Analise combinatoria, UFMG
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Análise CombinatóriaAnálise CombinatóriaMétodos de ContagemMétodos de Contagem
Prof. Marcelo EustProf. Marcelo Eustáá[email protected]@gmail.com
Introdução:Introdução:
Análise combinatória é um ramo da matemática Análise combinatória é um ramo da matemática que estuda métodos diferentes para se que estuda métodos diferentes para se determinar quantidade de elementos de determinar quantidade de elementos de
diferentes conjuntos. diferentes conjuntos.
Contar de Contar de maneira eficiente maneira eficiente
e rápida e rápida
Origem:Origem:
Calcular o número de possibilidades Calcular o número de possibilidades existentes em jogos de azar.existentes em jogos de azar.
Origem:Origem:
Principais matemáticos: Principais matemáticos: Niccollo Fontana (1500-1557) Niccollo Fontana (1500-1557) Pierre de Fermat (1601-1665) Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662) Blaise Pascal (1623-1662)
Regra da Soma:Regra da Soma:
Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.
O número de maneiras de se escolher O número de maneiras de se escolher um elemento de Aum elemento de A ouou um elemento de B um elemento de B
é é n(A) + n(B)n(A) + n(B)..
AA
BB
Exemplo 01:Exemplo 01:
Dentre todas as atrações da Campanha de Dentre todas as atrações da Campanha de Popularização do Teatro e da Dança desse Popularização do Teatro e da Dança desse ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de
dança receberam maior destaque por parte da dança receberam maior destaque por parte da imprensa e Paulo tem dinheiro para assistir imprensa e Paulo tem dinheiro para assistir
apenas um evento. apenas um evento.
Quantas são as escolhas diferentes que Quantas são as escolhas diferentes que Paulo pode escolher? Paulo pode escolher?
Solução:Solução:
TeatroTeatro DançaDança
++44 33
ouou
== 77
Paulo pode assistir apenas uma peça de Paulo pode assistir apenas uma peça de teatro ou um espetáculo de dança ...teatro ou um espetáculo de dança ...
N° de escolhasN° de escolhasde Paulode Paulo
Exemplo 02:Exemplo 02:
Lucas tem em sua estante 5 livros de Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12
livros de Trigonometria. livros de Trigonometria.
De quantas formas diferentes Lucas pode De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro para estudar?escolher um livro para estudar?
Solução:Solução:
++99 1212 == 2626
Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro para estudar?para estudar?
N° de escolhasN° de escolhasdiferentes de Lucasdiferentes de Lucas
++55
Prob.Prob. Est.Est.ouou Trigo.Trigo.ouou
Regra da Produto:Regra da Produto:
O número de maneiras de se escolher O número de maneiras de se escolher um elemento de Aum elemento de A ee um elemento de B um elemento de B é é
n(A) n(A) xx n(B) n(B)..
Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.
AA
BB
Exemplo 03:Exemplo 03:
Dentre todas as atrações da Campanha de Dentre todas as atrações da Campanha de Popularização do Teatro e da Dança desse Popularização do Teatro e da Dança desse ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de
dança receberam maior destaque por parte da dança receberam maior destaque por parte da imprensa e Paulo deve escolher uma peça de imprensa e Paulo deve escolher uma peça de teatro e um espetáculo de dança para assistir. teatro e um espetáculo de dança para assistir.
De quantas formas diferentes Paulo pode De quantas formas diferentes Paulo pode fazer a sua escolha? fazer a sua escolha?
Solução:Solução:
TeatroTeatro DançaDança
xx44 33
ee
== 1212
Paulo pode assistir apenas uma peça de Paulo pode assistir apenas uma peça de teatro teatro ee um espetáculo de dança ... um espetáculo de dança ...
N° de escolhasN° de escolhasde Paulode Paulo
Exemplo 04:Exemplo 04:
Lucas tem em sua estante 5 livros de Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12
livros de Trigonometria.livros de Trigonometria.
De quantas formas diferentes Lucas pode De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro de cada assunto para escolher um livro de cada assunto para
estudar?estudar?
Solução:Solução:
xx99 1212 == 540540
Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro de cada assunto para estudar?de cada assunto para estudar?
N° de escolhasN° de escolhasdiferentes de Lucasdiferentes de Lucas
xx55
Prob.Prob. Est.Est.ee Trigo.Trigo.ee
Exemplo 05:Exemplo 05:
De quantas maneiras podemos premiar 3 De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um grupo de estudos com 8 alunos, alunos de um grupo de estudos com 8 alunos,
de modo que os prêmios sejam dados a de modo que os prêmios sejam dados a alunos diferentes? alunos diferentes?
Solução:Solução:De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um grupo de estudos com 8 alunos, de modo que os grupo de estudos com 8 alunos, de modo que os prêmios sejam dados a alunos diferentes? prêmios sejam dados a alunos diferentes?
RespostaResposta
xx77 66 == 336336xx88
1°1° 2°2°ee 3°3°ee
Exemplo 06:Exemplo 06:
Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números pertencentes ao intervalo números pertencentes ao intervalo
[2000, 5000] podemos formar?[2000, 5000] podemos formar?
Solução:Solução:
== 648648
Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números pertencentes ao intervalo [2000, 5000] podemos pertencentes ao intervalo [2000, 5000] podemos formar?formar?
Números Números diferentesdiferentes
1°1°
xx33
ee 2°2°
xx66
ee 3°3°
xx66
ee 4°4°
66
Exemplo 07:Exemplo 07:
Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números com 3 algarismos distintos podemos números com 3 algarismos distintos podemos
formar? formar?
Solução:Solução:Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar?com 3 algarismos distintos podemos formar?
== 120120
Números Números diferentesdiferentes
1°1°
xx66
ee 2°2°
xx55
ee 3°3°
44
Fatorial:Fatorial:
Seja Seja nn um número natural. O fatorial de um número natural. O fatorial de nn, , denotado por denotado por n!n! é determinado através da é determinado através da
seguinte definição: seguinte definição:
====
≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅==
00nnsese,,1111nnsese,,11
22nnsese,,1122))22nn(())11nn((nn!!nn
Fatorial Fatorial (Continuação)(Continuação)::
Exemplos: Exemplos:
==!!55 ⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11 == 120120==!!77 50405040⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11 ==⋅⋅77 ⋅⋅66
Obs: Obs:
==!!77 ⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11⋅⋅77 ⋅⋅66
6!6!
== ⋅⋅77 6!6!
Exemplo 08:Exemplo 08:
Qual o resultado da simplificação de ?Qual o resultado da simplificação de ?!!55!!88
Solução:Solução:
!!!!
5588
336336==667788 ⋅⋅⋅⋅==!!55
!!55667788 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
Permutação:Permutação:
Seja Seja nn um número natural. O fatorial de um número natural. O fatorial de nn, , denotado por denotado por n!n! é determinado através da é determinado através da
seguinte definição: seguinte definição:
n!n!==PPnn == 1122))22nn(())11nn((nn ××××××−−××−−××
Exemplo 09:Exemplo 09:
Quantos são os anagramas da palavra Quantos são os anagramas da palavra GALO?GALO?
Solução:Solução:
Antes de calcular quantos são os anagramas Antes de calcular quantos são os anagramas de GALO, vamos listar alguns deles:de GALO, vamos listar alguns deles:
GALOGALO GOLAGOLA ALGOALGO LAGOLAGO OLGAOLGA
OLAGOLAG
... e tantos outros!... e tantos outros!
Continuação:Continuação:
... e quantos são os anagramas da palavra ... e quantos são os anagramas da palavra GALO?GALO?
Solução:Solução:
== 4!4!
Números de Números de anagramasanagramas
1°1°
xx44
ee 2°2°
xx33
ee 3°3°
xx22
ee 4°4°
11
Permutação com repetição:Permutação com repetição:
E se a palavra tivesse letras repetidas?E se a palavra tivesse letras repetidas?
E se a permutação envolvesseE se a permutação envolvesseelementos repetidos?elementos repetidos?
Exemplo 10:Exemplo 10:
Quantos anagramas podem ser formados com Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?as letras da palavra ARARA?
Solução:Solução:
Sem levar em consideração as letras Sem levar em consideração as letras repetidas ...repetidas ...
1°1° 2°2° 3°3° 4°4° 5°5°
== 5 !5 !xx55 xx44 xx33 xx22 11
Continuação:Continuação:
Permutando-se as letras R’s de Permutando-se as letras R’s de lugar, o anagrama continua o lugar, o anagrama continua o
mesmo.mesmo. !2!5
10101122!!33!!334455 ==
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
!!22!!33!!55 ==⋅⋅
PP 22,,3355 ==
Utilizando-se o mesmo processo Utilizando-se o mesmo processo para as letras A’s, o número de para as letras A’s, o número de
anagramas é ...anagramas é ... !2!5
!3x
Notação:Notação:
Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:
Qual a principal diferença entre Qual a principal diferença entre problemas envolvendo problemas envolvendo ArranjosArranjos e e
CombinaçõesCombinações??
A ordem dos elementos ...A ordem dos elementos ...
Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:
A ordem dos A ordem dos elementos elementos ÉÉ
IMPORTANTEIMPORTANTE
A ordem dos A ordem dos elementos elementos NÃO ÉNÃO É
IMPORTANTEIMPORTANTE
Exemplo:Exemplo: Exemplo:Exemplo:
Quantos números de 3 Quantos números de 3 algarismos distintos algarismos distintos
podem ser formados a podem ser formados a partir dos elementos de partir dos elementos de
{1, 2, 3, 4, 5}?{1, 2, 3, 4, 5}?
Quantos subconjuntos Quantos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5} têm de {1, 2, 3, 4, 5} têm
exatamente 3 exatamente 3 elementos?elementos?
A ordem dos A ordem dos elementos elementos ÉÉ
IMPORTANTEIMPORTANTE
A ordem dos A ordem dos elementos elementos NÃO ÉNÃO É
IMPORTANTEIMPORTANTE
Regra do Regra do ProdutoProduto FórmulaFórmula
)!)!ppnn((!!pp!!nnCC pp,,nn −−⋅⋅
==
Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:
Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:
Quantos números de 3 Quantos números de 3 algarismos distintos algarismos distintos
podem ser formados a podem ser formados a partir dos elementos de partir dos elementos de
{1, 2, 3, 4, 5}?{1, 2, 3, 4, 5}?
Quantos subconjuntos Quantos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5} têm de {1, 2, 3, 4, 5} têm
exatamente 3 exatamente 3 elementos?elementos?
== 6060
1°1°
xx55
2°2° 3°3°
xx44 33
1010!!22!!33
!!55)!)!3355((!!33
!!55CC 33,,55 ==⋅⋅
==−−⋅⋅
==
Exemplo 11:Exemplo 11:
Quantos triângulos podem ser formados a Quantos triângulos podem ser formados a partir de 8 pontos marcados sobre uma partir de 8 pontos marcados sobre uma
circunferência?circunferência?
AABB
CC
DDEE
FF
GG
HH
Continuação:Continuação:
A ordem de escolha dos A ordem de escolha dos pontos não é pontos não é importante!importante!
AABB
CC
DDEE
FF
GG
HH
Solução:Solução:
Combinação !!!Combinação !!!
5656!!55!!33
!!88)!)!3388((!!33
!!88CC 33,,88 ==⋅⋅
==−−⋅⋅
==
Exemplo 12:Exemplo 12:
Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos quantas comissões de 5 pessoas podemos
formar se em cada uma deve haver 3 homens formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? e 2 mulheres?
Solução:Solução:Deve-se escolher 3 de 10 homens Deve-se escolher 3 de 10 homens ee 2 de 10 2 de 10
mulheresmulheres
HomensHomens
xx
eeMulheresMulheres
CC10,310,3 CC10,210,2!!3310 !10 !
⋅⋅==
!!77xx
!!2210 !10 !
⋅⋅ !!88
= 5400= 5400
Exemplo 13:Exemplo 13:
Uma escola tem 8 professores de Matemática Uma escola tem 8 professores de Matemática e 5 professores de Física. Quantas comissões e 5 professores de Física. Quantas comissões
de 3 professores que podem ser formadas de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 professor de Matemática?com pelo menos 1 professor de Matemática?
Solução:Solução:Quantas comissões de 3 professores que Quantas comissões de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 podem ser formadas com pelo menos 1
professor de Matemática?professor de Matemática?
MatMat
xx
eeFísFís
CC8,18,1 CC5,25,2 = 80= 8011 22xx
xxCC8,28,2 CC5,15,122 11xx
xxCC8,38,3 5,05,033 00xx CC
= 140= 140
= 56= 56
= 276= 276
Outra Solução:Outra Solução:Quantas comissões de 3 professores que Quantas comissões de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 podem ser formadas com pelo menos 1
professor de Matemática?professor de Matemática?
De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão têm têm
professores de Matemática.professores de Matemática.
Outra Solução:Outra Solução:
De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão têm têm
professores de Matemática.professores de Matemática.
--CC13,313,3 5,35,3CC = 276= 276
Todas as Todas as comissõescomissões
Comissões sem Comissões sem prof. Matprof. Mat
Exemplo 14:Exemplo 14:
A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, formar uma comissão de oito integrantes,
composta de um presidente, um vice-composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro e presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quatro conselheiros. Nessa situação, de
quantas maneiras distintas se pode compor quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?essa comissão?
UFMG 2005UFMG 2005
Solução:Solução:A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se
formar uma comissão de oito integrantes, formar uma comissão de oito integrantes, composta de um presidente, um vice-composta de um presidente, um vice-
presidente, um secretário, um tesoureiro e presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros.quatro conselheiros.
Pres.Pres.
xx
ViceVice
CC10,410,41414(...)(...)
Secr.Secr. Tesour.Tesour. Cons.Cons.
1313 1212 1111xx xx xx
Exemplo 15:Exemplo 15:
A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro formar uma comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-
se que esses dois, juntos, não deveriam se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?distintas se pode formar essa comissão?
UFMG 2006UFMG 2006
Solução:Solução:
De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão
onde estão juntos Gustavo e Danilo.onde estão juntos Gustavo e Danilo.
--CC8,48,4 6,26,2CC = 70 - 15= 70 - 15
Todas as Todas as comissõescomissões
Comissões com Comissões com Danilo e GustavoDanilo e Gustavo
= 55= 55