K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 1 Anlise de Sinais e Sistemas Prof. Dr. K. Z. Nbrega K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 2 Programa Resumido Definio de Sinais e Sistemas Tipos e Operaes sobre Sinais Tipos e Propriedades dos Sistemas Definio de um SLIT Representao de um sistema por EDO e ED Convoluo e suas aplicaes Anlise de Fourier: Srie e Transformada Anlise de Transformada de Laplace Anlise de Transformada Z K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 3 Bibliografia 3 B. P. Lathi. "Sinais e Sistemas Lineares. 2 edio, Editora Bookman, 2004. Simon Haykin, Barry V. Veen, "Sinais e Sistemas. Editora Bookman, 2002. Hsu, Hwei, "Sinais e Sistemas Coleo Schaum. 2 Edio, Editora Bookman, 2000.Kamen, Edward W., Heck, Bonnie S. Fundamentals of Signals and Systems. Prentice_Hall. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 4 Informaes Adicionais 4 Falta de base matemtica Procurar as inmeras apostilas disponveis na rede; Procurar o professor Pouco a vontade com Matlab Fazer revises de: polinmios, nmeros complexos, EDO, etc. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 5 Introduo Definir sinais e sistemas, no contexto da engenharia;Apresentarnoesbsicasdeanlisedesistemas, especialmente os lineares e invariantes no tempo; Apresentaraoalunoferramentasmatemticasbsicas,que servemdeanliseparaprojetos,demodelagema prototipagem; Estimularoaprender,especialmentenasrelaestempoe freqncia .K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 6 Sinais Os sinais so componentes bsicos em nossas vidas.Ex:sinaisdeudioouvoz(analgicosoudigitais);tensese correntes em um circuito eletrnico; sinais de vdeo; temperatura; presso arterial, flutuao diria das cotaes em bolsas, etc.Conformenotado,anaturezafsica,inerenteacadasinal, pode ser diversa, i.e.,eltrica, mecnica, virtual, etc. Desta forma, trabalhar com os sinais, muitas vezes, envolve conversodesistemas(eletromecnicos,optoeletrnicos, mecnico-ptico,digital-ptico),dacabeumaimportante observao: A teoria de estudo de sinais nica, e a linguagem matemtica a utilizada para uniformizar o estudo, independente da rea de aplicao. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 7 Definies Sinal Funo de uma ou mais variveis, a qual veicula-se informaes sobre a natureza de fenmenos fsicos. ATENO: Definido como uma funo matemtica, o tratamento e a manipulao de sinais seguem as mesmas regras da matemtica de funes. Na Engenharia Eltrica, os sinais podem ser classificados sob diferentes aspectos. Dentre eles, podem-se destacar: Determinsticos x Aleatrios Contnuos x Discretos Analgicos x Digitais Peridicos x Aperidicos Potncia x Energia K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 8 Definies SinalDeterminsticoSinalquenopossuiincertezaacercado seu valor em qualquer instante. SinalAleatrioSinalqueexisteincertezaacercadeseuvalor em algum instante. Nessaclassedesinais,importantedestacarotipode incerteza: probabilstica ou nebulosa (fuzzy) SinalContnuoSinalnaqualsepodemedirseuvalorem qualquer instante de tempo.Emoutralinguagem:osinalcontnuoaquelenaqualsua varivel independente contnua, i.e., t e 9. Ex: temperatura ambiente. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 9 Definies Sinal Discreto Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em alguns instantes de tempo.Emoutralinguagem:osinaldiscretoaquelenaqualsua varivel independente discreta, e representado como x[n].Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora Em ambos os casos, sinal discreto e contnuo, os valores do sinal,x(),podemsercontnuosoudiscretos,queseriam, respectivamente, sinais analgicos e digitais.Sinal Analgico Sinal cujos possveis valores assumidos so um subconjunto de 9 (se real) ou de (se complexo), i.e., x(t)e 9 ou x(t) e . Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 10 Definies SinalDigitalSinalcujospossveisvaloresassumidosso contveis, ou finitos valores.Ex: uma sequencia de bits. Adiferenaentrecontnuoxdiscretodizrespeitoavaloresreais ou discretos da varivel independente, t, respectivamente. t ou n. Por outro lado, a diferena entre analgico x digital diz respeito ainfinitosoufinitosvaloresassumidospelafuno,x(t), respectivamente. x(t) ou x[n]. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 11 Definies SinalPeridicoSinalcujoseucomportamentoserepete indefinidamente aps um determinado perodo. Adefiniodesinaisperidicosvlidaindependentedo sinalsercontnuooudiscreto,bemcomodeleseranalgicoou digital. Matematicamente, um sinal contnuo(discreto) se: x(t+T)=x(t)(x[n+N]=x[n]),(1) ondeT(N)operododosinal,esendoomenornmeroreal (inteiro) positivo que satisfaa Eq. (1). Orecprocodoperodofundamentalchamadode frequencia fundamental f=1/TK. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 12 Definies Umaperguntacomumquesurgeaosetrabalharcomsinais peridicosaseguinte:Asomadedoissinaisperidicosum novo sinal peridico? De fato, isto somente acontecer se rmTT=21para o caso contnuo oupara o caso discreto rmNN=21ondeT1eT2 soosperodosdossinaisx1(t)ex2(t), respectivamente,N1eN2 osperodosdossinaisx1[n]ex2[n], respectivamente, e m e r nmeros inteiros.Casoasequaesacimasejamsatisfeitas,operododonovo sinal ser dado por: 1rT T =ou 1rN N =K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 13 Definies Ex: Prove as relaes encontradas no slide anterior. Ex:Indiqueseosinalx(t)peridicoouno.Emcaso afirmativo, calcule o perodo. ) 2 cos( ) ( ) ( t t sin t x + = t t) 2 cos( 2 ) ( ) ( t t sin t x = tt je t x25 , 0 ) ( =) cos( ) (10t n A t xnn == eK. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 14 Operaes sobre sinais Conformevistoanteriormente,sinaissonadamaisque funese,comotal,podemsermanipuladosseguindotrstipos principais de operaes, e suas combinaes: deslocamento temporal; escalonamento temporal; reflexo temporal. Antesdeestudarasoperaesacimacitadas,caberesgataro significadoemportugusdealgunstermosmatemticos,que sero utilizados at o fim deste curso, devendo ficar claro desde j o significado dos mesmos. Vejamos a tabela contendo alguns: K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 15 Operaes sobre sinais MatemticaPortugus t instante de tempo qualquer ou instante atual * t 2 dois segundos antes do instante atual t +2 dois segundos depois do instante atual -t Instante de tempo reverso t e 9 para todo instante de tempo (t) calculado em um instante de tempo qualquer s(t) sinal s calculado em um instante qualquer de tempo s() o valor do meu sinal s calculado em um instante .... ou o sinal s em ... s(t)=5 sinal s vale 5 ousinal s para todo instante de tempo 5 ousinal calculado como 5 x(t) entrada de um sistema em um instante qualquer de tempo ou valor do sinal de entrada em um instante de tempo qualquer.y(t) sada de um sistema em um instante qualquer de tempo valor do sinal de sada em um instante de tempo qualquer.K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 16 Operaes sobre sinais Deslocamento temporal Dado um sinal qualquer, x(t), a operao de deslocamento temporal est associada a adiantar ou atrasar tal sinal, sendo representada por x(t-a). a>0 deslocamento direita, ou atraso, do sinal. a0. a < 1 expanso do sinal. a > 1 compactao do sinal. Para um sinal temporal, tal propriedade tem sua importncia associada velocidade com a qual o sinal se repete. Por exemplo, se considerar x(t) como a reproduo de uma fita cassete, x(2t) ir reproduzir o mesmo sinal na metade do tempo. Por modificar a escala do tempo, t, o escalonamento temporal modifica tambm a distribuio do espectro de frequencia, f, deste mesmo sinal, podendo suprimir ou adicionar freqncias. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 25 Operaes sobre sinais x(t)y(t)=x(2t) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Sada, y, em um instante qualquer, (t) Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a sada y(t). Com y(t)=x(2t). Asadadosistema,y,emuminstantequalquer,(t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 26 Operaes sobre sinais Vejamos, agora, como se d o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(2t). Asadadosistemaemum instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t). O que se deseja construir?A sada, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve-se achar quanto vale a sada, y t=-3t=-2t=-1t=-0,5t=2t=0t=0,5t=1 t K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 27 Operaes sobre sinais Com base no grfico anterior, observa-se que a sada y(t) est compactadadeumfatorde2comrelaoentrada,x(t). Lembrando que y(t)=x(2t). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu entender o que est escrito em y(t)=x(2t), ou seja: Asadadosistemaem uminstantequalquer, y(t),vale,=,aentrada,x, nodobrodesteinstante, (2t). Aentradadosistema,x, em um instantequalquer, (t),correspondesada, y, na metade desse tempo (t/2). , ou em outras palavras x(t)=y(t/2) K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 28 Operaes sobre sinais x(t)y(t)=x(t/2) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Sada, y, em um instante qualquer, (t) Vejamos,agora,oqueacontececomumsistemadotipo: y(t)=x(t/2). Asadadosistema,y,emuminstantequalquer,(t), vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 29 Operaes sobre sinais Vejamos, agora, como se d o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2). Asadadosistemaemum instante qualquer, y(t), vale, =, aentrada,x,nametade daquele instante, (t/2). O que se deseja construir?A sada, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve-se achar quanto vale a sada, y t=-3 t=-2t=-1t=2 t=0 t=1 t K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 30 Operaes sobre sinais Com base no grfico anterior, observa-se que a sada y(t) est expandidodeumfatorde2,comrelaoaosinaloriginal,x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu entender o que est escrito em y(t)=x(t/2), ou seja: Asadadosistemaem uminstantequalquer, y(t),vale,=,aentrada,x, nametadedestetempo, t/2. Aentradadosistema,x, em um instantequalquer, (t),correspondesada, y,nodobrodestetempo (2t). , ou em outras palavras x(t)=y(2t),K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 31 Operaes sobre sinais Emresumo,aoperaododeslocamentopodesercolocada como: K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 32 Operaes sobre sinais ReflexotemporalDadoumsinalqualquer,x(t),aoperaode reflexotemporalestassociadaaoreflexodosinalcomrelao ao eixo da ordenada, gerando x(-t). x(-t) reflexo do sinal x(t). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 33 Operaes sobre sinais x(t)y(t)=x(-t) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Sada, y, em um instante qualquer, (t) Paraentendermelhoroqueacontece,assumamosumsistema cuja entrada vale x(t) e a sada y(t). Com y(t)=x(-t). Asadadosistema,y,emuminstantequalquer,(t), vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 34 Operaes sobre sinais Vejamos, agora, como se d o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(-t). Asadadosistemaemum instantequalquer,y(t), vale,=,aentrada,x,no opostodaqueleinstante,(-t). y(t) K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 35 Operaes sobre sinais Emboraexistamastrsoperaesbsicasvistas anteriormente,naprtica,entretanto,maiscomumescrever combinaes destas.Paraisso,pode-seseguiroseguinteesquema,paraocaso genrico x(at b): 1. Deslocar x(t) por b para obter x(t-b)= m(t); 2. Efetuar o escalonamento de a sobre m(at). Ex:Mostreporquepode-seefetuarospassos1e2acimapara generalizar o comportamento de um novo sinal, y(t)=x(at-b). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 36 Operaes sobre sinais Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operaes: x(-t-2), x(-2t), x(-t+2), x(t/3-2), x(-2t +3), x(2(t +1)), x(-2(t+1)). K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 37 Alguns sinais teis No estudo de sinais fundamental o conhecimento de alguns sinais bsicos, como degrau, impulso unitrio e exponenciais. Em seguida, vejamos as definies matemticas e suas representaes grficas. Degrauunitrio,u(t)Especialmentetilparadescreversinais comdiferentesdescriesmatemticasemdiferentessegmentos detempo.Almdisso,umaoutraaplicaoestrelacionadaa situaesemqueumsistema,oumesmoumsinal,mudade comportamento instantaneamente. =0 t , 00 t , 1) (t uK. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 38 Alguns sinais teis Impulsounitrio,o(t) uma das mais importantes funes no estudode sinais esistemas.Existem diversas formasdedefin-lo, poisoimportantenoasuaforma,masasuapropriedadede quesuaduraoefetivatendeazeroenquantoqueasuarea permaneceunitria.Destemodo,osinalimpulsopodeser denominadocomoumafunogeneralizada,ouseja,oseuefeito mais importante que os seus valores. == =} + 1 ) (0 t , 0 ) (dt ttooK. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 39 Alguns sinais teis Naprtica,afunoimpulsopodeserdefinidadediversas maneiras. Abaixo, esto algumas ilustradas. Funoexponencial,estConsiderandos=o+je,pode-se utilizartalformaparadescreverumasriedeoutrossinais especialmente teis. So eles: 1. Constante (s=0) 2. Uma exponencial monotnica eot (e=0) 3. Senides (o=0, s=je) K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 40 Alguns sinais teis Sinaisreaisdenominadossenoidaispodemserescritosda seguinte maneira: eorecprocodoperodofundamentalT0 chamadofrequencia fundamental f0:) cos( ) (0u e + = t A t xonde A a amplitude (real), e0 a frequencia angular expressa em radianos por segundo, e u a fase expressa em radianos ou graus. O sinal senoidal peridico, com perodo fundamental: 002et= T(Hz) Hertz em medido ,100Tf =K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 41 Alguns sinais teis 4. Senides variando exponencialmente, eot.cos(et) K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 42 Alguns sinais teis Degrauunitriodiscreto,u[n]Seuusoeaplicaesso semelhantes ao degrau unitrio contnuo. =0 n, 00 n, 1] [n u Impulsounitriodiscreto,o[n]Seuusoeaplicaesso semelhantes ao impulso unitrio contnuo. ===0 n, 00 n, 1] [n oK. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 43 Alguns sinais teis ) cos( ] [0u + O = n A n xonde A a amplitude (real), O0 a frequencia angular e u a fase. O sinal senoidal peridico, com perodo fundamental: inteiro um sendo ,200k k NO=t SenidesdiscretasSeuusoeaplicaessosemelhantes senide contnua. ExponenciaiscomplexasdiscretasSeuusoeaplicaesso semelhantes s exponenciais vistas anteriormente. nC n x o = ] [Baseadonaafirmativaanterior,caberessaltarquepossvel definir sequencias discretas semelhantes s da figura seguinte. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 44 Alguns sinais teis Ex:DexemplosdeCeoquepossamrepresentarosgrficos acima. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 45 Alguns sinais teis Ex: Plote os sinais x(t)e x[n] abaixo. ) 4 ( ) ( = t u t x0 com ), ( ) ( > = k t k sin t xt j t je e t x2 2. 5 , 0 . 5 , 0 ) (+ =) 4 2 ( ) ( = t u t x) 4 ( ) ( = t t x ot j t t j te e e e t xt t 2 2. 2 . 2 ) ( + =te t x= ) (te t x5 , 0) (=2) (=te t x| 2 2 |) (=te t x) 4 ( ] [ = n u n x0 com ), ( ] [ > = k n k sin n xn j n je e n x2 2. 5 , 0 . 5 , 0 ] [+ =) 4 2 / ( ] [ = n u n x) 4 ( ] [ = n n x onn x= 2 ] [nn x= 5 , 0 ] [nn x 2 ] [ =nn x 2 ] [ =nn x ) 2 ( ] [ =nn x ) 5 , 0 ( ] [ =Ex: Quanto vale c + c*, onde c e Ex: Quanto vale x(t) + x(t) *, onde x(t) e K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 46 Descrio analtica de sinais grficos Nos exemplos anteriores foram dados vrios sinais e pedido para express-los graficamente. Em outras ocasies, na anlise de sinais em geral, tambm interessante o procedimento contrrio, i.e.,umavezinformadaaapresentaogrficaconhecera expresso analtica que o gerou. Vejamos em seguida como fazer isso.

Suponha >< s< s=c.c. , 0), (), (), () (3 33 2 22 1 1t t t xt t t t xt t t t xt xLogo: | | | |) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 33 2 2 2 1 1t t u t xt t u t t u t x t t u t t u t x t x + + =K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 47 Descrio analtica de sinais grficos que tambm pode ser escrita como: com ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 1t t u t f t t u t f t t u t f t x + + =| || | | || | | | ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) () (3 3 2 13 2 2 12 1 1t t u t f t f t ft t u t t u t f t ft t u t t u t f t x + ++ ++ = = ==) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) (2 3 21 2 21 1t x t x t ft x t x t ft x t fPorltimo,casoosinalsejaexpressodestaltimaforma, pode-se reconstru-lo como: Agora eu j sei!! Dado o grfico de x(t), basta usar estas duas frmulas para escrev-lo analiticamente! E essa para gerar o grfico em seu respectivo intervalo! K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 48 Descrio analtica de sinais grficos Paranohaverdvidas,possvelfacilmentedefinirum procedimento para o caso grfico expresso analtica. 1. Determine os pontos crticos, onde h mudana de funo; 2.Escreva os pontos em ordem crescente; 3. Escrevaosrespectivosdegrausparacadaponto(j ordenados); 4. Escreva,depreferncianogrfico,quantovalex(t)emcada intervalo acima; 5.Multipliquecadadegraupeladiferenaentreafuno posterior e a anterior ao respectivo ponto crtico. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 49 Descrio analtica de sinais grficos Domesmo,tambmpossvelparaocasoexpresso analtica grfico. 1. Determine os pontos crticos, a partir das funes degrau, e marque-os no grfico; 2. Reescreva o sinal x(t) ordenando os degraus de forma crescente; 3.Escreva a expresso que multiplica cada funo degrau; 4. Antes do primeiro ponto crtico, o grfico nulo; 5. No 1 intervalo, o grfico ser a 1 expresso citada anteriormente; 6. No2intervalo,ogrficoserasomada1e2expressescitadas anteriormente; 7. No3intervalo,ogrficoserasomada1,2e3expresses citadas anteriormente; 8. Continuar at acabarem todas as expresses. K. Z. Nbrega Anlise de Sinais e Sistemas 50 Descrio analtica de sinais grficos Ex: Dado o grfico em seguida, encontre o sinal analtico x(t). Determine os pontos crticos onde h mudana de funo 1 0 -1 Escrevaospontosemordem crescente -1 0 1 Escrevaosrespectivosdegrausj ordenados u(t+1) u(t)u(t-1) Escreva,depreferncianogrfico, quantovalex(t)emcadaintervalo acima; 0 1 t 0 Multipliquecadadegraupela diferenaentreafuno posterioreaanteriorao respectivo ponto crtico.u(t+1).(1 - 0) u(t) .(t - 1)u(t-1) .(0 t)