Desenvolvimento de um Radiômetro Espectral e Metodologia ...
Análise espectral de séries temporais através de ondaletas
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Transcript of Análise espectral de séries temporais através de ondaletas
Analise espectral de series temporais
atraves de ondaletas
Sebastian Krieger
Grupy / SciPy–SP Meetup
29 de julho de 2017
IntroducaoSeries temporais
1952
1962
1972
1982
1992
2002
2012
Date
0
500
1000
1500
2000
2500
Close
• O que sao series temporais?
• Que serie temporal e essa?
• Que propriedades series temporais possuem?
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 2 / 26
IntroducaoO que voces sentem?
f (t) =1
2π
+∞∫
−∞
f (ω) eiωtdω
f (ω) =
+∞∫
−∞
f (t) e−iωtdt
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IntroducaoO que e ciencia de dados
Conjunto de habilidades de cientistas de dados, design por Natalia Bilenko. Fonte: The Berkeley Science Review.
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IntroducaoContexto
big data
analytics
ciencia de dados
aprendizagem de maquina
inteligencia artificial
(Adaptado de Mason, H.)
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Sumario
1 Introducao
2 Modulo PyCWT
3 Exemplos
4 Conclusoes
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 6 / 26
Series temporaisExemplo: S&P 500
1952
1962
1972
1982
1992
2002
2012
Date
0
500
1000
1500
2000
2500
Close
Fonte dos dados: Yahoo Finance 〈https://finance.yahoo.com/quote/%5EGSPC/history〉
• Indice composto por quinhentos ativos (acoes) cotados nas
bolsas de Nova York (NYSE ou NASDAQ)
• Reflete a valorizacao de aproximadamente 80 % do mercado
de capitais norte-americano
• Esta serie e diaria e abrange o perıodo entre 01 de marco de
1950 e 26 de julho de 2017
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 7 / 26
Series temporaisExemplo passo-a-passo
• Acompanhe os resultados no bloco de notas Jupyter
� github.com/nublia/data-science-playground
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 8 / 26
Series temporaisExemplo: S&P 500 transformada, sem tendencia, desvio padrao, suavizada
19521962
19721982
19922002
2012
Date
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
ln(C
lose
) - T
rend
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Transformada de Fourier
(FOURIER, 1808)
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 10 / 26
Transformada de Fourier
• A analise de Fourier aproxima uma funcao periodica em uma
soma de funcoes harmonicas com frequencias distintas.
f (t) =1
2π
+∞∫
−∞
f (ω) eiωtdω (1)
• A integral de Fourier da a intensidade (amplitude) das
oscilacoes na funcao analisada.
f (ω) =
+∞∫
−∞
f (t) e−iωtdt (2)
• Importante ferramenta para o processamento de sinais.
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 11 / 26
Transformada de FourierExemplos de espectros de funcoes distintas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo [anos]
−2
−1
0
1
2a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo [anos]
b)
0 80 160 240 320 400 480 560 640
Perıodo [dias]
10−5
10−3
10−1
101 c)
0 80 160 240 320 400 480 560 640
Perıodo [dias]
d)
Comparacao entre o espectro de dois sinais periodicos com mesmas frequencias. O sinal em (a) e composto pela soma
de dois sinais harmonicos representando um fenomeno com um ciclo anual e um ciclo semi-anual, e em (b) pelos
mesmos sinais harmonicos mas com ocorrencia em intervalos distintos e o dobro da amplitude. Em (c) e (d) os
respectivos espectros de potencia normalizados. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
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Transformada de ondaletas
• A transformada de Fourier projeta determinado sinal no
espaco de funcoes harmonicas;
f(t) ⇔ f(ω)
• Existem outros tipos de funcao que podemos utilizar? Sim.
• Qualquer funcao ψ pode ser utilizada? Nao. Elas devemsatisfazer algumas caracterısticas:
• Media zero;
• Norma um;
• . . .zzzZZZ
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Transformada de ondaletasExemplos de ondaletas
−3.0 −1.5 0.0 1.5 3.0
t/s
−0.8
0.0
0.8ψ
a) Morlet, ψMo
−3.0 −1.5 0.0 1.5 3.0
t/s
b) Chapeu mexicano, ψMe
−1.6 −0.8 0.0 0.8 1.6
sω/(2π)
0.0
0.3
0.6
ψ
c) ψMo
−1.6 −0.8 0.0 0.8 1.6
sω/(2π)
d) ψMe
(a) Parte real (linha contınua) e imaginaria (linha tracejada) da ondaleta de Morlet ψMo com ω0 = 6, e (b) ondaleta
chapeu mexicano ψMe com σ = 1. Nos paineis (c) e (d) as respectivas transformadas de Fourier ψMo e ψMe .
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 14 / 26
Transformada de ondaletasVoces ainda estao aı?
• A transformada de ondaletas projeta um sinal em uma
combinacao linear de funcoes localizadas e em diferentes
escalas.
• Transformada de ondaletas contınua (continuous wavelet
transform) em funcao da escala s e do tempo u e
Wf (u, s) = 〈f, ψu,s〉 =+∞∫
−∞
f (t)ψ∗
u,s (t) dt , (3)
• Versoes transladadas e escalonadas da ondaleta-mae
ψu,s (t) =1√sψ
(
t− u
s
)
s > 0 . (4)
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Transformada de ondaletasExemplos de ondaletas-mae escalonadas
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
t
−0.5
0.0
0.5
ψM
o(s,t)
−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
ω/(2π)
0.00
0.25
0.50
0.75
ψM
o(s, ω
)
s = 0.75
s = 1
s = 1.25
Parte real da ondaleta de Morlet (ω0 = 6) e sua transformada de Fourier em diferentes escalas: s < 1 (linha tracejada),
s = 1 (linha contınua), s > 1 (linha traco-ponto). Note o efeito da dilatacao e contracao da ondaleta sob seu espectro
de Fourier e a relacao entre frequencia e escala.
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 16 / 26
Transformada de ondaletasExemplos de espectro de ondaletas
200
400
600
Per
ıod
o[d
ias]
a) b)
10−3.0
10−2.0
10−1.0
100.0
200
400
600
Per
ıod
o[d
ias]
c) d)
−π
−π
2
0
+π
2
+π
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
−
Escalogramas normalizados 1
s|Wf (u, s)|2 dos sinais periodicos – (a) e (b) – adotando a ondaleta Morlet (ω0 = 6).
Em (a) as frequencias dominantes ocorrem durante todo o intervalo e em (b) as frequencias ocorrem em intervalos
distintos. Em (c) e (d) os respectivos diagramas de fase. Note em (d) como, na metade do intervalo observa-se um ponto
de descontinuidade – as fases convergem. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 17 / 26
Transformada de ondaletasExemplos do espectro de ondaletas
−
200
400
600
Per
ıod
o[d
ias]
e) f)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
200
400
600
Per
ıod
o[d
ias]
g)
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
h)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
Em (e) e (f) a parte real ℜ (Wf (u, s)) e em (g) e (h) a parte imaginaria ℑ (Wf (u, s)) das transformadas de
ondaleta dos sinais. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
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Transformada de ondaletasTestes de significancia
A Practical Guide toWavelet Analysis
Christopher Torrence and Gilbert P. CompoProgram in Atmospheric and Oceanic Sciences, University of Colorado, Boulder, Colorado
ABSTRACT
A practical step-by-step guide to wavelet analysis is given, with examples taken from time series of the El Niño–
Southern Oscillation (ENSO). The guide includes a comparison to the windowed Fourier transform, the choice of an
appropriate wavelet basis function, edge effects due to finite-length time series, and the relationship between wavelet
scale and Fourier frequency. New statistical significance tests for wavelet power spectra are developed by deriving theo-
retical wavelet spectra for white and red noise processes and using these to establish significance levels and confidence
(TORRENCE; COMPO, 1998)
• O espectro de ondaletas e mais que apenas uma figura
hipnotizante
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 19 / 26
Modulo PyCWT
• Existe uma biblioteca Python que implementa as sugestoes de
Torrence e Compo (1998).
• Instale
$ pip install pycwt
• Contribua com o codigo fonte
� github.com/regeirk/pycwt
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 20 / 26
Analise de ondaletasExemplo passo-a-passo
Espectros de ondaleta e de Fourier da serie temporal S&P 500 transformada e detradada.
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Analise de ondaletasOutro exemplo
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Conclusoes
• A transformada de ondaletas projeta um sinal no espaco
quase-ortogonal de funcoes localizadas e em diferentes
escalas:
f(t) ⇔Wf (u, s)
• Permite identificar eventos periodicos ao longo do tempo;
• Pode ser utilizado em analises multi-dimensionais;
• Possui aplicacoes em processamento de sinais, tratamento de
imagens, compressao de dados;
• Complementa a analise de Fourier;
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Sugestao de leitura
(MALLAT, 2008)
Analise espectral de series temporais atraves de ondaletas 24 / 26
Referencias
FOURIER, J.-B.-J. Sur la propagation de la chaleur dans les
corps solides. Nouveau Boulletin des Sciences, v. 1, n. 6, p.
112–116, 1808.
KUMAR, P.; FOUFOULA-GEORGIOU, E. Wavelet analysis for
geophysical applications. Reviews of Geophysics, v. 35, n. 4, p.
385–412, 1997.
MALLAT, S. A wavelet tour of signal processing: The sparse
way. 3. ed. Burlington, MA: Academic Press, 2008. 805 p. ISBN
978-0-12-374370-1.
TORRENCE, C.; COMPO, G. P. A practical guide to wavelet
analysis. Bulletin of the American Meteorological Society, v. 79,
n. 1, p. 61–78, 1998.
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Voce tem algum problema de negocio que quer
solucionar com ciencia de dados?
Vamos conversar.
Sebastian Krieger