Anlise Combinatria

Mdulos 49 e 50

Fatorial

Chama-se fatorial de um nmero natural n, indicado pelo smbolo:

n! = n.(n-1).(n-2)... 3.2.1Exemplos: a) 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 b) 10! = 10. 9. 8. 7. 6! ou 10.9! = 10. 9. 8! Podemos interromper o desenvolvimento de acordo com a nossa convenincia.

Definio: 0! = 1

Exerccios de Aplicao G 25 901. 5! 5. 4. 3. 2. 1 = 120 b) 7! 7. 6. 5! = 42. 120 = 5040 c) 8! 8. 7! = 8. 5040 = 40320 02. a) 5! 4! = 5. 4. 3. 2. 1 4. 3. 2. 1 120 24 = 96 b) 4.2! + 0! 4. 2. 1 + 1 = 8 + 1 = 9 a)

Continuao 03. a) 3! + 2! = 5!

3.2.1 + 2.1 = 5. 4. 3. 2. 1 6 + 2 = 120 8 120 Falso b) (3!).(2!) = 6! 3.2.1. 2.1 = 6. 5! 12 720 Falso c) (3!)2 = 9! 3. 2. 1. 3. 2. 1 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 Falso

Exerccios Nmero 4a)

b)

c)

8! ! 8.7.6! ! 56 6! 6! 7! ! 7.6.5! ! 7.6 ! 7 5!.3! 5!.3.2.1 6 6! ! 6.5.4.3!! 6.5.4 ! 60 2!.3! 2.1.3! 2

Exerccio nmero 5

(n 3)! ! (n 3).(n 2)!! (n 3) a) (n 2)! (n 2)!

(n 1)!(n 1) ! (n 1).n!(n 1) b) n! n! (n 1)(n 1) ! n2 1

Exerccio nmero 6a )n!! 15.(n 1)! n.(n 1)!! 15.(n 1)! n ! 15(n 1)!n! (n 1).n.(n 1)! n.(n 1)! ! 7n p ! 7n b) (n 1)! (n 1)! (n 1).n n ! 7 n p n n n 7 n ! 0 n 7 n ! 0 p n( n 7) ! 0 n1 ! 0 n2 ! 72 2

Princpio do Desprezo da Ordem (PDO) Quando queremos contar de quantas

maneiras um certo evento com x elementos ocorre, e nele encontramos m elementos cuja ordem pode ser desprezada, repeti, n elementos cuja ordem pode ser desprezada, p elementos cuja ordem pode ser desprezada, etc., o clculo deve ser feito por meio de uma frao, assim:

contagem.normal m!.n!.p!...

Exemplos Exerccio nmero 7 INCOSTITUCIONAL

Quantidade total de anagramas:

16! ! 72.648.576.000 3!.3!.2!.2!.2!Quantidade de anagramas que comeam pela letra I:

15! !13.621.608.000 2!.3!.2!.2!.2!

Exerccio nmero 815 . 14 . 13 . 12 . 11 1 aluno 2 aluno 3 aluno 4 aluno 5 alunoLembrando que a ordem no tem importncia, ento:

15.14.13.12.11 !15.14.13.12.11 5! 5.4.3.2.1

7.13.3.11 ! 3003

Exerccio nmero 9

10.9.8.7 !10.9.8.7 4! 4.3.2.1 10.3.7 ! 210 b) 1.9.8.7 ! 9.8.7 3! 3.2.1 3.4.7 ! 84a)

c)

9.8.7.6 9.8.7.6 ! 4! 4.3.2.1 3.7.6 !126