ANÁLISE ESTATÍSTICA II 1 INTERVALO DE CONFIANÇA Estima-se parâmetros da população utilizando...

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

INTERVALO DE CONFIANÇA

Estima-se parâmetros da população utilizando estimativas de ponto ou estimativas de intervalo. Uma estimativa de ponto é o valor de uma única estatística de amostra. Uma estimativa de intervalo de confiança corresponde a uma extensão de valores, conhecida como intervalo, construída em torno da estimativo de ponto.

O intervalo de confiança é construído de modo que seja conhecida a probabilidade de que o parâmetro da população esteja localizado em algum lugar dentro do intervalo.

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Estimativa de Ponto

Corresponde ao valor de uma única estatística extraída de uma amostra, o qual é utilizado para estimar o valor de um parâmetro da população.

Por exemplo, a média aritmética de uma amostra de históricos escolares de uma universidade é x = 7,4. Na falta de informações adicionais, esse resultado pode ser usado como estimativa do valor da média aritmética da população de históricos escolares da universidade (µ = 7,4).

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Estimativa do Intervalo de ConfiançaCorresponde a uma faixa de valores (intervalo)

construída em torno de uma estimativa de ponto. Os cálculos desse intervalo consideram um “grau de acerto” na estimativa dos valores obtidos, denominado Nível de Confiança.

Por exemplo, a estimativa do intervalo de confiança de 95% da média aritmética de históricos escolares de todos os alunos de uma universidade é 7,07 ≤ µ ≤ 7,73. Em outras palavras, há uma “probabilidade de certeza” de 95% de que a média aritmética µ de todos os históricos escolares ficará entre esses dois valores.

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Nível de Confiança

Nível de Confiança = (1 – α).100

Corresponde a um grau de acurácia/confiança de que determinado resultado pode ser considerado válido.

Por exemplo, foi obtida uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da média aritmética de todos os históricos escolares de uma universidade igual a 7,07 ≤ µ ≤ 7,73. Os cálculos garantem um nível de confiança de 95% para essa afirmativa. Todavia, existe uma chance de 5% de que a média aritmética µ esteja fora desse intervalo.

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INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA ARITMÉTICA (σ CONHECIDO)

Estimativa do Intervalo de Confiança (σ Conhecido)

Equações: ou

Premissas:O desvio-padrão da população σ é conhecido.A população é normalmente distribuída (se isso não

ocorrer, deve-se usar amostras grandes, de acordo com o Teorema do Limite Central).

nσZX

nσZXμ

nσZX

Z é chamado de valor crítico ou Z crítico.

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Exemplo

Obtenha os Z críticos para um intervalo de confiança de 95%.

Z= -1,96

0,95α1

Z= 1,960

0,0252α

0,0252α

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Exemplo

Uma amostra de 11 circuitos elétricos extraída de uma população normalmente distribuída apresenta uma resistência média de 2,20 ohm (média aritmética da amostra). Sabe-se que o desvio-padrão da população é 0,35 ohm. Determine qual é o intervalo de confiança de 95% da verdadeira média aritmética da população.

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INTERVALO DE CONFIANÇASolução:

n = 11x = 2,20 ohmσ = 0,35 ohmNC = 95%

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1,9932 ≤ µ ≤ 2,4068

Há 95% de confiança de que a verdadeira resistência média de todos os circuitos está entre 1,9932 e 2,4068 ohm

2,4068) ; (1,99320,2068 2,20

)11(0,35/ 1,96 2,20n

σZ X

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INTERVALO DE CONFIANÇAExemplo: Case Oxford Cereals

A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais em sua linha de produção, num processo normalmente distribuído que tem desvio-padrão igual a 15 gramas. As especificações indicam que todas as caixas devem conter, em média, 368 gramas de cereal. Extrai-se uma amostra de 25 caixas.Qual é o intervalo de confiança que melhor garante que a

produção não precisará ser interrompida? (Use α = 0,05)Se a média aritmética da amostra for igual a 362,3

gramas, a produção deve ser interrompida? (Use α = 0,05)

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Pode-se afirmar com 95% de confiança que a média aritmética da quantidade de cereal em todas as caixas está entre 356,42 e 368,18 gramas. O abastecimento não precisa ser interrompido.

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2. Uma grande loja de departamentos passou por uma forte expansão no último ano. Em particular, a quantidade de funcionários do departamento de pisos passou de dois especialistas em instalação para um supervisor, um medidor e quinze especialistas em instalação. No ano passado, houve muita reclamação com relação à instalação de carpetes e, por isso, foi coletada uma amostra de 50 reclamações para a elaboração de um estudo. Foram tratados estatisticamente os tempos que cada uma dessas 50 reclamações levou para ser atendida (quantidade de dias entre o recebimento de cada reclamação e a respectiva solução do problema), obtendo-se uma média aritmética de 43,04 dias e um desvio-padrão de 41,9261 dias.Pedidos: Construa uma estimativa para um intervalo de confiança de 95% para a média

aritmética dos tempos que as reclamações levaram para ser atendidas. A loja pretendia adotar uma demora média de 30 dias como tempo que as

reclamações de todos os seus clientes levariam para ser atendidas. Em função do resultado obtido no item anterior, pode-se considerar que o atendimento de reclamações no ano passado atingiu essa meta? Justifique sua resposta.

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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)

Equações: ou

Premissas: O desvio-padrão da população σ é desconhecido. A população é normalmente distribuída (caso contrário, recorre-se

novamente ao Teorema do Limite Central em busca de um tamanho de amostra adequado).

nStX 1-n

nStXμ

nStX 1n1n

tn-1 é o valor crítico da Distribuição t de

Student com n-1 graus de liberdade.

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Distribuição t de Student

Geralmente, a média aritmética µ e o desvio-padrão da população σ não são conhecidos. Quando isso acontece, utiliza-se somente as estatísticas da amostra (x e S) para construir uma estimativa do intervalo de confiança.

Porém, substituir o desvio-padrão da população σ pelo desvio-padrão da amostra S introduz uma incerteza extra, pois o valor de S também varia de amostra para amostra. Para contornar esse problema, usa-se a Distribuição t de Student(*).

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Distribuição t de Student

É simétrica e tem forma de sino, mas possui maior área nas caudas e menor área no centro do que a distribuição normal padronizada. A distribuição t possui maior dispersão porque σ é desconhecido.

0 t

Normal padronizada(t com g.l. = ∞)

t com g.l. = 13

t com g.l. = 5

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Uma distribuição t com grau de liberdade maior (isto é, maior tamanho da amostra) tem menor variabilidade e se assemelha mais à distribuição normal padronizada: quando n ≥ 120, pode-se utilizar a tabela da distribuição normal padronizada Z no lugar da tabela da distribuição t.

0 t

Normal padronizada(t com g.l. = ∞)

t com g.l. = 13

t com g.l. = 5

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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)Exemplo

Uma construtora não tem certeza quanto à verdadeira quantidade de cimento que está sendo entregue por um de seus fornecedores e resolveu fazer um teste. Assim que chegou uma remessa de sacos de cimento, foi extraída uma amostra aleatória de 25 sacos, a qual apresentou média aritmética igual a 47 kg e desvio-padrão igual a 8kg. Pede-se construir uma estimativa do intervalo de confiança de 95% para a média aritmética da população de sacos de cimento.

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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)Solução:

g.l. = n-1 = 25-1 = 24NC = 95% = (1-α).100α = 0,05 → α/2 = 0,025

0 t2,0639

α/2 =0,025

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Solução:

43,698 ≤ µ ≤ 50,302

Há 95% de confiança de que a verdadeira média aritmética da população de sacos de cimento está entre 43,698 e 50,302.

258(2,0639)47

nStX 1-n α/2,

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Exercício

2. Suponha que uma amostra aleatória de 100 faturas de vendas seja selecionada a partir de todas as faturas de vendas mensais de uma empresa. A média aritmética da amostra foi igual a $ 110,27 e o desvio-padrão da mesma foi $ 28,95. Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 99% do total de

faturas de vendas mensais da empresa. O fato de não ter sido informado se a população de faturas se comporta

ou não como uma distribuição normal faz alguma diferença para a resolução do problema?

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Exercício

3. Uma amostra aleatória de 40 contas de pessoas físicas da filial de um banco apresentou saldo médio de $ 1.400 e um desvio-padrão de $ 300.Estime a média da população com intervalo de confiança de

95%.Estime a média da população com intervalo de confiança de

99%.

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