Anlise de lajes de concreto armado (Parte IX)

Anlise de lajes nervuradas por analogia de grelhaArtigo: #308 Aplica-se a: Eberick

AssuntoTradicionalmente, as lajes nervuradas sempre foram analisadas utilizando-se os mesmos procedimentos criados para lajes macias, utilizando tabelas baseadas na Teoria da Elasticidade ou o processo de Marcus, por exemplo. Essa metodologia consta em diversas bibliografias e encontra respaldo na prpria NBR 6118. Todavia, anlises experimentais confirmam que isso no vlido, pois essa geometria de laje no consegue desenvolver os mesmos momentos de toro de uma laje macia e, consequentemente, apresenta momentos fletores e deslocamentos maiores. Este artigo analisar a modelagem de lajes nervuradas utilizando o processo da Analogia de Grelha, mostrando como a representao desse tipo de laje atravs do cruzamento de faixas com seo T muito mais realista que o modelo tradicional e conduz a resultados bastante prximos dos experimentais. Este artigo o nono da srie "Anlise de lajes de concreto armado". No deixe de ler os artigos anteriores j publicados.

ArtigoConforme a NBR6118 (1978), so consideradas lajes nervuradas aquelas cuja zona de trao constituda por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de modo a tornar plana a superfcie externa, podero ser calculadas de acordo com o item 3.3.2.1 e 3.3.2.3 a 3.3.2.8, desde que se observem as prescries do item 6.1.1.3 . O mesmo item ainda diz: As nervuras devero ser verificadas a cisalhamento, como vigas se a distncia livre entre elas for superior a 50 cm e como laje em caso contrrio . O item 3.3.2.1 diz que: As lajes podero ser calculadas como placa no regime elstico com os valores do mdulo de deformao e do coeficiente de Poisson prescritos em 8.2.5 e 8.2.6, permitindo-se processos simplificados devidamente justificados. A NBR-6118 estabelece certas limitaes para que a laje possa ser considerada como laje nervurada dentre elas destacam-se :

A distncia livre entre as nervuras no deve ultrapassar 100 cm; A espessura das nervuras no deve ser inferior a 4 cm e a mesa ou revestimento da laje no deve ser menor que 4 cm nem a 1/15 da distncia livre entre as nervuras.

Figura 1 - Seo transversal de uma laje nervurada

O texto conclusivo do Projeto de reviso da NBR 6118, apresentado em agosto de 2001, prescreve o seguinte para as lajes nervuradas no item 14.7.7 : Lajes nervuradas so as lajes moldadas no local ou com nervuras pr-moldadas, cuja zona de trao constituda por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte. As lajes com nervuras pr-moldadas devem atender adicionalmente s prescries de norma brasileira especfica.

Todas as prescries anteriores relativas s estruturas de elementos placa podem ser consideradas vlidas desde que sejam obedecidas as condies do item 13.2.4.2. Na falta de resultados mais precisos, a rigidez toro deve ser considerada nula na determinao dos seus esforos solicitantes e deslocamentos. Quando essas hipteses no forem verificadas deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa como laje macia apoiada em grelha de vigas. O item 13.2.4.2 deste projeto de reviso diz o seguinte: "A espessura da mesa, quando no houver tubulaes horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distncia entre nervuras e no menor que 3 cm. O valor mnimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulaes embutidas de dimetro mximo 12,5 mm. A espessura das nervuras no deve ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm no devem conter armadura de compresso. Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condies:

para lajes com espaamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a verificao da flexo da mesa, e para a verificao do cisalhamento da regio das nervuras, permite-se considerao dos critrios de laje; para lajes com espaamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, exige-se a verificao da flexo da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificao como lajes se o espaamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura mdia das nervuras for maior que12 cm; para lajes nervuradas com espaamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje macia, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mnimos de espessura.

As limitaes previstas pela norma tm por objetivo eliminar os casos em que a laje nervurada teria que ser calculada como grelha plana, necessariamente. Nos casos em que a laje obedece s limitaes impostas pela norma, a laje poderia ser calculada como macia por qualquer procedimento clssico ou simplificado, plenamente justificado. No entanto com os recursos de clculo disponveis atualmente, pode-se calcular todas as lajes nervuradas por analogia de grelha ou pelo mtodo dos elementos finitos com resultados mais prximos ao comportamento da estrutura real. POLILLO (1977) apresenta um exemplo de clculo de uma laje nervurada quadrada que demonstra como o clculo feito como laje macia, sem a considerao correta da rigidez a toro pode levar a resultados imprecisos. A laje do exemplo tem 8,5 m de lado, simplesmente apoiada, e submetida a um carregamento distribudo de 7,64 kN/m. Os resultados para os momentos fletores mximos por ele obtidos no centro da laje so: Pelo Processo de Marcus: Calculado como uma grelha: Mx = My = 20,14 kN.m/m Mx = My = 34,50 kN.m/m

Figura 2 - Laje nervurada quadrada com 8,5 x 8,5 m

Figura 3 - Modelo de laje nervurada por analogia de grelha

A diferena entre os momentos mximos calculados pelo processo de Marcus e a teoria das grelhas de 70% . Esta diferena deve-se ao fato do processo de Marcus considerar a laje nervurada como uma laje macia. A maioria das tabelas de Marcus, apresentada nas bibliografias, calculada com uma reduo dos momentos fletores, atravs de um coeficiente de correo para que os valores se aproximem da teoria da elasticidade. Uma laje nervurada possui uma rigidez toro menor do que uma laje macia com a mesma altura. Esta reduo na rigidez faz com que os momentos de toro sejam menores do que os calculados para uma laje macia pela teoria da elasticidade. Por conseqncia, de acordo com a equao de equilbrio das placas, os momentos fletores e os deslocamentos sofrero acrscimos significativos.

A mesma laje do exemplo mostrado acima ser calculada por Analogia de Grelha com diversos parmetros dos coeficientes de rigidez. No primeiro modelo, cujos resultados esto na tabela abaixo, a rigidez das faixas ser calculada com o momento de inrcia polar proporcional ao momento de inrcia flexo.

Resultados da anlise de Analogia de grelha de uma laje nervurada - G/Ec = 04

O segundo modelo, cujos resultados esto na prxima tabela, a rigidez das faixas foi calculado com o momento de inrcia polar calculado com a equao 5.6 e com as barras com as caractersticas geomtricas da seo T entre cada nervura.

Resultados da anlise por Analogia de Grelha de uma laje nervurada, Jp das faixas calculado com a equao 5.6

Como pode ser observado, para uma rigidez toro nula, os dois modelos apresentam os mesmos resultados. Porm, para os demais valores de rigidez, os resultados com Jp calculado pela equao 5.6, apresentam-se mais elevados para os momentos e flechas. Isso deve-se ao fato de que a rigidez toro das faixas, como seo T, ser mais baixa do que a obtida pela relao Jp/Iyy . A tabela abaixo apresenta os resultados dos momentos e das flechas da laje nervurada calculada pela Teoria da Elasticidade atravs das tabelas de Bares, com dois valores de coeficiente de Poisson. Para o clculo da flecha mxima na laje, foi utilizada a altura total da laje, ou seja 24 cm. Com a tabela de Bares o clculo da flecha mxima feito com o coeficiente ws atravs da frmula:

Os resultados para as flechas utilizando a altura total da laje, so baixos, comparados com aqueles obtidos pela Analogia de Grelha.

Resultados pela Teoria da Elasticidade numa laje nervurada - altura total da laje h=24 cm

Resultados melhores podem ser obtidos adotando-se para a altura da laje, considerada como macia, um valor equivalente. Este valor de altura equivalente, pode ser calculado atravs da transformao da seo T de uma nervura em uma seo retangular equivalente, com uma largura igual distncia entre eixos de cada nervura, com o mesmo momento de inrcia.

O momento de inrcia da seo T igual a 13200 cm4 , uma seo retangular com uma largura de 50 cm, possui o mesmo momento de inrcia com uma altura equivalente igual a 14,7 cm. Com esse valor as flechas calculadas, apresentam valores prximos da Analogia de Grelha calculada pelo primeiro modelo.

Resultados pela Teoria da Elasticidade numa laje nervurada - altura equivalente heq = 14,7 cm

Segundo HAHN (1972), as normas alems exigem que o clculo de lajes nervuradas, cujas armaduras esto cruzadas, seja feito com o coeficiente de reduo toro de Marcus igual a um. Isto significa que a rigidez toro da placa desprezada. A rigidez toro no se reduz por completo, mas como demonstram os resultados da tabela 5.55, so to pequenos que a sua influncia pode ser desprezada no clculo. Portanto, o clculo de lajes nervuradas no pode ser corretamente analisado pelas teorias elsticas, considerando a laje como macia, mesmo que se utilize uma altura equivalente reduzida para considerar o fato das nervuras serem sees T. Nesse caso, a Analogia de Grelha utiliza os parmetros de rigidez da prpria seo T e parece ser um modelo mais conveniente, pois apresenta resultados a favor da segurana. O modelo de Analogia de Grelha, no caso de lajes nervuradas, tambm introduz algum erro, contra a economia, ao considerar a capa de concreto da laje como parte da viga T e, portanto, desconectadas entre si, permitindo um deslocamento relativo que no corresponde bem realidade, levando a resultados superiores aos da laje real, porm como j foi citado, a favor da segurana.

Faixas da laje nervurada

Anlises mais precisas, utilizando um modelo de elementos finitos para a capa de concreto e de grelha para as vigas das nervuras, podem ser feitas para obter resultados mais prximos do comportamento das lajes das estruturas reais. Esses resultados poderiam ser comparados com aqueles de testes de laboratrio em lajes nervuradas. Referncias bibliogrficas ltima modificao: 02/12/2009

Eng Jano d'Araujo Coelho - AltoQi Tecnologia

DICAS & MACETES1. DICAS E MACETES DE OBRAS E DE PROJETOS

1.1- Em lajes e vigas em balano, a armadura principal de flexo negativa, isto , colocada prxima face superior para absorver os esforos de trao. Observamos que aps a concretagem da pea, a retirada das formas, escoramentos ou cimbramentos deve ser iniciada prxima extremidade livre do balano e avanar em direo ao apoio, pois do contrrio a pea fica bi-apoiada e sujeita a uma flexo positiva, e no contando com a armadura adequada na face inferior para os esforos de trao que a aparecem, pode romper-se bruscamente.

1.2- ESCADAS Quando dimensionamos escadas, aplicamos a relao de Blondell (1680): p + 2 . e = 62 a 64 cm onde p = largura do piso ou passo e e = altura do degrau ou espelho da escada. A escada residencial confortvel e mais comum, aquela que tem o espelho igual a 18 cm, resultando para o passo p = 63 - 2 . 18 = 63 - 36 = 27 cm. Entre cada lance de 16 degraus, deve apresentar um patamar para descanso. Esta frmula decorre do fato de que o passo de um homem mdio andando, da ordem de p = 62 a 64 cm, e neste caso, e = 0. Ento, para o mesmo subir uma escada vertical, sem esforo, a frmula nos d o valor de 31 a 32 cm para o espelho, e neste caso, p = 0.

1.3- Quando as tubulaes eltricas e hidrulicas atravessam vigas, devem faz-lo abaixo da linha neutra na regio central da viga, e acima da linha neutra na regio prxima aos apoios intermedirios, isto , sempre na regio tracionada da seo da viga. Nestas regies, localizadas atravs do diagrama de momentos fletores, conta-se apenas com a colaborao da resistncia do ao, podendo-se colocar as tubulaes no espao ocupado pelo concreto.

1.4- Problema: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 metros de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4 metros, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro? Soluo: Em problemas que apresentam mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, utilizamos a "REGRA DE TRS COMPOSTA". Montamos uma tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (3. coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Colocamos flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamente proporcionais. Observe que, aumentando o nmero de pedreiros de 2 para 3, podemos diminuir o a nmero de dias. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1. coluna).

a

Aumentando a altura de 2 para 4 metros, devemos aumentar o nmero de dias. Portanto a a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 2. coluna).

Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes, de acordo com o sentido das setas. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: 9 x = 2 . 3 4 2

x =

9.8 6

x

= 12

Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias. Problema proposto: Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160 m de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125 m3 ? Resposta: 25caminhes.3

Problema proposto: Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas ? Resposta: 6 horas. Problema proposto: Em uma fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias ? Resposta: 32carrinhos.

Problema proposto: Uma equipe composta de 15 homens extrai em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se esta equipe for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo ? Resposta: 35 dias. Problema proposto: Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300 m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225 m ? Resposta: 15 dias. Problema proposto: Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h ? Resposta:10 horas por dia.

Problema proposto: Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400 m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos ? Resposta: 2025 metros.

1.5- Ao se detalhar armaduras de concreto armado, para uma mesma rea necessria de seo de ao, coloca-se mais barras de menor dimetro, no lugar de menos barras de maior dimetro. Desta maneira, tem-se uma rea de contato bem maior entre ao e concreto, melhorando bastante as condies de resistncia, aderncia e fissurao do concreto.

1.6- Um bom chute inicial para a altura de vigas de concreto armado de 8% de seu vo. Assim, uma viga de 5,00 m de vo deve ter uma altura de 40 cm.

1.7- Toda Norma fornece parmetros tericos e experimentais, que nos indicam os caminhos que devemos seguir em nossos clculos. Mas no devemos deixar de considerar tambm a experincia que o tempo nos ensina. De acrdo com o atual Cdigo Brasileiro do Consumidor, a lei manda primeiro "executar", e s depois o responsvel tcnico pode se "defender", isto , primeiro deve saldar o prejuzo e s depois entrar com recursos para se defender. Na ocorrncia de algum problema, os juzes no estaro interessados em saber se o responsvel tcnico seguiu ou no as Normas, mas sim em saber quem ir pagar os prejuzos.

1.8- INTERRUPTORES PARALELOS O esquema a seguir mostra a maneira correta de se instalar interruptores paralelos. Assim, evita-se a presena de "fases" na lmpada, sem riscos de choques quando fr preciso troc-la.

1.9- ESPAADORES OU DISTANCIADORES Dispomos de distanciadores plsticos para construo, especiais para o cobrimento das armaduras das estruturas de concreto armado (lajes, vigas, pilares, fundaes, reservatrios, etc.), que substituem com vantagens nossos tradicionais calos, pastilhas e caranguejos. Dois de seus www.jeruelplast.com.br . fabricantes encontram-se em www.coplas.com.br e

1.10- O ALCANCE DOS VOS Utilizando lajes mistas treliadas compostas de nervuras de concreto armado e lajotas cermicas, ganhamos um aumento de 10% em seu vo, quando comparamos com uma laje macia de concreto armado de mesma altura. Isto se deve presena dos sinuides que as trelias metlicas contm, que absorvem os esforos cortantes e do mais estabilidade laje.

E quando comparamos concreto protendido com concreto armado, tanto para lajes como para vigas de mesma altura, este aumento do vo bem mais significativo, chegando s vezes em torno de 30%.

1.11- TRAOS USUAIS PARA O CONCRETO Para se obter um concreto com resistncia fck = 20 MPa, slump 5 1, apenas com brita n. 1, misture: - 141 lts. de brita n. 1 (205 kg) - 108 lts. de areia grossa (133 kg - umidade 4%) - 50 kg de cimento (1 saco) - 26 lts. de gua - 0,13 lt. de aditivo (opcional) 3 - O rendimento ser de 168 lts, e o consumo de cimento de 298 kg/m de concreto. Para se obter um concreto com resistncia fck = 20 MPa, slump 5 1, com brita n. 1 e 2, misture: - 47 lts. de brita n. 1 (67 kg) - 105 lts. de brita n. 2 (153 kg) - 116 lts. de areia grossa (142 kg - umidade 4%) - 50 kg de cimento (1 saco) - 26 lts. de gua - 0,13 lt. de aditivo (opcional) 3 - O rendimento ser de 180 lts, e o consumo de cimento de 278 kg/m de concreto. Obs.: Dosagens executadas em laboratrio; os agregados areia e pedra britada so da regio da cidade de Araraquara-SP.

1.12- Uma soluo da arquitetura para escada com degraus em balano, engastados em uma viga.

1.13- J experimentou folhear as pginas amarelas de qualquer lista telefnica de nosso pas ? Voc ir observar que mais de 90% dos anunciantes so de alguma maneira ligados construo civil ! Logo, em todos os aspectos econmicos, sociais, empregatcios, produtivos, de exportao e mesmo arrecadadores de impostos, a construo civil o setor mais importante da nao, requerendo uma ateno muito maior do que lhe dedicaram at hoje.

1.14- ESFOROS NAS LAJES Em nosso livro "Clculo e Desenho de Concreto Armado", para calcular os esforos que agem nas lajes retangulares, adaptamos as TABELAS DE MONTOYA, que usam o mesmo princpio das TABELAS DE MARCUS e de CZERNY, isto , equacionam e resolvem o problema igualando as flechas nas direes X e Y. As TABELAS DE MONTOYA so mais completas, oferecendo carregamentos variveis alm das cargas uniformemente distribudas, e tambm detalham as lajes com bordas livres. Para quem est interessado no mtodo dos ELEMENTOS FINITOS para calcular lajes, ou em casos particulares de lajes apoiadas em apenas dois lados, lajes circulares apoiadas sobre pilares, lajes em forma de setor circular, lajes oblquas ou trapezoidais, MONTOYA traz o clculo dos esforos (momentos fletores e cortantes) e o detalhamento das armaduras a partir da pgina 544 de seu livro HORMIGON ARMADO, 14 edio de 2000.

1.15- DIMENSIONAMENTO DE CALHAS

1.16- Conhea o que h de melhor para o estudo e ajuste do oramento de sua obra ou projeto: http://www.engwhere.com.brp

1.17- LEITURA DO BOLETIM DE SONDAGENS Durante a execuo da sondagem percusso de simples reconhecimento do solo, procede-se o ensaio de penetrao (Standard Penetration Test - SPT), que relaciona a resistncia oferecida pelo terreno cravao do amostrador TERZAGHI de 1 3/8" e 2" - dimetros interno e externo respectivamente. Retirando-se as amostras, classifica-se o tipo do solo.

Para baixar o arquivo de AutoCAD que contm a tabela acima, clique aqui. Durante a cravao do amostrador, anota-se o nmero de golpes necessrios a fazer penetrar, individualmente, 3 trechos de 15 cm do amostrador, sendo o valor SPT aquele

que corresponde soma do nmero de golpes que fazem penetrar os ltimos 30 cm (os dois ltimos trechos de 15 cm). A prtica brasileira relaciona o SPT com a tenso admissvel do solo: A. Para fundaes rasas, ponta de estacas ou base de tubules: = SPT / 50 (em MPa) 0,5 (em tf/m2)adm

ou

adm

= SPT / 5 (em kgf/cm2)

ou

adm

= SPT /

- evita-se o uso de fundaes rasas, sempre que SPT < 3. B. Para estacas pr-moldadas cravadas: - a estaca atinge "nga" quando atravessa

SPT > 65 ao longo de seu fuste;

- a estaca atinge "nga" com a ponta apoiada em SPT > 20. Maiores detalhes, tais como "capacidade de carga do terreno, escolha do tipo de fundaes, anlise do fator custo" e muitos outros, encontram-se no livro "Clculo e Desenho de Concreto Armado". Para obt-lo, clique aqui .

1.18- PREVENES COM LAJES PR-MOLDADAS Muitos colegas j tiveram a infeliz oportunidade de receber vigotas de lajes prmoldadas em suas obras, de fabricantes inescrupulosos, com tentativas de enganao e fraude. Como todos sabem, a medida que os vos crescem, h necessidade de se colocar os chamados ferros adicionais positivos, tambm conhecidos como de reforo, alm dos dois ferros que j fazem parte da trelia metlica. Acontece que estes fabricantes colocaram apenas pequenas pontas de ferro nas extremidades das vigotas, tentando aparentar que l estavam os ferros adicionais em toda extenso da vigota. Elaboramos a Tabela abaixo, para que voc possa verificar, de acrdo com os vos e com as sobrecargas projetadas, se estes ferros de reforo so adequados. Para isto, quebre com cuidado um pouco do concreto bem no meio de algumas vigotas e verifique se eles l esto, bem junto do ferro positivo inferior da trelia. Indo mais alm, como acontece em toda pea de concreto armado, a armadura ser funcional e eficiente somente se estiver perfeitamente reta. Para que isto acontea, estes ferros adicionais devem estar dentro do concreto da vigota, amarrados junto ao ferro positivo inferior, que faz parte da trelia metlica. Estas amarraes devem ter espaamento mximo de 60 cm. Recuse lajes pr-moldadas que o fabricante entregou com os ferros adicionais soltos, para serem montados pelo pedreiro. E mais, isto est errado e pode causar problemas de resistncia, j que estes ferros estaro acima de sua correta posio e jamais ficaro retilneos. Na linguagem estrutural, estaramos reduzindo a altura til (d) da laje. Caso venham a ser tensionados ser tarde demais, pois neste momento a laje j cedeu e estar apresentando as indesejveis flechas.

Clique na Tabela ao lado para visualizla no formato PDF.

1.19- Cuidados a serem tomados no escoramento de lajes Em residncias trreas, aps a concretagem da laje de frro, costuma-se realizar a cura molhando-se o concreto endurecido nos trs primeiros dias, e observa-se que o excesso de gua cai, umedecendo a base onde esto apoiados os pontaletes do escoramento. Se o contra-piso ainda no foi executado, deve-se calar com tbuas ou teras e depois "chapuzar" com sarrafos estes pontaletes, que esto apoiados diretamente na terra molhada e sem resistncia, e que sem estas precaues permitiria a ocorrncia de recalques na laje. Em lajes pr-moldadas de sobrados, por ocasio da concretagem da segunda laje, no se deve retirar os pontaletes dos escoramentos da primeira laje em alguns pontos importantes, porque esta ir fletir com o peso da segunda sobre ela, anulando a contraflecha da segunda laje e trincando em seus apoios aps a desforma, ao voltar sua posio inicial. Quando o p direito grande (maior que 3,00 metros), os pontaletes dos escoramentos devem ser contraventados com tbuas ou sarrafos, para evitar sua flambagem.

1.20- APOIANDO LAJE PR-MOLDADA EM ALVENARIA Uma boa soluo para apoiar laje pr-moldada diretamente em alvenarias. A cinta criada ir absorver os momentos negativos, sendo que os esforos de trao ficam por conta da armadura negativa colocada na capa de concreto, e os esforos de compresso ficam por conta do concreto da cinta, que ocupa o espao das lajotas.

1.21- ALICERCES E FUNDAES Os alicerces e fundaes de obras residenciais, por mais dispendiosos que sejam, muito bem executados com blocos ou sapatas, brocas ou estacas, com vigas baldrame e tudo isto excepcionalmente impermeabilizado, tero na maioria das vezes seus custos situados no intervalo de 10% a 15% do custo total da obra. Ento com certeza no neste item do oramento da obra que se deve economizar. E o que pior: qualquer falha ou defeito na fundao ser de difcil reparo e ir comprometer definitivamente o que fr construdo encima dela.

1.22- REBAIXOS PARA TUBULAES NO PISO Em construes de sobrados, existindo condutores de guas pluviais que descem da cobertura, ou banheiros nos pavimentos superiores, que lanam suas guas e esgotos em canalizaes embutidas no piso do pavimento trreo, deve-se prever rebaixos nas vigas dos alicerces, que permitam alojar as curvas (longas) embutidas na alvenaria. Uma soluo, sem perfurar ou quebrar as vigas-baldrames, rebaix-las e assentar vrias fiadas de tijolos que ficaro enterradas, ou construir como mostra a figura abaixo, rebaixando apenas as estacas, blocos e vigas dos trechos por onde descem essas tubulaes.

1.23- ADENSAMENTO PERFEITO DO CONCRETO COM VIBRADOR DE AGULHA De modo geral, o concreto ideal aquele que apresenta uma mistura com a maior trabalhabilidade, o mais fraco atrito interno, com a quantidade mnima de gua. Mas concretos com pouca gua, ou secos, no podem ser colocados nas formas e adensados manualment e. Por isso foi preciso descobrir artifcios, dos quais o mais usado a vibrao. A vibrao tem por efeito, reduzir ou anular o atrito interno

entre seus componente s.

Adense com o vibrador de agulha sempre na vertical, at notar a subida da gua de amassamento e a sada das bolhas de ar do interior do concreto. Evite vibrao excessiva. O vibrador deve ser introduzido e retirado lentamente do concreto, para evitar a formao de vazios na massa. Deve estar sempre na vertical. Se estiver inclinado e for retirado com giro, provavelmente haver formao de vazios no visveis (bicheiras) embaixo dele.

Se para uma agulha de vibrador interno verificamos um raio de ao de 0,20m isto quer dizer que para vibrar completamente o concreto, devemos colocar sucessivamente a agulha a cada 30cm, de maneira que todo o volume seja efetivamente vibrado. A distncia de colocao deve ser 1 vez e meia a do raio de ao.

Se para uma agulha, achamos um raio de ao de 0,30m, isto quer dizer que para vibrar completamente o concreto, devemos colocla a cada 45cm.

O raio de ao aumenta com a potncia do vibrador (proporcionalme nte raiz quadrada). Um vibrador com uma potncia 4 vezes maior, apresenta um raio de ao que o dobro para a mesma frequncia.

As baixas frequncias (1.500 rpm) pem em movimento os agregados grados. As frequncias mdias (3.000 a 6.000 rpm) fazem vibrar os agregados mdios, as altas frequncias (12.000 a 20.000 rpm) fazem vibrar a areia e o cimento. A vibrao em baixa frequncia necessita de muita energia porque deve pr em movimento os agregados grados, a massa mais importante. Conclui-se que devemos empregar de preferncia a mais alta frequncia disponvel, pois ela adensa a argamassa que passa a envolver e lubrificar os agregados, ocupando todos os vazios, alm de ser o processo mais econmico.INICIANDO O ADENSAMENTO:

Preencha a primeira camada de concreto em toda a extenso da viga/laje/blocos, com uma espessura menor que o comprimento da agulha (geralmente 30 cm). Ao colocar o vibrador de agulha para vibrar a camada de cima, deve-se tomar cuidado para no vibrar novamente a camada de baixo, que apresenta uma consistncia firme, e se perfurada com a ponta do vibrador de agulha, correr srios riscos de obter vazios. Apenas a massa de concreto que deve ser vibrada. Evitar seu contato com as armaduras e com as formas, para no desloc-las de sua posio e evitar sua separao do concreto.

A finalidade da vibrao no de produzir apenas a liquefao do concreto, facilitando a colocao no lugar, mas ainda o adensamento. Este tem lugar pelo aumento da compacidade e com a sada do ar. O concreto, durante a vibrao, est praticamente liquefeito e seus gros maiores tm a tendncia de descer por fora da gravidade.OCORRE SEGREGAO

Da vibrao resulta agora um concreto estratificado, onde as pedras maiores ficam no fundo e a pasta de areia/cimento/gua fica na superfcie. Isto acontece quando o concreto est muito mido e a gua est dosada em excesso. Nos casos em que h pouca pasta, fenmeno inverso pode acontecer. A argamassa vai para o fundo da armao e os vazios se formam em cima, por falta de argamassa para envolver as pedras.

Portanto a relao argamassa/agregado grado deve ser dosada cuidadosamente, para que no concreto compactado todos os vazios sejam preenchidos.OUTROS CUIDADOS:

Evite os "caranguejos" metlicos. D preferncia aos distanciadores de plstico ou similares, para garantir o cobrimento mnimo das armaduras (barras e estribos). Molde sempre os corpos de prova para comprovar a resistncia do concreto. Na retomada da concretagem, a superfcie de emenda ou junta de concretagem dever ser raspada, picoteada e lavada com gua sob presso, tornando-se spera para receber adesivos e a nova camada.

Seguindo estes passos, a concretagem vai demorar digamos, 10% ou 20% a mais, mas em compensao seu concreto estar com excelente qualidade, sem bicheiras. Submetido a uma cura e secagem adequadas, poder ser classificado como de controle rigoroso.

2. MACETES GERAIS2.1- PERT-CPM Em um tempo onde a humanidade est preocupada com a crescente dificuldade de se conseguir empregos, onde os produtores, almejando diminuir seus custos para aumentar seus lucros e suas reservas, empregam a mnima quantidade de mo de obra, buscando sempre alternativas que do preferncia aos computadores, s mquinas e aos equipamentos, que esto bem desenvolvidos devido mecatrnica, a programao PERT-CPM vem ajudar e orientar nos servios onde a mo de obra indispensvel, ensinando como utiliz-la e at mesmo incorpor-la de um modo bem racional, para dela se obter a mxima produtividade. Esse mtodo no direto e pode requerer de vrios ajustes, combinaes e tentativas, mas de qualquer maneira um meio preciso para se encontrar uma soluo que apresente o mnimo tempo e o menor custo em uma obra ou programa que envolva vrias atividades. Assim, os produtores ficaro vontade para aplicar seus conhecimentos e a experincia adquirida sobre os servios a serem executados, e fazer com que rendam e funcionem de acordo com o planejamento, j que tero meios de gerenciar os tempos e os custos. Sobre este assunto, tentaremos dar uma pequena contribuio na seo Downloads , no item CONTROLE DE OBRAS. 2.2- Links interessantes Forum com assuntos sobre engenharia: http://forum.ecivilnet.com Tudo sobre LISP para AutoCAD: www.autolisp.com.br Programao em Delphi: www.activedelphi.com.br

Se quiser publicar uma dica ou macete neste mural, incluindo fotos, desenhos ou croquis, com/sem seus dados pessoais, clique aqui. Obrigado pela visita! home: www.robertomagnani.com.br Anlise de lajes de concreto armado (Parte I)

Modelos de anlise de lajes de concreto armadoArtigo: #218 Aplica-se a: Eberick

AssuntoEste artigo faz um resumo dos principais modelos utilizados para a anlise de painis de lajes de concreto armado, com nfase nos procedimentos utilizados pelo AltoQi Eberick. Aponta para os fundamentos tericos envolvidos e destaca alguns cuidados que devem ser tomados na interpretao dos resultados. Dentre estes, indica como grande fonte de discrepncia de resultados a diferena entre o comportamento de uma laje apoiada em vigas supostas indeformveis, calculada pelo processo de Marcus ou por uma tabela, e o comportamento de uma laje apoiada em vigas com sees usuais de projeto. Como apoio a este artigo, sero publicados, em sequncia, outros artigos complementares, aprofundando um pouco mais os assuntos aqui abordados.

ArtigoO clculo de pavimentos de edifcios, compostos por lajes e vigas, foi feito durante muito anos de maneira simplificada, considerando-se as lajes isoladas apoiadas em vigas rgidas. Isso se devia, principalmente, falta de recursos computacionais capazes de resolver o grande volume de equaes simultneas necessrias para analisar um pavimento como um todo. Hoje, apesar de existirem diversos programas capazes de realizar anlises com alto grau de refinamento, ainda h uma cultura acerca de resultados esperados para lajes que se baseia nas teorias simplificadas. No caso de um pavimento composto por lajes quadradas ou retangulares, com dimenses no muito diferentes entre si, e com vigas de apoio suficientemente rgidas, para que se possa considerar os apoios das lajes indeformveis, o procedimento antigo, ou simplificado, de se considerar as lajes como isoladas no leva a resultados muito diferentes daqueles obtidos com uma anlise do pavimento inteiro por Analogia de Grelha ou pelo Mtodo dos Elementos Finitos. Essas comparaes so vlidas enquanto todos os processos envolvidos limitam-se mesma premissa de comportamento elstico-linear dos materiais. Uma anlise mais completa, que incluiria a no linearidade fsica do concreto armado, exibiria outras diferenas nos resultados que no sero abordadas neste artigo. Existem diversos procedimentos para a anlise e dimensionamento de lajes com comportamento linear ou no-linear. Esses processos podem ser usados para analisar os deslocamentos, os esforos internos, os elementos de apoio e a capacidade de carga das lajes. Com a distribuio de esforos, tais como momentos fletores, momentos de toro e esforos cortantes, possvel dimensionar as armaduras e fazer a verificao das tenses nas lajes de concreto armado. Apesar de apresentarem resultados diferentes, muitas das variaes so cobertas pelos teoremas da anlise limite, que indicam que, para fins de dimensionamento no Estado Limite ltimo, vrias configuraes de esforos so possveis para uma mesma laje e todas encontram-se a favor da segurana. Outras questes, como a da flexibilidade dos apoios, envolvem premissas de modelo s vezes ignoradas com a possibilidade de levar a erros considerveis, que podem vir a superar a capacidade de redistribuio de esforos da estrutura.

Mtodos elsticosOs mtodos tradicionais para a determinao da distribuio de momentos em uma laje tm sido atravs de modelos elsticos. Tais mtodos baseiam-se na soluo da equao diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas solues limitam-se, contudo, a casos nos quais se tenham condies de contorno simples que levem a solues exatas. Por exemplo, uma laje retangular sobre apoios ideais submetida a um carregamento senoidal. Para se obter a soluo para um carregamento uniformemente distribudo, j necessrio fazer uso de uma srie numrica. Diversos autores de concreto armado incluram, em seus livros, tabelas para o clculo de lajes isoladas com vrias condies de apoio e carregamento. Lajes mais complexas no possuem uma soluo fechada pela Teoria da Elasticidade. Para resolv-las, deve-se fazer uso de procedimentos numricos que so viveis apenas em computadores. Destes, o mais conhecido o Mtodo dos Elementos Finitos. No Mtodo dos Elementos Finitos, a placa dividida em um nmero determinado de elementos. Cada elemento de placa possui propriedades de deformao flexo que so conhecidas com boa aproximao. O mtodo geral de anlise concentra as cargas nos ns dos elementos e estabelece a continuidade das rotaes e deslocamentos em cada ponto nodal, de modo a satisfazer as equaes de equilbrio e as condies de contorno requeridas. Utilizando-se um nmero razovel de elementos, possvel obter solues para praticamente qualquer geometria definida. O modelo pode conter todas as lajes de um pavimento e todas as vigas, analisando o comportamento do painel como um todo.

Figura 1 - Pavimento de edifcio em modelo de Elementos Finitos

O mesmo procedimento pode ser estendido para incluir outros comportamentos no elemento de placa alm do elstico, como, por exemplo, esforos axiais (elementos de casca), deformaes por cisalhamento, no linearidade fsica, mltiplas camadas, entre outros, formando as bibliotecas de elementos contidas nos programas comerciais que se baseiam nesse mtodo. Evidentemente, quanto maior for o nvel de sofisticao do modelo, maior ser o custo computacional necessrio para se obter uma soluo.

Analogia de grelhaDiversos mtodos aproximados de anlise de lajes tm sido propostos, desenvolvidos e usados ao longo dos anos. Muitos desses mtodos foram desenvolvidos antes da era dos computadores. A substituio de uma laje por uma srie ortogonal de vigas que se cruzam , provavelmente, uma das mais antigas propostas de soluo. Este procedimento no estritamente uma aproximao numrica da soluo elstica, como o caso do Mtodo dos Elementos Finitos, e a distribuio de momentos calculada desta forma necessitar de uma pequena redistribuio, devido ao comportamento inelstico, para alcanar a carga ltima. Pode-se provar, pelo teorema do limite inferior, que a soluo obtida encontra-se a favor da segurana. Da mesma forma como no Mtodo dos Elementos Finitos, ao se dividir a laje em um nmero suficiente de faixas, possvel reproduzir o comportamento de estruturas com praticamente qualquer geometria. Esta a base do processo da Analogia de Grelha utilizado pelo AltoQi Eberick. O modelo tambm pode conter todas as lajes de um pavimento e todas as vigas, analisando o comportamento do painel como um todo. Os resultados finais obtidos com um e outro mtodo so bastante semelhantes.

Figura 2 - Pavimento de edifcio em modelo de Analogia de Grelha

Influncia da flexibilidade dos apoiosUma comparao entre os resultados fornecidos pela Analogia de Grelha e o processo de Marcus para lajes retangulares (ou o uso de tabelas constantes em bibliografia) j pode resultar em discrepncias importantes. Em pavimentos de edifcios reais, as lajes esto apoiadas sobre vigas que so flexveis. Esta condio de apoio altera o campo de deformaes da laje e, como conseqncia, os esforos internos e as reaes de apoio. Nos processos para lajes isoladas, supe-se que os apoios sejam indeformveis. Na soluo por Analogia de Grelha, possvel considerar as vigas de apoio em conjunto com o modelo de grelha das lajes e analisar todo o conjunto como uma grelha plana. A laje e as vigas de apoio passam a ser, portanto, uma nica estrutura. Em painis de lajes contnuas, este modelo mais conveniente, obtendo-se uma configurao de deformao e esforos mais prxima da situao real em regime elstico. A soluo do problema de lajes sobre apoios flexveis pode ser obtida pela teoria da elasticidade, sendo apresentada apenas para alguns casos particulares com lajes isoladas. Por exemplo, na anlise de uma laje quadrada de 4x4 m com 10 cm de espessura, para diversas alturas de viga com largura fixa de 12 cm e altura variando de 500 cm at 26 cm, os resultados da flecha mxima no meio do vo variam de 0,56 cm at 1,61 cm e 3,52 cm para o caso de bordo livre. O

mesmo exemplo calculado por Analogia de Grelha apresenta resultados praticamente idnticos. Quando se consideram duas lajes justapostas, com uma viga central, ao reduzir a rigidez desta viga pode-se chegar a resultados nos quais o momento fletor sobre a viga positivo e no negativo.

Figura 3 - Influncia das vigas no modelo das lajes

Influncia da rigidez toroOutro item importante a influncia da rigidez toro (relativa ao momento de toro ou tambm chamado momento volvente das placas.) no comportamento de uma laje ou de um painel de lajes, ou mesmo no comportamento de todo o pavimento. Na formulao da Analogia de Grelha, pode-se estabelecer uma relao qualquer entre a rigidez toro e flexo das barras (respeitada a capacidade de redistribuio de esforos da laje), obtendo diferentes resultados. Usualmente, como no caso do AltoQi Eberick, procura-se calibrar essa relao para que os resultados aproximem-se o mximo possvel da soluo elstica. Por outro lado, no caso de lajes nervuradas (aquelas cuja zona de trao constituda por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de modo a tornar plana a superfcie externa), a rigidez toro da laje menor do que a de uma laje macia. Esse tipo de laje comporta-se claramente como uma grelha ortogonal de vigas T. Analisando-se a rigidez toro da seo equivalente T, observam-se valores bastante pequenos. Por esse motivo, a anlise de uma laje macia e outra nervurada, com as mesmas dimenses e carregamentos, resultam em momentos fletores completamente diferentes. A maior parte das tabelas disponveis e o processo de Marcus supem uma rigidez toro correspondente de uma laje macia. Se aplicadas diretamente a uma laje nervurada, resultaro em flechas e momentos fletores menores do que os reais. O texto conclusivo do Projeto de Reviso da NBR 6118 (2001), diferente do que faz a NBR 6118/78, em seu item 14.7.7 ("Lajes nervuradas"), determina que "Na falta de resultados mais precisos, a rigidez toro deve ser considerada nula na determinao dos seus esforos solicitantes e deslocamentos." Em suma, pode-se dizer que os processos simplificados para anlise de lajes isoladas fornecem resultados prximos aos da Analogia de Grelha (mais prximos tambm do real) enquanto se tem lajes retangulares macias com apoios muito rgidos. Lajes nervuradas ou apoiadas em vigas de seo usual podem fornecem resultados bastante diferentes. Diversos tpicos aqui descritos sero aprofundados nos prximos artigos, todos abordando a anlise de lajes de concreto armado. O prximo artigo ir tratar sobre os princpios da Teoria da Elasticidade necessrios para o entendimento dos processos elsticos de anlise. Referncias bibliogrficas ltima modificao: 02/12/2009

Eng Andr Luiz Banki - AltoQi Tecnologia

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Anlise de lajes de concreto armado (Parte II)

Anlise de Placas pela Teoria da ElasticidadeArtigo: #230 Aplica-se a: Eberick

AssuntoExistem diversos procedimentos para a anlise e dimensionamento de lajes em concreto armado. Dentre os vrios disponveis esto a teoria elstica, a teoria da anlise limite e as modificaes da teoria da anlise limite. Esses procedimentos podem ser usados para determinar os deslocamentos e os esforos nas lajes e nos elementos de apoio, bem como determinar a capacidade de carga ltima da laje. Neste artigo, sero apresentados alguns fundamentos sobre o mtodo da anlise de lajes pela teoria elstica, fornecendo parmetros para validao dos processos utilizados pelo AltoQi Eberick. Sero feitos tambm alguns comentrios sobre tabelas e sobre o Mtodo dos Elementos Finitos. A inteno apresentar apenas uma introduo e preparar o leitor para a pesquisa sobre o assunto em bibliografias mais especializadas.

ArtigoTeoria das placas em regime elsticoA Teoria da Elasticidade, na qual baseou-se inicialmente o clculo de placas, , como o nome diz, uma teoria elstica, cujas hipteses bsicas variam de acordo com o tipo de placa considerada. No caso de placas de pouca espessura, como o caso da maioria das lajes de edifcios, as hipteses bsicas, conforme TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKYKRIEGER, S. (1959) e SZILARD, Rudolph (1974) so as seguintes:

o material da placa elstico, homogneo e isotrpico; a placa indeformada plana; a espessura (h) da placa pequena em relao s outras dimenses (da ordem de 1/10); as deformaes angulares da superfcie mdia so pequenas comparadas unidade; os deslocamentos dos pontos da superfcie mdia so pequenos comparados com a espessura da placa (inferiores a 1/10, para que se possa considerar pequenas deformaes); as cargas dinmicas ou estticas so aplicadas perpendicularmente superfcie da placa; a configurao deformada da placa tal que linhas retas inicialmente perpendiculares superfcie mdia permanecem retas e perpendiculares; as deformaes devidas ao cisalhamento so desprezadas; a deformao da placa produzida por deslocamentos dos pontos da superfcie mdia perpendicular ao plano indeformado; as tenses normais superfcie mdia so desprezveis em relao s tenses no mesmo plano.

Usando-se estas hipteses e considerando-se um elemento de placa de dimenses dx e dy, submetido a uma carga distribuda q, o equilbrio obtido a partir dos esforos internos atuantes: momentos fletores M x e M y , momentos de toro M xy e Myx e esforos cortantes Qx e Qy , atuando nas faces do elemento.

Figura 1 Momentos fletores e de toro em um elemento de placa

Obtm-se as seguintes equaes, conhecidas como equaes diferenciais das placas em regime elstico:

onde: q = carga distribuda na placa por unidade de rea E = mdulo de elasticidade do material da placa (mdulo de Young) h = espessura da placa = coeficiente de Poisson D = rigidez da placa, dada por:

A equao 1 a equao diferencial das placas ou equao de Lagrange, em coordenadas cartesianas retangulares. Ela define o campo de deslocamentos da placa (varivel w) em funo das coordenadas x,y, da carga (q) e da rigidez (D) da placa. Portanto, os deslocamentos da laje calculados pela Teoria da Elasticidade dependem da dimenso da placa, das condies de contorno, do carregamento, do mdulo de elasticidade E do material (constante), da espessura da placa e do coeficiente de Poisson. Uma outra equao importante obtida a partir do equilbrio de um elemento de placa, submetido a uma carga distribuda q. O equilbrio conseguido com os esforos internos atuantes: momentos fletores Mx e My , os momentos de toro Mxy e Myx e os esforos cortantes Qx e Qy, atuando nas faces do elemento.

Figura 2 Foras cortantes em um elemento de placa

Obtm-se a equao 1.5, que a de equilbrio das placas. muito importante notar que esta equao independente do fato de a placa estar em regime elstico ou plstico, independente do coeficiente de Poisson e se a placa isotrpica ou ortotrpica.

eq(5) A soluo exata fechada de placas, obtida algebricamente atravs da soluo destas equaes diferenciais, restrita a poucos casos e, portanto, tem pouca finalidade prtica. Outras solues matemticas numricas disponveis para o problema de placas so:

soluo por sries simples; soluo por sries duplas trigonomtricas (conhecida por soluo de Navier).

Exemplo de aplicao utilizando sries trigonomtricasA seguir, apresenta-se um exemplo com a soluo matemtica exata de um problema de placa, conforme solucionado em TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S. (1959). Trata-se de uma placa retangular com carregamento senoidal distribudo, escolhido justamente para que se possa ter uma soluo da equao de Lagrange.

Figura 3 - Placa retangular simplesmente apoiada com carga senoidal

Uma placa retangular, conforme apresentada na Figura 1, est sujeita a um carregamento distribudo sobre toda a superfcie de acordo com a lei senoidal dada pela expresso:

eq(6) onde qo representa o valor mximo da carga no centro da placa. Substituindo este carregamento na equao de Lagrange obtm-se :

eq(7)

As condies de contorno para a placa simplesmente apoiada so: Para x = 0 e x = a Para y = 0 e y = b tem-se tem-se Mx = 0 My = 0 e e w=0 w=b

Usando as expresses para o clculo dos momentos:

E, como w = 0 nos bordos, tem-se

Pode-se mostrar que, para os lados paralelos a X e Y, as condies de contorno so: Para x = 0 e x = a tem-se w=0 e

eq(13) Para y = 0 e y = b tem-se w=0 e

eq(14) A soluo para a equao de Lagrange, que satisfaz todas as condies de contorno apresentadas, pode ser dada por:

eq(15) onde C uma constante que deve satisfazer a equao (6), a qual, substituda na equao (7), resulta em :

eq(16) Obtm-se, ento, um campo de deslocamentos, para a placa, dado por:

eq(17) Com a expresso que define o campo de deslocamento e utilizando as equaes (2), (3) e (4) que definem os momentos, obtm-se os campos de momentos fletores e de momentos de toro para a placa:

Como pode-se observar, mesmo a soluo para um caso simples bastante trabalhosa e precisa ser resolvida numericamente.

Limitaes conhecidas e recomendaesA soluo do problema de placas pelo caminho clssico limitada a um nmero relativamente pequeno de geometria de placas, de carregamentos e condies de contorno. Se essas condies forem complexas, a anlise em muitos casos impraticvel. Como a equao de Lagrange uma equao diferencial parcial de quarta ordem, torna-se muito difcil soluo de diversos casos prticos, especialmente quando os efeitos das deformaes dos elementos de apoio precisam ser levados em considerao. Entretanto, diversas tcnicas de anlise foram desenvolvidas para obter essas solues, em especial o uso de computadores e o Mtodo das Diferenas Finitas e o Mtodo dos Elementos Finitos permitem que solues da teoria elstica possam ser obtidas para sistemas de lajes com qualquer carregamento e quaisquer condies de contorno.

Comentrios sobre tabelasAntes do uso efetivo de programas computacionais, para o clculo de lajes em projetos de edifcios, a maioria dos casos era solucionada atravs de tabelas, tanto para as solues elastoplsticas como para as solues elsticas. Muitos autores de concreto armado incluram, em seus livros, tabelas para o clculo de lajes isoladas com diversas condies de apoio e carregamento, baseadas essencialmente nos procedimentos acima descritos. Algumas publicaes so especializadas exclusivamente em tabelas de placa, dentre as quais pode-se destacar as tabelas de BARES, Richard (1970) para placas de estruturas em geral e as de WIPPEL, H & STIGLAT, K (1966), muito usadas em projetos de lajes de pontes. Esses livros contm, em sua maioria, uma coleo de tabelas para o clculo dos momentos fletores e flechas mximas. Algumas tabelas apresentam os momentos de toro, esforos cortantes, reaes de apoio e foras concentradas nos cantos. Algumas tabelas apresentam apenas momentos fletores, sem indicar o coeficiente de Poisson adotado e, em alguns casos, os momentos fletores referem-se ao centro da placa sem a indicao de que pode existir um momento fletor mximo maior em outro ponto fora do centro. Uma das publicaes mais completas a de BARES, Richard (1970), para vrios coeficientes de Poisson entre 0 e 0,30, com tabelas para lajes retangulares que apresentam, alm dos momentos fletores no centro da placa, os momentos Mymax para =0. Para uma laje retangular com a relao entre o lado menor e o maior da ordem de 0.5, a diferena entre o momento mximo Mymax e o momento My no centro da placa pode chegar a 44%. As tabelas tm sido usadas, geralmente, para o clculo de lajes isoladas com condies de apoio simples, engastados ou livres. Para o clculo de painis contnuos de lajes apoiadas em vigas, o clculo atravs de tabelas restringe-se ao clculo de lajes isoladas com a utilizao de critrios para corrigir os esforos devido continuidade. No caso do apoio em vigas, a flexibilidade geralmente

desprezada, o que, em alguns casos, pode resultar em grandes diferenas nos valores dos esforos e nos deslocamentos verticais. Apesar dos programas de computador tornarem possveis as solues de painis de lajes de edifcios de um modo bastante eficiente, as tabelas para o clculo de solues elsticas de placas com carregamentos especiais, para o projeto de estruturas hidrulicas, como tanques, reservatrios, estaes de tratamento de gua e efluentes, continuam ainda a serem usadas com muita freqncia. A seguir, apresenta-se uma lista das bibliografias mais conhecidas, que so especializadas em tabelas de placas e outras que contm tabelas em seu contexto. Livros especializados em tabelas:

BARES, Richard. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1970. BARES, Richard. Tables for the Analysis os Plates, Slabs and Diaphragms Based on Elastic Theory. Bauverlag, Gmbh. Wiesbaden, 1971 (German-English Edition). WIPPEL, H. e STIGLAT, K. Platten. Ed. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. Berlin/Munchen,1966. HAHN, J. Vigas continuas, prticos, placas y vigas flotantes sobre lecho elastico. Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1972

Livros com tabelas:

TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill Kogakusha, Ltda. 1959. MONTOYA, Jimenez, MESEGUER, A. Garcia e CABRE ,F. Moran. Hormigon Armado. Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1973 ROCHA, Aderson Moreira. Novo Curso Prtico de Concreto Armado. Vol. 1. Editora Cientfica. Rio de Janeiro, 1981. SZILARD, Rudolph. Theory and Analysis of Plates. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey,1974. POLILLO, Adolfo. Dimensionamento de Concreto Armado. Vol II. Editora Cientfica. Rio de Janeiro, 1977.

Mtodo dos Elementos FinitosO Mtodo dos Elementos Finitos um procedimento numrico para a anlise de meios contnuos. A anlise de tenses em estruturas, conduo de calor, escoamento de fluidos, campos eltricos e magnticos so exemplos de problemas que envolvem a anlise de meios contnuos. No caso do problema de placas, o Mtodo dos Elementos Finitos usado para encontrar uma aproximao do campo de deslocamentos da placa. O campo de deslocamentos contnuo substitudo por um campo discreto com pontos nos ns dos elementos finitos. A figura 4 apresenta uma sada grfica, emitida pelo programa SAP90, do campo de deslocamentos tambm denominado deformada da placa. A deformao geralmente ampliada para facilitar a visualizao. O resultado portanto, somente qualitativo, j que os deslocamentos usualmente so muito pequenos .

Figura 4 - Placa deformada

Na figura 5, pode-se observar a sada grfica dos momentos fletores em uma determinada direo dos elementos finitos, neste caso, a direo M11. A conveno utilizada pelo programa est demonstrada na figura 6. Normalmente, a

sada grfica apresentada com regies de mesmo valor para os esforos, com uma tabela de convenes de valores e os valores mximos destacados para o n onde eles ocorrem.

Figura 5 - Distribuio dos momentos fletores M11

A figura 6 apresenta a sada grfica dos momentos fletores na outra direo, ou seja M22.

Figura 6 - Distribuio dos momentos fletores M22

A figura 7 apresenta a sada grfica dos resultados dos momentos de toro na placa. interessante observar a distribuio dos valores. Nas regies nas quais os momentos fletores so mximos, os momentos de toro possuem os valores mais baixos. Nos cantos, nos quais os momentos fletores possuem os menores valores, os momentos de toro so mximos.

Figura 7 - Distribuio dos momentos de toro M12

Referncias bibliogrficas ltima modificao: 01/12/2009

Eng Jano d'Araujo Coelho - AltoQi Tecnologia Eng Andr Luiz Banki - AltoQi Tecnologia

Anlise de lajes de concreto armado (Parte III)

Dimensionamento elstico e plstico de lajesArtigo: #241 Aplica-se a: Eberick

AssuntoUsualmente, efetuam-se anlises elsticas para determinar os esforos atuantes nas lajes e demais elementos da estrutura. Tais anlises consideram um comportamento elstico-linear para o concreto, desprezando a fissurao e a prpria presena da armadura. No dimensionamento das sees, feito no Estado Limite ltimo, tem-se a plastificao tanto do concreto como do ao, bem como outros fatores no lineares. Este artigo, elaborado pelo Prof. Daniel D. Loriggio (UFSC) , aborda os teoremas que garantem que tal procedimento encontra-se a favor da segurana, desde que se garanta a dutilidade das sees transversais. Alm disso, procura explicar por que diversos processos de anlise podem resultar em valores diferentes para os esforos atuantes e por que todos eles podem se encontrar a favor da segurana.

ArtigoOs procedimentos usuais em projeto utilizam uma anlise elstica como base para o dimensionamento das sees transversais das lajes. Esse dimensionamento usa, geralmente, toda a capacidade portante da seo transversal da pea, ou seja, dimensiona as sees transversais das peas de concreto armado no regime plstico. Apesar desse procedimento ser vlido, esta no a nica alternativa de projeto. O dimensionamento de estruturas que possui um comportamento plstico acentuado (caso das lajes usuais de concreto armado) pode ser feito baseado na Teoria Geral da Plasticidade, que apresenta variaes em relao sistemtica apresentada. Como exemplos, podem ser citados a Teoria das Charneiras Plsticas e o dimensionamento de lajes

cogumelo, pelo Mtodo das Faixas Avanado de Hillerborg (anlogo ao mtodo das faixas apresentados na Norma de Concreto Armado). Em muitos casos, o dimensionamento por um procedimento plstico pode trazer economia significativa em relao aos procedimentos elsticos de dimensionamento, como no caso da Teoria das Charneiras Plsticas; entretanto cuidados especiais devem ser tomados na verificao dos Estados Limites de Servio e na ductilidade das peas.

Fases de Comportamento de uma Laje de Concreto ArmadoO comportamento de uma laje de concreto armado depende do nvel de carregamento que a solicita. Para determinados carregamentos de pequena intensidade, a Teoria das Placas em Regime Elstico descreve bem o comportamento da laje, mesmo considerando o material como istropo e homogneo. Essa a fase elstica. Quando o carregamento aumenta, a laje apresenta fissuras nas regies dos maiores esforos solicitantes, diminuindo com isso a rigidez destas sees. Essa fase de fissurao poderia ser estudada pela Teoria das Placas em Regime Elstico, levando-se em conta a diminuio da rigidez da pea na zona fissurada. Porm, avaliar corretamente tal reduo muito difcil. Essa fase de comportamento, geralmente associada condio de servio da laje, normalmente estudada pela Teoria das Placas em Regime Elstico. Devido diminuio da rigidez das sees mais solicitadas, que gera uma redistribuio de esforos, este procedimento fornecer esforos nas sees fissuradas um pouco maiores que os reais. Continuando o aumento do carregamento, inicia-se a plastificao das sees mais solicitadas que, sendo sees subarmadas (caso mais comum em lajes), passam a se deformar sem aumento sensvel do momento fletor. Com o desenvolvimento da plastificao, a estrutura acaba se tornando hiposttica e se deforma livremente com qualquer acrscimo de carga. Nesse ponto, admite-se que a laje atingiu sua fase de runa, desprezando o efeito de membrana que aumenta sua capacidade portante, mas que s aparece quando a laje apresenta deslocamentos suficientemente grandes, para mobilizar os esforos que atuam no plano da mesma. A fase de plastificao e a de runa possuem comportamento bem diferente daquele descrito pelo regime elstico. O estudo da fase de plastificao bem mais complexo, j que existem zonas plastificadas, zonas fissuradas e zonas que ainda esto no regime elstico. Ele pode ser feito, de modo aproximado, atravs de mtodos numricos que consigam modelar a no linearidade fsica do material, tais como: o Mtodo das Diferenas Finitas ou dos Elementos Finitos. Existem diversas maneiras de abordar o problema, cujos procedimentos vm sendo geralmente implementados no Mtodo dos Elementos Finitos e que dependem, muitas vezes, dos fenmenos estudados. J o estudo da fase de runa da laje pode ser feito com relativa facilidade por meio da Teoria das Charneiras Plsticas que, entretanto, se preocupa exclusivamente com a fase de runa sem fornecer informaes sobre o comportamento da laje nas fases anteriores. Quando a laje alcana sua fase de runa, afirma-se que atingiu um Estado Limite ltimo e ela deve ser projetada de modo a possuir uma segurana adequada em relao a este estado. A Teoria das Charneiras Plsticas fornece as solicitaes que ocorrem na laje nessa fase, de forma que possa ser dimensionada. As hipteses simplificadoras dessa teoria, necessrias a uma formulao matemtica no muito complexa, possibilitam resultados mais prximos dos experimentais. J a verificao dos Estados Limites de Utilizao devem ser feitos baseados, obrigatoriamente, em um procedimento que represente bem a fase de servio, ou seja, provavelmente uma anlise elstica. Para entender melhor as fases de comportamento das estruturas de concreto armado, importante conhecer o Diagrama Momento Fletor x Curvatura da seo transversal fissurada das peas submetidas flexo simples (figura 1).

Figura 1 - Diagrama Momento Fletor x Curvatura de seo fissurada.

O diagrama apresentado corresponde a uma pea retangular submetida flexo e dimensionada no Domnio 2 ou 3. Verifica-se que para momentos fletores menores que o momento de fissurao da seo o comportamento praticamente elstico. possvel representar essa fase pelo modelo do Estdio I, que imagina que os materiais trabalham elasticamente, inclusive o concreto submetido trao. Aps a fissurao, o comportamento bem representado pelo modelo do Estdio II, no qual comportamentos elsticos para o ao e o concreto. se admitem

Nessas fases iniciais comum utilizar valores de servio para os materiais e, tambm, incluir a contribuio do concreto entre fissuras que faz com que a pea tenha um comportamento intermedirio entre o modelo do Estdio I e II. A partir de uma certa curvatura, o momento permanece praticamente constante com valor muito prximo do momento ltimo da seo. o Momento de Plastificao da seo. Como nessa fase a preocupao com a capacidade portante mxima e redistribuies de esforos, usual a utilizao de valores de clculo dos materiais. Outro fator importante a ductilidade das sees transversais. Essa ductilidade medida pelo comprimento do patamar de plastificao do diagrama. Na flexo simples, posies da linha neutra mais elevadas, geralmente levam a sees mais dcteis. Para uma determinada seo, o aumento da taxa de armadura abaixa a linha neutra e diminui a ductilidade da seo. Esse aspecto mostrado na figura 2, que apresenta diagramas momento x curvatura de clculo para uma seo de laje com vrias taxas de armadura.

Figura 2 - Variao do Momento de plastificao com a taxa de armadura.

Existe uma grande faixa de dimensionamento (domnio 2 e parte do domnio 3) na qual as lajes possuem um comportamento plstico bem definido. Essas lajes so suficientemente dcteis para que possa ser feito um dimensionamento plstico. Esses dimensionamentos so baseados nos Teoremas da Anlise Limite da Teoria Geral da Plasticidade. Entretanto, as normas atuais exigem que seja verificada a ductilidade para os nveis de deformaes plsticas de projeto.

Teoremas da Anlise-LimiteA soluo exata de um problema pela Teoria da Plasticidade Geral, na determinao da carga de runa de uma estrutura em regime elasto-plstico, necessita satisfazer trs condies: 1. A estrutura deve tornar-se hiposttica com a plastificao provocada pela carga. Isso equivale a dizer que a estrutura deve formar uma configurao possvel (s vezes designada por mecanismo cinematicamente admissvel). 2. As condies de equilbrio devem ser satisfeitas. 3. Em nenhum ponto da estrutura pode-se ter esforo superior ao que a origina a plastificao. As hipteses bsicas para que as estruturas possam ser estudadas plasticamente so: -Plasticidade perfeita (no caso das lajes, que tenham um patamar de plastificao, no diagrama Momento Fletor x Curvatura, bem definido e com comprimento suficiente). -Os carregamentos atuantes aumentam sempre proporcionalmente entre si.

-Estruturas apresentam pequenos deslocamentos mesmo prximas da runa. Existem trs teoremas na teoria geral da plasticidade que auxiliam na procura da soluo exata: Teorema da Unicidade : existe apenas uma nica carga de colapso associada ao colapso da estrutura. Teorema Esttico (ou do limite inferior) : se existe um carregamento externo para o qual possvel encontrar um campo de esforos solicitantes que satisfaa todas as condies de equilbrio e, tambm, a condio de plastificao em todos os pontos (no caso momentos menores que o momento de plastificao), ento esse carregamento igual ou inferior ao proporcional, que provoca o colapso da pea. Tambm chamado de Teorema a favor da segurana. Teorema Cinemtico (ou do limite superior) : para uma determinada configurao possvel da laje (configurao que torna a laje hiposttica) associada a um dado carregamento, existe um n K , tal que o carregamento multiplicado por K satisfaz condio de igualdade de energias desenvolvidas interna e externamente laje. Esse valor de K igual ou superior ao valor de K que leva a laje ao colapso. Tambm chamado de Teorema contra a segurana. A Teoria das Charneiras Plsticas deriva do Teorema Cinemtico, no qual o valor de K encontrado para uma determinada configurao possvel em estudo sempre contra a segurana, a no ser que a configurao seja exatamente a configurao de runa da pea. necessrio, portanto, que se verifique, dentre todas as configuraes possveis, qual a que oferece o menor valor de K, sendo esta a configurao de runa. No caso de lajes retangulares usuais de edifcios com carga uniformemente distribuda, as configuraes de runa so conhecidas e, portanto, o dimensionamento no apresenta qualquer incoveniente. Entretanto, alguns autores costumam apresentar configuraes simplificadas que fornecem resultados contra a segurana, mas dentro de certos limites. Tambm pode-se utilizar o Teorema Esttico para dimensionar as lajes, que fornece solues sempre a favor da segurana, mas nem sempre muito econmicas. O mtodo esttico, ou de Hillerborg, consiste em encontrar distribuies de esforos internos que estejam em equilbrio com as cargas aplicadas e dimensionar a laje de modo que sua resistncia, em cada ponto, seja suficiente para suportar estes esforos internos. Esse mtodo tem uma grande flexibilidade e permite solues simples em casos de geometrias e carregamentos complexos. Entretanto, para vrios casos, no se sabe a priori se a soluo encontrada ou no econmica e qual o nvel de redistribuio de esforos necessrio, para se chegar distribuio de esforos imaginada. E para a laje ter a segurana adequada deve-se garantira sua capacidade de redistribuio plstica. Deve-se observar que a soluo fornecida pela Teoria das Placas em Regime Elstico uma soluo em equilbrio mas que, alm disso, a nica que tambm compatvel, podendo-se garantir que nenhum ponto atinja a plastificao. Portanto, o Teorema Esttico justifica o dimensionamento da laje com momentos calculados pelo regime elstico e com sees dimensionadas no Estdio III. Os momentos encontrados por Marcus e a Analogia de Grelha so outros procedimentos que podem ser enquadrados no Teorema Esttico.

Consideraes FinaisApesar das lajes de Concreto Armado possurem um comportamento plstico, possivel utilizar a teoria das Lajes em Regime Elstico e suas variaes como a Analogia de Grelha e o Mtodo dos Elementos Finitos, para fazer o seu dimensionamento. Esse procedimento pode no ser o mais econmico, mas o Teorema Esttico afirma que a soluo vai estar a favor da segurana. O mesmo clculo elstico pode ser usado para a verificao dos Estados Limites de Utilizao desde que as cargas sejam devidamente ponderadas para se obter as Combinaes de Servio. O dimensionamento elstico no a nica possibilidade de dimensionamento de lajes de Concreto Armado. Existem outras maneiras que podem ser mais econmicas, como a Teoria das Charneiras Plsticas. Entretanto, esse mtodo deve ser usado com cuidado, uma vez que ele baseado no Teorema Cinemtico e se a configurao adotada para o dimensionamento da laje no for a configurao real de runa, o resultado vai ser contra a segurana. A economia conseguida na armadura pode causar problemas nos Estados Limites de Servio e, portanto, a verificao das condies de utilizao devem ser feitas, obrigatoriamente, com uma outra anlise que represente bem as condies de utilizao. Referncias bibliogrficas ltima modificao: 02/12/2009

Prof Daniel Domingues Loriggio - UFSC

Anlise de lajes de concreto armado (Parte IV)

Anlise de lajes pelo Mtodo das faixas de HillerborgArtigo: #252 Aplica-se a: Eberick

AssuntoNeste artigo, ser abordado o mtodo de Hillerborg para o clculo de lajes. Diversos mtodos aproximados de anlise de lajes tm sido propostos, desenvolvidos e usados ao longo dos anos. Entre eles, est o conhecido mtodo das faixas, apresentado por Hillerborg em 1956. Esse procedimento pode ser usado para determinar a distribuio de esforos e possibilitar o dimensionamento das sees de concreto e das armaduras de um sistema de lajes.

ArtigoAnlises limitesA Teoria Geral da Plasticidade demonstra que devido plasticidade, uma redistribuio dos momentos e esforos cortantes, pode ocorrer antes de ser atingida a carga ltima da laje, como j foi mostrado no artigo 241. As anlises limites procuram calcular a carga ltima da laje, assumindo que as sees da laje so suficientemente dcteis para permitir a redistribuio necessria dos esforos. Entretanto podem ser usados mtodos de dimensionamento baseados nos Teoremas Estticos ou Cinemticos. O mtodo baseado no Teorema Esttico, tambm chamado limite inferior postula que: 1. as condies de equilbrio devem ser satisfeitas para todos os pontos da laje; 2. O momento de plastificao da laje no pode ser excedido em nenhum ponto da laje; 3. todas as condies de contorno so satisfeitas. A carga assim calculada a carga ltima. Isso significa que a carga ltima nunca superestimada (o procedimento est sempre a favor da segurana em relao ao Estado Limite ltimo). Para todas as solues possveis de distribuio de momentos, antes da carga ltima da placa ser atingida, necessria uma redistribuio de momentos, mesmo quando o dimensionamento feito pela teoria elstica. Isso se deve ao fato de que a distribuio de momentos depende de uma distribuio complexa na rigidez da placa depois da fissurao do concreto. Portanto, as anlises limites s podem ser aplicadas em lajes de concreto armado que possuam sees com grande ductilidade. Como foi demonstrado no Artigo 230, a equao de equilbrio de um elemento de placa dada por: eq(1)

Esta equao pode ser aplicada tanto aos elementos de laje que esto em regime elstico quanto em regime plstico, j que ela deduzida apenas a partir de consideraes de equilbrio. Qualquer soluo que satisfaa tambm as condies de contorno e o critrio de plastificao uma soluo possvel para a configurao de momentos. Portanto existe um grande nmero de solues entre as quais a teoria elstica uma das possveis. Para obter-se as solues possveis, a carga q deve ser equilibrada pela soma dos termos do lado esquerdo da equao (1), onde o primeiro e o terceiro termo esto relacionados aos momentos fletores nas direes X e Y, que correspondem ao funcionamento de vigas; e o segundo termo est relacionado aos momentos de toro (ou volventes). O fato da carga da laje poder ser equilibrada por qualquer combinao de momentos fletores e de toro nas duas direes d uma idia clara do conceito fsico do mtodo. O mtodo das faixas de Hillerborg o procedimento mais usado baseado em uma anlise de limite inferior. Esse mtodo obtm a distribuio de momentos e esforos cortantes atravs da substituio da laje por um sistema de faixas dispostas em duas direes, as quais dividem entre si as cargas aplicadas. Esse um procedimento vlido porque

o carregamento suportado inteiramente por flexo, e por essa razo as condies de equilbrio esttico so satisfeitas e nenhuma resistncia por toro necessria.

Mtodo das faixas de HillerborgO mtodo da anlise limite inferior foi chamado de teoria do equilbrio por HILLERBORG (1956) e sugerido por ele como um mtodo de projeto para lajes de concreto armado. O mtodo de projeto pode ser resumido no seguinte, conforme Hillerborg: Se uma distribuio de momentos pode ser encontrada de tal modo que satisfaa as equaes de equilbrio e as condies de contorno da placa para uma determinada carga externa, e se a placa capaz de resistir a esses momentos em cada ponto, ento a carga externa adotada representa um limite inferior da capacidade de suporte da placa . O objetivo de Hillerborg era apresentar um mtodo de projeto que fosse ao mesmo tempo simples de ser aplicado e que apresentasse sempre resultados a favor da segurana. De certo modo, o seu objetivo foi alcanado; o mtodo simples e resulta em dimensionamentos sempre a favor da segurana. Este mtodo vem sendo usado por engenheiros de projeto h muitos anos, e, em muitos casos, at de forma intuitiva, desconhecendo o fato de que esto usando um mtodo formulado em bases formais. O mtodo das faixas tambm foi tratado em outras publicaes como CRAWFORD(1962), WOOD e ARMER (1968), KEMP (1970,1971 ), SHUKLA (1973) e outros. Wood e Armer tornaram o mtodo das faixas muito mais poderoso com a introduo do conceito de faixas reforadas (strong bands), para possibilitar o clculo de pavimentos sem vigas apoiados em pilares e lajes com bordos livres e aberturas. Um ponto em comum deste mtodo com o das charneiras plsticas o fato de que a distribuio dos momentos nas duas direes deixada para o engenheiro. Essa liberdade, no entanto, deve levar em considerao o fato que, se usada sem nenhum cuidado, pode levar ao clculo de lajes que, embora satisfaam os requisitos de resistncia, apresentam problemas com relao ao comportamento em servio, com fissuras ou flechas excessivas. Essa liberdade tambm pode levar a solues que requeiram uma grande redistribuio de esforos para atingir a carga ltima, e que necessitam ento de uma extrema ductilidade das sees de concreto. Portanto, o engenheiro quando usar esse mtodo precisa distribuir os momentos em propores prximas daquelas obtidas pela teoria elstica. importante notar que, a distribuio de momentos obtida pela teoria elstica para uma placa, de fato, uma soluo possvel de estado limite inferior porque ela satisfaz as condies de equilbrio, as condies de contorno e as sees da placa so dimensionadas para resistir com segurana aos momentos em cada ponto. Hillerborg simplificou o mtodo geral do limite inferior eliminando a necessidade de se considerar os momentos de toro no clculo da distribuio de momentos. Se nenhuma parcela de carga absorvida pelos momentos de toro, o dimensionamento pode ser feito como se a laje fosse composta de faixas independentes, em geral nas duas direes. Torna-se necessrio apenas calcular os momentos das faixas por critrios de esttica, garantindo o equilbrio. Esta simplificao resultou em um mtodo extremamente atrativo para a rea de projeto. O mtodo foi chamado de mtodo simples das faixas. Posteriormente foi apresentado por Hillerborg o mtodo avanado das faixas, para enquadrar casos especiais de lajes apoiadas em pilares. Hillerborg prope que a distribuio de momentos em equilbrio com o carregamento externo, seja obtida desprezando os momentos volventes. Neste caso, a equao (1) pode ser escrita: eq(2)

Essa expresso pode ser decomposta em duas: eq(3)

eq(4)

eq(5) As equaes (3) e (4) correspondem ao funcionamento de vigas nas direes x e y. Portanto, a laje pode ser calculada como se fossem faixas de vigas nas direes x e y, distribuindo-se adequadamente o carregamento para essas faixas e utilizando condies de vinculao adequadas.

Para ilustrar o uso do mtodo sero calculados dois exemplos apresentados por HILLERBORG, PARK e GAMBLE (1980) de uma laje quadrada, simplesmente apoiada em todo o contorno submetida a um carregamento uniformemente distribudo. Os carregamentos e as dimenses foram alterados por convenincia deste artigo. Exemplo 1 Laje quadrada com 4 x 4 m, carga distribuda q de 1000 kgf/m2 com uma distribuio de faixas conforme mostrado na figura 4 . Pode-se encontrar uma distribuio de momentos em equilbrio fazendo Kx = 0,5. Deste modo metade da carga ser distribuda uniformemente para as faixas em cada direo. O resultado dos momentos obtidos para as faixas na direo X dado pelo clculo esttico de uma viga biapoida com largura unitria. O valor mximo dos momentos na direo x : m x = 0,5.q.l2 /8 ou seja mx=1000 kgfm/m.

As reaes nos apoios tambm podem ser obtidas por esttica: Rx = 0,5 .q.l/2 ou seja Rx = 1000 kgf/m

Figura 1 - Sistema de faixas

Todas as faixas possuem o mesmo diagrama de momentos fletores e a laje precisa ser dimensionada de modo a respeitar esse diagrama em todas os pontos. Exemplo 2 Laje quadrada com 4 x 4 m, carga distribuda q de 1000 kgf/m2 com uma distribuio de faixas conforme mostrado na figura 5 . Pode-se encontrar uma distribuio de momentos em equilbrio adotando para Kx valores 0 ou 1 dependendo da regio da laje em que se encontra a faixa. A carga dividida em regies triangulares que transmitem a carga para o apoio mais prximo. Cada faixa carrega toda a carga distribuda q apenas nas extremidades de comprimento. O valor do momento mximo das faixas na direo x uma funo de y , apresenta um valor mximo na faixa central e valores decrescentes em direo ao apoio de maneira no-linear conforme mostrado no grfico da figura 5. O valor mximo da faixa central igual a ql2/8 ou seja 2000 kgfm/m.

Figura 2 - Soluo do exemplo 2

Para a mesma laje, o mtodo de Hillerborg permite inmeras outras solues, como, por exemplo, o caso extremo onde, com o valor Kx =1, toda a carga distribuda seria absorvida apenas na direo lx. A escolha entre todas as solues possveis passa a ser, portanto um problema de otimizao de detalhamento e custo das armaduras, que seriam dispostas de acordo com os diagramas de momentos. Na prtica, uma soluo como a do exemplo 2 mostra-se impraticvel devido ao corte ou ao espaamento varivel de todas as barras da armadura. Os exemplos demonstram a simplicidade e a facilidade com que os momentos de uma laje podem ser encontrados com a simples aplicao da esttica e a diversidade de solues possveis para uma mesma laje. interessante salientar que muitos projetistas tm utilizado o mtodo das faixas para calcular de modo aproximado lajes que apresentam formatos irregulares (ver figura 6), aberturas, bordos livres e diversas outras situaes no encontradas nas solues clssicas e nas tabelas. Faziam e em muitos casos ainda fazem, sem saberem que esto utilizando um mtodo com um suporte formal no mtodo do estado limite inferior.

Figura 3 Laje trapezoidal dimensionada pelo Mtodo das Faixas com Kx =1 na direo dos menores vos.

Faixas reforadasO mtodo das faixas simples pode ser melhorado para ser empregado em lajes com aberturas, bordos livres e lajes apoiadas sobre pilares com o uso de faixas reforadas para distribuir as cargas para os apoios. Esse procedimento foi sugerido por WOOD e ARMER (1968) e aumentou o alcance do mtodo das faixas. Uma faixa reforada uma faixa de laje de largura adequada que possui uma quantidade de armadura concentrada e, portanto funciona como uma viga dentro da laje. Tal faixa pode ser de maior espessura que a laje, se necessrio, para conter a armadura necessria para suportar o momento de projeto calculado. Uma laje contendo aberturas pode ser tratada com a colocao de faixas reforadas ao redor das aberturas. De modo similar, lajes com cantos reentrantes ou lajes sem vigas apoiadas em pilares podem ser tratadas usando-se faixas reforadas, conforme mostrado na figura 7 e 8.

Figura 4 Lajes com cantos reentrantes e lajes apoiadas em pilares.

Figura 5 Laje com abertura.

Mtodo das faixas avanadoHillerborg apresentou em 1959 uma extenso do seu mtodo das faixas para o projeto de lajes sem vigas apoiadas em pilares e para lajes com cantos reentrantes. Na primeira verso desse mtodo, CRAWFORD (1962) fez referncia a ele como o mtodo avanado das faixas . O mtodo avanado das faixas introduziu um tipo de elemento com um campo complexo de momentos com o objetivo de transferir as cargas para os pilares e cantos reentrantes.

Concluses e recomendaesResultados de testes feitos com lajes projetadas pelo mtodo das faixas so escassos. Porm uma srie de testes reportada por PARK e GAMBLE (1980). Alm disso um grande nmero de possveis aplicaes do mtodo no foram ainda testadas extensivamente e um grande nmero de aplicaes ainda precisam ser testadas. Porm, as evidncias disponveis mostram que o clculo da capacidade ltima das lajes est do lado da segurana. Entretanto, as condies de servio devem ser verificadas baseadas em uma anlise que represente satisfatoriamente essa fase de carregamento. O mtodo das faixas despreza o momento de toro e todo o carregamento da laje equilibrado pela flexo das faixas. Esse um procedimento vlido para a resistncia da laje e est de acordo com o teorema esttico ou teorema do limite inferior (ver Artigo 241). No entanto, para o comportamento das lajes em servio, os momentos de toro, calculados pelas teorias elsticas, existiro. Tais momentos so maiores em geral nos cantos de lajes simplesmente apoiadas em vigas rgidas ou paredes. Embora o mtodo das faixas no requeira que os momentos de toro sejam resistidos por nenhuma armadura, no projeto executivo das lajes uma armadura superior e inferior dever ser colocada nesses cantos onde a laje for simplesmente apoiada. Essa armadura pode ser projetada e detalhada de acordo com as recomendaes da norma NBR-6118 e complementada com as recomendaes de diversas bibliografias especificas para detalhamento de estruturas de concreto como FUSCO (1995) e LEONHARDT (1997). Como j foi mencionado anteriormente, o mtodo das faixas no deve adotar distribuio de momentos muito diferentes da distribuio das teorias elsticas para evitar fissuras e flechas excessivas na laje nas condies de servio. Portanto importante que o engenheiro desenvolva uma boa capacidade de julgamento em relao distribuio de momentos das teorias elsticas e us-la na ocasio de decidir qual a melhor razo entre momentos nas duas direes pelo mtodo das faixas. Referncias bibliogrficas ltima modificao: 02/12/2009

Eng Jano d'Araujo Coelho - AltoQi Tecnologia Prof Daniel Domingues Loriggio - UFSC

Anlise de lajes de concreto armado (Parte V)

Anlise de lajes pelo Mtodo das Charneiras PlsticasArtigo: Aplica-se a: Eberick #260

AssuntoEste artigo aborda a anlise de lajes pelo Mtodo das Charneiras Plsticas (ou Mtodo da Ruptura), indicando suas premissas gerais sem abordar a formulao algbrica. Procedimentos simplificados com base nesse mtodo so razoavelmente bem conhecidos e solues para lajes retangulares so facilmente encontradas na bibliografia sobre Projeto Estrutural. Embora seja possvel obter economia aprecivel com esse procedimento, diversos cuidados devem ser tomados em sua aplicao. Procura-se apontar aqui o motivo pelo qual a arbitragem de uma configurao de runa qualquer para uma laje fornece resultados contrrios segurana, bem como limitaes na aplicao desse mtodo em pavimentos usuais de edifcios.

ArtigoA anlise elstica de uma estrutura importante para estudar o seu comportamento sob a ao das cargas de servio. Entretanto, se o carregamento aumentar em direo carga ltima, as sees mais solicitadas da estrutura se plastificam e formam rtulas plsticas que transformam a estrutura em um mecanismo (situao limite que pode conduzir a estrutura ao colapso sob o menor acrscimo de carga). Conforme abordado no artigo 241 - Dimensionamento elstico e plstico de lajes, existem trs condies a serem satisfeitas na anlise plstica de uma laje:

equilbrio; plastificao (em nenhuma seo ocorre momento superior ao momento de plastificao); mecanismo (a plastificao torna a estrutura hiposttica).

Devido grande dificuldade de se lidar com todas as condies simultaneamente, existem duas abordagens distintas: Mtodo esttico (ou do limite inferior): pesquisa solues em equilbrio na qual seja respeitada a condio de plastificao. Como no forma necessariamente um mecanismo, a carga ltima obtida igual ou inferior real (a favor da segurana). Mtodo cinemtico (ou do limite superior): pesquisa mecanismos possveis, normalmente em equilbrio. Como a condio de plastificao no garantida, pois podem haver momentos superiores ao de plastificao em certos pontos das laje fora das charneiras, a carga ltima obtida igual ou superior real (contrria segurana).

O Mtodo das Charneiras Plsticas ou Mtodo das Linhas de Ruptura, para lajes de concreto armado, foi inicialmente desenvolvido por INGERSLEV (1923) e contou com uma extensa contribuio de outros autores como JOHANSEN (1943) e LANGENDONCK (1970). A carga ltima da laje obtida estudando-se vrios mecanismos possveis de colapso compatveis com as condies de contorno. Os momentos nas linhas de plastificao so os ltimos plsticos, resistidos pela seo de concreto armado. Com estas hipteses bsicas, a carga ltima determinada usando-se o princpio dos trabalhos virtuais ou as equaes de equilbrio. A carga ltima assim determinada uma carga maior ou igual correta. O fato de no se ter nenhuma garantia de que o mecanismo de colapso adotado o correto torna necessria a verificao de todos os mecanismos de colapso possveis, para garantir que a capacidade de suporte de carga da laje no foi superestimada. Entretanto, em vrios casos usuais, a pesquisa da configurao de runa j foi estudada, sendo conhecida com boa preciso. Admite-se que as sees transversais da laje tenham comportamento plstico, ou seja, que, a partir de determinada rotao o momento resistente passa a ser o de plastificao, que permanece constante. Conforme LORIGGIO (1998), as lajes dimensionadas no Domnio 2 e uma grande parte das lajes dimensionadas no Domnio 3 possuem um patamar de plastificao bem definido. O texto conclusivo do Projeto de Reviso da NBR 6118 limita a posio da linha neutra a 0,30 da altura til quando for utilizado um mtodo plstico de anlise, garantindo a ductilidade das sees transversais.

Determinao da carga ltimaO primeiro passo em qualquer soluo com charneiras plsticas postular o padro de linhas de ruptura usando algumas regras:

Em um mecanismo de colapso formado por segmentos planos, as linhas de plastificao devero ser linhas retas, formando eixos de rotao para o movimento destes segmentos.

Os apoios da laje atuaro como eixos de rotao. Se um lado engastado, uma linha de plastificao pode se formar neste apoio. Um eixo de rotao passar por uma coluna de apoio. Por compatibilidade de deformao, uma linha de plastificao dever passar pela interseco do eixo de rotao de segmentos adjacentes da laje.

Figura 1 - Traado de linhas de ruptura

Os padres geralmente contm dimenses desconhecidas, as quais localizam as linhas de ruptura e poder existir mais de uma famlia de linhas de ruptura para uma laje em particular. O projetista deve assegurar-se de que todos os padres de linha de ruptura tenham sido considerados, j que o padro correto aquele que resultar na menor carga ltima. Se o padro crtico no for considerado, a carga ltima estar contra a segurana. A carga ltima poder ser obtida a partir de um padro de linhas de ruptura usando o princpio dos trabalhos virtuais ou as equaes de equilbrio. A formulao do processo pode ser facilmente encontrada na bibliografia como, por exemplo, em LANGENDONCK (1970).

Vantagens na aplicaoA Teoria das Charneiras Plsticas visa obter a configurao de runa da laje, na qual se tem a estrutura hiposttica atravs da sucessiva plastificao das sees transversais. Nos casos os quais isso pode ser obtido, tem-se o mximo aproveitamento dos materiais e da estrutura, resultando em economia no resultado final. No estudo de configuraes de runa para lajes retangulares de edifcios, LORIGGIO (1998) prope um processo iterativo de rpida convergncia para a compensao entre os momentos positivos em cada laje e os negativos nos bordos. Em um exemplo numrico utilizando um painel de seis lajes, verificou-se uma reduo nos momentos de dimensionamento da ordem de 30% quando comparados a uma soluo elstica. Segundo o autor, o valor da reduo depende das condies de apoio da laje. Nas lajes sem qualquer armadura negativa, esta reduo bem menor ou at inexistente.

Dificuldades na determinao da configurao de runaNo caso de lajes retangulares de edifcios com carga uniformemente distribuda, as configuraes de runa so conhecidas e, normalmente, o processo de dimensionamento no apresenta qualquer inconveniente, embora alguns autores apresentem configuraes simplificadas que fornecem resultados contra a segurana, mas dentro de certos limites. No caso geral, a pesquisa da configurao de runa de uma laje passa pela definio de todas as configuraes de colapso possveis. Este estudo extenso e diferente em cada situao de carregamento ou geometria. Deve-se tomar muito cuidado com as solues tradicionais obtidas pelo traado de charneiras retilneas partindo dos vrtices. Ao desconsiderar efeitos como o da bifurcao das charneiras nos cantos, pode-se chegar a erros considerveis. possvel se exemplificar a complexidade existente pelo clculo de uma laje retangular simplesmente apoiada com uma carga concentrada em seu centro. Alm da configurao com charneiras retilneas, tem-se duas outras situaes, baseadas na formao de charneiras negativas afastadas dos cantos:

Figura 2 - Configuraes possveis para uma laje com carga concentrada

Embora a laje seja simplesmente apoiada, as duas ltimas configuraes tm seu resultado afetado pelo valor do momento de plastificao negativo m . Pode-se express-lo pela relao:

O grfico a seguir apresenta o valor da carga ltima em funo das dimenses da laje e do coeficiente

.

Figura 3 - Carga ltima para diversas configuraes

Ao adotar a configurao retilnea, pode-se chegar a valores bastante contrrios segurana. Para plastificao negativo nulo), tem-se a segunda configurao como sendo a de runa.

=0 (momento de

Figura 4 - Configurao de runa obtida em ensaio (PARK & GAMBLE, 1980)

Como segundo exemplo, pode-se utilizar uma laje triangular simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada:

Figura 5 - Configuraes possveis para uma laje triangular

Configurao b f d e

Q= 0 P = 13.85 P = 6.28 P = 6.70 P = 7.10

Q= 0.5 P = 13.85 P = 11.42 P = 11.20 P = 10.60

Para Q=0, a configurao de runa ser a c (cone circular). J para Q=0.5, a configurao ser a e (charne