Analise de 2a ordem

7/31/2019 Analise de 2a ordem

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ANLISE DAS METODOLOGIAS DEAVALIAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM

PREVISTAS NO EUROCDIGO 2

NUNO MANUEL DE SOUSA TERRA

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVILESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor Raimundo Moreno Delgado

Co-Orientador: Professor Doutor Jorge Moreno Delgado

JULHO DE

2008


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MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2007/2008

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tel. +351-22-508 1901

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Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

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do Porto, Porto, Portugal, 2008.

As opinies e informaes includas neste documento representam unicamente o ponto devista do respectivo Autor, no podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ououtra em relao a erros ou omisses que possam existir.

Este documento foi produzido a partir de verso electrnica fornecida pelo respectivo Autor.


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A meus Pais

Conhecimento Poder

Francis Bacon


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Anlise Das Metodologias de Avaliao dos Efeitos de 2 Ordem Previstas no EuroCdigo 2

AGRADECIMENTOS

minha me, ao meu pai e ao meu irmo,

Aos meus avs,

Aos meus tios e primos,

Ao Professor Doutor Raimundo Moreno Delgado, em especial, pela sua disponibilidade, e pacincia,com que me acompanhou no decorrer deste trabalho at sua concluso.

Muito obrigado.


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RESUMO

O principal objectivo do presente trabalho o estudo dos efeitos de 2 ordem, aspecto que tem vindo aser cada vez mais relevante e importante na quantificao dos esforos instalados nas estruturas debeto armado, resultantes de diversos factores de que se destaca a maior esbelteza das estruturasactuais. Para este fim recorreu-se aos mtodos simplificados preconizados no Eurocdigo 2, Mtododa Rigidez Nominal, Curvatura Nominal e o Mtodo do ANEXO H, procurando-se analisar aviabilidade dos mesmos.

O estudo incidiu na anlise de dois prticos constitudos por dois tramos e quatro pisos, diferindo nasdimenses dos pilares centrais. Consideraram-se, em ambos os prticos, os esforos instalados paraum conjunto de cenrios, envolvendo diferentes combinaes de aces, tendo-se considerado, emalguns, os efeitos da fluncia e o das imperfeies geomtricas, e modo a evidenciar a relevncia daconsiderao destes efeitos no dimensionamento estrutural.

PALAVRAS-CHAVE: Efeitos de 2 ordem, Mtodo da Rigidez Nominal, Mtodo da Curvatura Nominal,Mtodo P-, Imperfeies geomtricas


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NDICE GERAL

Agradecimentos ....................................................................................................................................... iii

Resumo.................................................................................................................................................... ivAbstract .................................................................................................................................................... vi

1. INTRODUO ................................................................................................................................. 1

1.1. Enquadramento geral do trabalho ................................................................................................... 1

1.2. Objectivos ........................................................................................................................................ 1

1.3. Organizao da tese ........................................................................................................................ 2

2. EFEITOS DE 2 ORDEM EM ESTRUTURAS DE BETO ARMADO ............................................ 3

2.1. Introduo ........................................................................................................................................ 32.2. Noo de efeitos de 2 ordem ......................................................................................................... 3

2.3. Aspectos regulamentares para quantificao dos efeitos de 2 ordem .......................................... 5

3. ESTRUTURAS E CENRIOS ANALISADOS ............................................................................... 25

3.1. Introduo ...................................................................................................................................... 25

3.2. Princpios de dimensionamento ..................................................................................................... 25

3.3. Estruturas analisadas .................................................................................................................... 26

3.4. Cenrios considerados .................................................................................................................. 27

3.5. Combinao quase-permanente de aces .................................................................................. 294. COMPARAO DAS METODOLOGIAS PARA OS DOIS PRTICOS ANALISADOS ............... 31

4.1. Introduo ...................................................................................................................................... 31

4.2. Prtico PT42A ................................................................................................................................ 32

4.2.1. Pilar P1 ........................................................................................................................................ 32

4.2.1.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 32

4.2.1.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 34

4.2.1.3CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 36

4.2.2. Pilar P2 ........................................................................................................................................ 37

4.2.2.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 37

4.2.2.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 40

4.2.1.2CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 41

4.2.3. Pilar P3 ........................................................................................................................................ 42

4.2.3.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 42

4.2.3.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 44

4.2.3.3CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 45

4.3. Prtico PT42B ................................................................................................................................ 46


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4.3.1. Pilar P1 ........................................................................................................................................ 46

4.3.1.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 46

4.3.1.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 48

4.3.1.3CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 504.3.2. Pilar P2 ........................................................................................................................................ 51

4.3.2.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 51

4.3.2.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 53

4.2.1.2CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 55

4.3.3. Pilar P3 ........................................................................................................................................ 56

4.3.3.1CENRIO1 ................................................................................................................................... 56

4.2.3.2CENRIO2 ................................................................................................................................... 58

4.2.3.3CENRIOS 3 E 4 ........................................................................................................................... 60

5. COMPARAO DOS VRIOS CENRIOS DENTRO DE CADA MTODO ............................... 61

5.1. Introduo ...................................................................................................................................... 61

5.2. Prtico PT42A ................................................................................................................................ 63

5.3. Prtico PT42B ................................................................................................................................ 79

6. Consideraes Finais .................................................................................................................... 97

6.1 . Concluses .................................................................................................................................. 97

6.2 Desenvolvimentos Futuros ............................................................................................................ 98

7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .............................................................................................. 99


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NDICE DE FIGURAS

Fig. 2.1 Efeitos de 2 ordem em elementos contraventados [8] ................................................... 4

Fig. 2.2 Efeitos de 2 ordem em elementos no contraventados [8]............................................ 4

Fig. 2.3 Configuraes de instabilidade [3] ...................................................................................... 5

Fig. 2.4 Diferentes sistemas de contraventamento [8] ................................................................... 8

Fig. 2.5 Imperfeies geomtricas em pilar isolado [8] .................................................................. 9

Fig. 2.7 Efeito das imperfeies em elementos contraventados [5] ........................................... 10

Fig. 2.6 Efeito das imperfeies em elementos no contraventados [5].................................. 10

Fig. 2.8 Efeito das imperfeies em estruturas [5]........................................................................ 10

Fig. 2.9 Exemplos de diferentes modos de encurvadura e correspondentes comprimentosefectivos para elementos isolados [8] ............................................................................................. 11

Fig. 2.10 Grandezas envolvidas na determinao dos factores de rigidez Ki [9] .................... 12

Fig. 2.11 Grandezas intervenientes no clculo das rigidezes relativas de rotao noselementos de restrio e comprimidos para a estrutura representada [8]................................ 13

Fig. 2.12 Definio das deformaes globais de flexo e de esforo transverso [5] .............. 18

Fig. 2.13 Definio de FH,1Ed ............................................................................................................ 19

Fig. 2.14 Esforos internos para seco fissurada ...................................................................... 20

Fig. 2.15 Valores do coeficiente C dependendo dos valores dos momentos de 1 ordem nasextremidades [8] ................................................................................................................................. 22

Fig. 2.16 Momentos de 1 ordem [8] ............................................................................................... 23

Fig. 2.17 Exemplo de uma estrutura em que se possa verificar a dispensa dos efeitosglobais de encurvadura [8]................................................................................................................ 24

Fig. 3.1 Dimenses do portico PT42A [3] ....................................................................................... 26

Fig. 3.2 Dimenses do portico PT42B ............................................................................................ 26

Fig. 3.3 Designao dos troos dos pilares constituintes dos prticos...................................... 27

Fig. 3.4 Solicitao nos cenrios 1 e 2 [3] ...................................................................................... 27

Fig. 4.1 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aosdiferentes mtodos para o pilar 1 do PT42A , cenrio 1 .............................................................. 33


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Fig. 4.3 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aos

diferentes mtodos para o pilar 2 do PT42A, cenrio 1 ............................................................... 38



Fig. 4.6 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aosdiferentes mtodos para o pilar 3 segundo do PT42A , cenrio 2 .............................................. 45

Fig. 4.7 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aosdiferentes mtodos para o pilar 1 do PT42B , cenrio 1 .............................................................. 46


Fig. 4.9 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aosdiferentes cenrios para o pilar 2 do PT42B , cenrio 1 .............................................................. 52




Fig. 5.1 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Aobtidos com o Mtodo da Rigidez Nominal para os diferentes cenrios................................... 63



Fig. 5.4 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Aobtidos com o Mtodo da Curvatura Nominal para os diferentes cenrios............................... 69

Fig. 5.5 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 2 do PT42Aobtidos com o Mtodo da Curvatura Nominal para os diferentes cenrios............................... 71

Fig. 5.6 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 3 do PT42A

obtidos com o Mtodo da Curvatura Nominal para os diferentes cenrios............................... 74


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Fig. 5.7 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Aobtidos com o Mtodo do ANEXO H para os diferentes cenrios.............................................. 75

Fig. 5.8 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 2 do PT42A

obtidos com o Mtodo do ANEXO H para os diferentes cenrios.............................................. 77

Fig. 5.9 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 3 do PT42Aobtidos com o Mtodo do ANEXO H para os diferentes cenrios.............................................. 79

Fig. 5.10 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Bobtidos com o Mtodo da Rigidez Nominal para os diferentes cenrios................................... 80



Fig. 5.13 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Bobtidos com o Mtodo da Curvatura Nominal para os diferentes cenrios .............................. 86



Fig. 5.16 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas do pilar 1 do PT42Bobtidos com o Mtodo do ANEXO H para os diferentes cenrios.............................................. 90




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1. INTRODUO

1.1. ENQUADRAMENTO GERAL DO TRABALHO

A segurana um factor de extrema importncia para o ser humano, na medida em que estintimamente ligada sua sobrevivncia. Tendo em vista este objectivo, e sendo a sua racionalidadeque o distingue dos restantes animais, o Homem desde sempre tem vindo a aperfeioar, atravs do seuengenho e criatividade, mtodos que o permitem viver em segurana.

Os critrios de dimensionamento estrutural evoluram desde as regras empricas, que so baseadas nosucesso ou insucesso de experincias herdadas, at aos modelos de raiz semi-probabilstico vigentes,em que a impreciso dos modelos de clculo e os erros de execuo so atendidos, de formasimplificada, pela introduo de coeficientes de segurana parciais.

Sendo o beto armado o material frequentemente usado em estruturas reticuladas e sendo a procura da

soluo ptima das dimenses dos pilares o objectivo primordial a atingir no dimensionamento destasestruturas, levou necessidade do recurso a uma anlise mais precisa do comportamento estruturaldenominada por anlise dos efeitos de 2 ordem, ou anlises no lineares geomtricas, em conjuntocom as anlise lineares, a que correspondem os efeitos de 1 ordem, em que no se faz intervir naquantificao dos esforos a evoluo da configurao da deformada da estrutura.

Todavia, a necessidade de tornar praticvel e operacional a actividade dos projectistas de estruturas aquantificao dos efeitos de 2 ordem conduziu existncia de modelos de avaliao destes efeitos. Osregulamentos nacionais, REBAP, e internacionais, EC2, de estruturas propem mtodos simplificadospara a quantificao dos efeitos de 2 ordem em elementos comprimidos de forma a seremconsiderados, juntamente com os efeitos de 1 ordem, no dimensionamento e verificao de segurana

da estrutura que constituem. O recurso a estes mtodos simplificados, patentes nos regulamentos, dedimensionamento incluindo os efeitos de 2 ordem constitui a soluo mais utilizada nodimensionamento de estruturas reticuladas de beto armado, em que estes no possam serdesprezados, pelo que o objectivo do presente trabalho analisar a viabilidade destes mtodos.

1.2. OBJECTIVOS

Este trabalho teve como objectivo analisar as diferentes metodologias simplificadas de quantificaodos efeitos de 2 ordem preconizadas no Eurocdigo 2, procurando comparar os resultados obtidos

para cada uma delas e, deste modo, definir os seus campos de aplicao. So elas o Mtodo da Rigidez


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Nominal, o Mtodo da Curvatura Nominal e o Mtodo do ANEXO H para o clculo dos efeitosglobais de 2 ordem. A anlise das metodologias centrou-se na anlise de um prtico com umavariante sua geometria. Neste estudo, avaliou-se a influncia de se considerar apenas a combinaoda aco mais desfavorvel, ou ento, a envolvente de todas as combinaes e, para cada uma delas,

analisar ainda a interferncia da considerao dos efeitos da fluncia e das imperfeies.

1.3. ORGANIZAO DA TESE

Descreve-se em seguida, e de forma sucinta, o assunto de cada captulo:

No Captulo 2 apresentada uma noo dos efeitos de 2 ordem.

No Captulo 3 so apresentadas as linhas gerais de aplicao das metodologias simplificadaspreconizadas no REBAP, actual regulamento nacional, pelo facto de ter sido usado em alguns

casos no decorrer do presente trabalho em que os resultados segundo as metodologias do EC2se revelaram inadequados, e no EC2, por ser a norma europeia e ser o regulamento em breveem vigor em Portugal.

No Captulo 4 so apresentadas as estruturas analisadas, os materiais utilizados e as suasdimenses, bem como as aces e combinaes de aces a que esto sujeitas. Sero tambmapresentados os diferentes cenrios de combinao das aces considerados.

No Captulo 5 ser feita a anlise, para cada um dos prticos, da comparao das diferentesmetodologias preconizadas no EC2 para cada cenrio considerado.

No Captulo 6 ser feita a anlise, para cada um dos prticos, da comparao dos diferentes

cenrios para cada uma das metodologias. O Captulo 7 destina-se s concluses das anlises feitas nos dois captulos anteriores.


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2.EFEITOS DE 2 ORDEM EMESTRUTURAS DE BETO ARMADO

2.1. INTRODUO

O presente Captulo tem como objectivo, em primeiro lugar, apresentar os conceitos associados aosdenominados efeitos de segunda ordem, seguindo-se a apresentao das linhas gerais de aplicao dasmetodologias simplificadas de quantificao desses mesmos efeitos previstas no REBAP, actualregulamento nacional e que vai ser usado em alguns casos no decorrer do presente trabalho, e no EC2,por ser a norma europeia que brevemente entrar em vigor em Portugal. Estes dois regulamentos,como os regulamentos em geral, procuram definir regras que permitam projectar as estruturas para os

fenmenos reais, de que so exemplos os efeitos de 2 ordem e as imperfeies, com o maior rigorpossvel e, ao mesmo tempo, garantir que essas regras sejam de fcil aplicao, no inviabilizando asua aplicao prtica nos projectos de estruturas correntes. Tendo sido, como j mencionado,estudados os mtodos patentes no REBAP e no EC2 descrevem-se em seguida, de forma sucinta, porserem mtodos de referncia de aplicao generalizada, os principais aspectos inerentes suaaplicao.

2.2. NOO DE EFEITOS DE 2 ORDEM

A quantificao dos esforos instalados numa dada estrutura, resultantes da aplicao de um conjuntode aces, bastante influenciada pelo modelo de anlise estrutural adoptado, anlise esta que poderser linear ou no linear. Com efeito, a anlise de utilizao mais corrente a anlise linear, e baseia-se

na considerao de um comportamento linear elstico dos materiais da estrutura, em que adeterminao dos efeitos das aces nas estruturas feita considerando a sua geometria inicial, ou sejaapenas a sua forma antes de essas aces serem aplicadas. Quando na quantificao dos esforos nose considerar a evoluo da sua deformada, estes esforos designam-se por esforos de 1 ordem, emque se pode estabelecer um proporcionalidade directa entre as foras e os deslocamentos, resultandodas aces aplicadas na estrutura e, tambm, dos efeitos desfavorveis de eventuais imperfeiesgeomtricas e de desvios na posio das cargas, que devem ser considerados na anlise dos estadoslimites ltimos das estruturas.

No entanto, os deslocamentos provocados pelas aces numa dada estrutura alteram a sua geometria,pelo que uma anlise considerando esta nova forma deve ser realizada, o que, por sua vez, introduz

uma nova alterao na sua geometria. Com efeito, uma avaliao mais correcta, e portanto maisprecisa, do comportamento da estrutura necessita da considerao da sua deformada na quantificaodos esforos e a actualizao da sua geometria ao longo do processo de carregamento. Este efeito daconsiderao da deformada designa-se por comportamento no linear geomtrico, em que no se podeestabelecer uma proporcionalidade directa entre as aces e os deslocamentos, e permite,eventualmente aliado ao comportamento no linear material que est ligado s propriedades dosmateriais constituintes, o beto e o ao, avaliar a componente de esforos a que se designam de 2ordem.

Nas seguintes figuras esto patentes as diferenas entre os momentos provocados pelos esforos de 1ordem e pelos de 2.


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Embora no sendo do mbito do trabalho, interessa referir que uma avaliao mais rigorosa destesefeitos, de cariz no linear, requer o recurso a algoritmos de anlise estrutural complexos onde ocomportamento no linear geomtrico e material estejam devidamente simulados, do qual os trabalhosde Paula Castro (1998) e de Jorge Delgado (2002) em que utilizado o programa FEMPOR soexemplos.

A importncia destes efeitos de 2ordem, principalmente no caso de dimensionamento de pilares, tem

levado ao desenvolvimento de vrias metodologias simplificadas de avaliao destes efeitos, como ocaso do regulamento nacional, o REBAP, e da norma europeia, o EC2. Estes regulamentos assentam,em geral, em trs filosofias distintas, as duas primeiras correspondendo ao dimensionamentosimplificado dos elementos verticais como pilares isolados, e a terceira ao dimensionamento doselementos verticais integrados no conjunto da estrutura, em que se considera os efeitos globais de2ordem, eventualmente atravs de metodologias simplificadas. O REBAP apoia-se essencialmente nodimensionamento de pilares isolados, tendo o EC2, para alm deste, uma metodologia de efeitosglobais de 2ordem, o Mtodo do Anexo H.

Fig. 2.1 Efeitos de 2 ordem em elementos contraventados [8]

Fig. 2.2 Efeitos de 2 ordem em elementos nocontraventados [8]


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2.3. ASPECTOS REGULAMENTARES PARA QUANTIFICAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM

2.3.1REBAP

A quantificao dos efeitos de 2 ordem est includa na regulamentao portuguesa de estruturas de

beto armado (REBAP), correspondendo verificao ao estado limite de encurvadura. Estaverificao est vocacionada para a determinao dos esforos de 2 ordem em elementoscomprimidos e feita, geralmente, considerando duas direces distintas ou fundamentaisperpendiculares entre si.

2.3.1.1.CLASSIFICAO DAS ESTRUTURAS

Um dos aspectos centrais na quantificao dos efeitos de 2 ordem segundo REBAP a classificaoda estrutura a analisar quanto sua mobilidade. De acordo com o REBAP, a maior ou menor

sensibilidade das estruturas s aces ou aos efeitos que conduzem ao aparecimento de deslocamentoshorizontais dos pisos, as estruturas podem classificar-se de ns fixos ou de ns mveis. A estasclassificaes esto associadas diferentes configuraes de instabilidade, cujas deformadas globaisesto representadas na figura 2.4.

Segundo o REBAP, as estruturas sero de ns fixos se a seguinte expresso for verificada:

onde:

toth : altura total da estrutura acima das fundaes;

N : soma dos esforos verticais ao nvel da fundao, no afectados pelos coeficientes demajorao, f ;

EI : somatrio da rigidez flexo em fase no fendilhada, portanto em regime elstico, detodos os elementos verticais, pilares, na direco em estudo. Dever adoptar-se uma rigidezequivalente no caso de os elementos variarem em altura;

=

EI

Nhtot

Fig. 2.3 Configuraes de instabilidade [3]

( 2.1 )


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: parmetro definido por:

0,2+0,1n se n < 4

0,6 se n 4

Sendo n o n de andares da estrutura.

De notar que considerar apenas os elementos verticais como os elementos resistentes conduz a umresultado conservativo na medida em que a existncia das vigas, elementos de ligao entre oselementos verticais, como elementos constituintes do prtico, contribuem para o aumento da rigidez e,consequentemente, para a reduo da mobilidade transversal da estrutura. A ttulo de curiosidade,refere-se que Vila Pouca (1992) apresentou um trabalho em que demonstrou que, em vrios casos, aconsiderao da contribuio da vigas na rigidez global da estrutura permite classificar de ns fixosestruturas que, de outra forma, seriam consideradas de ns mveis.

2.3.1.2.QUANTIFICAO DOS EFEITOS DE 2ORDEM

Aps a classificao da estrutura, baseada no ponto anterior, procede-se quantificao dos esforosde 2ordem, sendo esta efectuada individualmente para cada pilar.

A quantificao dos esforos de 2 ordem implica a determinao do coeficiente de esbelteza, , e docomprimento efectivo de encurvadura, lo, em cada um dos pilares constituintes da estrutura

sendo:

i: raio de girao da seco transversal do pilar na direco considerada, supondo-a constitudaapenas por beto, e determinado atravs da seguinte expresso:

I: momento de inrcia

A : rea da seco transversal

Para a quantificao do coeficiente de esbelteza, , so definidos valores limites que permitem avaliara importncia dos efeitos de 2 ordem nos diferentes pilares. Estes valores permitem identificarsituaes em que possa ser dispensada a verificao de segurana em relao encurvadura e,tambm, situaes que, dado o seu elevado valor, seja necessrio um redimensionamento da seco.

i

lo=

A

Ii =

( 2.2 )

( 2.3 )


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O clculo do comprimento efectivo de encurvadura, que se define como sendo a distncia entre ospontos de momento nulo da distribuio final de momentos ao longo do pilar, est directamente ligadoe, consequentemente, dependente da configurao da deformada global da estrutura considerada, peloque existem diferentes metodologias de clculo consoante a estrutura seja de ns fixos ou de ns

mveis.O REBAP reduz o problema da verificao da segurana das estruturas encurvadura utilizao deum mtodo simplificado em que a verificao da mesma feita individualmente para cada um dospilares. Neste mtodo a verificao da segurana feita adicionando ao momento flector actuante,

sdM , um momento, segundo cada uma das direces, definido pela expresso:

em que:

SdN : esforo axial de compresso no pilar em estudo;

ae : excentricidade acidental;

2e : excentricidade de 2 ordem;

ce : excentricidade de fluncia.

A excentricidade acidental, ae , atende s imperfeies geomtricas decorrentes da realizao fsica

dos pilares, que deveria ser considerada na quantificao dos esforos de 1 ordem. A segunda

excentricidade, 2e , denominada de 2 ordem, representa a excentricidade da aco vertical em relaoao eixo do pilar devido sua deformao. Finalmente, temos a excentricidade de fluncia, ce , que se

destina considerao de eventuais deformaes impostas pelo fenmeno da fluncia.

O momento final , pois, determinado pela seguinte expresso:

O momento de 1 ordem a considerar na expresso est interligado com a configurao adoptada paraa mobilidade da estrutura. Com efeito, nos pilares pertencentes a estruturas de ns mveis, considera-se que as seces crticas dos pilares se situam junto das extremidades, pelo que os momentos aconsiderar o maior dos actuantes nestas seces. Por outro lado, nos pilares pertencentes a estruturasde ns fixos, as seces crticas no se situam junto das extremidades dos pilares, sendo o valor declculo do momento, SdM , a considerar o maior dos valores obtidos pelas seguintes expresses:

( )caSdordem

Sd eeeNM ++= 22

( )caSdordem

Sdfinal eeeNMM +++= 21

bSdaSdSd MMM ,, 4,06,0 +=

aSdSd MM ,4,0=

( 2.4 )

( 2.5 )

( 2.6 )( 2.7 )


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em que aSdM , e bSdM , so os valores de clculo dos momentos actuantes nas extremidades do pilar,

supondo-se bSdaSd MM ,, e atribuindo-lhes o mesmo sinal ou sinais contrrios consoante a

deformada do pilar tem apenas uma curvatura ou dupla curvatura, respectivamente.

2.3.2EUROCDIGO2

O EC2 , como j se referiu, o regulamento que em breve entrar em vigor em Portugal, pelo que naexecuo do presente trabalho esteve sempre presente na anlise das metodologias que prev para aquantificao dos efeitos de 2 ordem. So elas o Mtodo da Rigidez Nominal, o Mtodo da CurvaturaNominal e um mtodo de clculo dos efeitos globais de 2ordem, habitualmente designado por Mtododo ANEXO H. O EC2, ao contrrio do REBAP, apresenta uma metodologia de clculo para os efeitosdas imperfeies. Assim, enquanto no REBAP este efeito considerado atravs de uma excentricidade

adicional designada por excentricidade acidental, ae , que depende da mobilidade das estruturas, nsfixos ou mveis, no EC2 no depende da mobilidade, sendo apresentada uma metodologia em que seutilizam foras horizontais equivalentes para a simulao das imperfeies. Segue, nos subcaptulosseguintes, a apresentao de cada mtodo de quantificao dos efeitos de 2 ordem, bem como o doefeito das imperfeies.

2.3.2.1.CLASSIFICAO DAS ESTRUTURAS

O EC2 classifica as estruturas, para efeitos de estabilidade horizontal, atravs da existncia deelementos de grande rigidez que se designam por elementos de contraventamento, ao contrrio doREBAP que as classificava como estruturas de ns mveis ou de ns fixos. Apesar de ambos os

regulamentos terem diferentes classificaes, o conceito o mesmo. De acordo com o EC2, elementosque contm elementos de contraventamento designam-se por elementos contraventados e, por outrolado, se no contiverem designam-se por elementos no contraventados. A figura seguinte mostradiferentes sistemas de contraventamento em estruturas habitualmente utilizados actualmente.

Fig. 2.4 Diferentes sistemas de contraventamento [8]


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2.3.2.2.IMPEFEIES GEOMTRICAS

Os efeitos desfavorveis de eventuais imperfeies geomtricas, ou de eventuais desvios das cargasem relao ao eixo do elemento vertical, devem ser considerados na anlise nos estados limitesltimos dos elementos e das estruturas. As imperfeies geomtricas podem ser, segundo o EC2,representadas por uma inclinao, i , como mostra a seguinte figura:

e pode ser determinada pela expresso:

em que 0 =1/200- valor bsico;

h o coeficiente de reduo relativo ao comprimento ou a altura:l

h

2= ; 13/2 h ;

m o coeficiente de reduo relativo ao n de elementos: ( )m/115,0 + ;

l : comprimento ou altura (m);

m : n de elementos verticais que contribuem para o efeito total, sendo m=1 e l o comprimento

real do elemento em elementos isolados, e num sistema de contraventamento m o n deelementos verticais que transmitem a fora horizontal ao sistema de contraventamento e l aaltura do edifcio.

Em elementos isolados, o efeito das imperfeies pode ser considerado como uma excentricidade oucomo uma fora transversal. A figura seguinte mostra as diferentes consideraes para elementos nocontraventados e contraventados.

mhi ..0=

Fig. 2.5 Imperfeies geomtricas em pilar isolado [8]

( 2.8 )


24/114


10

A excentricidade representante das imperfeies geomtricas dada pela seguinte expresso:

em que

ol : o comprimento efectivo ou de encurvadura

Esta expresso pode ser, para paredes e pilares isolados em estruturas contraventadas, simplificadadando lugar expresso:

Em estruturas, o efeito da inclinao i pode ser representado por foras transversais, a incluir na

anlise juntamente com as outras aces pertencentes solicitao, como mostra a figura seguinte

2

. oii

le

=

400o

i

le =

Fig. 2.7 Efeito das imperfeies emelementos no contraventados [5]

Fig. 2.8 Efeito das imperfeies em

estruturas [5]

Fig. 2.6 Efeito das imperfeies em elementoscontraventados [5]

( 2.9 )

( 2.10 )


25/114


11

Apesar de na figura estar representada uma estrutura contraventada, possvel proceder da mesmamaneira para uma estrutura no contraventada.

A fora horizontal, ih , determinada por:

Em que bN e aN so foras longitudinais, em cada n da estrutura, que contribuem para iH .

No trabalho foi utilizado este ltimo procedimento

2.3.2.3.COMPRIMENTO EFECTIVO OU DE ENCURVADURA, ol

O EC2 permite obter de um modo simplificado os valores dos comprimentos efectivos, ol , paraelementos comprimidos isolados e para elementos inseridos em estruturas.

Em elementos isolados, o comprimento efectivo dado, em funo das ligaes das suasextremidades, de acordo com o representado na Fig. 2.9.

Para elementos comprimidos de estruturas, como os prticos regulares, o comprimento efectivo deveser determinado pelas seguintes expresses, tendo em conta estar ou no contraventada:

Para elementos contraventados

Para elementos no contraventados

( )abii NNH =

++

++=

2

2

1

1

45,01.

45,01.5,0

k

k

k

kllo

++

++

++=

2

2

1

1

21

210 1

1.1

1;.

.101max.k

k

k

k

kk

kkll

Fig. 2.9 Exemplos de diferentes modos de encurvadura e correspondentes comprimentosefectivos para elementos isolados [8]

( 2.11 )

( 2.12 )

( 2.13 )


26/114


12

em que:

1k e 2k : so as rigidezes relativas de rotao nas restries das extremidades 1 e 2 dos pilares,

respectivamente, e so definidas por:

sendo:

i : rotao dos elementos que se opem rotao da extremidade do pilar para o momento

iM

cEI : a rigidez de flexo do pilar, ou dos pilares, que concorre(m) no n

cl : a distncia livre do elemento entre os ns

Posto isto temos, ento que:

c

c

l

EI- a rigidez rotacional do(s) elemento(s) comprimidos

i

i

M

- a rigidez rotacional do(s) elemento(s) de restrio

Relativamente as rigidezes tanto dos pilares como das vigas, Vlter Lcio (2006) mostra-nos, atravsdo exemplo a seguir representado, como determinar as rigidezes relativas de rotao nas restries dasextremidades segundo o EC2 para o pilar a .

=

c

c

i

i

il

EI

Mk .

Fig. 2.10 Grandezas envolvidas na determinaodos factores de rigidez Ki [9]

( 2.14 )


27/114


13

Tal como anteriormente visto, as rigidezes relativas de rotao nas restries das extremidades dospilares dada por:

Tendo em conta a figura, Vlter Lcio considera que:

que representa a rigidez rotacional dos elementos de restrio, isto , das vigas. Esta expresso mostra-nos os momentos necessrios para infligir uma rotao unitria em ambas as vigas que esto ligadas extremidade 2 do pilar em estudo tendo em considerao nas condies de apoio das mesmas, peloque, como se pode verificar, so diferentes resultando em momentos diferentes.

representa a rigidez dos elementos comprimidos, isto , dos pilares. Nos pilares, independentemente

das condies de apoio, a rigidez sempre igual al

EI.

Posto isto, verificamos que a rigidez no n 2, 2k , igual a:

2

2

1

134

1

V

V

V

V

l

EI

l

EIM +

=

ba l

EI

l

EI

l

EI

+

=

2

2

1

12 34

V

V

V

V

b

b

a

a

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

k+

+

=

Fig. 2.11 Grandezas intervenientes no clculo das rigidezes relativas de rotaonos elementos de restrio e comprimidos para a estrutura representada [8]

( 2.15 )

( 2.16 )

( 2.17 )


28/114


14

No n 1 estamos perante um caso de rigidez nas fundaes. Teoricamente, nas fundaes 0=k

correspondente a encastramento perfeito. Como apenas raramente o encastramento perfeito, o EC2estipula, por razes de segurana, que o valor da rigidez seja igual a 0,1 ( 1,0=k ).

Por outro lado, no caso do n 3, temos um apoio livre de rotao. O EC2 estipula que nestes casos=k .

No presente trabalho no foi necessrio determinar as rigidezes tanto das vigas como dos pilares namedida em que se recorreu ao programa de estruturas Robot Millenium. Com efeito, com a ajuda doprograma determinou-se, para alm dos esforos de 1ordem das estruturas, as rotaes e os momentosdos ns em cada pilar.

De notar, a propsito da rigidez relativa de rotao na restrio da extremidade 2 do pilar analisado

pertencente estrutura da figura 2.11, que segundo o REBAP a mesma determinada da seguinteforma:

que, como se pode verificar, as admite que a rigidez de todos os elementos proporcional a I/L.

2.3.2.4.MTODO DA RIGIDEZ NOMINAL

O Mtodo da Rigidez Nominal um mtodo que consiste em simular a anlise da estruturaconsiderando, de forma simplificada, na rigidez dos seus elementos a fendilhao e a no linearidadematerial do beto e do ao. A anlise feita para cada elemento individualmente no tendo em conta oefeito das imperfeies.

A rigidez nominal estimada atravs da seguinte expresso:

Em que cdE e sE so os valores de clculo do mdulo de elasticidade do beto e do ao,

respectivamente; cI e sI so os valores do momento de inrcia da seco de beto e da rea de

armadura em relao ao centro de gravidade da seco; cK factor de reduo da rigidez do beto,

que tm em conta os efeitos da fendilhao e da fluncia, e sK um coeficiente que tem em conta a

contribuio das armaduras. Se a taxa de armadura for superior a 0,2% (0,002), os factores Ksoiguais a:

sssccdc IEKIEKEI +=

1=sK

2

2

1

12

V

V

V

V

b

b

a

a

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

k

+

+

=( 2.18 )

( 2.19 )

( 2.20 )


29/114


15

em que ef o coeficiente de fluncia efectivo, dado por ( ) OEdOEqptef MMo /.,= ,em que ( )ot,

o coeficiente de fluncia, com valor mdio de 2,5; OEdM o momento flector de clculo de 1 ordem

e OEqpM o momento flector na combinao quase-permanente de aces que a sua determinao

explicada no captulo seguinte; 1k um factor que depende da classe de resistncia do beto (Mpa),

dado por201

ckfk = ; e 2k um factor que depende do esforo axial reduzido, n , e do coeficiente de

esbelteza, , determinado por 20,0170

.2

=

nk , sendoi

l0= , em que

0

l o comprimento efectivo

de encurvadura ec

c

A

Ii = o raio de girao que vem em funo do momento de inrcia da seco

de beto no fendilhada, cI , e da rea da seco de beto, cA

Como alternativa simplificada, se (0,001), os coeficientes Kpodem ser determinados por:

1=sK ( 2.22 )

ef

cK5,01

3,0

+= ( 2.23 )

1.3.4.1.COEFICIENTE DE MAJORAO DOS MOMENTOS

O Mtodo da Rigidez Nominal, de modo a atender aos momentos de 2 ordem, recorre ao mtodo deamplificao do momento de 1 ordem. Ento, o momento total de clculo que inclui o momento de 2

ordem, pode ser determinado atravs da expresso:

em que

OEd

M : o momento de 1 ordem;

ef

c

kkK

+=

1

. 21

+=

1

1

Ed

B

OEdEd

N

NMM

( 2.21 )

( 2.24 )


30/114


16

EdN : o valor de clculo do esforo axial;

: um coeficiente que depende da distribuio dos momentos de 1 e de 2 ordem e que

dado por

0

2

c

= ( 2.25 )

em que oc um coeficiente que depende da distribuio dos momentos de 1ordem. Se o momento de

1 ordem for constante 80 =c , se for uma distribuio triangular 120 =c e se for parablica igual a

9,6

BN : a carga crtica de Euler de encurvadura baseada na rigidez nominal, e dado por

O momento de 1 ordem a considerar neste mtodo segundo o EC2 o momento correspondente, noREBAP, a estruturas de ns fixos, em que estes podem ser substitudos por um momento deextremidade de 1 ordem equivalente OeM , a que corresponde ao maior dos valores obtidos pelas

seguintes expresses:

em que 01M e 02M so os valores de clculo dos momentos actuantes nas extremidades do pilar,

supondo-se 0102 MM e atribuindo-lhes o mesmo sinal ou sinais contrrios consoante a deformada

do pilar tenha apenas uma curvatura ou dupla curvatura, respectivamente. Para alm deste momento

equivalente de 1 ordem, resolveu-se tambm determinar os momentos de 2 ordem usando agora omaior momento de 1 ordem das extremidades, situao equivalente preconizada no REBAP para asestruturas de ns mveis.

2.3.2.5.MTODO DA CURVATURA NOMINAL

O Mtodo da Rigidez nominal um mtodo simplificado para determinar o momento de 2 ordem queconsiste na determinao de uma excentricidade adicional, baseado no comprimento efectivo ou de

2

2.

o

Bl

EIN

=

0102 4,06,0 MMMOe +=

024,0 MMOe =

( 2.26 )

( 2.27 )

( 2.28 )


31/114


17

encurvadura, 0l , e na curvatura mxima do elemento. um mtodo em que cada elemento analisado

individualmente. O momento de clculo obtido por:

em que

OEdM : o momento de 1 ordem incluindo o efeito das imperfeies. O momento de 1

ordem , tal como no Mtodo da Rigidez Nominal, substitudo por um momento de 1ordemequivalente determinado pelas expresses 2.27 e 2.28

2M : o momento nominal de 2 ordem

O momento nominal de 2 ordem dado por:

em que

EdN : o esforo axial de clculo

c

l

re

20

2 .1

= : a excentricidade adicional de 2 ordem

sendor1 a curvatura; ol o comprimento efectivo e c um coeficiente que depende da distribuio da

curvatura, sendo normalmente utilizado para este coeficiente o valor ( )102 salvo em situaes emque o momento de 1 ordem seja constante, em que deve utilizar-se um valor inferior sendo 8 o limiteinferior ( )108 c .

2.3.2.5.1.ESTIMATIVA DA CURVATURA

A curvatura pode ser determinada, para seces constantes, por:

em que:

rK : um factor de correco do esforo normal, e dado por:

2MMM OEdEd +=

22 .eNM Ed=

o

r

r

KK

r

1..

1=

( 2.29 )

( 2.30 )

( 2.31 )


32/114


18

1

=

balu

ur

nn

nnK ( 2.32 )

sendo n o esforo normal reduzido dado porcdc

Ed

fA

Nn

.= em que EdN o esforo axial de clculo;

+= 1un em quecdc

yds

fA

fA

.

.= a percentagem de armadura na seco; baln o valor de n

correspondente ao momento resistente mximo, para o qual se pode utilizar o valor 0,4

K : um coeficiente que considera os efeitos da fluncia e dado por:

11 += efK ( 2.33 )

sendo ef o coeficiente de fluncia efectivo j mencionado no Mtodo da Rigidez Nominal;

15020035,0

+= ck

fem que o coeficiente de esbelteza;

dr

yd

o .45,0

1 = , em que

s

yd

ydE

f= e d a altura til da seco.

2.3.2.6.MTODO DO ANEXOH

O Mtodo do ANEXO H um mtodo de clculo dos efeitos globais de 2 ordem, em que tida em

conta a estrutura na sua globalidade.

Este mtodo tem por objectivo a determinao dos esforos de 2 ordem atravs da determinao deaces horizontais fictcias majoradas nas estruturas, EdHF , , que contm as foras horizontais de 1

ordem adicionadas de um incremento de fora horizontal. Este incremento determinado para cadapiso da estrutura e, dentro de cada piso, para todos os ns que constituem a estrutura, sendo dado por:

Fig. 2.12 Definio das deformaes globais de flexo e de esforo transverso [5]


33/114


19

em que:

OEdHF , : a fora horizontal de 1 ordem devida s aces na estrutura e, se considerado, ao

efeito das imperfeies

EdHF 1, : o incremento a que corresponde a uma fora horizontal fictcia produzindo, para

cada pilar, os mesmos momentos flectores que a carga vertical actuantes na estruturadeformada. Para se melhor entender o conceito de EdHF 1, apresenta-se a Fig. 2.13,

Ento EdHF 1, que dada por:

Em que n o n do n; abn NNN = sendo bN e aN as foras longitudinais dos pilares em cada

n da estrutura; h a altura do pilar em estudo; nd0 o deslocamento do n.

Depois de terem sido determinados os valores de EdHF 1, para cada n pertencente estrutura,

efectuou-se o somatrio destes em cada piso e calculou o valor de EdHF , em cada piso atravs da

expresso 2.35. Os momentos finais, j com os efeitos de 2 ordem includos, foram obtidosconsiderando as foras EdHF , obtidas em cada piso.

OEdH

EdH

OEdH

EdH

F

F

FF

,

1,

,,

1=

EdHF 1,

Fig. 2.13 Definio de FH,1Ed

( 2.34 )

h

dNF

n

nn

EdH0

,1,

= ( 2.35 )


34/114


20

Esta fora fictcia calculada considerando, para os esforos de 1 ordem, as rigidezes nominais dospilares de acordo com o Mtodo da Rigidez Nominal, e as rigidezes das vigas fissuradas. No mbitodeste trabalho os esforos de 1 ordem e os deslocamentos dos ns, j com as rigidezes nominais dospilares e as rigidezes das vigas fissuradas, foram obtidos atravs do programa de estruturas Robot

Millenium.Foi admitido para as caractersticas geomtricas das vigas, considerando a seco fissurada de acordocom a figura 2.14, a seco localizada a meio do vo

em que:

H: a altura da seco, que conhecida; b: a largura da seco, que conhecida;

x: o comprimento do eixo neutro da seco;

d: a altura til da seco;

c , s : so as extenses do beto e do ao, respectivamente;

c , s : so as tenses instaladas no beto e no ao, respectivamente;

Fc, Fs: so as foras resistentes correspondentes ao beto e s armaduras, respectivamente.

As foras internas, Fc e Fs, para a estrutura homogeneizada, transformando o ao em beto, so dadaspor:

cc

xbF .

2

.= ( 2.36 )

sss AmF ..= ( 2.37 )

em que m o coeficiente de homogeneizao, quociente entre o mdulo de elasticidade do beto peloo do ao.

Sendo as foras internas iguais em mdulo vem:

Fig. 2.14 Esforos internos para seco fissurada


35/114


21

que pode, substituindo pelas expresses 2.36 e 2.37, ser expressa como:

Finalmente, e observando a figura 2.14, verifica-se a existncia de uma relao de proporcionalidadeentre as tenses do beto e do ao, c e s respectivamente, com as respectivas distncias ao eixo

neutro, pelo que substituindo na expresso 2.39, vem igual a:

Atravs do qual se determina o valor do eixo neutro.

Uma vez determinado o eixo neutro, possvel determinar a inrcia da seco fissuradahomogeneizada atravs da seguinte expresso:

A altura equivalente, eqH , de uma seco rectangular com a mesma inrcia da seco fissurada pode

ser obtida atravs de:

obtendo-se eqH igual a:

determinando, ento as dimenses das vigas fissuradas. De notar que, como j mencionado, a largurada seco das vigas j conhecida.

2.3.2.7.CRITRIOS DE DISPENSA DA QUANTIFICAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM

Embora o EC2 disponha de critrios simplificados de modo a ser possvel ignorar os efeitos de 2ordem, no presente trabalho considerou-se sempre os efeitos de 2 ordem, independentemente de serpossvel ou no serem desprezados. No entanto, dado a sua importncia, reservou-se um subcaptulopara mencionar estes critrios. De um modo geral, o EC2 considera desprezveis os efeitos de 2ordemque correspondem a menos de 10% dos efeitos de 1 ordem, devendo os efeitos de 2 ordem ser

sc FF =

ssc Amxb

...2

.=

).(.2

. 2xdAm

xbs =

23

).(.3

.xdAm

xbI s +=

12

. 3eqHbI=

3

1

12.

=

b

IHeq

( 2.38 )

( 2.39 )

( 2.40 )

( 2.41 )

( 2.42 )

( 2.43 )


36/114


22

avaliados tendo em conta se se est a analisar um elemento isolado ou um edifcio, isto , estruturas nasua totalidade.

2.3.2.7.1.CRITRIOS DE DISPENSA DA QUANTIFICAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM PARA ELEMENTOSISOLADOS

Em elementos isolados, os efeitos de 2 ordem podem ser ignorados se o coeficiente de esbelteza , ,for inferior uma um determinado limite lim , dado por:

em que:

ef

A2,01

1+

= , (Se ef no for conhecido, pode adoptar-se 7,0=A );

21+=B , (Se no for conhecido, pode adoptar-se 1,1=B );

mrC = 7,1 , ( se mr no for conhecido, pode adoptar-se 7,0=C ). A seguinte figura mostra

os diferentes valores que este coeficiente pode ter consoante os momentos de 1 ordem nasextremidades do pilar;

( ) OEdOEqptef MMo /.,= , o coeficiente de fluncia efectivo, em que ( )ot, o coeficiente

de fluncia, com valor mdio de 2,5, OEdM o momento flector de clculo de 1 ordem e

OEqpM o momento flector na combinao quase-permanente de aces ;

cdc

yds

fA

fA

.

.= a percentagem mecnica de armadura;

n

CBA ...20lim =

Fig. 2.15 Valores do coeficiente Cdependendo dos valores dos momentos de

1 ordem nas extremidades [8]

( 2.44 )


37/114


23

02

01

M

Mrm = , sendo 01M e 02M os momentos de 1 ordem nas extremidades do pilar, e

0102 MM , tal como mostra a Fig. 2.16;

cdc

Ed

fA

Nn

.= o esforo normal reduzido;

Convm recordar que o coeficiente de esbelteza determinado pela seguinte expresso:

em que:

ol o comprimento efectivo de encurvadura;

A

Ii = o raio de girao que vem em funo do momento de inrcia da seco de beto

no fendilhada, cI , e da rea da seco de beto, cA

2.3.2.7.2.CRITRIOS DE DISPENSA DA QUANTIFICAO DOS EFEITOS GLOBAIS DE 2 ORDEM EM EDIFCIOS

Os efeitos de 2 ordem em edifcios podem ser ignorados se:

em que:

EdVF , : a carga vertical total nos elementos de contraventamento e nos contraventados ;

sn : o n de pisos da estrutura;

i

l0=

21,.

6,1.

L

IE

n

nkF ccd

s

sEdV

+

Fig. 2.16 Momentos de 1 ordem [8]

( 2.45 )

( 2.46 )


38/114


24

L : a altura do edifcio acima do nvel de encastramento;

cE

cm

cd

EE

= : o valor de clculo do mdulo de elasticidade do beto, sendo cmE o seu valor

mdio e cE um coeficiente parcial de segurana que igual a 1,2 ;

cI : o momento de inrcia da seco de beto no fendilhada do(s) elemento(s) de

contraventamento

31,01 =k

Seguidamente apresentada uma figura, da autoria de Vlter Lcio (2006), com o intuito de melhorperceber alguns dos parmetros acima indicados;

Fig. 2.17 Exemplo de uma estrutura em que se possaverificar a dispensa dos efeitos globais de encurvadura [8]


39/114


25

3.ESTRUTURAS E CENRIOSANALISADOS

3.1. INTRODUO

Nos captulos anteriores foi caracterizada a importncia dos efeitos de 2 ordem em estruturas de betoarmado e apresentadas as diferentes metodologias para sua quantificao segundo o EC2 e segundo oREBAP. Uma vez que o recurso a estes mtodos simplificados o procedimento mais comum nodimensionamento de pilares em estruturas de beto, efectuou-se uma anlise dos efeitos de 2 ordem,baseado nas diferentes metodologias do EC2, em dois prticos em que as suas caractersticas e as das

aces sero referidas neste captulo.3.2. PRINCPIOS DE DIMENSIONAMENTO

O dimensionamento das seces aos estados limites ltimos, em flexo composta para os pilares eflexo simples para as vigas, foi o habitualmente adoptado em projectos de estruturas de betoarmado, tendo presente o EC2, de acordo com:

em que:

dR : o valor de clculo do esforo resistente;

dS : o valor de clculo do esforo actuante, sendo este valor dado por:

sendo:

ik

G : o esforo resultante do conjunto dos valores caractersticos das aces permanentes;

1k

Q : o esforo da aco varivel considerada como aco base, tomada com o seu valor

caracterstico;

jk

Q : o esforo resultante da aco varivel de ordem j, no considerada como aco base,

tomada com o seu valor caracterstico;

iG

: o coeficiente de segurana relativo s aces permanentes No presente trabalho o valor

considerado para este coeficiente foi 1,5;

1Q

e1Q

: so os coeficientes de segurana relativos das aces variveis. No presente

trabalho o valor considerado para estes coeficientes foi 1,5;

dd RS

jjjii koQjkQkG

id QQGS

11 11 ++=

( 3.1 )

( 3.2 )


40/114


26

jo

: coeficientes de combinao, , correspondentes aco varivel de ordem j

Considerou-se seces duplamente armadas para os pilares e simplesmente armadas para as vigas.

3.3. ESTRUTURAS ANALISADAS

3.3.1.PRTICO PT42A

O prtico PT42A, adoptando a designao de Castro e Delgado [3] que o estudaram detalhadamente, composto por 4 andares e dois tramos, sendo um exemplo cuja configurao se aproxima do tipo deedifcios de baixa altura e cujas dimenses dos vos e comprimentos dos pilares assumem valorescomuns para prticos deste tipo de edifcios. A configurao geomtrica do prtico, as dimenses dasseces dos pilares e das vigas que o constituem, indicada na Fig. 3.1.

3.3.2.PRTICO PT42B

A nica diferena entre este prtico e o anterior reside nas dimenses das seces dos troos do pilarcentral, que apresenta maiores dimenses, como mostra a Fig. 3.2.

3,0

5,0

4,0

Fig. 3.1 Dimenses do portico PT42A [3]

Fig. 3.2 Dimenses do portico PT42B


41/114


27

3.3.3.MATERIAIS UTILIZADOS

Os materiais constituintes das estruturas utilizados neste trabalho, em ambos os prticos, foram: betode classe C25/30 e ao A400.

3.3.4.DESIGNAO DOS TROOS DOS PILARES CONSTITUINTES DOS PRTICOSNo decorrer do presente trabalho, tendo em conta as vrias metodologias apresentadas no captuloanterior, revelou-se necessria a designao dos troos de cada pilar constituinte das estruturas. Afigura seguinte mostra essa designao, que igual para ambos os prticos.

3.4. CENRIOS CONSIDERADOS

No presente trabalho, e em ambos os prticos analisados, foram determinados os esforos para quatrocenrios distintos, sendo gradualmente agravados desde o primeiro at ao ltimo. O objectivo , pois,avaliar o comportamento das estruturas aos esforos instalados, envolvendo os esforos de 2 ordem,neste processo gradual de agravamento dos cenrios.

3.4.1.CENRIOS 1 E 2

Para a solicitao nos cenrios 1 e 2, em ambos os prticos, admitiu-se uma composio de acespermanentes G, sobrecargas Q e aco do vento W, actuando com a configurao e valorescaractersticos apresentados na Fig. 3.4

11P

12P

13P

14P

21P

22P

23P

24P

31P

32P

33P

34P

Fig. 3.3 Designao dos troos dos pilaresconstituintes dos prticos

Fig. 3.4 Solicitao nos cenrios 1 e 2 [3]


42/114


28

Os esforos de 1 ordem resultantes desta solicitao foram obtidos para uma combinao de esforosem que se considerou como aco varivel base a aco do vento, W, sendo, ento, o valor de clculodo esforo actuante dado por:

O valor do coeficiente de combinao para a aco varivel sobrecarga, o , , de acordo com o

Eurocdigo[4] , igual a 0,7, resultando.:

Os esforos de 1 ordem resultantes desta combinao foram, para cada troo dos pilares constituintes

dos prticos, obtidos, como j referido, pelo programa Robot Millenium.A diferena entre os cenrios 1 e 2 reside no facto de que na anlise dos efeitos de 2 ordem no 1 noforam considerados os efeitos devido fluncia e s imperfeies, enquanto no 2 estes efeitos foramconsiderados.

3.4.2.CENRIOS 3 E 4

Para os cenrios 3 e 4, em ambos os prticos, admitiu-se uma composio de aces permanentes G,sobrecargas Q e aco do vento W, actuando com a configurao e valores caractersticos, igual doscenrios 1 e 2, consistindo a nica diferena em que agora a aco do vento actua em ambos ossentidos

Os esforos de 1 ordem resultantes desta solicitao foram obtidos atravs de uma envolvente deesforos de quatro combinaes distintas.

As primeiras duas tm como aco base o vento, a actuar num sentido e no sentido contrrio, sendo osvalores das foras actuantes para cada sentido iguais s dos cenrios 1 e 2, sendo a respectivacombinao dada por:

Em que, tal como nos cenrios anteriores, o coeficiente de combinao, o , para a aco varivel

sobrecarga Q igual a 0,7, resultando:

As duas restantes combinaes tm como aco varivel base a sobrecarga, com o vento a actuar numsentido numa e no sentido contrrio noutra. O valor do esforo actuante dado por:

( )QWGS od .5,1.5,1 ++=

( )QWGSd .7,05,1.5,1 ++=

( )QWGS od .5,1.5,1 ++=

( )QWGSd .7,05,1.5,1 ++=

( )WQGS od .5,1.5,1 ++=

( 3.3 )

( 3.4 )

( 3.5 )

( 3.6 )

( 3.7 )


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29

O coeficiente de combinao para a aco varivel vento, o , a usar, de acordo com o Eurocdigo

[4], de 0,6, obtendo-se :

Os esforos de 1 ordem resultantes destas combinaes foram obtidos, como j referido, peloprograma Robot Millenium.

A diferena entre estes cenrios , tal como entre o cenrio1 e 2, que a anlise dos efeitos de 2 ordemno 3 foi efectuada no considerando os efeitos devido fluncia nem das imperfeies, enquanto queno 4 estes efeitos foram considerados.

3.5. COMBINAO QUASE-PERMANENTE DE ACES

As combinaes quase-permanentes de aces correspondem aos estados limites de utilizao delonga durao, isto , combinaes de aces que podero actuar na estrutura durante metade do seuperodo de vida.

Esta combinao foi necessria, como referido no captulo anterior, para a quantificao do coeficienteefectivo de fluncia, ef , que dado por:

sendo ( )ot, o coeficiente de fluncia, com valor mdio de 2,5, OEdM o momento flector de clculo

de 1 ordem no troo em anlise eOEqp

M o momento flector na combinao quase-permanente de

aces.

A combinao quase-permanete de aces tem como expresso:

jkG , : o esforo resultante do conjunto dos valores caractersticos das aces permanentes;

ikQ , : o esforo resultante da aco varivel de ordem j, tomada com o seu valor caracterstico;

i,2 : coeficientes de combinao, , correspondentes aco varivel de ordem j

Os valores dos coeficientes de combinao para as aces variveis da sobrecarga e do vento, Q,2 e

W,2 respectivamente, a usar so, de acordo com o Eurocdigo [4], iguais a 0,3 e 0, respectivamente.

Assim, sendo a solicitao vertical igual nos cenrios 2 e 4, que so os cenrios no qual se tem emconta o efeito da fluncia e das imperfeies, a combinao quase-permanente de aces os esforosso iguais nos dois cenrios.

( )WQGS d .6,05,1.5,1 ++=

( ) OEdOEqptef MMo /.,=

+=

1,,2, .

i

ikijkSd QGE

( 3.8 )

( 3.9 )

( 3.10 )


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Convm relembrar que no cenrio 4 se est perante uma envolvente de esforos resultante de quatrocombinaes, no entanto, e pela razo acima referida, os esforos quase-permanentes instalados naestrutura correspondem a uma nica combinao. De notar que os momento no pilar central, para estacombinao quase-permanente, so nulos.


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4.COMPARAO DASMETODOLOGIAS PARA OS DOIS

PRTICOS ANALISADOS

4.1. INTRODUO

Apresenta-se neste Captulo os principais resultados da anlise das estruturas, descritas no captuloanterior, segundo as diferentes metodologias de considerao dos efeitos de 2 ordem, analisadas nombito deste trabalho. Os resultados referem-se aos momentos de 2 ordem, para todos os cenrios,bem como as respectivas armaduras efectivas e, ainda, as armaduras adoptadas.

Apresentam-se, tambm, os resultados, obtidos com os mtodos da Rigidez Nominal e da CurvaturaNominal mas em que se utilizou o momento de 1ordem das extremidades dos pilares, em vez domomento de 1ordem equivalente estipulado pelo EC2, eM0 apenas vlido quando as estruturas so de

ns fixos, sendo designadas como RNM e CNM. Este estudo teve como principal objectivo analisar ocomportamento destas metodologias para o caso de se considerar que os maiores agravamentos dos

efeitos de 2 ordem ocorrem nas extremidades das barras, como ocorre no caso de estruturas de nsmveis. A anlise dos mesmos sempre feita aps anlise das metodologias do mbito do trabalho, namedida em que so facultativos, sendo feita a respectiva meno.

Em algumas situaes no foi possvel analisar os momentos resultantes da aplicao dos Mtodos daRigidez Nominal ou da Curvatura Nominal, quer usando o momento equivalente, como refere o EC2,quer o maior momento das extremidades, pelas duas seguintes razes:

por se obterem comprimentos efectivos de encurvadura muito grandes, devido aos momentosde 1 ordem serem muito pequenos

por se obterem valores exagerados e, portanto inadequados, essencialmente nos casos em queo esforo axial se aproxima do valor da carga crtica do pilar .

De modo a solucionar estes problemas recorreu-se ao REBAP, determinando-se, no primeiro caso, ocomprimento efectivo de encurvadura pelo REBAP e retomando as metodologias preconizadas peloEC2 e, no segundo, determinando os momentos integralmente pelo REBAP.

Nas figuras que se seguem apresentam-se, tambm, os momentos, armaduras efectivas e adoptadascorrespondentes aos esforos de 1ordem.

Nas figuras, os mtodos esto representados no eixo das abcissas segundo a seguinte designao:

1- Mtodo da Rigidez Nominal (RN)


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2- Mtodo da Curvatura Nominal (CN)

3- Mtodo do ANEXO H

4- Mtodo da Rigidez Nominal com comprimento de envurvadura do REBAP (RNR)

5- Mtodo da Curvatura Nominal com comprimento de envurvadura do REBAP (CNR)

6- Mtodo da Rigidez Nominal usando o momento das extremidades (RNM)

7- Mtodo da Curvatura Nominal usando o momento das extremidades (CNM)

4.2. PRTICO PT42A

4.2.1. Pilar P1

4.2.1.1CENRIO1

Na figura 4.1 apresentam-se os principais resultados relativos ao Pilar P1 do prtico PT42A.

a) b)


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c)

Fig. 4.1 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aos diferentesmtodos para o pilar 1 do PT42A , cenrio 1

Observando a figura relativa comparao de momentos, verifica-se que para o Mtododa Rigidez Nominal (1-RN) os valores dos momentos incluindo os efeitos de 2 ordempara todos os pisos, excepo do pilar P14, so os menores relativamente aos restantesmtodos, seguindo-se-lhe o Mtodo da Curvatura Nominal (2-CN) e, por fim, o doANEXOH (3-H);

De notar que os momentos nos dois primeiros mtodos (RN e CN) para o pilar P14 foramdeterminados a partir do comprimento efectivo de encurvadura, 0l , calculado atravs do

REBAP, facto j mencionado e explicado no incio do captulo, pelo que os momentosesto, ento, representados nas abcissas 5 e 6 de acordo com a designao feita no incio

do captulo;

No 1 e 2 piso os valores dos momentos de 2ordem calculados pelos mtodos daRigidez nominal e da Curvatura Nominal so inferiores aos momentos de 1ordem, sendoligeiramente superiores para o 3 piso (P13). No Mtodo do ANEXO H os momentos de2ordem so sempre superiores aos de 1ordem em todos os pisos. Este facto deve-se aque enquanto para os dois primeiros mtodos se substitui, segundo o EC2, para cada pilarcom momentos diferentes nas extremidades por um momento de 1 ordem equivalente,

EM0 , para o do ANEXO H usa-se o maior momento das extremidades;


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Os acrscimos de momentos de 2ordem para o mtodo do ANEXO H, que so osmaiores verificados, so, relativamente aos de 1ordem, de 28% para P11, de 40% paraP12, 48% para P13. Para o pilar P14, apesar de ser grande o acrscimo percentual demomento no , no entanto, significativo visto serem momentos com valores muito

baixos e, por isso, desprezveis; Avaliando os momentos pelos mtodos da Rigidez Nominal e da Curvatura Nominal, mas

usando o maior momento de 1ordem das extremidades, a que correspondem na figuraaos momentos RNM-6 e CNM-7, verifica-se que estes momentos de 2ordem so osmaiores em todos os pisos, excepo do 4 (P14), que os valores calculados segundo oRNM so superiores aos da CNM e que estes so prximos dos calculados com o Mtododo ANEXO H;

Na figura da comparao de armaduras efectivas verifica-se, de acordo com os momentosobtidos, que para os Mtodos da RN e CN as armaduras necessrias para os efeitos de 2ordem coincidem com as armaduras de 1ordem, excepo do P13 em que para RN

ligeiramente superior, j que, como bvio, as armaduras a adoptar tm de resistir aosmomentos de 1 ordem;

No pilar P14, independentemente do mtodo aplicado, observa-se que a armadura de2ordem coincide com a de 1 ordem que, para este pilar, corresponde armaduramnima;

As armaduras relativas ao Mtodo do ANEXO H so, como era de esperar, superiores sde 1 ordem, excepo do P14, aumentando percentualmente mais do que os momentos;

Para as armaduras de 2 ordem calculadas pelos mtodos da Rigidez Nominal e CurvaturaNominal mas usando agora o maior dos momentos de 1 ordem das extremidades, podem

obter-se concluses semelhantes s obtidas para os respectivos momentos; De notar que, para o mtodo da RNM, a armadura de 2 ordem para o pilar P13 maior

do que o do P12. Este facto deve-se a que as dimenses do P13 so menores que as doP12 pelo que sendo os momentos muito prximos se obtm um momento reduzidobastante superior para o P13;

Relativamente figura 4.1 c), em que se representa a armadura efectivamente adoptada,as concluses so semelhantes s anteriores, sendo as diferenas mais importantes oacrscimo de armadura para o mtodo da CNM no P11 (+24%), a que corresponde uma

armadura adoptada de 39,28cm2, e em P12 que igual para RNM e CNM (18,84cm2);

4.2.1.2CENRIO2

Na figura 4.2 apresentam-se os resultados obtidos para o Cenrio 2, que se distingue do anterior por seconsiderar os efeitos da fluncia e das imperfeies, pelo que a sua anlise se faz em comparao coma figura 4.1 para o cenrio 1.


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a) b)

c)

Fig. 4.2 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aos diferentesmtodos para o pilar 1 do PT42A , cenrio 2


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Observando a figura de comparao de momentos para o cenrio 2 verifica-se que quase na totalidade semelhante do cenrio 1, embora com momentos de 2 ordemligeiramente superiores, devido considerao dos efeitos de fluncia e das imperfeies.Os momentos de 1 ordem so, como evidente, os mesmos independentemente docenrio;

De notar que para o P14, tal como no cenrio 1, os Mtodos tanto da Rigidez Nominalcomo da Curvatura Nominal foram determinados usando o lo do REBAP;

As nicas diferenas detectadas so para o pilar P13, no momento de 2ordemdeterminado pelo Mtodo da Rigidez Nominal que para alm de neste cenrio sersuperior ao momento de 1 ordem ao contrrio do cenrio 1 que inferior, este momento tambm superior ao momento calculado pelo Mtodo do ANEXOH e, portantoinadequados, pelo facto de o esforo axial se aproximar do valor da carga crtica do pilar ;

Outra diferena entre os cenrios neste pilar reside nos momentos resultantes dosmtodos da RNM e CNM para os pilares P12 e P13 que, enquanto no cenrio 1 erammuito prximos, neste segundo apresentam valores um pouco mais distantes;

De notar que o momento no P13 para o cenrio RNM foi determinado integralmentesegundo o REBAP, pelo facto, j abordado no incio do captulo, de que o momentoobtido pela aplicao do Mtodo da Rigidez Nominal segundo o EC2 ter um valor muitoelevado e, portanto, inadequado;

Relativamente figura de comparao das armaduras efectivas observa-se, tal como parao cenrio1, que est relacionada com a dos momentos e que, como seria de esperar, paraos pilares P11 e P12 as armaduras para os mtodos da RN e CN so coincidentes com asde 1 ordem. e que se verifica que apenas a armadura para o Mtodo da Rigidez nominal(RN) no pilar P13 superior de 1 ordem e do ANEXOH;

Relativamente figura de comparao de armaduras adoptadas verificam-se poucasdiferenas entre os resultados para os dois cenrios, sendo de referir um acrscimoconsidervel de armadura no pilar P11 para o ANEXOH;

Enquanto que a armadura no cenrio 1 era igual no P12 para os mtodos da RNM e CNMe a do P13 decrescia, verifica-se neste caso que acontece o inverso

4.2.1.3CENRIOS 3 E 4

No que diz respeito aos cenrios 3 e 4 para este pilar, isto , os cenrios em que se considerou aenvolvente de esforos das quatro combinaes, como apresentado no Captulo 3, verificou-se umasituao muito particular. De facto, concluiu-se que as duas combinaes cuja aco base o vento,actuando nos dois sentidos, foram as que conduziram a esforos de 1 e, consequentemente, de2ordem superiores. Seria de esperar que as duas combinaes tendo como aco base a sobrecarga,com o vento a actuar nos dois sentidos, fossem condicionadores em alguns pilares, na medida em queestas conduzem a esforos axiais de compresso superiores s duas restantes. No entanto, constatou-seque tal no sucedeu na medida em que, para os vrios pares de esforos (Nsd, Msd) em todos os


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pilares, tanto para os efeitos de 1 como para as vrias metodologias de clculo dos efeitos de 2ordem, verificou-se que em nenhum caso a aco base sobrecarga foi condicionante.

Considerando, a ttulo de exemplo, a combinao aco base vento e a aco base sobrecarga, em queo vento apenas actua da esquerda para a direita, verificou-se que, para o pilar P1, o momento de 1ordem para a combinao aco base vento no 1piso (P11) 75% maior que na aco basesobrecarga, sendo no P12 de 127% e no P13 de 129%. No P14 verifica-se o oposto, sendo o momentopara a aco base a sobrecarga superior do vento mas, tendo em conta que estamos perante valorespequenos, desprezvel. No caso do pilar P3, concluiu-se que a aco base vento condicionante paratodos os pisos, sendo a maior diferena de 58% e a menor de 18%

Tendo presente que nos cenrios 3 e 4 se consideram envolvente de esforos, e tendo em conta assolicitaes para cada combinao considerada e que a estrutura simtrica, facilmente se conclui queos momentos, e consequentemente as armaduras efectivas e adoptadas, so coincidentes para ospilares P1e P3 nestes dois cenrios.

Sendo, como foi referido, as combinaes que tm como aco base o vento as condicionantes nocenrio 3, e tendo em conta que no cenrio 1, cuja solicitao apenas considera a aco base vento aactuar da direita para a esquerda sem efeitos da fluncia nem das imperfeies, constatou-se que osmomentos, e consequentemente as armaduras tanto efectivas como adoptadas, para os pilares P1 e P3no cenrio 3, apesar de iguais como referido, so coincidentes com os do pilar P3 do cenrio 1, j que,no cenrio 1, o P3 o pilar de extremidade que sofre maiores esforos.

No entanto, para o Mtodo do ANEXOH tal no se verifica. De facto, para este mtodo verifica-seque, apesar de ser pequena a diferena, os momentos para efeitos de 2ordem so superiores nocenrio 1. Isto deve-se ao facto de que sendo ANEXOH um mtodo de clculo para efeitos globais de2ordem, isto , tendo em conta a estrutura na sua totalidade, e como no cenrio 3 estamos a falar emtermos de envolvente, resulta que o pilar P1 tem mais armadura de 1 ordem do que o mesmo nocenrio 1. Ora, sendo a armadura um factor importante nesta metodologia, afectando o valor da rigideznominal dos pilares, resulta que os momentos de 2 ordem para este mtodo so maiores no cenrio 1do que no cenrio 3, j que a uma maior armadura corresponde uma maior rigidez e portanto menoresefeitos de 2 ordem.

Sendo, como j mencionado, os esforos dos pilares P1 e P3, que so iguais entre si, no cenrio 3, aosdo P3 no cenrio 1, e no cenrio 4 iguais aos do P3 no cenrio 2, conclui-se que as diferenas entre oscenrios 3 e 4 nos pilares P1 e P3 so as mesmas que as diferenas entre os cenrios 1 e 2 no pilar P3.

4.2.2. Pilar P2

4.2.2.1CENRIO1

Na figura seguinte esto representados os grficos dos momentos, armaduras efectivas e adoptadaspara o pilar P2 segundo as vrias metodologias do mbito do trabalho.


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a) b)

c)

Fig. 4.3 Comparao dos momentos, armaduras efectivas e adoptadas, devido aos diferentesmtodos para o pilar 2 do PT42A, cenrio 1

Observando a figura relativa comparao dos momentos verifica-se, tal como no PilarP1, que para o Mtodo da Rigidez Nominal (1-RN), os valores dos momentos incluindo


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os efeitos de 2ordem so os menores relativamente aos restantes mtodos, seguindo-se-lhe, excepo do P24, a Curvatura Nominal e finalmente o do ANEXOH;

A excepo para o pilar P24 acima mencionada refere-se ao facto se que neste pilar, omomento determinado pelo ANEXOH ser praticamente igual ao da Curvatura Nominal(2-CN);

Verifica-se que os momentos segundo os mtodos da Rigidez Nominal (1-RN) eCurvatura Nominal (2-CN) so inferiores aos de 1 ordem para os dois primeiros pisos(P21 e P22). Para o terceiro piso (P23) apenas o da RN inferior e para o P24 nenhummomento de 2 ordem inferior. No entanto para o ANEXOH temos momentos de 2ordem superiores aos de 1 para todos os pisos pelo facto j mencionado e explicado parao pilar P1 no cenro1;

O maior acrscimo entre momentos de 1 e 2 ordem surge no ANEXOH para P21 que de 26,6%;

A mostra que os mtodos RNM-6 e CNM-7, tal como acontece no pilar P1 com excepodo P24, conduzem aos maiores momentos e que, em todos os pisos, os momentoscalculados pela RNM so superiores aos calculados pela CNM, que, por sua vez, sosuperiores aos do ANEXOH;

Na figura de comparao de armaduras efectivas verifica-se que, tendo em conta ogrfico de momentos, para os mtodos da RN e CN nos pilares P21 e P22 as armadurasde 2ordem so coincidentes com as de 1 ordem. Isto acontece, como j foi referidoanteriormente, por no se poder considerar armaduras inferiores s de 1 ordem. No pilarP13 as armaduras para efeitos de 2 ordem so coincidentes com as de 1 para RN eligeiramente superiores para CN;

Verifica-se que para o pilar P24 a armadura de 2 ordem efectiva (necessria) praticamente coincidente com a de 1 ordem para os mtodos RN, CN e ANEXOH,correspondendo armadura mnima;

Para o Mtodo do ANEXOH observa-se que, para os pilares P21 e PP22, resultaramarmaduras necessrias superiores percentagem mxima de armadura (4%), sendo 42cm2e 30cm2 respectivamente, pelo que este mtodo conduz a valores inadequados para estespilares. No grfico optou-se por representar apenas o valor da armadura correspondente percentagem mxima para o respectivo pilar;

Enquanto para a armadura efectiva de 2 ordem do pilar P23 superior ao de 1ordem,

como era de esperar, a do P24 praticamente coincidente; Para as armaduras de 2 ordem nos cenrios RNM e CNM, observa-se a inadequao

atrs referida para todos os pisos excepo do 4, em que a armadura inferior ao limitemximo e superior de 1 ordem;

Tal como mencionado atrs, as armaduras para os pilares P21 e P22 nos mtodos doANEXOH, RNM e CNM so superiores s respectivas Taxas Mximas, pelo que, talcomo no grfico das armaduras efectivas, aparecem representadas apenas as armadurascorrespondentes ao limite de cada pilar. No pilar P23 acontece o mesmo excepo doANEXOH

As diferenas mais notveis so o facto de que, enquanto as armaduras eram

praticamente iguais no P24, verifica-se que para as armaduras adoptadas, as armaduras de


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2 ordem so coincidentes com as de 1 ordem nos mtodos da RN, CN e ANEXOH. Aoutra diferena reside no facto de que agora a armadura determinada pela CN no P23coincide com a armadura adoptada de 1 ordem enquanto no grfi

Analise de 2a ordem

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