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UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II
Módulo III
FASORES E IMPEDÂNCIA
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22UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Forma Retangular:
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33UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Operações com o j:
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44UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
z = x+jy sendo j=(-1)1/2
Para:
z1=x1+jy1 e z2=x2+jy2
Adição e Subtração:
z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)
z1-z2=(x1-x2)+j(y1-y2)
Multiplicação:
Forma Retangular:
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55UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Divisão:
Complexo conjugado:
z=x+jy z*=x-jy
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66UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Forma Polar:
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77UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Formas Exponencial e Polar: Fórmulas de Euler:
Corolários:
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88UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Sendo:
Multiplicação nas Formas Exponencial e Polar:
Divisão nas Formas Exponencial e Polar:
Multiplicação pelo Conjugado:
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99UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Conversão entre formas:
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1010UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Representação Retangular: Representação Polar:
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1111UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Subtração:Adição:
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1212UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Função de Circuito
Para a entrada:
A resposta forçada é:
Equação diferencial relacionando entrada e saída de um circuito:
Substituindo x(t) e yp(t):
Resultando a Função de Circuito:
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1313UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Teorema
Se yp(t) for a resposta forçada à entrada complexa x(t), a resposta forçada à parte real de x(t) será a parte real de yp(t).O mesmo acontece em relação às partes imaginárias.
Substituindo x(t) e yp(t) na equação seguinte:
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1414UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Teorema
Separando os termos das componentes real e imaginária:
Comprova-se que y1(t) é a resposta forçada de x1(t) e y2(t) é a resposta forçada de x2(t).
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1515UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Considerando-se a Função:
Sendo:
uma função complexa;
e o seu conjugado.
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1616UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Fasores Girantes em Sentidos Contrários
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1717UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
A Resposta Forçada ao Fasor Girante
Tem a forma
Se: e
Tem-se as projeções dos fasores girantes no eixo real:
e
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1818UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Fasor é o valor do Fasor Girante em sentido anti-horário no instante t =0.
Há uma correspondência entre o Fasor
E a função senoidal
A resposta forçada a é
Com e Função de Circuito
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1919UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Se
Sendo e
De modo semelhante, a resposta forçada a
é
Assim, para a entrada:
Por superposição, têm-se a resposta forçada:
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2020UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Adição de duas tensões senoidais:
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2121UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Adição de duas tensões senoidais:
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2222UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
O Fasor
Adição de duas correntes senoidais:
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2323UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Exemplo
Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .
Sendo s=jω
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2424UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Exemplo
Como:
A corrente fasorial é:
E a corrente no domínio do tempo:
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2525UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
Considerando-se o circuito com a notação fasorial:
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2626UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
Para o Resistor:
Impedância: Admitância:
Condutância:
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2727UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
Para o Capacitor:
Impedância: Admitância:
(Ω)
(
Reatância Capacitiva:
XC=1/(ωC) (Ω)
Susceptância Capacitiva:
i = C dv/dt
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2828UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
Para o Indutor:
Impedância: Admitância:
(Ω)(
Reatância Indutiva:
XL=ωL (Ω)
(Susceptância Indutiva:
v = L di/dt
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2929UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
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3030UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância
Diagrama de Impedâncias
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3131UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância
Variação da Impedância com a Frequência Angular
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3232UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedância e Admitância
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3333UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Lei das Tensões
A soma algébrica dos fasores de tensão em um circuito fechado é igual a zero.
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3434UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Lei das Correntes
A soma algébrica dos fasores de corrente em um nó é igual a zero.
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3535UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedâncias em Série
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3636UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Impedâncias em Paralelo
Y1 = I1/V Y2 = I2/V Y3 = I3/V Y = I/V
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3737UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Exemplo
Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .
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3838UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Diagramas Fasoriais
Circuito RLC Série :
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3939UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Diagramas Fasoriais
Circuito RLC Paralelo :
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4040UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Diagramas Fasoriais
Lugar Geométrico do Fasor I variando-se R ou L de 0 a ∞
Sendo: e
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4141UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Diagramas Fasoriais
Resultando nos seguintes gráficos:
Variação de R:Semicircunferência de raio Vm/(2ωL)
Variação de L:Semicircunferência de raio Vm/(2R)
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4242UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Variação da Impedância com a Frequência
Para o circuito série RLC:
Tem-se as frequências angular e cíclica de ressonância:
Que ocorrem quando XL=XC, resultando: VL=-VC
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4343UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Gráficos e diagramas das tensões no circuito série RLC em ressonância:
No circuito ressonante, a corrente está em fase com a tensão.
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4444UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Com a frequência de ressonância, o circuito série RLC torna-se puramente resistivo, com impedância mínima e corrente máxima.
Frequência menor que a de ressonância torna o circuito série RLC capacitivo e maior que a de ressonância torna o circuito indutivo.
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4545UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Fator de Qualidade – Circuito Série RLC
Variação da corrente com Q:
Largura da banda de frequência:
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4646UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Com a frequência de ressonância, o circuito paralelo RLC torna-se puramente resistivo, com impedância máxima e corrente mínima.
Frequência menor que a de ressonância torna o circuito paralelo RLC indutivo e maior que a de ressonância torna o circuito capacitivo.
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4747UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Ressonância
Fator de Qualidade – Circuito Paralelo RLC
Variação da impedância com Q: Largura da banda de frequência:
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4848UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Teorema de Thévenin
Aplica-se o Teorema de Thévenin aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.
Zth é a impedância equivalente da rede linear, a partir dos terminais A e B, com as fontes independentes desativadas.
Circuito equivalente de Thévenin:
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4949UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Teorema de Norton
Aplica-se o Teorema de Norton aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.
Circuito equivalente de Norton: