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11/7/2010

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ANÁLISE DE DECISÃO

Métodos de ponderação

Carlos Bana e CostaJoão LourençoMónica Oliveira

Ano lectivo 2010/2011

ESTRUTURAÇÃO AVALIAÇÃO

Pontos de vista

Descritores de performances

plausíveis

Perfis de performancedas opções

ValoresParciais

Pesos

Análises deSensibilidadee de Robustez

OPÇÕES

METODOLOGIA MULTICRITÉRIO: Estruturação vs. avaliação

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Modelo Aditivo

)a(v.k)a(V j

n

1jj∑

=

=

V(a) valor global da opção a

vj(a) valor parcial da opção a

no PVF/critério j

kj coeficiente de

ponderação

(peso relativo)

do PVF/critério j

( ) 100,

( ) 0,

( ) 100

( ) 0

j j

j j

v melhor j

v pior j

V melhor em tudo

V pior em tudo

= ∀

= ∀

= =

∑=

=n

1jj 1k e kj > 0 ( j = 1,…,n )

Com:

O que é que representam os coeficientes de ponderação?• São factores de escala, constantes de escala, ou

pesos na linguagem comum• Representam o contributo para a pontuação global

de cada unidade de pontuação segundo o ponto de vista j

• Permitem transformar cada unidade de valor parcial vj(.) em unidades de valor global V(.)

• Têm em conta a natureza das taxas de substituição entre PVF/critérios � operacionalizam a noção de compensação

• Não podem ser vistos como indicadores directos de importância!

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Os intervalos de variação dos níveis de performance dos pontos de vista são elementos determinantes para a obtenção dos valores dos coeficientes de

ponderação.

A determinação dos coeficientes de ponderação exige sempre a comparação das alternativas de referência:

▫ Pior vs. Melhor

▫ Neutro (nem bom nem mau) vs. Bom

Erro mais comum na ponderação: não determinar os coeficientes de ponderação com referência aos níveis

de performance!

Modelo Aditivo Hierárquico

(Lourenço, 2002)

O cálculo do valor global

faz-se de baixo para cima

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Métodos de Ponderação

• Swing weighting

• Trade-off procedure

• MACBETH

Método Swing Weighting

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Swing Weighting Procedure: 3 etapas

1. Estabelece-se uma ordenação dos coeficientes de ponderação dos pontos de vista.

2. Procede-se à sua quantificação.

3. Normalizam-se os valores obtidos para que a sua soma seja igual à unidade.

Nota: Nos exemplos usamos como referência os níveis pior e melhor em cada PVF, aos quais se fazem corresponder os

valores 0 e 100, respectivamente.Poderiam ter sido adoptados quaisquer outros dois níveis de referência suficientemente distintos (como por exemplo,

os níveis “neutro” e “bom”).

Primeira etapa: ordenação dos coeficientes de ponderação

O facilitador pede ao decisor que considere

todos os pontos de vista fundamentais do

problema de decisão (representados por PV1, PV2, PV3 e PV4) que se apresentam nos piores

níveis.PV1

melhor1

PV2

pior2

PV3 PV4

melhor2

pior1 pior3

melhor3

pior4

melhor4

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Posteriormente, pergunta-se ao decisor: “Se fosse

possível passar do pior nível para o melhor num único ponto de vista, qual era o ponto de vista que seleccionaria para essa

mudança?”

Resposta do decisor: “Privilegiaria passar do

pior nível para o melhor no ponto de vista PV2”. PV1

melhor1

PV2

pior2

PV3 PV4

melhor2

pior1 pior3

melhor3

pior4

melhor4


Próxima pergunta: “Excluindo o PV2 que já foi por si seleccionado, qual seria o ponto de vista que escolheria de seguida para passar do pior nível para o melhor nível?”Resposta: “Escolheria o ponto de vista PV1”.

Continuar-se-ia a questionar sucessivamente o agente de decisão sobre qual o ponto de vista que seleccionaria para passar do pior nível para o melhor nível, excluindo os pontos de vista escolhidos anteriormente, até que restasse somente um ponto de vista por seleccionar.Resultado: uma ordenação…

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PV1

melhor1

PV2

pior2

PV3 PV4

melhor2

pior1 pior3

melhor3

pior4

melhor4

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj3j34j41j12j2 ,piorpior,melhorpior,melhorpior,melhorpior,melhor ∀

≠≠≠≠��

Onde: “X �Y” indica que X é preferível a Y.

O agente de decisão indicou que passar do nível pior para o nível melhor em PV2 era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV1, que por sua vez era preferível a passar do nível pior para o nível melhor em PV4, que por sua vez…

Esta relação de preferência pode ser simbolicamente representada por:


Se forem atribuídos 100 pontos aos níveis melhores e zero pontos aos níveis piores, representando kj o coeficiente de ponderação do ponto de vista j, virá:

O que equivale a:

( ) ( ) ( ) ( ) 0k0-100k0-100k0-100k0-100 3412 >⋅>⋅>⋅>⋅

0kkkk 3412 >>>>

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Segunda etapa: quantificação dos valores a atribuir aos coeficientes de ponderação dos pontos de vista

• Etapa de quantificação dos factores de escala dos PV. • Comparam-se os incrementos (swings) do pior nível

para o melhor nível em cada um dos pontos de vista com o swing do pior nível para o melhor num ponto de vista de referência ao qual é atribuído 100 pontos.

• Nota:▫ Qualquer ponto de vista poderá servir de PV de referência.

Usualmente escolhe-se o ponto de vista que na primeira etapa foi seleccionado em primeiro lugar.


Pergunta:

“Em quanto é que quantificaria uma passagem do pior nível para o melhor nível no ponto de vista PV1 sabendo que ao swing do pior nível para o

melhor nível em PV2 foram atribuídos 1oo pontos?”

PV2

melhor2

PV1

pior1

PV4 PV3

melhor1

pior2 pior4

melhor4

pior3

melhor3

100

0

80

Resposta: “Para mim passar do pior nível para o melhor em PV1 é equivalente a 80% do

swing em PV2”.

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Repete-se o processo: o decisor compara a passagem do pior nível para o melhor nível do

ponto de vista PV4 com o incremento do pior nível para

o melhor nível de PV2, e repete-se a questão utilizando

na comparação PV3.

Supondo que o decisor responde respectivamente 60 e 20, corresponderia a dizer que atribuiu estes valores às constantes de escala dos pontos de

vista 4 e 3, ficando assim concluída a segunda etapa deste procedimento

PV2

melhor2

PV1

pior1

PV4 PV3

melhor1

pior2 pior4

melhor4

pior3

melhor3

100

0

80

60

20

Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação

Normalizar os coeficientes de ponderação obtidos na etapa precedente para que a sua soma seja igual a 1. Utiliza-se a expressão seguinte:

∑=

=n

1j

'

j

'j

j

k

kk , com (j =1,…, n)

'jk

jk

onde: - é o coeficiente de ponderação não normalizado do ponto de

vista j (obtido na segunda etapa);

- é o coeficiente de ponderação normalizado do ponto de

vista j.

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Terceira etapa: normalização dos coeficientes de ponderação• Para o nosso exemplo, resultariam os seguintes

coeficientes de ponderação normalizados:

0,31602010080

80k 1 =

+++=

0,38602010080

100k 2 =

+++=

0,08602010080

20k 3 =

+++=

0,23602010080

60k 4 =

+++=

Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico• Foi descrita a situação mais simples!

▫ A aplicação deste procedimento de ponderação a uma estrutura arborescente de pontos de vista com mais do que um nível hierárquico é significativamente mais complexa.

• Deverá repetir-se o procedimento de ponderação tantas vezes quantas o número de sub-árvores existentes na árvore de pontos de vista.

• As questões a colocar ao agente de decisão terão de ser adaptadas à hierarquia de pontos de vista existente.

• Para se determinar os coeficientes de ponderação dos vários pontos de vista dever-se-á utilizar uma abordagem de baixo para cima:A. Ponderar os PVF dos níveis hierárquicos inferioresB. Depois passar à determinação dos coeficientes dos PV

hierarquicamente superiores a estes PVF e proceder assim sucessivamente até se chegar ao topo da hierarquia.

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Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico - Exemplo

Global

PV1

PV1.1.1

PV2

PV1.1

PV1.2

PV3

PV1.1.2

PV1.1.3

PV1.2.1

PV1.2.2

PV1.2.3

PV1.2.4

PV3.1

PV3.2

100 4060 100 75 50 25

100 25

Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico - Exemplo

Para a determinação dos coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2 existem duas opções (ou combinações destas duas opções):

1ª Opção: Compara-se o swing dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores de todos os pontos de vista fundamentais de PV1.1 (em simultâneo) com o swing equivalente de todos os pontos de vista fundamentais de PV1.2 (em simultâneo);

2ª Opção: Compara-se o swing do nível de referência inferior para o nível de referência superior de um ponto de vista fundamental de PV1.1 com o swing equivalente de um ponto de vista fundamental de PV1.2.

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1ª opção: Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico

• Questão inicial a colocar ao decisor: “Se todos os pontos de vista fundamentais (PVFs) de PV1.1 e de PV1.2 estivessem nos níveis de referência inferiores, qual desses dois conjuntos de pontos de vista seleccionaria para passar em primeiro lugar para os níveis de referência superiores?”.

• Resposta: “O conjunto dos pontos de vista de PV1.1”.

• Questão seguinte: “Em quanto é que quantificaria o swing dos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores nos PVFs de PV1.2 sabendo que ao swing equivalente nos PVFs de PV1.1 foram atribuídos 100 pontos?”.

• Resposta : “Esse swing equivale a 60% do swing nos PVFs de PV1.1”.

Então os coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2 seriam respectivamente 0,625 e 0,375

(obtidos respectivamente de 100/160 e 60/160).

2ª opção: Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico• Opção mais simples.

• Primeiro são seleccionados dois PVFs, um de PV1.1 e outro de PV1.2, para servirem de base de comparação.

▫ Supondo que se escolhiam para esse efeito os PVFs de maior coeficiente de ponderação em cada sub-árvore, ou seja, PV1.1.1 e PV1.2.1.

• Num primeiro passo, teria de se estabelecer uma ordenação de preferência entre esses dois PVFs.

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2ª opção: Swing Weighting no modelo aditivo hierárquico• Pergunta ao decisor: “Estando os dois PVFs nos níveis de

referência inferiores, qual deles é que seleccionaria em primeiro lugar para passar para o nível de referência superior?”

• Resposta: “PV1.1.1”

• Questão seguinte: “Em quanto é que quantificaria passar do nível de referência inferior para o nível de referência superior em PV1.2.1 sabendo que ao swing equivalente em PV1.1.1 foram atribuídos 100 pontos?”

• Resposta: “Quantifico esse swing em 48% do swing em PV1.1.1”

2ª opção: Swing Weighting no modelo aditivo hierárquicoOs coeficientes de ponderação de PV1.1 e de PV1.2

seriam então calculados através das seguintes expressões:

625025048200100

200100

kkkk

kk

k4

1j

1.2.j'

121

3

1j

1.1.j'

111

3

1j

'1.1.j111

1.1 ,''

..''

..

''..

=×+×

×=

⋅+⋅

⋅

=

∑∑

∑

==

=

375025048200100

25048

kkkk

kk

k4

1j

1.2.j'

121

3

1j

1.1.j'

111

4

1j

'1.2.j121

1.2 ,''

..''

..

''..

=×+×

×=

⋅+⋅

⋅

=

∑∑

∑

==

=

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Duas abordagens possíveis para o SwingWeighting no modelo aditivo hierárquico Opção de comparação por níveis

Opção de comparação entre níveis

Teria de comparar-se os swingsdos níveis de referência inferiores para os níveis de referência superiores dos pontos de vista hierarquicamente inferiores a PV1 (os quais por sua vez correspondem aos mesmos swings em todos os PVFs de PV1.1 e de PV1.2) com os swings em PV2 e em PV3 (correspondendo este aos swings nos seus PVFs).

Poder-se-ia comparar swingsde pontos de vista em quaisquer níveis hierárquicos, oferecendo-se essa escolha ao agente de decisão, ficando o ónus da complexidade dos cálculos por conta do facilitador.

Método Trade-Off

A ideia chave deste procedimento de ponderação consiste em comparar duas alternativas fictícias de cada vez, alternativas estas cuja performance difere apenas em dois PVF (consequentemente, as duas alternativas têm a mesma performance nos restantes PV).

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Introdução C1

INF1

SUP1

C2

A B

INF2

SUP2

A alternativa A tem uma performance ao nível de referência superior no PV C1 e uma performance ao nível de referência inferior no PV C2; a alternativa Btem uma performance ao nível de referência inferior no PV C1 e uma performance ao nível de referência superior no C2.

IntroduçãoA escolha da alternativa preferida pelo agente de decisão indica que PV, de entre os dois considerados, tem a maior importância relativa, ou seja, qual é o que tem maior coeficiente de ponderação (neste caso terá sido escolhida a alternativa A, portanto o C1 terá maior peso que o C2). O PV com maior peso serve tipicamente de PV de referência, embora possa ser seleccionado outro PV para esse efeito.

O trade-off deste procedimento consiste em ajustar o nível de impacte de uma das alternativas no PV de referência para se conseguir obter uma relação de indiferença entre as duas alternativas.

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Introdução Para isso, ou se piora o impacte da alternativa que está ao nível de referência superior no PV de referência, ou se melhora o impacte da alternativa que está ao nível de referência inferior no PV de referência.

C1=Referência

INF1

SUP1

C2

A B

INF2

SUP2

Introdução

Estes ajustamentos terão de repetir-se para n–1 pares de alternativas fictícias significativas!

Se as funções de valor associadas aos PV forem conhecidas, os coeficientes de ponderação dos PV podem ser determinados pela resolução de um sistema de equações que incorpore a restrição de normalização e as n–1 relações de indiferença obtidas anteriormente.

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ExemploSupondo que existe um problema que envolve a decisão de aquisição de um novo escritório onde se vão utilizar os três PV apresentados na tabela seguinte (onde também se mostram as melhores e piores performances das alternativas que se analisaram):

PV/Critério Descrição Melhor Pior

1 Preço (M€) 1 2

2Centralidade (distância ao centro em km)

0 50

3Estacionamento (n.º de lugares)

15 5

Exemplo

Considere-se que os gráficos representam as funções de valor dos PV (critérios).

0

20

40

60

80

100

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Preço (106 €)

V(p

reç

o)

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50

Distância ao centro (km)

V(d

istâ

nc

ia a

o c

en

tro

)

0

20

40

60

80

100

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

N.º lugares de estacionamento

V(n

.º l

ug

ares

de

esta

cio

nam

ento

)

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Método Trade-Off: Exemplo 1ª Etapa:

Estabelecer uma ordenação de preferência entre os vários PV considerados (etapa idêntica à primeira etapa do método de ponderação Swing Weighting).

2ª Etapa:Selecciona-se o PV que irá servir de referência nas comparações entre alternativas fictícias. Para esse fim, seleccionou-se o PV “preço” embora qualquer um dos restantes PV pudesse ser utilizado.(cf., Keeney, 1980, pp. 67-71 e Keeney et al.,1977, pp. 310-312)

Exemplo Questiona-se o decisor:

Considere um escritório A situado no centro da cidade com um preço igual a 2 Mio €. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B, situado a 50 km do centro da cidade, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios têm o mesmo n.º de lugares de estacionamento)?

Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença):

(2 M€, 0 km, x lugares) ~ (? €, 50 km, x lugares)

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Exemplo Resposta do decisor:

Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a 1,55 M€.

Resposta simbolicamente representada pela expressão:

(2 M€, 0 km, x lugares) ~ (1,55 M€, 50 km, x lugares)

Este trade-off significa que para o decisor, uma variação de preço entre 2 M€ e 1,55 M€ equivale à diferença entre um escritório estar localizado a 50 km do centro da cidade e um escritório estar localizado no centro.

Exemplo

PV

F2

≡D

istâ

nci

a a

o

cen

tro (

km

)

0

50

PVF1 ≡ Preço (106 €)

12 1,55

Indiferente

No modelo aditivo, esta

relação de indiferençapode ser equacionadacomo:

Aplicando as funções de valor obtém-se:

(2 M€) (0 km) (x lugares)

(1,55 M€) (50 km) (x lugares)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

k v k v k v

k v k v k v

+ +

= + +

12 kk 53,75 100 =

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Exemplo Questiona-se novamente o decisor (para obter a segunda relação de indiferença):

Considere um escritório A que tem 15 lugares de estacionamento e um preço igual a 2 M€. Quanto é que deveria ser o preço de um escritório B com 5 lugares de estacionamento, para que A e B fossem indiferentes (sabendo que ambos os escritórios se encontram à mesma distância do centro da cidade)?

Esta questão pode ser representada pela seguinte expressão (em que o símbolo ~ significa indiferença):

(2 M€, y km, 15 lugares) ~ (? €, y km, 5 lugares)

Exemplo Resposta do decisor:

Os dois escritórios seriam indiferentes se o preço do escritório B fosse igual a 1,7 M€.

Resposta simbolicamente representada pela expressão:

(2 M€, y km, 15 lugares) ~ (1,7 M€, y km, 5 lugares)

Este trade-off significa que para o decisor uma variação de preço entre 2 M€ e 1,7 M€ equivale à diferença entre um escritório ter 15 ou 5 lugares de estacionamento.

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Exemplo

No modelo aditivo, esta

relação de indiferença

pode ser equacionada

como:

Aplicando as funções de valor obtém-se:

PV

F3

≡N

.º d

e lu

gare

s d

e

esta

cion

am

ento

15

5

PV1 ≡ Preço(106 €)

12 1,7

Indiferente

13 kk 27,5 100 =

(2 M€) (y km) (15 lugares)

(1,7 M€) (y km) (5 lugares)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

k v k v k v

k v k v k v

+ +

= + +

Exemplo Como a soma dos pesos tem de ser igual à unidade, adiciona-se uma terceira equação às anteriormente obtidas. Os pesos serão então obtidos resolvendo o seguinte sistema de equações:

=

=

=

⇔

=++

=

=

0,15

0,30

0,55

1

27,5100

53,75 100

3

2

1

321

13

12

k

k

k

kkk

kk

kk

Nota: como se viu no exemplo este método de ponderação exige o conhecimento da função de valor do ponto de vista de referência .

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E se o decisor não quiser elicitar números?

Poderá utilizar o método MACBETH!

Referências• Keeney, R. L.; 1980. Sitting Energy Facilities,

Academic Press.

• Keeney, R. L.; Nair, K.; 1977; Selecting Nuclear Power Plant Sites in the Pacific Northwest UsingDecision Analysis, in D. E. Bell, R.L. Keeney, H. Raiffa (eds.), Conflicting Objectives in Decisions, John Wiley, 298-322.

• Lourenço, J. C. (2002) Modelo aditivo hierárquico: exemplos de métodos de ponderação e problemas associados, Working Paper 13-2002, CEG-IST.

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