Raciocnio Quantitativo Preparatrio ANPAD

Combinaes Completas 1 Anlise Combinatria

ANLISE COMBINATRIA

COMBINAES COMPLETAS

Consideremos a seguinte situao: de quantos modos possvel comprar 4 sorvetes em uma loja

que os oferece em 7 sabores?

A resposta no 47 35C .

4

7C seria o nmero de maneiras de escolher 4 sabores diferentes entre os

7 sabores oferecidos, isto , 47C seria o nmero de modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma

loja que os oferece em 7 sabores.

A resposta desse problema representada por 47CR , nmero de combinaes completas de classe 4

de 7 objetos. Portanto, 47CR o nmero de modos de escolher 4 objetos entre 7 objetos distintos,

valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez.

De modo geral, pnC o nmero de modos de escolher p objetos distintos entre n objetos distintos

dados, e pnCR o nmero de modos de escolher p objetos distintos ou no entre n objetos distintos

dados.

Assim, por exemplo, as combinaes completas de classe 3 dos objetos a, b, c e d tomados 3 a 3

so:

aaa aab bba cca dda Abc

bbb aac bbc ccb ddb abd

ccc aad bbd ccd ddc acd

ddd Bcd

e 34 20CR .

Podemos tambm interpretar pnCR de outro modo. Voltemos compra dos 4 sorvetes na loja que os

oferece em 7 sabores. Para realizar essa compra devemos escolher valores adequados para as

vaiveis x1, x2, ... , x7, onde x1 a quantidade que vamos comprar de sorvetes do 1 sabor, x2 a

quantidade que vamos comprar de sorvetes do 2 sabor ..., e x7 a quantidade que vamos comprar

de sorvetes do 7 sabor. claro que x1, x2, ... , x7 devem ser inteiros, no negativos (isto , maiores

ou iguais a zero) tais que:

x1 + x2 + ... + x7 = 4

Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores tomar uma soluo em inteiros no

negativos da equao:

x1 + x2 + ... + x7 = 4

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Podemos, portanto, interpretar pnCR de dois modos:

a) pnCR o nmero de modos de selecionar p objetos, distintos ou no, entre n objetos distintos

dados;

b) pnCR o nmero de solues da equao x1 + x2 + ... + x7 = 4 em inteiros no negativos.

Vamos agora resolver o problema da compra dos sorvetes, isto , vamos calcular 47CR .

Ora, 47CR o nmero de solues em inteiros no negativos da equao

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4

O quadro da figura abaixo mostra algumas solues da equao bem como sua representao no

esquema bola-trao (cada bola representa uma unidade no valor da incgnita; cada trao usado

para separar duas incgnitas)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

1 1 1 0 0 0 1

| | | | | |

0 2 0 1 0 1 0

| | | | | |

Para formar uma representao devemos arrumar em fila 4 bolas (pois em cada soluo o total de

unidades nas incgnitas 4 (j que x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4) e 6 traos (para separar 7

incgnitas usamos 6 traos). Mas, o nmero de modos de fazer isso

4,6 4

4 6 10

10!

4!6!P C

Logo, 4 47 10 210CR C .

Generalizando, para calcular pnCR , isto , para determinar o nmero de solues inteiras e no

negativas de x1 + x2 + ... + xn = p, teramos p bolas e n 1 traos. Logo,

, 1

1 1

1 !

! 1 !

p p n p

n p n n p

n pCR P C

p n

.

Logo, 1p p

n n pCR C .

Fonte: Anlise Combinatria e Probabilidade da SBM. Autores: Paulo Cezar Pinto Carvalho, Augusto Cezar

de Oliveira Morgado, Pedro Fernandez e Joo Bosco Pitombeira.