Analise combinatoria, UFMG

45
Análise Combinatória Análise Combinatória Métodos de Contagem Métodos de Contagem Prof. Marcelo Eust Prof. Marcelo Eust á á quio quio [email protected] [email protected]

description

Analise combinatoria

Transcript of Analise combinatoria, UFMG

Page 1: Analise combinatoria, UFMG

Análise CombinatóriaAnálise CombinatóriaMétodos de ContagemMétodos de Contagem

Prof. Marcelo EustProf. Marcelo Eustáá[email protected]@gmail.com

Page 2: Analise combinatoria, UFMG

Introdução:Introdução:

Análise combinatória é um ramo da matemática Análise combinatória é um ramo da matemática que estuda métodos diferentes para se que estuda métodos diferentes para se determinar quantidade de elementos de determinar quantidade de elementos de

diferentes conjuntos. diferentes conjuntos.

Contar de Contar de maneira eficiente maneira eficiente

e rápida e rápida

Page 3: Analise combinatoria, UFMG

Origem:Origem:

Calcular o número de possibilidades Calcular o número de possibilidades existentes em jogos de azar.existentes em jogos de azar.

Page 4: Analise combinatoria, UFMG

Origem:Origem:

Principais matemáticos: Principais matemáticos: Niccollo Fontana (1500-1557) Niccollo Fontana (1500-1557) Pierre de Fermat (1601-1665) Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662) Blaise Pascal (1623-1662)

Page 5: Analise combinatoria, UFMG

Regra da Soma:Regra da Soma:

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.

O número de maneiras de se escolher O número de maneiras de se escolher um elemento de Aum elemento de A ouou um elemento de B um elemento de B

é é n(A) + n(B)n(A) + n(B)..

AA

BB

Page 6: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 01:Exemplo 01:

Dentre todas as atrações da Campanha de Dentre todas as atrações da Campanha de Popularização do Teatro e da Dança desse Popularização do Teatro e da Dança desse ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de

dança receberam maior destaque por parte da dança receberam maior destaque por parte da imprensa e Paulo tem dinheiro para assistir imprensa e Paulo tem dinheiro para assistir

apenas um evento. apenas um evento.

Quantas são as escolhas diferentes que Quantas são as escolhas diferentes que Paulo pode escolher? Paulo pode escolher?

Page 7: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

TeatroTeatro DançaDança

++44 33

ouou

== 77

Paulo pode assistir apenas uma peça de Paulo pode assistir apenas uma peça de teatro ou um espetáculo de dança ...teatro ou um espetáculo de dança ...

N° de escolhasN° de escolhasde Paulode Paulo

Page 8: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 02:Exemplo 02:

Lucas tem em sua estante 5 livros de Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12

livros de Trigonometria. livros de Trigonometria.

De quantas formas diferentes Lucas pode De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro para estudar?escolher um livro para estudar?

Page 9: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

++99 1212 == 2626

Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro para estudar?para estudar?

N° de escolhasN° de escolhasdiferentes de Lucasdiferentes de Lucas

++55

Prob.Prob. Est.Est.ouou Trigo.Trigo.ouou

Page 10: Analise combinatoria, UFMG

Regra da Produto:Regra da Produto:

O número de maneiras de se escolher O número de maneiras de se escolher um elemento de Aum elemento de A ee um elemento de B um elemento de B é é

n(A) n(A) xx n(B) n(B)..

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.Sejam A e B dois conjuntos disjuntos.

AA

BB

Page 11: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 03:Exemplo 03:

Dentre todas as atrações da Campanha de Dentre todas as atrações da Campanha de Popularização do Teatro e da Dança desse Popularização do Teatro e da Dança desse ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de ano, 4 peças de teatro e 3 espetáculos de

dança receberam maior destaque por parte da dança receberam maior destaque por parte da imprensa e Paulo deve escolher uma peça de imprensa e Paulo deve escolher uma peça de teatro e um espetáculo de dança para assistir. teatro e um espetáculo de dança para assistir.

De quantas formas diferentes Paulo pode De quantas formas diferentes Paulo pode fazer a sua escolha? fazer a sua escolha?

Page 12: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

TeatroTeatro DançaDança

xx44 33

ee

== 1212

Paulo pode assistir apenas uma peça de Paulo pode assistir apenas uma peça de teatro teatro ee um espetáculo de dança ... um espetáculo de dança ...

N° de escolhasN° de escolhasde Paulode Paulo

Page 13: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 04:Exemplo 04:

Lucas tem em sua estante 5 livros de Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12

livros de Trigonometria.livros de Trigonometria.

De quantas formas diferentes Lucas pode De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro de cada assunto para escolher um livro de cada assunto para

estudar?estudar?

Page 14: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

xx99 1212 == 540540

Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 Lucas tem em sua estante 5 livros de Probabilidade, 9 livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De livros de Estatística e 12 livros de Trigonometria. De quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro quantas formas diferentes Lucas pode escolher um livro de cada assunto para estudar?de cada assunto para estudar?

N° de escolhasN° de escolhasdiferentes de Lucasdiferentes de Lucas

xx55

Prob.Prob. Est.Est.ee Trigo.Trigo.ee

Page 15: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 05:Exemplo 05:

De quantas maneiras podemos premiar 3 De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um grupo de estudos com 8 alunos, alunos de um grupo de estudos com 8 alunos,

de modo que os prêmios sejam dados a de modo que os prêmios sejam dados a alunos diferentes? alunos diferentes?

Page 16: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um De quantas maneiras podemos premiar 3 alunos de um grupo de estudos com 8 alunos, de modo que os grupo de estudos com 8 alunos, de modo que os prêmios sejam dados a alunos diferentes? prêmios sejam dados a alunos diferentes?

RespostaResposta

xx77 66 == 336336xx88

1°1° 2°2°ee 3°3°ee

Page 17: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 06:Exemplo 06:

Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números pertencentes ao intervalo números pertencentes ao intervalo

[2000, 5000] podemos formar?[2000, 5000] podemos formar?

Page 18: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

== 648648

Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números pertencentes ao intervalo [2000, 5000] podemos pertencentes ao intervalo [2000, 5000] podemos formar?formar?

Números Números diferentesdiferentes

1°1°

xx33

ee 2°2°

xx66

ee 3°3°

xx66

ee 4°4°

66

Page 19: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 07:Exemplo 07:

Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números com 3 algarismos distintos podemos números com 3 algarismos distintos podemos

formar? formar?

Page 20: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar?com 3 algarismos distintos podemos formar?

== 120120

Números Números diferentesdiferentes

1°1°

xx66

ee 2°2°

xx55

ee 3°3°

44

Page 21: Analise combinatoria, UFMG

Fatorial:Fatorial:

Seja Seja nn um número natural. O fatorial de um número natural. O fatorial de nn, , denotado por denotado por n!n! é determinado através da é determinado através da

seguinte definição: seguinte definição:

====

≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅==

00nnsese,,1111nnsese,,11

22nnsese,,1122))22nn(())11nn((nn!!nn

Page 22: Analise combinatoria, UFMG

Fatorial Fatorial (Continuação)(Continuação)::

Exemplos: Exemplos:

==!!55 ⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11 == 120120==!!77 50405040⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11 ==⋅⋅77 ⋅⋅66

Obs: Obs:

==!!77 ⋅⋅55 ⋅⋅44 ⋅⋅33 ⋅⋅22 11⋅⋅77 ⋅⋅66

6!6!

== ⋅⋅77 6!6!

Page 23: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 08:Exemplo 08:

Qual o resultado da simplificação de ?Qual o resultado da simplificação de ?!!55!!88

Solução:Solução:

!!!!

5588

336336==667788 ⋅⋅⋅⋅==!!55

!!55667788 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

Page 24: Analise combinatoria, UFMG

Permutação:Permutação:

Seja Seja nn um número natural. O fatorial de um número natural. O fatorial de nn, , denotado por denotado por n!n! é determinado através da é determinado através da

seguinte definição: seguinte definição:

n!n!==PPnn == 1122))22nn(())11nn((nn ××××××−−××−−××

Page 25: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 09:Exemplo 09:

Quantos são os anagramas da palavra Quantos são os anagramas da palavra GALO?GALO?

Solução:Solução:

Antes de calcular quantos são os anagramas Antes de calcular quantos são os anagramas de GALO, vamos listar alguns deles:de GALO, vamos listar alguns deles:

GALOGALO GOLAGOLA ALGOALGO LAGOLAGO OLGAOLGA

OLAGOLAG

... e tantos outros!... e tantos outros!

Page 26: Analise combinatoria, UFMG

Continuação:Continuação:

... e quantos são os anagramas da palavra ... e quantos são os anagramas da palavra GALO?GALO?

Solução:Solução:

== 4!4!

Números de Números de anagramasanagramas

1°1°

xx44

ee 2°2°

xx33

ee 3°3°

xx22

ee 4°4°

11

Page 27: Analise combinatoria, UFMG

Permutação com repetição:Permutação com repetição:

E se a palavra tivesse letras repetidas?E se a palavra tivesse letras repetidas?

E se a permutação envolvesseE se a permutação envolvesseelementos repetidos?elementos repetidos?

Page 28: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 10:Exemplo 10:

Quantos anagramas podem ser formados com Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?as letras da palavra ARARA?

Solução:Solução:

Sem levar em consideração as letras Sem levar em consideração as letras repetidas ...repetidas ...

1°1° 2°2° 3°3° 4°4° 5°5°

== 5 !5 !xx55 xx44 xx33 xx22 11

Page 29: Analise combinatoria, UFMG

Continuação:Continuação:

Permutando-se as letras R’s de Permutando-se as letras R’s de lugar, o anagrama continua o lugar, o anagrama continua o

mesmo.mesmo. !2!5

10101122!!33!!334455 ==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

!!22!!33!!55 ==⋅⋅

PP 22,,3355 ==

Utilizando-se o mesmo processo Utilizando-se o mesmo processo para as letras A’s, o número de para as letras A’s, o número de

anagramas é ...anagramas é ... !2!5

!3x

Notação:Notação:

Page 30: Analise combinatoria, UFMG

Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:

Qual a principal diferença entre Qual a principal diferença entre problemas envolvendo problemas envolvendo ArranjosArranjos e e

CombinaçõesCombinações??

A ordem dos elementos ...A ordem dos elementos ...

Page 31: Analise combinatoria, UFMG

Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:

A ordem dos A ordem dos elementos elementos ÉÉ

IMPORTANTEIMPORTANTE

A ordem dos A ordem dos elementos elementos NÃO ÉNÃO É

IMPORTANTEIMPORTANTE

Exemplo:Exemplo: Exemplo:Exemplo:

Quantos números de 3 Quantos números de 3 algarismos distintos algarismos distintos

podem ser formados a podem ser formados a partir dos elementos de partir dos elementos de

{1, 2, 3, 4, 5}?{1, 2, 3, 4, 5}?

Quantos subconjuntos Quantos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5} têm de {1, 2, 3, 4, 5} têm

exatamente 3 exatamente 3 elementos?elementos?

Page 32: Analise combinatoria, UFMG

A ordem dos A ordem dos elementos elementos ÉÉ

IMPORTANTEIMPORTANTE

A ordem dos A ordem dos elementos elementos NÃO ÉNÃO É

IMPORTANTEIMPORTANTE

Regra do Regra do ProdutoProduto FórmulaFórmula

)!)!ppnn((!!pp!!nnCC pp,,nn −−⋅⋅

==

Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:

Page 33: Analise combinatoria, UFMG

Arranjo versus Combinação:Arranjo versus Combinação:

Quantos números de 3 Quantos números de 3 algarismos distintos algarismos distintos

podem ser formados a podem ser formados a partir dos elementos de partir dos elementos de

{1, 2, 3, 4, 5}?{1, 2, 3, 4, 5}?

Quantos subconjuntos Quantos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5} têm de {1, 2, 3, 4, 5} têm

exatamente 3 exatamente 3 elementos?elementos?

== 6060

1°1°

xx55

2°2° 3°3°

xx44 33

1010!!22!!33

!!55)!)!3355((!!33

!!55CC 33,,55 ==⋅⋅

==−−⋅⋅

==

Page 34: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 11:Exemplo 11:

Quantos triângulos podem ser formados a Quantos triângulos podem ser formados a partir de 8 pontos marcados sobre uma partir de 8 pontos marcados sobre uma

circunferência?circunferência?

AABB

CC

DDEE

FF

GG

HH

Page 35: Analise combinatoria, UFMG

Continuação:Continuação:

A ordem de escolha dos A ordem de escolha dos pontos não é pontos não é importante!importante!

AABB

CC

DDEE

FF

GG

HH

Solução:Solução:

Combinação !!!Combinação !!!

5656!!55!!33

!!88)!)!3388((!!33

!!88CC 33,,88 ==⋅⋅

==−−⋅⋅

==

Page 36: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 12:Exemplo 12:

Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos quantas comissões de 5 pessoas podemos

formar se em cada uma deve haver 3 homens formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? e 2 mulheres?

Page 37: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:Deve-se escolher 3 de 10 homens Deve-se escolher 3 de 10 homens ee 2 de 10 2 de 10

mulheresmulheres

HomensHomens

xx

eeMulheresMulheres

CC10,310,3 CC10,210,2!!3310 !10 !

⋅⋅==

!!77xx

!!2210 !10 !

⋅⋅ !!88

= 5400= 5400

Page 38: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 13:Exemplo 13:

Uma escola tem 8 professores de Matemática Uma escola tem 8 professores de Matemática e 5 professores de Física. Quantas comissões e 5 professores de Física. Quantas comissões

de 3 professores que podem ser formadas de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 professor de Matemática?com pelo menos 1 professor de Matemática?

Page 39: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:Quantas comissões de 3 professores que Quantas comissões de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 podem ser formadas com pelo menos 1

professor de Matemática?professor de Matemática?

MatMat

xx

eeFísFís

CC8,18,1 CC5,25,2 = 80= 8011 22xx

xxCC8,28,2 CC5,15,122 11xx

xxCC8,38,3 5,05,033 00xx CC

= 140= 140

= 56= 56

= 276= 276

Page 40: Analise combinatoria, UFMG

Outra Solução:Outra Solução:Quantas comissões de 3 professores que Quantas comissões de 3 professores que podem ser formadas com pelo menos 1 podem ser formadas com pelo menos 1

professor de Matemática?professor de Matemática?

De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão têm têm

professores de Matemática.professores de Matemática.

Page 41: Analise combinatoria, UFMG

Outra Solução:Outra Solução:

De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão têm têm

professores de Matemática.professores de Matemática.

--CC13,313,3 5,35,3CC = 276= 276

Todas as Todas as comissõescomissões

Comissões sem Comissões sem prof. Matprof. Mat

Page 42: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 14:Exemplo 14:

A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, formar uma comissão de oito integrantes,

composta de um presidente, um vice-composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro e presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quatro conselheiros. Nessa situação, de

quantas maneiras distintas se pode compor quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?essa comissão?

UFMG 2005UFMG 2005

Page 43: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se

formar uma comissão de oito integrantes, formar uma comissão de oito integrantes, composta de um presidente, um vice-composta de um presidente, um vice-

presidente, um secretário, um tesoureiro e presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros.quatro conselheiros.

Pres.Pres.

xx

ViceVice

CC10,410,41414(...)(...)

Secr.Secr. Tesour.Tesour. Cons.Cons.

1313 1212 1111xx xx xx

Page 44: Analise combinatoria, UFMG

Exemplo 15:Exemplo 15:

A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro formar uma comissão constituída de quatro

integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-

se que esses dois, juntos, não deveriam se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.participar da comissão a ser formada.

Nessas condições, de quantas maneiras Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?distintas se pode formar essa comissão?

UFMG 2006UFMG 2006

Page 45: Analise combinatoria, UFMG

Solução:Solução:

De todas as comissões que podem ser De todas as comissões que podem ser formadas, deve-se excluir aquelas que formadas, deve-se excluir aquelas que nãonão

onde estão juntos Gustavo e Danilo.onde estão juntos Gustavo e Danilo.

--CC8,48,4 6,26,2CC = 70 - 15= 70 - 15

Todas as Todas as comissõescomissões

Comissões com Comissões com Danilo e GustavoDanilo e Gustavo

= 55= 55