Análise de Circuitos Acoplados Magnéticamente
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Análise de Circuitos Acoplados Magneticamente
Análise de Circuitos Acoplados Magneticamente
Prof. André Nunes de SouzaUnesp/FEB-DEE
Análise de Circuitos Acoplados Magneticamente
Análise de Circuitos Acoplados Magneticamente
Bobinas vizinhas; Fluxo magnético mútuo; Circuitos mutuamente acoplados; Tensão Induzida Indutância
Mútua; Transformadores Lineares; Análise no domínio do tempo e da
freqüência.
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Indutância Mútua Enlace de Fluxo
Da lei de Faraday a tensão é dada:
LiN
dt
diL
dt
dv
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Indutância Mútua Duas bobinas
próximas; A primeira com N1
espiras (primário); A segunda com N2
espiras (secundário);
Transformador Simples.
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Indutância Mútua Secundário em vazio;
A tensão v2 é:
M21 é a indutância mútua, em henrys (H)
21111 L
dt
dN
dt
dv 21
222
121212 iMN
dt
diMv
12 21
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Indutância Mútua A tensão v1 é:
O primário em aberto (corrento no secundário).
Nesta situação v1 é:
dt
dv
11
1111 1 NiL
dt
diLv
11 1
12222 L
dt
dN
dt
dv 12
111
212121 iMN
dt
diMv 2121
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Indutância Mútua A tensão v2 é:
Para o caso geral onde i1 e i2 é diferente de zero:
Tensões v1 e v2
dt
dv 22
22222 NiL
dt
diLv 222
2221211222
1211122111
L
L
dt
diL
dt
diMv
dt
diM
dt
diLv
22
1
211
2
1
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Indutância Mútua Convenção de ponto; Polaridade da tensão mútua;
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Indutância Mútua Exemplo
Dado que i1(0-)=0 Aplicando a LKT no primário
2010 11 idt
di
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Indutância Mútua Exemplo
A equação anterior é uma equação diferencial de primeiro grau, com solução geral.
Visto que i1(0+)=i1(0-)= 0, A= -2 e
No secundário
teAi 101 2
Aei t101 12
dt
div 12 25,0
Vev t102 5
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Indutância Mútua Exemplo
No caso de uma excitação com freqüência complexa s.
)()()(
)()()(
2
1
ssLssMs
ssMssLs
212
211
IIV
IIV
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Circuitos com Transformadores Lineares
Transformador de dois enrolamentos Quadripolo.
Potencial de referência do 1ário pode ser diferente 2ário.
Mesmo diferentes não alteram os valores v1, v2, i1 ou i2.
Exemplo
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21
211
II
IIV
22
10
2
12
2
3)(
ss
sss
Circuitos com Transformadores Lineares Exemplo
Resposta Completa i2, para t>0. Dados: M=1/2 H e i1(0-)=i2 (0-)=0. Por inspeção i1 é uma corrente cc e
i2f=0. Função de Rede Resposta Natural. Pela LKT;
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Circuitos com Transformadores Lineares Exemplo
Da qual encontramos
Os pólos H(s) são as freqüências naturais, -1;-4, da resposta natural. Para t>0,
Na ausência de uma excitação infinita, w(0-)=0 e portanto w(0+)=0.
Como M< (L1L2) i1(0+)=i2(0+)=0
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412
1)(
ss
ss
1
2
V
IH
ttnf eAeAiii 4
21222 0
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Circuitos com Transformadores Lineares Exemplo
Para obter a segunda condição inicial para calcular A1 e A2.
Resolvendo temos que di2(0+)/dt=6 2 A/s. Avaliando A1 e A2 , usando i2(0+) e di2(0+)/dt a
solução torna-se.
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dt
di
dt
di
dt
di
dt
di
)0()0(
2
10
)0(
2
1)0(
2
312
21
21
Aeei tt 42 22
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Impedância Refletida Circuito fasorial com uma fonte real e uma
impedância Z2 conectada ao secundário.
Aplicando a LKT no primário.
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221
211
IZI
IIV
2
1
0 LjMj
MjLj
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Impedância Refletida Eliminando I2 das equações anteriores temos:
A impedância de entrada
A segunda parte da equação acima é chamada de impedância refletida (Acoplamento Mútuo).
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1
21 I
ZV
2
1 Lj
MjMjLj
2
22
11 Lj
MLj
21
1
ZI
VZ
2
22
Lj
MR
2Z
Z
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Impedância Refletida Impedância de entrada vista pela fonte:
As relações de corrente I1/I2 e tensão V1/V2, pode ser calculada:
Os resultados são:
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1ZZZ gin
1
1
1
22
1
22
2
1
V
I
I
IZ
V
IZ
V
V
2221
2
MLjLj
Mj
Lj
Mj
2
2
1
2
21
2
Z
Z
V
V
ZI
I
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Transformador Ideal Sem perda e acoplamento unitário Indutância Própria do 1ário e 2ário
infinitas. Indutância Mútua finita. Transformadores de Núcleo de
Ferro. Relação do número de espiras n.
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1
2
N
Nn
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Transformador Ideal Fluxos dos enrolamentos Portanto,
No caso de acoplamento unitário
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2222
1111
iN
iN
2
2
2
1
1
2 nN
N
L
L
n
L
L
LLLjLj
LLj
1
2
212
21
21
2
2
1
2
Z
Z
V
V
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Transformador Ideal E,
Então as relações de tensão e corrente, são:
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n
Lj
LLjLL
1
lim2
21
, 21
21
2
ZI
I
n
n
1
1
2
1
2
I
I
V
V
21
1
2
II
V
V
.21
2
1
NN
N
N
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Transformador Ideal
A impedância do primário Z1 do circuito acima é dada por:
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2
//
nn
n 22
2
2
1
11
IV
I
V
I
VZ
2n2
1
ZZ
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Transformador Ideal A impedância de Entrada vista dos
terminais da fonte de tensão é:
O circuito equivalente no que diz respeito a Vg,
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2n2
g1gin
ZZZZZ
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Transformador Ideal No circuito anterior temos:
De forma que, para Voc, I2=0, e desta forma, I1=0. Portanto,
Para Isc, temos V2=0 e, desta forma, V1=0. Portanto,
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1221 VVII nn ,
g12oc VVVV nn
g
g12sc Z
VIII
nn
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Transformador Ideal Finalmente, temos que:
O circuito equivalente resultante é:
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gsc
octh Z
I
VZ 2n
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Transformadores em Sistemas Trifásicos Normalmente, a produção de energia elétrica em
grande escala é realizada em corrente alternada, por intermédio de geradores síncronos trifásicos.
Pode-se utilizar: transformadores trifásicos ou bancos de três transformadores monofásicos.
O custo de um transformador trifásico é menor, oferece maior rendimento e ocupa menos espaço do que um banco de três monofásicos. A adoção de bancos de três monofásicos requer reserva menos dispendiosa para fazer frente a eventuais avarias.
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Ligações em Estrela (Y)
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Tipo de Ligação: A1,A2,B1,B2 e C1,C2 são os
terminais das fases.
Circuito representativo
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Ligações em Estrela (Y)
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Diagrama fasorial
BABNANNBANAB VVVVVVV 303 j
AAB eVV
Ligação em Y dotada de um 4° fio conectado ao seu neutro
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Ligações em Estrela (Y) Recomendáveis para circuitos de tensões
mais elevadas.
Máxima tensão nas fases de transformadores com neutros aterrados será igual a da tensão entre os terminais das estrelas.
Sempre se encontra duas fases ligadas em série entre cada par de fios da linha trifásica.
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Ligações em Estrela ()
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Tipo de ligação Circuito representativo
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Ligações em Estrela ()
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Diagrama fasorial
303
)(j
AAC
CAAC
eII
III
Ligação em dotada de um 4° fio ligado ao ponto intermediário a um dos pares de seus terminais
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Ligações em Estrela () Cada uma de suas fases encontra-se, sempre,
em paralelo com as duas restantes. A excitação de cada uma de suas fases
independe das excitações das demais. Podem ser encontradas em linhas que não
requeiram um neutro simétrico. Sendo recomendadas para tensões mais baixas e moderadas.
A corrente em suas fases reduzem-se a das correntes de linha.
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3/1
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Combinação (YY)
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Tipo de Ligação
Representação em conjunto com uma fonte trifásica
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Combinação (YY)
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Diagrama fasorial
As tensões primárias e secundárias em cada fase não apresentam quaisquer defasagens, o mesmo acontecendo com as correntes.
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Combinação (YY) Há possibilidade de um 4° fio ativo ( ou
os dois neutros aterrados).
As ligações YY são mais recomendáveis para transformadores de potências pequenas, destinados a operar em linhas de tensões mais elevadas em razão de suas tensões por fase serem inferiores às das linhas onde eles operam.
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Combinação ()
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Representação de uma ligação
Diagrama fasorial
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Combinação () As propriedades inerentes às ligações em ,
estendem-se às combinações . Possibilidade de, em caso de avaria em um
dos transformadores de um banco, recorrer-se à ligação “em V” ou “ aberto”.
É uma opção econômica para grandes transformadores de tensões mais baixas.
Quando utilizados em redes de distribuição, usualmente os transformadores ligados em têm em uma de suas fases secundárias, um terminal intermediário para o forneci-mento de energia sob duas tensões.
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Combinação (Y) e (Y)
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Ligações de uma combi-nação Y às respectivas linhas
Composições fasoriais das tensões e correntes
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Combinação (Y) e (Y) As tensões secundárias apresentam-se
adiantadas de 30° em relação às suas correspondentes no primário.
A presença da ligação em garante a manutenção de fluxos senoidais no transformador.
Com a ligação Y com neutros aterrados, garante a circulação de correntes de sequência zero nas linhas.
Estas combinações prestam-se bem para transformadores que operam em sistemas de alta tensão.
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Operações sob condições não balanceadas Banco de transformadores monofásicos
idênticos, ligados em YY sem o 4° fio de retorno à fonte.
Operação em vazio, as tensões entre terminais e neutro serão iguais em módulo.
Os três transformadores não serem iguais, sendo o da fase A caracterizado por uma reatância de magnetização menor do que os outros dois.
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Operações sob condições não balanceadas Bancos de transformadores monofásicos ligados
em YY, com neutros isoladas e alimentando cargas desbalanceadas.
Limitação da intensidade da corrente Ia a ser fornecida à carga.
Reduções da impedância que o transformador da fase A oferece à linha de alimentação.
Desequilibram-se as tensões da fase dos transformadores
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Meu Muito Obrigado
André Nunes de Souza
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