Análise de Circuitos - ASSESSOR.COM.PT · uma dependência linear entre a corrente que o ... Slide...

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Universidade de AveiroDepartamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática

Sistemas Electrónicos

Mestrado Integrado em Engenharia de

Computadores e Telemática

Análise de Circuitos

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Conteúdos

• Grandezas eléctricas– Carga– Corrente– Tensão– Potência

• Elementos de um circuito eléctrico– Fontes independentes– Resistências– Fontes dependentes– Condensadores– Bobines

• Elementos topológicos – Nó, Ramo e Malha– Ligações série e paralelo

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• Os efeitos da gravidade são facilmente apreciados no dia a dia.

• As forças da gravidade são conhecidas, sendo possível quantificá-las e determinar o seu efeito.

• Contudo, não as conseguimos ver.

• De forma semelhante, os efeitos da carga eléctrica também são facilmente observados. No entanto a carga eléctrica é algo que não conseguimos ver.

Grandezas eléctricas - Carga

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• Continuando com a comparação entre gravidade e carga eléctrica…

– A gravidade permite-nos compreender as forças atractivas entre corpos de massa diferente.

– Sabe-se que corpos de maior massa, exercem forças atractivas mais intensas sobre corpos de menor massa.

• Relativamente à carga eléctrica foram identificadas forças atractivas e repulsivas


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• A existência de forças atractivas e repulsivas pressupõe dois tipos de carga eléctrica:

– Carga negativa.

– Carga positiva.

• Relativamente a estes dois tipos da carga, sabe-se que:

– Cargas de igual sinal repelem-se.

– Cargas de sinal contrário atraem-se.


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• Toda a matéria é constituída por átomos. A carga eléctrica é uma propriedade das partículas do átomo:– Carga negativa – electrões.

– Carga positiva – protões.

– Os neutrões têm carga nula.

– Globalmente o átomo é neutro.

• A carga de um electrão é de -1.602E-19 C (Coulomb).


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• A corrente num condutor possui direcção e magnitude associadas.

• A corrente é a medida da razão em que a carga se está a movimentar, através de uma superfície de referência e numa determinada direcção.

• Se q(t) for a variação temporal da carga, a corrente é dada por:

Grandezas eléctricas - Corrente

( ) ( )dt

tdqti =

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• A corrente é medida e Ampère (A), em virtude dos primeiros estudos sobre corrente eléctrica, executados por André Marie Ampère.

• 1 A é corresponde ao movimento de carga à razão de 1 C/s.

• De forma equivalente a carga transferida entre os tempos t0 e t é definida por:

Grandezas eléctricas - Corrente

( )duuiq

t

t

∫=0

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• Quando uma corrente atravessa um determinado elemento do circuito, entrando no terminal A e saindo no terminal B, surge entre A e B uma diferença de tensão (ou potencial).

Grandezas eléctricas - Tensão

A

B

I

VAB E

• A diferença de tensão através do elemento é uma medida do trabalho realizado para que uma determinada quantidade de carga atravesse o elemento.

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• A tensão aos terminais de um elemento é o trabalho realizado para mover 1 C de carga de um terminal ao outro.

• A tensão é medida em Volts (V), em virtude dos trabalhos de Alessandro Volta.

• 1 V é equivalente a 1 J/C.

Grandezas eléctricas - Tensão

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• A potência é uma medida da energia despendida por unidade de tempo. A potência é medida em Watts (W).

• 1 W equivale a 1 J/s

• A potência é proporcional:

– À carga por unidade de tempo – corrente

– E ao trabalho necessário para transferir 1 C de carga -tensão

Grandezas eléctricas - Potência

VIP =

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• O balanço de potência num circuito é sempre nulo, em consequência do principio fundamental da conservação da energia.

• Assim, pode coexistir num mesmo circuito:– Potência fornecida: P<0

– Potência absorvida: P>0

– Potência dissipada: P>0

• É necessário convencionar quando um elemento fornece, absorve ou dissipa potência.


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• P>0 quando a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais têm o mesmo sentido.

• P<0 quando a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais têm sentidos opostos.


A

B

I

VAB E

PE>0

A

B

I

VAB

E

PE<0

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• Há dois tipos de fontes independentes:

– Fontes de tensão.

– Fontes de corrente.

• As fontes independentes servem para representar as variáveis de entrada de um determinado circuito, consequentemente podem representar:

– A alimentação do circuito (fontes DC).

– Os estímulos de entrada do circuito (fontes de sinal).

Elementos – Fontes Independentes

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• Fontes independentes de tensão

• Fontes independentes de corrente

Elementos – Fontes Independentes

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• Chama-se resistência a um elemento que exibe uma dependência linear entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais.

• Esta relação linear é conhecida por Lei de Ohm, e estabelece que:

• A resistência é medida em Ohms (Ω), em virtude dos resultados do físico George S. Ohm.

Elementos – Resistência

R

VIRIV

I

VR =⇔=⇔=

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• A resistência é uma propriedade existente em todos os materiais condutores.

• Quantifica a oposição que um determinado elemento condutor oferece à passagem de corrente.


S

L

S

LR ρ=

• L – comprimento (m).

• S – área de secção (m2).

• ρ – resistividade do material

(Ω/m).

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• Por definição, a resistência é um elemento que dissipa potência. A energia eléctrica fornecida a uma resistência é por esta convertida em calor.

• Consequentemente, PR>0


02

2

>=== RIR

VVIPR

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• O recíproco da resistência é a condutância.

• A condutância é medida em Siemens (o recíproco do Ohm) (S, ou Ω-1).

• Verifica-se de forma análoga que:


V

I

RG ==

1

02

2

>=== GVG

IVIPG

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• As fontes dependentes são classificadas quanto à variável de controlo e quanto à variável controlada.

• Assim podem existir 4 tipos de fontes dependentes:

– Fonte de tensão controlada por tensão (VCVS).

– Fonte de tensão controlada por corrente (CCVS).

– Fonte de corrente controlada por tensão (VCCS).

– Fonte de corrente controlada por corrente (CCCS).

Elementos – Fontes Dependentes

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• VCVS

• CCVS


• Av é uma razão entre duas tensões.

• Rm é uma razão entre uma tensão e uma corrente, com dimensão de Ω.

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• VCCS

• CCCS


• Gm é uma razão entre uma corrente e uma tensão, com dimensão de Ω-1.

• Ai é uma razão entre duas correntes.

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• Chama-se condensador a um elemento que exibe uma relação diferencial entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais.

• A capacidade (C) do condensador é medida em Farads (F), em virtude dos resultados do físico Michael Faraday.

Elementos – Condensador

( )∫ +=⇔=t

t

tvidtC

vdt

dvCi

0

0

1Cvq =

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• A capacidade é uma propriedade existente entre duas placas de material condutor que não se tocam.

• Quantifica a capacidade de armazenar energia sobre a forma de campo eléctrico.


d

AC ε=

• A – área das placas (m2).

• d – distância entre as placas(m).

• ε – permitividade dieléctrica

(F/m).

dA

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• Um condensador não dissipa energia, armazena-a sobre a forma de campo eléctrico.

• A potência fornecida ao condensador:

• A energia armazenada é:


dt

dvCvviPC ==

I

C

V2

0

2

1CvdtPW

t

t

CC ∫ ==

Slide 26

• Características importantes de um condensador:– Se a tensão aos terminais de um condensador não

varia com o tempo, então a corrente que o atravessa é nula.

– O condensador pode armazenar energia, mesmo quando a corrente que o atravessa é nula.

– A tensão aos terminais de um condensador não pode variar instantaneamente.

– Um condensador nunca dissipa energia, apenas a armazena.


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• Chama-se bobine a um elemento que exibe uma relação integral entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais.

• A indutância (L) da bobine é medida em Henries(H), em virtude dos resultados do físico JosephHenry.

Elementos – Bobine

( )dt

diLvtivdt

Li

t

t

=⇔+= ∫0

0

1

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• A indutância é uma propriedade existente em todos os materiais condutores.

• Quantifica a capacidade de armazenar energia sobre a forma de campo magnético.


s

ANL2µ=

• N – numero de espiras.• A – área de secção (m2).• s – comprimento da bobine (m).• μ – permeabilidade magnética

(H/m).

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• Uma bobine não dissipa energia, armazena-a sobre a forma de campo magnético.

• A potência fornecida à bobine:

• A energia armazenada é


dt

diLiviPL ==

2

0

2

1LidtPW

t

t

LL ∫ ==

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• Características importantes de uma bobine:

– Se a corrente que atravessa uma bobine não varia com o tempo, então a tensão aos seus terminais é nula.

– A bobine pode armazenar energia, mesmo quando a tensão aos seus terminais é nula.

– A corrente que atravessa uma bobine não pode variar instantaneamente.

– Uma bobine nunca dissipa energia, apenas a armazena.


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• Um nó de circuito é um ponto partilhado pelo menos por dois elementos.

Elementos Topológicos – Nó

Nó

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• Um ramo de circuito é a conexão existente entre dois nós, formada por um elemento de circuito.

Elementos Topológicos – Ramo

Ramo

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• Uma malha de circuito é uma composição fechada de ramos de circuito

Elementos Topológicos – Malha

Malha

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• Nó de referência – é o nó relativamente ao qual todas as tensões de um circuito podem ser especificadas.

• A sua escolha é perfeitamente arbitrária.

• Por regra e de forma a facilitar a análise, escolhe-se para referência o nó partilhado pelo maior numero de componentes possível.

Elementos Topológicos

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• Ligação série de elementos – composição de N elementos envolvendo N-1 nós partilhados por elementos consecutivos.


Nós com 2 elementos apenas

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• Ligação paralela de elementos – composição de N elementos envolvendo 2 nós partilhados por todos os N elementos.


1 nó apenas

1 nó apenas

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“Topologicamente equivalentes”


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“Topologicamente equivalentes”


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Dois circuitos são topologicamente equivalentes se:

• Resistem a transformações topológicas mantendo as mesmas características:

– Esticar.

– Torcer (sem implicar curto-circuitos).

– E outras transformações que não envolvam cortes de algum ramo do circuito.


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Conteúdos

• Leis de Kirchhoff– Lei dos nós– Lei das Malhas

• Análise Nodal– Nó essencial– Nó trivial– Super-nó

• Análise de Malhas– Malha essencial– Malha trivial– Super-malha

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• É uma consequência directa do principio fundamental da conservação de energia.

• Relaciona a forma como as correntes de um circuito se dividem na presença de um nó com vários ramos associados.

• Estabelece para estas situações que o balanço de correntes num nó de circuito é sempre nulo.

• A consequência é que nem todas as correntes que contribuem num nó de circuito tem o mesmo sentido:– Umas “chegam ao nó”;– Outras “abandonam o mesmo”.

Leis de Kirchhoff – lei dos Nós

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Slide 43

• Formalmente

Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós

Nó

0=∑ kI

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• Alternativamente

Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós

Nó

∑∑ =out

k

in

k II

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Slide 45

• É também uma consequência directa do principio fundamental da conservação de energia.

• Relaciona a forma como as tensões de um circuito se distribuem pelos vários elementos de uma malha.

• Estabelece para estas situações que o balanço das quedas de tensão numa malha de circuito é sempre nulo.

• A consequência é que nem todas as quedas de tensão de uma malha de circuito tem o mesmo sentido:– Umas “têm sentido horário”;– Outras “têm sentido anti-horário”.

Leis de Kirchhoff – lei das Malhas

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• Formalmente

Leis de Kirchhoff – Lei das Malhas

0=∑ kV

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• Alternativamente

Leis de Kirchhoff – Lei das Malhas

∑∑ =CCW

k

CW

k VV

CW – ClockwiseCCW – Counter Clockwise

Slide 48

• Análise baseada na lei dos nós de Kirchhoff.

• Assenta no seguinte algoritmo:

– Escolha do nó de referência.

– Identificação dos restantes nós.

– Para cada nó:

• Arbitrar os sentidos das correntes que contribuem no nó.

• Escrever a equação de correntes resultantes.

• Relacionar cada corrente com as tensões nodais do circuito (usando para tal as leis descritivas dos elementos que compõem o circuito).

Análise Nodal

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Slide 49

• Num circuito contendo N nós, este algoritmo resulta sempre num sistema de N-1 equações, com N-1 incógnitas.

• As incógnitas são as tensões nodais do circuito.

• As tensões nodais são as tensões medidas entre cada nó do circuito e o nó de referência.

• Sendo arbitrária a escolha do nó de referência, são também arbitrários os valores das tensões nodais!

• No entanto, a relação entre as tensões nodais é sempre a mesma!

Análise Nodal

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• As leis descritivas dos elementos de um circuito (R, L e C) relacionam as correntes que os atravessam com as quedas de tensão aos seus terminais.

• Um queda de tensão não é mais do que a diferença entre duas tensões nodais.

Análise Nodal

21VVVE −=

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Slide 51

• Fontes de corrente (independentes ou dependentes) estabelecem de forma directa qual o valor da corrente no ramo que ocupam.

• Fontes de tensão (independentes ou dependentes) apresentam algumas dificuldades:

– É impossível saber à priori qual a corrente fornecida/absorvida por uma fonte de tensão

– Podem em casos particulares, estabelecer de forma directa o valor de uma tensão nodal.

Análise Nodal

Slide 52

• Nó trivial: um nó para o qual o valor da tensão nodal é conhecido à priori.

• Os nós triviais surgem sempre que exista uma fonte de tensão entre o nó em causa e o nó de referência.

Análise Nodal – Nó Trivial

aVV =1

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Slide 53

• Um super-nó é um nó formado por dois nós interligados por uma fonte de tensão.

• A aplicação da lei dos nós de Kirchhoff a cada nó que compõe um super-nó inclui a referência à corrente que atravessa a fonte de tensão:– Num caso a abandonar o nó;– No outro a chegar ao nó.

Análise Nodal – Super-Nó

Slide 54

• Nó 1

• Nó 2

Análise Nodal – Super-Nó

Nó 1 Nó 2

VaIII =+21

043

=++ VaIII

+

04321=+++ IIII

aVVV =−12

Eq. Auxiliar do super-nó

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Slide 55

• Todos os nós que não são nem triviais, nem super-nós.

• Os nós essenciais são objecto da aplicação directa da lei dos nós de Kirchhoff.

• Não necessitam de equações auxiliares.

• O valor das suas tensões nodais não é conhecido à priori.

Análise Nodal – Nó Essencial

Slide 56

• Análise baseada na lei das malhas de Kirchhoff.

• Assenta no seguinte algoritmo:

– Identificação das malhas do circuito.

– Para cada malha:

• Arbitrar os sentidos das correntes de malha.

• Escrever a equação de tensões resultantes.

• Relacionar cada queda de tensão com as correntes de malha do circuito (usando para tal as leis descritivas dos elementos que compõem o circuito).

Análise de Malhas

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Slide 57

• Num circuito contendo N malhas, este algoritmo resulta sempre num sistema de N-1 equações, com N-1 incógnitas.

• As incógnitas são as correntes de malha do circuito.

• As correntes de malha são correntes abstractas que circulam dentro de cada malha.

• Os sentidos atribuídos ás correntes de malha são arbitrários

• Uma corrente de malha com sinal negativo indica que o sentido real é o oposto do sentido arbitrado.

Análise de Malhas

Slide 58

• As leis descritivas dos elementos de um circuito (R, L e C) relacionam as correntes que os atravessam com as quedas de tensão aos seus terminais.

• A corrente que atravessa um elemento pertencente a duas malhas, relaciona-se com as respectivas correntes de malha.

Análise de Malhas

21IIIE −=

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Slide 59

• Fontes de tensão (independentes ou dependentes) estabelecem de forma directa qual o valor da queda de tensão do ramo que ocupam.

• Fontes de corrente (independentes ou dependentes) apresentam algumas dificuldades:

– É impossível saber à priori qual a queda de tensão numa fonte de corrente.

– Podem em casos particulares, estabelecer de forma directa o valor de uma corrente de malha.

Análise de Malhas

Slide 60

• Malha Trivial: uma malha na qual o valor da corrente de malha é conhecido à priori.

• As malhas triviais surgem sempre que exista uma fonte de corrente não partilhada dentro de uma malha.

Análise de Malhas – Malha Trivial

aII =1

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• Uma super-malha é uma malha formada por duas malhas que partilham uma fonte de corrente.

• A aplicação da lei das malhas de Kirchhoff a cada malha que compõe uma super-malha inclui a referência à queda de tensão na fonte de corrente:– Num caso no sentido horário;– No outro no sentido oposto.

Análise de Malhas – Super-Malha

Super-Malha

Slide 62

• Malha 1

• Malha 2

Análise de Malhas – Super-Malha

Malha 1 Malha 2

0421

=+++ IaVVVV

IaVVVV =++765

+0

765421=+++++ VVVVVV

aIII =−12

Eq. Auxiliar da super-malha

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Slide 63

• Todas as malhas que não são nem triviais, nem super-malhas.

• As malhas essenciais são objecto da aplicação directa da lei das malhas de Kirchhoff.

• Não necessitam de equações auxiliares.

• O valor das suas correntes de malha não é conhecido à priori.

Análise de Malhas – Malha Essencial

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Conteúdos

• Associação de resistências

– Série

– Paralelo

• Divisor de tensão

• Divisor de corrente

• Teorema da sobreposição

• Circuitos duais

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Slide 65

Associação de Resistências - Série

( )IRRRRV

IRIRIRIRV

NN

NN

++++=

++++=

−

−

121

121

..

..

IRV eq=

⇔

∑=

=N

k

keq RR1

Aplicando a lei das malhas

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Associação de Resistências - Paralelo

VRRRR

I

R

V

R

V

R

V

R

VI

NN

NN

++++=

++++=

−

−

11..

11

..

121

121

eqR

VI =

⇔

∑=

=N

k keq RR 1

11

Aplicando a lei dos nós

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Divisor de Tensão

21RR

VI

+=

VRR

RIRVAB

21

1

1 +==

VRR

RIRVBC

21

2

2 +==

Slide 68

Divisor de Corrente

IRR

RRIRV eq

21

21

+==

IRR

R

R

VIR

21

2

1

1 +==

IRR

R

R

VIR

21

1

2

2 +==

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• O teorema da sobreposição é uma consequência directa do princípio de linearidade.

– Se y1 é a resposta ao estímulo x1– y2 a resposta ao estímulo x2– Então, ay1+by2 é resposta ao estímulo ax1+bx2, onde a

e b são constantes reais.

• Circuitos que contenham, resistências, condensadores, indutâncias fontes independentes e fontes dependentes, obedecem a este princípio.

Teorema da Sobreposição

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• Se as fontes independentes ([V1 V2 .. VN], ([I1 I2 .. IM]), de um circuito representarem os estímulos de entrada do mesmo, então:

– Qualquer queda de tensão no circuito é obtida como uma combinação linear das fontes independentes.

VX=[a1 a2 .. aN] [V1 V2 .. VN]T+ [b1 b2 .. bM] [I1 I2 .. IM]T

– Qualquer corrente no circuito é obtida como uma combinação linear das fontes independentes.

IX=[c1 c2 .. cN] [V1 V2 .. VN]T+ [d1 d2 .. dM] [I1 I2 .. IM]T


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• As constantes ak, bk, ck e dk dependem dos restantes elementos que compõem o circuito.

• O teorema da sobreposição consiste na aplicação inversa do principio da linearidade.

• Uma vez que todas as correntes e tensões num circuito são combinações lineares das fontes independentes do mesmo,

• Então, é possível determinar o valor de qualquer tensão ou corrente no circuito, como uma soma de contribuições tomando uma fonte independente de cada vez.


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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

211

211

VVVVIVV

VIVIIII

XXXX

XXXX

++=

++=

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• Circuitos duais, são circuitos que têm descrições formais semelhantes.

• Assentam numa série de transformações duais bem definidas.

• Obtêm-se de forma topológica, por aplicação directa dos princípios e transformação.

Circuitos Duais

Dual de

Nó Malha

Corrente Tensão

Resistência (R) Condutância (G)

Capacidade (C) Indutância (L)

Fonte de corrente Fonte de tensão

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Circuitos Duais

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Conteúdos

• Teorema de Thévenin

• Teorema de Norton

• Transformação de fontes

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• O Teorema de Thévenin estabelece que todos os circuitos lineares podem ser representados por um circuito equivalente contendo:– Uma fonte de tensão ideal – fonte de Thévenin;– Em série com uma resistência equivalente – resistência de

Thévenin.

Teorema de Thévenin

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• O processo para determinar o circuito equivalente de Thévenin é algo complexo:– A tensão equivalente de Thévenin é a tensão que

surge entre os terminais A-B identificados, com estes em aberto.

– A resistência de Thévenin é a resistência vista dos terminais A-B identificados, quando se coloca a 0 todas as fontes independentes do circuito.• Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito

inclui fontes dependentes.

• Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste.


Slide 78

• Uma alternativa é utilizar sempre uma fonte de teste.

• Partindo do equivalente de Thévenin,


THTTHA VIRV +=

• No circuito original:

• Identificar o nó B como referência.

• Escrever as equações nodais e resolver em ordem a VA.

• O termo constante é VTH, o termo dependente de IT é RTH.

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• O Teorema de Norton estabelece que todos os circuitos lineares podem ser representados por um circuito equivalente contendo:– Uma fonte de corrente ideal – fonte de Norton;– Em paralelo com uma resistência equivalente – resistência

de Norton.

Teorema de Norton

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• O processo para determinar o circuito equivalente de Norton é parecido com o anterior:– A corrente equivalente de Norton é a corrente que

passa nos terminais A-B identificados, quando estes estão em curto-circuito.

– A resistência de Norton é a resistência vista dos terminais A-B identificados, quando se coloca a 0 todas as fontes independentes do circuito.• Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito

inclui fontes dependentes.

• Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste.

Teorema de Norton

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Slide 81

• Uma alternativa é utilizar sempre uma fonte de teste.

• Partindo do equivalente de Norton,

Teorema de Norton

N

TNAB

R

VII −=

• No circuito original:

• Escrever as equações de malha e resolver em ordem a IAB.

• O termo constante é IN, o termo dependente de VT é RN.

Slide 82

• As fontes independentes podem ser de dois tipos:– Fontes de tensão.– Fontes de corrente.

• Em ambos os casos, estas fontes representam circuito ideais.

• Na realidade, não existem fontes ideais de corrente ou tensão.

• As fontes reais têm perdas:– No caso de uma fonte de tensão, a tensão nominal baixa

com a corrente fornecida ao circuito.– No caso de uma fonte de corrente, a corrente nominal

baixa com a tensão imposta pelo circuito.

Transformação de Fontes

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• Este efeito de diminuição da tensão nominal ou corrente nominal nas fontes reais pode ser quantificado por uma resistência interna de perdas.

– No caso das fontes de tensão, em série com a fonte ideal.

– No caso das fontes de corrente, em paralelo com a fonte ideal.


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LSSAB IRVV −=

S

LSAB

R

VII −=

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• As fontes reais tem um comportamento linear.

• Como tal, enquadram-se dentro dos pressupostos dos teoremas de Norton e Thévenin.

• Em consequência, uma fonte real de tensão pode ser representada por uma fonte real de corrente e vice-versa.


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FTHS

FFTHS

RRR

IRVV

==

==

FNS

S

SNF

RRR

R

VII

==

==

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1. Análise nodal e de malhas

2. Super-nós e super-malhas

3. Análise nodal com fontes dependentes

4. Análise de malhas com fontes dependentes

5. Equivalentes de Thévenin e Norton

6. Transformação de fontes

Exercícios Resolvidos

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• 4 nós– 1 trivial

– 1 referência

– 2 essenciais

Análise nodal e Análise de malhas - 1

• 2 malhas

– 1 trivial

– 1 essencial

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aVV =1

3

32

2

2

2

21

321

R

VV

R

V

R

VV

III RRR

−+=

−

+=

IR1

IR2

IR3

0

0

3

32

3

=+−

=+

b

bR

IR

VV

II

V1V2 V3V1 é um

nó Trivial

Slide 90


( ) 0

0

21211

21

=−−+

=−+

a

aRR

VIIRIR

VVVbII −=

2

I2 é uma malha Trivial

I1 I2

03-03-2010

46

Slide 91

• 4 nós– 1 super-nó

– 1 referência

– 1 essencial

Super-nós e super-malhas - 2

• 3 malhas

– 1 super-malha

– 1 essencial

Slide 92


b

bRRR

IR

VV

R

V

R

V

IIII

=−

++

=++

3

32

2

2

1

1

321

IR1 IR2

IR3

4

3

3

32

43

R

V

R

VV

II RR

=−

=

V1 V2 V3V1-V2 é um super-nó

IR4

aVVV =−12

Equação auxiliar

03-03-2010

47

Slide 93


( ) 0

0

32211

21

=−+−

=+−

IIRVIR

VVV

a

RaR

( ) 0

0

3433232

432

=++−

=++

IRIRIIR

VVV RRR

I1-I2 é uma super-malha

I1 I3I2

bIII =−12

Slide 94

• 4 nós– 1 trivial

– 1 referência

– 2 essenciais

Análise nodal com fontes dependentes – 3

• 2 fontes dependentes

– 1 VCVS

– 1 CCCS

03-03-2010

48

Slide 95

cvVAV =1

IR3

0

0

3

32

3

=+−

=+

b

bR

IR

VV

II

V1 V2 V3

V1 é um nó trivial

ci

ciRR

IAR

VV

R

VV

IAII

+−

=−

+=

3

32

1

21

31

Equações de controlo

IR1

3VVc =

1

21

1

R

VVII Rc

−==

Análise nodal com fontes dependentes – 3

Slide 96

Análise de malhas com fontes dependentes – 4

• 2 malhas

– 1 trivial

– 1 essencial

• 2 fontes dependentes

– 1 VCCS

– 1 CCVS

03-03-2010

49

Slide 97

cmVGI −=1

I1 é uma malha trivial

0

0

22

2

=−+

=−+

cma

cmaR

IRVIR

IRVV

Equações de controlo

211

1

IRIRV

IRVV

mc

cmRc

−=

+=

2IIc −=

Análise de malhas com fontes dependentes – 4

I2I1

Slide 98

Equivalentes de Thévenin e Norton – 5

• Va-R1-R2 é um divisor de tensão.

• Colocando uma fonte de teste entre os pontos A e B, a tensão VAB (a corrente IAB)pode ser determinada pelo teorema da sobreposição

03-03-2010

50

Slide 99


( )

cmIAB

TVAB

VABIABAB

VGRV

IRRV

VVV

T

a

aT

30

430

00

−=

+=

+=

=

=

==

ac VRR

RV

21

2

+=

( ) TamAB IRRVRR

RRGV

43

21

32 +++

−=

VTH RTH

Slide 100

( )( )434321

32

RR

V

RRRR

VRRGI TamAB +

+++

−=


cmVAB

T

VAB

VABVABAB

VGRR

RI

RR

VI

III

T

a

aT

43

3

0

43

0

00

+−=

+=

+=

=

=

==

ac VRR

RV

21

2

+=

INRN

03-03-2010

51

Slide 101

Transformação de fontes - 6

Req=R

R

VI aa2

=

Slide 102


2

ab

ab

VV

RIV

=

=

Req=2R

03-03-2010

52

Slide 103

Vb

A

B

2R

2R


4

22

2

aAB

bAB

VV

VRR

RV

=

+=

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