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Analise em subvariedades- uma introducao
Versao original:
Helga Baum,
Humboldt-Universitat zu
Berlin
Traducao e edicao:
Martin Weilandt, UFSC
Revisao:
Ivan Pontual Costa e Silva,
UFSC
Ultima atualizacao: 10 de junho de 2014
c©Helga BaumEsta obra foi licenciada sob uma Licenca
Creative Commons Atribuicao-NaoComercial-SemDerivados (BY-NC-ND) 3.0 Nao Adaptada.
Prefacio do tradutor
Este texto e uma traducao do capıtulo 10 da apostila
“Differential- und Integralrechnung auf Untermannigfaltigkeiten des RN” de Helga Baum.
So foram corrigidos/esclarecidos alguns pequenos problemas e feitas maiores edicoes na
parte da integracao (Cap. 10 e 11) onde usamos a integral de Riemann (em vez da integral
de Lebesgue). Agradeco a autora a permissao de criar esta traducao e fornece-la aos alunos
da UFSC.
Esta apostila cobra todo o conteudo das secoes 2 e 3 (com excecao da parte 2.2) da materia
Calculo Avancado (MTM410018).
Martin Weilandt, 11 de maio de 2014
2
Sumario
0 Introducao 5
1 Subvariedades do RN 7
1.1 Subvariedades sem bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Subvariedades com bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Espacos tangentes e normais em subvariedades 17
3 Aplicacoes diferenciaveis e suas derivadas 20
4 Bases canonicas e suas bases duais 23
5 Campos vetoriais em subvariedades 27
6 Subvariedades orientaveis e nao-orientaveis 31
7 A metrica Riemanniana induzida numa subvariedade 34
8 Gradiente, divergencia e Laplaciano em subvariedades 36
9 Formas diferenciais em subvariedades 43
9.1 Preliminares algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2 Teorema de localizacao para formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3 Calculo com formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.4 Formas diferenciais fechadas e exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.5 A forma de volume duma subvariedade orientada . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Integracao de formas ao longo de subvariedades orientadas 62
10.1 Integrais multiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.2 A integral de formas no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.3 A integral ao longo de subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.4 Propriedades e calculo da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.5 A integral de superfıcie e o volume de subvariedades . . . . . . . . . . . . . . 68
11 O teorema de Stokes 70
11.1 O teorema de Stokes para formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.2 Mais teoremas integrais em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3 Teoremas integrais classicos no R2 e R
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.4 Duas outras aplicacoes tıpicas do teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . 77
3
12 Possıveis questoes numa prova final 80
13 Exercıcios 82
Referencias Bibliograficas 89
4
Capıtulo 0
Introducao
Ate agora aprendemos como derivar e integrar aplicacoes definidas em subconjuntos abertos
do Rn. Para muitas areas da matematica e muitas aplicacoes, por exemplo na fısica
matematica, isso nao e suficiente. Modelos matematicos frequentemente contem conjuntos
que nao podem ser descritos globalmente por n coordenadas reais, mas somente localmente
(quer dizer, perto de cada ponto). Tais conjuntos chamam-se espacos localmente euclideanos
ou variedades se tiverem “boas” propriedades adicionais em relacao as mudancas de um
sistema de coordenadas para outro. Exemplos de tais objetos sao superfıcies dadas pelo
grafico duma funcao ou a superfıcie dum corpo de rotacao.
Nesta apostila queremos explicar a diferenciacao de integracao em tais variedades. O alvo
essencial e a demonstracao do Teorema de Stokes para formas diferenciais, que estabelece
uma conexao entre integrais ao longo dum conjunto M e integrais ao longo do bordo de M
(como ela aparece em alguns casos especiais, por exemplo na analise complexa). O Teorema
de Stokes tem varias aplicacoes em geometria, analise e fısica matematica que sao tratadas
em aulas mais avancadas.
Neste curso tratamos somente do caso onde a variedade e dada como subconjunto dum
espaco real RN . Neste caso falamos das chamadas subvariedades do RN . Esta restricao nao
e necessaria, mas tem a vantagem que conceitos e objetos podem ser visualizados bem, pelo
menos para o caso de superfıcies no R3. Aqui vamos introduzir todos os conceitos numa
forma que (usando uma definicao adequada do espaco tangente) pode ser generalizada
literalmente ao caso de variedades abstratas.
Primeiro lembremos alguns conceitos da diferenciacao de aplicacoes de varias variaveis.
Seja F : U ⊂ Rn −→ R
m uma aplicacao diferenciavel dum subconjunto aberto de Rn em
Rm. A derivada DFx : Rn −→ R
m desta aplicacao no ponto x ∈ U e uma transformacao
linear, cujo valor num vetor a ∈ Rn e dado pela derivada de F ao longo da reta por x na
direcao a:
DFx(a) =d
dt
(F (x+ ta)
)∣∣∣t=0
, a ∈ Rn.
Aplicando a derivada DFx ao i-esimo vetor canonico ei no Rn (ei possui i-esima componente
igual a 1, todas as outras componentes sao zero), obtemos a derivada parcial de F na i-esima
coordenada∂F
∂xi(x) = DFx(ei).
Nesta apostila vamos identificar todas as transformacoes lineares com as matrizes corres-
5
pondentes em relacao as bases canonicas. Em outras palavras, identificamos a derivada DFx
da aplicacao F = (F1, . . . , Fm) no ponto x ∈ U com a matriz Jacobiana de F no ponto x:
DFx ≡
∂F1
∂x1(x) · · · ∂F1
∂xn(x)
... · · ·...
∂Fm
∂x1(x) · · · ∂Fm
∂xn(x)
.
Se todas as derivadas parciais
∂kF
∂xi1 . . . ∂xik: U ⊂ R
n −→ Rm
da ordem k existem e sao contınuas em U , entao F e chamada k vezes continuamente
derivavel ou de classe Ck. O conjunto dessas aplicacoes Ck e denotado por Ck(U,Rm). Se
F e uma aplicacao Ck para todo k ≥ 1, entao F chama-se uma aplicacao suave ou de classe
C∞.
Uma aplicacao F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R
n e chamada de difeomorfismo de classe Ck de U em
V se F : U −→ V for bijetora e F e F−1 forem k vezes continuamente diferenciaveis.
Se F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R
n for um difeomorfismo e x ∈ U , entao a derivada DFx :
Rn −→ R
n e um isomorfismo. Por outro lado, vale o Teorema da Funcao Inversa: se
F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R
n for uma aplicacao Ck (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ U e a derivada
DFx : Rn −→ Rn for um isomorfismo, entao F e um difeomorfismo local em torno de x,
isto , existem uma vizinhanca aberta W ⊂ U de x e uma vizinhanca aberta W ⊂ V de F (x)
tal que F |W :W −→ W e um difeomorfismo Ck.
6
Capıtulo 1
Subvariedades do RN
Primeiro definamos os objetos principais desta apostila: as subvariedades.
1.1 Subvariedades sem bordo
Definicao. Um subconjunto M ⊂ RN e chamado de subvariedade n–dimensional do R
N se
em torno de cada ponto x ∈ M existirem uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN e um difeomor-
fismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ de U∗ num subconjunto aberto V ∗ ⊂ RN tal que
ϕ∗(U∗ ∩M) = y ∈ V ∗ | yn+1 = . . . = yN = 0 = V ∗ ∩ (Rn × o) .
(o denota o vetor nulo no espaco RN−n.)
........
........
..................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........
........
...............................................
.................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........
........
...............................................
.................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
q ϕ∗q
V ∗ ⊂ R2S1 =M ⊂ R
N=2
x
U∗(x)
Observacao: Se todos os difeomorfismos ϕ∗ da definicao de subvariedade sao de classe Ck,
1 ≤ k ≤ ∞, entao a subvariedade e chamada “de classe Ck”. Neste curso (normalmente)
consideramos o caso que os difeomorfismos ϕ∗ sao de classe C∞ e omitimos a classe.
O difeomorfismo ϕ∗ pode ser imaginado como forma de “aplanar” a “parte curvada”M ∩U∗
de U∗ (veja imagem).
Vamos identificar o subespaco Rn×o ⊂ R
N = Rn×R
N−n com o Rn. Todos os subespacos
de espacos reais sao munidos com a topologia induzida pela metrica euclideana. Se ϕ∗ :
U∗ −→ V ∗ e um difeomorfismo como na definicao duma subvariedade, entao
1. U := U∗ ∩M e um subconjunto aberto de M em relacao a topologia induzida em M ,
2. V := V ∗ ∩ (Rn × o) ⊂ Rn e aberto no R
n,
3. ϕ := ϕ∗|U : U −→ V e um homeomorfismo entre U e V .
7
Atraves de ϕ associamos a cada ponto de U ⊂ M uma unica n–upla de coordenadas reais.
Observamos que nao e difıcil ver que a dimensao duma subvariedade e bem-definida. Em
outras palavras, se M e uma subvariedade m-dimensional e n-dimensional, entao m = n.
Definicao. Seja ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ um difeomorfismo como na definicao duma subvariedade.
Entao (U := U∗ ∩M,ϕ := ϕ∗|U ) e chamado de carta de M em torno de x ∈ M . Uma
cobertura de M por cartas (que por definicao e uma famılia A = (Uα, ϕα)α∈Λ, onde
(Uα, ϕα) sao cartas e M =⋃α∈Λ
Uα) e chamada atlas de M .
Teorema 1.1 Sejam (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2) duas cartas da subvariedade Mn ⊂ RN em torno
do ponto x ∈M . Entao ϕ2 ϕ−11 : ϕ1(U1∩U2) ⊂ R
n −→ ϕ2(U1∩U2) ⊂ Rn e uma aplicacao
suave entre subconjuntos abertos de Rn.
Demonstracao: Por definicao temos U1 = U∗1 ∩M , U2 = U∗
2 ∩M , ϕ1 = ϕ∗1|U1
e ϕ2 = ϕ∗2|U2
,
onde ϕ∗1 : U∗
1 −→ V ∗1 e ϕ∗
2 : U∗2 −→ V ∗
2 sao difeomorfismos entre subconjuntos abertos de
RN . A aplicacao ϕ2 ϕ−1
1 e a restricao do difeomorfismo
ϕ∗2 ϕ∗−1
1 : ϕ∗1(U
∗1 ∩ U∗
2 ) −→ ϕ∗2(U
∗1 ∩ U∗
2 )
ao subespaco Rn do R
N e, portanto, um difeomorfismo tambem.
A aplicacao ϕ2 ϕ−11 e chamada de transformacao de coordenadas ou mudanca de cartas
entre as cartas (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2).
Obviamente, cada subconjunto aberto U ⊂ RN e uma subvariedade de dimensao N do
RN . Como atlas podemos escolher o que consiste somente na carta dada pelas coordenadas
euclideanas: A = (U,ϕ(x) = (x1, . . . , xN ).Para decidir se um subconjunto M ⊂ R
N e uma subvariedade, temos de dar um atlas para
este subconjunto. Normalmente um tal atlas consiste de varias cartas. Em muitos casos,
ha ainda outras possibilidades de verificar, que um conjunto M e uma subvariedade. Agora
queremos conhecer um criterio que possamos usar para decidir se subconjuntos de RN dados
por equacoes sao subvariedades.
Teorema 1.2 (Caracterizacao de subvariedades por equacoes) Seja W ⊂ RN um
subconjunto aberto, n ≤ N e F : W ⊂ RN −→ R
N−n uma funcao suave. Denotamos
por M := x ∈ W |F (x) = o o conjunto das raızes da funcao F . Entao, se o posto da
matriz Jacobiana DFx de F e maximo (= N − n) em cada ponto x ∈ M , temos que o
conjunto M ⊂ RN e uma subvariedade de R
N de dimensao n.
Demonstracao: Primeiro simplifiquemos a aplicacao F por uma transformacao de coorde-
nadas em RN . Vamos mostrar que em torno de cada ponto y ∈M existem uma vizinhanca
aberta U∗ ⊂ RN e um difeomorfismo ϕ∗ : U∗ → V ∗ num conjunto aberto V ∗ ⊂ R
N tais que
(i) ϕ∗(y) = 0 e
(ii) F((ϕ∗)−1(x1, . . . , xN )
)= (xn+1, . . . , xN ) .
Para isso, observemos que o posto da matriz Jacobiana DFy de F no ponto y e, por hipotese,
N−n. Portanto, podemos (eventualmente depois duma permutacao das coordenadas no RN )
supor que as ultimas N − n colunas de DFy sejam linearmente independentes. Denotemos
8
estas ultimas colunas por By, isto
By :=
∂F1
∂xn+1(y) · · · ∂F1
∂xN(y)
... · · ·...
∂FN−n
∂xn+1(y) · · · ∂FN−n
∂xN(y)
.
Seja G a aplicacao suave dada por
G :W ⊂ Rn × R
N−n −→ Rn × R
N−n
x = (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xN ) 7→ (x1 − y1, . . . , xn − yn, F1(x), . . . , FN−n(x)).
Entao G(y) = 0 e o calculo do determinante de Jacobi nos da
det(DGy) = det
(In 0
∗ By
)= detBy.
Como as ultimas N − n colunas de DFx sao linearmente independentes, temos que By e
inversıvel, logo det(DGy) = detBy 6= 0. Portanto podemos aplicar o Teorema da Funcao
Inversa que garante a existencia de uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN de y e uma vizinhanca
aberta V ∗ ⊂ RN de 0 tais que ϕ∗ := G|U∗ : U∗ −→ V ∗ e um difeomorfismo. Isso implica
(1.1), pois ϕ∗(y) = G(y) = 0 . Pela definicao de G, temos
G((ϕ∗)−1(x)
)=
=((ϕ∗)−1(x)1 − y1 , . . . , (ϕ
∗)−1(x)n − yn , F1((ϕ∗)−1(x)), . . . , FN−n((ϕ
∗)−1(x))). (+)
Alem disso, vale G|U∗ = ϕ∗ e, portanto, G((ϕ∗)−1(x)
)= x para todo x ∈ V ∗. Substituindo
isso em (+), obtemos F((ϕ∗)−1(x1, . . . , xN )
)= (xn+1, . . . , xN ) , o que implica (1.1).
Agora, mostremos que o difeomorfismo ϕ∗ : U∗ → V ∗ define uma carta em torno de y ∈ U∗.
Por construcao de ϕ∗, temos que
ϕ∗(U∗ ∩M) = ϕ∗(U∗ ∩ w ∈W |F (w) = o) = ϕ∗(U∗) ∩ v ∈ V ∗ |F ((ϕ∗)−1(v)) = o= V ∗ ∩ vn+1 = . . . = vN = 0 = V ∗ ∩ Rn × o.
Portanto, (U,ϕ) := (U∗ ∩M,ϕ∗|U∗∩M ) e uma carta em torno de y ∈M .
Exemplos de subvariedades definidas por equacoes
Exemplo 1: A Esfera
Consideremos a esfera de raio r no Rn+1
Snr := x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = r.
Snr e uma subvariedade do Rn+1 de dimensao n. Para mostrar isso, consideramos a aplicacao
suave
F : Rn+1 −→ R
x 7→ ‖x‖2 − r2.
Obviamente temos Snr = F−1(0). Para a matriz Jacobiana de F em x vale
DFx = (2x1, . . . , 2xn+1) = 2x . Para x ∈ Snr temos posto(DFx) = 1 . Portanto, Teorema
1.2 implica que Snr e uma subvariedade do Rn+1 de dimensao n.
9
Exemplo 2: O grafico duma funcao
Seja U ⊂ Rn um subconjunto aberto e f : U −→ R
m uma funcao suave. Agora consideremos
o grafico de f :
M := graph(f) = (x, y) ∈ Rn+m | y = f(x) ⊂ R
n+m.
M pode ser escrito como o conjunto das raızes da seguinte funcao F :
F : U × Rm ⊂ R
n+m −→ Rm
(x, y) 7→ f(x)− y,
Obviamente M = F−1(o) e a matriz Jacobiana e dada por
DF(x,y) =
⋆
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1. . .
−1
,
(com n+m colunas e m linhas). Como posto(DF(x,y)) = m , temos que M e uma subvarie-
dade do Rn+m de dimensao n.
Exemplo 3: O toro de revolucao
Consideramos o toro de revolucao no R3.
Este e o conjunto T 2 definido da seguinte maneira:
Seja dada uma circunferencia no plano
(x, z) com centro (r1, 0) e raio r2, onde
0 < r2 < r1. Seja T 2 o conjunto dos
pontos no R3, que obtemos girando esta
circunferencia em torno do eixo z.
T 2 e chamado de toro de revolucao.
Mostremos que
............................................u
........
........................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................r
r2
r1 x
z
y
..............................................
..................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................
............................................................................................................................................................................................................................................
.............................
.............................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................
.............................................................................
...........................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................
T 2 = (
(r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu)| u, v ∈ R
.
A circunferencia no plano (x, z) e parametrizada por γ(u) := (r1+r2 cosu, r2 senu). Girando
em torno do eixo z, a coordenada z fica fixa. Pontos diferentes de (0, 0) no plano (x, y) sao
escritos usando coordenadas polares na forma peiv = p(cos v + i sen v) = (p cos v, p sen v),
onde p ∈ R+ e a distancia de (0, 0) e v e o angulo ao eixo x. Portanto, para as coordenadas
dum ponto do toro de revolucao, vale
x = (r1 + r2 cosu) cos v, y = (r1 + r2 cosu) sen v, e z = r2 senu. (∗)
Agora mostremos que T 2 e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (∗) implica x2 + y2 =
(r1 + r2 cosu)2 e, portanto,
(√x2 + y2 − r1
)2= r22 cos
2 u = r22(1− sen2 u) = r22 − z2.
Reciprocamente, se (x, y, z) ∈ R3 satisfazem (
√x2 + y2 − r1)
2 = r22 − z2, entao existem
u, v ∈ R tais que vale (∗). Concluımos entao que
T 2 = (x, y, z) ∈ R3 | (√x2 + y2 − r1)
2 + z2 − r22 = 0.
10
Se agora definimos a funcao F por
F : (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) 6= (0, 0) −→ R
(x, y, z) 7→ (√x2 + y2 − r1)
2 + z2 − r22,
entao T 2 = F−1(0). Alem disso,
DF (x,y,z) =
(2(√x2 + y2 − r1) · x√
x2 + y2,2(√x2 + y2 − r1) · y√
x2 + y2, 2z
)
e DF (x,y,z) 6= (0, 0, 0) para todo (x, y, z) ∈ T 2. Pelo Teorema 1.2, temos que T 2 e uma
subvariedade do R3 de dimensao 2.
No Exemplo 3 descrevemos o toro de revolucao T 2 usando dois parametros u e v. Agora,
consideramos conjuntos no RN que sao descritos por n parametros e analisamos sob quais
condicoes sobre a parametrizacao tais conjuntos sao subvariedades. Isso nos da um outro
criterio para decidir se certos conjuntos sao subvariedades.
Definicao. Seja M um subconjunto do RN . Uma parametrizacao local de M em torno do
ponto x ∈ M por n parametros e uma aplicacao suave injetora Φ : W ⊂ Rn −→ R
N dum
subconjunto aberto W do Rn no R
N com as seguinte propriedades:
1. x ∈ Φ(W ) ⊂M .
2. Φ(W ) e aberto M em relacao a topologia induzida em M (isto e, Φ(W ) = U∗ ∩M,
com U∗ ⊂ RN aberto).
3. Φ :W −→ Φ(W ) e um homeomorfismo.
4. A matriz Jacobiana DΦw tem posto n para todo w ∈W .
Exemplos:
1. Se h : U −→ V e uma carta duma subvariedade M em torno de x ∈M , entao
Φ := h−1 : V ⊂ Rn −→M ⊂ R
N
e uma parametrizacao local de M em torno de x.
2. Seja W = (u0 − π, u0 + π)× (v0 − π, v0 + π) ⊂ R2 e Φ :W −→ R
3 a aplicacao dada
por
Φ(u, v) := ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu) , (u, v) ∈W.
Entao Φ e uma parametrizacao local de T 2 em torno do ponto Φ(u0, v0).
Teorema 1.3 (Caracterizacao de subvariedades por parametrizacoes locais)
Seja M ⊂ RN . Suponhamos que em torno de cada ponto x ∈M exista uma parametrizacao
local de M por n parametros. Entao M e uma subvariedade n–dimensional do RN .
Demonstracao: Seja x ∈ M e seja Φ : W ⊂ Rn −→ R
N uma parametrizacao local em
torno de x. Querıamos usar Φ para construir uma carta em torno de x. Para o posto da
matriz Jacobiana de Φ, temos posto(DΦw) = n em todo ponto w ∈ W . Sem perda de
11
generalidade, podemos supor que as primeiras n linhas desta matriz sejam linearmente in-
dependentes. (Podemos obter isso permutando as coordenadas e eventualmente diminuindo
W ). Portanto,
det
∂Φ1
∂x1(w) · · · ∂Φ1
∂xn(w)
.... . .
...∂Φn
∂x1(w) · · · ∂Φn
∂xn(w)
6= 0. (∗)
Agora, consideremos a aplicacao
G :W × RN−n ⊂ R
N −→ RN
(a, b) 7→ Φ(a) + (o, b) = (Φ1(a), . . . ,Φn(a),Φn+1(a) + b1, . . . ,ΦN (a) + bN−n).
Entao temos que
detDG(a,b) = det
∂Φ1
∂x1(a) · · · ∂Φ1
∂xn(a)
.... . .
...∂Φn
∂x1(a) · · · ∂Φn
∂xn(a)
0
⋆ IN−n
.
Por (∗), obtemos detDG(a,b) 6= 0 para todo (a, b) ∈ W × RN−n. Agora, seja w0 ∈ W a
pre-imagem de x: Φ(w0) = x . Entao G(w0, o) = x . Pelo teorema da aplicacao inversa,
existem uma vizinhanca aberta V1 ⊂ RN de (w0, o) e uma vizinhanca aberta V2 ⊂ R
N
de x, tais que G|V1: V1 −→ V2 e um difeomorfismo. Pela definicao da parametrizacao,
a aplicacao Φ−1 : Φ(W ) −→ W e contınua e bijetora. Portanto, imagens de conjuntos
abertos sob Φ :W −→ Φ(W ) sao abertos. Em particular, o conjunto Φ(a) | (a, o) ∈ V1 =
Φ(V1 ∩ (W × o)) tem de ser aberto em Φ(W ) que, por sua parte, e aberto em M . Logo
existe um conjunto aberto O ⊂ RN tal que Φ(a) | (a, o) ∈ V1 = O ∩M . Agora, definimos
V ∗2 := V2 ∩ O e V ∗
1 := G−1(V ∗2 ) e denotamos a restricao G−1|V ∗
2: V ∗
2 −→ V ∗1 por ϕ∗.
Afirmamos que ϕ∗ define uma carta da subvariedade em torno de x ∈ M . Obviamente, ϕ∗
e um difeomorfismo e vale
V ∗2 ∩M =M ∩V2∩O = Φ(a) | (a, o) ∈ V ∗
1 = G(a, o) | (a, o) ∈ V ∗1 = G(V ∗
1 ∩ (Rn×o)),
pela definicao de G. Portanto, ϕ∗(V ∗2 ∩M) = V ∗
1 ∩ (Rn × o).
Motivados pela demonstracao do teorema acima, vamos usar a palavra carta tambem para
qualquer aplicacao inversa de parametrizacoes (sem a exigencia de ser restricao dum φ∗).
Assim obtemos uma nocao um pouco mais geral que em algumas situacoes pode ser mais
pratica que nossa definicao original.
Exemplo: A catenoide
A catenoide e a superfıcie que obtemos se giramos a catenaria pelo eixo z. Ela e descrita
por
M2 := Φ(u, v) = (coshu cos v, coshu sen v, u) | (u, v) ∈ R2
A catenoide M2 e uma subvariedade 2–dimensional do R3, pois
Φ : (u, v) ∈ (u0 − π, u0 + π)× R −→ Φ(u, v) ∈M
e uma parametrizacao local em torno do ponto Φ(u0, v0) ∈ M para todo (u0, v0) ∈ R2
(Exercıcio 3).
12
Figura 1.1: A catenoide
Exemplo: A helicoide
A helicoide e o conjunto
F 2 = Φ(u, v) := (v cosu, v senu, u) | v, u ∈ R, v > 0 .
A helicoide F 2 e uma subvariedade 2–dimensional do R3, pois, para todo (u0, v0) ∈ R
2,
Φ : (u, v) ∈ (u0 − π, u0 + π)× R −→ Φ(u, v) ∈ F
e uma parametrizacao local em torno do ponto Φ(u0, v0) ∈ F .
13
−2
−1
0
1
2 −2−1.5
−1−0.5
00.5
11.5
2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 1.2: Intersecao da helicoide com um plano pelo eixo z
Nos exercıcios tratamos outros exemplos de subconjuntos que sao ou nao sao subvariedades
(veja Exercıcios 1 ate 5 no Capıtulo 13).
1.2 Subvariedades com bordo
Ate agora tratamos somente subvariedades que nao possuem “bordo”. Alguns conjuntos
simples, como o disco fechado no R2, nao sao inclusos nesta definicao. Agora estendemos
o conceito duma subvariedade e tambem permitimos subvariedades com bordo como, por
exemplo, o disco fechado.
Definicao. Rn+ := (x1, . . . , xn) ∈ R
n |xn ≥ 0 e o semi-espaco.
∂Rn+ := x ∈ Rn+ |xn = 0 ≃ R
n−1 e o bordo do semi-espaco.
Definicao.∗ Um subconjunto M ⊂ RN e chamado de subvariedade n-dimensional com
bordo se em torno de cada ponto x ∈ M existem uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN e um
difeomorfismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ de U∗ num conjunto aberto V ∗ ⊂ RN tais que uma das
seguintes condicoes e satisfeita:
1. ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn × 0), ou
2. ϕ∗(U∗∩M) = V ∗∩(Rn+×0) e para a n-esima coordenada de ϕ∗(x) vale ϕ∗n(x) = 0.
Neste caso tambem chamamos o par (U := U∗ ∩M,ϕ := ϕ∗|U∗) uma carta em torno de
x ∈M .
Visualizamos os dois casos no exemplo do disco no R2 (onde temos N = n = 2 e visualizamos
uma carta do tipo 1 e uma do tipo 2, ambas denotadas por ϕ).
Exemplo:
14
........
........
........
...................................................................................................
..........................
.....................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........
...............................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........
...............................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................q
xU∗(x)
(1)(2)
........
........
...............................................
.................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ϕ∗....................
...............................................................................................................
ϕ∗
........
........................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
V ∗
x1
x2
q
x1
x2
q
ϕ∗(x)
q
V ∗ ⊂ R2
M := x ∈ R2 | ‖x‖2 ≤ 1
x
U∗(x)
No “interior” do disco existe uma carta do tipo (1), para o “bordo” uma carta do tipo (2).
Agora mostramos que cada ponto duma subvariedade possui ou somente cartas do tipo (1)
ou somente cartas do tipo (2).
Teorema 1.4 Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional com bordo e x ∈ Mn.
Entao os difeomorfismos ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ que definem uma carta em torno de x ou todos
satisfazem a condicao 1 ou todos satisfazem a condicao 2 da definicao ∗ acima.
Demonstracao: Usamos um argumento indireto e supomos que existam um difeomorfismo
ϕ∗1 : U∗
1 −→ V ∗1 tal que x ∈ U∗
1 e ϕ∗1(U
∗1 ∩M) = V ∗
1 ∩ (Rn × 0) e um difeomorfismo
ϕ∗2 : U∗
2 −→ V ∗2 tal que x ∈ U∗
2 , ϕ∗2(U
∗2 ∩M) = V ∗
2 ∩ (Rn+ ×0) e (ϕ2)∗n(x) = 0. Definimos
O := U∗2 ∩ U∗
1 . Entao ϕ∗1(O ∩M) ⊂ R
n e aberto e
ϕ∗2 (ϕ∗
1)−1 : ϕ∗
1(O ∩M) −→ ϕ∗2(O ∩M) ⊂ R
n+ ⊂ R
n
e um difeomorfismo satisfazendo ϕ∗2 (ϕ∗
1)−1(ϕ∗
1(x)) = ϕ∗2(x) . Em particular, o con-
junto ϕ∗2(O ∩ M) e aberto no R
n. Porem, vale ϕ∗2(O ∩ M) ⊂ R
n+ e ϕ∗
2(x) ∈∂Rn+ e, portanto, ϕ∗
2(O ∩ M) nao pode ser aberto no Rn. Isto e uma contradicao.
Teorema 1.4 permite a seguinte definicao:
Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional. O conjunto
∂M := x ∈M | Existe uma carta em torno de x satisfazendo cond. 2 da Def. ∗ e o bordo de M . O conjunto
Int(M) := x ∈M | Existe uma carta em torno de x satisfazendo cond. 1 da Def. ∗ e o interior de M .
Observamos que uma subvariedade e a uniao disjunta do interior e do bordo:
M = Int(M) ∪ ∂M .
Teorema 1.5 Seja M ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional com bordo. Entao Int(M) e
uma subvariedade n–dimensional sem bordo e ∂M e ou vazio ou uma subvariedade (n− 1)–
dimensional sem bordo.
Demonstracao: Por definicao, temos que Int(M) e uma n-subvariedade sem bordo. Su-
pomos ∂M 6= ∅ e seja x ∈ ∂M . Entao existe um difeomorfismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ tal que
x ∈ U∗ e ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn+ ×0). Se y ∈ U∗ ∩ ∂M , entao ϕ∗n(y) = 0: Se tivessemos
ϕ∗n(y) > 0, uma restricao adequada do difeomorfismo ϕ∗ daria uma carta do tipo (1) em
torno de y, em contradicao ao Teorema 1.4. Entao obtemos
ϕ∗(U∗ ∩ ∂M) = V ∗ ∩ (Rn−1 × o).
15
Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e a carta em torno de x∂M ⊂M definida por ϕ∗, entao (U∩∂M,ϕ =
(x1, . . . , xn−1)) e uma carta de ∂M em torno de x.
16
Capıtulo 2
Espacos tangentes e normais em
subvariedades
Para uma aplicacao diferenciavel F : Rn −→ R
m , a derivada no ponto x ∈ Rn e uma
transformacao linear DFx : Rn −→ Rm . O valor da transformacao DFx no vetor a ∈ R
n
e obtido pela derivada direcional de F na direcao a que e a derivada de F ao longo da reta
por x na direcao a:
DFx(a) =d
dt
(F (x+ ta)
)|t=0
O domınio Rn da derivada DFx pode ser identificado com o conjunto de todos os vetores
que sao tangentes a alguma reta por x (isto e, uma curva da forma γ(t) = x+ ta ).
Nos seguintes dois capıtulos queremos generalizar esta ideia a aplicacoes diferenciaveis F :
M −→ N entre subvariedades (com bordo). Primeiro definimos e analisamos os espacos
vetoriais que vao servir como domınio da derivada de F , os chamados espacos tangentes.
Agora, no caso duma subvariedade M nao vamos considerar as retas por x, mas as curvas
suaves γ : I −→ RN por x cujas imagens sao contidas em M .
A partir de agora, seja Mn ⊂ RN uma n-subvariedade com ou sem bordo.
Definicao. Seja x ∈M . O conjunto dos vetores
TxM :=v ∈ R
N∣∣∣ ∃ curva suave γ : I −→M tal que γ(0) = x , γ′(0) = v,
onde I = (−ε, ε), [0, ε) ou (−ε, 0]
e chamado de espaco tangente de M no ponto x. Os elementos de TxM sao chamados de
vetores tangentes a M no ponto x.
Teorema 2.1 O espaco tangente TxM duma n-subvariedade Mn ⊂ RN no ponto x ∈ M e
um subespaco do RN de dimensao n.
Demonstracao: Seja ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ um difeomorfismo definindo uma carta em torno de
x ∈M . Entao, por definicao, temos ou ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn × o) (se x ∈ Int(M)) ou
ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn+ × o) e ϕ∗n(x) = 0 (se x ∈ ∂M). Como ϕ∗ e um difeomorfismo
entre subconjuntos abertos do RN , a derivada Dϕ∗
x : RN −→ RN e um isomorfismo. Vamos
mostrar a seguinte afirmacao (∗) que imediatamente implica o Teorema 2.1:
(Dϕ∗x)
−1(Rn × o) = TxM (∗).
17
Primeiro, seja w ∈ Rn × o. A n-esima coordenada do vetor w seja denotada por wn.
Consideramos a curva suave γ : I −→ U∗
γ(t) := (ϕ∗)−1(ϕ∗(x) + tw),
onde I = (−ε, ε) se x ∈ Int(M) , I = [0, ε) se x ∈ ∂M e wn > 0, e I = (−ε, 0] se x ∈ ∂M
e wn < 0. Aqui, escolhemos ε > 0 tao pequeno que ϕ∗(x) + tw ∈ V ∗ para todo t ∈ I. Isso
implica que ϕ∗(x) + tw ∈ V ∗ ∩ (Rn × o) e, portanto,
γ(t) = (ϕ∗)−1(ϕ∗(x) + tw) ⊂ U∗ ∩M ⊂M.
Alem disso, temos γ(0) = x, e a regra da cadeia para aplicacoes diferenciaveis entre espacos
reais implica
γ′(0) =(Dϕ∗−1
)ϕ∗(x)
(w) = (Dϕ∗x)
−1(w).
Pela definicao de TxM , obtemos (Dϕ∗x)
−1(w) ∈ TxM .
Agora, seja v ∈ TxM . Entao existe uma curva suave γ : I −→ M tal que γ(0) = x e
γ′(0) = v. Se escolhemos o intervalo I bastante pequeno, entao γ(t) ∈ U∗ para todo t ∈ I.
Portanto, ϕ∗(γ(t)) ⊂ Rn × o. Derivando em t = 0 e aplicando a regra da cadeia, otemos
Dϕ∗x(γ
′(0)) ∈ Rn×o. Como v = γ′(0), concluımos que tambem vale a inclusao inversa de
(*).
Exemplo 1: Seja U ⊂ Rn aberto e x ∈ U . Entao TxU = R
n .
Exemplo 2: Seja Snr := x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = r a n-esfera e x ∈ Snr . Entao
TxSnr = v ∈ R
n+1 | 〈x, v〉 = 0
pelo seguinte argumento: Se v ∈ TxSnr , entao existe uma curva suave γ : I −→ R
3 tal que
γ(0) = x, γ′(0) = v e 〈γ(t), γ(t)〉 ≡ r2 para todo t ∈ I.
Derivando a ultima equacao por t, obtemos
〈γ′(t), γ(t)〉 + 〈γ(t), γ′(t)〉 = 0 . Para t = 0,
obtemos 〈v, x〉 = 0 . Portanto, TxSnr ⊂ v ∈
Rn+1 | 〈x, v〉 = 0 . Como os dois espacos veto-
riais possuem a mesma dimensao, concluımos
que sao iguais.
x v
M = S2 ⊂ R3
TxM
........
........
........
........
....................................................................................
...........................
..............................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................
...............................
...................................................................................................................................
Exemplo 3: Seja F : RN −→ RN−n uma aplicacao C∞ eM := F−1(o) o conjunto de raızes
de F . A matriz Jacobiana DFx tenha posto (maximo) N − n para todo x ∈ M . Entao M
e uma n–subvariedade e
TxM =(span (gradF1(x), . . . , gradFN−n(x))
)⊥
= v ∈ RN | 〈v, gradFi(x)〉 = 0 ∀i = 1, . . . , N − n = Nuc(DFx).
Como nos dois lados temos subespacos do Rn da mesma dimensao, basta mostrar que TxM ⊂(span (gradF1(x), . . . , gradFN−n(x))
)⊥. Entao seja v ∈ TxM . Pela definicao de TxM ,
existe uma curva γ : I −→M satisfazendo γ(0) = x e γ′(0) = v tal que Fi(γ(t)) = 0 para
todo t ∈ I e i = 1, . . . , N − n. Com a regra da cadeia, obtemos
(DFi)x(v) = 〈gradFi(x), v〉 = 0,
para todo i = 1, . . . , N − n. Isto implica a afirmacao.
18
Exemplo 4: Seja Mn ⊂ RN uma n-subvariedade e Φ : W ⊂ R
n −→ RN uma parame-
trizacao local em torno de x = Φ(u) ∈M . Entao
TxM = span
(∂Φ
∂x1(u), . . . ,
∂Φ
∂xn(u)
).
Como, por definicao, a matriz Jacobiana DΦu =(∂Φ∂x1
(u), . . . , ∂Φ∂xn
(u))
tem posto n, sabe-
mos que span(∂Φ∂x1
(u), . . . , ∂Φ∂xn
(u))
e um subespaco n–dimensional do RN . Portanto, basta
mostrar que span(∂Φ∂x1
(u), . . . , ∂Φ∂xn
(u))
⊂ TxM . Para isso, consideramos a curva suave
γ(t) := Φ(u + tei). Entao γ(0) = x e a regra da cadeia implica γ′(0) = DΦu(ei) =∂Φ∂xi
(u).
Isto implica ∂Φ∂xi
(u) ∈ TxM e, portanto, a afirmacao.
Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade e x ∈M . O complemento ortogonal de TxM
e denotado por
NxM := w ∈ RN |w ⊥ TxM = (TxM)⊥
e e chamado espaco normal a M no ponto x ∈ M . Os elementos de NxM sao chamados
vetores normais a M no ponto x. O plano n–dimensional
TanxM := x+ TxM ⊂ RN
e chamado plano tangente a M em x ∈M e o plano (N − n)–dimensional
NorxM := x+NxM ⊂ RN
e chamado plano normal a M em x ∈M .
Dos Exemplos 3 e 4, obtemos as seguintes formas de calcular os espacos normais:
1. Se Mn ⊂ Rn+1 e Φ : W −→ R
n+1 e uma parametrizacao local em torno de x =
Φ(u) ∈M , entao
NxM = R
( ∂Φ
∂x1(u)× . . .× ∂Φ
∂xn(u)
︸ ︷︷ ︸produto vetorial
).
2. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfıcie definido por equacoes, isto e, M = F−1(0)
para uma aplicacao suave F : Rn+1 −→ R cujo gradiente nunca se anula. Entao
NxM = R · gradF (x).
Um exemplo concreto:
Seja M2 = S2 a 2-esfera no R3. Entao
T(0,0,1)S2 = (x, y, 0) ∈ R
3 | x, y ∈ RN(0,0,1)S
2 = (0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R
Mais exemplos sao contidos nos Exercıcios 5 ate 7.
19
Capıtulo 3
Aplicacoes diferenciaveis e suas
derivadas
Agora definimos o conceito duma aplicacao diferenciavel entre subvariedades.
Definicao. Sejam Mn11 ⊂ R
N1 e Mn22 ⊂ R
N2 duas subvariedades. Uma aplicacao F :
M1 −→ M2 e chamada diferenciavel de classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞, se para toda carta (U,ϕ) de
M1 a aplicacao
F ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn1 −→ R
N2
e uma aplicacao de classe Ck.
Por Ck(M) denotamos o anel de todas as aplicacoes Ck com valores reais em M . Por
Ck(M1,M2) denotamos o conjunto das aplicacoes de classe Ck entre as subvariedades M1
e M2.
Observacoes:
(1) Normalmente, vamos considerar aplicacoes suaves (quer dizer, C∞). Se o grau de dife-
renciabilidade nao interessa, falamos simplesmente duma aplicacao diferenciavel (e omitimos
a informacao Ck).
(2) Basta verificar a diferenciabilidade das aplicacoes F ϕ−1i : ϕi(Ui) −→ R
N2 para algum
atlas A = (Ui, ϕi)i∈I (Exercıcio).
(3) Se M1 ⊂ RN1 e um subconjunto aberto, entao o conceito de diferenciavel definido acima
coincide com o conceito conhecido para aplicacoes entre espacos vetoriais reais.
(4) Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade de classe Ck e seja (U,ϕ) uma carta em M . Entao a
aplicacao ϕ : U −→ V ⊂ Rn e diferenciavel de classe Ck (Exercıcio).
(5) Sejam F : M1 −→ M2 e G : M2 −→ M3 diferenciaveis. Entao a composicao
G F :M1 −→M3 tambem e diferenciavel (Exercıcio).
Definicao. Seja F : Mn11 −→ Mn2
2 uma aplicacao entre duas subvariedades. Seja (U,ϕ)
uma carta em torno de x ∈ M1 e (V, ψ) uma carta em torno de F (x) ∈ M2. Entao a
aplicacao
ψ F ϕ−1 : ϕ(U ∩ F−1(V )) ⊂ Rn1 −→ ψ(V ) ⊂ R
n2
e chamada representacao de F em relacao as cartas (U,ϕ) e (V, ψ).
Se F :M1 −→ RN , entao F ϕ−1 : ϕ(U) −→ R
N e chamada representacao de F em relacao
a carta (U,ϕ).
Observamos que uma aplicacao F e diferenciavel de classe Ck se, e somente se, todas suas
20
representacoes em cartas sao aplicacoes Ck. (Exercıcio!)
Agora, a derivada duma aplicacao diferenciavel F : M1 −→ M2 e definida em analogia ao
caso de aplicacoes entre espacos reais como derivada de F ao longo de curvas:
Definicao. Seja F : M1 −→ M2 uma aplicacao diferenciavel entre subvariedades. A
derivada da aplicacao F no ponto x ∈M1 e a aplicacao
dFx : TxM1 −→ TF (x)M2
γ′(0) 7−→ (F γ)′(0),
onde γ : I −→M1 e uma curva diferenciavel tal que γ(0) = x .
Observacao 1: A definicao de dFx e correta, isto e, ela independe da escolha de γ: Seja
v ∈ TxM1 e seja γ uma curva diferenciavel em M1 tal que γ(0) = x e γ′(0) = v . Pegamos
uma carta (U,ϕ) em torno de x. Entao a regra da cadeia para aplicacoes diferenciaveis entre
espacos reais implica que
(F γ)′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x)((ϕ γ)′(0)).
Como a carta ϕ e, por definicao, a restricao dum difeomorfismo local ϕ∗ : RN → RN , a
regra da cadeia implica (ϕ γ)′(0) = (ϕ∗γ)′(0) = Dϕ∗x(γ
′(0)) = Dϕ∗x(v) e, portanto,
(F γ)′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x) Dϕ∗x(v).
Portanto, (F γ)′(0) nao depende da escolha da curva γ.
Observacao 2: Se M1 ⊂ RN1 e M2 ⊂ R
N2 sao subconjuntos abertos dos dados espacos
reais, entao a derivada definida acima coincide com a derivada conhecida de aplicacoes entre
subconjuntos abertos de espacos reais.
dFx(v) =d
dtF (x+ tv︸ ︷︷ ︸
γ(t)
)|t=0 = DFx(v).
Teorema 3.1 Sejam F :M1 −→M2 e G :M2 −→M3 diferenciaveis e x ∈M1.
1. A derivada dFx : TxM1 −→ TF (x)M2 e uma transformacao linear entre os espacos
tangentes.
2. Vale a regra da cadeia: d(G F )x = dGF (x) dFx .
Demonstracao: Seja v ∈ TxM1 e seja γ : I −→ M1 uma curva diferenciavel tal que
γ(0) = x e γ′(0) = v.
Sobre 1. Seja (U,ϕ) uma carta em torno de x. Pela definicao da derivada de F e pela regra
da cadeia para aplicacoes entre espacos reais, segue (como acima):
dFx(v) = (F γ)′(0) = [(F ϕ−1) (ϕ γ)]′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x) Dϕ∗x(v),
Como as derivadas de aplicacoes diferenciaveis no RN sao lineares, dFx tambem e linear.
Sobre 2. Aplicar a definicao da
(dG)F (x) (dF )x(v) = (dG)F (x)((F γ)′(0)) = (G (F γ))′(0) = ((G F ) γ)′(0)= d(G F )γ(0)(γ′(0)) = d(G F )x(v).
21
Observacao: A seguinte observacao frequentemente facilita a verificacao que uma aplicacao
definida numa subvariedade e diferenciavel e ao mesmo tempo fornece uma forma de calcular
sua derivada:
Sejam F : U ⊂ RN −→ R
k uma aplicacao diferenciavel, U ⊂ RN aberto e Mn ⊂ U
uma subvariedade n–dimensional. Entao a aplicacao f := F |M : M −→ Rk tambem em
diferenciavel e df x = DFx|TxM (Exercıcio).
22
Capıtulo 4
Bases canonicas e suas bases
duais
Como sabemos da Algebra, frequentemente e util considerar bases especiais em espacos
vetoriais. Como base do espaco tangente TxM , e comum usar a base definida por uma carta
em torno de x, a chamada base canonica.
Sejam Mn ⊂ RN uma subvariedade e (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈M .
O i-esimo vetor da base canonica do Rn seja denotado por ei (a i-esima componente de ei
e 1, todas as outras componentes de ei sao zero). Consideramos o vetor tangente no ponto
x ∈M que e definido pela derivada de t 7→ ϕ−1(ϕ(x) + tei):
∂
∂xi(x) :=
d
dt
(ϕ−1(ϕ(x) + tei)
)∣∣∣t=0
= (Dϕ−1)ϕ(x)(ei) =∂ϕ−1
∂xi(ϕ(x)) ∈ TxM
e2
e1
......................................................................................................................................................❯
ϕ
...................................................
.............................................
..................................................................
................................................................................................................................................................................................................
∂∂x1
(x)
∂∂x2
(x)
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.......
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..................................................................................
...........
Como para o espaco tangente vale TxM = dϕ−1ϕ(x)(R
n × 0) e a aplicacao dϕ−1ϕ(x) e um
isomorfismo, os n vetores (∂
∂x1(x), . . . ,
∂
∂xn(x)
)
formam uma base do espaco tangente TxM . Esta base e chamada base canonica de TxM
em relacao a carta (U,ϕ). (Observamos que cada ∂∂xi
nao depende apenas da funcao xi
mas da carta φ e de i.
23
Exemplo: Seja M = R2. Determinamos as bases canonicas das cartas definidas pelas
coordenadas euclideanas e pelas coordenadas polares, respectivamente:
Seja ϕ : R2 −→ R2 a carta dada pelas coordenadas euclideanas: ϕ(x) := (x1, x2) . Para
esta carta obviamente vale
∂
∂xi(x) = ei para todo ponto x = (x1, x2) ∈M.
As coordenadas polares em R2 sao dadas pela parametrizacao
Φ : R+ × (0, 2π) −→ U := R2 \ (x1, 0) | x1 ∈ [0,∞)
Φ(r, v) := (r cos v, r sen v).
Entao no ponto x = (x1, x2) = Φ(r, v) vale (para a carta (U,Φ−1) definida pela parame-
trizacao Φ e usando a convencao comum Φ−1 =: (y1, y2),∂∂r
:= ∂∂y1
, ∂∂v
:= ∂∂y2
):
∂
∂r(x) =
∂Φ
∂r(r, v) = (cos v, sen v) =
1
rx =
x√x21 + x22
e
∂
∂v(x) =
∂Φ
∂v(r, v) = (−r sen v, r cos v) = (−x2, x1).
........
........
........
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∂∂v
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........................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
❯
s
∂∂r
Agora descrevemos a relacao entre as bases canonicas em relacao a duas cartas diferentes
em torno dum mesmo ponto.
Teorema 4.1 (Formula de transformacao para bases canonicas) Seja Mn ⊂ RN
uma subvariedade, seja x ∈ M e sejam (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e (V, ψ = (y1, . . . , yn)) duas
cartas em torno de x. Entao
∂
∂xi(x) =
n∑
α=1
∂(ψ ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · ∂
∂yα(x),
onde ∂(ψϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) e a α–esima componente da i–esima derivada parcial∂(ψϕ−1
|ϕ(U∩V ))
∂xi(ϕ(x)) .
Portanto, a matriz de transformacao entre as bases canonicas de (U,ϕ) e (V, ψ) e dada pela
matriz Jacobiana da mudanca de cartas ψ ϕ−1.
Demonstracao: Seja (e1, . . . , eN ) a base canonica do RN . A i–esima coluna da matriz
Jacobiana D(ψ ϕ−1)ϕ(x) e dada por d(ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei) =n∑α=1
∂(ψϕ−1)α∂xi
·eα . Entao segue
24
por definicao, a regra da cadeia e a linearidade da derivada:
∂
∂xi(x) = (dϕ−1)ϕ(x)(ei) = d(ψ−1 ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei)
= (dψ−1)ψ(x) d(ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei)
= (dψ−1)ψ(x)
( n∑
α=1
∂(ψ ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · eα)
=
n∑
α=1
∂(ψ ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · (dψ−1)ψ(x)(eα)
=n∑
α=1
∂(ψ ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · ∂
∂yα(x).
De forma analoga, obtemos a representacao da derivada duma aplicacao diferenciavel entre
subvariedades em relacao a bases canonicas:
Teorema 4.2 (Representacao da derivada em bases) Seja F : M1 −→ M2 uma
aplicacao diferenciavel entre subvariedades e x ∈ M1. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta
em torno de x ∈M1 e (W,ψ = (z1, . . . , zk)) uma carta em torno de F (x) ∈M2. Entao para
a transformacao linear dFx : TxM1 −→ TF (x)M2 vale
dFx
( ∂
∂xi(x))=
k∑
α=1
∂(ψ F ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · ∂
∂zα(F (x)).
Portanto, a matriz de dFx em relacao as bases canonicas da carta (U,ϕ) em torno de
x ∈ M1 e (W,ψ) em torno de F (x) ∈ M2 e a matriz Jacobiana da representacao
ψ F ϕ−1|ϕ(F−1(W )∩U) de F em ϕ(x).
Demonstracao: A demonstracao e analoga a demonstracao do Teorema 4.1.
dFx
( ∂
∂xi(x))
= dFx((dϕ−1)ϕ(x)(ei)) = d(ψ−1 ψ F ϕ−1)ϕ(x)(ei)
= (dψ−1)ψ(F (x)) d(ψ F ϕ−1)ϕ(x)(ei)
= (dψ−1)ψ(F (x))
( k∑
α=1
∂(ψ F ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · eα)
=
k∑
α=1
∂(ψ F ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · (dψ−1)ψ(F (x))(eα)
=
k∑
α=1
∂(ψ F ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · ∂
∂zα(F (x)).
Da Algebra sabemos que a cada espaco vetorial podemos associar seu dual algebrico. Agora
fazemos o mesmo com os espacos tangentes a uma subvariedade. Em particular, queremos
descrever as bases duais das bases canonicas.
Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade, x ∈ M e TxM o espaco tangente em x. O
espaco vetorial
T ∗xM := L : TxM −→ R | L linear
25
chama-se espaco dual tangente a M no ponto x, tambem chamado de espaco cotangente.
Seja f : M −→ R uma aplicacao diferenciavel com valores reais e seja x ∈ M . A derivada
df x : TxM −→ Tf(x)R = R de f no ponto x e linear e, portanto, df x ∈ T ∗xM .
Em particular, as funcoes coordenadas xi : U −→ R duma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn))
sao apliccoes diferenciaveis com valores reais. Portanto, (dxi)x : TxM −→ R e linear e,
consequentemente, (dx1)x, . . . , (dxn)x ∈ T ∗xM .
Teorema 4.3 Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta de M em torno de x com base canonica
( ∂∂x1
(x), . . . , ∂∂xn
(x)) de TxM . Entao as diferenciais ((dx1)x, . . . , (dxn)x) formam a base
dual no espaco cotangente T ∗xM , isto e,
(dxi)x
( ∂
∂xj(x))= δij ∀ i, j = 1, . . . n.
Demonstracao: Aplicando a definicao da
(dxi)x
( ∂
∂xj(x))
= (dxi)x
( ddt
(ϕ−1(ϕ(x) + tej))|t=0 =
d
dtxi(ϕ
−1(ϕ(x) + tej))|t=0
=d
dt(ϕ(x) + tej)i|t=0 = δij .
Da formula de transformacao para bases duais (veja Algebra Linear), obtemos a seguinte
formula de transformacao para as bases duais.
Corolario. Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e (W,ψ = (y1, . . . , yn)) sao duas cartas em M em
torno de x, entao
(dyα)x =n∑
i=1
∂(ψ ϕ−1)α∂xi
(ϕ(x)) · (dxi)x.
26
Capıtulo 5
Campos vetoriais em
subvariedades
Definicao. Um campo vetorial numa subvariedade Mn ⊂ RN e uma aplicacao C∞
X :M −→ RN satisfazendo X(x) ∈ TxM para todo x ∈M .
Observacao: Seja X(M) o conjunto de todos os campos vetoriais M . Entao
1. Se X1, X2 ∈ X(M), entao X1 +X2 ∈ X(M).
2. Se f ∈ C∞(M) e X ∈ X(M), entao fX ∈ X(M).
Portanto, X(M) e um modulo sobre o anel C∞(M) das funcoes suaves.
Exemplo 1:
A aplicacao X : S2 −→ R3 definida por
X(x, y, z) := (−y, x, 0)
e um campo vetorial na esfera
S2 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 = 1 ⊂ R
3.
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Exemplo 2: Sistemas de bases canonicas
Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn) uma carta numa subvariedade M e seja ∂∂xi
(x) = ∂ϕ−1
∂xi(ϕ(x)) o
i-esimo vetor da base canonica (definida na secao anterior) da carta (U,ϕ) no ponto x ∈ U .
Como as aplicacoes ∂ϕ−1
∂xie ϕ sao diferenciaveis, a aplicacao
∂
∂xi: U ⊂M −→ R
N ,
que associa a cada ponto x ∈ U o vetor ∂∂xi
(x) e uma campo vetorial suave na regiao
U ⊂ M . A n-upla das aplicacoes ( ∂∂x1
, . . . , ∂∂xn
) chama-se campo de bases canonicas em
relacao a (U,ϕ).
Cada campo vetorial X ∈ X(M) pode ser descrito sobre o domınio U duma carta usando
27
a base canonica:
X(x) =
n∑
i=1
ξi(x)∂
∂xi(x). (∗)
As componentes nesta representacao em bases canonicas definem funcoes suaves ξi : U −→R , i = 1, . . . , n no domınio da carta. (∗) chama-se representacao do campo vetorial X em
relacao a carta (U,ϕ). Representando as funcoes coordenadas ξi na carta φ, obtemos as
funcoes
ξi ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn −→ R,
as componentes de X em relacao a carta (U,ϕ).
Agora, vamos generalizar a definicao da derivada direcional do caso Rn ao caso de subvari-
edades.
Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade e seja F : M −→ R
m uma aplicacao dife-
renciavel com valores num espaco vetorial real.
1. Seja v ∈ TxM um vetor tangente a M no ponto x. O vetor
v(F ) := dFx(v) ∈ TF (x)Rm = R
m
chama-se derivada direcional de F pelo vetor v.
2. Seja X ∈ X(M) um campo vetorial em M . A aplicacao X(F ) : M −→ Rm , definida
por
X(F )(x) := dFx(X(x)),
chama-se derivada direcional de F pelo campo vetorial X.
Deixamos a demonstracao das seguintes propriedades da derivada direcional como exercıcio.
Teorema 5.1 Seja M ⊂ RN uma subvariedade, sejam X ∈ X(M) um campo vetorial e
sejam
F ∈ C∞(M,Rm), f ∈ C∞(M,R). Entao:
1. X(F ) ∈ C∞(M,Rm).
2. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x e seja X =n∑i=1
ξi∂∂xi
a repre-
sentacao de X em relacao a esta carta. Entao temos para as derivadas parciais que
X(F ) =
n∑
i=1
ξi∂
∂xi(F ) =
n∑
i=1
ξi∂(F ϕ−1)
∂xi ϕ.
Em particular, a derivada direcional de F pelo campo ∂∂xi
e dada pela i-esima compo-
nente da derivada parcial da representacao de F na carta (U,ϕ).
3. A derivada direcional satisfaz a seguinte regra do produto:
X(f · F ) = X(f) · F + f ·X(F ) .
Finalmente, queremos conhecer um metodo para associar um novo campo vetorial (o cha-
mado comutador) a dois campos vetoriais numa subvariedade M .
Por definicao, um campo vetorial X emM e uma aplicacao suave definida emM com valores
28
no espaco vetorial real RN . O fato que esta aplicacao suave X e um campo vetorial emM se
manifesta numa propriedade adicional da imagen desta aplicacao: X(x) e tangente a M no
ponto x. Considerando um campo vetorial X como uma aplicacao suave X : M −→ RN ,
podemos deriva-la na direcao dum outro campo vetorial Y . Entao Y (X) : M −→ RN vai
ser uma aplicacao suave, mas em geral nao precisa ser um campo vetorial em M , pois os
valores Y (X)(x) nao necessariamente sao tangentes a M em x. Esta “perturbacao” nao-
tangente pode ser removido subtraindo a outra derivada direcional. Vale o seguinte teorema:
Teorema 5.2 Sejam X e Y dois campos vetoriais numa subvariedade Mn ⊂ RN .
Entao a aplicacao suave
[X,Y ] := X(Y )− Y (X) :M −→ RN
define um campo vetorial em M . (Aqui, X(Y ) e a derivada direcional da aplicacao
Y :M −→ RN pelo campo vetorial X e Y (X) a derivada direcional da aplicacao
X :M −→ RN pelo campo vetorial Y ). Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de
x. Em relacao a esta carta, os campos X e Y tenham as representacoes X|U =n∑i=1
ξi∂∂xi
e Y |U =n∑i=1
ηi∂∂xi
, respectivamente. Entao
[X,Y ]|U =
n∑
i=1
(X(ηi)− Y (ξi))∂
∂xi.
Definicao. Sejam X e Y dois campos vetoriais numa subvariedade M . O campo vetorial
[X,Y ] chama-se comutador de X e Y .
Demonstracao de 5.2: Para mostrar que [X,Y ] e um campo vetorial em M , temos de
mostrar que [X,Y ](x) ∈ TxM para todo x ∈M . Para isso, consideramos as representacoes
dos campos vetoriaisX e Y em relacao a uma carta qualquer (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e mostram
que [X,Y ] tambem pode ser representado pelo campo de bases canonicas desta carta.
Aplicando a regra do produto para a derivada direcional obtemos que em U ⊂M vale
[X,Y ] = X
( n∑
i=1
ηi∂
∂xi
)− Y
( n∑
i=1
ξi∂
∂xi
)
=
n∑
i=1
[X(ηi)− Y (ξi)
] ∂
∂xi+
n∑
i=1
[ηiX
( ∂
∂xi
)− ξiY
( ∂
∂xi
)].
Portanto, basta mostrar que a ultima soma e zero. Como
n∑
i=1
[ηiX
( ∂
∂xi
)− ξiY
( ∂
∂xi
)]=
n∑
i,j=1
[ηiξj
∂
∂xj
( ∂
∂xi
)− ξiηj
∂
∂xj
( ∂
∂xi
)]
=n∑
i,j=1
ηiξj
( ∂
∂xj
( ∂
∂xi
)− ∂
∂xi
( ∂
∂xj
))
=
n∑
i,j=1
ηiξj
[ ∂
∂xj,∂
∂xi
],
falta mostrar que vale [ ∂∂xj
, ∂∂xi
] = 0 para todo i, j. Pela definicao de campos de bases
29
canonicas, temos
[ ∂
∂xj,∂
∂xi
]=
∂
∂xj
((∂ϕ−1
∂xi
) ϕ)− ∂
∂xi
((∂ϕ−1
∂xj
) ϕ)
=∂2ϕ−1
∂xj∂xi ϕ− ∂2ϕ−1
∂xi∂xj ϕ.
Como essas sao as derivadas parciais usuais e todas as aplicacoes sao suaves, a afirmacao
segue do lema de simetria de Schwarz. (A mesma afirmacao vale se a subvariedade e os
campos vetoriais forem pelo menos de classe C2.)
Corolario. Para o comutador de campos de bases canonicas vale
[ ∂
∂xi,∂
∂xj
]≡ 0.
Exemplo: Seja S2 ⊂ R3 a esfera 2–dimensional no R
3. Consideramos os seguintes tres
campos vetoriais em S2:
X(x, y, z) := (−y, x, 0) , Y (x, y, z) = (−z, 0, x) , Z(x, y, z) = (0,−z, y)
Entao para o comutador vale [X,Y ] = Z (Exercıcio 8). A seguinte imagem bonita (criada
por Thomas Neukirchner) visualiza este resultado:
,
=
Deixamos a demonstracao das seguintes propriedades do comutador como exercıcio
(Exercıcio 9).
Teorema 5.3 (Propriedades do comutador de campos vetoriais) Sejam X,Y, Z
campos vetoriais e f, g funcoes numa subvariedade. Entao
a) [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (identidade de Jacobi)
b) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X
c) [X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f))
30
Capıtulo 6
Subvariedades orientaveis e
nao-orientaveis
Vamos distinguir dois tipos de variedades: as orientaveis e as nao-orientaveis. Para as
subvariedades orientaveis muitos conceitos sao tecnicamente mas faceis de definir e de usar.
Antes de definirmos estes dois tipos de subvariedades lembramos o conceito de orientacao
dum espaco real de dimensao finita conhecido da Algebra Linear.
Seja V n uma espaco real n-dimensional e B(V ) o conjunto de bases de V . Sejam a =
(a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) duas bases de V e seja Ma,b :=(Mij
)a matriz da mudanca
de bases associada, definida por
aj =
n∑
i=1
Mijbi
Dizemos que as bases a e b possuem a mesma orientacao (e escrevemos a ∼ b) se o
determinante da mudanca de base Ma,b e positivo. Esta relacao ∼ e uma relacao de
equivalencia em B(V ) e o espaco quociente B(V )/ ∼ possui exatamente dois elementos.
Uma orientacao OV de V e uma classe de equivalencia OV := [a] de bases.
Seja (V,OV ) uma espaco vetorial orientado. Uma base a = (a1, . . . , an) ∈ B(V ) chama-se
positivamente orientada se a ∈ OV .
No espaco vetorial V = Rn, fixamos a orientacao dada pela base canonica e a denotamos
por ORn , isto e, ORn := [(e1, . . . , en)] .
Consideramos o exemplo V = R2: Entao (a1, a2) ∈ OR2 se, e somente se, a1 pode ser
transformado num multiplo positivo de a2 por uma rotacao no sentido anti-horario por um
angulo ϕ ∈ (0, π).
Se V = R3, entao (a1, a2, a3) e positivamente orientada se, e somente se, vale a “regra da
mao direita”.
Em analogia ao nosso tratamento de campos vetoriais, vamos generalizar o conceito de
orientacao a subvariedades. Uma orientacao duma subvariedade M vai ser uma famılia de
orientacoes em cada espaco tangente TxM deM que num certo sentido depende suavemente
do pe x do espaco tangente.
Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade. Mn chama-se orientavel se existir uma
famılia de orientacoes OM = OTxMx∈M nos espacos tangentes que em torno de cada
ponto pode ser realizada por campos de bases canonicas. Em outras palavras, para cada
31
x ∈M existe uma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) em torno de x tal que
( ∂
∂x1(y), . . . ,
∂
∂xn(y))∈ OTyM para todo y ∈ U.
Uma tal carta (U,ϕ) chama-se positivamente orientada. A famılia OM chama-se orientacao
de M . O par (M,OM ) e uma subvariedade orientada.
Enquanto cada espaco vetorial real de dimensao finita possui exatamente duas orientacoes,
uma subvariedade nao necessariamente tem de ser orientavel. O seguinte resultado da um
criterio para orientabilidade.
Teorema 6.1 Uma subvariedade Mn ⊂ RN e orientavel se, e somente se, existir um atlas
A de M tal que, para todas as cartas (U,ϕ), (V, ψ) ∈ A com U ∩ V 6= ∅, vale:
det(D(ψ ϕ−1)u
)> 0 para todo u ∈ ϕ(U ∩ V ) (∗).
Demonstracao: (⇒) Seja M orientavel. Definimos
A := (U,ϕ) | (U,ϕ) e uma carta positivamente orientada em M.
Da definicao de orientabilidade, obtemos que A e uma cobertura da variedadeM . Portanto,
se (U,ϕ) e (V, ψ) sao duas cartas de A tais que U ∩V 6= ∅, entao o determinante da mudanca
de bases entre as bases induzidas de TxM e estritamente positivo para todo x ∈ U ∩V . Pelo
Teorema 4.1, este determinante e dado pelo determinante da matriz Jacobiana da mudanca
de coordenadas.
(⇐) Seja A uma atlas com a propriedade (∗) e seja (U,ϕ) ∈ A. Definimos orientacoes nos
espacos tangentes por
OTxM :=
[( ∂
∂x1(x), . . . ,
∂
∂xn(x))], x ∈ U.
Como o determinante da mudanca de bases entre duas bases canonicas de cartas em A e
estritamente positivo, OTxM e bem-definido e, de fato, define uma orientacao.
Para o caso especial duma hipersuperfıcie Mn ⊂ Rn+1, temos o seguinte criterio de orienta-
biliade:
Teorema 6.2 Uma subvariedade Mn ⊂ Rn+1 e orientavel se, e somente se, existe um
campo normal unitario contınuo em M , quer por definicao e uma aplicacao contınua
n :Mn −→ Rn+1
tal que n(x) ∈ NxM ⊂ Rn+1 e ‖n(x)‖ = 1 para todo x ∈M .
Demonstracao: (⇒) Seja M orientada. Seja x ∈M e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta
positivamente orientada em torno de x. ∂∂x1
(x) × . . . × ∂∂xn
(x) denote o produto vetorial
dos vetores da base canonica de TxM associada a carta (U, φ) no Rn+1.
Agora definimos
n(x) :=∂∂x1
(x)× . . .× ∂∂xn
(x)
‖ ∂∂x1
(x)× . . .× ∂∂xn
(x)‖ .
Pelas propriedades do produto vetorial, o vetor n(x) e perpendicular ao espaco tangente
TxM . A definicao e correta, isto e, ela independe da carta positivamente orientada, pois se
32
a1, . . . , an e b1, . . . , bn sao duas n-uplas de vetores linearmente independentes no Rn+1 que
geram o mesmo subespaco n-dimensional, entao
a1 × . . .× an
‖a1 × . . .× an‖=
b1 × . . .× bn
‖b1 × . . .× bn‖⇐⇒ (a1, . . . , an) ∼ (b1, . . . , bn).
A aplicacao n : M −→ Rn+1 e contınua (ate suave), pois as aplicacoes ∂
∂xi= ∂ϕ−1
∂xi ϕ e
‖ · ‖ o sao.
(⇐) Seja dada uma aplicacao contınua n como acima. Definimos uma orientacao
OM = OTxMx∈M em Mn por
(v1, . . . , vn) ∈ OTxM ⇐⇒ (v1, . . . , vn, n(x)) ∈ ORn+1 . (∗∗)
Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈ M com domınio conexo U . Por
continuidade, o determinante da matriz (n+ 1)× (n+ 1)
( ∂
∂x1(y), . . . ,
∂
∂xn(y), n(y)
)
tem o mesmo sinal em cada ponto y ∈ U . Se este sinal e positivo, entao a carta (U,ϕ)
e positivamente orientada. Se o sinal for negativo, substituimos a carta (U,ϕ) pela carta
(U, ϕ = (−x1, x2, . . . , xn)) e obtemos desta forma uma carta positivamente orientada.
Portanto, (∗∗) de fato define uma orientacao de M .
Exemplo 1: A Esfera
A esfera n–dimensional Sn ⊂ Rn+1 e orientavel, pois a aplicacao n : Sn −→ R
n+1 , definida
por n(x) = x‖x‖ , e um campo normal unitario contınuo em Sn.
Exemplo 2: A faixa de Mobius
Se pegamos uma longa faixa, giramos um extremo
por 180 e colamos os dois lados, obtemos a chamada
faixa de Mobius no R3. Esta e uma variedade com
bordo de dimensao 2 que nao e orientavel. Para ver
isso, consideramos a curva central na faixa de Mobius
e pegamos um vetor normal unitario qualquer num
ponto desta curva central. Se seguimos esta curva,
dando uma volta pela faixa e levando o vetor normal
continuamente, obtemos o vetor normal negativo no
ponto inicial. Portanto, nao pode existir um campo
vetorial normal contınuo.
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Exemplo 3: Hipersuperfıcies de nıvel
Sejam U ⊂ Rn+1 aberto, F : U −→ R uma aplicacao C∞, M = F−1(0) e dFx 6= 0 para todo
x ∈M . Entao M e uma subvariedade n-dimensional do Rn+1. O espaco normal e dado por
NxM = R · gradF (x) (veja Capıtulo 2). A hipersuperfıcie M e orientavel pois
n(x) :=gradF (x)
‖gradF (x)‖
e um campo normal unitario contınuo em M .
33
Capıtulo 7
A metrica Riemanniana
induzida numa subvariedade
Como no Rn, queremos “fazer geometria” em subvariedades tambem. Por exemplo que-
remos definir e calcular comprimentos de curvas, distancias entre pontos ou volumes de
subconjuntos. O conceito basico para todas as definicoes e investigacoes geometricos e o da
metrica Riemanniana. Numa dada variedade e possıvel definir muitas metricas diferentes.
Para as subvariedades que estudamos aqui, nos limitamos a chamada “metrica Riemanniana
induzida” que e obtida do produto escalar euclideano do espaco envolvente.
Seja Mn uma subvariedade no RN . No R
N temos o produto escalar euclideano dado por
〈a, b〉 :=N∑
i=1
ai · bi para a = (a1, . . . , aN ) , b = (b1, . . . , bN ).
〈·, ·〉 induz um produto escalar em cada subespaco TxM ⊂ RN .
Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade e, para cada x ∈M , seja gx : TxM×TxM −→
R o produto escalar dado por
gx(a, b) := 〈a, b〉.
A famılia g = gxx∈M destes produtos escalares chama-se a metrica Riemanniana induzida
em M .
Definicao. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta de M em torno de x. Consideramos a
matriz n× n simetrica e positiva definida gij(x) dada por
(gij(x)
)i,j
:=(gx( ∂
∂xi(x),
∂
∂xj(x)))i,j
=(⟨ ∂
∂xi(x),
∂
∂xj(x)⟩)
i,j.
As funcoes gij ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn −→ R , i, j ∈ 1, ldots, n, chamam-se coeficientes locais
da metrica g em relacao a carta (U,ϕ).
Exemplo 1: A matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas euclideanas:
SejaM um subconjunto aberto do Rn. EmM consideramos a carta dada pelas coordenadas
euclideanas: ϕ(x) = (x1, . . . , xn). Entao para a base canonica temos ∂∂xi
(x) = ei ∈ TxM =
Rn. Portanto,
gij(x) = 〈ei, ej〉 = δij .
34
Em outras palavras, a matriz da metrica e a matriz identidade(gij(x)
)= In.
Exemplo 2: A matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas polares:
Consideramos coordenadas polares em R2. Seja Φ : R+ × (0, 2π) −→ U = R
2 \ (x, 0) | x ∈R
≥0 ⊂ R2 a parametrizacao por coordenadas polares
Φ(r, v) = (r cos v, r sen v).
Entao para a carta (U,Φ−1) temos, em x = Φ(r, v),
∂
∂r(x) =
∂Φ
∂r(r, v) = (cos v, sen v) e
∂
∂v(x) =
∂Φ
∂v(r, v) = (−r sen v, r cos v) .
Portanto, obtemos
⟨ ∂∂r
(x),∂
∂r(x)⟩= 1,
⟨ ∂∂r
(x),∂
∂v(x)⟩= 0 und
⟨ ∂∂v
(x),∂
∂v(x)⟩= r2.
Concluımos que a matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas polares tem a
forma(gij(x)
)=
(1 0
0 r2
).
Exemplo 3: A matriz da metrica Riemanniana induzida na esfera S2 em coordenadas
esfericas:
Sejam Φ : (0, 2π)× (−π2 ,
π2 ) −→ S2 as coordenadas esfericas
Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu).
Entao, em x = Φ(v, u), os vetores da base canonica definida pela carta Φ−1 sao dados por
∂
∂v(x) =
∂Φ
∂v(v, u) = (− sen v cosu, cos v cosu, 0) ,
∂
∂u(x) =
∂Φ
∂u(v, u) = (− cos v senu,− sen v senu, cosu) .
Portanto, obtemos
⟨ ∂∂v
(x),∂
∂v(x)⟩= cos2 u,
⟨ ∂∂v
(x),∂
∂u(x)⟩= 0 und
⟨ ∂
∂u(x),
∂
∂u(x)⟩= 1.
Concluımos que a matriz da metrica Riemanniana induzida em S2 possui a seguinte forma
em coordenadas esfericas:(gij(x)
)=
(cos2 u 0
0 1
).
35
Capıtulo 8
Gradiente, divergencia e
Laplaciano em subvariedades
Ametrica Riemanniana induzida fornece, em cada espaco tangente TxM , um produto escalar
positiva definida gx. Usando esse, podemos generalizar o gradiente de funcoes, a divergencia
de campos vetoriais e o Laplaciano do Rn ao caso de subvariedades gerais. Estes conceitos
vao ser relevantes mais tarde nos teoremas integrais (veja Capıtulo 11).
Seja f : M −→ R uma aplicacao suave numa subvariedade M . Entao a diferencial dfx :
TxM −→ R e uma transformacao linear no espaco vetorial euclideano (TxM, gx). Como
sabemos da Algebra Linear, esta transformacao linear corresponde a um unico vetor “dual”
em TxM . Esse vai ser o gradiente de f :
Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade com sua metrica Riemanniana induzida e seja
f : M −→ R uma funcao suave em M com valores reais. O gradiente de f e o campo
vetorial
grad f :M −→ RN
em M que a cada ponto x ∈M associa o vetor grad f(x) ∈ TxM dual a forma linear dfx:
gx(grad f(x), a) := df x(a) ∀ a ∈ TxM.
O seguinte teorema da a representacao local do gradiente na base canonica associada a uma
carta e, em particular, mostra que a aplicacao grad f e suave.
Teorema 8.1 Seja f ∈ C∞(Mn) e (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em M . Denote a
representacao correspondente de f por f := f ϕ−1 : ϕ(U) −→ R e seja(gij(x)
)a matriz
inversa de(gij(x)
)=(gx(∂∂xi
(x), ∂∂xj
(x)))
. Entao no domınio U temos:
grad f =n∑
i,j=1
gij∂
∂xi(f) · ∂
∂xj=
n∑
i,j=1
gij( ∂f∂xi
ϕ)· ∂
∂xj,
36
Demonstracao: Calculamos, para α ∈ 1, . . . , n,
df x
( ∂
∂xα(x))
=∂(f ϕ−1)
∂xα(ϕ(x)) =
n∑
i=1
∂(f ϕ−1)
∂xi(ϕ(x)) δiα
=
n∑
i,j=1
∂(f ϕ−1)
∂xi(ϕ(x)) · gij(x) · gjα(x)
=n∑
i,j=1
∂(f ϕ−1)
∂xi(ϕ(x)) · gij(x) · gx
( ∂
∂xj(x),
∂
∂xα(x))
= gx
( n∑
i,j=1
gij(x) · ∂f∂xi
(ϕ(x)
)· ∂
∂xj(x),
∂
∂xα(x)
).
Por outro lado, temos que, por definicao,
gx
(grad f(x),
∂
∂xα(x))= df x
( ∂
∂xα(x)).
A afirmacao agora segue do fato do produto escalar ser nao-degenerado.
Exemplo 1: O gradiente duma funcao em coordenadas euclideanas:
Seja U um subconjunto aberto do Rn e seja f : U −→ R uma aplicacao diferenciavel.
Vamos determinar a representacao do gradiente de f na carta ϕ(x) = (x1, . . . , xn) dada
pelas coordenadas euclideanas. Como observamos na ultima secao, a matriz da metrica
Riemanniana induzida em relacao a esta carta e dada pela matriz identidade:(gij(x)
)=(
gij(x))= In e ∂
∂xi(x) = ei . Portanto, para o gradiente em coordenadas euclideanas temos
grad f(x) =
n∑
i=1
∂f
∂xi(x) · ∂
∂xi(x) =
( ∂f∂x1
(x), . . . ,∂f
∂xn(x)).
Exemplo 2: O gradiente de f : U ⊂ R2 −→ R em coordenadas polares:
Seja Φ(r, v) := (r cos v, r sen v) a parametrizacao por coordenadas polares. Na ultima secao
determinamos a matriz da metrica Riemanniana induzida na carta Φ−1. Seja x = Φ(r, v) e
f := f Φ denote a representacao de f na carta Φ−1. Entao
(gij(x)
)=
(1 0
0 r2
)e(gij(x)) =
(1 0
0 1r2
)
e
grad f(x) =∂f
∂r(r, v) · ∂
∂r(x) +
1
r2∂f
∂v(r, v) · ∂
∂v(x).
Exemplo 3: O gradiente duma funcao f : S2 −→ R em coordenadas esfericas:
Seja Φ(v, u) := (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao local da esfera por coorde-
nadas esfericas. Seja x = Φ(v, u) e seja f = f Φ a representacao de f nessas coordenadas.
Pela secao anterior, temos que, em relacao a carta definida pelas coordenadas esfericas, a
matriz da metrica Riemanniana induzida e dada por:
(gij(x)
)=
(cos2 u 0
0 1
)e (gij(x)) =
(1
cos2 u 0
0 1
).
Portanto, para o gradiente vale
grad f(x) =1
cos2 u
∂f
∂v(v, u) · ∂
∂v(x) +
∂f
∂u(v, u) · ∂
∂u(x).
37
O gradiente associa a cada funcao emM um campo vetorial. Agora consideramos o processo
inverso. Vamos associar a cada campo vetorial uma funcao..
Definicao. Seja X um campo vetorial numa subvariedade Mn ⊂ RN . A divergencia de X
e a funcao div(X) ∈ C∞, que a cada ponto x ∈M associa o numero
div (X)(x) :=n∑
i=1
〈ai(X), ai〉,
onde (a1, . . . , an) e uma base ortonormal do espaco vetorial euclideano (TxM, gx) e
ai(X) ∈ RN denota a derivada direcional da apliccao X :M −→ R
N em direcao ao vetor
ai.
Um argumento simples mostra que esta definicao independe da escolha da base ortonormal
(a1, . . . , an). Portanto, div (X) e bem-definido.
Querıamos descrever a divergencia por coordenadas locais tambem. Para isso, primeiro
mostramos um lema util.
Lema. Seja U : I −→ GL(n,C) uma curva diferenciavel no grupo das matrizes invertıveis.
Entao
Tr (U−1(s) U ′(s)) =d
dsln(detU(s)).
Demonstracao:
Primeiro passo: Seja A ∈ GL(n,C) uma matriz invertıvel e seja H ∈ M(n,C) uma matriz
qualquer. Entao
limt→ 0
det(A+ tH)− det(A)
t= det(A) · lim
t→0
det(In + tA−1H)− det Int
(∗).
Para o determinante, obtemos
det(In + tB) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + tb11 tb12 . . . tb1n
tb21 1 + tb22...
.... . .
...
tbn1 . . . tbnn−1 1 + tbnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1 + tTr B +O(t2).
Para o limite, somente os termos constantes e os termos lineares em t sao relevantes. Por-
tanto,
(∗) = det(A) · Tr (A−1 H).
Segundo passo: Consideramos f(t) = det(U(s) + tU ′(s)). Derivamos e obtemos
f ′(0) = limt→0
det(U(s) + tU ′(s))− det(U(s))
t
1.= det(U(s)) · Tr (U−1(s) U ′(s)).
Agora a regra da cadeia implica que f ′(0) = d(det)U(s)(U′(s)) e
d
dtln(det(U(t)))|t=s =
1
det(U(s))
d
dt(det(U(t)))|t=s =
1
det(U(s))· d(det)U(s)(U
′(s))
=f ′(0)
det(U(s))= Tr (U−1(s) U ′(s)).
Agora mostremos a seguinte formula para a divergencia dum campo vetorial:
38
Teorema 8.2 Seja X um campo vetorial numa subvariedadeM e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn))
uma carta em M . Em relacao a esta carta, X tenha a representacao X =n∑i=1
ξi ∂∂xi
. Seja(gij(x) = gx(
∂∂xi
, ∂∂xj
))
a matriz da metrica em relacao a carta dada e seja(gij(x)
):=
(gij(x)
)−1a matriz inversa. Alem disso, seja θ(x) := det (gij(x)) o determinante desta
matriz. Entao no domınio U , temos
div (X) =1√θ
n∑
i=1
∂
∂xi(ξi
√θ).
Demonstracao: Seja ( ∂∂x1
(x), . . . , ∂∂xn
(x)) a base canonica induzida pela carta dada e seja
(a1, . . . , an) uma base ortonormal qualquer em TxM . Entao ai =n∑j=1
Aij∂∂xj
(x) para uma
matriz A = (Aij). Alem disso, seja E := (δij) a matriz identidade e seja G := (gij(x)) . As
matrizes G e A sao relacionadas da seguinte forma:
E = (gx(ai, aj)) =( n∑
k,l=1
AikgklAjl
)= A G At, also G−1 = At A
Em particular,
gij = (AtA)ij (∗)
Para a divergencia obtemos, pela definicao:
div (X) =
n∑
i=1
〈ai(X), ai〉 =n∑
i,k,l=1
Aik
⟨ ∂
∂xk(X),
∂
∂xl
⟩Ail
=n∑
k,l=1
( n∑
i=1
AikAil
)⟨ ∂
∂xk(X),
∂
∂xl
⟩
=
n∑
k,l=1
(AtA)kl
⟨ ∂
∂xk(X),
∂
∂xl
⟩(∗)=
n∑
k,l=1
gkl⟨ ∂
∂xk(X),
∂
∂xl
⟩
Agora substituimos X pela representacao X =n∑i=1
ξi ∂∂xi
e aplicamos as regras para a deri-
vada direcional. Alem disso, no seguinte calculo vamos usar que as derivadas direcionais e
vetores duma base canonica comutam segundo a formula
[ ∂
∂xk,∂
∂xj
]=
∂
∂xk
( ∂
∂xj
)− ∂
∂xj
( ∂
∂xk
)= 0.
Desta forma, obtemos
div (X) =
n∑
j,k,l=1
gkl(⟨ ∂
∂xk(ξj) ·
∂
∂xj,∂
∂xl
⟩+ ξj
⟨ ∂
∂xk
( ∂
∂xj
),∂
∂xl
⟩)
=
n∑
j,k,l=1
[ ∂
∂xk(ξj)g
klgjl + ξjgkl⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xk
),∂
∂xl
⟩]
=
n∑
j=1
∂
∂xj(ξj) +
n∑
j=1
ξj
n∑
k,l=1
gkl⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xk
),∂
∂xl
⟩(∗∗),
onde, na penultima linha no segundo termo, trocamos os indıces j e k segundo nossa ob-
servacao acima. Continuamos transformando o segundo termo. Para isso, separamos ele
em duas partes iguais e na segunda parte renomeamos os ındices k e l. Alem disso usamos
39
a simetria da metrica, a regra da derivada do produto escalar de aplicacoes com valores
vetoriais e o lema anterior.
n∑
k,l=1
gkl⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xk
),∂
∂xl
⟩=
1
2
n∑
k,l=1
gkl⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xk
),∂
∂xl
⟩+
1
2
n∑
l,k=1
glk⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xl
),∂
∂xk
⟩
=1
2
n∑
k,l=1
gkl⟨ ∂
∂xj
( ∂
∂xk
),∂
∂xl
⟩+
1
2
n∑
l,k=1
gkl⟨ ∂
∂xk,∂
∂xj
( ∂
∂xl
)⟩
=1
2
n∑
k,l=1
gkl∂
∂xj
(⟨ ∂
∂xk,∂
∂xl
⟩)
=1
2
n∑
k,l=1
gkl∂
∂xj(gkl) =
1
2Tr(G−1 ∂
∂xj(G))
Lema=
1
2
∂
∂xj(ln(detG))
=1
2
∂
∂xj(ln(θ)) =
∂
∂xj(ln
√θ) =
1√θ
∂
∂xj(√θ)
Com (∗∗) finalmente obtemos
div (X) =
n∑
j=1
[ ∂
∂xj(ξj) +
1√θ· ξi ∂
∂xj(√θ)]=
1√θ·∑
j=1
∂
∂xj(√θ · ξj).
De novo, consideramos nossos 3 exemplos:
Exemplo 1: A divergencia dum campo vetorial em coordenadas euclideanas:
Seja U ⊂ Rn aberto e sejam ϕ(x) = (x1, . . . , xn) as coordenadas euclideanas. Entao uma
base ortonormal no espaco tangente de x e dada por ∂∂xi
(x) = ei, i = 1, . . . , n. Seja X um
campo vetorial em U com X = (ξ1, . . . , ξn) =n∑i=1
ξi∂∂xi
. Entao
div (X)(x) =n∑
i=1
〈ei(X), ei〉Rn =n∑
i=1
ei(ξi) =n∑
i=1
∂ξi∂xi
(x).
Exemplo 2: A divergencia dum campo vetorial no R2 em coordenadas polares:
Seja Φ(r, v) = (r cos v, r sen v) a parametrizacao por coordenadas polares, seja x0 = Φ(r0, v0)
e sejam as funcoes ξ1, ξ2 dados por X(x) = ξ1(r, v)∂∂r(x) + ξ2(r, v)
∂∂v
(x) (onde sempre
x = Φ(r, v)). Temos θ(x0) = r20. Portanto,
div (X)(x0) =1
r0
(∂(rξ1)
∂r(r0, v0) +
∂(rξ2)
∂v(r0, v0)
)=∂ξ1∂r
(r0, v0)+1
r0ξ1(r0, v0)+
∂ξ2∂v
(r0, v0).
Exemplo 3: A divergencia dum campo vetorial X na esfera S2 em coordenadas esfericas:
Seja Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao por coordenadas esfericas,
seja x0 = Φ(v0, u0) e sejam ξ1, ξ2 dados pela representacao local X(x) = ξ1(v, u)∂∂v
(x) +
ξ2(v, u)∂∂u
(x) do campo vetorial X nas coordenadas esfericas. Entao θ(x0) = cos2 u0 .
40
Portanto,
div (X)(x0) =1
cosu0
(∂(cosu ξ1)
∂v(v0, u0) +
∂(cosu ξ2)
∂u(v0, u0)
)
=∂ξ1∂v
(v0, u0)−senu0cosu0
ξ2(v0, u0) +∂ξ2∂u
(v0, u0).
Finalmente, definimos o Laplaciano (ou: operador de Laplace) para funcoes definidas em
subvariedades.
Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade e seja f : M −→ R uma funcao suave em M
com valores reais. seja o seguinte operador em C∞(M):
: C∞(M) −→ C∞(M)
f 7−→ div (grad f).
O operador chama-se operador de Laplace.
Em coordenadas locais podemos representar o operador de Laplace da seguinte forma.
Teorema 8.3 Seja M ⊂ RN uma subvariedade, seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em
M e seja f ∈ C∞(M). Entao, com as notacoes do Teorema 8.2, vale:
f =1√θ
n∑
i,j=1
∂
∂xj
(√θ · ∂
∂xi(f) · gij
).
Demonstracao: Por definicao, temos f = div (grad f). Dos Teoremas 8.1 e 8.2 (repre-
sentacoes locais de div e grad), segue que no domınio U :
(f |U ) = div
( n∑
j=1
( n∑
i=1
gij∂
∂xi(f)) ∂
∂xj
)=
1√θ
n∑
j=1
∂
∂xj
(√θ
n∑
i=1
gij∂
∂xi(f)
)
=1√θ
n∑
i,j=1
∂
∂xj
(√θ∂
∂xi(f)gij
).
Exemplo 1: O operador de Laplace em coordenadas euclideanas:
Seja M = Rn e sejam ϕ(x) = (x1, . . . , xn) as coordenadas euclideanas. Entao temos
f =
n∑
j=1
∂2f
∂x2j.
Exemplo 2: O operador de Laplace em coordenadas polares no R2:
Sejam Φ(r, v) = (r cos v, r sen v) as coordenadas polares, x = Φ(r, v) e f := f Φ a repre-
sentacao correspondente de f . Entao
f(x) = ∂2f
∂r2(r, v) +
1
r
∂f
∂r(r, v) +
1
r2∂2f
∂v(r, v).
Exemplo 3: O operador de Laplace na S2 em coordenadas esfericas.
Sejam Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao por coordenadas esfericas,
x = Φ(v, u) e f := f Φ a representacao de f em coordenadas esfericas. Entao vale
f(x) = 1
cos2 u
∂2f
∂v(v, u) +
∂2f
∂u(v, u)− tanu
∂f
∂u(v, u).
41
Finalmente, mostramos algumas regras de produto para o gradiente, a divergencia e o La-
placiano.
Teorema 8.4 (Regras do produto) Seja M uma subvariedade, sejam f, h ∈ C∞(M) e
seja X um campo vetorial em M . Entao
1. grad (f · h) = f · grad (h) + h · grad (f),
2. div (f ·X) = f · div (X) +X(f),
3. (f · h) = f · h+ h · f + 2〈 grad (f), grad (h) 〉.
Demonstracao: 1.) Seja Y um campo vetorial qualquer em M . Entao para a derivada
direcional vale
〈 grad (f · h), Y 〉 = Y (f · h) = h · Y (f) + f · Y (h) = 〈h · grad (f) + f · grad (h), Y 〉.
A afirmacao segue do fato de 〈·, ·〉 (e sua restricao em cada TxM×TxM) ser nao-degenerado.
2.) Localmente, escolhemos um campo de bases ortonormais (a1, . . . , an) sobre U ⊂ M .
Entao o campo vetorialX pode ser representado sobre U , nesta base, por X :=n∑i=1
〈X, ai〉ai .Segue que
div (f ·X) =
n∑
i=1
〈ai(f ·X), ai〉 =n∑
i=1
〈ai(f) ·X + f · ai(X), ai〉
=
n∑
i=1
〈X, ai〉 ai(f) + f · 〈ai(X), ai〉
= X(f) + f · div (X).
3.) Temos
(f · h) = div (grad (f · h)) 1.)= div (h · grad (f) + f · grad (h))
2.)= grad (f)(h) + h · f + grad (h)(f) + f · h= 2〈grad (h), grad (f)〉+ h · f + f · h.
42
Capıtulo 9
Formas diferenciais em
subvariedades
Do mesmo jeito que nos casos de campos vetoriais e de orientacoes, podemos generalizar for-
mas multilineares alternadas de espacos vetoriais para subvariedades. Obtemos as chamadas
formas diferenciais em subvariedades, que vamos definir e analisar nesta secao. Nas proximas
secoes vamos usar esta formas diferenciais para definir medidas em variedades orientadas
e analisar as propriedades das integrais associadas. Formas diferenciais jogam um papel
importante na modelagem de problemas matematicos e fıscos. Com a ajuda delas da para
descrever curvaturas na geometria ou caracterizar propriedades analıticas de variedades.
9.1 Preliminares algebricas
Antes de definir formas diferenciais, lembramos alguns conceitos da Algebra.
Seja V uma espaco vetorial real de dimensao n. Uma k–forma alternada em V e uma
aplicacao ω : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k vezes
−→ R com as propriedades
1. ω e multilinear, isto e, linear em cada componente, e
2. ω e alternada: ω(. . . , v1, . . . , v2, . . .) = −ω(. . . , v2, . . . , v1, . . .).
Por ΛkV ∗, denotamos o espaco vetorial das k–formas alternadas em V . Em particular,
temos Λ1V ∗ = V ∗.
Dadas duas formas multilineares alternadas, podemos usar a seguinte operacao para definir
uma nova tal forma:
ΛkV ∗ × ΛlV ∗ −→ Λk+lV ∗
(ω, σ) 7→ ω ∧ σ
onde
(ω ∧ σ)(v1, v2, . . . , vk+l) :=∑
π∈Sk+l,
π(1)<...<π(k),π(k+1)<...<π(k+l)
sgn(π)ω(vπ(1), . . . , vπ(k)) · σ(vπ(k+1), . . . , vπ(k+l)).
(Sk+l aqui denota o grupo de permutacoes dos numeros 1, . . . , k + l.)
43
Seja (a1, . . . , an) uma base de V e denote por (σ1, . . . , σn) a base dual em V ∗. Entao
σi1 ∧ . . . ∧ σik | 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n (∗)
e uma base no espaco vetorial ΛkV ∗ das k-formas. Em particular, a dimensao do espaco das
k-formas dum espaco vetorial n-dimensional e dada por dim ΛkV ∗ =(nk
). Uma k-forma ω
pode ser representada na base (∗) da seguinte maneira:
ω =∑
I=(1≤i1<...<ik≤n)
ω(ai1 , . . . , aik)σi1 ∧ . . . ∧ σik (∗∗)
Os numeros ω(ai1 , . . . , aik) =: ωi1...ik ∈ R sao chamados de componentes de ω em relacao a
base (σ1, . . . , σn) .
A seguinte notacao e frequentemente usada para a representacao (∗∗): Dado um multiindice
ordenado I = (1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n), definimos
ωI := ω(ai1 , . . . , aik) e σI := σi1 ∧ . . . ∧ σik .
Em outras palavras, escrevemos a representacao de ω (em relacao a base σi1 ∧ . . .∧σik | 1 ≤i1 < i2 < . . . < ik ≤ n) na forma concisa
ω =∑
I
ωI σI .
Finalmente, ainda lembramos a seguinte regra para n–formas num espaco vetorial V n de
dimensao n:
Seja ω ∈ ΛnV ∗ e sejam (a1, . . . , an) e (b1, . . . , bn) bases de V . Seja B = (Bij) a matriz de
transformacao entre estas bases ( aj =∑i
Bijbi ). Entao
ω(a1, . . . , an) = det(B)ω(b1, . . . , bn).
9.2 Teorema de localizacao para formas diferenciais
Agora querıamos generalizar estas formas multilineares alternadas a uma subvariedade
M . Em analogia aos casos de campos vetoriais e de orientacoes, consideramos famılias de
formas alternadas nos espacos tangentes TxM de M que dependem suavemente do pe x.
Definicao. Uma famılia ωxx∈M de k–formas alternadas ωx ∈ ΛkT ∗xM e chamada suave
se a funcao
x ∈M −→ ωx(X1(x), . . . , Xk(x)) ∈ R
for suave para todos os campos vetoriais X1, . . . Xk ∈ X(M).
Definicao. Uma forma diferencial de grau k (ou: uma k–forma) numa subvariedade M e
uma forma C∞(M)–multilinear alternada em X(M), isto e., uma aplicacao
ω : X(M)× . . .× X(M)︸ ︷︷ ︸k vezes
−→ C∞(M),
com as propriedades
1. ω e adiditva em cada componente,
44
2. ω(X1, . . . , Xi−1, fXi, Xi+1, . . . , Xk) = fω(X1, . . . , Xk),
para f ∈ C∞(M) e X1, . . . , Xk ∈ X(M)
3. ω(. . . , Xi, . . . , Xj , . . .) = −ω(. . . , Xj , . . . , Xi, . . .) para todo Xi, Xj ∈ X(M).
O espaco de todas as k-formas em M vai ser denotado por Ωk(M). Alem disso definimos
Ω0(M) := C∞(M).
Observacao: Ωk(M) e um modulo sobre o anel C∞(M) das funcoes suaves.
Vamos mostrar que os conceitos “k-forma na subvariedade M” e “famılia suave de k-formas
em cada espaco tangente a M” das duas definicoes acima sao equivalentes. Primeiro,
consideramos um exemplo.
Exemplo: Seja f :M −→ R uma funcao suave emM . Consideramos a 1-forma df ∈ Ω1(M)
dada pela derivada direcional de f por campos vetoriais:
df : X(M) −→ C∞(M)
X 7→ df(X) := X(f).
A 1-forma df ∈ Ω1(M) chama-se diferencial de f .
Por outro lado, para cada ponto x ∈M , temos a diferencial de f no ponto x que e a forma
linear dfx : TxM −→ R , isto e, df x ∈ Λ1T ∗xM . A 1–forma df e corresponde a famılia suave
de 1–formas df xx∈M pela relacao
(df (X))(x) := X(f)(x) = df x(X(x)).
Esta relacao vale em geral como vai seguir do seguinte teorema.
Teorema 9.1 (Teorema de localizacao para k–formas) Seja ω ∈ Ωk(M) uma k–
forma em M e sejam X1, . . . , Xk ∈ X(M). Entao, em qualquer ponto x ∈ M , o valor
ω(X1, . . . Xk)(x) e unicamente determinado pelos vetores X1(x), . . . Xk(x) in TxM .
Demonstracao: Seja x ∈M um ponto qualquer fixo e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta
em torno de x com a base canonica ( ∂∂x1
, . . . , ∂∂xn
). Escolhemos uma funcao f ∈ C∞(M)
que tem suporte em U e tal que f(x) = 1. Agora sejam X1, . . . , Xk e X1, . . . , Xk duas k-
uplas de campos vetoriais em M tais que Xi(x) = Xi(x) para todo i = 1, . . . , k. Queremos
mostrar que
ω(X1, . . . , Xk)(x) = ω(X1, . . . , Xk)(x).
Para isso, consideramos os seguintes campos vetoriais Y1, . . . , Yn definidos em M todo:
Yi :=
f · ∂
∂xiem U
0 em M \ U
Como o suporte da funcao f e contido em U , os campos vetoriais Yi sao bem-definidos. Os
campos vetoriais fXj e fXj , respectivamente, podem ser representados na forma
fXj =
n∑
i=1
ξjiYi e fXj =
n∑
i=1
ξjiYi,
45
onde ξji e ξji sao funcoes suaves emM . Por hipotese, temos ξji(x) = ξji(x) para i = 1, . . . , n
e j = 1, . . . , k. Isso implica
ω(X1, . . . , Xk)(x) = fk(x) · ω(X1, . . . , Xk)(x) =((fkω)(X1, . . . , Xk)
)(x)
= ω(fX1, . . . , fXk)(x)
=
n∑
i1,...,ik=1
ξ1i1(x) · . . . · ξkik(x) · ω(Y1, . . . , Yk)(x)
=
n∑
i1,...,ik=1
ξ1i1(x) · . . . · ξkik(x) · ω(Y1, . . . , Yk)(x)
= ω(fX1, . . . , fXk)(x) = . . . = ω(X1, . . . , Xk)(x).
Aplicando o Teorema 9.1, obtemos uma bijecao entre o modulo Ωk(M) das k–formas em M
e as famılias suaves de k–formas ωxx∈M com ωx ∈ ΛkT ∗xM :
1. Se ω ∈ Ωk(M) e uma k-forma em M , entao definimos uma famılia suave ωxx∈Mde k–formas ωx ∈ ΛkT ∗
xM por
ωx(v1, . . . , vk) := ω(X1, . . . , Xk)(x) , onde Xi ∈ X(M) tal que Xi(x) = vi ∈ TxM
O teorema acima diz que ωx(v1, . . . vk) e bem-definido, pois nao depende da escolha
da extensao dos vetores vi pelos campos vetoriais Xi.
2. Por outro lado, seja ωxx∈M uma famılia suave de k–formas ωx ∈ ΛkT ∗xM . Definimos
uma k-forma ω ∈ Ωk(M) por
ω(X1, . . . , Xk)(x) := ωx(X1(x), . . . , Xk(x)) , X1, . . . , Xk ∈ X(M).
Definicao. Seja U ⊂ M um subconjunto aberto, seja ω ∈ Ωk(M) uma k-forma e seja
ω=ωxx∈M a famılia suave correspondendo a ω. A restricao ω|U ∈ Ωk(U) de ω a U e
k–forma que corresponde a famılia suave ωxx∈U .
9.3 Calculo com formas diferenciais
(1) Formas induzidas.
Seja F :M −→ N uma aplicacao suave entre subvariedades. Queremos ver como cada forma
diferencial no contra-domınio N induz uma forma diferencial em M por meio de F .
F induz uma aplicacao
F ∗ : Ωk(N) −→ Ωk(M),
ω 7−→ F ∗ω
definida da seguinte maneira: Seja ω uma k-forma no contra-domınio N . Definimos a k–
forma induzida (ou: o pull-back) F ∗ω ∈ Ωk(M) por meio de F pela seguinte famılia suave
(F ∗ω)xx∈M de k-formas:
(F ∗ω)x(v1, . . . , vk) := ωF (x)(dFx(v1), . . . , dFx(vk)) , vi ∈ TxM .
46
Portanto, temos para campos vetoriais X1, . . . , Xk em M que
(F ∗ω)(X1, . . . , Xk)(x) := ωF (x)(dFx(X1(x)), . . . , dFx(Xk(x))).
Observamos que para um campo vetorial X ∈ X(M) e uma aplicacao suave sobrejetora
F : M −→ N , a famılia de vetores dFx(X(x))x∈M geralmente nao define um campo
vetorial em N .
A seguinte propriedade do pull-back segue imediatamente da regra da cadeia.
Teorema 9.2 Se M , N e P sao subvariedades, F ∈ C∞(M,N), G ∈ C∞(N,P ) e ω ∈Ωk(N), entao
(G F )∗ω = G∗(F ∗ω).
(2) O produto alternado.
Como no caso dos espacos vetoriais, podemos definir uma operacao que leva duas formas
diferenciais ω e σ a uma nova forma diferencial ω ∧ σ, o chamado produto alternado ou
produto exterior:
∧ : Ωk(M)× Ωl(M) −→ Ωk+l(M)
(ω, σ) 7−→ ω ∧ σ
Sejam ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M) tal que k, l > 0. Entao definimos ω ∧ σ ∈ Ωk+l(M) por
(ω ∧ σ)(X1, . . . , Xk+l) :=∑
π∈Sk+l,
π(1)<...<π(k),π(k+1)<...<π(k+l)
sgn(π) ω(Xπ(1), . . . , Xπ(k)) · σ(Xπ(k+1), . . . , Xπ(k+l)),
Para f ∈ Ω0(M) = C∞(M) e ω ∈ Ωk(M) definimos
f ∧ ω = ω ∧ f := f · ω.
Em analogia ao produto alternado de formas multilineares em espacos vetoriais, obtemos
as seguintes propriedades do produto alternado de formas diferencias, que deixamos como
exercıcio para o leitor.
Teorema 9.3 O produto alternado ∧ de formas diferenciais possui as seguintes proprieda-
des:
1. Se ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M), entao ω ∧ σ ∈ Ωk+l(M).
2. ∧ e C∞(M)–linear em cada componente.
3. ∧ e associativo.
4. Se ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M), entao ω ∧ σ = (−1)k·l(σ ∧ ω).
5. Seja F :M −→ N uma aplicacao suave e sejam ω ∈ Ωk(N) e σ ∈ Ωl(N) duas formas
diferencias no contra-domınio N . Entao
F ∗(ω ∧ σ) = (F ∗ω) ∧ (F ∗σ).
(3) O produto interior.
47
Seja X um campo vetorial em M . A aplicacao
iX : Ωk(M) −→ Ωk−1(M)
ω 7→ iXω
definida por
(iXω)(X1, . . . , Xk−1) := ω(X,X1, . . . , Xk−1)
chama-se produto interior de ω pelo campo vetorial X. O seguinte teorema descreve al-
gumas propriedades do produto interno. A demonstracao e feita aplicando as definicoes
formalmente (Exercıcio).
Teorema 9.4 (Propriedades do produto interior)
1. ifX ω = iX(f ω) = f · iXω,
2. iX(ω ∧ σ) = (iXω) ∧ σ + (−1)degωω ∧ (iXσ),
3. Seja F :M −→ N uma aplicacao suave e sejam X ∈ X(M) e Y ∈ X(N) dois campos
vetoriais, relacionados por F (quer dizer, Y (F (x)) = dFx(X(x)) para todo x ∈ M).
Se ω ∈ Ωk(N) , entao
F ∗(iY ω) = iX(F ∗ω).
(4) A representacao local duma forma diferencial.
Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈M , seja ( ∂∂x1
(x), . . . , ∂∂xn
(x)) a base
canonica de TxM definida por esta carta e seja ((dx1)x, . . . , (dxn)x) a base dual de T ∗xM .
Entao ∂∂xi
sao campos vetoriais no domınio U e as diferenciais dxi das funcoes-coordenadas
sao 1-formas em U .
Por definicao, para o produto alternado dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∈ Ωk(U) vale
(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik)( ∂
∂xj1, . . . ,
∂
∂xjk
)=
sgn
(i1, . . . , ik
j1, . . . , jk
), se
(IJ
)∈ Sk
0, se(IJ
)6∈ Sk
.
Em analogia a representacao duma k-forma em relacao a uma base na Algebra obtemos a
seguinte representacao duma forma diferencial ω ∈ Ωk(M) no o domınio U duma carta:
ω|U =∑
I=(1≤i1<...<ik≤n)
ωi1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik =:∑
I
ωIdxI , (∗)
onde as funcoes ωI := ωi1...ik ∈ C∞(U) sao dadas por
ωi1...ik(x) = ω|U( ∂
∂xi1, . . . ,
∂
∂xik
)(x) = ωx
( ∂
∂xi1(x), . . . ,
∂
∂xik(x)).
Chamamos (∗) de representacao local de ω em relacao a carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)).
As aplicacoes
ωi1...ik (ϕ−1) : ϕ(U) −→ R
chamam-se coeficientes locais da forma ω em relacao a (U,ϕ).
As regras dadas ate agora foram regras algebricas, isto e, regras que valem em algum ponto
fixo. As seguintes duas operacoes descrevem regras de diferenciacao para formas diferenciais.
48
(5) A diferencial duma k–forma.
Na Secao 9.2, ja definimos a diferencial duma funcao suave. Essa foi a seguinte aplicacao
que leva cada 0-forma (=funcao) a uma 1-forma:
d : C∞(M) −→ Ω1(M)
f 7−→ df onde df(X) := X(f)
A representacao local de df em relacao a uma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e dada por
df =
n∑
i=1
df( ∂
∂xi
)dxi =
n∑
i=1
∂
∂xi(f) dxi.
Agora definimos a diferencial nas k-formas para k ≥ 1. Ela leva cada k-forma a uma
(k + 1)-forma. A aplicacao
d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M) ,
ω 7−→ dω
seja definida por
dω(X0, . . . , Xk) :=
k∑
j=0
(−1)jXj
(ω(X0, . . . , Xj , . . . , Xk)
)
+∑
0≤α<β≤k
(−1)α+βω([Xα, Xβ ], X0, . . . , Xα, . . . , Xβ , . . . , Xk).
(Aqui o “chapeu” numa entradaXi (isto e, Xi) significa que o campo vetorial correspondente
e omitido.)
d chama-se diferencial no espaco das k–formas, dω e a diferencial de ω.
Como casos especiais, obtemos, por exemplo, a diferencial de 1- e 2-formas, respectivamente.
1. Seja ω ∈ Ω1(M) uma 1-forma. Entao
dω(X,Y ) = X(ω(Y ))− Y (ω(X))− ω([X,Y ]).
2. Seja ω ∈ Ω2(M) uma 2-forma. Entao
dω(X,Y, Z) = X(ω(Y,Z))− Y (ω(X,Z)) + Z(ω(X,Y )
−ω([X,Y ], Z) + ω([X,Z], Y )− ω([Y,Z], X).
Teorema 9.5 (Propriedades da diferencial)
1. A aplicacao d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M) e bem-definida e linear.
2. Seja ω ∈ Ωk(M) e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em M tal que ω tenha a
representacao local ω|U =∑I
ωIdxI . Entao a representacao local de dω e dada por
dω|U =∑
I
dωI ∧ dxI .
3. d(ω ∧ σ) = dω ∧ σ + (−1)degωω ∧ dσ.
49
4. ddω = 0 para todo ω ∈ Ωk(M) e k ≥ 0.
5. Se F :M −→ N e uma aplicacao suave e ω ∈ Ωk(N), entao
d(F ∗ω) = F ∗dω.
Demonstracao: Sobre 1.) Por definicao, d obviamente e linear. dω e alternada pois a
k-forma ω e o comutador [·, ·] o sao. A linearidade C∞ de dω segue das regras para o
comutador do Teorema 5.3. Por exemplo, usamos a regra [fX, Y ] = f [X,Y ] − Y (f)X.
Portanto, dω ∈ Ωk+1(M).
Sobre 2.) A k-forma ω tenha a representacao local
ω|U =∑
I
ωIdxI .
Sabemos de 1.) que dω e uma (k+ 1)-forma e, portanto, possui uma representacao local da
forma
dω|U =∑
(J=1≤j0<...<jk≤n)
(dω)( ∂
∂xj0, . . . ,
∂
∂xjk
)· dxJ
def.=∑
J
[ k∑
α=0
(−1)α∂
∂xjα
(ω( ∂
∂xj0, . . . ,
∂
∂xjα, . . . ,
∂
∂xjk
))]· dxJ + 0,
onde usamos [ ∂∂xi
, ∂∂xj
] = 0 . Trocando as diferenciais, obtemos
dω|U =∑
J=(I,jα)
[ k∑
α=0
( ∂
∂xjα(ωI)
)]· dxjα ∧ dxI =
∑
I
[ n∑
j=1
∂
∂xj(ωI) · dxj
]∧ dxI
=∑
I
dωI ∧ dxI .
Sobre 3.) Sem perda de generalidade, podemos supor ω = f dxI e σ = g dxJ , pois d e linear
e uma operacao local. As regras conhecidas para formas diferenciais implicam
d(ω ∧ σ) = d(f dxI ∧ g dxJ) = d(fg dxI ∧ dxJ) 2.= d(fg) ∧ dxI ∧ dxJ
PR= (g df + f dg) ∧ dxI ∧ dxJ 9.3
= df ∧ dxI ∧ g dxJ + dg ∧ f dxI ∧ dxJ
= df ∧ dxI ∧ σ + dg ∧ ω ∧ dxJ 2.= (dω) ∧ σ + (−1)degωω ∧ dσ.
Sobre 4.) Primeiro, mostramos a afirmacao para k = 0. Para isso, seja f ∈ C∞(M). Entao
pela definicao da diferencial e pelas propriedades do comutador do Teorema 5.3 temos
d(df )(X,Y )def .= X(df (Y ))−Y (df (X))−df ([X,Y ]) = X(Y (f))−Y (X(f))− [X,Y ](f) = 0.
Agora seja k ≥ 1 e seja ω ∈ Ωk(M) uma k-forma com a representacao local ω =∑I
ωIdxI .
Entao
d(dω)2.=∑
I
d(dωI ∧ dxI) =∑
I
[d(dωI) ∧ dxI − dωI ∧ d(dxI)].
Como ωI ∈ C∞(M) e dxI = dxik ∧ . . . ∧ dxik , do caso k = 0 segue d(dω) = 0 por 3.).
Sobre 5.) Mostramos a afirmacao por inducao pelo grau de ω. Seja k = 0 e seja f ∈C∞(N) = Ω0(N). Entao (F ∗f)(x) = f(F (x)). Portanto,
d(F ∗f)x(v) = d(f F )x(v) RC= (df )F (x)
(dFx)(v)
)= (F ∗df )x(v),
50
isto e, d(F ∗f) = F ∗df .
Agora supomos que a afirmacao ja tenha sido estabelecida para k-formas e analisamos o
caso de (k+1)-formas: Seja ω uma (k+1)-forma. Como acima, podemos supor, sem perda
de generalidade, que ω = fdxJ , onde J = (1 ≤ j0 < · · · < jk ≤ n) e um multi-ındice
ordenado. No seguinte calculo, seja I o multi-ındice I = (j0 < · · · < jk−1) . Entao obtemos
das regras conhecidas e da hipotese da inducao que
d(F ∗ω) = d(F ∗(fdxJ )) = d(F ∗[(fdxj0 ∧ . . . ∧ dxjk−1) ∧ dxjk ])
9.3= d(F ∗(fdxI) ∧ F ∗dxjk)3.= d(F ∗(fdxI)) ∧ F ∗dxjk + (−1)kF ∗(fdxI) ∧ d(F ∗dxjk)
H .I .= F ∗(d(fdxI)) ∧ F ∗dxjk + (−1)kF ∗(fdxI) ∧ (ddF ∗xjk)4.&
9.3= F ∗(d(fdxI) ∧ dxjk)3.= F ∗(d(fdxI ∧ dxjk)) = F ∗dω.
9.4 Formas diferenciais fechadas e exatas
Definicao. Uma k–forma ω ∈ Ωk(M) e chamada fechada se dω = 0. Uma k–forma
ω ∈ Ωk(M) e chamada exata se existir uma (k − 1)–forma η ∈ Ωk−1(M) tal que dη = ω .
Como d d = 0 , cada forma diferencial exata e fechada.
Exemplo 1: Consideramos a seguinte 1–forma ω emM = R2 (em coordenadas euclideanas)
ω = y dx+ x dy.
1. ω e fechada pois
dω = dy ∧ dx+ dx ∧ dy = −dx ∧ dy + dx ∧ dy = 0.
2. ω e exata pois para a funcao f ∈ C∞(R2) com f(x, y) := x · y temos
df =∂f
∂xdx+
∂f
∂ydy = y dx+ x dy = ω.
Exemplo 2: Consideramos um conjunto aberto U ⊂ R2 com coordenadas euclideanas (x, y)
e uma 1–forma ω ∈ Ω1(U)
ω = Pdx+Qdy, onde P,Q ∈ C∞(U).
Aplicando as regras dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dx ∧ dy = −dy ∧ dx obtemos
dω = dP ∧ dx+ dQ ∧ dy
=
(∂P
∂xdx+
∂P
∂ydy
)∧ dx+
(∂Q
∂xdx+
∂Q
∂ydy
)∧ dy
=
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx ∧ dy.
51
Portanto, vale
dω = 0 ⇔ ∂Q
∂x=∂P
∂y.
Por outro lado, ω e exata (isto e, existe uma funcao suave φ ∈ C∞(U) tal que dφ = ω) se,
e somente se,
Pdx+Qdy = ω = dφ =∂φ
∂xdx+
∂φ
∂ydy,
o que equivale a
P =∂φ
∂xe Q =
∂φ
∂y. (∗)
Exemplo 3: No R3, cada 1-forma fechada ω ∈ Ω1(R2) e exata:
Para achar uma funcao φ ∈ C∞(R2) com dφ = ω, supomos que ja tenhamos uma tal funcao
φ. Integramos a funcao ∂φ∂x
pela variavel x e usamos o criterio (∗):
φ(x, y) =
∫ x
0
∂φ
∂x(t, y)dt+ φ(0, y) =
∫ x
0
P (t, y)dt+ φ(0, y)
φ(0, y) =
∫ y
0
∂φ
∂y(0, s)ds+ φ(0, 0) =
∫ y
0
Q(0, s)ds+ φ(0, 0).
Portanto, definimos
φ(x, y) :=
∫ x
0
P (t, y)dt+
∫ y
0
Q(0, s)ds.
φ e suave e de fato satisfaz a condicao (∗): P = ∂φ∂x
pelo teorema fundamental do calculo.
Para verificar Q = ∂φ∂y
, temos de usar tambem que ω e fechada:
∂φ
∂y(x, y) =
∫ x
0
∂P
∂y(t, y)dt+Q(0, y)
dω=0=
∫ x
0
∂Q
∂x(t, y)dt+Q(0, y)
= Q(x, y)−Q(0, y) +Q(0, y) = Q(x, y).
Se uma 1–forma fechada nao e definida no R2 todo, ela geralmente nao precisa ser exata.
Esta propriedade depende do tipo do domınio U ⊂ R2 onde ω e definida.
Exemplo 4: A forma de angulo.
Consideramos a 1–forma ω ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)) dada por
ω(x, y) = − y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy (forma de angulo).
ω e fechada como da para calcular facilmente como no Exemplo 2. Mas ω nao e exata. Para
mostrar isso, consideramos algum k ∈ Z e a curva γ : [0, 2π] → R2 \ (0, 0)
γ(t) := (r cos(kt), r sen(kt))
que percorre k vezes a circunferencia de raio r. Consideramos a integral em curva de ω ao
longo de γ: ∫
γ
ω :=
∫ 2π
0
ωγ(t)(γ′(t))dt.
Como γ′(t) = (−rk sen(kt), rk cos(kt)) e ∂∂x
= e1,∂∂y
= e2, obtemos
ωγ(t)(γ′(t)) = −r sen(kt)
r2(−rk sen(kt)) + r cos(kt)
r2rk cos(kt) = k.
52
Portanto, ∫
γ
ω =
∫ 2π
0
kdt = 2πk.
Em outras palavras, a integral de ω ao longo de γ conta quantas vezes γ percorre a cir-
cunferencia. Supondo que ω seja exata, existiria uma funcao φ ∈ C∞(R2 \ (0, 0) tal que
dφ = ω. Entao terıamos
ωγ(t)(γ′(t)) = dφγ(t)(γ
′(t)) = (φ γ)′(t)
e para a integral em curva seguiria
∫
γ
ω =
∫ 2π
0
(φ γ)′(t)dt = φ(γ(2π))− φ(γ(0)) = 0.
Isto e uma contradicao para k ∈ Z \ 0.
Agora mostramos que para qualquer conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn toda k-forma
fechada ω ∈ Ωk(U) tambem e exata.
Lembre que um conjunto U ⊂ Rn e chamado estrelado (em relacao a x0 ∈ U) se para todo
x ∈ U o segmento x0x e completamento contido em U .
Lema de Poincare:
Num conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn, cada k-forma (k ≥ 1) fechada e exata.
Demonstracao: Aqui vamos dar uma demonstracao direta que tambem serve para ilus-
trar o calculo com formas diferenciais. Nossa demonstracao consiste em dois passos. No
primeiro vamos mostrar que basta mostrar a afirmacao para conjuntos abertos e estrelados
em relacao ao vetor nulo o ∈ Rn. No segundo passo mostramos o Lema de Poincare para
k-formas fechadas em conjuntos abertos e estrelados em relacao a o.
Primeiro passo: Supomos que a afirmacao do Lema de Poincare valha para qualquer con-
junto aberto no Rn que e estrelado em relacao a o. Seja U ⊂ R
n um conjunto aberto e
estrelado. U seja estrelado em relacao a x0 ∈ U . Consideramos o seguinte conjunto aberto
e estrelado em relacao a o:
U := U − x0 = x− x0 | x ∈ U ⊂ Rn.
Agora seja ω ∈ Ωk(U) fechada, isto e, supomos dω = 0. Consideramos o difeormorfismo
φ : U → U
x 7−→x+ x0
e a forma φ∗ω induzida por ω por meio de φ. Entao φ∗ω ∈ Ωk(U) e d(φ∗ω) = φ∗dω = 0.
Segundo nossa hipotese, existe uma (k − 1)-forma η ∈ Ωk−1(U) tal que
dη = φ∗ω.
Para a aplicacao inversa φ−1 e a forma induzida η := (φ−1)∗η ∈ Ωk−1(U), temos:
dη = d((φ−1)∗η) = (φ−1)∗dη = (φ−1)∗(φ∗ω) = (φ−1)∗ φ∗ω = ω.
Portanto, ω e exata em U e basta mostrar a afirmacao do Lema de Poincare para conjuntos
abertos no Rn que contem o vetor nulo o e sao estrelados em relacao a o.
53
Segundo passo: Agora seja U ⊂ Rn um conjunto aberto que contem o vetor nulo o e e
estrelada em relacao a o. Para mostrar a afirmacao do Lema de Poincare, definimos, para
cada nıvel k ≥ 1, um operador linear
Sk : Ωk(U) −→ Ωk−1(U)
e mostramos que, para cada k-forma ω, vale a formula
ω = Sk+1(dω) + dSk(ω).
Em particular, se ω e fechado (dω = 0), entao segue para a (k − 1)-forma η := Sk(ω), que
dη = ω e obtemos o Lema de Poincare.
Seja ω uma k-forma em U . Representamos ω nas coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn):
ω =∑
I:=(1≤i1<...<ik≤n)
ωI dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
onde
ωI = ω|U
(∂
∂xi1, . . . ,
∂
∂xik
)∈ C∞(U).
Definimos a (k − 1)-forma Sk(ω) ∈ Ωk−1(U) por meio dos coeficientes ωI de ω por
Sk(ω)x :=∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1
1∫
0
tk−1ωI(tx)dt
xiα
︸ ︷︷ ︸=:θ(x)
·dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
Como U e estrelado em relacao a o, ωI(tx) e definido para todo t ∈ [0, 1] e, portanto, a
forma Sk(ω) tambem e bem-definida. Obviamente, θ ∈ C∞(U) e a aplicacao ω 7→ Sk(ω) e
linear.
Para a diferencial de Sk(ω), obtemos
dSk(ω)x :=∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1 ·
n∑
j=1
∂θ
∂xj(x)dxj
︸ ︷︷ ︸=dθ
∧dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1 ·n∑
j=1
∂
∂xj
1∫
0
tk−1ωI(tx)dt · xiα
dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1 ·n∑
j=1
1∫
0
tk∂ωI∂xj
(tx)dt
· xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
+∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1 ·k∑
β=1
1∫
0
tk−1ωI(tx)dt
· dxiβ ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
k∑
α=1
(−1)α−1 ·n∑
j=1
1∫
0
tk∂ωI∂xj
(tx) dt
· xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
+∑
I
1∫
0
k · tk−1ωI(tx)dt
· dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
54
Para a diferencial de ω, vale
dω=∑
I
dωI ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
n∑
j=1
∂ωI∂xj
· dxj︸ ︷︷ ︸
dωI
∧dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Agora usamos o mesmo processo que acima para associarmos a (k + 1)-forma dω a k-forma
Sk+1(dω) em U e obtemos:
Sk+1(dω)x=∑
I
n∑
j=1
(∫ 1
0
tk∂ωI∂xj
(tx) dt
)xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik −
−∑
I
k∑
α=1
n∑
j=1
(−1)α−1
(∫ 1
0
tk∂ωI∂xj
(tx) dt
)xiα dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik
Somando as formulas para dSk(ω) e Sk+1(dω) e aplicando a regra da cadeia, obtemos:
dSk(ω) + Sk+1(dω)=∑
I
1∫
0
k · tk−1ωI(tx)dt
· dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
+∑
I
n∑
j=1
(∫ 1
0
tk∂ωI∂xj
(tx) dt
)xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
(∫ 1
0
d
dt
(tkωI(tx)
)dt
)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
I
ωI(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik=ω.
Geralmente, as formas diferenciais exatas sao um subespaco proprio das formas diferenciais
fechadas:
Im dk−1 := d(Ωk−1(M)
)⊂ Ker dk := ω ∈ Ωk(M) | dω = 0 .
O espaco quociente
HkDR(M) := Ker dk/Im dk−1
chama-se a k-esima cohomologia de de Rham1 de M . Para conjuntos abertos e estrelados
U ⊂ Rn temos pelo Lema de Poincare que
HkDR(U) = 0 para todo k ≥ 1.
A cohomologia de de Rham e suas aplicacoes na analise e geometria aparecem em cursos de
geometria algebrica, geometria diferencial e analise global. Ela contem informacoes essenciais
sobre propriedades analıticas da variedade M . Por exemplo, a cohomologia de de Rham da
esfera e da bola podem ser usadas para mostrar o teorema do ponto fixo de Brouwer. Aqui
vamos dar duas outras aplicacoes: Da para mostrar que os espacos vetoriais HkDR(M) sao
de dimensao finita para qualquer variedade compacta M . Por isso, dada uma variedade
1nomeado por Georges de Rham (1903-1990)
55
compacta n–dimensional M , podemos associar o seguinte numero, a chamada caracterıstica
de Euler, a M :
χ(M) =
n∑
k=0
(−1)k dimHkDR(M).
Vale, por exemplo:
1. Duas variedades 2-dimensionais, compactas, orientaveis e conexas sao difeomorfos se, e
somente se, elas tem a mesma caracterıstica de Euler.
2. Numa variedade compacta Mn, existe um campo vetorial global que nunca se anula se,
e somente se, a caracterıstica de Euler e zero: χ(M) = 0.
Um outro conceito importante duma derivada para formas diferenciais e a derivada de Lie,
que generaliza a derivada direcional de funcoes (0-formas).
(6) A derivada de Lie duma forma diferencial
Seja X um campo vetorial em M . A aplicacao
LX : Ωk(M) −→ Ωk(M)
ω 7−→ LXω
definida por
LXω := d iXω + iXdω
chama-se derivada de Lie de ω pelo campo vetorial X.
Teorema 9.6 A derivada de Lie possui as seguintes propriedades:
1. Para quaisquer campos vetoriais X1, . . . , Xk em M vale a seguinte formula para o
calculo da derivada de Lie:
(LXω)(X1, . . . , Xk)=X(ω(X1, . . . , Xk))
−k∑
i=1
ω(X1, . . . , Xi−1, [X,Xi], Xi+1, . . . , Xk).
2. LX(ω ∧ σ) = (LXω) ∧ σ + ω ∧ LXσ.
3. d LX = LX d.
4. LfX = fLX + (df ) ∧ iX .
5. [LX , iY ] := LX iY − iY LX = i[X,Y ]
[LX , LY ] := LX LY − LY LX = L[X,Y ].
6. Seja F : M −→ N uma aplicacao suave, seja ω ∈ Ωk(N) e sejam X ∈ X(M) e Y ∈X(N) dois campos vetoriais relacionados por F (isto e, dFx(X(x)) = Y (F (x)) ∀ x ∈M). Entao
LX(F ∗ω) = F ∗(LY ω
).
Demonstracao: Isso e mostrado aplicando as definicoes formalmente. (Exercıcio).
56
9.5 A forma de volume duma subvariedade orientada
Como observamos no Capıtulo 6, distinguimos variedades orientaveis e nao-orientaveis. Pri-
meiro caracterizamos as variedades orientaveis por formas diferenciais.
Teorema 9.7 Uma subvariedade n–dimensional M ⊂ RN e orientavel se, e somente se,
existe uma n–forma ω ∈ Ωn(M) que nunca se anula (uma n–forma tal que ωx 6= 0 para todo
x ∈M).
Demonstracao: (=⇒): Seja M orientada. Consideramos uma carta positivamente ori-
entada (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) em M com a base canonica(
∂∂x1
(y), . . . , ∂∂xn
(y))
∈ OTyM
para cada y ∈ U . Aplicando o processo de ortonormalizacao de Gram–Schmidt a esta
base em cada um dos espacos euclideanos (TyM, gy), obtemos uma base ortonormal posi-
tivamente orientada (e1(y), . . . , en(y)) em TyM . As aplicacoes no domınio U dadas por
ei : y ∈ U −→ ei(y) ∈ RN sao suaves e, portanto, campos vetoriais em U . Agora definimos
a forma desejada ω localmente em U por
ω|U (e1, . . . , en) := 1.
Obviamente, temos ωy 6= 0 para y ∈ U . Falta mostrar que ω e bem-definida globalmente
em M .
Dadas duas bases a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) em TyM , temos
ωy(a1, . . . , an) = det(Ma b)ωy(b1, . . . , bn),
onde Ma b denota a base de transformacao entre as bases. Portanto, para duas bases orto-
normais positivamente orientadas a e b temos ωy(a1, . . . , an) = ωy(b1, . . . , bn) pois o deter-
minante da matriz de transformacao entre duas bases ortonormais da mesma orientacao e
1. Portanto, ωy independe da carta positivamente orientada escolhida em torno de y. Logo,
ω = ωyy∈M define uma n–forma global em M que nunca se anula.
(⇐=): Reciprocamente, seja ω uma n–forma em M que nunca se anula. Definimos uma
orientacao em M por
(a1, . . . , an) ∈ OTxM : ⇐⇒ ωx(a1, . . . , an) > 0 .
Seja x ∈ M e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x com domınio conexo U .
Se para a base canonica associada a esta carta vale ( ∂∂x1
(x), . . . , ∂∂xn
(x)) ∈ OTxM , entao,
por continuidade, tambem temos ( ∂∂x1
(y), . . . , ∂∂xn
(y)) ∈ OTyM para todo y ∈ U . Isso quer
dizer que a carta (U,ϕ) e positivamente orientada. Se ( ∂∂x1
(x), . . . , ∂∂xn
(x)) /∈ OTxM , entao
consideramos, em vez da carta ϕ = (x1, . . . , xn), a nova carta ϕ = (−x1, x2, . . . , xn) e
obtemos uma carta positivamente orientada (U, ϕ).
Agora vamos considerar uma forma particular numa subvariedade orientada Mn ⊂ RN , a
chamada forma de volume de (Mn,OMn). Seja (Mn,OMn) uma subvariedade orientada.
Entao (TxM, gx,OTxM ) e um espaco vetorial euclideano orientado. Identificamos este espaco
vetorial isometricamente com o (Rn,ORn), levando cada vetor v ∈ TxM a suas componentes
em relacao a uma base ortonormal positivamente orientada e = (e1, . . . , en) :
τe : TxM −→ Rn
v 7−→(gx(v, e1), . . . , gx(v, en)
)t
57
Definicao. A n–forma dMx ∈ ΛnT ∗xM seja definida por
dMx(v1, . . . , vn) := volume do paralelepıpedo P gerado por τe(v1), . . . τe(vn) no Rn
(P =
n∑
i=1
xiτe(vi)∣∣∣ 0 ≤ xi ≤ 1
)
= det(gx(vi, ej)
)ij
= det(τe(v1) · · · τe(vn)
)
dMx chama-se forma de volume de (TxM, gx,OTxM ).
Observacoes:
(1) dMx e bem-definida, isto e, independe da escolha da base ortonormal (e1, . . . , en).
(2) A famılia de n–formas dMxx∈M e suave, isto e, ela define uma n–forma em M .
Para ver isso, consideramos, como na demonstracao do Teorema 9.7, um campo local
(e1, . . . , en) de bases ortonormais positivamente orientadas no domınio U duma carta e
observamos que, para quaisquer campos vetoriais (suaves) X1, . . . , Xn, a aplicacao
x ∈ U 7→ dMx
(X1(x), . . . , Xn(x)
)= det
(gx(Xi(x), ej(x))
)ij
e suave. A n–forma dM := dMxx∈M chama-se forma de volume da subvariedade orien-
tada (M,OM ).
(3) Seja (a1, . . . , an) uma base positivamente orientada de (TxM,OTxM ) . Entao
dMx(a1, . . . , an) =√det(gx(ai, aj)
)ij
(∗).
Para ver isso, observamos que, por definicao, temos
dMx(a1, . . . , an) = det(〈ai, ej〉) = det(M(ai),(ei)) > 0,
onde (e1, . . . , en) e um base ortonormal positivamente orientada. Portanto, para (3) basta
mostrar que (det(〈(ai, ej〉
))2= det
(〈ai, aj〉
).
Isso segue de
(det(〈ai, ej〉)
)2=det(〈ai, ej〉) · det(〈ai, ej〉)T = det
((〈ai, ej〉)ij (〈el, ak〉)lk
)
=det( n∑
j=1
〈ai, ej〉〈ej , ak〉)ik
= det(〈ai,
n∑
j=1
〈ej , ak〉ej〉)ik
= det(〈ai, ak〉
).
Seja (σ1, . . . , σn) a base dual a (a1, . . . , an) . De (∗), obtemos em particular a seguinte
representacao da n–forma dMx:
dMx =√
det(〈ai, aj〉
)σ1 ∧ · · · ∧ σn (∗∗)
(4) Seja ω ∈ Ωn(M) uma n–forma qualquer em Mn. Entao existe uma funcao f ∈ C∞(M)
tal que ω = f · dM .
Nomeadamente, definimos a funcao f por f(x) = ωx(e1, . . . , en), onde (e1, . . . , en) e um
base ortonormal positivamente orientada.
Como caso particular de (∗∗), obtemos a representacao local da forma de volume em relacao
a uma carta positivamente orientada em M :
58
Teorema 9.8 (Representacao local da forma de volume) Seja (M,OM ) uma subva-
riedade orientada do RN . Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta positivamente orientada em
M e seja(gij := 〈 ∂
∂xi, ∂∂xj
〉)
a matriz da metrica Riemanniana induzida em relacao a esta
carta. Entao
dM |U =√det(gij) dx
1 ∧ . . . ∧ dxn.
Demonstracao: Isso segue do fato que as diferenciais (dx1, . . . , dxn) das funcoes coorde-
nadas formam a base dual a base canonica associada a carta (U,ϕ).
Exemplo 1: A forma de volume de Rn
Em coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn) do Rn temos: dRn = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn.
Exemplo 2: A forma de volume duma subvariedade 1–dimensional do RN
Seja M ⊂ RN uma subvariedade 1–dimensional do R
N (uma curva). Entao, em torno de
cada ponto x ∈M , existe uma parametrizacao local dada por uma curva regular
γ : I = (−ε, ε) −→M ⊂ RN , γ(0) = x.
Para a forma de volume desta parametrizacao temos
dM |γ(t) = ‖γ′(t)‖ dt.
Na literatura “classica” dM |γ(I) chama-se o elemento de arco da curva.
Exemplo 3: A forma de volume de superfıcies no R3
Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie no R
3 e seja Φ : U ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao local
de M . Entao a seguinte notacao classica e frequentemente usada:
E := g11 =⟨ ∂Φ∂u1
,∂Φ
∂u1
⟩, F := g22 =
⟨ ∂Φ∂u2
,∂Φ
∂u2
⟩e G := g12 =
⟨ ∂Φ∂u1
,∂Φ
∂u2
⟩.
Assim obtemos
θ := det
(g11 g12
g21 g22
)= det
(E G
G F
)= EF −G2 =
∥∥∥ ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
∥∥∥2
e, portanto,
Φ∗dM2Φ(U) =
√EF −G2 du1 ∧ du2 =
∥∥∥ ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
∥∥∥ du1 ∧ du2.
Na literatura “classica” a forma de volume dM2Φ(U) tambem e chamada de “elemento de
superfıcie“.
Para a derivada de Lie da forma de volume por um campo vetorial X, vale a seguinte formula
que vai ser importante no contexto dos teoremas integrais. Com ela, podemos interpretar a
divergencia dum campo vetorial X geometricamente como distorcao pelo fluxo ao longo das
curvas integrais de X.
Teorema 9.9 Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade orientada e seja X um campo vetorial em
M . Entao para a derivada de Lie por X da forma de volume vale
LXdM = div(X) dM.
59
Demonstracao: Como nao existe nenhuma (n + 1)–forma nao-nula numa variedade n-
dimensional, a diferencial da forma de volume e nulo: ddM = 0. Como LX = diX+iX d ,
segue LXdM = d(iXdM) . Para calcular d(iXdM) , exprimimos dM e X em coordenadas
locais em relacao a uma carta positivamente orientada:
dM =√θ dx1 ∧ . . . ∧ dxn e X =
n∑
i=1
ξi∂
∂xi.
Entao
iXdM =
n∑
i=1
√θξi i ∂
∂xi
(dx1 ∧ . . . ∧ dxn) =n∑
i=1
(−1)i−1√θ ξi dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn.
Portanto,
d(iXdM) =n∑
i,j=1
(−1)i−j∂
∂xj(√θξi) dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn︸ ︷︷ ︸
=0, se i6=j
=
n∑
i=1
∂
∂xi(√θξi) dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
1√θ
n∑
i=1
∂
∂xi(√θξi) dM = div (X) dM.
Para preparar os teoremas integrais, finalmente ainda analisamos a conexao entre a forma
de volume duma variedade orientada com bordo e da forma de volume do bordo. Para isso,
temos de especificar qual orientacao queremos escolher no bordo.
Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional orientada com bordo ∂M 6= ∅. ∂M e
uma subvariedade (n− 1)–dimensional (sem bordo) e, para um ponto x ∈ ∂M no bordo, o
espaco tangente Tx∂M a ∂M no ponto x e um subespaco (n − 1)-dimensional do espaco
tangente TxM (que tem dimensao n).
Definicao. A aplicacao x ∈ ∂M 7→ ν(x) ∈ TxM ⊂ RN com
1. ν(x) ⊥〈·,·〉RN
Tx(∂M),
2. ‖ν(x)‖ = 1,
3. Existe uma curva γ : (−ε, 0] −→M tal que γ(0) = x e γ′(0) = ν(x)
chama-se campo normal (unitario) exterior no bordo ∂M .
Aqui omitimos a demonstracao que a aplicacao ν e bem-definida e contınua (veja [3]).
Definicao. Seja (M,OM ) uma subvariedade orientada com bordo ∂M 6= ∅ e seja ν :
∂M −→ RN o campo normal no bordo. Definimos uma orientacao O∂M no bordo por
(v1, . . . , vn−1) ∈ OTx(∂M) ⇐⇒ (ν(x), v1, . . . , vn−1) ∈ OTxM .
O∂M chama-se a orientacao induzida por OM .
Teorema 9.10 Seja (M,OM ) uma subvariedade n–dimensional orientada no RN com bordo
∂M 6= ∅. Denotamos por ν : ∂M −→ RN o campo normal exterior e por O∂M a orientacao
induzida em ∂M . Entao, para as formas de volume, temos
d(∂M) = iν dM |∂M ∈ Ωn−1(∂M).
60
Demonstracao: Seja x ∈ ∂M e seja (e1(x), . . . , en−1(x)) uma base ortonormal positi-
vamente orientada de Tx(∂M). Entao (ν(x), e1(x), . . . , en−1(x)) e uma base ortonormal
positivamente orientada de TxM e a definicao da forma de volume implica
d(∂M)x(e1, . . . , en−1) = 1 = (dM)x(ν(x), e1, . . . , en−1) = iν(x)dMx(e1, . . . , en−1),
e, portanto, d(∂M)x = iν(x)dMx.
61
Capıtulo 10
Integracao de formas ao longo
de subvariedades orientadas
Neste capıtulo queremos introduzir a teoria de integracao para variedades orientadas M
usando formas diferenciais. Essa vai generalizar as integrais ao longo de curvas e superfıcies
e a integral no Rn conhecidas do Calculo.
10.1 Integrais multiplas
Nesta secao vamos dar um resumo da integral de Riemann sobre subconjuntos do Rn. Para
a teoria completa veja [4, Cap. 8 e 9].
Seja n ≥ 1 um numero natural. Um bloco n-dimensional (fechado) e um produto cartesiano
da forma
A =
n∏
i=1
[ai, bi] = [a1, b1]× · · · × [an, bn] ⊂ Rn,
com numeros reais ai < bi. Por definicao o volume (n-dimensional) do bloco A e definido
por Vol(A) =∏ni=1(bi− ai). Uma particao dum intervalo fechado [a, b] e um conjunto finito
P = c0, . . . , ck de numeros reais tal que a = c0 < c1 < . . . < ck = b. Uma particao do
bloco∏ni=1[ai, bi] ⊂ R
n e um produto cartesiano P1×· · ·×Pn, onde cada Pi e uma particao
de [ai, bi].
Os subintervalos duma particao c0, . . . , ck dum intervalo [a, b] sao por definicao os interva-
los [c0, c1], . . . , [ck−1, ck]. Dada uma particao P =∏ni=1 Pi dum bloco A =
∏ni=1[ai, bi], um
sub-bloco de A e um bloco da forma I1× · · ·× In com Ii um subintervalo de Pi. Escrevemos
B ∈ P se B e sub-bloco de P .
Seja A ⊂ Rn um bloco fechado e seja f : A → R uma funcao limitada. Definimos a soma
inferior I(f ;P ) e a soma superior S(f ;P ) de f relativemente a P por
I(f ;P ) =∑
B∈P
(infBf)Vol(B) e S(f ;P ) =
∑
B∈P
(supB
f
)VolB,
onde cada soma e sobre todos os sub-blocos de P . Se P e Q sao particoes quaisquer de A,
entao vale I(f ;P ) ≤ S(f ;Q). Esta observacao implica que, se definimos a integral inferior
e a integral superior por∫ I
A
f = supI(f ;P ); P e uma particao de A
62
e ∫ S
A
f = infS(f ;P ); P e uma particao de A,
respectivamente, entao∫ IAf ≤
∫ SAf . Dizemos que f e integravel (no sentido de Riemann)
se essas duas integrais coincidem e escrevemos
∫
A
fdV :=
∫ I
A
f =
∫ S
A
f.
Agora precisamos da nocao dum conjunto de medida nula: Dizemos que um conjunto qual-
quer A ⊂ Rn e de medida nula (n-dimensional) se para todo ε > 0 existe uma cobertura
enumeravel de A por blocos B1, B2, . . . tal que∑∞k=1 Vol(Bk) < ε. Exemplos de conjuntos
de medida nula sao pontos, reunioes enumeraveis de conjuntos de medida nula e subcon-
juntos de conjuntos de medida nula. Tambem observe que um conjunto de medida nula
A ⊂ Rn nao pode conter um conjunto aberto no R
n. O seguinte teorema pode ser usado
para mostrar que cada subvariedade de dimensao menor que n tem medida nula no Rn.
Teorema 10.1 Se A ⊂ Rn tem medida nula e f : A→ R
n e diferenciavel, entao f(A) ⊂ Rn
tem medida nula.
O seguinte teorema da um criterio pratico de integrabilidade.
Teorema 10.2 (Lebesgue) Seja A ⊂ Rn um bloco (fechado) e seja f : A→ R uma funcao
limitada. f e integravel se, e somente se, o conjunto
Df = x ∈ A; f nao contınua em x
tem medida nula.
Agora seja D ⊂ Rn um conjunto limitado e seja f : D → R uma funcao limitada. Se A e
um bloco contendo D, definimos fA : A→ R por
fA(x) =
f(x), x ∈ D
0, x ∈ A \D.
Se existe a integral∫AfAdV , entao dizemos que f e integravel sobre D e a ultima integral e
denotada por∫DfdV . Nao e difıcil mostrar que a integral nao depende da escolha do bloco
A.
Dizemos que um conjunto D ⊂ Rn limitado e um domınio de integracao se sua funcao
constantemente 1 e integravel sobre D e escrevemos Vol(D) :=∫D1dV . Equivalentemente,
D ⊂ Rn e um domınio de integracao se, e somente se, D e limitado e sua fronteira ∂D
tem medida nula. Da para mostrar que cada funcao contınua e limitada num domınio de
integracao e integravel e que essa integral tem as seguintes propriedades.
Lema 10.1 Seja D ⊂ Rn um domınio de integracao e sejam f, g : D → R funcoes contınuas
e limitadas.
1. Para todo a, b ∈ R:
∫
D
(af + bg)dV = a
∫
D
fdV + b
∫
D
gdV.
2. Se D tem medida nula, entao∫DfdV = 0.
63
3. Se D1, . . . , Dk sao domınios de integracao tal que qualquer intersecao Di ∩Dj (i 6= j)
tem medida nula, entao D :=⋃ki=1Di e um domınio de integracao e
∫
D
fdV =
∫
D1
fdV + . . .+
∫
Dk
fdV.
4. Se f ≥ 0 em D, entao∫DfdV ≥ 0. A ultima integral e zero se, e somente se, f ≡ 0
no interior
D.
Tambem da para mostrar que no caso de funcoes contınuas num bloco fechado a integral
definida acima coincide com a integral multipla classica: Se A = [a1, b1]×· · ·× [an, bn] e um
bloco fechado no Rn e f : A→ R e contınua , entao
∫
A
fdV =
∫ bn
an
(· · ·(∫ b1
a1
f(x1, . . . , xn)dx1
)· · ·)dxn
e a mesma formula vale para qualquer outra ordem de integracao a direita.
O ultimo teorema deste resumo vai ser fundamental para a teoria de integracao de formas
diferenciais.
Teorema 10.3 (de mudanca de variaveis) Sejam h : U → V um difeomorfismo C1
entre abertos U, V ⊂ Rn e seja D ⊂ U um domınio de integracao compacto. Entao para
qualquer funcao contınua f : h(D) → R temos que h(D) e um domınio de integracao e
∫
h(D)
fdV =
∫
D
(f h)| detDh|dV.
10.2 A integral de formas no Rn
Seja ω ∈ Ωn0 (M) uma n-forma numa subvariedade orientadaMn. Queremos definir a integral
∫
M
ω
de ω ao longo de M . Antes de definir este conceito em subvariedades, temos de definir a
integral de n–formas no Rn.
Seja entao A ⊂ Rn um domınio de integracao compacto e seja ω uma n–forma contınua em
A, isto e, seja
ω = fdxn ∧ · · · ∧ dxncom f ∈ C(A) uma funcao contınua. Definimos
∫
A
ω :=
∫
A
fdV (=
∫
D
fdx1 · · · dxn).
Para estender esta definicao a Ωn0 (U) (com U ⊂ Rn aberto), precisamos do seguinte resul-
tado.
Teorema 10.4 Seja U ⊂ Rn aberto e K ⊂ U compacto. Entao existe um domınio de
integracao compacto A tal que K ⊂ A ⊂ U .
Demonstracao: Para x ∈ K seja Bx uma bola aberta contendo x tal que Bx ⊂ U . Como
K e compacto, existem x1, . . . , xm ∈ K tais que K ⊂ ⋃mi=1Bxi. Como cada fronteira ∂Bxi
e uma (n− 1)–esfera e, portanto, tem medida nula, o conjunto A :=⋃mi=1Bxi
e um domınio
64
de integracao como desejado.
Definicao. Para U ⊂ Rn aberto e ω ∈ Ωn0 (U) definimos
∫
U
ω :=
∫
A
ω,
onde A ⊂ Rn e qualquer domınio de integracao tal que suppω ⊂ A ⊂ U .
Nao e difıcil mostrar que esta definicao independe da escolha de A.
Teorema 10.5 Sejam U, V ⊂ Rn abertos, h : U → V um difeomorfismo que preserva a
orientacao (quer dizer, o determinante da derivada e positiva em cada ponto). Entao para
cada n–forma ω com suporte compacto contido em V temos
∫
V
ω =
∫
U
h∗ω.
Demonstracao: Sejam A,B ⊂ Rn domınios de integracao compactos tais que supp(h∗ω) ⊂
A ⊂ U e suppω ⊂ B ⊂ V . Definimos f ∈ C∞(V ) por ω = fdx1 ∧ · · · ∧ dxn e calculamos
∫
V
ω =
∫
B
ω =
∫
B
f dV =
∫
A
(f h)| detDh| dV
=
∫
A
(f h) detDhdV =
∫
A
(f h) detDhdx1 ∧ · · · ∧ dxn
=
∫
A
h∗ω =
∫
U
h∗ω.
10.3 A integral ao longo de subvariedades
Se queremos definir a integral duma n–forma ω ao longo duma subvariedade M , uma ideia
natural e a seguinte: CobrimosM por subconjuntos “pequenos” tal que cada um desses sub-
conjuntos e contido no domınio duma carta, consideramos as integrais nestes subconjuntos
e somamo-las. Vamos mostrar que (sob certas condicoes) esta ideia funciona.
A partir de agora, M sempre seja uma subvariedade orientada n–dimensional com ou sem
bordo. Consideramos a classe de n–formas com suporte compacto:
Ωno (M) := ω ∈ Ωn(M) | suppω = x ∈M, ωx 6= 0 e compacto ,
Por exemplo, se M e compacto, entao dM ∈ Ωn0 (M).
Definicao.[I1]
Seja ω ∈ Ωn0 (Mn) uma n–forma em M com suporte compacto e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn))
uma carta positivamente orientada tal que suppω ⊂ U . Definimos a integral de ω sobre M
por ∫
M
ω :=
∫
ϕ(U)
(ϕ−1)∗ω.
Teorema 10.6 A definicao (I1) e correta, isto e, o numero∫M
ω independe da escolha da
carta positivamente orientada cujo domınio contem suppω.
Demonstracao: Sejam (U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas positivamente orientadas tal que o su-
porte de ω e contido em U ∩ V . Observamos que h := ψ ϕ−1 e um difeomorfismo entre
65
ϕ(U ∩ V ) e ψ(U ∩ V ) que preserva a orientacao. Pelo Teorema 10.5, obtemos
∫
ψ(V )
(ψ−1)∗ω =
∫
ψ(U∩V )
(ψ−1)∗ω =
∫
ϕ(U∩V )
h∗(ψ−1)∗ω
=
∫
ϕ(U∩V )
(ϕ−1)∗ψ∗(ψ−1)∗ω =
∫
ϕ(U)
(ϕ−1)∗ω,
e, portanto,∫M
ω independe da escolha da carta.
Geralmente, o domınio de integracao A nao vai ser contido no domınio duma carta. Para
poder definir a integral sobre um tal conjunto, usa-se a chamada particao da unidade.
Definicao. Seja M uma subvariedade e seja A um atlas de M . Uma particao da unidade
associada ao atlas A e uma famılia enumeravel fαα∈Λ de funcoes suaves fα :M −→ [0, 1]
tal que
1. O suporte de cada fα (o conjunto supp fα = x ∈M | fα(x) 6= 0) e contido no domınio
duma carta de A.
2. supp fαα∈Λ e uma famılia localmente finita de conjuntos, isto e, todo x ∈M possui
uma vizinhanca U(x) tal que U(x) ∩ supp fα 6= ∅ somente para um numero finito de
ındices α.
3.∑α∈Λ
fα(x) = 1 para todo x ∈M .
Em outras palavras, as funcoes fα decompoem a funcao f ≡ 1 (a “unidade”) numa soma de
funcoes com suporte compacto tal que cada um desses suportes e contido no domınio duma
carta.
Aqui citamos o seguinte teorema. (Veja [4] ou [3] para uma demonstracao.)
Teorema 10.7 Para cada atlas A em M , existe uma particao da unidade fαα∈Λ.
Agora podemos definir a integral duma n–forma qualquer com suporte compacto.
Definicao. [I2]
Seja ω ∈ Ωn0 (Mn) e A = (Uα, ϕα)α∈Λ um atlas positivamente orientado com uma particao
da unidade fαα∈Λ. Entao definimos
∫
M
ω :=∑
α∈Λ
∫
M
fα ω. (I2).
A integral (I2) sempre existe:
• Como o conjunto supp(fαω) ⊂ supp fα ⊂ Uα e compacto, fαω e uma n–forma com
suporte compacto em Uα. Portanto, a integral∫Uαfαω de (I1) sempre existe e e finita.
• Como ω ∈ Ωn0 (M), o conjunto de ındices Λ′ = α ∈ Λ| supp(fαω) 6= ∅ e finito e (I2)
e uma soma finita de numeros reais.
Teorema 10.8 A definicao (I2) e correta, isto e, ela independe de A e fα.
66
Demonstracao: Seja A = (Vβ , ψβ) um outro atlas positivamente orientado de M com
particao da unidade gβ. Temos de mostrar que
∑
α
∫
M
fαω =∑
β
∫
M
gβω .
Temos fα =∑β
fα · gβ e gβ =∑α
gβ · fα . Como supp(fαgβω) ⊂ Uα ∩ Vβ , obtemos
∑
α
∫
M
fαω =∑
α
∑
β
∫
M
(fα · gβ) ω =∑
β
∑
α
∫
M
(fα · gβ) ω
=∑
β
∫
M
∑
α
(fα · gβ) ω =∑
β
∫
M
gβω,
onde podıamos trocar as somas e a integral pois cada soma e finita.
10.4 Propriedades e calculo da integral
Teorema 10.9 (Propriedades elementares da integral)
1. A integral e linear: Se ω1 e ω2 sao n–formas em Ωn0 (M) e λ1, λ2 ∈ R, entao
∫
M
λ1ω1 + λ2ω2 = λ1
∫
M
ω1 + λ2
∫
M
ω2.
2. Seja F : M −→ N um difeomorfismo que preserva orientacao (quer dizer, detD(ψ F ϕ−1) > 0 no domınio F−1(V ) ∩ U para (U,ϕ) uma carta positiva em M e (V, ψ)
uma carta positiva em N) e seja ω ∈ Ωn0 (N). Entao
∫
M
F ∗ω =
∫
N
ω.
3. Se −M denota a subvariedade M , munida com a orientacao inversa, entao
∫
−M
ω = −∫
M
ω.
Demonstracao: Sobre 1: Segue diretamente da definicao.
Sobre 2: Isso e uma versao independente da formula da mudanca de variaveis. Usando 1 e o
fato que se fα e uma particao da unidade em N , entao F ∗fα = fα F e uma particao
da unidade em M , observamos que basta mostrar a afirmacao para o caso que suppω ⊂ V
com V o domınio duma carta positivamente orientada ψ em N . Definimos U := F−1(V )
e ϕ := ψ F|U : U → ψ(V ) = ϕ(U) e observamos que, como F e um difeomorfismo que
preserva orientacao, (U,ϕ) e uma carta positivamente orientada em M com suppF ∗ω ⊂ U .
Entao podemos calcular
∫
M
F ∗ω =
∫
ϕ(U)
(ϕ−1)∗F ∗ω =
∫
ϕ(U)
(ϕ−1)∗(ψ−1 ϕ)∗ω
=
∫
ϕ(U)
(ϕ−1)∗ϕ∗(ψ−1)∗ω =
∫
ψ(V )
(ψ−1)∗ω =
∫
N
ω.
67
Sobre 3: A demonstracao e analoga ao caso acima. A unica diferenca e que, para obter uma
carta positivamente orientada ϕ em M , temos de compor ψ F|U com algum difeormorfismo
que inverte a orientacao, por exemplo uma permutacao que troca duas coordenadas no Rn.
Para calcular uma integral na pratica, queremos calcular integrais usando parametrizacoes
cujas imagens cobram nossa subvariedade mas se intersectam somente em conjuntos de
medida nula. Formalmente, vamos usar o seguinte resultado ([3, Prop. 16.8]). Lembramos
que em subconjuntos abertos do Rn usamos a orientacao dada pela orientacao canonica do
Rn (em que uma base e positiva se o determinante correspondente e positivo).
Teorema 10.10 Seja M uma subvariedade orientada com ou sem bordo e seja ω ∈ Ωn0 (M).
Sejam D1, . . . , Dk domınios de integracao abertos no Rn e sejam Fi : Di →M , i = 1, . . . , k
diferenciaveis tais que
1. A restricao de Fi a Di e um difeomorfismo a um subconjunto aberto Wi ⊂ M que
preserva orientacao.
2. Wi ∩Wj = ∅ para i 6= j.
3. suppω ⊂W1 ∪ · · · ∪Wk.
Entao ∫
M
ω =k∑
i=1
∫
Di
F ∗i ω.
10.5 A integral de superfıcie e o volume de subvarieda-
des
Agora definimos a integral de funcoes e o volume duma subvariedade. Seja Mn uma subva-
riedade orientada com forma de volume dM .
Seja f :M −→ R e uma funcao contınua em M com suporte compacto. A integral∫
M
f dM
e chamada a integral de f ao longo de M .
Se M e compacto, o numero
Vol(M) :=
∫
M
dM
e chamado o volume de M .
Exemplo 1: O volume de curvas (comprimento)
SejaM ⊂ RN uma subvariedade 1–dimensional compacta e seja γ : (a, b) −→M uma curva
que parametriza M (possivelmente com excecao dum numero finito de pontos) preservando
orientacao. Entao temos para a forma de volume (com t denotando a carta dada pela inversa
γ((a, b)) → (a, b) de γ): dMγ(t) = ‖γ′(t)‖dt . Portanto, o volume de M e exatamente o
comprimento da curva γ
Vol(M) =
∫
M
dM =
b∫
a
‖γ′(t)‖dt = comprimento(γ)
68
Exemplo 2: Volume de superfıcies no R3 (area)
Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta no R
3 e Φ : U ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao
local de M preservando orientacao tal que U e um domınio de integracao, Φ(U) e denso em
M e Φ possui uma extensao suave para U . Como na Secao 9.5 escrevemos
E := g11 =⟨ ∂Φ∂u1
,∂Φ
∂u1
⟩, F := g22 =
⟨ ∂Φ∂u2
,∂Φ
∂u2
⟩e G := g12 =
⟨ ∂Φ∂u1
,∂Φ
∂u2
⟩.
A forma de volume e dada por
Φ∗dM2Φ(U) =
√EF −G2 du1 ∧ du2 =
∥∥∥ ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
∥∥∥ du1 ∧ du2.
Logo,
Vol(M) =
∫
U
√EF −G2du1du2 =
∫
U
∥∥∥ ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
∥∥∥ du1du2
Como caso especial obtemos (Exercıcio):
A area dum grafico:
Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta e F : U ⊂ R
2 −→ R uma aplicacao suave tal que U
e um domınio de integracao, F pode ser estendido a uma funcao suave em U e o grafico
graph(F ) = (u1, u2, F (u1, u2)) | (u1, u2) ∈ U de F e denso em M . Entao
Vol(M2) =
∫
U
√1 +
( ∂F∂u1
)2+( ∂F∂u2
)2du1du2.
A area duma superfıcie de revolucao:
Seja γ : [a, b] −→ R2 uma curva suave regular tal que γ1 > 0 e seja
M2γ := (γ1(u) cos v, γ1(u) sen v, γ2(u)) | v ∈ R, u ∈ [a, b]
a superfıcie de revolucao gerada por γ. Entao
Vol(M2γ ) = 2π
b∫
a
γ1(u) ‖γ′(u)‖ du
69
Capıtulo 11
O teorema de Stokes
Para a integral de Riemann, conhecemos a formula (o teorema fundamental do Calculo)
b∫
a
f ′(x) dx = f(b)− f(a).
Sob certas condicoes sobre a funcao, da para calcular a integral por valores no bordo do
domınio de integracao. Queremos generalizar isso a variedades com bordo. Queremos mos-
trar que a integral ∫
M
σ
pode ser expressa por uma integral ao longo do bordo ∂M se a n–forma σ e exata.
11.1 O teorema de Stokes para formas diferenciais
Teorema 11.1 (Teorema de Stokes)
Seja Mn uma subvariedade orientada n-dimensional, ∂M o bordo de M munido com a
orientacao induzida e ω uma (n− 1)–forma com suporte compacto em M . Entao
∫
M
dω =
∫
∂M
ω (∗)
Demonstracao: Seja A = (Uα, ϕα) um atlas emM e fα uma particao da unidade para
A. Entao ω =∑α
fαω, onde a soma e finita pois suppω e compacto e a famılia dos suportes
suppfα e localmente finita. Como os dois lados de (∗) sao lineares em ω, basta mostrar
que∫M
d(fαω) =∫∂M
fαω . Entao podemos supor o suporte suppω seja contido no domınio
U duma carta de M e vamos calcular as duas integrais de (∗) para este caso especial.
(1) Calculo de∫M
dω:
Seja (U,ϕ = (x1, . . . xn)) uma carta positivamente orientada tal que ϕ(U) ⊂ Rn+ = R
n−1 ×[0,∞). Em relacao a esta carta, ω e dada por
ω =
n∑
i=1
ωidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn, onde ωi = ω( ∂
∂x1, . . . ,
∂
∂xi, . . . ,
∂
∂xn
).
70
Aplicando a derivada exterior, obtemos
dω =
n∑
i=1
dωi ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn
=n∑
i,j=1
∂
∂xj(ωi) dxj ∧ dx1 ∧ . . . dxi ∧ . . . ∧ dxn
=
n∑
i=1
(−1)i−1 ∂
∂xi(ωi) dx1 ∧ . . . ∧ dxn
Como ϕ e uma carta positivamente orientada, obtemos
∫
M
dω =
∫
ϕ(U)
n∑
i=1
(−1)i−1 ∂
∂xi(ωi) ϕ−1 dV
=
n∑
i=1
(−1)i−1
∫
ϕ(U)
∂
∂xi(ωi) ϕ−1 dV
=n∑
i=1
(−1)i−1
∞∫
0
∫
R
. . .
∫
R
∫
R
∂(ωi ϕ−1)
∂xi(x) dx1 . . . dxn
︸ ︷︷ ︸=:Ii
(Como suppω ⊂ ϕ(U), podıamos estender o domınio de integracao para o Rn+ todo no
ultimo passo.) Agora distinguimos dois casos. Se i < n, entao
Ii =
∞∫
0
∫
R
. . .
∫
R
(∫
R
∂(ωi ϕ−1)
∂xi(x) dxi
)
︸ ︷︷ ︸=0
dx1 . . . dxi . . . dxn = 0
pois suppωi e compacto. Para i = n calculamos (tambem pelo teorema fundamental do
Calculo)
In =
∫
R
. . .
∫
R
( ∞∫
0
∂(ωn ϕ−1)
∂xn(x) dxn
)dx1 . . . dxn−1
=
∫
R
. . .
∫
R
(−ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)))dx1 . . . dxn−1.
Isso implica∫
M
dω = (−1)n∫
Rn−1
ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)
)dx1 . . . dxn−1.
(2) Calculo de∫∂M
ω:
Como suppω ⊂ U , temos suppω|∂M ⊂ ∂M ∩U . Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e uma carta deM ,
entao (U ∩ ∂M,ϕ|U∩∂M = (x1, . . . , xn−1)) e uma carta de ∂M pois o bordo e caracterizado
por xn = 0 . Seja ν : ∂M −→ TM o campo normal exterior do bordo. As seguintes bases
de TxM num ponto x ∈ ∂M do bordo tem a mesma orientacao:
(ν(x),
∂
∂x1(x), . . . ,
∂
∂xn−1(x))
∼( ∂
∂x1(x), . . . ,
∂
∂xn−1(x), (−1)n−1ν(x)
)
∼( ∂
∂x1(x), . . . ,
∂
∂xn−1(x), (−1)n
∂
∂xn(x))
71
pois os vetores ∂∂xn
(x) e ν(x) por definicao apontam em sentidos inversos em relacao a
Tx∂M : ν(x) para fora e ∂∂xn
(x) para dentro. Portanto, a carta (U ∩∂M,ϕ|U∩∂M ) do bordo
e positivamente orientada se n e par e negativamente orientada se n e impar.
A representacao local de ω|U∩∂M em relacao a carta do bordo e dada por
ω|U∩∂M =
n∑
i=1
ωidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn|U∩∂M = ωndx1 ∧ . . . ∧ dxn−1,
pois para todo vetor tangente ∂∂xj
(x) ∈ Tx∂M , j = 1, . . . , n−1, temos (dxn)x(∂∂xj
(x)) = 0 .
(a) Seja n par. Entao∫
∂M
ω =
∫
U∩∂M
ωndx1 ∧ . . . ∧ dxn−1 =
∫
ϕ(U∩∂M)
ωn ϕ−1 dV
=
∫
Rn−1
ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)
)dx1 . . . dxn−1.
(b) Se n e impar, entao∫
∂M
ω10.9= −
∫
Rn−1
ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)
)dx1 · · · dxn−1.
Finalmente concluımos que∫M
dω =∫∂M
ω .
11.2 Mais teoremas integrais em variedades
Nesta secao deduzimos outros teoremas integrais em variedades do teorema de Stokes. Na
secao toda seja Mn ⊂ RN uma subvariedade conexa, compacta, orientada com bordo ∂M e
seja ν : ∂M −→ RN o campo normal (unitario) exterior em ∂M .
Teorema 11.2 (Formula da divergencia) Seja X um campo vetorial em M . Entao∫
M
div(X) dM =
∫
∂M
〈X, ν〉 d(∂M).
Demonstracao: Ja sabemos do Teorema 8.2 que
div(X) dM = LXdM = d(iXdM) + iX ddM = d(iXdM).
Portanto, o teorema de Stokes implica∫
M
div(X) dM =
∫
∂M
iXdM.
Decompomos X|∂M numa componente normal e uma componente tangente. Seja x ∈ ∂M e
seja
X(x) = 〈X(x), ν(x)〉ν(x)︸ ︷︷ ︸∈TxM,⊥Tx∂M
+X∗(x)︸ ︷︷ ︸∈Tx∂M
.
Entao vale (com os dois lados considerados como formas diferenciais em ∂M)
iX∗dM |∂M = 0 em ∂M,
72
pois n vetores no espaco vetorial (n − 1)–dimensional Tx∂M sao linearmente dependentes.
Portanto,
iXdM |∂M = 〈X, ν〉 iνdM |∂M 9.10= 〈X, ν〉 d(∂M)
e obtemos ∫
M
div (X) dM =
∫
∂M
〈X, ν〉 d(∂M).
Teorema 11.3 (Teorema de Gauss) Seja X um campo vetorial e seja f uma funcao
suave em M . Entao∫
M
X(f) dM +
∫
M
f · div (X) dM =
∫
∂M
f · 〈X, ν〉 d(∂M).
Demonstracao: Exercıcio
Teorema 11.4 (Formulas de Green) Sejam f e h funcoes suaves em M . Entao
1.∫M
h · (f) dM +∫M
〈grad f, gradh〉 dM =∫∂M
h · ν(f) d(∂M),
2.∫M
(h · (f)− f · (h)) dM =∫∂M
(h · ν(f)− f · ν(h)
)d(∂M).
Demonstracao: Exercıcio
Aqui observamos que na literatura existem duas definicoes diferentes do Laplaciano. Se for
usada a outra definicao (∆ = −div grad), entao os sinais nas formulas de Green tem de
ser modificadas adequadamente.
Corolario 1: Seja Mn uma subvariedade compacta, orientada sem bordo. Entao
1.∫M
div (X) dM = 0 para todo campo vetorial X.
2. O operador de Laplace : C∞(M) −→ C∞(M) e formalmente auto-adjunto em
C∞(M) relativamente ao produto escalar 〈f, h〉L2 =∫M
f · h dM , isto e, vale a
formula
〈f, h〉L2 =
∫
M
f · h dM Green=
∫
M
f · h dM = 〈f,h〉L2 .
Corolario 2: Seja Mn uma subvariedade orientada, compacta, conexa sem bordo e f uma
funcao suave em M tal que f = 0. Entao f e constante.
Demonstracao: Segue da primeira formula de Green. (Exercıcio)
Definicao. Uma funcao f ∈ C2(M) e chamada harmonica se f = 0.
Em outras palavras, o Corolario 2 acima diz que cada funcao harmonica em uma subvarie-
dade orientada, compacta, conexa sem bordo e constante.
73
11.3 Teoremas integrais classicos no R2 e R
3
Agora deduzimos alguns teoremas integrais classicos no R2 e no R
3 que aparecem em cursos
de Calculo Vetorial. Primeiro um teorema sobre domınios no R2. Parte 1 do teorema abaixo
tambem e conhecido como teorema de Green.
Teorema 11.5 Seja G ⊂ R2 uma subvariedade 2–dimensional compacta com bordo ∂G = Γ
e seja X = (ξ1, ξ2) : G −→ R2 um campo vetorial em G. Alem disso, seja ν = (ν1, ν2) :
∂G −→ R2 o campo normal unitario em ∂G. Entao
1.
∫
G
(∂ξ2∂x1
− ∂ξ1∂x2
)dx1dx2 =
∫
Γ
(ξ1 dx1 + ξ2 dx2
).
2.
∫
G
(∂ξ1∂x1
+∂ξ2∂x2
)dx1dx2 =
∫
Γ
(ξ1ν1 + ξ2ν2
)dΓ.
Demonstracao: Consideramos a 1–forma ω := ξ1dx1 + ξ2dx2 ∈ Ω1(G). Entao
dω =∂ξ1∂x2
dx2 ∧ x1 +∂ξ2∂x1
dx1 ∧ x2 =
(∂ξ2∂x1
− ∂ξ1∂x2
)dx1 ∧ dx2.
Entao a primeira afirmacao segue do teorema de Stokes. Para a divergencia do campo
vetorial X temos
div(X) =∂ξ1∂x1
+∂ξ2∂x2
.
Portanto, a segunda formula segue da formula da divergencia. .
Antes de formular os teoremas integrais classicos no R3, lembramos os conceitos divergencia,
gradiente e rotacional. Seja U ⊂ R3 um subconjunto aberto do R
3 e seja X : U ⊂ R3 −→ R
3
um campo vetorial com as componentes X = (ξ1, ξ2, ξ3) . O rotacional de X e um novo
campo vetorial definido por
rot (X) :=
(∂ξ3∂x2
− ∂ξ2∂x3
,∂ξ1∂x3
− ∂ξ3∂x1
,∂ξ2∂x1
− ∂ξ1∂x2
).
A divergencia de X e dada por
div(X) =∂ξ1∂x1
+∂ξ2∂x2
+∂ξ3∂x3
.
O gradiente duma funcao suave f : U ⊂ R3 −→ R e
gradf =( ∂f∂x1
,∂f
∂x2,∂f
∂x3
)
Um calculo direto (Exercıcio 10) mostra as seguintes propriedades do rotacional:
1. div (rot (X)) = 0 para todo X ∈ X(U),
2. rot (grad f) = 0 para todo f ∈ C∞(U),
3. rot (f ·X) = f · rot (X) + grad f ×X.
Do lema de Poincare concluımos que, dado um campo vetorial Y num conjunto estrelado
U ⊂ R3, vale:
1. div(Y ) = 0 se, e somente se, rot(X) = Y para um campo vetorial X em U .
2. rot(Y ) = 0 se, e somente se, Y = gradf para uma funcao f em U .
74
Na analise vetorial classica os seguintes conceitos sao comuns:
d~s :=
dx1
dx2
dx3
∈ Ω1(U,R3)
chama-se elemento de linha vetorial em U ,
d~F :=
dx2 ∧ dx3dx3 ∧ dx1dx1 ∧ dx2
∈ Ω2(U,R3)
chama-se elemento de area vetorial em U e a forma de volume comum
dV := dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∈ Ω3(U)
chama-se elemento de volume de U .
Se X = (ξ1, ξ2, ξ3), Y = (η1, η2, η3) sao campos vetoriais em U , entao X · d~s e Y · d~Fdenotam, respectivamente, as 1– e 2–formas
X · d~s := ξ1dx1 + ξ2dx2 + ξ3dx3 ∈ Ω1(U)
Y · d~F := η1 dx2 ∧ dx3 + η2 dx3 ∧ dx1 + η3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2(U).
Teorema 11.6 (Teorema de Stokes classico para superfıcies no R3)
Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta orientada no R
3 com bordo ∂M . Seja
n :M2 −→ S2 ⊂ R3
x 7→ n(x) ⊥ TxM2
o campo normal unitario correspondente a orientacao de M e seja
t : ∂M −→ T (∂M) o campo tangente unitario da subvariedade 1–dimensional ∂M que
corresponde a orientacao induzida do bordo. Seja U ⊂ R3 uma vizinhanca aberta de M e
seja X um campo vetorial definido em U . Entao
∫
M2
〈rot(X), n〉 dM =
∫
∂M2
〈X, t〉 d(∂M).
ou, na notacao classica,∫
M2
rot(X) · d~F =
∫
∂M2
X · d~s.
Demonstracao: Consideramos a 1–forma dual a X dada por
ω =
3∑
i=1
ξi dxi = X · d~s
75
e vamos aplicamor o teorema de Stokes a ω. Denotamos o rotacional de X por rotX =:
(R1, R2, R3) . Entao
dω = dξ1 ∧ dx1 + dξ2 ∧ dx2 + dξ3 ∧ dx3= ∂2(ξ1)dx2 ∧ dx1 + ∂3(ξ1)dx3 ∧ dx1 + ∂1(ξ2)dx1 ∧ dx2
+ ∂3(ξ2)dx3 ∧ dx2 + ∂1(ξ3)dx1 ∧ dx3 + ∂2(ξ3)dx2 ∧ dx3= (∂2(ξ3)− ∂3(ξ2))dx2 ∧ dx3 + (∂3(ξ1)− ∂1(ξ3))dx3 ∧ dx1
+ (∂1(ξ2)− ∂2(ξ1))dx1 ∧ dx2= R1dx2 ∧ dx3 +R2dx3 ∧ dx1 +R3dx1 ∧ dx2= rot(X) · d~F
Agora o teorema de Stokes implica
∫
M2
rot(X) · d~F =
∫
∂M2
X · d~s
Para mostrar que
dω = rot(X) · d~F = 〈rotX, n〉 dM e (∗)ω = X · d~s = 〈X, t〉 d(∂M) (∗∗)
seja Φ : W ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao local de M (preservando orientacao). Entao
temos para o campo normal unitario
n(Φ(u)) =∂Φ∂u1
(u)× ∂Φ∂u2
(u)
‖ ∂Φ∂u1
(u)× ∂Φ∂u2
(u)‖ ∈ R3 u = (u1, u2).
e para a forma de volume
Φ∗dM =∥∥∥ ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
∥∥∥ du1 ∧ du2 .
Alem disso, pelas definicoes do produto alternado e do produto vetorial, obtemos para a
primeira componente do produto vetorial:
(dx2 ∧ dx3
)( ∂Φ∂u1
,∂Φ
∂u2
)=∂Φ2
∂u1· ∂Φ3
∂u2− ∂Φ3
∂u1· ∂Φ2
∂u2=( ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
)1,
logo temos
Φ∗(dx2 ∧ dx3) =( ∂Φ∂u1
× ∂Φ
∂u2
)1du1 ∧ du2
O calculo para as outras componentes e analogo e obtemos, com n =: (N1, N2, N3), que
N1 dM = dx2 ∧ dx3N2 dM = dx3 ∧ dx2N3 dM = dx1 ∧ dx2
Finalmente concluımos 〈rotX, n〉 dM =3∑i=1
RiNi dM = dω e (*).
Agora seja t =: (T1, T2, T3). Como t e um campo vetorial unitario correspondendo a ori-
entacao, segue por dxi(t) = Ti e d(∂M)(t) = 1 que
Ti d(∂M) = dxi em ∂M.
76
Portanto, obtemos (**):
ω =
3∑
i=1
ξi dxi =
3∑
i=1
ξiTi d(∂M) = 〈t, X〉 d(∂M).
Agora introduzimos a seguinte notacao:
Como no Teorema 11.6 podemos escrever a formula da divergencia do Teorema 11.2 na
forma classica e obtemos
Teorema 11.7 Seja V 3 uma subvariedade 3–dimensional do R3 com bordo ∂V 3 = M2 e
seja X = (ξ1, ξ2, ξ3) um campo vetorial em V . Entao∫
V
( ∂ξ1∂x1
+∂ξ2∂x2
+∂ξ3∂x3
)dV =
∫
M
X · d~F
11.4 Duas outras aplicacoes tıpicas do teorema de Sto-
kes
O teorema de Stokes e um dos teoremas centrais da teoria de integracao. Ele possui varias
aplicacoes em geometria, analise e na fısica matematica. Aqui vamos apresentar so duas.
Outras aparecem em cursos mais avancados como por exemplo na geometria diferencial (de
variedades gerais de dimensao n).
Calculo do volume da esfera:
Seja Dnr = x ∈ R
n | ‖x‖ ≤ r ⊂ Rn a bola de raio r > 0 e seja Sn−1
r = x ∈ Rn | ‖x‖ = r
seu bordo, a esfera n−1-dimensional de raio r. O volume da bola pode ser calculado usando
coordenadas polares no Rn:
Vol(Dnr ) =
πn2 rn
(n2 )! , se n par
2n+12 π
n−12 rn
1·3·5·...·n , se n ımpar .
Como aplicacao do teorema de Stokes, vamos agora calcular o volume do bordo:
Teorema 11.8 O volume da esfera e dado por
Vol(Sn−1r ) =
n
r·Vol(Dn
r ).
Demonstracao: Temos ∂Dnr = Sn−1
r e Vol(Sn−1r ) =
∫
Sn−1r
dSn−1r . Em Dn
r consideramos
as coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn). Entao a forma de volume de Dnr e dada por
dDnr = dx1 ∧ . . . ∧ dxn
e o campo normal exterior no bordo Sn−1r de Dn
r por
ν(x) =x
r=
1
r
n∑
j=1
xj∂
∂xj(x) x ∈ Sn−1
r
77
Agora o Teorema 9.10 implica
(dSn−1r )x = iν(x)(dD
nr )x
=
n∑
j=1
xjri ∂∂xj
(dx1 ∧ . . . ∧ dxn
)
=1
r
n∑
j=1
(−1)j−1xj
(dxj
( ∂
∂xj
)
︸ ︷︷ ︸=1
)dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn
=1
r
n∑
j=1
(−1)j−1xj dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn
Por ω, denotamos a (n− 1)–forma
ω =n∑
j=1
(−1)j−1xj dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn
Sua diferencial e dada por
dω =
n∑
j=1
(−1)j−1dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn =
n∑
j=1
dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ndDnr
Logo, obtemos o volume da esfera pelo teorema de Stokes:
Vol(Sn−1r ) =
∫
Sn−1r
dSn−1r =
1
r
∫
Sn−1r
ω =1
r
∫
Dnr
dω =n
r
∫
Dnr
dDnr =
n
rVol(Dn
r )
Para uma outra aplicacao geometrica do teorema de Stokes consideramos o conceito de
aplicacoes homotopas.
Definicao. Sejam f0 e f1 : M −→ N duas aplicacoes suaves entre as subvariedades M
e N . f0 e f1 chamam-se suavemente homotopas se existir uma aplicacao diferenciavel
H : [0, 1]×M −→ N tal que H(0, x) = f0(x) e H(1, x) = f1(x) para todo x ∈M . Isso quer
dizer que temos uma famılia de aplicacoes ft : M −→ N tal que ft(x) = H(t, x). Notacao:
f0 ∼H f1.
Teorema 11.9 Sejam Mn e Nn subvariedades compactas orientadas sem bordo e seja ω
uma n–forma com suporte compacto em N . Se f0, f1 : M −→ N sao duas aplicacoes
suavemente homotopas, entao ∫
Mn
f∗0ω =
∫
Mn
f∗1ω.
Demonstracao: Seja I = [0, 1]. O bordo da subvariedade I ×M e dado por ∂(I ×M) =
M ∪ (−M) onde −M e a subvariedadeM com a orientacao inversa. Logo segue de f0 ∼H f1
que ∫
∂(I×M)
H∗ω =
∫
M
f∗0ω +
∫
−M
f∗1ω =
∫
M
f∗0ω −∫
M
f∗1ω.
Por outro lado, aplicando o teorema de Stokes obtemos∫
∂(I×M)
H∗ω =
∫
I×M
d(H∗ω) =
∫
I×M
H∗dω = 0,
78
pois dω ∈ Ωn+1(Nn) = 0. Portanto, temos∫M
f∗0ω =∫M
f∗1ω.
Agora mostramos que “nao da para pentear um ourico”. (Em portugues, o nome mais
comum do seguinte teorema e “Teorema da bola cabeluda”, uma traducao literal do nome
“hairy ball theorem”. Tambem existem denominacoes envolvendo cocos.)
Teorema 11.10 (Teorema do ourico) Cada campo vetorial X numa esfera S2m ⊂R
2m+1 de dimensao par possui no mınimo uma raız, isto e, existe x ∈ S2m tal que X(x) = 0.
Observacao: Este teorema nao vale para esferas de dimensao impar 2m+ 1; por exemplo
considere o campo vetorial X(x1, . . . , x2n+2) := (x2,−x1, x3,−x4, . . . , x2m+2,−x2m+1).
Demonstracao do Teorema 11.10: Escrevemos n := 2m e seja X um campo vetorial
em Sn. Supomos que X nao tenha nenhuma raız. Por τ denotamos a chamada aplicacao
antipodal, definida por τ(x) := −x. Como X nao possui nenhuma raız,
H(t, x) := cos(πt)x+ sen(πt)X(x)
‖X(x)‖
e uma homotopia suave entre a identidade e a aplicacao antipodal τ e o Teorema 11.9 implica
∫
Sn
dSn =
∫
Sn
τ∗ dSn. (∗).
Agora exprimimos a n–forma τ∗ dSn pela forma de volume da esfera. A orientacao da esfera
Sn seja dada pelo campo normal unitario n(x) = x, isto e,
(a1, . . . , an) ∈ OTxSn ⇐⇒ (a1, . . . , an, x) ∈ ORn+1 (∗∗)
Agora seja (e1, . . . , en) uma base ortonormal positivamente orientada de TxSn. Entao
(e1, . . . , en) tambem e uma base ortonormal de T−xSn que por (**) e negativamente orien-
tada. Logo, obtemos para a n–forma τ∗dSn:
(τ∗dSn)x(e1, . . . , en) = dSn−x(−e1, . . . ,−en) = (−1)ndSn−x(e1, . . . , en)
= (−1)n+1 = (−1)n+1dSnx (e1, . . . , en).
Portanto,
τ∗dSn = (−1)n+1dSn
e para o volume da esfera a equacao (*) implica
Vol(Sn) =
∫
Sn
dSn =
∫
Sn
τ∗dSn = (−1)n+1
∫
Sn
dSn = (−1)n+1 Vol(Sn).
Isto e uma contradicao para n par.
79
Capıtulo 12
Possıveis questoes numa prova
final
As seguintes questoes resumem o conteudo desta apostila e devem ajudar na preparacao
a uma prova final. Para cada afirmacao dada voce devia conhecer a demonstracao ou as
ideias principais. Voce devia ser capaz de explicar onceitos matematicos usando atraves de
exemplos ou contra-exemplos. Voce tambem devia ser capaz de aplicar o conteudo da aula
a resolucao de questoes (como dadas nas aulas praticas ou nas listas de exercıcios).
1. Define o conceito duma subvariedade do Rn (com e sem bordo). Quais propriedades
tem a parte interior e o bordo duma subvariedade? Quais exemplos voce conhece?
Como podemos escrever subvariedades (por equacoes, graficos ou parametrizacoes lo-
cais)?
2. Define o espaco tangente e o espaco cotangente a uma subvariedade M num ponto
x ∈M . Quais propriedades tem esses espacos? Como podemos calcular esses espacos?
3. Define o conceito duma aplicacao diferenciavel (Ck, C∞) entre subvariedades. Quais
propriedades tem aplicacoes diferenciaveis?
4. Define a derivada duma aplicacao diferenciavel entre subvariedades. Quais proprieda-
des tem esta derivada? Porque ela generaliza a derivada duma aplicacao diferenciavel
f : U ⊂ Rn → R
m?
5. O que e a base canonica do espaco tangente TxM em relacao a uma carta em torno
de x ∈M? Como obtemos a base dual do T ∗xM (Demonstracao)?. De as formulas de
transformacao entre bases canonicas ou suas bases duais em relacao a cartas diferentes?
6. O que e um campo vetorial numa subvariedade? Define a derivada direcional duma
funcao por um campo vetorial. O que e o comutador de dois campos vetoriais e quais
sao suas propriedades?
7. O que e a metrica Riemanniana induzida numa subvariedade? Quais sao seus coefici-
entes locais? (Exemplos)
8. Define os conceitos gradiente, divergencia e Laplaciano numa subvariedade. De pro-
priedades desses operadores (regras do produto, representacoes locais).
80
9. O que e uma k–forma numa subvariedade? Quais operacoes para k–formas voce
conhece (forma induzida, produto exterior, representacao local, diferencial duma k–
forma, produto interior, derivada de Lie)? De as regras de calculo mais importantes.
10. O que e uma orientacao numa subvariedade? Quais criterios voce conhece para a
orientabilidade de subvariedades? De exemplos para subvariedades orientaveis e nao-
orientaveis.
11. Define a forma de volume duma subvariedade orientada. Quais propriedades possui
esta forma (representacao local, relacao entre a forma de volume de M e a forma de
volume do bordo ∂M)?
12. Define a integral duma n–forma ao longo duma subvariedade n–dimensional. Quais
propriedades tem esta integral? Como podemos calcula-la..
13. Define o volume duma subvariedade compacta. Como calculamos este volume?
14. De a afirmacao e a demonstacao do teorema de Stokes (para integrais de formas ao
longo de subvariedades). Quais aplicacoes voce conhece?
15. Quais teoremas integrais seguem do teorema de Stokes. Quais propriedades do opera-
dor de Laplace seguem destes teoremas?
81
Capıtulo 13
Exercıcios
Exercıcio 13.1 Mostre que o cilindro Z = (x, y, z) ∈ R3 ‖ x2 + y2 = 1 e uma subvarie-
dade do R3 de dimensao 2. De parametrizacoes locais que cobram o cilindro.
Exercıcio 13.2 Seja f : (a, b) → R+ uma funcao C∞. Mostre que a superfıcie de revolucao
M2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = f(z)2
e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (Esboco)
Exercıcio 13.3 Mostre que a catenoide
M2 = (coshu cos v, coshu sen v, u) ∈ R3 | (u, v) ∈ R
2
e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (Esboco)
Exercıcio 13.4 a) Mostre que o cone
K = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = z2
nao e uma subvariedade do R3. (Esboco)
b)∗ Mostre que a parabola de Neil
P = (x, y) ∈ R2 | x3 = y2
nao e uma subvariedade do R2. (Esboco)
Exercıcio 13.5 Mostre que cada grupo G ⊂ gl(Rn) abaixo e uma subvariedade do Rn2 ≃
gl(Rn). Alem disso, determine a dimensao de G e o espaco tangente na matriz identidade.
a) G = SL(n,R) = M ∈ gl(Rn) | detM = 1 (grupo linear especial).
b) G = O(n) = M ∈ gl(Rn) | M ·M t = id (grupo ortogonal).
Exercıcio 13.6 Considere a helicoide
M2 := Φ(u, v) := (v cosu, v senu, u) ∈ R3 | v, u ∈ R, v > 0
Seja u0 ∈ R fixo e, para cada v ∈ R, seja ϕ(v) o angulo entre o plano tangente TanΦ(u0,v)M2
e o eixo z. Mostre que
ϕ(v) = arctan(|v|).
82
Exercıcio 13.7 Seja h : U ⊂ R2 → R uma funcao C∞ e seja M2 ⊂ R
3 a subvariedade
de dimensao 2 dada por M2 :=graph(h). Mostre que o plano tangente por um ponto p =
(u0, v0, h(u0, v0)) ∈M2 e dado por
TanpM =
(x, y, z) ∈ R
3∣∣∣ (x− u0)
∂h
∂u(u0, v0) + (y − v0)
∂h
∂v(u0, v0) = z − h(u0, v0)
.
Exercıcio 13.8 Sejam X,Y : S2 → R3 dados por
X(x, y, z) = (−y, x, 0), Y (x, y, z) = (−z, 0, x)
a) Mostre que X e Y sao campos vetoriais suaves em S2.
b) Calcule o comutador de X e Y .
c) Determine os componentes do campo vetorial X em relacao a carta dada pelas coor-
denadas esfericas.
d) Calcule a derivada direcional X(f) para a funcao f : S2 → R, f(x, y, z) = z.
e) Mostre: Nao existe uma funcao h : S2 → R tal que X = grad(h).
Exercıcio 13.9 Sejam X,Y, Z campos vetoriais e f, g funcoes numa subvariedade.
Mostre as seguintes propriedades do comutador de campos vetoriais:
a) [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (identidade de Jacobi)
b) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X
c) [X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f))
Exercıcio 13.10 a) Seja U ⊂ R3 um subconjunto aberto. Se F = (F1, F2, F3) : U → R
3
e um campo vetorial em U , sua rotacao e o campo vetorial em U definido por
rot(F ) :=
(∂F3
∂x2− ∂F2
∂x3,∂F1
∂x3− ∂F3
∂x1,∂F2
∂x1− ∂F1
∂x2
)
Mostre as seguintes formulas (em que f ∈ C∞(U,R)):
• div(rot(F )
)= 0
• rot(grad(f)
)= 0
• rot(f · F ) = f · rot(F ) + grad(f)× F
b) Seja M ⊂ RN uma subvariedade, sejam f, h ∈ C∞(M) e seja V ∈ X(M). Definimos
o Laplaciano ∆ por
∆(f) := div(grad(f)
)
Mostre as seguintes regras do produto:
• grad(f · h) = f · grad(f) + h · grad(f)
• div(f · V ) = f · div(V ) + V (f)
• ∆(f · h) = f ·∆(h) + h ·∆(f) + 2⟨grad(f), grad(h)
⟩
83
Exercıcio 13.11 a) Denotamos por N = (0, ..., 0, 1) o “Polo Norte” da esfera Sn e
seja h : Sn \N → Rn a aplicacao dada por:
h(x) :=reta por N e x
∩plano xn+1 = 0
De formulas explıcitas para h e h−1 e mostre que h−1 e uma parametrizacao de Sn \N.
b)∗ Descreva as imagens sob h−1 de hiperplanos En−1 ⊂ Rn e de hiperesferas Sn−1 ⊂ R
n.
c) Calcule os coeficientes da metrica Riemanniana em relacao a carta em Sn \ N dada
pela projecao estereografica h. Depois determine as representacoes do gradiente duma
funcao f ∈ C∞(Sn), da divergencia dum campo vetorial X ∈ X(Sn) e a representacao
do Laplaciano de f em relacao a h.
Exercıcio 13.12 Determine todas as funcoes f : Rn\0 → R que dependem apenas
da distancia r(x) = d(x, 0) = ||x|| da origem e satisfazem a equacao ∆f = 0 (funcoes
harmonicas).
Exercıcio 13.13 a) Calcule a derivada exterior d das seguintes formas no R3:
1) ω1 = ex cos(y) dx− ex sen(y) dy
2) ω2 = xy dx ∧ dy + 2x dy ∧ dz + 2y dx ∧ dz3) ω2 = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz + y dx ∧ dz
b) Seja ω1 = f(x, y) dx+ g(x, y) dy ∈ Ω1(R2) uma 1-forma em R2. Mostre:
ω1 e fechada ⇐⇒ ∂f
∂y=∂g
∂x
Determine todas as funcoes α ∈ C∞(R2) tais que dα = ω1 e todas as 1-formas η1 tais
que dη1 = y dx ∧ dy.
c) Encontre um criterio analogo para uma 1-forma em Rn ser fechada.
d) Seja σ ∈ Ω1(R
2 \ 0)a 1-forma
σ = − y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy
Mostre que σ e fechada mas nao exata em R2 \ 0. De um subconjunto aberto U de
R2 \ 0 onde σ e exata. (U grande!).
Exercıcio 13.14 Um subconjunto A ⊂ Rn e chamado estrelado se existe um ponto x0 ∈ A
tal que para todo x ∈ A o segmento xox e contido em A. Mostre:
Num conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn, cada k-forma fechada e exata (k ≥ 1).
Sugestao: Sem perda de generalidade podemos escolher x0 = 0. Considere a (k-1)-forma Iω
em U , dada por
Iω(x) :=∑
i1<...<ik
k∑
α=1
(−1)α−1
1∫
0
tk−1ωi1...ik(tx) dt
· xiα dxi1 ∧ ... ∧ dxiα ∧ ... ∧ dxik
e mostre que vale dIω = ω.
84
Exercıcio 13.15 Seja U ⊂ R3 um conjunto aberto e estrelado e X um campo vetorial em
U . Mostre:
rotX = 0 ⇐⇒ existe f ∈ C∞(U) tal que gradf = X
Sugestao: Aplique Exercıcio 13.14 a 1-forma ωX , dada por ωX(Y ) = 〈X,Y 〉 .
Exercıcio 13.16 (Equacoes de Maxwell) As seguintes nocoes sao usadas para descrever
processos eletromagneticos no vacuo:
• E =3∑i=1
Ei(x, t)∂∂xi
(campo eletrico)
• B =3∑i=1
Bi(x, t)∂∂xi
(campo magnetico)
• ρ(x, t) (densidade de carga)
• J =3∑i=1
Ji(x, t)∂∂xi
(densidade de corrente
eletrica)
As relacoes entre estes campos sao dadas pelas equacoes de Maxwell (confirmadas em expe-
rimentos) que (depois duma normacao adequada das constantes fısicas) dizem o seguinte:
(1) div(B) = 0 (lei de Gauss para o magnetismo)
(2) rotE + ∂∂t(B) = 0 (lei de Faraday)
(3) rotB − J − ∂∂t(E) = 0 (lei de Ampere)
(4) divE = ρ (lei de Gauss)
Definimos ∂∂x4
= ∂∂t
. Consideramos E,B, J ∈ X(R4) como campos vetoriais diferenciaveis
em R4 e ρ ∈ C∞(R4). Alem disso, dados um campo vetorial F =
∑3i=1 Fi(x, t)
∂∂xi
∈ X(R4)
e uma 2-forma α2 ∈ Ω2(R4) , definimos:
1. ω1F :=
3∑i=1
Fidxi ∈ Ω1(R4)
2. ω2F := F1dx
2 ∧ dx3 + F2dx3 ∧ dx1 + F3dx
1 ∧ dx2 ∈ Ω2(R4)
3. δ(α2) :=4∑i=1
4∑j=1
κi∂∂xi
(α2( ∂
∂xi, ∂∂xj
))dxj onde κi =
−1 para i = 1, 2, 3
1 para i = 4
Mostre que para a 2-forma η2 ∈ Ω2(R4) dada por
η2 := ω1E ∧ dt+ ω2
B
valem as seguintes equivalencias:
1. dη2 = 0 ⇐⇒ 1) e 2)
2. δη2 = ω1J − ρdt ⇐⇒ 3) e 4)
Exercıcio 13.17 Determine a representacao local da forma de volume para as seguintes
superfıcies no R3:
a) superfıcie de revolucao
Rf (a, b) = (f(z) cos(v), f(z) sen(v), z
)∈ R
3 | (v, z) ∈ R× (a, b) ,onde f ∈ C∞
((a, b)
)e f > 0.
85
b) toro de revolucao
T 2 = ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu
)| (v, u) ∈ R
2 ,onde r1 > r2 > 0 .
c) helicoide
W = (r cos v, r sen v, v
)∈ R
3 | (v, r) ∈ R× R+ .
d) esfera de raio r > 0
S2(r) = (r cos v cosu, r sen v cosu, r senu
)∈ R
3 | (v, u) ∈ R2
e) grafico duma funcao F ∈ C∞(R2)
Γ(F ) = (u, v, F (u, v)
)∈ R
3 | (u, v) ∈ R2
Exercıcio 13.18 Mostre a seguinte formula para a forma de volume na esfera unitaria
Sn ⊂ Rn+1 (onde Sn seja orientada pelo campo normal apontando para fora) :
dSnx (v1, . . . , vn) = 〈x, v1 × . . .× vv〉, v1, . . . , vn ∈ TxSn
Exercıcio 13.19 Calcule as areas das seguintes superfıcies:
a) toro de revolucao
T 2 = ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu
)| (v, u) ∈ R
2 ,onde r1 > r2 > 0 .
b) esfera de raio r > 0
S2(r) = (r cos v cosu, r sen v cosu, r senu
)∈ R
3 | (v, u) ∈ R2
c) helicoide
W = (r cos v, r sen v, v
)∈ R
3 | (v, r) ∈ [0, 4π]× (0, 2) .
d) cone
K := (r cos θ, r sen θ, r) ∈ R3 | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1.
Exercıcio 13.20 Calcule a area do grafico da funcao f : [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2 → R
f(x, y) :=2
3(x
32 + y
32 )
Exercıcio 13.21 Determine as superfıcies das seguintes superfıcies de revolucao Rf (a, b)
(veja Exercıcio 13.17(a)):
• f(z) = z, 0 < a < b.
• f(z) = e−z, (a, b) = (0,∞).
• f(z) = z−α, (a, b) = (1,∞). Para quais α > 0 a area e finita?
Exercıcio 13.22 Seja R > 0.
a) Calcule o volume do solido de Viviani, i.e., a intersecao do cilindro solido
Z := (x, y, z) ∈ R3 | (x− R
2 )2 + y2 ≤ (R2 )
2 com a bola B3 := (x, y, z) ∈ R3 | x2 +
y2 + z2 ≤ R2.
b) Calcule a area da superfıcie de Viviani, i.e., a intersecao do cilindro solido
Z de (a) com a esfera S2 := (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2.
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Exercıcio 13.23 Seja K = Rcosh2 z(−∞,+∞) a catenoide e seja T 2 o toro de revolucao.
Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
K
1
(x2 + y2)2dK e b)
∫
T 2
z dx ∧ dy.
Exercıcio 13.24 Seja η = z2 dx∧dy uma 2-forma no R3 e seja S = (x, y, z) ∈ S2 | z > 0
o hemisferio superior da esfera unitaria orientada S2 ⊂ R3. Calcule a integral
∫
S
η
Exercıcio 13.25 Seja S a superfıcie orientada S := (u + v, u2 − v2, u · v) | u, v ∈ [0, 1].Calcule a integral ∫
S
x dy ∧ dz + y dx ∧ dy
Exercıcio 13.26 Calcule a integral
∫
E
√x2
a4+y2
b4+z2
c4dE ,
onde E e o elipsoide E := (x, y, z) ∈ R3 | x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1 .
Exercıcio 13.27 Seja T o solido limitado pelo plano xy, o plano xz, o plano yz e o plano
2x+ 3y + 6z = 12. Calcule
∫
∂T
F1 dx ∧ dy + F2 dy ∧ dz + F3 dz ∧ dx
diretamente e pelo teorema de Stokes1 onde:
a) F1 = 3y, F2 = 18z, F3 = −12
b) F1 = z, F2 = x2, F3 = y
Exercıcio 13.28 Consideramos o campo vetorial F ∈ X(R3) dado por F(x, y, z) :=
(2x, y2, z2). Alem disso seja S2 ⊂ R3 a esfera de dimensoes 2 e raio 1. Seja n o campo
normal exterior. Usando o teorema de Stokes, calcule a integral
∫
S2
< F,n > dS2
Exercıcio 13.29 Usando o teorema de Stokes, calcule a integral
∫
C
−y3dx+ x3dy − z3dz
onde C e a intersecao do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano x+ y + z = 1. A orientacao de
C corresponde a rotacao anti-horario no plano xy.
1 Observacao: ∂T NAO e uma subvariedade suave, mas pode ser composto por tais. Mesmo assim, o
teorema de Stokes pode ser aplicado aqui calculando∫∂T
como soma das integrais ao longo dos componentes
suaves do bordo.
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Exercıcio 13.30 Verifique o teorema integral de Stokes para a superfıcie B = (x, y, z) ∈R
3 | z = x2 − y2, x2 + y2 ≤ 1 e o campo vetorial X(x, y, z) = (x, y, z). Em outras palavras,
faca dois calculos independentes para mostrar que
∫
B
rot(X) · d~F =
∫
∂B
X · d~s.
Exercıcio 13.31 Sesja D ⊂ R2 um domınio plano limitado com bordo suave ∂D. Por
γ : [a, b] −→ ∂D denotamos a curva simples, regular e parametrizada por comprimento de
arco que parametriza o bordo de D no sentido dado por sua orientacao. Mostre que a area
Area(D) := λ2(D) do domınio D e dada pela seguinte formula:
Area(D) =1
2
b∫
a
(x(t) y′(t)− y(t)x′(t)
)dt, onde γ(t) = (x(t), y(t))
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Referencias Bibliograficas
[1] M. P. Do Carmo: Differential forms and applications. Springer, Berlin 1994.
[2] H. Flanders: Differential forms. With applications to physical sciences. Dover publica-
tions, 1989.
[3] John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer, 2012.
[4] Elon L. Lima: Analise Real volume 3. Analise Vetorial. IMPA, 2008.
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