ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS...
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UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA
RAFAEL HENRIQUE VIANA ABREU
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM
VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS.
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2012
ii
RAFAEL HENRIQUE VIANA ABREU
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM
VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS.
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso de Engenharia
Civil da Universidade da Amazônia
como requisito para obtenção do
título de Bacharel em Engenharia
Civil.
Orientador: Prof. D.Sc. Selênio Feio
da Silva.
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2012
iii
RAFAEL HENRIQUE VIANA ABREU
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM
VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS.
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso de Engenharia
Civil da Universidade da Amazônia
como requisito para obtenção do
título de Bacharel em Engenharia
Civil.
Orientador: Prof. D.Sc. Selênio Feio
da Silva.
Banca examinadora:
Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc.
(Orientador)
Professor Márcio Murilo Ferreira de Ferreira, M. Sc.
(Examinador Interno)
Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc.
(Examinador Interno)
Apresentado em: / / /
Conceito: ____________
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2012
iv
Dedicado à minha Família,
em especial à minha mãe, Ana Cristina.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a DEUS, que me dá saúde, fé e perseverança, guiando meus passos
conduzindo-me a grandes conquistas.
A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação
técnica, profissional e humana.
Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante
os cinco anos de curso.
Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e
paciência de ensinar e me orientar na iniciação científica e especialmente neste
trabalho de conclusão.
A minha família e em especial a minha avó Theresinha, minhas tias Dayse e
Carlaide, meu tio Mário, minha irmã Suzane e minha mãe Cristina, por terem me
ensinado através do convívio a tentar a cada dia ser uma pessoa melhor.
Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram, incentivaram e
ensinaram: Alisson Lobato, Antônio David, Bernardo Pio, Fernando Mendonça,
João Pedro Carneiro, Pedro Secco, Renato Lobato, Virginia Pagno e Wellington
Costa.
Finalmente, um imensurável agradecimento a banca examinadora que aceitou o
convite feito para participar desta defesa de conclusão de curso.
vi
“Jamais considere seus estudos como uma obrigação,
mas como uma oportunidade invejável para aprender a
conhecer a influência libertadora da beleza do conhecimento,
para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade
à qual seu futuro trabalho pertencer.”
Albert Einstein
vii
RESUMO
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM VIBRAÇÃO LIVRE
DE VIGAS PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS.
Autor: Rafael Henrique Viana Abreu.
Orientador: Selênio Feio da Silva.
Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil.
Belém-Pa, dezembro de 2012.
Neste trabalho serão fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreensão
do que é uma estrutura, sua importância, suas classificações, além de demonstrar os tipos de
elementos estruturais e também os principais esforços que atuam nas estruturas quando
solicitadas.
Logo após, serão apresentados alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de
vibrações mecânicas. Destacando-se algumas definições básicas necessárias para o
entendimento e desenvolvimento do trabalho.
Em seguida, serão apresentados alguns conceitos gerais referentes à classificação das
vigas, além da tipologia dos esforços atuantes nas vigas, descrevendo também, a teoria Euler
que será estudada no decorrer do trabalho. Ainda serão apresentados três principais modelos
de equações de vigas presentes na literatura, para o estudo em vibração livre de vigas.
Posteriormente, será fornecido a formulação básica da série de Taylor, que inicia o
Método das Diferenças Finitas (MDF). Também será mostrado as condições de contorno
presentes na viga, além da equação de Euler-Bernoulli para o comportamento dinâmico na
forma do método das diferenças finitas.
Finalmente, serão feitas aplicações do Método das Diferenças Finitas (MDF), na
resolução da equação de movimento de cinco tipos de vigas, em vibração livre e submetida
somente ao efeito de flexão (viga de Euler), visando mostrar a eficiência do MDF, a fim de
se perceber sua convergência para com as soluções analíticas exatas e os valores obtidos por
um software comercial de análise das frequências naturais, através da comparação de um
parâmetro denominado frequência adimensional.
Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Vibração livre. Método das
Diferenças Finitas.
viii
ABSTRACT
ANALYSIS OF THE DYNAMIC BEHAVIOR IN FREE VIBRATION OF
BEAMS BY FINITE DIFFERENCE METHOD.
Author: Rafael Henrique Viana Abreu.
Advisor: Selênio Feio da Silva.
Thesis Work- Civil Engineering.
Belém-Pa, December 2012.
In this work will be provided some general concepts for a better understanding of
what a structure is, it's importance, it's ratings, and further demonstrate the types of structural
elements and also the main stresses that act on structures when requested.
Later, it is displayed some basic concepts related with the study of mechanical
vibrations. Rising some basic definitions necessary to the understanding and development of
the work.
Then, it is displayed some general concepts related to classification of beams,
besides of the typology of active stresses in the beams, describing also the Euler theory that
will be studied later in this work. Yet, there will be presented three main models of beams
equations in the literature, to study free vibration of beams.
After, it will be provided the basic formulation of Taylor's series, which starts the
Finite Difference Method (MDF). Also, it will be shown the boundary conditions within the
beam, and the Euler-Bernoulli equation for the dynamic behavior in the form of finite
difference method.
Finally, applications will be made of the Finite Difference Method (MDF) in
resolution of the motion equation of five types of beams, in free vibration subjected only to
the bending effect (Euler beam), in order to demonstrate the efficiency of MDF, to perceive
its convergence towards the exact analytical solutions and the values obtained by
commercial software of natural frequencies analysis by the comparison of a parameter called
dimensionless frequency.
Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Free Vibration. Finite Difference Method.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Templo Inca – Exemplo da técnica de talhar as pedras ........................... 4
Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nîmes ...................... 5
Figura 2.3: Cúpula da Catedral de Florença ................................................................. 5
Figura 2.4: Representação geral dos elementos estruturais .......................................... 6
Figura 2.5: Representação de viga ................................................................................ 7
Figura 2.6: Representação de pilar ............................................................................... 7
Figura 2.7: Representação de tirante. ............................................................................ 8
Figura 2.8: Representação de arco. ............................................................................... 8
Figura 2.9: Representação de placa. ............................................................................. 9
Figura 2.10: Representação de chapa. .......................................................................... 9
Figura 2.11: Representação de casca. ......................................................................... 10
Figura 2.12: Representação de elemento espacial. ..................................................... 10
Figura 2.13: Representação de força. .......................................................................... 11
Figura 2.14: Representação de momento. ................................................................... 12
Figura 2.15: Representação de graus de liberdade espacialmente. ............................. 13
Figura 2.16: Representação de graus de liberdade no plano. ...................................... 13
Figura 2.17: Representação para apoio do 1º gênero. ................................................. 14
Figura 2.18: Representação para apoio do 2º gênero. ................................................. 15
Figura 2.19: Representação para apoio do 3º gênero. ................................................. 15
Figura 2.20: Estrutura Hipostática. ............................................................................. 16
Figura 2.21: Estrutura Hiperestática. .......................................................................... 17
Figura 2.22: Estrutura Isostática ................................................................................. 17
Figura 2.23: Classificação dos esforços presentes nas estruturas ............................... 18
Figura 2.24: Esforços externos – carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado
(b). ............................................................................................................................... 18
Figura 2.25: Esforços externos ativos – carregamento distribuido. Atual (a).
Idealizado (b). ............................................................................................................. 19
Figura 2.26: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a).
Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b) ....................................... 20
Figura 2.27: Esforços internos solicitantes. Conjugado de esforços e (a).
Distribuição de forças a superfície recortada (b). Distribuição do conjugado de
momento da superfície recortada (c). Representação esforço normal (d).
x
Representação esforço cortante (e). Representação momento fletor (f). Representação
momento torsor (g).. ................................................................................................... 21
Figura 2.28: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito efeitos de tração e
compressão.. ................................................................................................................ 22
Figura 2.29: Esforço cortante em um corpo sólido... .................................................. 22
Figura 2.30: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento
(a). Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c) .......................................... 23
Figura 2.31: Momento torsor em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a).
Estrutura sob efeito do momento torsor (b). ............................................................... 23
Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento, antes do
colapso. ...................................................................................................................... 25
Figura 3.2: Exemplos de vibração. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b). ... 26
Figura 3.3: Pêndulo simples em vibração livre ........................................................... 27
Figura 3.4: Rotor desbalanceado. ............................................................................... 27
Figura 3.5: Vibração livre amortecida ........................................................................ 28
Figura 3.6: Vibração livre não amortecida. ................................................................ 28
Figura 3.7: Sistema linear massa mola. ...................................................................... 29
Figura 3.8: Representação de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade
(a). Sistemas com dois graus de liberdade (b). Sistemas com três graus de liberdade
(c). ............................................................................................................................... 30
Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade. ............................................... 31
Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balanço (b). Apoiada em
balanço (c). Continua (d). Apoiada engastada (e). Biengastada (f). ........................... 33
Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga. .................................... 34
Figura 3.3: Cargas ( Distribuídas ao longo da viga. ...................................... 34
Figura 4.4: Viga em vibração transversal livre e um diagrama de corpo livre de um
pequeno elemento da viga, uma vez que é deformado por uma força distribuída por
unidade de comprimento, representada por ................................................... 35
Figura 4.5: Viga biapoiada (comportamento dinâmico em vibração livre). ............... 41
Figura 4.6: Viga engastada-livre (comportamento dinâmico em vibração livre). ...... 44
Figura 4.7: Viga engastada-deslizante (comportamento dinâmico em vibração livre)
.................................................................................................................................... 47
Figura 4.8: Viga engastada-apoiada (comportamento dinâmico em vibração livre) .. 49
Figura 4.9: Viga biengastada (comportamento dinâmico em vibração livre) ............. 51
xi
Figura 5.1: Interpretação geométrica para a derivada. ................................................ 57
Figura 5.2: Viga engastada. ........................................................................................ 59
Figura 5.3: Viga com apoio do 2º gênero. .................................................................. 60
Figura 5.4: Viga com a extremidade livre. ................................................................. 61
Figura 5.5: Viga com apoio deslizante. ...................................................................... 62
Figura 6.1: Viga biapoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 66
Figura 6.2: Viga biapoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 68
Figura 6.3: viga biapoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ........................................................... 71
Figura 6.4: Viga biapoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ........................................................... 74
Figura 6.5: Viga biapoiada, discretizada com vinte e dois nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 77
Figura 6.6: Viga biapoiada, discretizada com trinta e dois nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 82
Figura 6.7: Viga engastada-livre, discretizada com três nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 90
Figura 6.8: Viga engastada-livre, discretizada com cinco nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 93
Figura 6.9: Viga engastada-livre, discretizada com sete nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ........................................................... 95
Figura 6.10: Viga engastada-livre, discretizada com doze nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ........................................................... 97
Figura 6.11: Viga engastada-deslizante, discretizada com três nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................... 101
Figura 6.12: Viga engastada-deslizante, discretizada com cinco nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................... 103
Figura 6.13: Viga engastada-deslizante, discretizada com sete nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................... 105
Figura 6.14: Viga engastada-deslizante, discretizada com doze nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................... 107
xii
Figura 6.15: Viga engastada-apoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 111
Figura 6.16: Viga engastada-apoiada, discretizada com cinco nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre). .............................................. 113
Figura 6.17: Viga engastada-apoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 115
Figura 6.18: Viga engastada-apoiada, discretizada com doze nós em diferenças
finitas (comportamento dinâmico em vibração livre). .............................................. 117
Figura 6.19: Viga biengastada discretizada com três nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 122
Figura 6.20: Viga biengastada discretizada com cinco nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 123
Figura 6.21: viga biapoiada discretizada com sete nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 125
Figura 6.22: Viga biengastada discretizada com doze nós em diferenças finitas
(comportamento dinâmico em vibração livre) .......................................................... 127
Figura 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira
frequência natural de uma viga biapoiada ................................................................ 135
Figura 7.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda
frequência natural de uma viga biapoiada. ............................................................... 135
Figura 7.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira
frequência natural de uma viga biapoiada ................................................................ 136
Figura 7.4: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira
frequência natural de uma viga engastada-livre........................................................ 138
Figura 7.5: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda
frequência natural de uma viga engastada-livre........................................................ 138
Figura 7.6: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira
frequência natural de uma viga engastada-livre........................................................ 139
Figura 7.7: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira
frequência natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141
Figura 7.8: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda
frequência natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141
Figura 7.9: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira
frequência natural de uma viga engastada-deslizante. .............................................. 142
xiii
Figura 7.10: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira
frequência natural de uma viga engastada-apoiada .................................................. 144
Figura 7.11: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda
frequência natural de uma viga engastada-apoiada .................................................. 144
Figura 7.12: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira
frequência natural de uma viga engastada-apoiada .................................................. 145
Figura 7.13: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira
frequência natural de uma viga biengastada. ............................................................ 147
Figura 7.14: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda e
terceira frequência natural de uma viga biengastada ................................................ 147
Figura 7.15: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira
frequência natural de uma viga biengastada ............................................................. 148
Figura A.1: Tela de abertura do ANSYS .................................................................. 159
Figura A.2: Tela inicial do ANSYS .......................................................................... 160
Figura A.3: Janela para escolha do tipo de análise e adaptatividade do MEF .......... 161
Figura A.4: Definição do tipo de elemento ............................................................... 162
Figura A.5: Definição da seção transversal .............................................................. 162
Figura A.6: Definição das Propriedades do Material................................................ 163
Figura A.7: Definição dos pontos de inserção .......................................................... 164
Figura A.8: Definição dos Elementos de barra ......................................................... 164
Figura A.9: Janela para atribuição e aplicação das propriedades do elemento ......... 165
Figura A.10: Definição de divisões no elemento. ..................................................... 166
Figura A.11: Aplicação das Condições de contorno ................................................. 166
Figura A.12: Janela de definição do tipo de analise ................................................. 167
Figura A.13: Janela de definição da quantidade de raízes a serem extraídas ........... 168
Figura A.14: Janela de definição o intervalo dos valores ......................................... 168
Figura A.15: – Janela de confirmação da Solução .................................................... 169
Figura A.16: – Janela do comando Mode Shape ...................................................... 170
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Representação das condições de contorno nas extremidades. ................. 38
Tabela 4.2: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da
equação de frequência, para uma viga biapoiada........................................................ 44
Tabela 4.3: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da
equação de frequência, para uma viga engastada com a extremidade livre................ 46
Tabela 4.4: representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da
equação de frequência, para uma viga engastada com a extremidade deslizante. ...... 48
Tabela 4.5: representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da
equação de frequência, para uma viga engastada-apoiada.......................................... 51
Tabela 4.6: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da
equação de frequência, para uma viga biengastada... ................................................. 53
Tabela 5.1: Representação esquemática para a diferencial central. ............................ 63
Tabela 5.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central ...... 64
Tabela 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da
frequências naturais para viga biapoiada, em vibração livre. ................................... 134
Tabela 7.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da
frequências naturais para viga engastada-livre, em vibração livre. .......................... 137
Tabela 7.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da
frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre.. ................ 140
Tabela 7.4: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da
frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre... ............... 143
Tabela 7.5: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da
frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre... ............... 146
Tabela A.1: Tabela comparativa das da frequências naturais obtidas pelo ANSYS e
os valores determinados pelo SAVF para as vigas demonstradas neste trabalho... .. 171
Tabela A.2: Tabela demonstrativa da determinação dos fatores de correção das
frequências naturais obtidas pelo ANSYS para as vigas demonstradas neste
trabalho... .................................................................................................................. 172
xv
LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES
A - Seção Transversal
β - Frequência Natural Ponderada
- Compressão
- Derivada parcial em x
- 2ª derivada parcial em x
- 3ª derivada parcial em x
- 4ª derivada parcial em x
E - Módulo de elasticidade longitudinal
EDO - Equação Diferencial Ordinária
EDP - Equação Diferencial Parcial
- Erro percentual relativo
- Função Real
- Vetor conjugado das forças normal e cortante
- Fator de correção
- Esforço Horizontal
- Esforço Vertical
- Equação da flecha
- Modo de vibração
- Força gravitacional
G - Módulo de elasticidade transversal
- Vetor conjugado dos momentos fletor e torsor
h - Altura da seção transversal de uma viga
- Momento de inércia axial
- Coeficiente de cisalhamento
- Unidade de Comprimento
- Parâmetro de Forma de frequência de vibração
- Vetor resultante do momento
xvi
M - Momento Fletor
MDF - Método das Diferenças Finitas
MEF - Método dos Elementos Finitas
- Esforço normal
- Frequência Natural
- Frequência natural admensional
P - Carga concentrada
- Carregamento distribuído
q; -q - Esforços distribuídos de maneira aleatória
- Cargas distribuídas
- Esforço cortante ou de Cisalhamento
R, R1, R2 e Ra - Reações de apoio
- Vetor resultante das forças
- Massa especifica
SAVF - Solução Analitica para Vibrações Flexionais
- Momento Torsor
- Tração
- Função do Tempo
- Coeficiente de poisson
θ - Ângulo de rotação
- deflexão, deformação ou flecha
- Somatório contínuo (integral)
- Somatório discreto
xvii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1
1.1 GENERALIDADES ............................................................................................... 1
1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ......................................................... 2
1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................... 3
1.3.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 3
1.3.2 Objetivo Específico ............................................................................................ 3
2. REVISÃO BÁSICA GERAL ................................................................................ 4
2.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4
2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ............................................................................ 6
2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................................ 6
2.3.1 Elementos Lineares ........................................................................................... 7
2.3.1.1 Vigas ................................................................................................................ 7
2.3.1.2 Pilares ............................................................................................................... 7
2.3.1.3 Tirantes ............................................................................................................ 8
2.3.1.4 Arcos ................................................................................................................ 8
2.3.2 Elementos de Superfície ................................................................................... 8
2.3.2.1 Placas ............................................................................................................... 9
2.3.2.2 Chapas .............................................................................................................. 9
2.3.2.3 Cascas .............................................................................................................. 9
2.3.2 Elementos espaciais ......................................................................................... 10
2.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS CORPOS ............................................... 10
2.4.1 Grandezas Fundamentais ................................................................................ 11
2.4.1.1 Força .............................................................................................................. 11
2.4.1.2 Momento ......................................................................................................... 12
2.4.2 Graus de Liberdade ........................................................................................ 12
2.4.3 Vínculos ou apoios .......................................................................................... 14
2.4.3.1 Apoio articulado móvel ................................................................................. 14
2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo ................................................................................... 15
2.4.3.3 Apoio Engastado ............................................................................................ 15
2.4.4 Estaticidade e Estabilidade ............................................................................. 15
2.4.4.1 Hipostáticidade .............................................................................................. 16
2.4.4.2 Hiperestáticidade ........................................................................................... 16
xviii
2.4.4.3 Isostáticidade ................................................................................................. 17
2.5 TIPOLOGIA DOS ESFORÇOS .......................................................................... 18
2.5.1 Esforços externos ............................................................................................. 18
2.5.1.1 Esforços ativos ................................................................................................ 19
2.5.1.2 Esforços reativos ............................................................................................. 19
2.5.2 Esforços internos .............................................................................................. 20
2.5.1.1 Esforços Internos Solicitantes ......................................................................... 20
2.5.1.2 Esforços Internos Resistentes ........................................................................ 24
3. INTRODUÇÃO BÁSICA AS VIBRAÇÕES MECÂNICAS ........................... 25
3.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 25
3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES ....................................................... 26
3.2.1 Vibração ........................................................................................................... 26
3.2.2 Vibração livre e forçada ................................................................................. 26
3.2.3 Vibração amortecida e não amortecida ......................................................... 27
3.2.4 Vibração linear e não linear ........................................................................... 28
3.2.5 Vibração determinística e aleatória .............................................................. 29
3.2.6 Graus de Liberdade ........................................................................................ 29
3.2.7 Sistemas discretos e contínuos ....................................................................... 30
4. ESTUDO GERAL BASICO DE VIGA ............................................................. 32
4.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 32
4.2 CLASSIFICAÇÃO .............................................................................................. 33
4.2.1 Quanto aos Apoios .......................................................................................... 33
4.2.2 Quanto ao carregamento ................................................................................. 33
4.3 EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO EM FLEXÃO DA VIGA DE EULER-
BERNOULLI .............................................................................................................. 34
4.3.1 Solução Geral da Equação de Vibração em Flexão da Viga de Euler-Bernoulli .. 37
4.3.2 Viga de Vlasov .................................................................................................. 40
4.3.3 Viga de Timoshenko ....................................................................................... 40
4.4 APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA VIBRAÇÃO FLEXIONAL
.................................................................................................................................... 41
4.4.1 Viga Biapoiada ................................................................................................. 41
4.4.2 Viga Engastada-livre ....................................................................................... 44
4.4.3 Viga Engastada-deslizante ............................................................................. 46
4.4.4 Viga Engastada-apoiada .................................................................................. 49
xix
4.4.5 Viga Biengastada .............................................................................................. 51
5. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ........................................................ 54
5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 54
5.2 FORMULAÇÃO BÁSICA .................................................................................. 55
5.2.1 Série de Taylor para funções de variáveis n .................................................. 55
5.2.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor .......................................... 56
5.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS
FINITAS (MDF) ......................................................................................................... 59
5.3.1 Condições no engaste ....................................................................................... 59
5.3.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero ................................................................ 60
5.3.3 Na extremidade livre ....................................................................................... 61
5.3.4 No apoio deslizante .......................................................................................... 62
5.3.5 Esquema de solução ......................................................................................... 63
5.4 O MDF APLICADO AO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VIGA DE
EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE ............................................................................. 64
6. APLICAÇÃO DO MDF NA VIGA DE EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE .... 66
6.1 VIGA BI-APOIADA ........................................................................................... 66
6.1.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................... 66
6.1.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós ............................... 68
6.1.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós ............................... 71
6.1.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ............................. 73
6.1.5 Discretização da viga utilizando uma malha com 22 nós ............................. 77
6.1.6 Discretização da viga utilizando uma malha com 32 nós ............................. 82
6.1.7 Discretização da viga utilizando uma malha com 42 nós ............................. 89
6.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ............................................................................. 90
6.2.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................... 90
6.2.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós ............................... 92
6.2.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós ............................... 95
6.2.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ............................. 96
6.2.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32 e 42 nós ...................... 99
6.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 100
6.3.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................. 100
6.3.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós ............................. 103
6.3.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós ............................. 105
xx
6.3.4 Discretização da viga com 12 nós ................................................................. 107
6.3.5 Discretização da viga com 22, 32, 42 e 52 nós .............................................. 109
6.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 111
6.4.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................. 111
6.4.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós ............................. 113
6.4.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós ............................. 115
6.4.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ........................... 117
6.4.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62 e 72 nós .. 119
6.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 121
6.5.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................. 121
6.5.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós ............................. 123
6.5.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós ............................. 125
6.5.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ........................... 126
6.5.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62,72,82 e 92
nós ............................................................................................................................. 129
7. ANÁLISE DOS RESULTADOS ....................................................................... 133
7.1 VIGA BI-APOIADA ......................................................................................... 133
7.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ........................................................................... 136
7.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 139
7.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 142
7.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 145
8. CONCLUSÕES .................................................................................................. 149
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 152
APÊNDICE A. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO, EM
VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS, VIA ANSYS. .................................................. 159
A.1 ROTEIRO RESUMIDO DE ANÁLISE VIA ANSYS ..................................... 159
A.2 PROCEDIMENTO DETALHADO DE ANÁLISE VIA ANSYS .................... 161
A.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS VIA ANSYS ............................................... 170
A.4 CONCLUSÕES ................................................................................................ 172
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. GENERALIDADES
A análise da resistência dos materiais na área da mecânica dos sólidos é fundamental
no dimensionamento de estruturas na Engenharia Civil. A partir da análise estática,
determinam-se tensões e deformações nas estruturas sob carregamento, incluindo seu próprio
peso. Essas grandezas devem ficar numa faixa de valores permissíveis a fim de garantir a
segurança e a funcionalidade das estruturas. Considerável esforço é despendido pelos
engenheiros civis justamente para determinar os carregamentos a que estão sujeitas as
estruturas por eles dimensionadas. Poucos são os casos em que soluções analíticas podem ser
desenvolvidas nessa tarefa. Frequentes são os casos hiperestáticos e/ou com geometria
variável, nos quais ferramentas numéricas são praticamente indispensáveis (VAZ, 2008).
Embora a análise estática seja a primeira a ser realizada, em muitos casos, ainda que
necessária, ela não é suficiente para assegurar a integridade das estruturas. De fato, na prática,
os esforços costumam ser constituídos de uma parcela estática e outra dinâmica. Esses
esforços variáveis induzem vibrações, que além de alterar o quadro geral de tensões e
deformações causam interferências (ruídos) em equipamentos ou máquinas apoiadas nessas
estruturas, instabilidades de operação, aceleração no desgaste, redução na vida útil, etc.
Segundo VAZ (2008), a resposta dinâmica de uma estrutura às excitações harmônicas
depende, essencialmente, das propriedades como rigidez, massa e amortecimento que
influenciam a frequência natural e o modo de vibrar. Essas propriedades, por sua vez,
resultam da geometria, materiais e condições de vinculação ao meio externo. Assim, há
situações em que além da caracterização estática, os engenheiros devem investigar
características vibratórias e possíveis respostas dinâmicas sob variadas condições de
carregamento.
Em poucas palavras, pode-se definir resposta homogênea como aquela exibida por um
sistema quando sujeito a uma vibração livre devido às condições iniciais diferentes de zero ou
devido a uma excitação do tipo impulso. No campo das vibrações mecânicas, essa é sem
dúvida a principal característica a ser investigada nos sistemas em estudo, pois dela se extrai
as frequências, fatores de amortecimento e modos de vibração. O modo de vibrar, por sua vez,
refere-se ao aspecto geométrico “adimensional” da vibração livre, sendo importante para
caracterizar as regiões nodais e os ventres que se formam no movimento vibratório.
2
O ponto importante é que a amplitude do movimento resultante é inversamente
proporcional à diferença entre a frequência natural do sistema e a frequência da excitação
externa. Ou seja, frequências forçantes distantes da natural não induzem oscilações de grande
amplitude, enquanto que frequências próximas podem levar a deslocamentos proibitivos,
fenômeno este conhecido como ressonância. Posto isso, fica evidente a importância de bem
identificar as frequências naturais nas estruturas reais da engenharia, para daí analisar aquelas
que podem estar próximas das induzidas pelos carregamentos externos, a fim de se evitar os
fenômenos de ressonância.
Neste trabalho, a atenção será dada ao estudo do comportamento dinâmico da viga de
Euler-Bernoulli para determinar as frequências naturais, através do método das diferenças
finitas. Esse interesse se justifica devido ao bom número de estruturas que podem ser
aproximadas. Daí o interesse em se levar em consideração as principais mudanças de apoios,
a fim de uma avaliação mais acurada das possíveis respostas dinâmicas.
1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inúmeros
problemas da física-matemática. Em especial, na área de engenharia, todo cálculo mais
elaborado normalmente recai em uma equação diferencial. Como poucas equações
diferenciais (EDs) têm solução analítica possível ou viável, os métodos numéricos aparecem
como uma ferramenta extremamente eficiente para sua solução (FRANCO, 2010).
A solução de uma equação diferencial em um domínio implica no conhecimento dos
valores da(s) variável(eis) estudada(as) em todo o meio continuo. Segundo CARNAHAN
(1969), o método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de
contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais. Assim,
este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a parâmetros
concentrados ou distribuídos.
Para isso, diz-se que o Método das Diferenças Finitas (MDF) consiste em resolver a
equação diferencial em pontos discretos. Estes pontos são igualmente espaçados, ou seja, a
malha é regular (SOUSA, 2006).
Em resumo, o objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema
composto por equações diferenciais em formas discretizadas e posteriormente em um
problema formado por equações algébricas em função dos valores da variável em cada nó.
3
O conhecimento da solução, mesmo que de forma aproximada, em alguns pontos dá
uma boa idéia da solução contínua, à medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da
resposta numérica se aproxima do valor real.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo geral
Desenvolver e apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o
entendimento dinâmico das estruturas civis de modo a auxiliar um ramo pouco estudado na
graduação, que são os métodos numéricos, através do Método das Diferenças Finitas, onde
será aplicado em um elemento estrutural bastante utilizado na construção civil, que são as
vigas. Para isso, será necessário o estudo das vigas de maneira que haja um entendimento de
seu comportamento, possibilitando posteriormente a aplicação do MDF
1.3.2 Objetivo específico
Rever os conceitos estruturais para dar subsídios para o estudo do MDF aplicados à
teoria das vigas;
Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler-Bernoulli para o
comportamento dinâmico em vibração livre;
Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a levar os
problemas relacionados a um sistema;
Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler-Bernoulli, para o
comportamento dinâmico, em vibração livre;
Calcular os valores das frequências naturais em vigas, variando suas condições de
apoio, através da aplicação do MDF na teoria da viga de Euler-Bernoulli.
4
2. REVISÃO BÁSICA GERAL
Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreensão do
que é estrutura, importância, suas classificações, além de demonstrar os tipos de elementos
estruturais e também os principais esforços que atuam nas estruturas quando solicitadas.
2.1 INTRODUÇÃO
Há cerca de milhares de anos, tendo descoberto a agricultura e a pecuária, o homem
deixou de ser nômade, passando a residir em um local fixo; surgiram então os primeiros
edifícios permanentes e as primeiras aldeias.
Desde esta época, o homem vem erigindo construções que o abriguem, que permitam
a reunião de grandes comunidades irmanadas por um objetivo religioso, político ou de lazer,
que possibilitem a transposição de um rio ou a barragem de um curso d’água.
Segundo HOMRICH (2011) e NOVAES (2008), não havia regras para idealização de
ações, modelos de comportamento da estrutura e dos materiais, critérios de segurança. A
construção de novas estruturas era empírica (experimental) baseada em experiências prévias:
“ficou de pé, então é estável, pode-se fazer assim”.
As construções de madeira e com pedras naturais ou artificiais, isto é, em alvenaria,
são as mais antigas realizadas. Já havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. De
acordo com PIMENTA (2006), no início, as pedras eram apenas empilhadas, mas logo se
desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dando-lhes um melhor encaixe, conforme a figura
2.1.
Figura 2.1: Templo Inca – Exemplo da técnica de talhar as pedras
Fonte: florestaviagens, 2012.
5
De acordo com BRANDÃO (2010) NOVAES (2008), as primeiras formas estruturais
eram o conjunto de viga e pilares, chamado pórtico, largamente utilizado até hoje. A limitação
quanto aos materiais disponíveis, na época, levava a limitação dos vãos e necessidade de
vários pilares. Talvez, através da observação das estruturas da natureza, percebeu-se que a
forma em arco, por levar à melhor distribuição de esforços, permita a elaboração de
construções mais estáveis e de vãos maiores, conforme figura 2.2.
Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nîmes
Fonte: PIMENTA, 2006
Dessa forma, tanto a aplicação do arco, quanto a das suas variações, como cúpulas e
abóbodas, era muito utilizada nas concepções das construções antigas, como ilustrado na
figura 2.3.
Figura 2.3: Cúpula da Catedral de Florença
Fonte: PIMENTA, 2006
Somente com a Revolução Industrial, a partir do século XIX (BRANDÃO, 2010;
NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser mais popularmente utilizada, pois com
o advento dos novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto
armado, possibilitavam maiores vãos com estruturas em pórtico. Porém, a grande evolução na
6
engenharia de estruturas ocorreu a partir do século XX, com o desenvolvimento de novos
materiais e procedimentos de cálculo e da engenharia moderna. Essa evolução se desenvolve
até hoje e se traduz na engenharia moderna.
2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais), ligadas entre si
e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de
receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde
estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante (BEER, 1976
SUSSEKIND, 1994; MERIAN, 1997). Logo, toda estrutura deve proporcionar equilíbrio e
suporte às diversas ações, durante a sua vida útil, sem que ela perca a sua funcionalidade,
conforme a figura 2.4.
Figura 2.4: Representação geral dos elementos estruturais
Fonte: Eberick - ALTOQI, 2012.
2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS
São cada uma das peças diferenciadas ainda que vinculadas nas quais pode ser
dividida uma estrutura, capaz de receber e transmitir esforços com segurança.
7
2.3.1 Elementos lineares (unidimensionais)
São aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a
maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados barras.
De acordo com a sua função estrutural, recebem as designações de:
2.3.1.1 Vigas
Elementos lineares em que a flexão é preponderante. (NBR 6118, 2003)
Figura 2.5: Representação de viga
Fonte: ARAGÃO, 2012.
2.3.1.2 Pilares:
Elementos lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, de forma que as
forças normais de compressão são preponderantes. (NBR 6118, 2003)
Figura 2.6: Representação de pilar.
Fonte: ARAGÃO, 2012.
8
2.3.1.3 Tirantes
Elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são
preponderantes. (NBR 6118, 2003)
Figura 2.7: Representação de tirante.
Fonte: ARAGÃO, 2012.
2.3.1.4 Arcos
Elementos lineares curvos, em que as forças normais de compressão são
preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas
ações estão contidas em seu plano. (NBR 6118, 2003)
Figura 2.8: Representação de arco.
Fonte: Elaborado pelo autor
2.3.2 Elementos de superfície (planos ou bidimensionais)
Elementos em que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente
pequena em face das demais, podendo receber as designações apresentadas em 2.3.2.1 a
2.3.2.3.
9
2.3.2.1 Placas
Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As
placas de concreto são usualmente denominadas lajes. Placas com espessura maior que 1/3 do
vão devem ser estudadas como placa espessa. (NBR 6118, 2003)
Figura 2.9: Representação de placa.
Fonte: ARAGÃO, 2012.
2.3.2.2 Chapas
Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano.
As chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a maior dimensão da seção
transversal são usualmente denominadas vigas-parede. (NBR 6118, 2003).
Figura 2.10: Representação de chapa.
Fonte: ARAGÃO, 2012.
2.3.2.3 Cascas
Elementos de superfície delgada, não plana. (NBR 6118, 2003)
10
Figura 2.11: Representação de casca.
Fonte: Elaborado pelo autor
2.3.3 Elementos espaciais (tridimensionais)
Elementos em que as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza, como
representado na figura 2.12.
Figura 2.12: Representação de elemento espacial
Fonte: Elaborada pelo autor
2.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS CORPOS
Para um corpo, submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio, é necessário que
elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a
tendência de translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação, em tomo
de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto,
basta que estes dois vetores e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio
(SUSSEKIND, 1994), conforme demonstrado pelas equações abaixo:
11
(2.1)
(2.2)
2.4.1 Grandezas Fundamentais
2.4.1.1 Força
É um dos conceitos fundamentais da física. Relacionado com as três leis de Newton, é
uma grandeza que tem a capacidade de vencer a inércia de um corpo, modificando-lhe a
velocidade.
As forças mais conhecidas são os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo,
como por exemplo, o peso proprio de uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.
Segundo BENTO (2003), as forças podem ser classificadas em concentradas e
distribuidas. Na realidade todas as forças encontradas são distribuídas, ou seja, forças que
atuam ao longo de um trecho.
Quando um carregamento distribuído atua em uma região de área desprezível, e
chamado de força concentrada. A força concentrada, tratada como um vetor, uma idealização,
que em inúmeros casos nos traz resultados com precisão satisfatória. No estudo de tipos de
carregamentos, mais a diante, se retornará a este assunto.
A força é uma grandeza vetorial que necessita para sua definição de: intensidade,
direção e sentido, em relação a um ponto de aplicação, como na figura 2.13.
Figura 2.13: Representação de força.
Fonte: BENTO, 2003
12
2.4.1.2 Momento
Seja “F” uma força constante aplicada em um corpo, “d” a distância entre o ponto de
aplicação desta força a um ponto qualquer. Por definição, o momento “M” realizado pela
força “F” em relação ao ponto P e dado pelo produto vetorial, na figura 2.14:
Figura 2.14: Representação de momento.
Fonte: JUDICE, 2010
Resumidamente, momento representa a tendência de rotação em torno de um ponto
provocada por uma força.
2.4.2 Graus de liberdade
Sabe-se que a ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado
ponto, é igual à de sua resultante e a de seu momento resultante em relação àquele ponto;
provocando, a primeira, uma tendência de translação e, o segundo, uma tendência de rotação
(SUSSEKIND, 1994). No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes
segundo 3 eixos triortogonais e uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em
torno de um desses eixos, diz-se que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de
liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triortogonais), conforme ilustrado na
figura 2.15.
13
Figura 2.15: Representação de graus de liberdade espacialmente.
Fonte: Elaborada pelo autor
No Plano, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 2 eixos
ortogonais e, uma resultante de rotação, em torno de um desses eixos, diz-se que uma
estrutura no plano possui um total de 3 graus de liberdade (2 translações e 1 rotação, segundo
2 eixos ortogonais), como mostrado na figura 2.16.
Figura 2.16: Representação de graus de liberdade no plano.
Fonte: Elaborada pelo autor
Evidente que estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda
tendência de movimento da estrutura, a fim de se possibilitar seu equilíbrio. Esta restrição é
dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através
do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que
eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações de apoio se
oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reações um sistema
14
de forças em equilíbrio, e regidas, portanto, pelos grupos de equações, para os diversos tipos
de sistemas de forças que podem ocorrer na prática.
2.4.3 Vínculos ou Apoios
Um vínculo (apoio) é qualquer condição que restringe a possibilidade de deslocamento
de um ponto do elemento ligado ao vínculo. O deslocamento de um ponto do elemento é
determinado através das componentes segundo os eixos cartesianos ortogonais. As translações
podem ser horizontais ou verticais e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano
considerado (PINTO, 2000).
A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das
estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as
tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos
que compõem a estrutura, além da função estática de transmitir as cargas ou forças (GHISI,
2004).
As ligações podem ser internas, também chamadas de vínculos internos, ou então
externas, também chamados de apoios. A seguir será apresentado alguns tipos principais de
apoios, por ser de fundamental importância para a compreensão de esforços em vigas.
2.4.3.1 Apoio articulado móvel (simples ou 1º gênero ou 1º grau):
Este tipo de apoio restringe apenas uma translação, e a reação tem direção
perpendicular ao plano de rolamento (PINTO, 2000). Resumidamente, são apoios que
restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma reação de apoio.
Figura 2.17: Representação para apoio do 1º gênero.
Fonte: BRANDÃO, 2010
15
2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo (Articulação ou 2º gênero ou 2º grau):
Este tipo de apoio impede as duas translações no plano, e a direção da reação R é
indeterminada, sendo comum a utilização de duas componentes, horizontal e vertical, porém
permite a rotação da estrutura (PINTO, 2000).
Figura 2.18: Representação para apoio do 2º gênero.
Fonte: BRANDÃO, 2010
2.4.3.3 Apoio Engastado (3º gênero ou 3º grau):
Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo então três reações
de apoio: a vertical (R1), a horizontal (R2) e momento (M) (PINTO, 2000).
Figura 2.19: Representação para apoio do 3º gênero.
Fonte: BRANDÃO, 2010
2.4.4 Estaticidade e Estabilidade
Como pode-se ver a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma
estrutura. Três casos podem então ocorrer, conforme 2.4.3.1, 2.4.3.2 e 2.4.3.3.
16
2.4.4.1 Hipostaticidade
São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis, tendo por
isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO, 2003; BRANDÃO,
2010).
As reações nos apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, tem-se mais equações do que
incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura
será dita hipostática e terá equilíbrio instável. (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal
que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem
capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois
qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína).
As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções (SUSSEKIND, 1994).
Figura 2.20: Estrutura Hipostática.
Fonte: JUDICE, 2010
2.4.4.2 Hiperestaticidade
A estrutura será dita hiperestática, quando os apoios são em número superior ao
necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, tem-se
menor número de equações do que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As
equações da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reações de apoio,
sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações (SUSSEKIND,
1994).
17
Figura 2.21: Estrutura Hiperestática.
Fonte: JUDICE, 2010
2.4.4.3 Isostaticidade
A estrutura será dita isostática, quando os apoios são em número estritamente
necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso o número de
reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis,
chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema.
(SUSSEKIND, 1994).
Figura 2.22: Estrutura Isostática.
Fonte: JUDICE, 2010
18
2.5 TIPOLOGIA DOS ESFORÇOS
A tipologia dos esforços atuantes em estruturas, está divida em esforços externos e
internos. O primeiro atua fora da estrutura (externo) enquanto o segundo age a nível
molecular (interno). Existem ainda para ambos os esforços subdivisões que serão descritas.
Figura 2.23: Classificação dos esforços presentes nas estruturas.
Fonte: Elaborada pelo autor.
2.5.1 Esforços Externos
Segundo SOUZA & SILVA (2005), os esforços externos são os que atuam no sistema
material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o
peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos),
conforme as figura 2.24 e 2.25. São subdivididos em ativos e reativos.
Figura 2.24: Esforços externos – carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado (b).
Fonte: CAMPOS, 2010.
19
2.5.1.1 Esforços ativos
Os esforços ativos serão classificados conforme a maneira que as ações atuam, em
função do tempo e relativamente ao tempo e espaço.
Segundo CAMPOS (2010) relação ao tempo, são classificadas em permanentes, que
agem permanentemente sobre a estrutura (cargas de paredes, telhados, empuxos de terra,
peso próprio) e acidentais, que não agem constantemente sobre a estrutura (cargas móveis
(veículos), ventos, pessoas).
Em relação ao tempo e ao espaço, são classificadas como fixas, que não se deslocam
sobre a estrutura e agem progressivamente de zero até o valor final (paredes e peso próprio), e
moveis, que são cargas que se locomovem sobre uma estrutura e agem quase que
imediatamente com o valor total (veículos) (CAMPOS, 2010).
Figura 2.25: Esforços externos ativos – carregamento distribuido. Atual (a). Idealizado (b).
Fonte: CAMPOS, 2010.
2.5.1.2 Esforços reativos
Os esforços reativos ou reações dos apoios, são os produzidos pelos vínculos, que se
opõe as cargas atuantes em uma estrutura, sendo determinados pelas equações que regem o
equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso.
No apoio articulado móvel, o vetor reação é normal ao plano de rolamento, passando
pelo apoio (item 2.4.3.1). No apoio articulado fixo, o vetor reação deve passar pela rótula,
podendo ser decomposto segundo duas direções perpendiculares (item 2.4.3.2). No
engastamento, produz-se uma reação força que pode ser decomposta como a anterior e uma
reação momento (item 2.4.3.3).
20
2.5.2 Esforços Internos
Segundo BANACZEK, (2012), os esforços internos são as interações entre partes da
mesma estrutura.
Os esforços internos desenvolvidos no corpo sólido podem ser simplificados para
ações resultantes. Para tal, é importante a definição de um plano que secciona o corpo, um
sistema de coordenadas e uma convenção de sinais definida de uma forma coerente para
determinar os sentidos dos esforços de uma maneira equivalente nas duas faces da seção do
corpo (UFPR, 2012).
Podem ser esforços solicitantes, resultantes de força e momento que descrevem a
interação no plano da seção transversal, ou esforços resistentes (tensões) que descrevem a
interação entre as partículas (BANACZEK, 2012).
2.5.2.1 Esforços Internos Solicitantes
Como já citado, esforços internos solicitantes são os resultantes de força e momento
que descrevem a interação no plano da seção transversal. Segundo BRANDÃO (2010), estes
esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre a seção (figura 2.26),
mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente.
(a)
(b)
Figura 2.26: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da
superfície recortada (b)
Fonte: BRANDÃO, 2010.
Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela
Resistência dos Materiais) pode-se analisar os esforços internos atuantes em uma seção
transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de uma parte da barra
21
sobre a outra pode ser reduzida a uma força e a um conjugado de momento . Ao se
decompor estes dois esforços na direção do eixo da barra (direção normal) e no plano da
seção (direção tangente), obtém-se os chamados esforços solicitantes (figura 2.27).
(a) (b) (c)
(d) (e) (f) (g)
N Q M T Figura 2.27: Esforços internos solicitantes. Conjugado de esforços e (a). Distribuição de forças a superfície
recortada (b). Distribuição do conjugado de momento da superfície recortada (c). Representação esforço normal
(d). Representação esforço cortante (e). Representação momento fletor (f). Representação momento torsor (g).
Fonte: SOUZA & SILVA, 2005.
As resultantes dos esforços internos solicitantes estão descritas abaixo.
a) Esforço Normal (N): É a componente da força que age perpendicular à seção
transversal. Tende a promover variação da distância que separa as seções,
permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. Se for dirigida para fora do corpo,
provoca alongamento no sentido da aplicação da força, produz esforços de tração.
Q
N
M
T
22
Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de
aplicação da força, produz esforços de compressão. Por convenção, o esforço
normal será positivo quando de tração e negativo quando de compressão.
Figura 2.28: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito efeitos de tração e compressão.
Fonte: UFPR, 2012.
b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento (Q): É a componente da força contida no
plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à
outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano) perpendicularmente
ao eixo longitudinal. Por convenção, o esforço cortante é positivo quando,
calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo
do eixo y e quando calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o
sentido oposto ao sentido positivo do eixo y.
Figura 2.29: Esforço cortante em um corpo sólido.
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Momento Fletor (M): É a componente do momento contida na seção transversal
(perpendiculares ao eixo), que quando solicitado, tende a dobrá-lo, fleti-lo ou
mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eixo longitudinal,
ou seja, perpendicular à seção transversal. Como um momento pode ser substituído
por um binário, o efeito de M pode ser assimilado ao binário que provoca uma
23
tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de
encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida.
Figura 2.30: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a).
Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Resumidamente, para o momento fletor, deseja-se conhecer quais fibras
estão tracionadas e quais fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de
concreto armado, por exemplo, deve-se saber de que lado colocar as barras de aço,
que são o elemento resistente à tração).
d) Momento Torsor (T): É a componente do momento que tende a girar a seção
transversal em torno de eixo longitudinal, torcendo uma parte do corpo em relação
à outra. Por convenção, o momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla
que o representa estiver como que tracionando a seção.
(a) (b)
Figura 2.31: Momento torsor em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do
momento torsor (b).
Fonte: SMITH, 2011.
24
2.5.2.2 Esforços Internos Resistentes
Como já citado, esforços internos resistentes (tensões) são os que descrevem a
interação entre as partículas. Segundo GHISI (2004), a distribuição dos esforços resistentes ao
longo de cada ponto da seção transversal é considerada uniforme, embora, talvez nunca se
verifique na realidade.
Segundo LEGGERINI (2007), se a tensão tem a direção perpendicular à seção de
referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras
longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas, essa é denominada de tensão normal (σ).
Se a tensão é desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar
corte ou cisalhamento nesta seção, essa é denominada de tensão tangencial ou de
cisalhamento ( ) (LEGGERINI, 2007).
Para poder entender melhor os esforços internos resistentes, o aprofundamento maior
em conceitos como, propriedades mecânicas dos materiais, deformações e elasticidade, lei de
Hooke se faz necessário, porem não é objetivo deste trabalho.
25
3. INTRODUÇÃO BÁSICA A VIBRAÇÕES MECÂNICAS
Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de
vibrações mecânicas. Destaca-se algumas definições básicas necessárias para o
desenvolvimento do trabalho, como vibração livre e forçada, amortecida e não amortecida,
linear e não linear, determinística e aleatória, graus de liberdade e sistemas contínuos e
discretos
3.1 GENERALIDADE
De acordo com PICCOLI (2012), a maioria das atividades humanas envolve alguma
forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas
se propagam.
No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na engenharia são de grande
importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores,
turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questões relacionadas a vibrações sejam
levadas em conta. (PICCOLI, 2012).
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide
com a frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância
que ocasiona grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica de exemplos de
falhas em sistemas causados por vibrações excessivas em virtude de ressonância. Um destes
exemplos é o da ponte de Tacoma Narrows (figura 3.1), nos Estados Unidos.
Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento, antes do colapso.
Fonte: Wikipédia - Tacoma Narrows Brigde (1940).
26
A vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais.
Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de lavar, utilizam
vibração em seu princípio de funcionamento. Vibração também pode ser utilizada em testes
de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons são largamente utilizados
também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). Também é empregada
para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de
reatores nucleares (PICCOLI, 2012).
3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES
3.2.1 Vibração
É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um
intervalo de tempo. Na engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e
nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações dinâmicas (DOS SANTOS, 2012).
(a) (b)
Figura 3.2: Exemplos de vibração. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b).
Fonte: UFPR, 2012; RODRIGUES, 2010.
3.2.2 Vibração Livre e Forçada
a) Vibração livre: é provocada por uma perturbação inicial que não persistente durante o
movimento vibratório. Tem-se como exemplo o pêndulo simples. Depois de deslocado
de sua posição de equilíbrio, o pêndulo simples permanece em movimento oscilatório
27
sem que nenhum efeito externo intervenha, como na figura 3.3 (DOS SANTOS,
2012).
Figura 3.3: Pêndulo simples em vibração livre.
Fonte: SÓFISICA, 2012.
b) Vibração forçada: é produzida por um efeito externo que persiste durante o tempo em
que o movimento vibratório existir. Como exemplo, tem-se o movimento de um rotor
desbalanceado, caso típico de uma vibração forçada (DOS SANTOS, 2012).
Figura 3.4: Rotor desbalanceado.
Fonte: CIMM, 2012.
3.3.3 Vibração amortecida e não amortecida
a) Vibração amortecida: é aquela em que a energia de vibração se dissipa com o tempo,
de forma que conjuntamente os níveis vibratórios diminuem (DOS SANTOS, 2012).
28
Figura 3.5: Vibração livre amortecida
Fonte: FISICADOSOM, 2012
b) Vibração não amortecida: é aquela em que a energia de vibração não se dissipa, de
forma que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo (DOS
SANTOS, 2012). Os sistemas em que ocorre a vibração não amortecida são sistemas
ideais, pois sempre alguma energia será dissipada em um sistema físico. Entretanto,
em muitos casos, o amortecimento é tão pequeno que é possível desprezá-lo, pois os
níveis vibratórios diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento é
observado e a análise do problema se torna matematicamente mais simples. A Figura
3.6 ilustra uma vibração não amortecida.
Figura 3.6: Vibração livre não amortecida
Fonte: FISICADOSOM, 2012
.
3.3.4 Vibração linear e não linear
a) Vibração linear: é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam
linearmente (PICCOLI, 2012). Como exemplo, a força da mola proporcional ao
deslocamento e a força de amortecimento proporcional à velocidade.
29
Figura 3.7: Sistema linear massa mola.
PICCOLI, 2012
b) Vibração não linear: é aquela em que um ou mais componentes do sistema não se
comporta linearmente, ou seja, a força produzida não apresenta uma relação linear
com a variável cinemática a que se associa, como por exemplo, relações quadráticas,
cúbicas, logarítmicas, exponenciais e senoidais (PICCOLI, 2012). Como exemplo,
tem-se a relação senoidal da figura 3.5.
3.3.5 Vibração determinística e aleatória
a) Vibração determinística: é aquela em que se pode prever todas as características do
movimento vibratório em qualquer instante de tempo (DOS SANTOS, 2012).
b) Vibração aleatória ou não determinística: é aquela em que não é possível prever o que
irá acontecer no movimento vibratório (DOS SANTOS, 2012).
3.3.6 Graus de Liberdade
Segundo PICCOLI (2012), é o número mínimo de coordenadas independentes
necessárias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compõem um
sistema vibratório. A Figura 3.8 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e
três graus de liberdade.
30
Figura 3.8: Representação de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade (a). Sistemas com dois
graus de liberdade (b). Sistemas com três graus de liberdade (c).
PICCOLI, 2012
Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que
descrevem o estado do sistema (posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados por
um sistema de coordenadas. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de
coordenadas generalizadas (DA SILVA, 2009).
O número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado
menos o numero de equações de restrição. Assim sendo, um movimento descrito em um
sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de restrição (PICCOLI, 2012).
3.3.7 Sistemas discretos e contínuos
a) Sistemas discretos: São sistemas governados por equações diferenciais ordinárias, que
segundo PICCOLI (2012), podem ser separados em partes de forma que cada uma delas
possua um determinado número de graus de liberdade e o sistema global tenha um
número finito de graus de liberdade, sendo também chamados de sistemas com
31
parâmetros concentrados. A Figura 3.9 representa um sistema discreto de um grau de
liberdade, solicitado por uma força variável no tempo. O único movimento possível
do oscilador é o deslocamento horizontal, , da massa. O sistema encontra-se ligado
ao apoio por um elemento que desenvolve uma força , função do deslocamento e
da velocidade da massa M. A função , caracteriza o comportamento do oscilador;
a força P(t) caracteriza a solicitação.
Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade.
CORREIA, 2007.
b) Sistemas contínuos: são governados por equações diferenciais parciais, e segundo
PICCOLI (2012), podem ser divididos, possuindo um número infinito de graus de
liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos. Têm
soluções exatas apenas em casos especiais, essencialmente quando os parâmetros que
caracterizam o sistema são uniformemente distribuídos. Exemplos de sistemas
contínuos são as aplicações deste trabalho.
Dados os conceitos básicos de vibração mecânica, listados nesse capitulo, pode-se
dizer que neste trabalho se estará trabalhando com a viga de Euler em vibração livre, não
amortecida, linear, determinística, para um sistema contínuo.
32
4. ESTUDO GERAL BÁSICO DA VIGA
Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos gerais referentes à classificação
das vigas, além tipologia dos esforços atuantes nas vigas. O capítulo também descreve três
modelos de equações para vigas que aparecem na literatura, quando se estuda vibrações de
vigas, dando ênfase a equação de Euler-Bernoulli que será estudada no decorrer do trabalho,
fazendo uma breve descrição das hipóteses que devem ser consideradas em cada um desses
modelos. Demonstra-se ainda, a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), sua
dedução e aplicação.
4.1 GENERALIDADE
Segundo BASTOS (2005), vigas são estruturas lineares que trabalham em posição
horizontal ou inclinada, apoiadas em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os
carregamentos transversais, em que a flexão é preponderante.
As vigas, geralmente barras retas e prismáticas, têm características geométricas
semelhantes aos elementos que constituem as treliças (barras), pois uma das dimensões é
muito superior às outras duas, porém, a viga é submetida a forças transversais e tem seu eixo
deformado verticalmente, ou seja, a configuração geométrica de seu eixo se modifica. A
forma de carregamento da viga faz com que ela seja solicitada, preponderantemente, pelo
momento fletor e pela força cortante. Em alguns casos, as vigas também podem ser solicitadas
axialmente.
São um dos elementos estruturais mais utilizados em pontes, passarelas, edifícios
principalmente pela facilidade de construção. De acordo com (BRANDÃO, 2010), não há
dúvida de que a viga é um dos mais importantes elementos estruturais e sua teoria básica deve
ser completamente entendida para o seu dimensionamento.
33
4.2 CLASSIFICAÇÃO
4.2.1 Quanto aos Apoios
Segundo (SUSSEKIND, 1994), vigas estaticamente determinadas, também chamadas
de Isostáticas, e como visto no capitulo 2,são aquelas que podem ter seus esforços
determinados apenas pelas equações de equilíbrio (Equação 4.1), sendo exemplificadas, nas
vigas (a), (b) e (c), na figura 4.1.
; ; . (4.1)
Também existem as vigas estaticamente indeterminada ou hiperestáticas. Em geral, as
equações de equilíbrio (Equação 4.1) fornecem condições necessárias, mas não suficientes,
para a determinação dos esforços no modelo estrutural. Para a determinação dos esforços em
estruturas hiperestáticas, é necessário fazer uso das outras condições, como a compatibilidade
deslocamentos e deformações. São exemplificadas nas vigas (d), (e) e (f), na figura 4.1.
Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balanço (b). Apoiada em balanço (c). Continua (d).
Apoiada engastada (e). Biengastada (f).
Fonte: MILFONT , 2010
4.2.2 Quanto ao Carregamento
Basicamente, existem dois tipos de carregamento externo que uma viga, cargas
concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado corresponde a aplicação de
uma carga em um único ponto sobre a estrutura (Figura 4.2) (PINTO, 2000).
34
Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Já o carregamento distribuído é expresso como uma força ao longo de uma unidade de
comprimento (Figura 4.3), sendo que a intensidade da força pode ser constante ou variável
(PINTO, 2000).
Figura 4.3: Cargas ( Distribuídas ao longo da viga.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribuídas ou
combinação de ambas. Quando se trabalha com cargas distribuídas, pode-se substituí-la por
uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais cálculos.
4.3 EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO EM FLEXÃO DA VIGA DE EULER-BERNOULLI
Para obter a equação da viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli, algumas hipóteses
devem ser consideradas.
A viga é tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hipótese que o
comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Segundo SILVA &
PEDROSO, (2005), para uma relação muito pequena, entre a altura ( ) da seção transversal
35
de uma viga e seu comprimento ( ), a viga e tratada como esbeltas ( , Teoria de
Euler).
Segundo SILVA & PEDROSO (2005), esta se caracteriza por considerar apenas os
efeitos de flexão (Caso elementar de flexão) devido à tensão normal. Segundo MIGOTTO
(2011), para a viga anteriormente descrita ser classificada como viga de Euler, ela deve ter
dimensão da seção transversal pequena comparada com o seu comprimento; existência de
uma linha neutra onde a viga não sofre nem tração nem compressão; ser de material elástico e
homogêneo; ter as seções planas, considerando que permanecem planas após a deformação e
a curvatura da viga ser assumida pequena; serem consideradas muito pequenas ou
desconsideradas as deformações por cisalhamento, a resistência inercial e a aceleração em
rotação (aceleração angular) das seções retas da viga.
Figura 4.4: Viga em vibração transversal livre e um diagrama de corpo livre de um pequeno elemento da viga,
uma vez que é deformado por uma força distribuída por unidade de comprimento, representada por
Fonte: INMAN (2001).
A Figura 4.4 ilustra uma viga em balanço com a direcção transversal da vibração
indicada (isto é, a deformação, , é na direção ). A viga é de secção transversal
rectangular largura , espessura e comprimento L. Também associada com a
flexão da viga, está a rigidez, , onde é o módulo de elasticidade (módulo de Young) e
36
é o momento de inércia na secção transversal em torno do "eixo ." Segundo INMAN
(2001), para a resistencia dos materiais, a viga sofre momento fletor , o qual está
relacionado com a deformação da viga, ou a deformação de flexão, , e é dada pela
equação (4.2) neste caso:
(4.2)
Segundo INMAN (2001) e MEIROVITCH (1986), o modelo de vibração de flexão
podem ser obtidos a partir do exame do diagrama de um elemento infinitesimal da viga, tal
como indicado na Figura 4.4. Assumindo que a deformação é suficientemente pequena de
modo que a deformação de corte ser muito menor do que (ou seja, de modo que os
lados do elemento não sejam fletidos). A soma das forças na direção , resulta na equação
(4.3):
(4.3)
Onde é a força de cisalhamento na extremidade esquerda do elemento ,
+ dx é força de cisalhamento na extremidade direita do elemento , é
o carregamento total externo aplicado ao elemento por unidade de comprimento, e o termo do
lado direito da igualdade é a força inercial do e1emento. Lembrando que a suposição de
deformação de corte muito pequena usada no equilíbrio de forças da equação (4.3) é
verdadeira se (Teoria de Euler).
Em seguida, os momentos que actuam sobre o elemento em torno do eixo que
passa pelo ponto são somados. Isso produz (Equação 4.4):
(4.4)
Na Equação 4.4, o lado esquerdo da equação é zero, uma vez que é assumido que a
inércia de rotação do elemento de dx é desprezível. Simplificando isso, gera-se (Equação 4.5):
(4.5)
Assumindo que é muito pequeno (mas não zero), é ainda menor, sendo quase
zero, pode-se dizer que (Equação 4.6):
37
(4.6)
Isto indica a proporção entre a força de cisalhamento e a variação do momento fletor.
Substituindo a Equação 4.6, na Equação 4.3, se obtem:
(4.7)
Fazendo outra substituição da Equação 4.2 em 4.7, e dividindo-se por dx, tem-se:
(4.8)
Finalmente, assumindo que em vibração livre não há força externa aplicada de modo a
que , produz-se a equação diferencial governante da viga de Euler para o
comportamento dinâmico (Equação 4.9):
(4.9)
4.3.1 Solução Analitica da Equação de Vibração em Flexão da Viga de Euler-Bernoulli
A chamada solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), é uma equação a qual
se consegue definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas das
frequências, e em consequência as frequências ponderadas, e as deformadas modais.
O primeiro fator a se considerar no desenvolvimento da SAVF, são as condições de
contorno necessárias para resolver a equação diferencial governante (Equação 4.9). Segundo
INMAN (2001), as condições de contorno são obtidas através da análise da deformação
(flecha), rotação, momento fletor e o cortante, em cada extremidade da viga. As extremidades
da viga, basicamente, podem ser; livre, onde o cortante e momento serão nulos; apoiada ou
fixada sobre um suporte, impedido deflexão (flecha) e momento; engastada, impedido
deflexão e rotação; e apoiado sobre um apoio deslizante, em que o deslocamento é permitido,
mas não a rotação, além do cortante ser nulo. Essas considerações são representadas na tabela
4.1.
38
Tabela 4.1: Representação das condições de contorno nas extremidades.
Tipos de apoio Condições de contorno
Extremidade Engastada
Flecha no engaste é zero:
Rotação no engaste é zero:
Extremidade Apoiada
Flecha no apoio do 2º gênero é zero:
Momento no apoio do 2º gênero é zero:
Extremidade Livre
Momento na extremidade livre:
Cortante na extremidade livre:
Extremidade com Apoio Deslizante
Rotação no apoio deslizante é zero:
Cortante no apoio deslizante é zero:
Fonte: Elaborado pelo autor.
De acordo com SZILARD (2004), outras condições de contorno são possíveis, ligando
as extremidades de uma viga a uma variedade de apoios, tais como aglomerados de massas,
molas e assim por diante.
Segundo INMAN (2001), além de satisfazer as quatro condições de contorno, a
equação diferencial governante para vibração livre (4.9), pode ser utilizada apenas se duas
39
condições iniciais são especificadas, deflexão inicial e perfis de velocidade (equação 4.10 e
4.11).
(4.10)
(4.11)
A solução da equação (4.9) sujeito a quatro condições de contorno e duas condições
iniciais prossegue fazendo-se a separação de variáveis, da forma , onde
. Está, sendo substituída na equação de movimento,
a equação (4.9), irá produzir:
(4.12)
Desenvolvendo a equação (4.12) e utilizando a transformada de Fourier, onde
, tem-se a relação:
(4.13)
Sendo por definição:
(4.14)
É com essa relação (Equação 4.13) que é possivel determinar as equações temporal e
espacial, necessarias para o desenvolvimento da solução analítica. Sendo que equação
temporal fica estabelecida como:
(4.15)
Sendo a equação (4.15), é o lado direito da equação (4.13). A equação temporal ainda
toma a forma de:
(4.16)
Onde as constantes A e B são as condições específicas iniciais (deflexão inicial e
velocidade), que serão substituidas e combinadas com a equação espacial.
A equação espacial vem da equação rearranjanda (4.13), o que produz:
(4.17)
40
E assumindo a solução para a equação (4.17) da forma , a solução analítica da
equação (4.17) pode ser calculada como na forma:
(4.18)
Finalmente, na equação (4.18), se obteve a solução analítica para vibrações flexionais
(SAVF). Onde as quatro constantes de integração , , e serão determinadas a partir
das quatro condições de contorno (flecha, rotação, momento e cortante).
Sendo , a frequência natural ponderada, que está relacionado com as frequências
naturais, pela equação (4.14), parâmetro que será usado na comparação entre os métodos
deste trabalho.
Existem outros modelos usados para estudar vibrações de uma viga, como os de
Timoshenko e Vlasov. Como já visto, neste trabalho, utilizando-se técnicas estudadas em
dinâmica dos corpos rígidos, serão utilizadas as preposições da teoria de Euler-Bernoulli para
vigas, porém se ira dar uma breve descrição dos demais modelos.
4.3.2 Viga de Vlasov
Segundo (MIGOTTO, 2011), no modelo de Vlasov o efeito causado pela força de
cisalhamento continua sendo desprezado, como no modelo de Euler-Bernoulli, porém
considera-se o efeito da inércia rotacional. Neste caso a equação (4.19) e dada por:
(4.19)
4.3.3 Viga de Timoshenko
Neste modelo dois efeitos negligenciados no modelo da viga de Euler-Bernoulli, são
Agora considerados: a inércia rotacional e a deformação de cisalhamento, causada pela força
de cisalhamento. As seções transversais planas permanecem planas, mas não necessariamente
perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, pois há um giro da seção ao em relação a essa
perpendicular, ocasionado pelo cisalhamento (MIGOTTO, 2011). Associados ao cisalhamento
esta o coeficiente de cisalhamento, , e módulo de elasticidade transversal, .
41
A equação (4.20) da viga de Timoshenko é dada por (INMAN, 2001) e
(MEIROVITCH, 1986):
(4.20)
Nos casos em que as dimensões da viga não são pequenas em comparação com o
comprimento da viga (vigas curtas), o modelo de Timoshenko é o mais indicado para a teoria
das vigas.
4.4 APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA VIBRAÇÃO FLEXIONAL
4.4.1 Viga Biapoiada
Como já descrito anteriormente neste capítulo, à solução analítica para vibrações
flexionais (SAVF), é uma equação a qual se consegue definir, para todas as condições de
contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequência as frequências
naturais admensionais. Para encontrar essa equação caracteristicas das frequências, é
necessário identificar as condições de contorno em cada apoio (ver tabela 4.1), para
posteriormente substituí-las na equação analítica (equação 4.18). Para uma viga biapoiada, em
vibração livre, supondo um carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.5, tem-se:
Figura 4.5: Viga biapoiada (comportamento dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução analítica,
resulta em:
No primeiro apoio (2º gênero):
L
42
A primeira condição de contorno será flecha no apoio do 2º gênero igual zero,
, substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.21)
A segunda condição de contorno será momento no apoio do 2º gênero igual
zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18), se obtém:
(4.22)
No segundo apoio (1º gênero):
As condições de contorno são as mesmas do apoio inicial, sendo a primeira condição,
flecha no apoio do 1º gênero igual zero, , substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.23)
A segunda condição de contorno, assim como no apoio anterior, será momento no
apoio do 1º gênero igual zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18),
se obtém:
(6.24)
Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.21), (4.22), (4.23) e
(4.24), onde os coeficientes , , e estão em evidencia. Estas podem ser escritas
como uma única equação vetorial, do tipo: , descrita abaixo:
43
(4.25)
Esta equação vetorial (4.25) pode ter uma solução diferente de zero para o vetor
, somente se o determinante da matriz coeficiente for nulo (ou seja, se a
matriz coeficiente é singular).
Definindo o determinante igual a zero, , produz-se a equação caracteristica da
frequência, para uma viga biapoiada, equação (4.26).
(4.26)
Nota-se que a equação (4.26) é transcendental, pois ela é satisfeita para um número
infinito de opções para , denotadando . Porém, nesse caso, tendo a relação da equação
(4.26), para que a iqualdade seja verdadeira, , assumirá os valores inteiros de , onde o
seno é iqual a zero, logo, tem-se:
(4.27)
Como visto no item 4.3.1, frequência natural ponderada, que está relacionada
com as frequências naturais, pela equação (4.14). Fazendo a substituição da equação (4.27),
na equação (4.14), obtem-se:
(4.28)
A equação (4.28) representa o valor analítico das frequências naturais da viga
biapoiada (figura 4.5). Onde é a frequência natural adimensional. As três primeiras
frequências naturais admensionais, para uma viga biapoiada, estão na tabela 4.2:
44
Tabela 4.2: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação
de frequência, para uma viga biapoiada.
VIGA BIAPOIADA CONDIÇÕES DE
CONTORNO
RAÍZES DA EQUAÇÃO
DE FREQUÊNCIA,
Para maiores valores de :
Fonte: Elaborada pelo Autor.
4.4.2 Viga Engastada-livre
Analogamente ao anterior, será usado a solução geral para vibrações flexionais
(SGVF), agora em uma viga com a extremidade engastada e a outra livre, em vibração livre,
para definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas das frequências
e em consequência as frequências naturais admensionais. Supondo que a viga tem
carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento , como a da figura 4.6, tem-se:
Figura 4.6: Viga engastada-livre (comportamento dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução geral,
resulta em:
No engaste:
A primeira condição de contorno será flecha no engaste igual zero, ,
substituindo na equação (4.18), se obtém:
L
L
45
(4.29)
A segunda condição de contorno será rotação no engaste igual zero, ,
substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.30)
Na extremidade livre:
A primeira condição de contorno será momento na extremidade livre igual
zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18), se obtém:
(4.31)
A segunda condição de contorno será cortante na extremidade livre igual
zero, , substituindo na terceira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.32)
Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.29), (4.30), (4.31) e
(4.32), e nas quatro equações, os coeficientes , , e estão em evidencia. Estes
podem ser escritos como uma única equação vetor, do tipo: , descrita abaixo:
(4.33)
Definindo o determinante, da equação vetorial (4.33), igual a zero, , produz-se
a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e livre, equação (4.34).
46
(4.34)
Nota-se que a equação (4.34) é transcendental, pois ela é satisfeita para um número
infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser visualizada graficamente
através da plotagem e , relacionando-os.
As três primeiras frequências naturais, para a viga engastada-livre, estão na tabela
(4.3) a seguir:
Tabela 4.3: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação
de frequência, para uma viga engastada com a extremidade livre..
VIGA ENGASTADA-
LIVRE
CONDIÇÕES DE
CONTORNO
RAÍZES DA EQUAÇÃO
DE FREQUÊNCIA,
Para maiores valores de :
Fonte: Elaborado pelo autor
4.4.3 Viga Engastada-deslizante
Igualmente aos exemplos anteriores, será empregada a solução geral para vibrações
flexionais (SGVF), agora em uma viga com a extremidade engastada e a outra deslizante, em
vibração livre, para definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas
das frequências, e em consequência as frequências naturais admensionais. Supondo que a viga
tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento , como a da figura 4.7, tem-se:
L
47
Figura 4.7: Viga engastada-deslizante (comportamento dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução geral,
resulta em:
No engaste:
A primeira condição de contorno será flecha no engaste igual zero, ,
substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.35)
A segunda condição de contorno será rotação no engaste igual zero, ,
substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.36)
Na extremidade deslizante:
A primeira condição de contorno será rotação na extremidade deslizante igual
zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18), se obtém:
(4.37)
A segunda condição de contorno será cortante na extremidade deslizante igual
zero, , substituindo na terceira derivada equação (4.18), se obtém:
L
48
(4.38)
Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.35), (4.36), (4.37) e
(4.38), e nas quatro equações, os coeficientes , , e estão em evidencia. Estes
podem ser escritos como uma única equação vetor, do tipo: , descrita abaixo:
(4.39)
Definindo o determinante, da equação vetorial (4.39), igual a zero, , produz-se
a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e livre, equação (4.40).
(4.40)
Nota-se que a equação (4.40) é transcendental, pois ela é satisfeita para um número
infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser visualizada graficamente
através da plotagem e , relacionando-os.
As três primeiras frequências naturais, para uma viga engastada com a extremidade
deslizante, estão na tabela (4.4):
Tabela 4.4: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação
de frequência, para uma viga engastada com a extremidade deslizante.
VIGA ENGASTADA-
DESLIZANTE
CONDIÇÕES DE
CONTORNO
RAÍZES DA EQUAÇÃO
DE FREQUÊNCIA,
Para maiores valores de :
Fonte: Elaborado pelo autor.
L
49
4.4.4 Viga Engastada-apoiada
Usando a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), agora em uma viga com
a extremidade viga de Euler engastada-apoiada, em vibração livre, para definir, para todas as
condições de contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequencia as
frequências ponderadas. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de
elasticidade , momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.8, tem-se:
Figura 4.8: Viga engastada-apoiada (comportamento dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução geral,
resulta em:
No engaste:
A primeira condição de contorno será flecha no engaste igual zero, ,
substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.41)
A segunda condição de contorno será rotação no engaste igual zero, ,
substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.42)
No segundo apoio (2º gênero):
L
50
A condição de contorno será flecha no apoio do 2º gênero igual zero, ,
substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.43)
A segunda condição de contorno será momento no apoio do 2º gênero igual
zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18), se obtém:
(4.44)
Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.41), (4.42), (4.43) e
(4.44), e nas quatro equações, os coeficientes , , e estão em evidencia. Estes
podem ser escritos como uma única equação vetor, do tipo: , descrita abaixo:
(4.45)
Definindo o determinante, da equação vetorial (4.45), igual a zero, , produz-se
a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e apoiada, equação (4.46).
(4.46)
Nota-se que a equação (4.46) é transcendental, pois ela é satisfeita para um número
infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser visualizada graficamente
através da plotagem e , relacionando-os.
As três primeiras frequências naturais, para a viga engastada-apoiada, estão na tabela
(4.5):
51
Tabela 4.5: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação
de frequência, para uma viga engastada-apoiada.
VIGA ENGASTADA-
LIVRE
CONDIÇÕES DE
CONTORNO
RAÍZES DA EQUAÇÃO
DE FREQUÊNCIA,
Para maiores valores de :
Fonte: Elaborado pelo autor.
4.4.5 Viga Biengastada
Finalizando, será empregado, em uma viga de Euler biengastada, em vibração livre,m
a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), para definir, para todas as condições de
contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequencia as frequências
ponderadas. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade
, momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.9, tem-se:
Figura 4.9: Viga biengastada (comportamento dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução geral,
resulta em:
No primeiro engaste:
A primeira condição de contorno será flecha no engaste igual zero, ,
substituindo na equação (4.18), se obtém:
L
L
52
(4.47)
A segunda condição de contorno será rotação no engaste igual zero, ,
substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.48)
Na segundo engaste:
A primeira condição de contorno, assim como no outro engaste, será flecha no engaste
igual zero, , substituindo na equação (4.18), se obtém:
(4.49)
A segunda condição de contorno, também como no primeiro engaste, será rotação no
engaste igual zero, , substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:
(4.50)
Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.47), (4.48), (4.49) e
(4.50), e nas quatro equações, os coeficientes , , e estão em evidencia. Estes
podem ser escritos como uma única equação vetor, do tipo: , descrita abaixo:
(4.51)
Definindo o determinante, da equação vetorial (4.51), igual a zero, , produz-se
a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e livre, equação (4.52).
(4.52)
53
Nota-se que a equação (4.52), é transcendental, pois assim como nas outras aplicações,
é satisfeita para um número infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser
visualizada graficamente através da plotagem e , relacionando-os.
As três primeiras frequências naturais, para a viga biengastada, estão na tabela (4.6):
Tabela 4.6: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação
de frequência, para uma viga biengastada.
VIGA ENGASTADA-
LIVRE
CONDIÇÕES DE
CONTORNO
RAÍZES DA EQUAÇÃO
DE FREQUÊNCIA,
Para maiores valores de :
Fonte: Elaborado pelo autor
Os valores das frequências naturais adimensionais demonstrados neste capitulo, nas
tabelas (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6), pelo SAVF, serão utilizados como parâmetros de
comparação com os valores encontrados pelas aplicações realizadas pelo Método das
diferenças finitas (MDF).
L
54
5. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF)
Será fornecida, neste capítulo, uma conceituação básica sobre o MDF, além da
formulação básica da série de Taylor, que inicia o Método das Diferenças Finitas (MDF).
Também será mostrada as condições de contorno presentes na viga, além de demonstrar a
equação de Euler para o comportamento dinâmico na forma de diferenças finitas.
5.1 INTRODUÇÃO
Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inúmeros
problemas da física-matemática. Em especial, na área de engenharia, todo cálculo um pouco
mais elaborado normalmente recai em uma equação diferencial. Como poucas equações
diferenciais (EDs) têm solução analítica possível ou viável, os métodos numéricos aparecem
como uma ferramenta extremamente eficiente para sua solução (FRANCO, 2010).
De acordo com CARNAHAN (1969), o método das diferenças finitas pode ser
utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equações
diferenciais ordinárias ou parciais. Assim, este método pode ser usado para solucionar as
equações de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em
substituir cada derivada ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de
diferenças finitas ou acréscimos finitos das variáveis.
O objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema composto
por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro
passo, nesta direção, é a chamada discretização do domínio da variável independente. A
discretização consiste em dividir o domínio de cálculo em um determinado número de
subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o
domínio é finito, o número de subdomínios também o é. Em qualquer caso, estipulam-se os
pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de um domínio finito (J), são iguais a
(J+1), em número (CARNAHAN, 1969).
Um passo necessário na solução de equações diferenciais por diferenças finitas é a
aproximação das derivadas presentes nestas equações, aplicadas a um dado ponto arbitrário.
Uma maneira simples de se obter estas aproximações, é por meio do uso da expansão de uma
função em série de Taylor, em torno de um dado ponto, como será mostrado no item 5.2.
55
5.2 FORMULAÇÃO BÁSICA
5.2.1 Série de Taylor para funções de variáveis n
A fórmula de Taylor é uma expansão de uma série de funções ao redor de um ponto. É
uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que assume um valor
qualquer (" "). Neste caso, escreve-se a série da seguinte maneira:
(5.1)
A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou
complexa. Se a = 0, a fórmula também é chamada de fórmula de Maclaurin. Segundo SILVA
& PEDROSO (2005), o último termo da fórmula de Taylor é denominado de resto , onde
o n termos, é dado por qualquer das formas seguintes:
a. Forma de Lagrange:
(5.2)
b. Forma de Cauchy:
(5.3)
Segundo LASKOSKI (2007), se o valor de for próximo de zero, então uma função
é aproximadamente igual a fórmula de Taylor, equação (5.1).
Segundo LOPES (2006), essas fórmulas poderão ser usadas se for vezes
diferenciável em a, com o valor de fixado estritamente entre a e x. Essas séries, chamadas
de séries de potências, convergem para todos os valores de x em algum intervalo de
convergência e divergem para todos os valores de x fora desse intervalo (SILVA &
PEDROSO, 2005).
56
5.2.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor
A partir da equação (5.1), pode-se escrever (SILVA, 2008):
(5.4)
(5.5)
Trabalhando com dois termos das séries ( ), e operando as equações (5.4) menos
(5.5):
(5.6)
Segundo SILVA (2008), fazendo e usando a notação indicial, tem-se o
operador em diferenças finitas para a primeira derivada:
(5.7)
A equação (5.7) é conhecida como diferencial central, há também a diferencial para
frente e a diferencial para trás.
a. Diferencial para frente:
(5.8)
b. Diferencial para trás:
(5.9)
Sabe-se que a diferencial central tem a melhor acurácia para solução exata (SILVA,
2008). As equações (5.6) e (5.7) podem ser interpretadas geometricamente como mostra a
figura 5.1.
57
Figura 5.1: Interpretação geométrica para a derivada.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se somar as
equações (5.4) e (5.5) com os três primeiros termos da série ( ) (SILVA, 2008).
(5.10)
De forma análoga a anterior e usando a notação indicial, tem-se o operador em
diferenças finitas para a segunda derivada:
(5.11)
Para achar o operador em diferenças finitas para a terceira derivada deve-se partir da
equação (5.6), e nela substituir por , como mostrado a seguir.
Substituindo, tem-se:
58
(5.12)
Novamente, fazendo e usando a notação indicial, tem-se o operador em
diferenças finitas para a terceira derivada:
(5.13)
Finalmente se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada, que é o
operador necessário para o desenvolvimento, onde a partir da equação (5.10) se substitui
por ,como mostrado a seguir.
Substituindo, tem-se:
59
(5.14)
Por fim, ao fazer e usando a notação indicial, tem-se o operador em
diferenças finitas para a quarta derivada:
(5.15)
5.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
(MDF)
Segundo MATHEWS (1992), no método das diferenças finitas, as condições de
contorno são caracterizadas por valores conhecidos, de variável dependente em mais de um
ponto e por uma equação diferencial que descreve o comportamento desta variável entre os
pontos de interesse. Segundo SILVA & PEDROSO (2005), têm a função de diminuir o
número de variáveis no sistema de equações, por meio de valores conhecidos em determinado
ponto da viga e/ou relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças
finitas) a pontos no seu interior, levando sempre a problemas de autovalores/autovetores para
problemas dinâmicos.
5.3.1 Condições no engaste
A seguir, figura 5.2 representa uma viga engastada com as diferenciais vistas
anteriormente.
Figura 5.2: Viga engastada.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
60
No engaste, se tem duas condições evidentes, a flecha e a rotação no engaste igual
zero, logo, ficará representada como mostras a seguir, nas equações (5.16) e (5.17)
respectivamente.
a. Flecha no engaste é zero.
(5.16)
b. Rotação no engaste é zero.
Substituindo, tem-se:
(5.17)
5.3.2 Condições no apoio do 2º gênero ou 1º gênero
A figura 5.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero com as diferenciais vistas
anteriormente. O mesmo valerá para o apoio do 1º gênero.
Figura 5.3: Viga com apoio do 2º gênero.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Assim como no engaste, a flecha no apoio do 2º gênero tem duas condições evidentes,
a flecha é igual zero, entretanto a rotação não será nula como no engaste, apesar disso o
momento será nulo. Como mostrado na equação (5.18) e (5.19)
61
a. Flecha no apoio do 2º gênero é zero.
(5.18)
b. Momento no apoio do 2º gênero é zero.
Substituindo, tem-se:
(5.19)
5.3.3 Condições na extremidade livre
Tem-se a seguir, a figura 5.4 que representa uma viga com extremidade livre.
Figura 5.4: Viga com a extremidade livre.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Na extremidade livre como não se tem apoio, a condição que se tem é de que o
cortante é nulo, e que assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre
também será nulo, como mostrado nas equações (5.20) e (5.21).
a. Cortante na extremidade livre é zero.
Substituindo, tem-se:
62
(5.20)
b. Momento extremidade livre é zero.
Substituindo, tem-se:
(5.21)
5.3.4 Condições no apoio deslizante
A figura 5.5 representa uma viga com apoio deslizante.
Figura 5.5: Viga com apoio deslizante.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Igualmente como o engaste, a rotação no apoio deslizante será igual a zero, assim
como o cortante também será, podendo ser visto nas equações (5.22) e (5.23).
a. Rotação no apoio deslizante é zero.
Substituindo, tem-se:
(5.22)
63
b. Cortante no apoio deslizante é zero.
Substituindo, tem-se:
(5.23)
5.3.5 Esquema de solução
Para melhor compreensão das equações (5.9), (5.11), (5.13) e (5.15) estão
representadas esquematicamente na tabela 5.1, Para maior facilidade na busca das condições
de contorno definidas e deduzidas anteriormente foram também esquematizadas na tabela 5.2.
Tabela 5.1: Representação esquemática para a diferencial central.
Operador
Aproximado Célula (coeficientes)
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
64
Tabela 5.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central.
Tipos de apoio Condições de contorno
Flecha no engaste é zero:
Rotação no engaste é zero:
Flecha no apoio do 2º gênero é zero:
Momento no apoio do 2º gênero é zero:
Momento na extremidade livre:
Cortante na extremidade livre:
Rotação no apoio deslizante é zero:
Cortante no apoio deslizante é zero:
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
5.4 O MDF APLICADO AO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VIGA DE EULER
EM VIBRAÇÃO LIVRE
Como já visto anteriormente uma viga é descrita é classificada como viga de Euler
quando ela atende a algumas hipóteses, o comportamento dinâmico para o a equação
diferencial governante submetida a um carregamento fica definido na equação (5.24).
(5.24)
65
Segundo SILVA (2008), considerando o comportamento em vibração livre, tem-se
. Usando a transformada de Fourier .
(5.25)
Dividindo a equação (5.25) por , e substituindo os termos por ),
tem-se a equação (5.27).
(5.26)
(5.27)
Aplica-se o método das diferenças finitas (MDF) na equação (5.27), ver equação
(5.15) e tabela 5.1.
(5.28)
Multiplica-se a equação (5.28) por :
(5.29)
Onde:
(5.30)
A equação (5.29) representa a equação governante da viga de Euler para o
comportamento dinâmico por diferenças finitas (SILVA, 2008). Sendo , o parâmetro de
forma, o qual será relacionado com a equação 5.26, para se determinar , o parâmetro de
frequência natural, necessário para a determinação das frequências naturais adimensionais.
66
6. APLICAÇÃO DO MDF NA VIGA DE EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE
Serão feitas agora aplicações do Método das Diferenças Finitas, na resolução da
equação de movimento para as seguintes vigas, respectivamente: biapoiada (Isostática),
engastada-livre (Isostática), engastada-deslizante (Hiperestática), engastada-apoiada
(Hiperestática) e biengastada (Hiperestática), em vibração livre, submetidas somente ao efeito
de flexão (viga de Euler), visando mostrar a eficiência do MDF. Se utilizará, inicialmente, em
todas as vigas uma malha (numero de nós na viga) de três nós, aumentando o número de nós,
a fim de se perceber a convergência do MDF, para com as soluções exatas das frequências
naturais.
6.1 VIGA BIAPOIADA
6.1.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós
Utilizando-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de
equilíbrio dinâmico, visto no capítulo 5 (equação 5.30), da viga de Euler. Utiliza-se uma viga
de vinculação biapoiada (figura 6.1), isostática, com carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Com a utilização do MDF
pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.1) e nas vigas das próximas
aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).
Figura 6.1: Viga biapoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
67
Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como
o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será apenas no ponto ( ).
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.1)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.2)
(6.3)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.4)
(6.5)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.2), (6.3), (6.4) e (6.5), na equação
(6.1) representativa dos nós, tem-se:
equação (6.1):
(6.6)
Nesse caso, tem-se o valor direto para que como visto no item 5.3, é o parâmetro de
forma da freqüência natural, definido por . Sabendo-se que , é representado
na equação (5.26), substituindo e desenvolvendo, em função do parâmetro de forma da
frequência natural, , produz-se:
68
(6.7)
Uma vez que , distância entre os nós internos, será sempre , onde será o
comprimento da viga, e é o número de intervalos entre nós internos, pode-se substituir na
equação (6.7).
(6.8)
Substituindo na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.9)
A equação (6.9) representa a primeira frequência natural adimensional aproximada, na
flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de três nós.
6.1.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós
Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular as
frequências naturais fundamentais. A viga da figura 6.2 tem as mesmas propriedades da
anterior (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em
resumo, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio
dinâmico (equação 5.29) de uma viga de Euler.
Figura 6.2: Viga biapoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
69
Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
( ), ( ) e ( ).
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.10)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.11)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.12)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.13)
(6.14)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.15)
(6.16)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.13), (6.14), (6.15) e (6.16), nas
equações (6.10), (6.11) e (6.12), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.17), (6.8) e
(6.19):
70
Primeira equação (6.10):
(6.17)
Segunda equação (6.11):
(6.18)
Terceira equação (6.12):
(6.19)
Analisando as equações (6.17), (6.18) e (6.19), tem-se, portanto um sistema de
autovalores (frequências naturais) e autovetores (deformação modais). Sistema esse do tipo:
, descrito abaixo:
(6.20)
A equação (6.27) pode ser lida também como:
Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,
originando o polinômio característico (equação 6.21):
(6.21)
As raízes do polinômio característico são:
Substituindo as raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.22)
71
(6.23)
(6.24)
Os valores das equações (6.22), (6.23) e (6.24), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de cinco nós.
6.1.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós
No próximo exemplo (figura 6.3) se pretende usar a mesma viga dos exemplos
anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, também se
pretende calcular frequências naturais fundamentais usando o MDF.
Figura 6.3: viga biapoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ).
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.25)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.26)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
72
(6.27)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.28)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.29)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.30)
(6.31)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.32)
(6.33)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.30), (6.31), (6.32) e (6.33), nas
equações (6.25) à (6.29), representativas dos nós, tem-se as equações (6.34) à (6.38):
Primeira equação (6.25):
(6.34)
Segunda equação (6.26):
(6.35)
Terceira equação (6.27):
(6.36)
Quarta equação (6.28):
73
(6.37)
Quinta equação (6.29):
(6.38)
Analisando as equações (6.34) à (6.38), tem-se, portanto um sistema de autovalores e
autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras
raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.39)
(6.40)
(6.41)
Os valores das equações (6.39), (6.40) e (6.41), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de sete nós.
6.1.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós
No exemplo a seguir (figura 6.4), usa-se uma discretização de doze nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia
e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
74
Figura 6.4: Viga biapoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ).
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.42)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.43)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.44)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.45)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.46)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.47)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.48)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.49)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.50)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.51)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
75
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.52)
(6.53)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.54)
(6.55)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.52), (6.53), (6.54) e (6.55), nas
equações (6.42) à (6.51), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.62) à (6.71):
Primeira equação (6.42):
(6.56)
Segunda equação (6.43):
(6.57)
Terceira equação (6.44):
(6.58)
Quarta equação (6.45):
(6.59)
Quinta equação (6.46):
(6.60)
Sexta equação (6.47):
(6.61)
Sétima equação (6.48):
76
(6.62)
Oitava equação (6.49):
(6.63)
Nona equação (6.50):
(6.64)
Décima equação (6.51):
(6.65)
Resumindo as equações (6.56) à (6.65), tem-se, portanto um sistema de autovalores e
autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.66)
(6.67)
(6.68)
Os valores das equações (6.66), (6.67) e (6.68), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de doze nós.
77
6.1.5 Discretização da viga utilizando uma malha com 22 nós
Agora se usará uma discretização de vinte e dois nós na viga, considerando ainda que
o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
Figura 6.5: Viga biapoiada, discretizada com vinte e dois nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico
em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para vinte e dois nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao
longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
no ientervalo de ( ) à ( ).
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.69)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.70)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.71)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.72)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.73)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.74)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.75)
78
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.76)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.77)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.78)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.79)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.80)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.81)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.82)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.83)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.84)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.85)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.86)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.87)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.88)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.89)
79
(6.90)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.91)
(6.92)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.89), (6.90), (6.91) e (6.92), nas
equações (6.69) à (6.88), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.99) à (6.118):
Primeira equação (6.69):
(6.93)
Segunda equação (6.70):
(6.94)
Terceira equação (6.71):
(6.95)
Quarta equação (6.72):
(6.96)
Quinta equação (6.73):
(6.97)
Sexta equação (6.74):
(6.98)
Sétima equação (6.75):
(6.99)
Oitava equação (6.76):
(6.100)
Nona equação (6.77):
(6.101)
Décima equação (6.78):
(6.102)
Décima primeira equação (6.79):
80
(6.103)
Décima segunda equação (6.80):
(6.104)
Décima terceira equação (6.81):
(6.105)
Décima quarta equação (6.82):
(6.106)
Décima quinta equação (6.83):
(6.107)
Décima sexta equação (6.84):
(6.108)
Décima sétima equação (6.85):
(6.109)
Décima oitava equação (6.86):
(6.110)
Décima nona equação (6.87):
(6.111)
Vigésima equação (6.88):
(6.112)
81
Analisan
do as eq
uaçõ
es (6.9
3) à (6
.112
), tem-se, p
ortan
to u
m sistem
a de au
tovalo
res e auto
veto
res, do tip
o:
, descrito
abaix
o:
82
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.113)
(6.114)
(6.115)
Os valores das equações (6.113), (6.114) e (6.115), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de vinte e dois nós.
6.1.6 Discretização da viga utilizando uma malha com 32 nós
Continuando com a viga biapoiada, usa-se uma discretização de trinta e dois nós na
viga, considerando ainda que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências
naturais fundamentais usando o MDF.
Figura 6.6: Viga biapoiada, discretizada com trinta e dois nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico
em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para trinta e dois nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao
longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
no ientervalo de ( ) à ( ).
83
Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:
(6.116)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.117)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.118)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.119)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.120)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.121)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.122)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.123)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.124)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.125)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.126)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.127)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.128)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.129)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.130)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.131)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
84
(6.132)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.133)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.134)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.135)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.136)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.137)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.138)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.139)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.140)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.141)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.142)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.143)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.144)
Substituindo na equação (5.29) , têm-se:
(6.145)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2º gênero), ( :
(6.146)
85
(6.147)
No segundo apoio (1º gênero), ( )
(6.148)
(6.149)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.146), (6.147), (6.148) e (6.149),
nas equações (6.116) à (6.145), representativas dos nós, tem-se:
Primeira equação (6.116):
(6.150)
Segunda equação (6.117):
(6.151)
Terceira equação (6.118):
(6.152)
Quarta equação (6.119):
(6.153)
Quinta equação (6.120):
(6.154)
Sexta equação (6.121):
(6.155)
Sétima equação (6.122):
(6.156)
Oitava equação (6.123):
(6.157)
Nona equação (6.124):
(6.158)
Décima equação (6.131):
86
(6.159)
Décima primeira equação (6.125):
(6.160)
Décima segunda equação (6.126):
(6.161)
Décima terceira equação (6.127):
(6.162)
Décima quarta equação (6.128):
(6.163)
Décima quinta equação (6.129):
(6.164)
Décima sexta equação (6.130):
(6.165)
Décima sétima equação (6.131):
(6.166)
Décima oitava equação (6.132):
(6.167)
Décima nona equação (6.133):
(6.168)
Vigésima equação (6.134):
(6.169)
Vigésima primeira equação (6.135):
(6.170)
Vigésima segunda equação (6.136):
(6.171)
Vigésima terceira equação (6.137):
(6.172)
Vigésima quarta equação (6.138):
(6.173)
Vigésima quinta equação (6.139):
(6.174)
Vigésima sexta equação (6.140):
87
(6.175)
Vigésima sétima equação (6.141):
(6.176)
Vigésima oitava equação (6.142):
(6.177)
Vigésima nona equação (6.143):
(6.178)
Trigésima equação (6.143):
(6.179)
Resumindo, a partir das equações (6.150) à (6.179), tem-se um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
88
89
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.180)
(6.181)
(6.182)
Os valores das equações (6.180), (6.181) e (6.182), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de trinta e dois nós.
6.1.7 Discretização da viga utilizando uma malha com 42 nós
Finalmente, emprega-se o MDF com malha de quarenta e dois nós, ainda supondo que
o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno nas devidas equações se
chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: . Resolvendo o
determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes encontradas na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.183)
(6.184)
(6.185)
Os valores das equações (6.183), (6.184) e (6.185), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de quarenta e dois nós.
90
6.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE
6.2.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós
Nesta aplicação, mostra-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a
equação de equilíbrio dinâmico, visto no capítulo 5 (equação 5.30), da viga de Euler, onde
pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais. Utiliza-se uma viga de
vinculação engastada e extremidade livre (figura 6.7), isostática, com carregamento
distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento .
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.7) e nas vigas das próximas
aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).
Figura 6.7: Viga engastada-livre, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor
.
Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como
o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos ( ) e ( ),
substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.186) e (6.187):
(6.186)
(6.187)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.188)
91
(6.189)
Na extremidade livre ( )
(6.190)
Sabendo-se pode-se substituir o mesmo:
(6.191)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.188), (6.189), (6.190) e (6.191),
nas equações (6.186) e (6.187) representativas dos nós, tem-se:
Primeira equação (6.186):
(6.192)
Segunda equação (6.187):
(6.193)
Tem-se, portanto um sistema de autovalores (frequências naturais) e autovetores
(deformação modais). Sistema esse do tipo: , descrito
abaixo:
(6.194)
A equação (6.194) pode ser lida também como:
92
Logo, para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a
zero, originando o polinômio característico, equação (6.195), para através de suas raízes se
obter as frequências naturais.
(
(6.195)
As raízes do polinômio característico são:
Como já visto, no item 5.3, , é o parâmetro de forma da freqüência natural, definido
por . Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), substituindo e
desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência natural, , sabendo que ,
distância entre os nós internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o
número de intervalos entre nós internos produz-se a equação (6.8):
Substituindo as raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.196)
(6.197)
Os valores das equações (6.196) e (6.197), representam as duas primeiras frequências
naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para
uma malha de três nós.
6.2.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós
Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular as
frequências naturais fundamentais. A viga da figura 6.8 tem as mesmas propriedades da
anterior (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em
resumo, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio
dinâmico (equação 5.29) de uma viga de Euler.
93
Figura 6.8: Viga engastada-livre, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
( ), ( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações
(6.211) à (6.214):
(6.198)
(6.199)
(6.200)
(6.201)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.202)
(6.203)
Na extremidade livre ( )
(6.204)
(6.205)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.202), (6.203), (6.204) e (6.205),
nas equações (6.198), (6.199), (6.200) e (6.201), representativas dos nós, tem-se as equações
(6.219) à (6.222).
Primeira equação (6.198):
(6.206)
94
Segunda equação (6.199):
(6.207)
Terceira equação (6.200):
(6.208)
Quarta equação (6.201):
(6.209)
Resumindo as equações (6.206) à (6.209), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,
originando o polinômio característico, para através de suas raízes se obter as frequências
naturais.
Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),
sabendo-se que , então:
(6.210)
(6.211)
(6.212)
Os valores das equações (6.210), (6.211) e (6.212), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de cinco nós.
95
6.2.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós
Na próxima aplicação (figura 6.9) se pretende usar a mesma viga dos anteriores
(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, onde também se
pretende calcular frequências naturais fundamentais usando o MDF.
Figura 6.9: Viga engastada-livre, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da
viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.213)
à (6.218):
(6.213)
(6.214)
(6.215)
(6.216)
(6.217)
(6.218)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.219)
(6.220)
Na extremidade livre ( )
(6.221)
96
(6.222)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.219), (6.220), (6.221) e (6.222),
nas equações (6.213) à (6.218), representativas dos nós, tem-se as equações (6.223) à (6.228).
(6.223)
(6.224)
(6.225)
(6.226)
(6.227)
(6.228)
Analisando as equações (6.223) à (6.228), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.229)
(6.230)
(6.231)
Os valores das equações (6.229), (6.230) e (6.231), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de sete nós.
6.2.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós
Na aplicação a seguir (figura 6.10), usa-se uma discretização de doze nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia
97
e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
Figura 6.10: Viga engastada-livre, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.232)
à (6.242):
(6.232)
(6.233)
(6.234)
(6.235)
(6.236)
(6.237)
(6.238)
(6.239)
(6.240)
(6.241)
(6.242)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.243)
(6.244)
Na extremidade livre ( )
98
(6.245)
(6.246)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.243), (6.244), (6.245) e (6.246),
nas equações (6.232) à (6.242), representativas dos nós, tem-se as equações (6.247) à (6.257).
(6.247)
(6.248)
(6.249)
(6.250)
(6.251)
(6.252)
(6.253)
(6.254)
(6.255)
(6.256)
(6.257)
Resumindo as equações (6.247) à (6.257), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.258)
(6.259)
99
(6.260)
Os valores das equações (6.258), (6.259) e (6.260), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de doze nós.
6.2.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32 e 42 nós
Continuando com a viga engastada-livre, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32 e
42 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno
nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: .
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes
encontradas na equação (6.8), tem-se:
Para uma malha com 22 nós, sabendo-se que , então:
(6.261)
(6.262)
(6.263)
Os valores das equações (6.261), (6.262) e (6.263), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 22 nós.
Para uma malha com 32 nós, sabendo-se que , então:
(6.264)
(6.265)
100
(6.266)
Os valores das equações (6.264), (6.265) e (6.266), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 32 nós.
Para uma malha com 42 nós, sabendo-se que , então:
(6.267)
(6.268)
(6.269)
Os valores das equações (6.267), (6.268) e (6.269), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 42 nós.
6.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE
6.3.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós
A partir dessa aplicação, será empregado o MDF em vigas hiperestática, onde se
pretende mostrar que o MDF não se limita apenas a casos de vigas isostáticas. Se ira começar
com uma viga de Euler engastada com a extremidade deslizante. Nesta aplicação, mostra-se
agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico da
viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais.
Utiliza-se uma viga de vinculação engastada com a extremidade deslizante (figura 6.11),
hiperestática, com carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de
inércia e comprimento .
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.11) e nas vigas das próximas
aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).
101
Figura 6.11: Viga engastada-deslizante, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento
dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como
o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos ( ) e ( ),
substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.270) e (6.271):
(6.270)
(6.271)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.272)
(6.273)
Na extremidade deslizante ( )
(6.274)
(6.275)
102
Substituindo as condições de contorno, equações (6.272), (6.273), (6.274) e (6.275),
nas equações (6.270) e (6.271) representativas dos nós, tem-se as equações (6.276) e (6.277).
Primeira equação (6.289):
(6.276)
Segunda equação (6.290):
(6.277)
Tem-se, portanto um sistema de autovalores (frequências naturais) e autovetores
(deformação modais). Sistema esse do tipo: , descrito abaixo:
Logo, para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a
zero, originando o polinômio característico, equação (6.278), para através de suas raízes se
obter as frequências naturais.
(
(6.278)
Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),
sabendo-se que , então:
(6.279)
(6.280)
Os valores das equações (6.298) e (6.299), representam as duas primeiras frequências
naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para
uma malha de três nós.
103
6.3.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós
Assim como no item anterior, nesta aplicação também se pretende calcular as
frequências naturais fundamentais. A viga da figura 6.12 tem as mesmas propriedades da
anterior (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em
resumo, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio
dinâmico (equação 5.29) de uma viga de Euler.
Figura 6.12: Viga engastada-deslizante, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento
dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
( ), ( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações
(6.281) à (6.284):
(6.281)
(6.282)
(6.283)
(6.284)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.285)
(6.286)
Na extremidade deslizante ( )
104
(6.287)
(6.288)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.285), (6.286), (6.287) e (6.288),
nas equações (6.289), (6.290), (6.291) e (6.292), representativas dos nós, tem-se as equações
(6.289) à (6.292).
Primeira equação (6.281):
(6.289)
Segunda equação (6.282):
(6.290)
Terceira equação (6.283):
(6.291)
Quarta equação (6.284):
(6.292)
Resumindo as equações (6.289) à (6.292), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,
originando o polinômio característico, para através de suas raízes se obter as frequências
naturais.
105
Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),
sabendo-se que , então:
(6.293)
(6.294)
(6.295)
Os valores das equações (6.293), (6.294) e (6.295), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de cinco nós.
6.3.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós
Na próxima aplicação (figura 6.13) se pretende usar a mesma viga dos anteriores
(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, onde também se
pretende calcular frequências naturais fundamentais usando o MDF.
Figura 6.13: Viga engastada-deslizante, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento
dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da
viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.296)
à (6.301):
106
(6.296)
(6.297)
(6.298)
(6.299)
(6.300)
(6.301)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.302)
(6.303)
Na extremidade deslizante ( )
(6.304)
(6.305)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.302), (6.303), (6.304) e (6.305),
nas equações (6.296) à (6.301), representativas dos nós, tem-se as equações (6.306) à (6.311).
(6.306)
(6.307)
(6.308)
(6.309)
(6.310)
(6.311)
Analisando as equações (6.236) à (6.241), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.312)
107
(6.313)
(6.314)
Os valores das equações (6.312), (6.313) e (6.314), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de sete nós.
6.3.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós
Na aplicação a seguir (figura 6.14), usa-se uma discretização de doze nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia
e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
Figura 6.14: Viga engastada-deslizante, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento
dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.315)
à (6.325):
(6.315)
(6.316)
(6.317)
(6.318)
108
(6.319)
(6.320)
(6.321)
(6.322)
(6.323)
(6.324)
(6.325)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.326)
(6.327)
Na extremidade livre ( )
(6.328)
(6.329)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.326), (6.327), (6.328) e (6.329), nas
equações (6.315) à (6.325), representativas dos nós, tem-se as equações (6.330) à (6.340).
(6.330)
(6.331)
(6.332)
(6.333)
(6.334)
(6.335)
(6.336)
(6.337)
(6.338)
(6.339)
(6.340)
Resumindo as equações (6.330) à (6.340), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
109
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.341)
(6.342)
(6.343)
Os valores das equações (6.341), (6.342) e (6.343), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de doze nós.
6.3.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42 e 52 nós
Dando prosseguimento a viga engastada com a extremidade deslizante, emprega-se o
MDF com malhas de 22, 32, 42 e 52 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído ,
módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir
as condições de contorno nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores,
do tipo: . Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo
as três primeiras raízes encontradas na equação (6.8), tem-se:
Para uma malha com 22 nós, sabendo-se que , então:
(6.344)
110
(6.345)
(6.346)
Os valores das equações (6.344), (6.345) e (6.346), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 22 nós.
Para uma malha com 32 nós, sabendo-se que , então:
(6.347)
(6.348)
(6.349)
Os valores das equações (6.347), (6.348) e (6.349), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 32 nós.
Para uma malha com 42 nós, sabendo-se que , então:
(6.350)
(6.351)
(6.352)
Os valores das equações (6.350), (6.351) e (6.352), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 42 nós.
Para uma malha com 52 nós, sabendo-se que , então:
(6.353)
111
(6.354)
(6.355)
Os valores das equações (6.372), (6.373) e (6.374), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 52 nós.
6.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA
6.4.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós
Nesta aplicação, mostra-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a
equação de equilíbrio dinâmico da viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das
frequências naturais fundamentais. Utiliza-se uma viga de vinculação engastada com a
extremidade apoiada (figura 6.15), hiperestática, com carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento .
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.15) e nas vigas das próximas
aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).
Figura 6.15: Viga engastada-apoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico
em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como
o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será no ponto ( ), substituindo na
equação (5.29), obtém-se a equação (6.356):
(6.356)
112
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.357)
(6.358)
Na extremidade apoiada ( )
(6.359)
(6.360)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.357), (6.358), (6.359) e (6.360),
na equação (6.356) representativa dos nós, tem-se:
(6.361)
Nesse caso, assim com no item 6.1, biapoiado, tem-se o valor direto para que como
visto anteriormente no item 5.3, é o parâmetro de forma da freqüência natural, definido por
. Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), substituindo e
desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência natural, , sabendo que ,
distância entre os nós internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o
número de intervalos entre nós internos produz-se a equação (6.8):
Substituindo as raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.362)
113
O valor da equação (6.362) representa a primeira freqüência natural aproximada, na
flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de cinco nós.
6.4.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós
Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular as
frequências naturais fundamentais. A viga da figura 6.16 tem as mesmas propriedades da
anterior (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em
resumo, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio
dinâmico (equação 5.29) de uma viga de Euler.
Figura 6.16: Viga engastada-apoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento
dinâmico em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao
longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.363) à
(6.365):
(6.363)
(6.364)
(6.365)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.366)
(6.367)
Na extremidade apoiada ( )
114
(6.368)
(6.369)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.366), (6.367), (6.368) e (6.369),
nas equações (6.363), (6.364) e (6.365), representativas dos nós, tem-se:
Primeira equação (6.363):
(6.370)
Segunda equação (6.364):
(6.371)
Terceira equação (6.365):
(6.372)
Resumindo as equações (6.370), (6.371) e (6.372), tem-se, portanto um sistema de
autovalores e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,
originando o polinômio característico, para através de suas raízes se obter as frequências
naturais.
Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),
sabendo-se que , então:
(6.373)
(6.374)
(6.375)
115
Os valores das equações (6.373), (6.373) e (6.375), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de cinco nós.
6.4.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós
Na próxima aplicação (figura 6.17) se pretende usar a mesma viga dos anteriores
(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, onde também se
pretende calcular frequências naturais fundamentais usando o MDF.
Figura 6.17: Viga engastada-apoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico
em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da
viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.376)
à (6.380):
(6.376)
(6.377)
(6.378)
(6.379)
(6.380)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
(6.381)
116
(6.382)
Na extremidade apoiada ( )
(6.383)
(6.384)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.381), (6.382), (6.383) e (6.384),
nas equações (6.376) à (6.380), representativas dos nós, tem-se as equações (6.385) à (6.389).
(6.385)
(6.386)
(6.387)
(6.388)
(6.389)
Analisando as equações (6.385) à (6.389), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.390)
(6.391)
(6.392)
Os valores das equações (6.290), (6.391) e (6.392), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de sete nós.
117
6.4.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós
Na aplicação a seguir (figura 6.18), usa-se uma discretização de doze nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia
e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
Figura 6.18: Viga engastada-apoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico
em vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no
ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.393)
à (6.402):
(6.393)
(6.394)
(6.395)
(6.396)
(6.397)
(6.398)
(6.399)
(6.400)
(6.401)
(6.402)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No engaste ( )
118
(6.403)
(6.404)
Na extremidade apoiada ( )
(6.405)
(6.406)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.403), (6.404), (6.405) e (6.406),
nas equações (6.393) à (6.402), representativas dos nós, tem-se as equações (6.407) à (6.416).
(6.407)
(6.408)
(6.409)
(6.410)
(6.411)
(6.412)
(6.413)
(6.414)
(6.415)
(6.416)
Resumindo as equações (6.407) à (6.416), tem-se, portanto um sistema de autovalores
e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.417)
119
(6.418)
(6.419)
Os valores das equações (6.440), (6.441) e (6.442), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de doze nós.
6.4.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62 e 72 nós
Finalizando a viga engastada-apoiada, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32, 42,
52, 62 e 72 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade
, momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno
nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: .
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes
encontradas na equação (6.8), tem-se:
Para uma malha com 22 nós, sabendo-se que , então:
(6.420)
(6.421)
(6.422)
Os valores das equações (6.420), (6.421) e (6.422), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 22 nós.
Para uma malha com 32 nós, sabendo-se que , então:
(6.423)
120
(6.424)
(6.425)
Os valores das equações (6.423), (6.424) e (6.425), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 32 nós.
Para uma malha com 42 nós, sabendo-se que , então:
(6.426)
(6.427)
(6.428)
Os valores das equações (6.426), (6.427) e (6.428), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 42 nós.
Para uma malha com 52 nós, sabendo-se que , então:
(6.429)
(6.430)
(6.431)
Os valores das equações (6.429), (6.430) e (6.431), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 52 nós.
Para uma malha com 62 nós, sabendo-se que , então:
(6.432)
121
(6.433)
(6.434)
Os valores das equações (6.432), (6.433) e (6.434), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 62 nós.
Para uma malha com 72 nós, sabendo-se que , então:
(6.435)
(6.436)
(6.437)
Os valores das equações (6.435), (6.436) e (6.437), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 72 nós.
6.5 VIGA BIENGASTADA
6.5.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós
Como ultima aplicação, será empregado o MDF em uma viga de Euler biengastada, ou
seja, uma viga hiperestática. Nesta aplicação, assim como nas aplicações anteriores, mostra-se
agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico da
viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais.
Utiliza-se uma viga biengastada (figura 6.19), hiperestática, com carregamento distribuído
, módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento .
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.19) e nas vigas das próximas
aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).
122
Figura 6.19: Viga biengastada discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como
o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será no ponto ( ).
(6.438)
No primeiro engaste ( :
(6.439)
(6.440)
No segundo engaste ( )
(6.441)
(6.442)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.439), (6.440), (6.441) e (6.442),
na equação (6.438) representativa dos nós, tem-se:
(6.443)
Nesse caso, assim como na viga biapoiada, tem-se o valor direto para equação
(6.443), já mencionado como parâmetro de forma da freqüência natural, definido por
.Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), e que , distância entre os nós
internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o número de intervalos
entre nós internos, substituindo e desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência
natural, , produz-se a equação (6.8):
Substituindo na equação (6.8), sabendo-se que , então:
123
(6.444)
O valor da equação (6.444), representa a primeira freqüência natural aproximada, na
flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de três nós.
6.5.2 Discretização da viga utilizando uma malha com 5 nós
A viga da figura 6.20 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento
distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando
apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em resumo, mostra-se a técnica
de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico (equação 5.29) de
uma viga de Euler, onde pretende calcular as frequências naturais fundamentais.
Figura 6.20: Viga biengastada discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo
da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.445),
(6.446) e (6.447).
(6.445)
(6.446)
(6.447)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro engaste ( :
(6.448)
(6.449)
124
No segundo engaste ( )
(6.450)
(6.451)
Substituindo as condições de contorno, equações (6.448), (6.449), (6.450) e (6.451),
nas equações (6.445), (6.446) e (6.447), representativas dos nós, tem-se as equações (6.452),
(6.453) e (6.454).
(6.452)
(6.453)
(6.454)
Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores. Sistema esse do tipo:
, descrito abaixo:
Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,
originando o polinômio característico, para através de suas raízes obter as frequências
naturais.
Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),
sabendo-se que , então:
(6.455)
(6.456)
(6.457)
Os valores das equações (6.455), (6.456) e (6.457), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de cinco nós.
125
6.5.3 Discretização da viga utilizando uma malha com 7 nós
A viga da figura 6.21 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento
distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando
apenas o número de nós que serão discretizados na mesma.
Figura 6.21: viga biapoiada discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor
Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao
longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
no intervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações
(6.458) à (6.462).
(6.458)
(6.459)
(6.460)
(6.461)
(6.462)
No primeiro apoio (2ºgênero), ( :
(6.463)
(6.464)
No segundo apoio (1ºgênero), ( )
(6.465)
(6.466)
126
Substituindo as condições de contorno, equações (6.463), (6.464), (6.465) e (6.466),
nas equações (6.458) à (6.462), representativas dos nós, tem-se as equações de (6.467) à
(6.471):
(6.467)
(6.468)
(6.469)
(6.470)
(6.471)
Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores, do tipo: ,
descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras
raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.472)
(6.473)
(6.474)
Os valores das equações (6.472), (6.473) e (6.474), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de sete nós.
6.5.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós
No exemplo a seguir (figura 6.22), usa-se uma discretização de doze nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia
e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais
usando o MDF.
127
Figura 6.22: Viga biengastada discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em
vibração livre).
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao
longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos
no ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações
(6.475) à (6.484).
(6.475)
(6.476)
(6.477)
(6.478)
(6.479)
(6.480)
(6.481)
(6.482)
(6.483)
(6.484)
Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:
No primeiro apoio (2ºgênero), ( :
(6.485)
(6.486)
No segundo apoio (1ºgênero), ( )
(6.487)
(6.488)
128
Substituindo as condições de contorno, equações (6.485), (6.486), (6.487) e (6.488),
nas equações (6.475) à (6.484), representativas dos nós, tem-se, as equações de (6.489) à
(6.498):
(6.489)
(6.490)
(6.491)
(6.492)
(6.493)
(6.494)
(6.495)
(6.496)
(6.497)
(6.498)
Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores, do tipo: ,
descrito abaixo:
Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na
equação (6.8), sabendo-se que , então:
(6.499)
(6.500)
(6.501)
129
Os valores das equações (6.499), (6.500) e (6.501), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de doze nós.
6.5.4.1 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92 nós
Por fim, com a viga biengastada, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32, 42, 52,
22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído ,
módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir
as condições de contorno nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores,
do tipo: . Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo
as três primeiras raízes encontradas na equação (6.8), tem-se:
Para uma malha com 22 nós, sabendo-se que , então:
(6.502)
(6.503)
(6.504)
Os valores das equações (6.502), (6.503) e (6.504), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 22 nós.
Para uma malha com 32 nós, sabendo-se que , então:
(6.505)
(6.506)
(6.507)
130
Os valores das equações (6.505), (6.506) e (6.507), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 32 nós.
Para uma malha com 42 nós, sabendo-se que , então:
(6.508)
(6.509)
(6.510)
Os valores das equações (6.508), (6.509) e (6.510), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 42 nós.
Para uma malha com 52 nós, sabendo-se que , então:
(6.511)
(6.512)
(6.513)
Os valores das equações (6.511), (6.512) e (6.513), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 52 nós.
Para uma malha com 62 nós, sabendo-se que , então:
(6.514)
(6.515)
(6.516)
131
Os valores das equações (6.514), (6.515) e (6.516), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 62 nós.
Para uma malha com 72 nós, sabendo-se que , então:
(6.517)
(6.518)
(6.519)
Os valores das equações (6.517), (6.518) e (6.519), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 72 nós.
Para uma malha com 82 nós, sabendo-se que , então:
(6.520)
(6.521)
(6.522)
Os valores das equações (6.520), (6.521) e (6.522), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 82 nós.
Para uma malha com 92 nós, sabendo-se que , então:
(6.523)
(6.524)
(6.525)
132
Os valores das equações (6.523), (6.524) e (6.525), representam as três primeiras
frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças
finitas, para uma malha de 92 nós.
133
7. ANÁLISE DOS RESULTADOS
7.1 VIGA BIAPOIADA
Para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pela solução
analítica para vibrações flexionais (SAVF) e os valores numéricos obtidos pelo Método das
Diferenças Finitas (MDF) mostra-se na tabela 7.1 uma comparação entre o SAVF e o MDF
com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós, comparando ainda com um os valores obtidos
com outro método numérico, Métodos dos Elementos Finitos, através de um software
comercial de análise, ANSYS, versão 5.4. Utiliza-se na forma:
(7.1)
Logo a equação (7.1) representa de forma genérica o valor das frequências naturais
adimensionais, tanto para a viga desta aplicação, quanto para as outras vigas que serão
posteriormente mostradas.
A tabela 7.1 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem uma maior
aproximação do valor da frequência numérica, pelo MDF, em comparação ao valor analítico e
os valores obtidos pelo MEF. Nota-se que a malha com 3 nós só foi capaz de descrever a
primeira frequência natural. Contudo, nota-se que a partir da malha com 12 nós até a malha de
32 nós os valores convergem lentamente até o erro percentual ser quase anulado.
134
Tab
ela 7
.1: C
onverg
ência d
o M
étodo d
as Difere
nças F
initas n
o cá
lculo
das d
a frequências n
atura
is para v
iga b
iapo
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m v
ibração
livre.
F
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sion
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Solu
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a:
AN
SY
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)
Solu
çã
o N
um
éric
a: M
DF
Malh
a
(3 n
ós)
Malh
a
(5 n
ós)
Malh
a
(7 n
ós)
Malh
a
(12 n
ós)
Malh
a
(22 n
ós)
Malh
a
(32 n
ós)
Malh
a
(42 n
ós)
1 =
9,8
69
7
1
= 9
,86
97
2 =
39
,47
84
2 = 3
9,4
78
4
--------
3 =
88
, 82
64
3 =
88
,82
64
--------
=E
rro p
ercentu
al re
lativo
.
Fo
nte: E
labo
rada p
elo
Auto
r.
L
135
Onde valor do erro percentual pode ser achado por meio de:
Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor
encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.1, 7.2
e 7.3.
Figura 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma
viga biapoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
9,37
9,659,80 9,85 9,86
9,87
8,00
8,47
8,93
9,40
9,87
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
1
Malha
Primeira Frequência Natural para Viga Biapoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
36
38,4239,19 39,34
39,40
32,00
33,87
35,74
37,61
39,48
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
2
Malha
Segunda Frequência Natural para Viga Biapoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
136
Figura 7.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda frequência natural de uma
viga biapoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 7.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma
viga biapoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
7.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE
Assim como na viga biapoiada se usou a frequência natural adimensional para se ter
uma melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pela solução analítica para
vibrações flexionais e a solução do ANSYS (MEF), com os valores numéricos obtidos pelo
Método das Diferenças Finitas, também se usará na viga engastada-livre este artifício de
comparação. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 6.4, que mostra uma
comparação entre o SAVF , MEF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós.
Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, consegui descrever as duas primeiras
frequências naturais, se diferenciando do item (7.1), biapoiado, onde a mesma malha
conseguiu apenas a primeira frequência natural. Observa-se ainda, que a partir da malha com
12 nós até a malha de 42 nós os valores continuam convergindo lentamente até o erro
percentual ser quase anulado (tabela 7.2).
72
83,52
87,35 88,1488,44
54,63
63,18
71,73
80,28
88,83
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
3
Malha
Terceira Frequência Natural para Viga Biapoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
137
Tab
ela 7
.2: C
onverg
ência d
o M
étodo d
as Difere
nças F
initas n
o cá
lculo
das d
a frequências n
atura
is para v
iga e
ngastad
a-liv
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vib
ração liv
re.
F
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dim
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Solu
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Solu
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AN
SY
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EF
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Solu
çã
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um
éric
a: M
DF
Malh
a
(3 n
ós)
Malh
a
(5 n
ós)
Malh
a
(7 n
ós)
Malh
a
(12 n
ós)
Malh
a
(22 n
ós)
Malh
a
(32 n
ós)
Malh
a
(42 n
ós)
1 =
3,5
16
0
1 =
3,5
16
0
2 =
22
,03
45
2 = 2
2,0
34
5
3 =
61
,69
72
3 = 6
1,6
97
2
--------
= E
rro p
ercentu
al relativ
o.
Fo
nte: E
labo
rada p
elo
Auto
r.
L
138
Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor
encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.4, 7.5
e 7.6.
Figura 7.4: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma
viga engastada-livre.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 7.5: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda frequência natural de uma
viga engastada-livre.
Fonte: Elaborada pelo autor.
3,34
3,443,49 3,51 3,51
3,52
2,93
3,08
3,22
3,37
3,52
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
1
Malha
Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-livre
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
17,49
19,72
21,28 21,82 21,9421,99
10,93
13,70
16,48
19,26
22,03
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
2
Malha
Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-livre
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
139
Figura 7.6: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma
viga engastada-livre.
Fonte: Elaborada pelo autor.
7.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE
Também se utilizou na viga engastada com a extremidade deslizante os mesmos
artifícios de comparação usados nas aplicações anteriores. A fim de melhorar a visualização
criou-se a tabela 7.3, que mostra uma comparação entre o SAVF, MEF e o MDF com as
malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32,42 e 52 nós.
Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, consegui descrever as duas primeiras
frequências naturais, se diferenciando do item (7.1), biapoiado, onde a mesma malha
conseguiu apenas a primeira frequência natural, e assemelhando-se ao item (7.2), engastada-
livre, onde a mesma malha conseguiu descrever as duas primeiras frequências naturais.
Observa-se ainda, foi necessária uma malha mais refinada do que a usada nas vigas
isostáticas, sendo que a partir da malha com 22 nós até a malha de 52 nós os valores
continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.
49,37
57,42
60,46 61,1261,48
39,26
44,87
50,48
56,09
61,70
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós
3
Malha
Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-livre
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
140
Tab
ela 7
.3: C
onverg
ência d
o M
étodo d
as Difere
nças F
initas n
o cá
lculo
das d
a frequências n
atura
is para v
iga e
ngastad
a-desliz
ante, em
vib
ração liv
re.
F
req
uên
cia
s natu
rais (a
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Solu
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a:
AN
SY
S (M
EF
)
Solu
çã
o N
um
éric
a: M
DF
Malh
a
(3 n
ós)
Malh
a
(5 n
ós)
Malh
a
(7 n
ós)
Malh
a
(12
nós)
Malh
a
(22
nós)
Malh
a
(32
nós)
Malh
a
(42
nós)
Malh
a
(52
nós)
1
= 5
,59
33
1 =
5,5
93
3
2 =
30
,22
58
2 = 3
0,2
25
8
3 =
74
,63
89
3 = 7
4,6
38
9
--------
=E
rro p
ercentu
al re
lativo
.
Fo
nte: E
labo
rada p
elo
Auto
r.
L
141
Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor
encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.7, 7.8
e 7.9.
Figura 7.7: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma
viga engastada-deslizante.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 7.8: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda frequência natural de uma
viga engastada-deslizante.
Fonte: Elaborada pelo autor.
5,26
5,445,55 5,58 5,59 5,59 5,59
4,48
4,76
5,04
5,32
5,59
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós
1
Malha
Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
24,24
27,27
29,28 29,91 30,10 30,16 30,18
14,28
18,27
22,25
26,24
30,23
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós
2
Malha
Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
142
Figura 7.9: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma
viga engastada-deslizante.
Fonte: Elaborada pelo autor.
7.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA
Assim como nas demais vigas se usou a frequência natural adimensional para se ter
uma melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pela solução analítica para
vibrações flexionais e a solução do ANSYS (MEF), com os valores numéricos obtidos pelo
Método das Diferenças Finitas , também se usará na viga engastada-apoiada este artifício de
comparação. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 7.4, que mostra uma
comparação entre o SAVF, MEF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32, 42, 52, 62 e
72 nós.
Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, conseguiu descrever apenas a primeira
frequência natural, e assemelhando-se ao item 7.1, biapoiado. Observa-se ainda, foi necessária
uma malha mais refinada do que a usada nas vigas isostáticas, e na viga do item 7.3,
engastada-deslizante, sendo que a partir da malha com 32 nós até a malha de 72 nós os
valores continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.
60,05
69,76
73,24 73,99 74,2774,40
46,95
53,87
60,79
67,72
74,64
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós
3
Malha
Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
143
T
abela 7
.4: C
onverg
ência d
o M
étodo d
as Difere
nças F
initas n
o cá
lculo
das d
a frequências n
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So
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DF
Ma
lha
(3 n
ós)
Ma
lha
(5 n
ós)
Ma
lha
(7 n
ós)
Ma
lha
(12
nó
s)
Ma
lha
(22
nó
s)
Ma
lha
(32
nó
s)
Ma
lha
(42
nó
s)
Ma
lha
(52
nó
s)
Ma
lha
(62
nó
s)
Ma
lha
(72
nó
s)
1
= 1
5,4
18
2
1 =
15
,41
82
2 =
49
,96
49
2 =
49
,96
49
--------
3 =
10
4,2
47
7
3 = 1
04
,24
77
--------
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rro p
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lativo
.
Fo
nte: E
labo
rada p
elo
Auto
r.
L
144
Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor
encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.10,
7.11 e 7.12.
Figura 7.10: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma
viga engastada-apoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 7.11: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda frequência natural de uma
viga engastada-apoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
13,52
14,5115,14
15,34 15,38 15,40 15,41 15,41 15,41
9,80
11,20
12,61
14,01
15,42
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós
1
Malha
Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
42,78
47,62
49,30 49,66 49,79 49,85 49,8949,91
35,89
39,41
42,93
46,45
49,97
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós
2
Malha
Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
145
Figura 7.12: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma
viga engastada-apoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
7.5 VIGA BIENGASTADA
Para a viga biengastada o mesmo artifício de comparação das outras também foi
usado. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 7.5, que mostra uma comparação
entre o SAVF, MDF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92
nós.
Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, conseguiu descrever apenas a primeira
frequência natural, e assemelhando-se aos itens 7.1, biapoiado, e 7.4, engastada-apoiada.
Observa-se ainda, foi necessária uma malha mais refinada do que a usada nas aplicações nas
vigas até agora, sendo que a partir da malha com 32 nós até a malha de 92 nós os valores
continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.
77,98
95,24
101,65 103,04 103,55 103,80 103,93104,02
56,01
68,07
80,13
92,19
104,25
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós
3
Malha
Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
146
T
abela 7
.5: C
onverg
ência d
o M
étodo d
as Difere
nças F
initas n
o cá
lculo
das d
a frequências n
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a
(3 n
ós)
Malh
a
(5 n
ós)
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(7 n
ós)
Malh
a
(12 n
ós)
Malh
a
(22 n
ós)
Malh
a
(32 n
ós)
Malh
a
(42 n
ós)
Malh
a
(52 n
ós)
Malh
a
(62 n
ós)
Malh
a
(72 n
ós)
Malh
a
(82 n
ós)
Malh
a
(92 n
ós)
1
=
22
,37
29
1
=
22
,37
29
2 =
61
,67
28
2 =
61
,67
28
--------
3 =
12
0,9
03
2
3 =
12
0,9
03
2 --------
=E
rro p
ercentu
al re
lativo
.
Fo
nte: E
labo
rada p
elo
Auto
r.
L
147
Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor
encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.13,
7.14 e 7.15.
Figura 7.13: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma
viga biengastada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 7.14: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda e terceira frequência natural
de uma viga biengastada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
17,93
20,12
21,6422,22 22,28 22,32 22,34 22,35 22,36 22,36 22,37
11,31
14,08
16,84
19,61
22,37
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós 82 nós 92 nós
1
Malha
Primeira Frequência Natural para Viga Biengastada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
49,32
57,39
60,43 61,10 61,34 61,46 61,52 61,56 61,59 61,60
39,19
44,81
50,43
56,05
61,67
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós 82 nós 92 nós
2
Malha
Segunda Frequência Natural para Viga Biengastada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
148
Figura 7.15: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma
viga biengastada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
83,39
107,07
116,71 118,98 119,80 120,18 120,40 120,53 120,62120,68
57,12
73,07
89,01
104,96
120,90
3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós 82 nós 92 nós
3
Malha
Terceira Frequência Natural para Viga Biengastada
Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)
Solução ANSYS (MEF)
149
8. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS PARA OUTROS TRABALHOS
8.1 CONCLUSÕES
Existem três modelos usualmente utilizados para descrever a dinâmica de vigas: Euler-
Bernoulli, Vlasov e Timoshenko. Neste trabalho, foi utilizada a equação da viga de Euler-
Bernoulli.
Neste trabalho, foram obtidas as frequências naturais de vigas Euler-Bernoulli, em
vibração livre, consideradas clássicas, por incluírem condições de contorno clássicas. A
análise foi utilizada para determinar as frequências naturais de vibração de vigas, a qual é uma
solução de uma equação diferencial de quarta ordem.
Esta solução foi escrita em termos da base dinâmica, gerada pela solução dinâmica da
equação diferencial de quarta ordem correspondente. Este cálculo foi realizado através de uma
formulação de diferenças finitas para as condições de contorno.
Como o MDF cria pontos virtuais (nós) na viga, aparecem também pontos fora da
viga, devido a isso, se torna necessário a utilização das condições de contorno, que irão
diminuir o número de variáveis, por meio de valores conhecidos na viga, pois essas condições
relacionam os pontos fora com os pontos de dentro da viga.
O MDF resolve uma equação diferencial transformando-a em um sistema de equações.
Como ocorre na equação de Euler, onde uma equação diferencial de quarta ordem é
substituída por um sistema.
Como forma de melhor entender o MDF e para mostrar seu funcionamento, aplica-se o
método em vigas dinâmicas de Euler. Como primeira aplicação, uma viga biapoiada,
isostática, através da equação governante da viga de Euler por diferenças finitas com malhas
de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós, se calculou as três primeiras frequências naturais
adimensionais, enfatizando a convergência da primeira frequência natural, e observando o
comportamento das outras duas.
Considerando o SAVF como método de referência, foram comparados os valores das
frequências naturais adimensionais encontrados por meio do MDF e o método analítico.
Notou-se que à medida que se aumenta a discretização de pontos na malha da viga a
convergência do valor numérico (MDF) se aproxima em relação ao valor analítico (SAVF).
150
A segunda aplicação que foi mostrada, uma viga engastada-livre, também isostática, se
calculou a frequências naturais adimensionais pelo SAVF e MDF (3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42
nós), observando-se uma convergência parecida com a obtida na aplicação anterior.
Na terceira aplicação, uma viga engastada com extremidade deslizante, hiperestática,
onde o método numérico na primeira malha teve um erro parecido com os das aplicações
anteriores, isso utilizando uma aproximação de quatro casas decimais para as frequências
naturais, entretanto observou-se que o MDF levou mais tempo para convergir para o valor
analítico (SAVF), sendo necessária uma malha de 52 nós.
Para quarta aplicação, uma viga engastada com extremidade apoiada, igualmente
hiperestática, também notou-se que a o MDF levou ainda mais tempo para convergir para o
valor analítico (SAVF), sendo necessária uma malha de 72 nós.
Finalmente, a quinta aplicação, uma viga biengastada, hiperestática, observou-se que
essa aplicação foi a que necessitou de maior refinamento, sendo necessária uma malha de 92
nós para a convergência do MDF com o valor analítico (SAVF).
Analisando os resultados obtidos a partir das aplicações, em vigas isostáticas e
hiperestáticas, notou-se que com o aumento gradativo do grau de restrição nos apoios, maior
deve ser o refinamento da malha utilizada, a fim de se obter a convergência. Isso acontece
uma vez que, quanto maior for o grau de restrição nos apoios, maior será o número de
incógnitas geradas, influenciando diretamente na aplicação do MDF.
Com a aplicação do MDF na equação diferencial governante de vigas, no estudo do
comportamento dinâmico em vibração livre, leva a problemas de autovalores (frequências
naturais) e autovetores (deformadas modais) para a determinação das frequências naturais e
modos de vibração, respectivamente. Sistema esse do tipo: , onde a matriz
representa a matriz de coeficientes à flexão e a matriz representa a matriz identidade.
À medida que se refinou a malha, aumentou-se o numero de nós, ao ponto das
matrizes serem de alta ordem, assim tornou-se necessário o auxilio de um software (Maple
10), para a resolução das matrizes.
Observou-se, que o MDF converge para o valor analítico partindo sempre de valores
inferiores, diferenciando-se de outros métodos como o método dos elementos finitos (MEF),
onde a convergência parte de valores superiores.
Conclui-se que as frequências naturais, pelo MDF, em todas as aplicações,
convergiram para o método analítico. Desse modo, observando-se a convergência alcançada
pelo MDF, em casos em que não se tem o conhecimento da solução analítica, pode-se saber se
a solução é exata, quando houver a repetição do valor (convergência alcançada).
151
8.2 PERSPECTIVAS PARA OUTROS TRABALHOS
Não obstante todas as contribuições desse trabalho ficam algumas sugestões para
outros possíveis trabalhos, como a aplicação do MDF para o comportamento estático e/ou
dinâmico, na viga de Timoshenko e Vlasov, onde a viga é analisada segundo as forças de
cisalhamento e a inércia rotacional.
A aplicação do MDF no comportamento dinâmico, para vibrações forçadas, uma vez
que este trabalho abordou o comportamento em vibração livre.
Aplicar o MDF em outros tipos de elementos estruturais, como pilares, placas, cabos,
arcos, etc.
O desenvolvimento de um programa computacional para as possíveis aplicações do
MDF ou de outro método numérico.
152
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Itajubá, 2008.
159
APÊNDICE A. ANÁLISE, VIA ANSYS, DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM
VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS.
Os métodos numéricos são métodos de convergência que apresentam uma sequência
de cálculos repetitivos. Devido a estas características, são normalmente desenvolvidos em
linguagem de programação via softwares, que no presente trabalho, para a determinação das
frequências naturais de vigas, será o Software Analysis System (ANSYS), versão 5.4.
Figura A.1: Tela de abertura do ANSYS.
Fonte: ANSYS 5.4.
A.1 ROTEIRO RESUMIDO DE ANÁLISE VIA ANSYS
Resumidamente, o roteiro geral para análise do comportamento dinâmico, em vibração
livre, para vigas, com o software ANSYS 5.4, subdividi-se em três etapas, pré-processo,
solução e pós-processo (Figura A.2), como descritos.
160
Figura A.2: Tela inicial do ANSYS.
Fonte: ANSYS 5.4.
A.1.1 Pré-processo
a. Tipo de análise e da adaptatividade do Método dos Elementos Finitos (MEF);
b. Definição do tipo do elemento;
c. Definição da seção transversal da barra, momento de inércia e altura da viga;
d. Definição das propriedades do material;
e. Criação de pontos de inserção;
f. Criação do elemento de viga entre os pontos;
g. Atribuição das propriedades definidas no elemento;
h. Definição do refinamento da malha.
A.1.2 Solução
a. Aplicar as condições de contorno do problema;
b. Definir o tipo de analise;
c. Definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de determinação
e os intervalos inicial e final da análise;
d. Solução do problema.
161
A.1.3 Pós-processo
a. Listagem dos resultados;
b. Visualização do modo de vibração.
A.2. PROCEDIMENTO DETALHADO DE ANÁLISE VIA ANSYS
A.2.2 Pré-processo
a. Tipo de análise e da adaptatividade do MEF
Esta opção vai restringir os comando e menus ao tipo de análise selecionada. Os
demais comandos são ocultados, facilitando a visualização dos caminhos a percorrer.
Main Menu: Preferences
Structural
h-Method
Figura A.3: Janela para escolha do tipo de análise e adaptatividade do MEF.
Fonte: ANSYS 5.4.
b. Definição do Tipo de elemento
Main Menu: Preprocessor – Element Type – Add/edit/delete
Da biblioteca de elementos do ANSYS 5.4 será escolhido Structural-Beam 2D elastic 3.
162
Figura A.4: Definição do tipo de elemento.
Fonte: ANSYS 5.4.
c. Definição da seção transversal da barra, momento de inércia e altura da viga
Main Menu: Preprocessor – Real Constants – Add/edit/delete
Figura A.5: Definição da seção transversal.
Fonte: ANSYS 5.4.
163
d. Definição das propriedades do material
Main Menu: Preprocessor – Material Props- Constant – Isotropic
Figura A.6: Definição das Propriedades do Material.
Fonte: ANSYS 5.4.
e. Criação de pontos de inserção.
Main Menu: Preprocessor – Modeling - Create – Keypoints – In Active CS
Esta opção vai inserir pontos que servirão de referencia para a inserção do elemento de
viga e posteriormente das condições de apoio. Entre os métodos possíveis de introdução dos
pontos, através do comando In Active CS, pode-se inseri-los, numerando-os e posicionando-os
através de coordenadas.
164
Figura A.7: Definição dos pontos de inserção.
Fonte: ANSYS 5.4.
f. Criação do elemento de viga entre os pontos
Main Menu: Preprocessor – Modeling - Create – Lines – Straight line
Esta opção vai inserir uma linha a qual posteriormente será atribuída às características
e propriedades estabelecidas nos itens b, c e d, ainda na etapa de pré-processo. Com o
comando Straight line, pode-se inserir a linha manualmente clicando nos pontos e
confirmando em .
Figura A.8: Definição dos Elementos de barra.
Fonte: ANSYS 5.4.
165
g. Atribuição das propriedades definidas no elemento
Main Menu: Preprocessor – Attributes – Define – Picked Lines
Esta opção vai atribuir à linha anteriormente inserida, as características e propriedades
estabelecidas nos itens b, c e d, ainda na etapa de pré-processo. Através do comando Picked
Lines, faz-se a seleção da linha, confirmando em , e na janela para atribuição das
propriedades do elemento, faz-se à aplicação confirmando novamente em .
Figura A.9: Janela para atribuição e aplicação das propriedades do elemento
Fonte: ANSYS 5.4.
h. Definição do refinamento da malha.
Main Menu: Preprocessor –Meshtool – Lines (set)
Esta opção vai definir o refinamento da malha a ser utilizada, ou seja, o número de
divisões no elemento. Através do comando Lines (set), no painel azul (figura A.8), faz-se a
seleção da linha, confirmando em , em seguida, no painel verde à direita (figura A.8),
defini-se o número de divisões que se pretende analisar o elemento, confirmando em .
Para aplicar a malha, efetivamente, no elemento viga, selecionar , no painel
azul (figura A.8), faz-se novamente a seleção da linha e confirma-se em .
166
Figura A.10: Definição de divisões no elemento.
Fonte: ANSYS 5.4.
A.2.2 Solução
a. Aplicar as condições de contorno do problema e carregamento
Main Menu: Solution – Loads - Apply – Structural – Displacement – On Nodes
Esta opção vai definir e aplicar as condições de contorno nos apoios. Através do
comando On Nodes, pode-se selecionar um ponto onde se pretende definer como apoio, e
após a confirmação em , aplicar as suas condições de restrição de deslocamentos
(figura A.9).
Figura A.11: Aplicação das Condições de contorno.
Fonte: ANSYS 5.4.
167
b. Definir o tipo de analise
Main Menu: Solution – Analysis Type – New Analysis – Modal
Esta opção vai restringir os comando e menus ao tipo de análise selecionada. Os
demais comandos são ocultados, facilitando a visualização dos caminhos a percorrer. No caso
específico deste trabalho, se escolherá a opção Modal.
Figura A.12: Janela de definição do tipo de analise.
Fonte: ANSYS 5.4.
c. Definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de determinação e o
intervalo inicial e final da análise.
Main Menu: Solution – Analysis Type – Analysis Option
Esta opção vai definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de
determinação e o intervalo de análise. Primeiramente, defini-se o modo de determinação, que
será Subspace, e a quantidade de raízes a serem extraidas (Figura A.11), e em seguida
confirma-se em .
168
Figura A.13: Janela de definição da quantidade de raízes a serem extraídas.
Fonte: ANSYS 5.4.
Em seguida, em virtude da escolha o modo de determinação, Subspace, deve-se definir
o intervalo inicial e final da análise (Figura A.12). Esse intervalo servirá como um universo de
valores, dos quais as raízes poderão ser extraídas.
Figura A.14: Janela de definição o intervalo dos valores.
Fonte: ANSYS 5.4.
169
d. Solução do problema
Main Menu: Solution – Solve – Current LS
Finalmente, após as etapas anteriores, pode-se solicitar a solução através do comando
Current LS. No caso de análise bem sucedida (Figura A.13), aparecerá à informação solution
is done, e então se poderá prosseguir para visualização dos resultados. No caso de erro ou de
alguma observação, pode ser necessária a revisão do procedimento.
Figura A.15: – Janela de confirmação da Solução.
Fonte: ANSYS 5.4.
A.2.3 Pós-processo
a. Listagem dos resultados
Main Menu: General Postproc – Result Summary
Por fim, através do comando Result Summary, pode-se listar os resultados da
frequências obtidas na analise. Lembrando que o número de resultados é proporcional a
quantidade de raízes extraídas.
170
b. Visualização do modo de vibração.
Main Menu: General Postproc – Read Results – First Set / Next Set
Mechanical Utility Menu: PlotCtrls – Animate – Mode Shape
Pode-se ainda, visualizar o modo de vibração, através do comando Mode Shape.
Seleciona-se o primeiro resultado em First Set, e através do comando Mode Shape, na janela
Animate Mode Shape, pode-se definir o número de quadros e o tempo de exibição de cada
quadro, além de visualizar a modo de vibração (Deformed Shape). Para visualizar os demais
resultados, basta usar o comando Next Set e repetir o procedimento.
Figura A.16: – Janela do comando Mode Shape.
Fonte: ANSYS 5.4.
A.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS VIA ANSYS
Fez-se neste apêndice uma comparação dos resultados do SAVF e do MDF com
simulações realizadas por meio de um software de elementos finitos, ANSYS, versão 5.4.
Contudo, os resultados das frequências naturais adimensionais, não foram idênticos, porém,
para as três primeiras freqüências, nos cinco casos aplicados, manteve-se uma relação
constante com os valores de frequências obtidos pelo ANSYS e os valores exatos
determinados pelo SAVF.
Utilizou-se uma viga encontrada na literatura, com propriedades de um aço 0,2% de
carbono: área da seção transversal , módulo de elasticidade longitudinal
, coeficiente de Poisson , massa específica volumétrica
e comprimento .
171
Fazendo-se a analise, conforme o roteiro elaborado e considerando todos os casos de
vigas demonstrados no trabalho, chega-se na tabela A.1, seguinte:
Tabela A.1: Tabela comparativa das da frequências naturais obtidas pelo ANSYS e os valores determinados pelo
SAVF para as vigas demonstradas neste trabalho.
Frequências
Naturais
Solução de
frequência
ANSYS (
Solução ANSYS Solução ANSYS
(Corrigida) Solução Analítica:
SAVF
PA
RC
EL
A C
ON
ST
AN
TE
FA
TO
R D
E C
OR
RE
ÇÃ
O
1 =
2 =
3 =
1 =
2 =
3 =
= 9,8697
= 39,
= 88,8264
1 =
2 =
3 =
1 = 0,8350
2 = 5,2321
3 = 14,6470
1 = 0,5596
2 = 3,5065
3 = 9,8161
= 3,5160
= 22,0345
= 61,6972
1 =
2 =
3 =
1 = 1,3283
2 = 7,1773
3 = 17,7200
1 = 0,8902
2 = 4,8101
3 = 11,8756
= 5,5933
= 30,2258
= 74,6389
1 =
2 =
3 =
1 = 3,6613
2 = 11,8640
3 = 24,7470
1 = 2,4537
2 = 7,9510
3 = 16,5850
= 15,4182
= 49,9649
= 104,2477
1 =
2 =
3 =
1 = 5,3129
2 = 14,6430
3 = 28,7000
1 = 3,5606
2 = 9,8135
3 = 19,2342
= 22,3729
= 61,6728
= 120,9032
1 =
2 =
3 =
= Fator de Correção;
= Frequência natural;
= Frequênica natural adimensional.
Fonte: Elaborada pelo Autor.
A.3.1 Determinação do fator de correção
O fator de correção é determinado através da relação: , e
esta relação, com valores anteriormente descriminados, resulta na tabela A.2:
L
L
L
L
L
172
Tabela A.2: Tabela demonstrativa da determinação dos fatores de correção das frequências naturais obtidas pelo
ANSYS para as vigas demonstradas neste trabalho.
Frequências
Naturais
(adimensional)
Solução
ANSYS: MEF
Solução
Analítica: SAVF
1 =
2 =
3 =
1 =
2 =
3 =
1 = 0,5596
2 = 3,5065
3 = 9,8161
1 =
2 =
3 =
1 = 0,8902
2 = 4,8101
3 = 11,8756
1 =
2 =
3 =
1 = 2,4537
2 = 7,9510
3 = 16,5850
1 =
2 =
3 =
1 = 3,5606
2 = 9,8135
3 = 19,2342
1 =
2 =
3 =
= Fator de Correção.
= Frequênica natural adimensional.
Fonte: Elaborada pelo Autor.
A.4 CONCLUSÃO
A solução encontrada pelo ANSYS foi idêntica a solução analítica, utilizando-se um
fator de correção, o qual é a razão entre a solução analítica e os valores determinados pelo
ANSYS, mostrando uma relação linear entre os valores.
L
L
L
L
L