CAPÍTULO III: APRESENTAÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS

3.1 – Tabela Primitiva

Após a definição do problema, planeámos levantar os dados primários no Banco Nacional de Angola [que, como debruçámo-nos atrás, foi a fase mais longa do nosso trabalho]; que resultou numa amostra de 84 dados relativos à taxa de inflação no período 2005 à 2011. Eis os resultados obtidos:

Período Inflação Mensal Período Inflação Mensal Período Inflação Mensal Período Inflação Mensal2005 2006 2007 2008

Janeiro 1,94% Janeiro 0,83% Janeiro 0,82% Janeiro 0,85%Fevereiro 2,04% Fevereiro 0,71% Fevereiro 0,86% Fevereiro 0,86%Março 1,96% Março 0,79% Março 0,80% Março 0,72%Abril 1,43% Abril 0,85% Abril 0,78% Abril 0,92%Maio 1,29% Maio 0,81% Maio 0,88% Maio 1,02%Junho 1,01% Junho 0,77% Junho 0,79% Junho 1,00%Julho 1,13% Julho 0,91% Julho 0,95% Julho 1,16%Agosto 1,15% Agosto 0,80% Agosto 0,78% Agosto 1,03%Setembro 1,09% Setembro 0,84% Setembro 0,75% Setembro 0,86%Outubro 0,97% Outubro 0,87% Outubro 0,81% Outubro 1,08%Novembro 1,19% Novembro 1,43% Novembro 1,06% Novembro 1,16%Dezembro 1,93% Dezembro 1,97% Dezembro 1,91% Dezembro 1,78%

Período Inflação Mensal Período Inflação Mensal Período Inflação Mensal    2009 2010 2011  

Janeiro 0,94% Janeiro 0,80% Janeiro 0,63%  

Fonte:BNA (Banco Nacional de Angola) –DEE (Departamento de EstudosEstatíticos).

Fevereiro 1,03% Fevereiro 0,89% Fevereiro 0,83%  Março 0,93% Março 1,05% Março 0,78%  Abril 1,09% Abril 1,03% Abril 0,92%  Maio 0,95% Maio 1,06% Maio 0,98%  Junho 1,11% Junho 1,02% Junho 1,05%  Julho 1,18% Julho 1,14% Julho 0,75%  Agosto 0,87% Agosto 1,12% Agosto 0,73%  Setembro 0,81% Setembro 2,35% Setembro 0,76%  Outubro 0,92% Outubro 1,23% Outubro 0,81%  Novembro 1,18% Novembro 1,01% Novembro 0,86%  Dezembro 2,16% Dezembro 1,65% Dezembro 1,73%  

Tabela Nº 1 – Taxa de Inflação relativo ao período 2005 – 2011

3.2 – Rol

Partindo dos dados acima (Tabela Primitiva) torna-nos difícil determinarmos o valor máximo e o mínimo. Portanto, a maneira mais simples que nós achamos para organizar os dados é através de uma certa ordenação crescente ou decrescente. Assim sendo, temos as tabelas obtidas através da ordenação dos dados a qual designamos por 'rol'.

Tabela Nº 2 – Taxa de Inflação [ordenadas de forma crescente] relativo ao período 2005 – 2011

0,63% 0,71% 0,72% 0,73% 0,75% 0,75% 0,76% 0,77% 0,78% 0,78% 0,78% 0,79%0,79% 0,80% 0,80% 0,80% 0,81% 0,81% 0,81% 0,81% 0,82% 0,83% 0,83% 0,84%0,85% 0,85% 0,86% 0,86% 0,86% 0,86% 0,87% 0,87% 0,88% 0,89% 0,91% 0,92%0,92% 0,92% 0,93% 0,94% 0,95% 0,95% 0,97% 0,98% 1,00% 1,01% 1,01% 1,02%1,02% 1,03% 1,03% 1,03% 1,05% 1,05% 1,06% 1,06% 1,08% 1,09% 1,09% 1,11%1,12% 1,13% 1,14% 1,15% 1,16% 1,16% 1,18% 1,18% 1,19% 1,23% 1,29% 1,43%1,43% 1,65% 1,73% 1,78% 1,91% 1,93% 1,94% 1,96% 1,97% 2,04% 2,16% 2,35%

Agora com mais clareza podemos ver e saber qual a menor e a maior taxa de inflação. Assim, a partir do rol, constatamos que o me-nor valor é 0,63%; ao passo que o maior é 2,35%.

3.3 – Distribuição de Frequência

No presente exercício, como podemos notar, a nossa variável em estudo e á 'taxa de inflação'. Porém, ela será estudada e observada com mais pormenor se a dispusermos em coluna e colocarmos ao lado de cada valor, o número de vezes que ela aparece repetida: a frequência (ver o quadro seguinte).

Mesmo assim, o passo dado 'ainda é incoveniente'; isso porque, além de outras desvantagens, exige mais espaço mesmo quan-do o número de variáveis é de tamanho razoá-vel. Contudo, a solução mais aceitável, devido a natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em intervalos. É justamente isso que faremos nas páginas seguintes!

3.4 – Distribuição de frequência com intervalo de "classes iguais"

Como notou-se anteriormente, há muitas inconvências caso darmos o mesmo tratamento que se tem dado às variáveis discretas, às variáveis contínuas.

Por regra, para classe de valores de uma variável contínua, tomam-se intervalos correctamen-te designados por 'intervalos de classe'. Assim, para a constituição das classes, ou seja, seus respectivos 'limites'; as frequências

Tabela Nº 3 – Observações e suas res-pectivas frequências

ValorFrequência

ValorFrequência

0,63% 1

1,02% 2

0,71% 1

1,03% 3

0,72% 1

1,05% 2

0,73% 1

1,06% 2

0,75% 2

1,08% 1

0,76% 1

1,09% 2

0,77% 1

1,11% 1

0,78% 3

1,12% 1

0,79% 2

1,13% 1

0,80% 3

1,14% 1

0,81% 4

1,15% 1

0,82% 1

1,16% 2

0,83% 2

1,18% 2

0,84% 1

1,19% 1

0,85% 2

1,23% 1

0,86% 4

1,29% 1

0,87% 2

1,43% 2

0,88% 1

1,65% 1

0,89% 1

1,73% 1

0,91% 1

1,78% 1

0,92% 3

1,91% 1

0,93% 1

1,93% 1

0,94% 1

1,94% 1

0,95% 2

1,96% 1

0,97% 1

1,97% 1

0,98% 1

2,04% 1

1,00% 1

2,16% 1

1,01% 2

2,35% 1

relativas […], utilizaremos algumas fórmulas fundamentais (de-mostrando a aparição dos valores da nova tabela que servirá que base ao longo de todo o trabalho), abaixo descritas:

3.5 – Algumas fórmulas utilizadas no quadro de distribuição de frequências com "classes iguais"

3.5.1 – Amplitude Total

AT=X máx+Xmin

AT=2,35 – 0,63=1,72

3.5.2 – Fórmula de Struges para a determinação do número de Classes

Dentre as várias possibilidades para a determinação do número de classes (de amplitudes iguais) apresentamos, a seguir, a que achamos conveniente para o nosso trabalho:

K=1+3 ,22 log(n)

Assim, K será dado por:

K=1+3 ,22 log (84 )=7,196179301≅ 7

3.5.3 – Amplitude da Classe

a i=AT

K=Xmáx−Xmin

K

a i=1,727

=(2,35−0,63)

7=0,245714285≅ 0,25

3.5.4 – Fequência Relativa 1

f i=F i

N

1 Cf. "Material para os estudantes do 2° ano – Estística Descritiva" por E. SENO; FE-UAN; FE-UAN - 2006; pg. 18.

Onde: AT – Amplitude Total; Xmáx – Limite Superior da Série Estatística;Xmin – Limite Inferior da Série Estatística;

Onde: K – Número de Classe; n – Amostra [para este exercício];

(n) – representa o taotal das nossas observações – o somatório das frequências

de cada observação, que para o nosso caso é igual à '84'.

Onde: ai – Amplitude da Classe;AT – Amplitude Total; Xmáx – Limite Superior da Série Estatística;Xmin – Limite Inferior da Série Estatística;

Onde: fi – Frequência Relativa;Fi – Amplitude Total; N – Dimensão da Colecção (1)

Os presentes cálculos darão origem ao quadro a seguir – juntamente com o seu histograma, polígono e ogiva de frequência – que como afirmamos anteriormente, é o conveniente quando se está a tratar de variáveis discretas.

Tabela Nº 4 – Quadro de distribuição de frequência com "classes iguais"

[Valores em percentagem (%)]

iTaxa de Inflação

Mensal

Ponto Médio

FrequênciaFrequência Absoluta

AcumuladaFrequência Relativa

Acumulada

Absoluta RelativaDescendent

eAscendente Descendente Ascendente

Xi Fi fi Fai Fai fai fai

1 [0,63 ______ 0,88[ 0,755 320,38095238

1032 84

0,3809523810

1

2 [0,88 ______ 1,13[ 1,005 290,34523809

5261 52

0,7261904762

0,6190476190

3 [1,13 ______ 1,38[ 1,255 100,11904761

9071 23

0,8452380952

0,2738095238

4 [1,38 ______ 1,63[ 1,505 20,02380952

3873 13

0,8690476190

0,1547619048

5 [1,63 ______ 1,88[ 1,755 30,03571428

5776 11

0,9047619048

0,1309523810

6 [1,88 ______ 2,13[ 2,005 60,07142857

1482 8

0,9761904762

0,0952380952

7 [2,13 ______ 2,38[ 2,255 20,02380952

3884 2 1

0,0238095238

Total 84 1

Como se pode notar, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte. Na primeira classe (de 0,63 à 0,88), por exemplo, estão incluídas as taxas de inflação2 de 0,63 à 0,87; isto porque a classe em causa – assim como as restantes – são fechadas à esquerda e abertos à direita; isto é, pertencem apenas às respectivas classes, os valores à esquerda e não os valores à direita. Portanto, 0,88 pertence exactamente à segunda classe – que, como já dissemos, é o limite inferior desta classe.

Um Histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de frequência.

Um Polígono de Frequência é um gráfico de linha de uma distribuição de frequência.

Vejamos, a seguir, as suas representações gráficas – com base no presente exercício.

2 Consideramos 'taxas de inflação', porque os valores são dados em percentagem. De forma a facilitar os cálculos, achamos conveniente tirar o símbolo (%), mas ela está representada acima da tabela.

3.6 – Histograma, Polígono de frequência

O Histograma (Fig. 1) é a representação gráfica da evolução da taxa de inflação no período 2005 – 2011. No eixo das abcissas (o eixo horizontal) estão colocadas as fronteiras dos intervalos de classes. Enquanto que no eixo das ordenadas (o eixo vertical), estão colocadas o número de observações – as frequências – correspondentes.

O Polígono (Fig. 2) possui eixos semelhantes a do Histograma, excepto que no eixo horizontal são colocados os pontos médios de cada intervalo de classe [contidas no Histograma]. O número de observações em cada classe é representado por um ponto acima do ponto médio da classe, sendo tais pontos ligados por uma série de segmentos de recta formando uma "figura de muitos lados", ou polígono.

3.7 – Diagrama de Ramo-e-Folhas

0,63 ___ 0,88

0,88 ___ 1,13

1,13 ___ 1,38

1,38 ___ 1,63

1,63 ___ 1,88

1,88 ___ 2,13

2,13 ___ 2,38

0

5

10

15

20

25

30

35

Fig. 1 - Histograma para a dis-tribuição de frequência

1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

Fig. 2 - Polígono de Frequência

Polígono de Frequência

Os dados seguintes representam as taxas de inflação mensal registado no período 2005 – 2011. Faça o Diagrama de Ramo-e-folhas.

0,63% 0,71% 0,72% 0,73% 0,75% 0,75% 0,76% 0,77% 0,78% 0,78% 0,78% 0,79%0,79% 0,80% 0,80% 0,80% 0,81% 0,81% 0,81% 0,81% 0,82% 0,83% 0,83% 0,84%0,85% 0,85% 0,86% 0,86% 0,86% 0,86% 0,87% 0,87% 0,88% 0,89% 0,91% 0,92%0,92% 0,92% 0,93% 0,94% 0,95% 0,95% 0,97% 0,98% 1,00% 1,01% 1,01% 1,02%1,02% 1,03% 1,03% 1,03% 1,05% 1,05% 1,06% 1,06% 1,08% 1,09% 1,09% 1,11%1,12% 1,13% 1,14% 1,15% 1,16% 1,16% 1,18% 1,18% 1,19% 1,23% 1,29% 1,43%1,43% 1,65% 1,73% 1,78% 1,91% 1,93% 1,94% 1,96% 1,97% 2,04% 2,16% 2,35%

Diagramada de Ramo-e-folhas

(Valores arredondados ou aproximados e em ( %))

Ramo Folhas Frequências

06 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

40

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7 7 8 9 9 9

41

2 0 2 4 3Total 84

Tabela Nº 5 – Taxa de Inflação no período 2005 – 2011

3.8 – Medidas de localização, de posição ou de tendência Central

As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados3. As medidas de tendência central mais importantes são:

Média Mediana Moda

3.8.1 – Média

3 Cf. Projeto de Ensino Aprender Fazendo Estatística de Drª Terezinha Aparecida Guedes, Msc. Ana Beatriz Tozzo Martins, Msc. Clédina Regina Lonardan Acorsi, Msc. Vanderly Janeiro; pg. 28.

Tabela Nº 6 – Quadro para Cálculo das Médias4

Ponto Médio

Frequência Absoluta

X G p H Q

Xi Fi Xi*Fi Log(Xi) Fi*Log(Xi) Xi/Fi Xi2

*Fi

0,755 32 24,16 -0,122053048 -3,905697548 42,38410596 18,24081,005 29 29,145 0,062815791 0,062815791 28,85572139 29,2907251,255 10 12,55 0,986437258 0,986437258 7,96812749 15,750251,505 2 3,01 0,355073 0,355073 1,328903654 4,530051,755 3 5,265 0,732831362 0,732831362 1,709401709 9,2400752,005 6 12,03 1,812686262 1,812686262 2,992518703 24,120152,255 2 4,51 0,706293092 0,706293092 0,88691796 10,17005Total 84 90,67 0,750439218 0,750439218 86,12569687 111,3421

3.8.1.1 – Média Aritmética Ponderada (X)

A média aritmética ponderada (M) é calculada para "dados agrupados" que têm factor de ponderação ou de peso. Para o nosso exercício, eis a fórmula a utilizar:

X i=X1∗n1+X 2∗n2+X3∗n3+…+Xn∗nn

n1+n2+n3+…+nn=∑i=1

n

(X ¿¿i∗F)

∑i=1

n

n

¿

X i=90,6784

=1,079404762

Assim, a média aritmética ponderada da taxa de inflação registado no período 2005 – 2011 é de 1,079761905.

3.8.1.2 – Média Geométrica Ponderada (G p)

Média geométrica ponderada representa a raíz de ordem n do produto de todas as observações. Ela é fundamentalmente usada no cálculo das taxas de crescimento, nas taxas de juro, nas taxas de variação, ou seja, é calculada

4 Foi com intenção de facilitar e sobretudo simplificar, os cálculos que achamos conveniente construir a tabela acima. Assim, os somatórios (∑) dos produtos ou dos rácios [ou, se quizermos, quociente] das observações juntamente com as suas respectivas frequências, ou número de observações já nos são dados, cabendo, à nós, apenas efectuar os calculos adicionais mais simples.

Onde: X – Número de observação; n – Frequência absoluta;

entre as variáveis que representam relação entre grandezas da mesma natureza. Para o presente exercício, eis a fórmula utilizada:

G=F√X1F1∗X2F 2∗X3F 3∗…∗X n

Fn→ logG=F1 log X1+F2 log X2+F3 log X3+…+Fn log Xn

F1+F2+F3+…+Fn

logG=0,75043921884

=0,0089338

G=100,0089338=1,020783873

3.8.1.3 – Média Harmónica (H)

Média Harmónica é o inverso da média dos inversos dos dados. Ela é dada da seguinte forma:

H= FF1X1

+F2X2

+F3X3

+…+FnXn

= F

∑i=1

n F i

X i

H= 8486,12569687

=0,97531866855

3.8.1.4 – Média Quadrática (Q)

Média Quadrática é a raíz quadrada da média aritmética do quadrado das variáveis.

Q=√ X12∗F1+X22∗F2+X32∗F3+…+Xn2∗Fn

F1+F2+F3+…+Fn

=√∑i=1n X i2∗F i

F

Q=√ 111,342184=1,151304126

3.8.2 – Mediana

A mediana é uma medida de tendência central, que divide a série estatística em duas partes iguais. Porém, a mediana não é influênciada por valores extremos. A classe que contém a mediana é a primeira classe cuja a frequêcia acumulada iguala ou execede a metade total das

iTaxa de Inflação

Mensal

Ponto Médio

FrequênciaAbsoluta

Xi Fi

1 [0,63 ______ 0,88[ 0,755 32

2 [0,88 ______ 1,13[ 1,005 29

3 [1,13 ______ 1,38[ 1,255 10

4 [1,38 ______ 1,63[ 1,505 2

5 [1,63 ______ 1,88[ 1,755 3

6 [1,88 ______ 2,13[ 2,005 6

7 [2,13 ______ 2,38[ 2,255 2

  Total 84

observações (Fai≥N2

). Para dados agrupados a mediana é calculada como o limite da classe que contém a mediana. Ela é

dada pela seguinte fórmula:

Med=Li+( N2 −Fa

Fc)∗A

Med=0,88+( 842 −32

29 )∗0,25=0,966206896No entanto, o que este valor quer dizer?

R: Quer dizer que a primeira metade, ou seja, os primeiros 50% das nossas observações, relativamente a taxa de inflação no período 2005 – 2011, é inferior à 0,9662068965.

3.8.3 – Moda

A moda (Mo) é o valor que apresenta a maior freqüência da variável entre os valores observados. Tratando-se de uma distribuição de fre-quência de valores agrupados em classes, primeiramente é necessário identificar a classe modal, aquela que apresenta a maior freqüência, e a seguir a moda é calculada aplicando-se a fórmula:

MO=Li+( d1d1+d2 )∗A

MO=0,63+( 3232+3 )∗0,25=0,858571428

Em palavras simples, o valor (ou observação) – no nosso caso, a taxa de inflação – que mais se repete é o 0,8585714286. ou que possui maior frequência

5 Para averiguar a veracidade desta proposição, por favor queira consultar o rol.

iTaxa de Inflação

Mensal

Ponto Médio

FrequênciaAbsoluta Acumulada

Xi Fi Fai

1[0,63 ______

0,88[0,755 32 32

2[0,88 ______

1,13[1,005 29 61

3[1,13 ______

1,38[1,255 10 71

4[1,38 ______

1,63[1,505 2 73

5[1,63 ______

1,88[1,755 3 76

6[1,88 ______

2,13[2,005 6 82

7[2,13 ______

2,38[2,255 2 84

  Total 84

Média

Mediana fig. 3 - Positivamente assimétrica.

Moda

f

x

3.9 – Medidas de Assimetria: Relação entre a Média, Mediana e a Moda. Coeficiente de Assimetria de Pearson

Para os dados agrupados representados por uma curva de frequência, as diferenças entre os valores de média, da mediana e da moda são indicadores de forma da curva em termos de assimetria. Para o nosso caso – uma dstribuição assimetricamente positiva –, a média (X) apresenta o valor mais elevado, enquanto a mediana (Med) é maior do que a moda (MO), mas menor do que a média (ver a fig. 3).

X=1,079404762 Med=0,966206896 MO=0,858571428

3.9.1 – Coeficiente de Assimetria de Person

O Coeficiente de Assimetria de Pearson é uma medida de assimetria bastante conhecida que utiliza a diferença observada entre a média e a mediana de um grupo de valores.

P=3 ( X−MedS )

Para o presente trabalho o Coeficiente de Assimetria de Pearson é dado por:

P=3 (1,079404762−0,9662068960,40288822 )=0,8428978096 Por favor, ver o rol.

Para a distribuição de frequência do presente exercício, podemos observar que a mé-dia é 1,079404762, a mediana é 0,966206896, e a moda é 0,858571428, in-dicando assim que a distribuição é um pouco assimétrica para a direita, ou positiva-mente assimétrica.

Onde: S – Desvio Padrão (está calculado no tema sobre "Medidas de Dispersão").

Como dizem as condições para a análise deste coificiente;

Se Pearson é igual à zero (P=0) então, ela é simétrica (X=Med=MO) Se Pearson é negativo então, ela é assimétrica negativa (X<Med) Se Pearson é positivo então, ela é assimétrica positiva (X>Med)

Assim, o nosso Coificiente de Pearson é assimétrica positiva (X>Med).

3.10 – Medida de tendência não-central ou medidas separatrizes

Estas medidas são valores que ocupam posições no conjunto de dados, em rol, dividindo-o em partes iguais e podem ser: quartil, decil e percentil.

Os Quartis dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais.

Qi=Li+( i∗N4 −Fa

Fc)∗A

Exemplo: Calcular o 2º quartil das observações.

Q2=0,88+( 2∗844 −32

29 )∗0,25=0,966206896Quer isto dizer, que 50% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do segundo quartil.

Os Decis dividem o conjunto de dados em dez partes iguais.

Di=Li+( i∗N10 −Fa

Fc)∗A

Exemplo: Calcular o 5º decil das observações.

D5=0,88+( 5∗8410 −32

29 )∗0,25=0,966206896

Os Percentis dividem o conjunto de dados em cem partes iguais.

Pi=Li+( i∗N100 −Fa

Fc)∗A

Exemplo: Calcular o 50º decil das observações.

P50=0,88+( 50∗84100−32

29 )∗0,25=0,966206896Como se pude notar, Q2 = D5 = P50 = Med = 0,966206896.

3.11 – Medidas de dispersão

As medidas de dsipersão, medem em quão se afastam os valores em relação às medidas de localização. Servem para verificar quão representativas são em relação às medidas de localização. Os mais significativos são: Desvio médio absoluto, a Variança e o Desvio Padrão.

O Desvio Médio Absoluto é igual à diferença entre cada valor do conjunto de dados e a média do grupo. É dado por:

DM=

∑i=1

n

F i∨X i−X∨¿

F¿

Tabela Nº 7 – Quadro para o cálculo do Desvio Médio Absoluto, Variança e o Desvio Padrão

X i F i ¿ X i−X∨¿ F i¿ X i−X∨¿ (X i−X )2 F i(X i−X)2

0,755 320,3244047

6210,3809523

80,105238449

3,367630387

1,005 290,0744047

622,15773809

80,005536068

0,160545989

1,255 100,1755952

381,75559523

80,030833687

0,308336876

1,505 20,4255952

380,85119047

60,181131306

0,362262613

1,755 30,6755952

382,02678571

40,456428925

1,369286777

2,005 60,9255952

385,55357142

80,856726544

5,140559268

2,255 20,1755952

382,35119047

61,382024164

2,764048327

Total 8425,077023

8113,4724702

4

Portanto o Desvio Médio é:

DM=25,0770238184

=0,298535997

A Variança é similar ao desvio médio. Difere ao Desvio Médio porque as diferenças são elevadas ao quadrado antes de serem somadas. A Variança é dada por:

S2=∑i=1

n

F i(X−X )2

F−1

Em termos algébricos (em função do presente exercício), é dado por:

S2=13,4724702484−1

S2=0,162318918

O Desvio Padrão é a mais utilizada medida de dispersão. Ela serve para corrigir o resultado da variança que é dado em unidades quadráticas e é dada por:

S=√∑i=1n

F i(X−X )2

F−1

Para o nosso exercício o Desvio Padrão é dada por:

S=√0,162318918=0,40288822

Portanto, o Desvio Padrão de 0,40288822, o que reflecte uma boa representatividade da média.

3.12 – Coeficiente de Variação

O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa definida como a razão entre o desvio padrão e a média:

CV= SX

∗100%

A partir do coeficiente de variação pode-se avaliar a homogeneidade do conjunto de dados e, conseqüentemente, se a média é uma boa medida para representar estes dados. Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média está próxima de zero. Uma média muito próxima de zero pode inflacionar o CV. Um coeficiente de variação superior a 50% sugere alta dispersão o que indica heterogeneidade dos dados. Quanto maior for este valor, menos representativa será a média.

Para o nosso caso o Coficiente é igual à:

CV= 0,402888221,079404762

∗100%=0,37,3250363≅ 37,33%

Como o CV é de cerca de 37,33% significa que os dados não têm alta dispersão, ou seja, há uma heterogeneidade dos dados e, consequemente, a Média é um bom representante dos nossos dados. Se o CV fosse superior à 50% teríamos escolhido a Mediana ou a Moda como o representante dos nossos dados.

3.13 – Medidas de Curtose

A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, é um indicador da forma desta distribuição. É definido como:

K=Q 3−Q1

2(P90−P10)

A curtose ou achatamento é mais uma medida com a finalidade de complementar a caracterização da dispersão em uma distribuição. Esta medida quantifica a concentração ou dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às medidas de tendência central em uma distribuição de freqüências. Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento como:

Leptocúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência bastante fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro, K < 0,263.

Mesocúrtica: quando os dados estão razoavelmente concentrados em torno de seu centro, K= 0,263.

f

x

Platicúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro, K > 0,263.

Sendo P90=1,638552632 e P10=0,695625 , então K será dado por:

K= 0,9662068962(1,638552632−0,695625)

=0,512344141

Como K = 0,512344141 e 0,512344141>0,263, trata-se de uma distribuição Platicúrtica.

Graficamente temos:

3.14 – Curva de Lorenz ou curva de Gini

Tabela Nº 8 - Curva de Lorenz ou curva de Gini

iTaxa de Inflação

Mensal

Ponto Médio

Frequência Freq. Absol.

Acumulada

Freq. Relativa

Acumulada Xi*Fi

Xi*Fi

∑Xi*Fi(Xi*fi)a = qi

Absoluta

Relativa

Xi Fi fi Fai fai = Pi Xi*fi

1 [0,63 ______ 0,88[ 0,755 320,380952381

032

0,3809523810

24,16 0,2664607910,266460791

2 [0,88 ______ 1,13[ 1,005 290,345238095

261

0,7261904762

29,145 0,3214403880,587901179

3 [1,13 ______ 1,38[ 1,255 100,119047619

071

0,8452380952

12,55 0,1384140280,726315207

4 [1,38 ______ 1,63[ 1,505 20,023809523

873

0,8690476190

3,01 0,0331973080,759512515

5 [1,63 ______ 1,88[ 1,755 30,035714285

776

0,9047619048

5,265 0,0580677180,817580233

6 [1,88 ______ 2,13[ 2,005 60,071428571

482

0,9761904762

12,03 0,1326789450,950259178

Platicúrtica

10,95025917

80,81758023

30,75951251

50,72631520

70,58790117

90,26646079

10,380,730,850,870,910,981

(Xi*fi)a = qi

fai = Pi X

7 [2,13 ______ 2,38[ 2,255 20,023809523

884 1 4,51 0,049740818

1

Total 84 1 90,67Graficamente temos:

a) Curva de Concentração

3.15 – Índice de Concentração de Gini

Dá-se o nome de Índice de Concentração de Gini ao quociente entre a Área de Concentração (Ac) e a área do triângulo ½.

Assim temos:

IGC=Ac0,5

=12

¿¿

b) Índice de Concentração

Linha de Equidistribuição

Área de Concentração

Área dos Trapézios

Ai=q i−1+q12

(p i−pi−1)

A1=0+0,266460791

2(0,3801523810−0 )=0,050647852

A2=0,266460791+0,587901179

2(0,726190476−0,3801523810 )=0,147820894

A3=0,587901179+0,726315207

2(0,8452300952−0,726190476 )=0,078221909

A4=0,726315207+0,759512515

2(0,8690476190−0,8452300952 )=0,017694368

A5=0,759512515+0,817580233

2(0,9047619048−0,8690476190 )=0,02816237

A6=0,817580233+0,950259178

2(0,9761904762−0,9047619048 )=0,063137121

A7=0,950259178+1

2(1−0,9761904762 )=0,023217371

Área Total (At)

AT=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7

AT=0,408901885

Área de Concentração (Ac)

Ac=12−At

Ac=0,5−0,408901885=0,091098115

Índice de Concentração de Gini

IGC=Ac0,5

IGC=0,0910981150,5

=0,18219623

Resposta: Trata-se de uma concentração pouco significativa.

IV – SÉRIE ESTATÍSTICA COM AMPLITUDES "DESIGUIAIS"

iTaxa de Inflação

Mensal

Ponto Médio

FrequênciaFreq. Abs. Acumulada

Freq. Rel. Acumulada

Frequência Absol.

CorrigidaAbsoluta Relativa

Xi Fi fi Fai fai hi

1 [0,63 ______ 0,81[ 0,72 160,19047619

016 0,190476190

88,89

2 [0,81 ______ 0,91[ 0,86 180,21428571

434 0,404761904

180

3 [0,91 ______ 1,06[ 0,99 200,23809523

854 0,642857142

133,33

4 [1,06 ______ 1,19[ 1,13 140,16666666

668 0,809523808

107,69

5 [1,19 ______ 1,39[ 1,29 3 0,03571428 71 0,845238093 15

5

6 [1,39 ______ 1,79[ 1,59 50,05952380

976 0,904761902

12,5

7 [1,79 ______ 2,38[ 2,07 80,09523809

584 1

14,29

Total 84 1

Observação: Sendo o quadro acima, uma série estatística com intervalos de classes desiguais, surge a necessidade de se calcular as frequências corrigidas que designa-se por hi. Ela é expressa através da seguinte fórmula:

hi=F i

ai

Como tivemos acesso à apenas pouca informação relativamente à esses tipos de séries estatísticas, achamos, por bem, apenas resolver o que das bibliografias (por nós consultadas) ressaltaram com mais vigor – que é o cálculo da Moda. Eis a [nova] fórmula a partir da frequência corrigida (hi).

M o=Li−1+hi+1

hi−1+hi+1∗A

M o=0,81+( 133,3388,89+133,33 )∗0,10=0,8699991

Onde: Li-1 – Limite inferior da classe que contém a moda.hi+1 – Frequência Absoluta Corrigida posterior à classe modal.hi+1 – Frequência Absoluta Corrigida anterior à classe modal.

Quer dizer que o valor que mais se repete no rol dos nossos dados é o 0,8699991.