Análise de Decisão Aplicada a Gerência Empresarial – UVA

Grafos - V

Bibliografia: GOMES, Carlos – Apendice C

Prof. Felipe Figueirawww.felipefigueira.comxreeve@yahoo.com

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Conceitos Básicos

• A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto.

• G(V,A) onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e A é um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas.

• Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo.

• Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial ou "o ponto".

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Conceitos Básicos

Geometricamente, um grafo é um conjunto de pontos (vértices ou nós) conectados por linhas (arestas).

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V = {v1, v2, ..., vn} |V| = n A = {a1, a2, ..., am} |A| = m

G = (V, A)

vértices arestas

• Um grafo direcionado (digrafo ou quiver) consiste de: - um conjunto V de vértices, - um conjunto A de arestas e - mapas s, t : A → V, onde s(a) é a fonte e t(a) é

o alvo da aresta direcionada e.

• Um grafo não direcionado (ou simplesmente grafo) é dado por:

- um conjunto V de vértices, - um conjunto A de arestas e - uma função w : A → P(V) que associa a cada aresta

um subconjunto de dois ou de um elemento de V,

interpretado como os pontos terminais da aresta.

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Conceitos Básicos

Problema do caixeiro viajante

• O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que possua a menor distância, começando em qualquer cidade, entre várias, visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando à cidade inicial.

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Conceitos Básicos

• Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta.

• A valência (grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes.

• A ordem de um grafo é dada pela cardinalidade do

conjunto de arestas.

• Cadeia (percurso) é a sequência de arestas adjacentes que ligam dois vértices.

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• Dois vértices são considerados adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta entre eles.

• Grafo é conexo quando se consegue estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de um grafo.

• Grafo simples é um grafo não direcionado, sem laços e que existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices (sem arestas paralelas).

• No grafo de exemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) é um caminho com comprimento 5, e (5, 2, 1) de comprimento 2.

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Conceitos Básicos

• Grau de saída - o número de arestas saindo de um vértice. Grau de entrada - o número de arestas entrando em um vértice. O grau de um vértice é igual à soma dos graus de saída e de entrada.

• Grafo completo é o grafo simples em que, para cada vértice do grafo, existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais. Ou seja, todos os vértices do grafo possuem mesmo grau.

• Kn: grafo completo com n nósnúmero de arestas: n(n-1)/2.

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Conceitos Básicos

• Grafo nulo é o grafo cujo conjunto de vértices é vazio.

• Grafo vazio é o grafo cujo conjunto de arestas é vazio.

• Grafo trivial é o grafo que possui apenas um vértice e nenhuma aresta.

• Grafo regular é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau.

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Conceitos Básicos

• Multigrafo é um grafo que permite múltiplas arestas ligando os mesmos vértices (arestas paralelas).

• Laço (loop) é uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo

• Pseudografo é um grafo que contém arestas paralelas e laços.

• Ciclo (ou circuito) é um caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento 1 são laços. No grafo de exemplo, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) é um ciclo de comprimento 6.

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Conceitos Básicos

Conceitos Básicos

• Um ciclo simples é um ciclo que tem um comprimento pelo menos de 3 e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez.

• Um grafo chama-se acíclico se não contém ciclos simples.

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Conceitos Básicos

• Caminho de a :Sequência P de vértices e arestas alternados, tais que cada aresta é incidente ao nó (vértice) anterior e ao nó posterior. P é um ciclo ou circuito.

iv jv

ji vv

• Caminho simples: cada vértice aparece exatamente uma vez.

• Comprimento de um caminho: número de arestas.

• Caminhos disjuntos em vértices/arestas: não têm vértices/arestas em comum.

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Conceitos Básicos

• Árvore: grafo conexo sem circuitos.

• Floresta: grafo cujas componentes conexas são árvores.

Um caminho é uma árvore?

Sim!

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Árvores de voos

Menor escala de Árvores de voos

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Caminho Euleriano

• É um caminho em um grafo que visita cada aresta apenas uma vez. Com caso especial o Caminho Euleriano começa e termina no mesmo vértice.

• Precisam ter grau par.

• Um grafo G conexo possui caminho Euleriano se e somente se ele tem no máximo dois vértices de grau ímpar,

que são justamente a entrada e saída.

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Pontes de Königsberg - Kaliningrado, na Rússia

• Possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma.

•  Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em

pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história.

• Percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos.

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Caminho Hamiltoniano

• Caminho Hamiltoniano ou caminho rastreável é um caminho que visita cada vértice exatamente uma vez.

• Um grafo é Hamilton-conectado se para cada par de vértices existe um caminho Hamiltoniano entre os dois vértices.

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Conceitos Básicos

• Matriz de adjacência:

Uma linha para cada nóUma coluna para cada nó

a23

1 2

34

a12

a13

a24

a34

0000

1000

1100

0110

nnA

aij = 1 (i , j ) A

aij = 0 (i , j ) A

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Conceitos Básicos

• Matriz de incidência nó-arco:Uma linha para cada nóUma coluna para cada aresta

),( AVG nV ||

mA ||

Ajia ),(

0

1

0

1

0

j

i

a

1 2

34

a1

a2

a3

a4

a5

11000

10110

01101

00011

nmA

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Conceitos Básicos

• Matriz de incidência nó-arco:Uma linha para cada nóUma coluna para cada aresta

),( AVG nV ||

mA ||

Ajia ),(

0

1

0

1

0

j

i

a

1 2

34

a1

a2

a3

a4

a5

11000

10110

01101

00011

nmA

Charles Chaplin

“A vida é uma peça de teatro que não permite ensaios. Por isso, cante, chore, dance, ria e viva intensamente, antes que a cortina se feche e a peça termine sem aplausos”.

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