Análise de Tensão

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Capítulo 2 – Análise de tensãoCapítulo 2 – Análise de tensão

2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregadoum membro arbitrariamente carregado

Considere um corpo submetido às cargas F1, F2, F3, Fn como mostra a figura 2.1.

figura 2.1

2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado membro arbitrariamente carregado

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A natureza da distribuição de tensão em um ponto “o” pertencente a um plano não é uniforme, porém, qualquer força distribuída sobre uma pequena área A em torno do ponto de interesse “o” pode ser substituída por uma força resultante Fn e um conjugado n estaticamente equivalente, como mostra a figura 2.1.

Note que as linhas de ação de Fn e de n pode não coincidir com a direção de n

figura 2.1


33

As tensões resultantes no ponto “o” são dadas por:

0

nnn

A

Fσ lim

A

0

ntn

A

Fτ lim

A

Como a área A é muito pequena, o momento n tende a se anular quando a distribuição de tensão se torna mais uniforme.

Considere que a direção normal do plano seja a direção x como mostra a figura 2.2. Neste caso temos que:

0

nx

A

Fτ lim

A

figura 2.2


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Analisando-se a distribuição de tensão em outros planos perpendiculares a , através do ponto “o”, determinando-se um cubo elementar submetido a um estado triaxial de tensão como mostra a figura 2.3.

figura 2.3


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A convenção de índices para as tensões é a seguinte:

a)As tensões normais aqui representadas pela letra e que tem um único índice para indicar a direção normal do plano que atuam.

b)As tensões tangenciais aqui representadas pela letra grega seguida de dois índices, onde o primeiro índice indica a direção normal do plano que atuam e o segundo índice indica a direção dos mesmos.

2.2 – O estado plano de tensões2.2 – O estado plano de tensões

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Pode-se obter uma boa noção da natureza da distribuição de tensões examinando um estado de tensões conhecido como estado bi-dimencional ou estado plano de tensões. Para este caso, admite-se que duas faces paralelas do elemento infinitesimal da figura 2.4 estão livres de tensões. Para fins de análise, fazemos com que essas faces sejam perpendiculares ao eixo z. Assim, z = zx = zy = xz = yz = 0.

Neste caso, a representação do elemento num esquema bi-dimencional é mais conveniente (Fig. 2.4).

figura 2.4

2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões

77

Deseja-se obter as tensões normais e de cisalhamento n e nt referentes a um plano arbitrário (cuja normal está orientada a um ângulo em relação ao eixo de referência) que passa por um ponto com as tensões conhecidas x ,ye xy = yx

Considere o estado plano de tensões para a figura 2.5.a, onde a linha tracejada A-A representa o traço de um plano qualquer que passa pelo ponto.

Na Fig. 2.5.b têm-se o diagrama de corpo livre de um elemento na forma de cunha, no qual as áreas da face são A para a face inclinada (plano A-A), A cos para a face vertical e A senpara a face horizontal .

As forças ilustradas no diagrama de corpo livre (fig. 2.5.b) são decompostas segundo os eixos n e t.

figura 2.5

(a)

(b)


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A Fig. 2.6.a ilustra as forças devido às tensões normais x ,ydecompostas segundo os eixos n e t. Enquanto que a fig. 2.6.b ilustra as componentes das forças devido às tensões de cisalhamento xy e yx onde

(a) (b)

Fig. 2.6


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O somatório das forças na direção n fornece:

Uma vez que xy e yx:

ou, em termos de ângulo duplo:

O somatório das forças na direção t fornece:

da qual

ou, em termos de ângulo duplo:

2.1

2.2


1010

As equações 2.1 e 2.2 fornecem um meio para determinação das tensões normal e de cisalhamento em qualquer plano cuja normal externa seja perpendicular ao eixo z e esteja orientada em um ângulo em relação ao eixo de referência.

Quando forem usadas essas equações, as convenções de sinal utilizadas em seu desenvolvimento devem ser seguidas rigorosamente; caso contrário, pode-se obter resultados errados.

As convenções de sinal podem ser resumidas de seguinte maneira:

1 – As tensões trativas são positivas, as tensões compressivas são negativas;2 – Uma tensão de cisalhamento é positiva se estivera apontada para cima no

lado direito, no estado plano de tensões. Caso contrário serão negativas.


1111

3 – Um ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo de referência x é positivo. Inversamente, os ângulos medidos no sentido horário a partir do eixo de referência x são negativos.

2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão 2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal normal

1212

As equações 2.1 e 2.2 de transformação para o estado plano de tensões fornecem um meio de se determinar a tensão normal n e a tensão de cisalhamento nt em planos diferentes que passam por um ponto de um corpo sujeito a um carregamento.

Tensão normal n :

Tensão de cisalhamento nt :

(2.1)

(2.2)

As maiores tensão possíveis (tanto normal quanto de cisalhamento) e os planos em que atuam são de particular interesse, uma vez, que, geralmente, estão diretamente ligadas a uma falha estrutural.

2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal

1313

Plotando as curvas de n e nt sob um mesmo gráfico verifica-se que a tensão de cisalhamento é nula para sobre planos que estão sujeitos ao valor máximo e mínimo de tensão normal, conforme exemplo da figura 2.7:

O valor máximo e mínimo (planos principais) ocorrerão para valores de para os quais dn/d = 0, resultando em:

(2.3)

figura 2.7

Os planos livres de tensão de cisalhamento são conhecidos como planos principais e as tensões normais que ocorrem nesses planos são as tensões principais.

ou

nx y xy

d( )sen2 2 cos2 0

d

σσ σ θ τ θ

θ

2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão 2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normalnormal

1414

Como tg = tg(2 +180), existem dois valores de 2p que atendem à Eq. 2.3, conforme fig. 2.8. Portanto, os dois valores de p são defasados de 90º, e os planos das tensões máxima e mínima são mutuamente perpendiculares.

fig. 2.8

A duas tensões principais podem ser determinadas a partir da Eq. 2.3, conforme segue abaixo:

(2.4)

Pode ser demonstrado que 1 + 2 = x + y = + ( + 90º), ou seja, que a soma das tensões normais que atuam em planos ortogonais entre si, é constante.

2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto

1515

A tensão de cisalhamento máxima no plano xy, p ocorre sobre os planos localizados pelos valores de para os quais dnt/d = 0, resultando em:

(2.5)ou

ntx y xy

d( )cos2 2 sen2 0

d

τσ σ θ τ θ

θ

A tensão de cisalhamento máxima podem ser determinadas a partir da Eq. 2.5, conforme segue abaixo:

Outra relação importante é obtida fazendo a subtração das tensões principais, 1 - 2 da equação 2.4 e comparando com equação 2.6, conforme segue:

(2.6)

(2.7)


1616

Outra relação importante é obtida relacionando as Eq. (2.5) e Eq. (2.3):

p

1tg2

tg2τθ θ → o

p2 2 90τθ θ op 45τθ θ →

O que indica que os planos de cisalhamento máximo estão defasados de 45º.

Para um estado plano de tensão, a terceira tensão principal é nula, ou seja, 3 = 0.

Existem 3 casos a serem analisados. Conforme descrito nos slides seguintes.


1717

1)1implica em máx e mín

max min 2max

2max

0

2 2

2

σ σ στ

στ

(2.8)

Atuando em planos defasados de 45º dos planos de direção principal 3 e 2. Nestes planos atua uma tensão normal dados pela Eq. 2.9.

max min 2n2,3

2n2,3

0

2 2

2

σ σ σσ

σσ


)1implica em máx1 e mínonde

max min 1 2max 2 2

σ σ σ στ

Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 2. Nestes planos existem tensões normais dadas por:

x y1 2n1,2 2 2

σ σσ σσ


)1implica em máx1 e mínonde

max 1max

0 0

2 2

σ στ

Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 3. Nestes planos existem tensões normais dadas por:

1 3 1n1,3 2 2

σ σ σσ

1max 2

στ →

2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões

O círculo de Mohr consiste em um círculo onde as coordenadas de cada ponto deste círculo representam as tensões normais e tangenciais em um plano que passa pelo ponto submetido a tensões e onde a posição angular do raio fornece a orientação do plano.

Para entender como funciona o círculo de Mohr. reveja as Eq. 2.1 e 2.2:

(2.1)

(2.2)

Elevando as Equações ao quadrado, somando as expressões obtidas e simplificando, obtém-se

(2.3)2 2

x y x y2 2n nt xy2 2

σ σ σ σσ τ τ


Percebe-se que a eq. 2.3 se trata da equação de círculo, conforme comparação abaixo.

Fig. (2.9)

2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensõesPara efeito de análise consideremos os componentes de tensão mostrados na Fig 2.10(a) com x maior do que y e plotando na Fig. 2.10(b) os pontos que representam as tensões dadas.

Fig. (2.10)

(a)

(b)


Façamos algumas observações:

• Os planos vertical e horizontal são determinados pelos pontos V e H da fig. 2.10(a), respectivamente.

• O ponto H é determinado pelas tensões sobre o plano horizontal que passa pelo ponto.

• A linha CV representa o plano vertical da Fig. 2.10(a) que passa pelo ponto submetido a tensões a partir do qual o ângulo é medido, ou seja, estabelece a referência zero para o ângulo. No sentido horário é negativo e no sentido anti-horário é positivo.

• As coordenadas de cada ponto do círculo representam n e nt para um plano particular de tensão.

• A intersecção do círculo com os eixos das abcissas, determina as tensões principais.

2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões• A abcissa representa n e a ordenada representa nt para demonstrar essa afirmação, desenhe qualquer raio CF na Fig. 2.10(b) a um ângulo 2, no sentido anti-horário a partir do raio CV. Da figura Fica aparente que: OF’ = OC + CF cos(2p – 2)

E como CF é igual à CV, a equação anterior reduz-se a:

OF’ = OC +CV cos2p cos2 + CV sen2p sen2

Com referência à fig. 2.10(b), observe que:

Portanto,

Esta expressão é idêntica à Eq. 2.1, portanto F’F = nt .


Como a coordenada horizontal de cada ponto do círculo representa a tensão normal n em algum plano que passa pelo ponto, a tensão normal máxima do ponto é representada por OD, e seu valor é:

Que está de acordo com a equação 2.4.

2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensõesProcedimento para desenhar e usar o ciclo de Mohr para obter informações específicas sobre as tensões pode ser resumido da forma que segue: 1. Escolha um conjunto de eixos de referência x-y.

2. Identifique as tensões x, y , e xy = yx.

3. Desenhe um conjunto de eixos de coordenadas -com e positivos para a direita e para cima, respectivamente.

4. Plote o ponto (x, – xy) e chame-o de ponto V (plano vertical).

5. Plote o ponto (y, xy) e chame-o de ponto H (plano Horizontal).

6. Desenhe uma linha entre V e H. Essa linha determina o centro C e o raio R do círculo de Mohr.

7. Desenhe o círculo

8. Uma extensão do raio entre C e V pode ser identificada como o eixo x ou a linha de referência para as medidas de ângulos (i.e., = 0o).

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