 1,896E-04 15% 1,684E-05 722 293 1600 727 608 1197 317 936


789 651 1170 951 487 1124 300 937

614 481 1209 1046 498 1100 323 905

598 592 907 855 565 1129 360 938

Tabela 3.4.1.1. Comparao dos Esforos Solicitantes e Reaes de Apoio da Laje Macia 4,00x5,20 m, com Diferentes

Inrcia a Toro

J - Laje (m4 )J - Viga (m4 )

Teoria Elstica

Bares

Kalmanok

Placas (Max)

Reaes (kgf/m) Momentos Mximos (kgf.m/m)

Reaes (kgf/m) Momentos Mximos (kgf.m/m)


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3.4.2. GRELHA EQUIVALENTE DE PAINEL DE LAJES MACIAS

Tabela 3.4.1.2. Resultados dos esforos solicitantes e reaes de apoio obtido pelo mtodo dos elementos

finitos atravs do SAP2000.

Figura 3.4.2.2. Grfico comparativo dos esforos solicitantes e reaes de apoio de cada laje do painel

Momentos Mximos (kgf.m/m)

Vx Vy Mx+ Mx- My+ My-

100% 100% L1 Vx' 190 446 373 836 204 524

1,264E-03 1,123E-04 L2 1992 280 301 298 730 120 353

10% 100% L1 Vx' 522 472 497 962 264 180

1,264E-04 1,123E-04 L2 2372 510 314 377 939 157 139

20% 20% L1 Vx' 547 544 380 818 309 45

2,528E-04 2,246E-05 L2 2268 515 386 306 815 236 59

1% 16,67% L1 Vx' 795 482 844 1254 361 34

1,264E-05 1,872E-05 L2 2628 664 324 507 1249 166 23

15% 15% L1 Vx' 519 405 697 1141 310 310

1,896E-04 1,684E-05 L2 2472 528 260 463 1087 129 200


L1 Vx' 933 549 565 1238 290 0

L2 2544 806 439 422 878 146 0

L1 Vx' 802 497 577 1288 318 0

L2 2645 693 401 406 880 168 0

NBR 6118

Kalmanok

LajesMomentos Mximos (kgf.m/m)

Teoria Elstica

Bares

Viga

Central

Reaes (kgf/m)

LajesJ - Viga

(m4 )

J - Laje

(m4 )

Viga

Central

Reaes (kgf/m)

Tabela 3.4.1.2. Comparao dos Esforos Solicitantes e Reaes de Apoio da Laje Macia 4,00x5,20 m, com

Diferentes Inrcia a Toro

S/ Reduo

TQS

Sussekind

Chust

0

250

500

750

1000

1250


Laje

1

0

250

500

750

1000

1250


Laje

2

S/ Reduo Chust Sussekind TQS NBR 6118 Bares Kalmanok


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4. CONCLUSES

4.1. RESULTADOS ENCONTRADOS

As grelhas equivalentes moldadas e analisadas durante o trabalho possuem

resultados de esforos e reaes diferentes, mas aproximadas do esperado. Ficou claro que

considerar a reduo da Inrcia toro, na anlise de uma laje macia de concreto armado,

indiscutvel para obter resultados atravs da analogia de grelha aproximados da realidade.

Sem nenhuma reduo da rigidez toro em funo da fissurao do concreto, o modelo

de grelha equivalente, fica, apesar de plausvel com a teoria de estruturas reticuladas,

incompatvel com as estruturas reais, por desconsiderar uma caracterstica peculiar do

concreto armado, a fissurao, o que caracteriza a no linearidade fsica, do material.

4.2. USO DE GRELHAS EQUIVALENTES

Foi de grande importncia o estudo de grelhas, pois uso da analogia de grelhas

equivalentes para moldar painis de lajes macias amplamente aceito e consagrado pelos

projetistas. Softwares renomados no mercado brasileiro utilizam da tcnica de grelha

equivalente para analisar lajes macias, com a vantagem de considerar a contribuio e

influncia das vigas nos deslocamentos e esforos finais nas lajes.

O uso da grelha equivalente para moldar painis de lajes macias e outros tipos de

lajes, altamente recomendado, pois simula de forma muito satisfatria pavimentos inteiros

de edifcios, considerando todas as lajes trabalhando em conjunto para determinao dos

esforos, fazendo a compatibilizao dos momentos e reaes da forma mais aproximada de

um modelo real. Esta uma soluo j implementada por diversos softwares, e

regulamentada pela norma NBR 6118:2003.


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4.3. CONSIDERAES SOBRE OS MTODOS DE REDUO DA INRCIA TORO

Entre os mtodos utilizados para reduzir a inrcia toro, o que mais se aproxima

dos resultados obtidos pelas tabelas de Kalmanok (Arajo, 2010), foi o utilizado pelo sistema

CAD/TQS. Essa reduo a favor da segurana, onde considerado uma percela mnima de

contribuio da rea de concreto combater os esforos de toro, momentos fletores nas

lajes, e considera os apoios como rtulas, onde a solicitao toro mnima. boa forma

de analisar a estrutura em concreto armado no estado limite ltimo, como se ela j estivesse

toda fissurada, e a resistncia aos esforos ficam sob a responsabilidade das armaduras. ,

portanto uma medida contra economia, onde em algumas situaes, a rea de ao ser

maior que a de modelos onde foram empregadas outras formas de reduo da inrcia

toro.

Reduzir a inrcia toro de elemento na analise estrutural, significa em termos

prticos, que a regio efetiva de concreto que ir combater determinado esforo solicitante,

no caso a toro, foi reduzida. Essa uma aproximao de uma anlise estrutural no linear.

Para uma anlise no linear completa, muitas outras consideraes devem ser tomadas para

que os esforos finais gerados se aproximem cada vez mais da realidade.

4.4. OUTROS RESULTADOS

Foi modelada em grelha equivalente a estrutura de uma marquise, uma laje em

balano apoiada em uma viga bi apoiada. Nesse caso, a toro essencial para o equilbrio

da estrutura e, como o prprio nome sugere, trata-se de uma Toro de Equilbrio, que

independente da rigidez do conjunto. Neste caso, a estrutura em balano isosttica, sendo

o momento negativo mximo, aquele momento que se transforma em momento de toro

na viga que engasta a marquise. Considerando a viga com apoios de segundo gnero, a

estrutura torna-se hiposttica, e impossvel de se determinar os esforos e deslocamentos.

Colocando os engastes nos apoios da viga, possvel perceber que reduzindo de forma

gradual a rigidez toro nos elementos do modelo, a estrutura passa a se comportar como


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uma estrutura hiposttica, gerando deslocamentos gigantescos, incompatveis com a

realidade. Ou seja, no caso da Toro de Equilbrio, a considerao da no linearidade fsica,

atravs da reduo de rigidez de inrcia a toro da viga, seria incompatvel com o equilbrio,

no devendo ser considerada na anlise.

Foi estudada tambm, a contribuio da rigidez longitudinal das lajes para combater

o giro gerado pelo momento de toro nas vigas de apoio devido a flexo das lajes, como

pode ser observado na figura 4.4.1.

Figura 4.4.1. Reao axial nas lajes de concreto armado, ao giro nas vigas, que contribuem para combater o

momento toror.

4.5. IMPORTNCIA DO TRABALHO REALIZADO

A contribuio deste trabalho como complemento do ensino acadmico foi imensa,

pois foi necessria a reviso de muitas disciplinas, entre elas resistncia dos materiais, teoria

das estruturas, estruturas em concreto armado, entre outras, alm da tima experincia

proporcionada pela oportunidade de utilizar vrios softwares profissionais.

Durante a graduao de Engenharia Civil, o acadmico passa no mnimo cinco anos

frequentando a universidade, quase sempre em uma fase da vida que envolve muitas

mudanas. Esse tempo, por maior que parea, muito pequeno para garantir o ensino

completo de engenharia, mesmo que seja de uma das vrias especializaes da engenharia

civil. Isso fica ainda mais bvio, pelo fato de que a engenharia civil uma cincia que envolve

alta tecnologia, e por mais que muitas de suas tcnicas sejam antigas, est em constante

atualizao. Ficou clara ento, a importncia do constante estudo, e at reciclagens durante

a vida de um profissional de engenharia civil, e de qualquer rea das cincias tecnolgicas.


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4.6. SUGESTO DE ESTUDOS FUTUROS

Para continuao da pesquisa envolvendo o tema de anlise estrutural de estruturas

em concreto armado, ficam algumas sugestes de temas que podem trazer grande

contribuio para o estudante de engenharia civil.

A Influncia do espaamento entre as barras de uma grelha equivalente de

lajes macias em concreto armado.

Anlise estrutural de grelhas equivalentes para os sistemas de lajes lisas.

Anlise estrutural de grelhas espaciais equivalentes de estruturas em

concreto armado.

Anlise no linear completa (fsica e geomtrica) de estruturas de concreto

armado.

5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ABNT NBR 6118:2003, Associao Brasileira de Normas Tnicas, Norma Brasileira - Projeto

de estruturas de concreto Procedimento; ABNT 2007

ARAJO, J. M., Curso de Concreto Armado Volume 2, Editora Dunas, 2010

CARVALHO, R. C., Clculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado

Volume 2,Editora Edufscar, 2009

CUNHA JUNIOR, B.F.R., LIMA, E.C. & OLIVEIRA, J. C. A. O., Estudo Comparativo de Clculo de

Lajes Analogia de Grelha x Tabela de Czerny, Dissertao (Concluso de Curso), 2003


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FONTES, F. F., Anlise Estrutural de Elementos Lineares Segundo a NBR6118:2003,

Dissertao (Mestrado), Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So

Carlos, 2005

GERE, J. M. & WEAVER, W, J., Anlise de Estruturas Reticuladas, Editora Guanabara, Rio de

Janeiro, 1981

STRAMANDINOLI, J. S. B. , LORIGGIO, D. D., Estudo da Rigidez Toro para aplicao do

Processo de Analogia de Grelhas em Lajes Macias, V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de

Concreto, 2003

SSSEKIND, J. C., Curso de Anlise Estrutural Volume III, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987

SSSEKIND, J. C., Curso Concreto Armado Volume II, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987

MIRANDA, M. H., CHAER, A. V., Anlise Comparativa Entre Processos Simplificados e

Processos Numricos para Determinao de Esforos em Lajes Macias de Concreto

Armado, Trabalho de Concluso de Curso, Engenharia Civil, PUC Gois, (2012)


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6. ANEXOS

Esto aqui dispostos apenas os principais anexos para compreenso desse trabalho,

divididos entre as sees a seguir.

Durante a realizao foram utilizados diferentes softwares: MathCAD 14, SAP2000,

AutoCAD 2012, e MS Excel. Os arquivos gerados por eles esto disponveis no link a seguir.

Esto disponveis tambm os arquivos referentes aos resultados inicias, onde foi

utilizado o MathCAD14 para determinar os esforos de 4 grelhas planas.

Os arquivos esto disponveis para continuao de estudos, e para melhor

compreenso dos contedos apresentados nesse trabalho.

http://crcguilherme.hol.es/tcc/

Instrues de acesso:

Para acessar o link, basta digitar a URL acima em qualquer browser, exatamente

como disposto acima.

Quaisquer dvidas ou problemas de acesso entre em contato atravs do e-mail

[email protected]


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6.1. ESFOROS SOLICITANTES DA TABELA 3.4.1.2.

Para a tabela 3.4.1.1. deve-se considerar no diagrama acima, apenas os esforos

referentes Laje L1.


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6.2. DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES

Segue em anexo, os diagramas de momentos fletores e momentos torores dos

modelos de grelha equivalentes utilizados neste trabalho. Os valores do diagrama de

momentos fletores encontram-se nas tabelas do item 3.4. Cada diagrama possui valores

diferentes, mas a escala nica para todos.

Laje Isolada:

DMF e DMT Sem Reduo da rigidez toro:

DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Chust:


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DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Sussekind:

DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo NBR6118:

DMF e DMT com reduo rigidez toro implementada pelo sistema CAD/TQS:


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Painel de Lajes com 2 Lajes :

DMF e DMT Sem Reduo da rigidez toro:

DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Chust:

DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Sussekind:


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DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo a NBR6118:

DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo a soluo do TQS:

1. INTRODUO2. SISTEMA ESTRUTURAL EM GRELHA2.1. GRELHAS PLANAS2.2. ANALOGIA DE GRELHAS PLANAS EQUIVALENTES EM LAJES MACIAS2.3. RIGIDEZ TORO EM GRELHAS EQUIVALENTES2.4. MTODO DOS DESLOCAMENTOS2.5. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

3. RESULTADOS3.1. RESULTADOS INICIAIS3.2. GRELHAS EQUIVALENTES COM REDUO DA INRCIA TORO3.3. MTODOS UTILIZADOS PARA REDUO DA RIGIDEZ TORO3.3.1. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO SSSEKIND3.3.2. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO CHUST3.3.3. SOLUO IMPLENTADA PELO CAD/TQS PARA RIGIDEZ TORO3.3.4. TRATAMENTO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO A NBR 6118:20033.3.5. OUTROS RESULTADOS PARA COMPARAO3.3.6. GRELHA SEM REDUO DE INRCIA TORO

3.4. COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS3.4.1. GRELHA EQUIVALENTE DE LAJE MACIA ISOLADA3.4.2. GRELHA EQUIVALENTE DE PAINEL DE LAJES MACIAS

4. CONCLUSES4.1. RESULTADOS ENCONTRADOS4.2. USO DE GRELHAS EQUIVALENTES4.3. CONSIDERAES SOBRE OS MTODOS DE REDUO DA INRCIA TORO4.4. OUTROS RESULTADOS4.5. IMPORTNCIA DO TRABALHO REALIZADO4.6. SUGESTO DE ESTUDOS FUTUROS

5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS6. ANEXOS

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